第四章正弦交流电路77概要
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第4章 大学电工学 正弦交流电路
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南通大学电气工程学院
《电工学》课程
正弦交流电路
如果在电路中电动势的大小与方向均随时间按正弦
规律变化，由此产生的电流、电压大小和方向也是正弦
的，这样的电路称为正弦交流电路。 正弦交流电的优越性： 便于传输； 便于运算；
有利于电器设备的运行；
. . . . .
i
t
T
2. 频率 f： 每秒变化的次数
单位：赫兹，千赫兹 ... 单位：弧度/秒
3. 角频率 ω ： 每秒变化的弧度
1 f T
2π 2π f T
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小常识
* 电网频率： 中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
I m 为正弦电流的最大值
在工程应用中常用有效值表示幅度。常用交流电表指
示的电压、电流读数，就是被测物理量的有效值。标准
电压220V，也是指供电电压的有效值。
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《电工学》课程
热效应相当 有 效 值 概 念
有效值 电量必须大写 如：U、I
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由向量表示法知
y
(z)
z 2 z1 — 点z1与z 2 之间的距离
由此得 : z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 z 2 z1 (三角不等式 )
z1
z2 x
o 4. 指数表示法
3. 三角表示法
x r cos 由 得 y r sin
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第4章正弦交流电路的基本概念
u du WC = ∫ pdt = ∫ Cu dt = ∫ Cudu −∞ u0 −∞ dt 1 2 1 2 = Cu − Cu 0 2 2
du p = ui = u ⋅ C dt
t
t
结论:电容为储能元件 具有存储电场能量 储能元件， 存储电场能量的作用 结论:电容为储能元件，具有存储电场能量的作用
def
α
0 u
常数C称为电容器的电容 常数C称为电容器的电容
q C = u
(Farad，法拉) (Farad，法拉)
SI单位 单位： (法 电容 C 的SI单位：F (法)
常用单位： F)， F)， 常用单位：µF（10-6F)，nF(10-9F)，pF(10-12F)
符号： 符号： + u –
i 电容对直流 电容对直流 相当于开路 相当于开路
L 10Ω 10Ω u + C –
5
i
L + 10Ω u 10Ω –
C
电容元件与电感元件的比较： 电容元件与电感元件的比较： 电容 C 变量 电压 u 电荷 q
q = Cu du dt 1 WC = Cu 2 2 i=C
电感 L 电流 i 磁链 ψ
ψ = Li
di dt 1 W L = Li 2 2 u= L
5∠47o + 10∠ − 25o = (3.41+ j3.657) + (9.063 − j4.226)
= 12.47 − j0.569 = 12.48∠ − 2.61o
乘除运算——采用极坐标形式 (2) 乘除运算 采用极坐标形式
若
A1=|A1| ψ 1 ，A2=|A2| ψ 2
则:
A ⋅ A2 = A e jψ1 ⋅ A2 e jψ2 = A A2 e j(ψ1+ψ2 ) = A A2 ∠ψ1 +ψ2 1 1 1 1
du p = ui = u ⋅ C dt
t
t
结论:电容为储能元件 具有存储电场能量 储能元件， 存储电场能量的作用 结论:电容为储能元件，具有存储电场能量的作用
def
α
0 u
常数C称为电容器的电容 常数C称为电容器的电容
q C = u
(Farad，法拉) (Farad，法拉)
SI单位 单位： (法 电容 C 的SI单位：F (法)
常用单位： F)， F)， 常用单位：µF（10-6F)，nF(10-9F)，pF(10-12F)
符号： 符号： + u –
i 电容对直流 电容对直流 相当于开路 相当于开路
L 10Ω 10Ω u + C –
5
i
L + 10Ω u 10Ω –
C
电容元件与电感元件的比较： 电容元件与电感元件的比较： 电容 C 变量 电压 u 电荷 q
q = Cu du dt 1 WC = Cu 2 2 i=C
电感 L 电流 i 磁链 ψ
ψ = Li
di dt 1 W L = Li 2 2 u= L
5∠47o + 10∠ − 25o = (3.41+ j3.657) + (9.063 − j4.226)
= 12.47 − j0.569 = 12.48∠ − 2.61o
乘除运算——采用极坐标形式 (2) 乘除运算 采用极坐标形式
若
A1=|A1| ψ 1 ，A2=|A2| ψ 2
则:
A ⋅ A2 = A e jψ1 ⋅ A2 e jψ2 = A A2 e j(ψ1+ψ2 ) = A A2 ∠ψ1 +ψ2 1 1 1 1
第4章正弦交流电路
L
di dt
（1）函数表示：
-
u L eL
+
设：i 2 I sin (ω t i )
U
u
u L d( 2Isin(ωt i ))
dt
2 Iω Lsin(ω t i 90)
得：① u 和 i 频率相同
②大小关系： U L I X LI
令：XL ωL 2πfL 称为感抗
90
③相位关系 ：u 超前 i 90度
.
