中考数学专题突破几何综合

2016年北京中考专题突破几何综合在北京中考试卷中，几何综合题通常出现在后两题，分值为8分或7分．几何综合题主要包含三角形(全等、相似)、四边形、锐角三角函数、圆等知识，主要研究图形中的数量关系、位置关系、几何计算以及图形的运动、变换等规律．求解几何综合题时，关键是抓住“基本图形”，能在复杂的几何图形中辨认、分解出基本图形，或通过添加辅助线补全、构造基本图形，或运用图形变换的思想将分散的条件集中起来，从而产生基本图形，再根据基本图形的性质，合理运用方程、三角函数的运算等进行推理与计算．1．[2015·北京] 在正方形ABCD中，BD是一条对角线，点P在射线CD上(与点C，D 不重合)，连接AP，平移△ADP，使点D移动到点C，得到△BCQ，过点Q作QH⊥BD于点H，连接AH，PH.(1)若点P在线段CD上，如图Z9－1(a)．①依题意补全图(a)；②判断AH与PH的数量关系与位置关系，并加以证明．(2)若点P在线段CD的延长线上，且∠AHQ＝152°，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路．(可以不写出计算结果．．．．．．．．．)图Z9－12．[2014·北京] 在正方形ABCD外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，DE，其中DE交直线AP于点F.(1)依题意补全图Z9－2①；(2)若∠PAB＝20°，求∠ADF的度数；(3)如图②，若45°<∠PAB<90°，用等式表示线段AB，FE，FD之间的数量关系，并证明．图Z9－23．[2013·北京] 在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α(0°<α<60°)，将线段BC绕点B 逆时针旋转60°得到线段B D.(1)如图Z9－3①，直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示)；(2)如图②，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．图Z9－34．[2012·北京] 在△ABC中，BA＝BC，∠BAC＝α，M是AC的中点，P是线段BM上的动点，将线段PA绕点P顺时针旋转2α得到线段PQ.(1)若α＝60°且点P与点M重合(如图Z9－4①)，线段CQ的延长线交射线BM于点D，请补全图形，并写出∠CDB的度数；(2)在图②中，点P不与点B，M重合，线段CQ的延长线与射线BM交于点D，猜想∠CDB 的大小(用含α的代数式表示)，并加以证明；(3)对于适当大小的α，当点P在线段BM上运动到某一位置(不与点B，M重合)时，能使得线段CQ的延长线与射线BM交于点D，且PQ＝DQ，请直接写出α的范围．图Z9－45．[2011·北京] 在平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC 于点F.(1)在图Z9－5①中证明CE＝CF；(2)若∠ABC＝90°，G是EF的中点(如图②)，直接写出∠BDG的度数；(3)若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连接DB，DG(如图③)，求∠BDG的度数．图Z9－51．[2015·怀柔一模] 在等边三角形ABC外侧作直线AP，点B关于直线AP的对称点为D，连接BD，CD，其中CD交直线AP于点E.(1)依题意补全图Z9－6①；(2)若∠PAB＝30°，求∠ACE的度数；(3)如图②，若60°<∠PAB<120°，判断由线段AB，CE，ED可以构成一个含有多少度角的三角形，并证明．图Z9－62．[2015·朝阳一模] 在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点D在射线BC上(不与点B，C重合)，连接AD，将AD绕点D顺时针旋转90°得到DE，连接BE.(1)如图Z9－7(a)，点D在BC边上．①依题意补全图(a)；②作DF⊥BC交AB于点F，若AC＝8，DF＝3，求BE的长．(2)如图(b)，点D在BC边的延长线上，用等式表示线段AB，BD，BE之间的数量关系(直接写出结论)．图Z9－73．