高中数学人教A版必修三第一章.2秦九韶算法-算法案例PPT全文课件
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数学：1.3.2《算法案例-秦九韶算法》课件(2)(新人教A版必修3)
练习:把89化为五进制的数. 解:以5作为除数,相应的除法算式为: 余数 5 89 5 17 4 5 3 2 0 3 ∴ 89=324(5).
小结
• 进位制的概念及表示方法; anan-1…a1a0(k) =an×kn+an-1×kn-1+…+a1×k1+a0×k0 . • 各种进位制之间的相互转化.
例4:把89化为二进制的数. 我们可以用下面的除法算式表示除2取余法: 把算式中各步所得的余数 余数 2 89 从下到上排列,得到 2 44 1 89=1011001(2). 2 22 0 可以用2连续去除89或所得 2 11 0 商(一直到商为0为止),然后 2 5 1 取余数---除2取余法. 1 2 2 这种方法也可以推广为把 0 21 十进制数化为k进制数的 0 1 算法,称为除k取余法.
＝(„((anx＋an－1)x＋an－2)x＋„＋a1)x＋a0
f(x)=(…(anx+an-1)x+an-2)x+…+a1)x+a0.
求多项式的值时,首先计算最内层括号内一 次多项式的值,即 v1=anx+an-1, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0. 这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
v1=v0x-5=2×5-5=5
v2=v1x-4=5×5-4=21
v3=v2x+3=21×5+3=108
v4=v3x-6=108×5-6=534
v5=v4x+7=534×5+7=2677
所以,当x=5时,多项式的值是2677.
人教A版高中数学必修3第一章1.3算法案例课件(3)
比赛
（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当x=5时的值。 （1） 3906
（2）求多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7 当x = 5时的值。 （2） 2677
• 程序计算
1.3.2 算 法 案 例 （案例2） 秦 九 韶 算 法
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
练一练:求当x = 5时多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x的值.
解法一:第一将原多项式改写成如下情势 : f(x)=(((((2x-5)x-0)x-4)x+3)x-6）x+0
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方 法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时 的值呢？ 算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它 们加起来。 算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2·x、 （ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x的值。
提取公因式
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们 加起来。
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ )＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１)+１)+１) ＋１ =5×(5×( 5×(5×(5+1 )+1) +1)+1)+１
（1）求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1 当x=5时的值。 （1） 3906
（2）求多项式 f (x) = 2x5 – 5x4 – 4x3 + 3x2 – 6x + 7 当x = 5时的值。 （2） 2677
• 程序计算
1.3.2 算 法 案 例 （案例2） 秦 九 韶 算 法
然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即
v2=v1x+an-2, v3=v2x+an-3, ……, vn=vn-1x+a0.
这样,求n次多项式f(x)的值就转化为求n个 一次多项式的值.这种算法称为秦九韶算法.
练一练:求当x = 5时多项式 f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x的值.
解法一:第一将原多项式改写成如下情势 : f(x)=(((((2x-5)x-0)x-4)x+3)x-6）x+0
秦九韶算法是求一元多项式的值的一种方 法。
怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1当x=5时 的值呢？ 算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它 们加起来。 算法二：先计算x2的值，然后依次计算x2·x、 （ x2·x）·x、（ （ x2·x）·x）·x的值。
提取公因式
算法一：把5代入，计算各项的值，然后把它们 加起来。
ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１ =5×(5４＋5３＋5２＋5＋１) ＋１ =5×(5×(5３＋5２＋5 ＋１ )＋１ )＋１ =5×(5×(5×(5２+5 +１)+１)+１) ＋１ =5×(5×( 5×(5×(5+1 )+1) +1)+1)+１
人教A版高中数学必修三课件1.3.2秦九韶
算法步问骤:：怎么用程序语言表示秦九韶算v法0 呢a？n
1:输入多项式系数n,最高次项的系数an和x的值.v1 an x an1
2:将v 的值初始化为an,将i的值初始化为n-1. v2 v1x an2
3:输入i次项的系数ai .
v3 v2 x an3
4: v=vx+ai,i=i-1.