.
.
.
U1 U2 .......... Un 0或 U 0
例2: 图示电路是三相四线制电源， 已知：三个电源的电压分别为：
uA 220 2 sin314 t V
uB 220 2 sin (314 t 120 )V uC 220 2 sin (314 t 120 )V
试求: (1) 各电压的相量；（2）求 uAB； （3）画出相量图。
i
t
③相位关系 ：u、i 相位相同
相位差 ： u i 0
波形图
（2）相量表示：
i Imsin(ωt i ) 2Isin(ωt i )
u iR ImRsin(ωt ψi ) 2IRsin (ωt ψu ) I I ψi
U U ψu IR ψu RI ψi IR
I
相量图 U
u 2I ω Lsin ( ω t 90 )
p i u 2 2 UI sinω t sin( ω t 90)
UI 2sinω t cosω t U I sin2ω t
瞬时功率波形分析：
u
i T
T 3T
4
24
o
T ωt
(2) 平均功率
P 1
T
4正弦交流电路
−1
θ
Re 0 a
a = r cos θ b = r sin θ
r = a +b θ = arctg b a
2 2
②三角形式
A = r cos θ + jr sin θ
欧拉公式） e = cos θ + jsin θ（欧拉公式） jθ A = re = r cos θ + jr sin θ
jθ
③指数形式
u
波形图
U
T
m
ϕ
ωt
瞬时值
u = U m sin (ω t + ϕ )
& U
相量图
ϕu
复数 符号法
& = a + jb =U e jϕ ⇒ U ∠ϕ U
提示
计算相量的相位角时， 计算相量的相位角时，要注意所在 象限。 象限。如：
& U = 3 + j4
u = 5 2 sin(ω t + 53 ⋅1 )
两种正弦信号的关系
同 相 位
i2
ψ1 =ψ 2
ψ2 ψ1
i2
i1 i1
t
t
ϕ =ψ1 −ψ2 =0
i1
与
相 位 领 先 相 位 落 后
ϕ =ψ1 −ψ 2 > 0
i2同相位
ψ1 ψ2
i1
ψ2
ψ1
i1 领先于 i2
ϕ =ψ1 −ψ2 < 0
i2
t
i1 落后于 i2
三相交流电路：三种电压初相位各差120 三相交流电路：三种电压初相位各差120ο。
新问题提出： 新问题提出： 提出 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 平行四边形法则可以用于相量运算，但不方便。 故引入相量的复数运算法。 故引入相量的复数运算法。 相量的复数运算法 相量 复数表示法 复数运算
第4章 正弦交流电路
i
t
i sin 1000 t 30
重点 必须 小写
瞬时值表达式
相量
前两种不便于运算，所以引入相量表示法。
江苏大学电工电子教研室 江苏大学电工电子
第4章 正弦交流电路
一、复数
复数表示形式（4种） 设A为复数: (1) 代数式 A =a + jb
令一直角坐标系的横轴 表示复数的实部，称为实轴， 以+1为单位；纵轴表示虚部， 称为虚轴，以+j为单位。 +j
U 2
U
同频率正弦波的 相量画在一起， 构成相量图。
2
1
U 1
U U U 1 2
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第4章 正弦交流电路
符号说明
瞬时值 --- 小写 u、i
有效值 --- 大写
U、I
最大值 --- 大写+下标
Um
+ ―.‖
复数、相量 --- 大写
(2) 极坐标式
Ar ψ
(3) 三角式 A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ j sin ψ ) jψ 由欧拉公式得: e cos ψ j sin ψ (4) 指数式
jψ
b
0
A
Are jψ A a jb r cos j r sin re r ψ
电工技术（电工学 电工技术（电工学I I） ）
第4章
第二章 电路的分析方法 the method of analyzing circuit
正弦交流电路
江苏大学 江苏大学 电气信息工程学院 电气信息工程学院
