第11章 光学
物理光学-第十一章光的干涉和干涉系统
双光束干涉： I = I1 + I 2 + 2 I1 I 2 cos k∆
1.光程差计算
∆ = n( AB + BC) − n′AN 其中： AB = BC = h cosθ 2
n'
AN = AC sin θ1 = 2htgθ 2 sin θ1 n′ sin θ1 = n sin θ 2
n
29
π phase change
对于亮条纹，∆＝mλ；有： mλ
(
x2
) (d 2 ) + (mλ 2 ) 2
2 2
−
y2 + z2
2
=1
15
局部位置条纹
在三维空间中，干涉结果：
等光程差面
16
§11－3 干涉条纹的可见度 － The visibility (contrast) of interference fringes
可见度(Visibility, Contrast)定义： 定义： 可见度 定义 K = (IM − Im ) (IM + Im )
干涉项 I12 与两个光波的振动方向 ( A1 , A 2 ) 和位相 δ有关。
5
干涉条件（必要条件）： 干涉条件（必要条件）：
(1)频率相同， 1 − ω2 = 0; ω (2)振动方向相同，1 • A2 = A1 A2 A (3)位相差恒定，1 − δ 2 = 常数 δ
注意：干涉的光强分布只与光程差 k • (r1 − k 2 ) 有关。
1
干涉现象实例（ Examples） 干涉现象实例（Interference Examples）
2
2
3
二、干涉条件 一般情况下， 一般情况下，
大学物理-11章：几何光学(1)
当透镜厚度与其曲率半径相比不可忽略不计时，称为厚透镜。
§3 薄透镜成像
二、薄透镜焦点和焦平面 焦点F，F'
像方焦平面：在近轴条件，过像方焦点F且与主轴垂直的平面。 物方焦平面：在近轴条件，过物方焦点F且与主轴垂直的平面。
P'
F
O
F'
O
P
特点
①所有光线等光程 ②过光心的光线不改变方向
§3 薄透镜成像
ic
arcsin
n2 n1
就不再有折射光线而光全部被反射，这种对光
线只有反射而无折射的现象叫全反射．
光学纤维—直径约为几微米的单根（多根）玻璃（透明塑料）纤维 原理：利用全反射规律
内层：n1 1.8 外层：n2 1.4
i2 ic
i2 ic 的光线在两层介质间多次
全反射从一端传到另一端
n0
i0
相当于光用相1 同B n的d时l 间在真
空中传播的路c 程A
为什么要引入光程的概念？
同频率的两束光波，分别在两种不同的介质中传播，在相同 的传播时间内，两光波所传播的几何路程不同：
t l1 l2 l1 l2
1 2 c / n1 c / n2
t c n1l1 n2l2
相同的时间内传播的几何路程不同，但光程相同。 借助光程，可将光在各种介质中走过的路程 折算为在真空中的路程，便于比较光在不同 介质中传播所需时间长短。
如果有另一点C’位于线外，则对应于C’，必可在 OO’线上找到它的垂足C’’
因为 AC' AC'' C' B C'' B AC'C' B AC''C'' B 而非极小值．
11--光的衍射
P1
x f tg 1 f sin 1 f a
l0 2 x 2 f
1
f
x O
a
5 mm
(2)第一级明纹宽度为第一级暗纹和第二级暗纹间的距离
2 f l f sin 2 f sin 1 f ( ) 2.5 mm a a a
A
1BC b sin 2
2
2个波带
bO
B
C
AO和OB波带上对应点发出的子波到达Q
点时的位相差为,相互干涉抵消----Q点 为暗纹
2 BC b sin 3
2
A
3个波带
b
A1 A2
剩余有一个波带未被抵消----Q点为明纹
B
C
3BC b sin n n 1,2n个波带
P
S
I
2 b b
2
b b
sin
2. 衍射图像的分布规律----菲涅尔半波带法
A
Q
b
A1
A2 A3
C
O
B
f
P
B点和A点的子光线的光程差： BC b sin
K t r E C cos 2 dS r T
P
P
S
S
二、惠更斯－菲涅尔原理
惠更斯原理可以定性地解释波的衍射现象,但是其不能够 定量地给出衍射波在空间各点波的强度 从同一波面上各点发出的子波是相干波,在传播到空间某 一点时,各子波进行相干叠加的结果,从而决定了该处的 波的振幅------子波想干叠加----惠更斯－菲涅尔原理 P点光矢量E的大小：
大学物理B2_第11章_3
正多边形孔衍射
20
第十一章 光学3