[2015·海淀一模] 在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，点E是对角线AC上一点，连接DE，∠DEC＝50°，将线段BC绕点B逆时针旋转50°并延长得到射线BF，交ED的延长线于点G.(1)依题意补全图形；(2)求证：EG＝BC；(3)用等式表示线段AE，EG，BG之间的数量关系：________．图Z9－84．[2015·海淀二模] 如图Z9－9①，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝α，D是BC边上一点，以AD为边作△ADE，使AE＝AD，∠DAE＋∠BAC＝180°.(1)直接写出∠ADE的度数(用含α的式子表示)．(2)以AB，AE为边作平行四边形ABFE.①如图②，若点F恰好落在DE上，求证：BD＝CD；②如图③，若点F恰好落在BC上，求证：BD＝CF.图Z9－95．[2015·西城一模] 在△ABC 中，AB ＝AC ，取BC 边的中点D ，作DE ⊥AC 于点E ，取DE 的中点F ，连接BE ，AF 交于点H .(1)如图Z9－10①，如果∠BAC ＝90°，那么∠AHB ＝________°，AF BE＝________； (2)如图②，如果∠BAC ＝60°，猜想∠AHB 的度数和AF BE的值，并证明你的结论； (3)如果∠BAC ＝α，那么AF BE＝________．(用含α的代数式表示)图Z9－106．[2015·丰台一模] 在△ABC 中，CA ＝CB ，CD 为AB 边上的中线，点P 是线段AC 上任意一点(不与点C 重合)，过点P 作PE 交CD 于点E ，使∠CPE ＝12∠CAB ，过点C 作CF ⊥PE 交PE 的延长线于点F ，交AB 于点G .(1)如果∠ACB ＝90°，①如图Z9－11(a)，当点P 与点A 重合时，依题意补全图形，并指出与△CDG 全等的一个三角形；②如图(b)，当点P 不与点A 重合时，求CF PE的值．(2)如果∠CAB ＝a ，如图(c )，请直接写出CF PE的值．(用含a 的式子表示)图Z9－117．[2015·海淀] 将线段AB 绕点A 逆时针旋转60°得到线段AC ，继续旋转α(0°<α<120°)得到线段AD，连接CD.(1)连接BD，①如图Z9－12(a)，若α＝80°，则∠BDC的度数为________．②在第二次旋转过程中，请探究∠BDC的大小是否改变．若不变，求出∠BDC的度数；若改变，请说明理由．(2)如图(b)，以AB为斜边作直角三角形ABE，使得∠B＝∠ACD，连接CE，DE.若∠CED ＝90°，求α的值．图Z9－128．[2015·西城二模] 正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE＝DF.连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.(1)如图Z9－13①，若点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是________．(2)如图②，当点E在DC边上且不是DC的中点时，(1)中的结论是否成立若成立给出证明；若不成立，说明理由．(3)如图③，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．图Z9－13参考答案1.解：(1)①如图(a)所示．②AH ＝PH ，AH ⊥PH . 证明：连接CH ，由条件易得：△DHQ 为等腰直角三角形， 又∵DP ＝CQ ，∴△HDP ≌△HQC ， ∴PH ＝CH ，∠HPC ＝∠HCP .∵BD 为正方形ABCD 的对称轴， ∴AH ＝CH ，∠DAH ＝∠HCP ， ∴AH ＝PH ，∠DAH ＝∠HPC ，∴∠AHP ＝180°－∠ADP ＝90°， ∴AH ＝PH 且AH ⊥PH .(2)如图(b)，过点H 作HR ⊥PC 于点R ，∵∠AHQ ＝152°，∴∠AHB ＝62°，∴∠DAH ＝17°，∴∠DCH ＝17°.设DP ＝x ，则DR ＝HR ＝RQ ＝1－x 2.由tan17°＝HR CR 得1－x 21＋x 2＝tan17°，∴x ＝1－tan17°1＋tan17°.2．