School ofof electric and information ，UJS School electric and information ，UJS
正弦交流电路
电感电路复数形式的欧姆定律
U 超前 I90
U
I
相量图
2019年9月15日星期日
广东海洋大学
电工技术
第 4章
2. 功率关系
i 2I sinω t u 2I ω Lsin ( ω t 90 )
(1) 瞬时功率
p i u Um Im sinω t sin( ω t 90)
有效值: U I ω L
或 I U
L
定义： XL L 2 f L 感抗(Ω )
则: U I X L
XL 2 π fL
直流：f = 0, XL =0，电感L视为短路
交流：f
XL
电感L具有通阻交的作用
2019年9月15日星期日
广东海洋大学
电工技术
第 4章
XL ω L2 π f L
相量表示:
U Ue j ψ U ψ 相量的模=正弦量的有效值
相量辐角=正弦量的初相角 电压的有效值相量
或：
Um Umejψ Um ψ
相量的模=正弦量的最大值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的最大值相量
2019年9月15日星期日
广东海洋大学
电工技术
第 4章
说明：
1、相量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
Um
Im
sinω
t
cos
ω
t
Um Im 2
sin2ω t
UI sin2 ωt
感抗XL是频率的函数
根据： i 2I sinω t
I , XL
I U
2fL X L
O
f
u 2I ω Lsin ( ωt 90 )
第四章正弦交流电路的基本概念
电压超前电流
u i
u i
O
ωt
ψ1 ψ2 0 电流超前电压 u i u i
O
ωt
ψ 1 ψ 2 90 电流超前电压90 u i u i
O 90°
ωt
ψ1 ψ2 0 电压与电流同相 u i u
i O ωt
ψ 1 ψ 2 180 电压与电流反相 u i u i
e
j90
j 90
cos 90 j sin 90 j
B
+j
设相量 A re jψ
相量 A乘以 e -j90 ， ，得到C A将顺时针旋转 90°
o
ψ
+1
C
相量 A 乘以 e j 90 ， ，得到 B A 将逆时针旋转 90°
A
正误判断
1.已知： u 220 sin ( ω t 45 )V
• U 220
3.已知： 4 e j30 A 复数 I
4 2 sin ( ω t 30 )A ？
瞬时值
45 V
？
j45
有效值
45 U m 220 e V
？
4.已知：
U 100 15 V
⑤相量的书写方式 I 模用最大值表示 ，则用符号： U m 、 m
I 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、
如：已知 u 220 sin ( ω t 45 )V
220 j45 j45 U m 220 e V或 U e V 则 2
⑥“j”的数学意义和物理意义 旋转 90° 因子： e
u i
u i
O
ωt
ψ1 ψ2 0 电流超前电压 u i u i
O
ωt
ψ 1 ψ 2 90 电流超前电压90 u i u i
O 90°
ωt
ψ1 ψ2 0 电压与电流同相 u i u
i O ωt
ψ 1 ψ 2 180 电压与电流反相 u i u i
e
j90
j 90
cos 90 j sin 90 j
B
+j
设相量 A re jψ
相量 A乘以 e -j90 ， ，得到C A将顺时针旋转 90°
o
ψ
+1
C
相量 A 乘以 e j 90 ， ，得到 B A 将逆时针旋转 90°
A
正误判断
1.已知： u 220 sin ( ω t 45 )V
• U 220
3.已知： 4 e j30 A 复数 I
4 2 sin ( ω t 30 )A ？
瞬时值
45 V
？
j45
有效值
45 U m 220 e V
？
4.已知：
U 100 15 V
⑤相量的书写方式 I 模用最大值表示 ，则用符号： U m 、 m