二、惠更斯-菲涅耳原理 1. 定义： n S 波在传播过程中，从同 θ r 一波阵面上各点发出的子 P ds 波，经传播在空间某点相 遇时，将产生相干叠加。 2. 菲涅耳衍射积分公式： 波阵面S上各点(面元所发出的子波在场点P引起的合振动为：
其中F( )为倾斜因子
光的干涉小结：
D 双缝干涉明纹极大 1. 杨氏双缝干涉： x k , k 0,1, 2,3,... d D x (2k 1) , k 0,1, 2,3,...... 双缝干涉暗纹极小 d 2
2014年10月15日星期三
D 双缝干涉明、暗条纹间距 x x k 1 x k d 2. 薄膜干涉： 2d n 2 n 2 sin 2 i 2 1 2 k 垂直入射： 2dn 2 (2k 1) 2 2. 劈尖、牛顿环： k 2 2d k n r 2Rdk 2 (2k 1) 2
2014年10月15日星期三
条纹间距
d
n h
8
第十一章 光学3
例2.用劈尖法可检测工件表面缺陷，平行单色光垂直入射时，观察 到的干涉条纹如图所示，每一条纹弯曲部分的顶点恰好与其左边条 纹的直线部分的连线相切，则工件表面与条纹弯曲处对应的部分是 A. 凸起，且高度为 /4； B. 凸起，且高度为 /2； C. 凹陷，且高度为 /2； D. 凹陷，且高度为 /4。 解： 由于相邻明纹或暗纹所对应的 h 膜厚之差为：
b
明纹
暗纹
明暗纹之间的膜厚度差
5.明、暗条纹间距
d dk明 dk暗 4n
d d b tan sin
[工学]工程光学第十一章光的衍射
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三、基尔霍夫衍射公式的近似
i ~ E x , y A E x , y exp i kr dx dy 1 1 1 1 z
1、菲涅耳近似（对位相项的近似） ikz e k ~ ~ 2 2 E x , y E x , y exp i x x y y dx dy 1 1 1 1 1 1 i z 2 z 1
在无透镜时，观察点为P’；有透镜时，在透镜焦平面上为P
z x xf 1
加有透镜之后，在公式中 Z1 由 f ' 代替。计算公式变为：
x y ~ E x , y C E x , y exp i k x y dx dy 1 1 1 1 1 1 f f
r P
Z'
子波向P点的球面波公式 子波法线方向的振幅 子波振幅随角的变化
i kr ~ ~exp d E P CK E d Q r
菲涅尔假设： 当 = 0 时，K()=Max, p/2 时，K()=0.
（实验证明是不对的）
P点产生的光振动的复振幅为：
当 0 时， K 1
当 p 时， K 0
p 说明菲涅耳关于次波的 假设 K 是不正确 0 2
将近似条件代入基尔霍夫公式得到近似式：
x p i k R e x p i k r 1e E P A 1 c o s d 2 i R r
y
y1 x1 Q C z1 K r
P
x
P0 E
3.夫琅合费近似 继续展开
2 2 x x y y 1 1 r z 1
第11章光学习题及答案
第11章习题及其答案1、在双缝干涉实验中，入射光的波长为λ，用玻璃纸遮住双缝中的一个缝，若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大2.5 λ，则屏上原来的明纹处 [ ] (A) 仍为明条纹； (B) 变为暗条纹；(C) 既非明纹也非暗纹； (D) 无法确定是明纹，还是暗纹．2、一束波长为λ的单色光由空气垂直入射到折射率为n 的透明薄膜上，透明薄膜放在空气中，要使反射光得到干涉加强，则薄膜最小的厚度为[ ] (A) λ / 4 ． (B) λ / (4n )．(C) λ / 2 ． (D) λ / (2n )．3、在玻璃(折射率n 2＝1.60)表面镀一层MgF 2 (折射率n 2＝1.38)薄膜作为增透膜．为了使波长为500 nm(1nm=109m)的光从空气(n 1＝1.00)正入射时尽可能少反射，MgF 2薄膜的最少厚度应是[ ](A) 78.1 nm (B) ) 90.6 nm (C) 125 nm (D) 181 nm (E) 250nm4、在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一折射率为n ，厚度为d 的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了 [ ](A) 2 ( n -1 ) d ． (B) 2nd ．(C) 2 ( n -1 ) d +λ / 2． (D) nd ． (E) ( n -1 ) d ．