解：(1)补全图形如图①所示：(2)如图①，连接AE ，则∠PAB ＝∠PAE ＝20°，AE ＝AB. ∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝90°，AB ＝AD ， ∴∠EAD ＝130°，AE ＝AD. ∴∠ADF ＝25°.(3)如图②，连接AE ，BF ，BD.由轴对称的性质可得EF ＝BF ，AE ＝AB ＝AD ，∠ABF ＝∠AEF ＝∠ADF ， ∴∠BFD ＝∠BAD ＝90°.∴BF 2＋FD 2＝BD 2.∴EF 2＋FD 2＝2AB 2.3．解：(1)∵AB ＝AC ，∠A ＝α，∴∠ABC ＝∠ACB ＝12(180°－∠A )＝90°－12α.∵∠ABD ＝∠ABC －∠DBC ，∠DBC ＝60°， ∴∠ABD ＝30°－12α.(2)△ABE 是等边三角形．证明：连接AD ，CD ，ED ，∵线段BC 绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD ， 则BC ＝BD ，∠DBC ＝60°. ∴△BCD 为等边三角形． ∴BD ＝CD.∵∠ABE ＝60°，∴∠ABD ＝60°－∠DBE ＝∠EBC ＝30°－12α.在△ABD 与△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，AD ＝AD ，BD ＝CD ，∴△ABD ≌△ACD ，∴∠BAD ＝∠CAD ＝12∠BAC ＝12α.∵∠BCE ＝150°，∴∠BEC ＝180°－(30°－12α)－150°＝12α＝∠BAD.在△ABD 和△EBC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BEC ＝∠BAD ，∠EBC ＝∠ABD ，BC ＝BD ，∴△ABD ≌△EBC ， ∴AB ＝BE .又∵∠ABE ＝60°，∴△ABE 是等边三角形．(3)∵∠BCD ＝60°，∠BCE ＝150°， ∴∠DCE ＝150°－60°＝90°. ∵∠DEC ＝45°，∴△DEC 为等腰直角三角形， ∴DC ＝CE ＝BC. ∵∠BCE ＝150°.∴∠EBC ＝12(180°－150°)＝15°.∵∠EBC ＝30°－12α＝15°，∴α＝30°.4．解：(1)如图①，∵BA ＝BC ，∠BAC ＝60°，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，AM ＝MC.∵将线段PA 绕点P 顺时针旋转2α得到线段PQ ，∴AM ＝MQ ，∠AMQ ＝120°， ∴CM ＝MQ ，∠ CMQ ＝60°， ∴△CMQ 是等边三角形， ∴∠ACQ ＝60°， ∴∠CDB ＝30°. (2)连接PC ，AD ，∵AB ＝BC ，M 是AC 的中点， ∴BM ⊥AC ，∴AD ＝CD ，AP ＝PC. 在△APD 与△CPD 中，∵⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，PD ＝PD ，PA ＝PC ，∴△APD ≌△CPD ，∴∠ADB ＝∠CDB ，∠PAD ＝∠PCD ， ∴∠ADC ＝2∠CDB. 又∵PQ ＝PA ，∴PQ ＝PC ，∴∠PQC ＝∠PCD ＝∠PAD ， ∴∠PAD ＋∠PQD ＝∠PQC ＋∠PQD ＝180°，∴∠APQ ＋∠ADC ＝360°－(∠PAD ＋∠PQD )＝180°， ∴∠ADC ＝180°－∠APQ ＝180°－2α， ∴2∠CDB ＝180°－2α， ∴∠CDB ＝90°－α.(3)∵∠CDB ＝90°－α，且PQ ＝QD ，∴∠PAD ＝∠PCQ ＝∠PQC ＝2∠CDB ＝180°－2α. ∵点P 不与点B ，M 重合， ∴∠BAD ＞∠PAD ＞∠MAD ， ∴2α＞180°－2α＞α， ∴45°＜α＜60°.5．解：(1)∵AF 平分∠BAD ， ∴∠BAF ＝∠DAF .∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴∠DAF ＝∠CEF ，∠BAF ＝∠F . ∴∠CEF ＝∠F . ∴CE ＝CF .(2)∠BDG ＝45°.(3)如图，分别连接GB ，GE ，GC ， ∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠ABC ＝120°， ∴∠ECF ＝∠ABC ＝120°. ∵FG ∥CE 且FG ＝CE ，∴四边形CEGF 是平行四边形． 