I 实际应用中，模多采用有效值，符号： U 、
如：已知 u 220 sin ( ω t 45 )V
220 j45 j45 U m 220 e V或 U e V 则 2
⑥“j”的数学意义和物理意义 旋转 90° 因子： e
电工基础_第4章正弦交流电路.ppt
4．2．1复数 ． ． 复数
A = re jϕ 复数的极坐标形式 ： A = r∠ϕ
复数的指数形式 ： 实部相等、虚部大小相等而异号的两个复数叫做共轭复数 共轭复数。用A*表示A的共 共轭复数 轭复数，则有 A=a+jb A*=a-jb 例4.5 写出下列复数的直角坐标形式。
（1）5∠48°
1 （2） ∠90°
图4.6 矢量和与矢量差
4.2.2 复 数 的 运 算
2．复数的乘除 ．
两个复数进行乘除运算时，可将其化为指数式或极坐标式来进行。
如： A1=a1+jb1= r1∠ϕ1 A2=a2+jb2 =r2 ∠ϕ 2
A1 r1∠ϕ1 r1 = = ∠(ϕ1 − ϕ 2 ) A2 r2 ∠ϕ 2 r2
如将复数 A1 = re jϕ 乘以另一个复数 e jα ，则得
4．1．2正弦交流电的基本特征和三要素 ． ． 正弦交流电的基本特征和三要素
例4.4 已知某正弦电压在 t = 0时 为110 2 V，初相角为 30°，求其 有效值。 解：此正弦电压表达式为
u = U m sin(ωt + 30°)
则
u (0) = U m sin 30°
图4.4 正弦量的同相与反相 u ( 0) 110 2 Um = = V = 220 2V sin 30° 0.5
图4.12 交流异步电动机的等效电路模型
4．4 电阻、电感、电容电路
案例4.3 在照明电路中使用的白 案例 炽灯为纯电阻性负载，日光灯属于 感性负载，家用风扇为单相交流电 动机，它的等效电路如图4.13所示。 图中U1、U2为工作绕组，V1、V2 为起动绕组，它们实际上是纯电阻 与纯电感相串联。由图中可知，风 扇是一种电阻、电感和电容混联的 负载。
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(2)相量图: --把相量表示在复平面的图形(可省略坐标轴)。
有效值 U
U
初相位
在画相量图时，为了方便，常选择一个相量作为参考相 量，将其初相位定为0 。
例1. 试写出表示 uA=220 2 sin314 t V ,
uB 220 2sin(314t-1200) V ,
uC 220 2sin(314t 1200) V
设正弦交流电流： i =Imsint
热效应相当
有效值(均方根值)
与交流热效应相等 的直流定义为交流电的
T i
2R
dt
I 2RT
0
有效值。
交流
直流
则有 I
有效值 必须大写
1 T i2dt
T0
1 T
T 0
Im2 sin2 ω t dt
Im 2
同理： U Um 2
E Em 2
注意： ➢交流电压、电流表测量数据为有效值； ➢交流设备名牌标注的电压、电流均为有效值。
④极坐标式 A r
A a jb rcos jrsin re jψ rψ
(2)复数的运算 ①加减运算 --用代数式简单
A=a1+jb1 B=a2+jb2
A+B =(a1+a2)+j(b1 +b2) A-B =(a1-a2)+j(b1 -b2)
②乘除运算 --用指数式、极坐标式简单
A r11B r22
第4章 正弦交流电路
4.1 正弦电压与电流 4.2 正弦量的相量表示法 4.3 单一参数的交流电路 4.4 RLC串联的交流电路 4.5 阻抗的串联和并联 4.7 交流电路的频率特性 4.8 功率因数的提高
4.1 正弦电压与电流
前面第1、第2章分析的是直流电路，其中的电压和电 流的大小和方向是不随时间变化的。
小 常 识
➢高频炉频率：200 ~ 300 kHz ➢中频炉频率：500 ~ 8000 Hz
➢无线通信频率： 30 kHz ~ 3×104 MHz
4.1.2 幅值与有效值 i
Im
t
0
瞬时值： 正弦量在任一瞬间的值 用小写字母表示 如e、i、u等
幅值(最大值)： 瞬时值中最大的值 用带下标m的大写字母表示 如Em、Im、Um等
I, U
0
t
直流电压和电流