练习：利用秦九韶算法分别计算
f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1在x=2与x=-1的值，并 判断多项式f(x)在区间[-1，2]上有没有零点。
解：f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1
=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1
PRINT “i=“;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
程序框图:
阅读下列程序，INPUT “x=”；a
说明它解决的 n=0
实际问题是什 y=0
么？
WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n
n=n+1
WEND
PRINT y
END
求多项式 f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
v0=2 所以,当x=5时,多项式的值是2677.
《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一个n次的多项式
1:输入多项式系数n,最高次项的系数an和x的值.v1 an x an1
2:将v 的值初始化为an,将i的值初始化为n-1. v2 v1x an2
3:输入i次项的系数ai .
v3 v2 x an3
4: v=vx+ai,i=i-1.
练习：利用秦九韶算法分别计算
f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1在x=2与x=-1的值，并 判断多项式f(x)在区间[-1，2]上有没有零点。
解：f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
=8x7+5x6+0·x5+3x4+0·x3+0·x2+2x+1
=((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1
PRINT “i=“;i INPUT “ai=”;a v=v*x+a i=i-1 WEND PRINT v END
程序框图:
阅读下列程序，INPUT “x=”；a
说明它解决的 n=0
实际问题是什 y=0
么？
WHLE n<5
y=y+(n+1)*a∧n
n=n+1
WEND
PRINT y
END
求多项式 f (x ) = 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + 5x 4 在x=a时的值.
v0=2 所以,当x=5时,多项式的值是2677.
《数书九章》——秦九韶算法
设f(x)是一个n次的多项式
高中数学【人教A版必修】3第一章1.3 算法案例 课件 (26张ppt )
第四步：重复二、三步， 直到余数为0.
第四步，若r=0，则m，n的最大公约 数等于_m_；否则，返回第二步.
算法的思想
辗转相除法
问题4. 辗转相除法的算法有什么特点？ 需要使用哪种基本逻辑结构？
• 辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停 止的步骤，可以使用循环结构来构造算法。
回顾：构造循环结构应确定哪几部分内容？ ①初始化变量 ②确定循环体 ③设定循环控制条件
高中数学【人教A版必修】3第一章1.3 算法案例 课件 (26张ppt )【精品】
更相减损术
《九章算术》——更相减损术
“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少 减多，更相减损，求其等也，以等数约之。”
翻译： 第一步：任意给定两个正整数，判断它们是否都是 偶数。若是，用2约简；若不是，执行第二步。 第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差 与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作， 直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所 求的最大公约数。
结论：8251和6105的最大公约数就是6105和2146的最大公 约数.
第二步： 6105 = 2146 ×2 + 1813
结论：6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公 …… 约数.
最后一步： 148 = 37 ×4 + 0.
余数为0
最终结论：8251和6105的最大公约数也是148和37的最大 公约数，即37.
否
WHILE 条件 循环体
WEND
知问
回顾：
1.编程解决问题需经过哪些步骤？ 算法分析、程序框图、程序
2.循环结构的程序框图和语句？ 3.求两个正整数最大公约数的方法？ 短除法：先用两个数的公约数连续去除，一直除到 所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起 来即为最大公约数。
人教a版必修3数学教学课件第1章算法初步第3节算法案例
多项式改写,依次计算一次多项式,由于后项计算用到前项的结果,
故应认真、细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不
存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项看成0·xn.
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题型一
题型二
Z 知识梳理 Z重难聚焦
HISHISHULI
HONGNANJUJIAO
D典例透析
IANLITOUXI
题型三
【变式训练3】 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
当x=2时的值.
v3=-24×(-2)+2=50.故f(-2)=50.
错因分析:所求f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶算
法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有x的一次项.
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【做一做2】 用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3当x=3时的值的过程
中,v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
减小数.
解:(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数.
1 785=840×2+105,
840=105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
故应认真、细心,确保中间结果的准确性.若在多项式中有几项不
存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项看成0·xn.