由(1)得CE ＝CF .∴四边形CEGF 是菱形， ∴GE ＝EC ，①∠GCF ＝∠GCE ＝12∠ECF ＝60°，∴△ECG 与△FCG 是等边三角形， ∴∠GEC ＝∠FCG ， ∴∠BEG ＝∠DCG ，②由AD ∥BC 及AF 平分∠BAD 可得∠BAE ＝∠AEB ， ∴AB ＝BE .在▱ABCD 中，AB ＝DC ， ∴BE ＝D C.③由①②③得△BEG ≌△DCG ， ∴BG ＝DG ，∠1＝∠2，∴∠BGD ＝∠1＋∠3＝∠2＋∠3＝∠EGC ＝60°， ∴∠BDG ＝180°－∠BGD2＝60°.1.解：(2)连接AD ，如图①.∵点D 与点B 关于直线AP 对称，∴AD ＝AB ，∠DAP ＝∠BAP ＝30°， ∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴AD ＝AC ，∠DAC ＝120°， ∴2∠ACE ＋120°＝180°.∴∠ACE ＝30°.(3)线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形． 证明：连接AD ，EB ，如图②. ∵点D 与点B 关于直线AP 对称， ∴AD ＝AB ，DE ＝BE ， 可证得∠EDA ＝∠EB A. ∵AB ＝AC ，AB ＝AD ，∴AD ＝AC ，∴∠ADE ＝∠ACE ， ∴∠ABE ＝∠ACE . 设AC ，BE 交于点F ，∵∠AFB ＝∠CFE ，∴∠BAC ＝∠BEC ＝60°，∴线段AB ，CE ，ED 可以构成一个含有60°角的三角形． 2．解：(1)①补全图形，如图(a )所示．②如图(b )，由题意可知AD ＝DE ，∠ADE ＝90°. ∵DF ⊥BC ， ∴∠FDB ＝90°. ∴∠ADF ＝∠ED B.∵∠C ＝90°，AC ＝BC ， ∴∠ABC ＝∠DFB ＝45°. ∴DB ＝DF .∴△ADF ≌△EDB. ∴AF ＝EB.在△ABC 和△DFB 中，∵AC ＝8，DF ＝3，∴AB ＝8 2，BF ＝3 2.AF ＝AB －BF ＝5 2，即BE ＝5 2， (2)2BD ＝BE ＋AB.3．解：(1)补全图形，如图①所示．(2)方法一：证明：连接BE ，如图②.∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°，∴∠DCB ＝60°.∵AC ]是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°. ∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∴∠GEB ＝∠DEC ＋∠BEC ＝100°.∴∠GEB ＝∠CBE .∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°.∴∠EBG ＝∠BEC.在△GEB 与△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEB ＝∠CBE ，BE ＝EB ，∠EBG ＝∠BEC ，∴△GEB ≌△CBE .∴EG ＝BC .方法二：证明：连接BE ，设BG 与EC 交于点H ，如图②.∵四边形ABCD 是菱形，∴AD ∥BC.∵∠ADC ＝120°，∴∠DCB ＝60°.∵AC 是菱形ABCD 的对角线，∴∠DCA ＝12∠DCB ＝30°. ∴∠EDC ＝180°－∠DEC －∠DCA ＝100°.由菱形的对称性可知，∠BEC ＝∠DEC ＝50°，∠EBC ＝∠EDC ＝100°， ∵∠FBC ＝50°，∴∠EBG ＝∠EBC －∠FBC ＝50°＝∠BEC .∴BH ＝EH .在△GEH 与△CBH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠GEH ＝∠CBH ，EH ＝BH ，∠EHG ＝∠B HC ，∴△GEH ≌△CBH .∴EG ＝BC .(3)AE ＋BG ＝3EG .4．解：(1)∠ADE ＝90°－α.(2)①证明：∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AB ∥EF .