5、在迈克耳孙干涉仪的一支光路中，放入一片折射率为n 的透明介质薄膜后，测出两束光的光程差的改变量为一个波长λ，则薄膜的厚度是 [ ] (A) λ / 2． (B) λ / (2n )．(C) λ / n ． (D)()12-n λ．6、在单缝夫琅禾费衍射实验中，波长为λ的单色光垂直入射在宽度为a ＝4 λ的单缝上，对应于衍射角为30°的方向，单缝处波阵面可分成的半波带数目为 [ ] (A) 2 个． (B) 4 个．(C) 6 个． (D) 8 个．7、一束波长为λ的平行单色光垂直入射到一单缝AB 上，装置如图．在屏幕D 上形成衍射图样，如果P 是中央亮纹一侧第一个暗纹所在的位置，则BC 的长度为 [ ] (A) λ / 2．(B) λ．(C) 3λ / 2 ． (D) 2λ ．8、一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数(a + b)为下列哪种情况时(a代表每条缝的宽度)，k=3、6、9 等级次的主极大均不出现？[ ](A) a＋b=2 a．(B) a＋b=3 a．(C) a＋b=4 a．(A) a＋b=6 a．9、某元素的特征光谱中含有波长分别为λ1＝450 nm和λ2＝750 nm (1 nm＝10-9 m)的光谱线．在光栅光谱中，这两种波长的谱线有重叠现象，重叠处λ2的谱线的级数将是[ ](A) 2 ，3 ，4 ，5 ．．．．．．(B) 2 ，5 ，8 ，11．．．．．．(C) 2 ，4 ，6 ，8 ．．．．．．(D) 3 ，6 ，9 ，12．．．．．．10、波长λ=550 nm(1nm=10−9m)的单色光垂直入射于光栅常数d=2×10-4 cm的平面衍射光栅上，可能观察到的光谱线的最大级次为[ ](A) 2．(B) 3．(C) 4．(D) 5．11、如果两个偏振片堆叠在一起，且偏振化方向之间夹角为60°，光强为I0的自然光垂直入射在偏振片上，则出射光强为[ ](A) I0 / 8．(B) I0 / 4．(C) 3 I0 / 8．(D) 3 I0 / 4．12、自然光以60°的入射角照射到某两介质交界面时，反射光为完全线偏振光，则知折射光为(A) 完全线偏振光且折射角是30°．(B) 部分偏振光且只是在该光由真空入射到折射率为3的介质时，折射角是30°．(C) 部分偏振光，但须知两种介质的折射率才能确定折射角．(D) 部分偏振光且折射角是30°．［］13、波长为λ的平行单色光，垂直照射到劈形膜上，劈尖角为θ，劈形膜的折射率为n，第三条暗纹与第六条暗之间的距离是_____________．14、波长为600 nm的单色平行光，垂直入射到缝宽为a=0.60 mm的单缝上，缝后有一焦距f'=60 cm的透镜，在透镜焦平面上观察衍射图样．则：中央明纹的宽度为__________，两个第三级暗纹之间的距离为____________．(1 nm=10﹣9 m)15、波长为λ的单色光垂直入射在缝宽a=4 λ的单缝上．对应于衍射角ϕ=30°，单缝处的波面可划分为______________个半波带．16、用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上时，波长为λ1=440 nm 的第3级光谱线将与波长为λ2=________nm 的第2级光谱线重叠．(1 nm =10 –9 m)17、用相互平行的一束自然光和一束线偏振光构成的混合光垂直照射在一偏振片上，以光的传播方向为轴旋转偏振片时，发现透射光强的最大值为最小值的5倍，则入射光中，自然光强I 0与线偏振光强I 之比为__________。
第11章光的衍射
D sin 1 1.22 1 sin 1 1.22 D
D
D=2R f L
21
d
爱 d 里 I 斑 r
r I
称之为最小分辨角 D为光学仪器的孔径 1.22
定义：光学仪器分辨率 R分 结论：提高光学仪器分辨率的途径： 1）加大光学仪器的孔径； 目前天文望远镜孔径最大已达5米，最小 分辩角达1.5510-7弧度. 2）减小波长--电子显微镜(=1埃)
三、菲涅耳衍射和夫琅和费衍射
菲涅耳衍射是研究光源附近的衍射效应，称近场衍射。 因光源或显示屏同衍射物距离较近，所以不是平行光。
S 屏
夫琅和费衍射是研究衍射物无限远处的衍射，称远场 衍射。因距离都较远，所以是平行光。
可用会聚透镜来实现
S 屏
§11－2单缝衍射
一、单缝衍射公式的导出
1、单缝衍射实验装置
ab d k k' k ' (3) a a
k ' 1. 2. 3...