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【变式训练3】 用秦九韶算法求多项式f(x)=8x7+5x6+3x4+2x+1
当x=2时的值.
v3=-24×(-2)+2=50.故f(-2)=50.
错因分析:所求f(-2)的值是正确的,但是错解中没有抓住秦九韶算
法原理的关键,正确改写多项式,并使每一次计算只含有x的一次项.
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【做一做2】 用秦九韶算法求f(x)=2x3+x-3当x=3时的值的过程
中,v2=
.
解析:f(x)=((2x+0)x+1)x-3,
v0=2;
减小数.
解:(1)用辗转相除法求840和1 785的最大公约数.
1 785=840×2+105,
840=105×8.
所以840和1 785的最大公约数是105.
人教A版高中数学必修3第一章.2算法与程序框图课件
❖输入 a,b,c
❖a+ b>c, a+ c>b,
❖否
❖
b+ c>a是否同时
❖成立?
❖是
❖存在这样的三角形
❖不存在这样的三角形
❖结束
三、循环结构
1.含义：循环结构是指在算法中从某处开 始,按照一定的条件反复执行某些步骤的算 法结构.反复执行的步骤称为循环体。
在科学计算中,有许多有规律的重复计算,如 累加求和、累乘求积等问题要用到循环结构.
步骤B
❖ 如果学生的成绩大于或等于60分，则输出 “及格”，否则输出“不及格”.
❖用程序框图表示这一算法过程❖开. 始
❖程序框图：
❖输入 A
算法步骤：
第一步: 输入一个学生 成绩; 第二步:判断这个学生 的成绩是否小于60; 第三步: 若是则成绩不
及格，若不是则成绩 及格.
❖否
❖A<60?
❖是
❖输出“不及格”
算法分析：
Sum=0
第一步:从1开始将自然 数1,2,3,…,100逐个相加;
第二步:输出累加结果.
Sum=Sum + 1 Sum=Sum + 2 Sum=Sum + 3 … Sum=Sum + 100
思பைடு நூலகம்：
Sum=Sum + i
1.上边的式子有怎样的规律呢？
2.怎么用程序框图表示呢？
在一些算法中,经常会出现从某处开始,反 复执行某一处理步骤,这就是循环结构.
顺序结构
条件结构
循环结构
尽管不同的算法千差万别,但它们都是由三 种基本的逻辑结构构成的。
算法三种基本逻辑结构(顺序结构、条件结构、循环结构) 流程图表示，实例,程序演示：
❖a+ b>c, a+ c>b,
❖否
❖
b+ c>a是否同时
❖成立?
❖是
❖存在这样的三角形
❖不存在这样的三角形
❖结束
三、循环结构
1.含义：循环结构是指在算法中从某处开 始,按照一定的条件反复执行某些步骤的算 法结构.反复执行的步骤称为循环体。
在科学计算中,有许多有规律的重复计算,如 累加求和、累乘求积等问题要用到循环结构.
步骤B
❖ 如果学生的成绩大于或等于60分，则输出 “及格”，否则输出“不及格”.
❖用程序框图表示这一算法过程❖开. 始
❖程序框图：
❖输入 A
算法步骤：
第一步: 输入一个学生 成绩; 第二步:判断这个学生 的成绩是否小于60; 第三步: 若是则成绩不
及格，若不是则成绩 及格.
❖否
❖A<60?
❖是
❖输出“不及格”
算法分析：
Sum=0
第一步:从1开始将自然 数1,2,3,…,100逐个相加;
第二步:输出累加结果.
Sum=Sum + 1 Sum=Sum + 2 Sum=Sum + 3 … Sum=Sum + 100
思பைடு நூலகம்：
Sum=Sum + i
1.上边的式子有怎样的规律呢？
2.怎么用程序框图表示呢？
在一些算法中,经常会出现从某处开始,反 复执行某一处理步骤,这就是循环结构.