∴∠EDC ＝∠ABC ＝α.由(1)知∠ADE ＝90°－α，∴∠ADC ＝∠ADE ＋∠EDC ＝90°.∴AD ⊥BC.∵AB ＝AC ，∴BD ＝CD.②证明：∵AB ＝AC ，∠ABC ＝α，∴∠C ＝α.∵四边形ABFE 是平行四边形，∴AE ∥BF ，AE ＝BF .∴∠EAC ＝∠C ＝α.由(1)知∠DAE ＝180°－2∠ADE ＝180°－2(90°－α)＝2α， ∴∠DAC ＝α.∴∠DAC ＝∠C.∴AD ＝CD .∵AD ＝AE ＝BF ，∴BF ＝CD.∴BD ＝CF .5．解：(1)90 12(2)结论：∠AHB ＝90°，AF BE ＝32. 证明：如图，连接AD .∵AB ＝AC ，∠BAC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形．∵D 为BC 的中点，∴AD ⊥BC.∴∠1＋∠2＝90°.又∵DE ⊥AC ，∴∠DEC ＝90°.∴∠2＋∠C ＝90°.∴∠1＝∠C ＝60°.设AB ＝BC ＝k (k >0)，则CE ＝12CD ＝k 4，DE ＝34k . ∵F 为DE 的中点，∴DF ＝12DE ＝38k ，AD ＝32AB ＝32k . ∴AD BC ＝32，DF CE ＝32. ∴AD BC ＝DF CE . 又∵∠1＝∠C ，∴△ADF ∽△BCE . ∴AF BE ＝ADBC ＝32， ∠3＝∠4.又∵∠4＋∠5＝90°，∠5＝∠6，∴∠3＋∠6＝90°.∴∠AHB ＝90°. (3)12tan(90°－α2)． 6．解：(1)①作图．△ADE (或△PDE )．②过点P 作PN ∥AG 交CG 于点N ，交CD 于点M ，∴∠CPM ＝∠CAB.∵∠CPE ＝12∠CAB ， ∴∠CPE ＝12∠CPN .∴∠CPE ＝∠FPN . ∵PF ⊥CG ，∴∠PFC ＝∠PFN ＝90°.∵PF ＝PF ，∴△PFC ≌△PFN .∴CF ＝FN .由①得：△PME ≌△CMN .∴PE ＝CN .∴CF PE ＝CF CN ＝12. (2)12tan α. 7．解：(1)①30°.②不改变，∠BDC 的度数为30°.方法一：由题意知AB ＝AC ＝A D.∴点B ，C ，D 在以点A 为圆心，AB 为半径的圆上．∴∠BDC ＝12∠BAC ＝30°. 方法二：由题意知AB ＝AC ＝A D.∵AC ＝AD ，∠CAD ＝α，∴∠ADC ＝∠ABD ＝180°－α2＝90°－12α. ∵AB ＝AD ，∠BAD ＝60°＋α，∴∠ADB ＝∠ABD ＝180°－()60°＋α2＝120°－α2＝60°－12α.∴∠BDC ＝∠ADC －∠ADB ＝(90°－12α)－(60°－12α)＝30°. (2)过点A 作AM ⊥CD 于点M ，连接EM .∴∠AMC ＝90°.在△AEB 与△AMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB ＝∠AMC ，∠B ＝∠ACD ，AB ＝AC ，∴△AEB ≌△AMC.∴AE ＝AM ，∠BAE ＝∠CAM .∴∠EAM ＝∠EAC ＋∠CAM ＝∠EAC ＋∠BAE ＝∠BAC ＝60°. ∴△AEM 是等边三角形．∴EM ＝AM ＝AE .∵AC ＝AD ，AM ⊥CD ，∴CM ＝DM .又∵∠DEC ＝90°，∴EM ＝CM ＝DM .∴AM ＝CM ＝DM .∴点A ，C ，D 在以M 为圆心，MC 为半径的圆上．∴α＝∠CAD ＝90°.8．解：(1)CH ＝AB(2)结论成立．证明：如图，连接BE .在正方形ABCD 中，AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠A ＝∠BCD ＝∠ABC ＝90°.∵DE ＝DF ，∴AF ＝CE .在△ABF 和△CBE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CB ，∠A ＝∠BCE ，AF ＝CE ，∴△ABF ≌△CBE .∴∠1＝∠2.∵EH ⊥BF ，∠BCE ＝90°，∴H ，C 两点都在以BE 为直径的圆上．∴∠3＝∠2.∴∠3＝∠1.∵∠3＋∠4＝90°，∠1＋∠HBC ＝90°，∴∠4＝∠HB C.∴CH ＝CB.∴CH ＝AB. (3)3 2＋3.。