综合： 如果只有衍射： -2 -1
I
1 I 2
如果只有干涉：
干涉、衍射均有之：
-2
缺 级
I
缺 级
2
-5 -4
-2 -1
1
2
4
5
（3）光栅明纹主极大条件： 同时满足：a b)sin (
a sin k '
2 的单缝衍射极小是： a sin 2 k22 k2 1、 2
1 2 k2 2k1
的各级暗纹均重合。
二、单缝衍射图样的特征
1、中央明纹强度最大。各级明纹的光强度随衍射
角 的增加而迅速减小。
2、中央明纹的宽度（中央明纹两侧的第一级暗纹的 距离）： 暗纹 a sin k 1
大学物理B2_第11章_5
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14
第十一章 光学5
例2.为测定一给定光栅的光栅常数，用He-Ne激光器（632.8nm） 的红光垂直照射光栅，已知第一级明纹出现在38°方向上。问:
(1) 该光栅的光栅常数是多少？1cm内有多少条缝？ (2) 第二级明纹出现在什么方向上？ 解：(1)
P
d sin k
A5 A4 A3
6
3 2
1
5
A6
3
A1
A2
2 4 6
1
4
1
1
6 2 5 5
2
3 5
6
3
3 4
2 3
4
4 3
5 3
3. 明纹次极大条件 相邻暗条纹之间必定有明纹，称为明纹次极大。相邻主极大之 间有N-2个次极大。 8
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振动通过，这一方向称为偏振片的偏振化方向。或称透光轴。
d b b
1 6 1 . 25 10 m 1.25m cm 8000
如进口光栅1英吋上分布有12000条缝，它的光栅常数为： 2.54102 6 2 . 12 10 m d m 12000 二、光栅衍射的实验装置 1. 装置: 一束平行单色光垂直照射在光栅上，光栅常数为d，
d (sin sin ) k
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k 0,1,2,...