正弦量： 按照正弦规律周期性变化的量。 注意：用余弦表示的也称正弦量。 参考方向： 正半周时的方向
ui
+
实际方向和参考方向一致
i
+
_
t
_ _u
R
正半周
实际方向和参考方向相反
_
i
+
_u
R
负半周
设正弦交流电流：
i
Im
O
2
t
T
i Im sin t
初相位：决定正弦量起始位置
AB r1r2(1 2 )
A B
r1 r2
(1
2 )
模相乘除 辐角相加减
2.相量的两种表示形式
相量: 表示正弦量的复数称相量
设正弦量: u Umsin( ωt ψ)
(1)相量式:
①有效值相量
•
U U (cos j sin ) Ue j
U
②幅值相量
•
U m Um (cos j sin ) Ume j Um
相位差： 两同频率的正弦量之间的相位之差。
设： u Umsin(ωt ψ1 )
i Imsin(ωt ψ2 )
ui u i
( t 1 ) ( t 2 )
O
ωt
ψ1 ψ2
若 =(1 – 2) > 0 电压超前电流
ψ1 ψ2 0
电流超前电压| |
ui i
u
ψ1 ψ2 90
③相量的书写方式：用大写字母表示，并在字母上打“.”。
幅值相量：U m 、I m 、Em
有效值相量：U 、I 、E
④只有同频率的正弦量才能画在一张相量图上。
角频率：决定正弦量变化快慢
幅值：决定正弦量的大小
正弦量的三要素：幅值、角频率、初相位。
4.1.1 频率与周期
i
O
T
t
周期T: 正弦量变化一次所需要的时间(s)
频率f： 每秒变化的次数(Hz) f 1 T
角频率： 每秒变化的弧度(rad/s)
2 2 f
T
➢电网频率：中国 50 Hz 美国 、日本 60 Hz
电器 最高耐压300V
电源电压
有效值 U = 220V 最大值 Um =311V
不能！
4.1.3 初相位 相位：表示正弦量的变化进程，也称相位角。 初相位：t =0时的相位，也称初相角。
i Im sin t
相位：t
初相位：
i
ψ
t
通常用小于180O 角度表示
说 明 初相位给出了观察正弦波的起点或参考点。
二、正弦量的相量表示 实质：用复数表示正弦量
1.复数有关内容复习 (1)复数表示形式
+j
b
A
r
①代数式 A = a + jb
0 a +1
②三角式 A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ jsin ψ)
其中： r a2 b2
③指数式 A rejψ
ψ arctan b a
因正弦量经过加、减运算后角频率()不变，所以， 以后讨论同频率正弦量时，可不考虑，主要研究幅度与
初相位的变化。
返回
4.2 正弦量的相量表示法
一、正弦量的表示方法
①三角函数式： u Um sin(t )
u
②正弦波形图: ③相量法：
+
0
_
t
当参与运算的正弦量为同频率正弦量时，用相量表 示和计算可以使正弦电路的计算简化。
的相量，并画出相量图。
UC
•
解： U A 22000 220 V
120
UA
•
U
B
220 1200
220(
1
j
3) V
22
•
UC
2201200
220( 1
j
3) V
22
120
UB
相量图
注意: ①相量只是表示正弦量，而不等于正弦量；
？ i Imsin(ωt ψ) = Imejψ Imψ
②只有正弦周期量才能用相量表示；
电流超前电压90o
ui u i
0
ωt
O
ωt
ψ1 ψ2 0
电压与电流同相 ui u
i
0
ωt
ψ1 ψ2 180
电压与电流反相 ui u
i
0
ωt
注意:
①不同频率的正弦量比较无意义；
②两同频率的正弦量之间的相位差为常数，与计时的选
择起点无关。
i i1
i2
O
t
③的取值范围||≤
正弦量的基本性质 1.同频率正弦量的和或差仍为同频率的正弦量； 2.正弦量的微分或积分仍为同频率的正弦量。
例4.1.2已知 u= Umsint , Um =310V, f =50Hz，试求有效值
U 和 t =0.1s 时的瞬时值。
解： U U m 310 220V 22
u
Um
sin 2
ft
310sin 100
10
0
？若购得一台耐压为 300V的电器，能否接在220V 的交流电上?
~ 220V