顺序结构
条件结构
循环结构
尽管不同的算法千差万别,但它们都是由三 种基本的逻辑结构构成的。
算法三种基本逻辑结构(顺序结构、条件结构、循环结构) 流程图表示，实例,程序演示：
人教版高中数学必修三课件：1.3 算法案例(共55张PPT)
解:用辗转相除法求最大公约数:612=468×1+144,468=144×3+36,144=36×4,即612
和468的最大公约数是36. 用更相减损术检验:612和468均为偶数,两次用2约简得153和117,153-117=36,11736=81,81-36=45,45-36=9,36-9=27,27-9=18,18-9=9,所以612和468的最大公约数为
转化为求n个一次多项式的值.
预习探究
知识点二 进位制
1.进位制:进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统,约定“满k进一”就 是 k进制 ,k进制的基数(大于1的整数)就是 k . 2.将k进制数化为十进制数的方法:先把k进制数写成各位上的数字与k的幂的乘积之和 的形式,再按照十进制数的运算规则计算出结果. 3.将十进制数化为k进制数的方法是 除k取余法 .即用k连续去除十进制数所得 的 商 ,直到商为零为止,然后把各步得到的余数 倒序 写出.所得到的就是相应的k 进制数. 4.k进制数之间的转化:首先转化为十进制数,再转化为 k进制数.
第一章 算法初步
1.3 算法案例 第2课时 秦九韶算法与进位制
预习探究
知识点一 秦九韶算法
1.秦九韶算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的一 个用于计算多项式值的方法. 2.秦九韶算法的方法: 把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0 改写成下列的形式: f(x)=(anxn-1+an-1xn-2+…+a1)x+a0= ((anxn-2+an-1xn-3+…+a2)x+a1)x+a0 =…=
人教A版数学必修3第一章.2算法与程序框图PPT全文课件
1.“=”左侧必须是变量,右侧可以
END
是数字、变量或者是计算公式；
2.一个语句只能有一个“=”,并且
只能给一个变量赋值；
3.有计算功能,可以把表达式的值
赋给一个变量.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
人教A版数学必修3第一章.2算法与程 序框图P PT全文 课件【 完美课 件】
例2.编写程序,计算一个学生数学、语文、英语三门课的平
average (a b c) / 3 输出average 结束
程序2 INPUT “Maths,Chinese,English=”;a,b,c
PRINT “The average=”;(a+b+c)/3 END
人教A版数学必修3第一章.2算法与程 序框图P PT全文 课件【 完美课 件】
人教A版数学必修3第一章.2算法与程 序框图P PT全文 课件【 完美课 件】
程序框图是由表示算法基本逻辑结构的图形组成的， 而程序则是由表示算法基本逻辑结构的算法语句组成.
任何高级程序设计语言都包含输入语句、输出语句、 赋值语句、条件语句和循环语句五种基本语句.它们与算 法的三种基本结构是相互对应的.
顺序结构 条件结构
输入语句、输出语句、赋值语句 条件语句
循环结构
循环语句
人教A版数学必修3第一章.2算法与程 序框图P PT全文 课件【 完美课 件】
问题探究一 简单的程序设计语言 问题 1 计算机能够“理解”的语言与人的语言有什么
区别？
答 计算机不同于人，人有大脑，可以思考问题，而计 算机则不能运用自然语言和程序框图描述的算法，计算 机无法识别，必须转化为其能理解的语言，即程序语言．
探究二
例. 用描点法作函数 y x3 3x2 24x 30的图象时，需要 求出自变量和函数的一组对应值.编写程序，分别计算当 x=-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5时的函数值.
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故f(-2)=50. 反思:利用秦九韶算法计算多项式的值的关键是能正确地将所给多项式 改写, 若在多项式中有几项不存在,可将这些项的系数看成0,即把这些项 看成0·xn.
高中数学【人教A版必修】三第一章.2 秦九韶 算法- 算法案 例PPT全 文课件 【完美 课件】
B
高中数学【人教A版必修】三第一章.2 秦九韶 算法- 算法案 例PPT全 文课件 【完美 课件】
分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7xБайду номын сангаас6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7分别是多少,再针对这些式子进行计算.