12
第十一章 光学5
五、衍射光谱 如果是复色光同时入射在光栅上，在屏上将出现光栅光谱。 复色光
屏
f
0 x
k 1
0
k 1
k2
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11-11 由汞弧灯发出的光，通过一绿色滤光片后，照射到相距为0.60mm 的双缝上，在距双缝2.5m 远处的屏幕上出现干涉条纹。
现测得相邻两明条纹中心的距离为2.27mm ，求入射光的波长。
解：由公式 λdDx =∆得)(105.55.2106.01027.2733m D d x ---⨯=⨯⨯⨯=⋅∆=λ11-12 在双缝装置中，用一很薄的云母片(n = 1.58)覆盖其中的一条狭缝，这时屏幕上的第七级明条纹恰好移到屏幕中央原零级明条纹的位置。
如果入射光的波长为550nm ，则这云母片的厚度应为多少？解：设云母片的厚度为e ，根据题意，插入云母片而引起的光程差为λδ7)1(=-=-=e n e ne )(106.6158.11055071769m n e --⨯=-⨯⨯=-=λ11-16 波长范围为400-700nm 的白光垂直入射在肥皂膜上，膜的厚度为550nm ，折射率为1.35，试问在反射光中哪些波长的光干涉加强？哪些波长的干涉光相消？解：垂直入射时，考虑到半波损失，反射干涉光的光程差为 22λδ+=ne当λλk ne =+22，k = 1，2，…时，干涉相长，211055.035.122123-⨯⨯⨯=-=k k ne λ，取k = 3时，λ = 594nm ；取k = 4时，λ = 424nm 。
当2)12(22λλ+=+k ne ，k = 0，1，2，…时，干涉相消，kne 2=λ，取k = 3，λ = 495nm 。
11-18 有一楔形薄膜，折射率n = 1.4，楔角rad 410-=θ。
在某一单色光的垂直照射下，可测得两相邻明条纹之间的距离为0.25cm 。
试求：(1) 此单色光在真空中的波长；(2) 如果薄膜长为3.5cm ，总共可出现多少条明条纹？解：(1) 由楔形薄膜的干涉条件得两相邻明条纹间距：θλθλn n x 2sin 2≈=∆所以 x n ∆⋅=θλ2以n = 1.4，rad 410-=θ，△x = 0.25×10-2m 代入上式得 nm m 700107.06=⨯=-λ(2) 在长为3.5×10-2m 的楔形薄膜上，明条纹总数为14=∆=xlm (条)11-21 (1) 若用波长不同的光观察牛顿环，λ1 = 600nm ，λ2 = 450nm ，观察到用λ1时的第k 个暗环与用λ2时的第k +1个暗环重合，已知透镜的曲率半径是190cm 。
求用λ1时第k 个暗环的半径。
(2) 若在牛顿环中波长为500nm 的光的第5个明环与波长为λ的光的第6个明环重合，求波长λ。
解：(1) 牛顿环中k 级暗条纹半径 λkR r k =据题意，当λ1光的第k 级暗条纹与用λ2光的第k +1级暗条纹在r 处重合时满足 1λkR r = ① 2)1(λR k r += ② 由以上两式可得 212λλλ-=k ③将③式代入①式得 2121λλλλ-=R r =1.85×10-3 (m ) (2) 用波长λ1 = 500nm 的光照射，k 1 = 5级的明环与用波长λ的光照射时，k 2 = 6级的明环重合，则有关系式 2)12(2)12(211λλR k R k r -=-=所以，1.4095001621521212121=⨯-⨯-⨯=--=λλk k (nm )11-28 波长为500nm 的平行光线垂直地入射到一宽为1mm 的狭缝，若在缝的后面有一焦距为100cm 的薄透镜，使光线聚焦于一屏幕上，试问从衍射图样的中心点到以下各点的距离如何：(1) 第一级暗纹中心；(2) 第一级明纹中心；(3) 第三级暗纹中心。
解：(1) 单缝衍射各级极小的条件为 asin φ = ±k λ (k = 1，2，…) 衍射图形的第一级极小，可令k = 1求得 它离中心点距离：)(105sin tan 4111m aff f x -⨯====λφφ(2) 第一级明条纹近似位置可由下两式⎩⎨⎧='=φλφtan 5.1sin 1f x a求得 )(75.05.1sin 1mm af f x =⋅=='λφ (3) 第三级极小位置为 )(105.1333m af x -⨯=⋅=λ11-29 有一单缝，宽a = 0.10mm ，在缝后放一焦距为50cm 的会聚透镜，用波长为546nm 的平行绿光垂直照射单缝，求位于透镜焦面处的屏幕上的中央明条纹的宽度。
解：中央明纹角宽度满足公式：λφλ<<-sin na 空气中，n = 1又f >> a ，所以φφtan sin ≈，中央明条纹宽度为)(105.52tan 23m af f x -⨯=⋅==∆λφ11-30 一单色平行光垂直入射于一单缝，其衍射第三级明纹中心恰与波长为600nm 的单色光垂直入射该缝时的第二级明纹中心重合，试求该单色光波长。
解：设该单色光波长为λ，根据题意，2600)122(2)132(⋅+⨯=⋅+⨯λ 得 λ ≈ 429 nm11-34 为了测定一个给定光栅的光栅常数，用氦氖激光器的红光(632.8nm )垂直地照射光栅，做弗朗禾费衍射实验。
已知第一级明条纹出现在38°的方向，问这光栅的光栅常数是多少？1cm 内有多少条缝？第二级明条纹出现在什么角度？ 解：由衍射光栅明纹公式：λφk b a =+sin )(得)(1003.138sin 108.6321sin )(47cm k b a --⨯=︒⨯⨯==+φλ1cm 内缝的条数：341071.911003.11⨯=+⨯=-N (条) 第二级明条纹不出现，因为按公式应有 11003.1108.6322sin 47>⨯⨯⨯=+=--b a k λφ11-33 波长为600nm 的单色光垂直入射在以光栅上。
第二级明条纹出现在20.0sin =φ处。
第四级缺级。
试问：(1) 光栅上相邻两缝的间距是多少？(2) 光栅上狭缝的最小宽度有多大？(3) 按上述选定的a ，b 值，在︒<<︒-9090φ范围内，实际呈现的全部级数。
解：(1) 光栅的明条纹的条件是：λφk b a =+sin )(对应于20.0sin =φ处满足：0.20(a +b ) = 2×600×10-7 可得光栅相邻两缝间的距离(a +b ) = 6.0×10-4cm(2) 由于第四级衍射条纹缺级，即第四级干涉明条纹落在单缝衍射暗条纹上，因此须满足方程组：⎪⎩⎪⎨⎧'==+22sin 4sin )(λφλφk a b a ，解得 k k b a a '⨯='+=-4105.14 取k '= 1，得光栅上狭缝的最小宽度为 1.5×10-4cm 。
(3) 由λφk b a =+sin )(得，λφsin )(b a k +=当2πφ=时，1010600100.674=⨯⨯=+--λba 所以在︒<<︒-9090φ范围内，实际呈现的全部级数为97653210±±±±±±±=，，，，，，，k 级明条纹(k = ±10时明条纹在φ = 90°处)。
11-35 一双缝，缝间距d = 0.10mm ，缝宽a = 0.02mm ，用波长λ = 480nm 的平行单色光垂直入射该双缝，双缝后放一焦距为50cm 的透镜，试求：(1) 透镜焦平面处屏上干涉条纹的间距；(2) 单缝衍射中央亮纹的宽度；(3) 单缝衍射的中央包线内有多少条干涉的主极大。
解：(1) 由光栅方程λφk d =sin 得 d k k λφ=s i n ，dk k λφ)1(sin 1+=+当φ角很小时，有φφtan sin =，设条纹在屏上位置坐标为x ，得干涉条纹的间距为24.01010.01048050tan tan 1711=⨯⨯⨯==-=-=∆--++d f f f x x x k k k k λφφ (cm ) (2) 中央亮纹宽度为 4.21002.010********0=⨯⨯⨯=⋅=∆--a f x λ (cm ) (3) 由缺级公式 k k k a d k '='='=502.010.0，取k '= 1，得k = 5，说明第五级正好在单缝衍射第一暗纹处，因而缺级，则中央包线内有9条干涉主极大。
11-40 将偏振化方向相互平行的两块偏振片M 和N 共轴平行放置，并在它们之间平行地插入另一块偏振片B ，B 与M 的偏振化方向之间的夹角为θ。
若用强度为I 0的单色自然光垂直入射到偏振片M 上，并假定不计偏振片对光能量的吸收，试问透过检偏器N 的出射光将如何随角θ而变化？解 根据马吕斯定律可得出射光强θ20c o s21I I =11-41 根据布儒斯特定律可以测定不透明介质的折射率。
今测得釉质的起偏振角 580=i ，试求它的折射率。
解 根据布儒斯特定律，釉质的折射率 60.158tan tan 0=== i n11-42 水的折射率为1.33，玻璃的折射率为1.50，当光由水中射向玻璃而反射时，起偏振角为多少？当光由玻璃射向水中而反射时，起偏振角又为多少？这两个起偏振角的数值间是什么关系？解 根据布儒斯特定律，设光由水射向玻璃的起偏振角为i 0，由玻璃射向水的起偏振角为0i '，则33.150.1tan 0==水玻n n i ，62480'= i 50.133.1tan 0==玻水n n i ，43410'= i 可见，两角互余。