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解:f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,
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1.3算法案例
秦九韶算法
复习回顾
一、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 1、辗转相除法 2、更相减损术
二、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
思考：如何求1734，816，1343的最大公因数. 17
首先计算最内层括号内一次多项式的值,然后由内向外逐 层计算一次多项式的值.
v1=v0×2+8=3×2+8=14, v2=v1×2-3=14×2-3=25, v3=v2×2+5=25×2+5=55, v4=v3×2+12=55×2+12=122, v5=v4×2-6=122×2-6=238,
所以当x=2时,多项式的值为238.
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解:f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1 =((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1. 按照由内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值. v0=8;
v1=8×2+5=21; v2=21×2+0=42; v3=42×2+3=87; v4=87×2+0=174; v5=174×2+0=348; v6=348×2+2=698; v7=698×2+1=1 397.故当x=2时,多项式的值为1 397.
v1=7×3+6=27; v2=27×3+5=86; v3=86×3+4=262; v4=262×3+3=789; v5=789×3+2=2 369; v6=2 369×3+1=7 108; v7=7 108×3=21 324.
故当x=3时,多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x的值为21 324. 反思:秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式,注意 体会递推的实现过程,实施运算时要由内向外,一步一步执行.
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15170
注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
高中数学【人教A版必修】三第一章.2 秦九韶 算法- 算法案 例PPT全 文课件 【完美 课件】
解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6, 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值.
易错点:利用秦九韶算法求含空项的n次多项式的值时易出现错误
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正解:f(x)=3x4+0·x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2,
v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50.
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B
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分析:解决本题首先需要将原多项式化成 f(x)=((((((7xБайду номын сангаас6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x的形式,其次再弄清 v0,v1,v2,…,v7分别是多少,再针对这些式子进行计算.
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解:f(x)=((((((7x+6)x+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x,
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1.3算法案例
秦九韶算法
复习回顾
一、求两个数的最大公约数的两种方法分别是 1、辗转相除法 2、更相减损术
二、两个数21672，8127的最大公约数是 （ ） A、2709 B、2606 C、2703 D、2706
思考：如何求1734，816，1343的最大公因数. 17
首先计算最内层括号内一次多项式的值,然后由内向外逐 层计算一次多项式的值.
v1=v0×2+8=3×2+8=14, v2=v1×2-3=14×2-3=25, v3=v2×2+5=25×2+5=55, v4=v3×2+12=55×2+12=122, v5=v4×2-6=122×2-6=238,
所以当x=2时,多项式的值为238.
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解:f(x)=8x7+5x6+0·x5+3·x4+0·x3+0·x2+2x+1 =((((((8x+5)x+0)x+3)x+0)x+0)x+2)x+1. 按照由内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值. v0=8;
v1=8×2+5=21; v2=21×2+0=42; v3=42×2+3=87; v4=87×2+0=174; v5=174×2+0=348; v6=348×2+2=698; v7=698×2+1=1 397.故当x=2时,多项式的值为1 397.
v1=7×3+6=27; v2=27×3+5=86; v3=86×3+4=262; v4=262×3+3=789; v5=789×3+2=2 369; v6=2 369×3+1=7 108; v7=7 108×3=21 324.
故当x=3时,多项式f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x的值为21 324. 反思:秦九韶算法的关键在于把n次多项式转化为一次多项式,注意 体会递推的实现过程,实施运算时要由内向外,一步一步执行.
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注意:n次多项式有n+1项,因此缺少哪一项 应将其系数补0.
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解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式: f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12)x-6, 按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值.
易错点:利用秦九韶算法求含空项的n次多项式的值时易出现错误
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正解:f(x)=3x4+0·x3+2x2+4x+2=(((3x+0)x+2)x+4)x+2,
v1=3×(-2)+0=-6; v2=-6×(-2)+2=14; v3=14×(-2)+4=-24; v4=-24×(-2)+2=50.