高考数学一轮总复习第四章三角函数与解三角形第2节同角三角函数基本关系式与诱导公式课件
第2节 同角三角函数基本关系式与诱导公式
01
诊断自测
02 考点一
同角三角函数 基本关系式的 应用
例1 训练1
03 考点二
诱导公式的应用
例2 训练2
04 考点三
诱导公式、同角三 角函数关系式的活 用
例3 训练3
诊断自测
1．思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)sin(π＋α)＝－sin α 成立的条件是 α 为锐角．( )
此类问题一般从
则 cosπ12－α等于(
)
22 A. 3
1 B.3
C．－13
D．－2 3 2
研究前后两角的 和或差入手
解析
(1)因为152π＋α＋1π2－α＝π2，
又 cos51π2＋α＝13>0，
所以 cos1π2－α＝sinπ2－1π2－α ＝sin51π2＋α.
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
[训练 1] (2)(2018·全国Ⅱ卷)已知 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
则 sin(α＋β)＝________.
解析 (2)由 sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
两式平方相加，得 2＋2sin αcos β＋2cos αsin β＝1，
所以－π2<α＋51π2<－1π2， 所以 sin51π2＋α＝－ 1－cos251π2＋α
因为－π<α<－π2，所以－71π2<α＋51π2<－1π2. ＝－ 1－132＝－232.
考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的活用
[例 3] (2)(2018·福州调研)已知 α 为锐角，且 2tan(π－α)－3cosπ2＋β＋5＝0，tan(π
＝ 23× 23＋21×12＝1.
答案
1 (1)3
(2)1
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)
－cos(360°－60°)·sin(360°－30°) ＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的活用
[例 3] (1)(2018·广州模拟)已知 cos51π2 ＋α＝13，且－π <α <－π2 ，
)
A.130 B.35 C.23 D．－2
解析 (1)3sin α＋cos α＝0⇒
ccooss2αα≠＋0⇒21stiannααco＝s －α＝13，cosc2αo＋ s2α2＋sinsinα2cαos α
＝11＋＋2ttaann2αα ＝1＋1－－23132＝130.
特点是：关于sinx、cosx的 二次齐次式；分子变同次
整理得 sin(α＋β)＝－12.
答案 (1)A (2)－12
注意隐含条件的挖掘与利用，
平方关系公式在三角函数计算 化简中，是最常用的隐含条件
考点二 诱导公式的应用
[例 2] (1)(2019·衡水中学调研)若 cosπ2－α＝ 32，则 cos(π－2α)＝(
)
2 D.－59
∴sin β＝sin(π－α＋2kπ)＝sin α＝13.
–1
O
–1
x
1
考点二 诱导公式的应用
[训练 2] (2)求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°) ＝________．
解析
(2)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050° ＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°) －cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°) ＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则 sin α＝( )
A.3
5 5
B.377 C.31010 D.13
解析
(2) 由已知得3tasninαβ－－62stiannβα－＋1＝ 5＝0.0，
消去 sin β，得 tan α＝3，
∴sin α＝3cos α，代入 sin2α＋cos2α＝1，
解
(1)
由 cosπ2－α＝
32，得 sin α＝
2 3.
∴cos(π－2α)＝－cos 2α
＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1 ＝2×29－1＝－59.
答案 D
考点二 诱导公式的应用
[例 2] (2)求值：设 f(α)＝2sin（1＋πs＋inα2α）＋cocos（s3π2π－＋αα）－－sicno2s（π2＋π＋α α）(1＋2sinα≠0)，
[训练 3] (1)已知 sin α－cos α＝ 2，α∈(0，π)，则 tan α＝( )
A．－1
B．－
2 2
2 C. 2
D．1
解析 (1)由ssiinn2αα－＋ccooss2αα＝＝1，2，
得：2cos2α＋2 2cos α＋1＝0，
即
2cos
α＋12＝0，∴cos
3 2
B.
3 2
C．－34
D.34
解析(1) ∵54π<α<32π， ∴cos α<0，sin α<0 且 cos α>sin α，
∴cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，
∴cos
α－sin
α＝
3 2.
判断符号是本 题关键所在
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．
3．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，
cos2α＝1－sin2α.
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
[训练 1] (1)若 3sin α＋cos α＝0，则cos2α＋21sin αcos α的值为(
α＝－
2 2.
又 α∈(0，π)，∴α＝34π，∴tan α＝tan 34π＝－1.
善于挖掘隐含条件
考点三 诱导公式、同角三角函数关系式的活用
[训练 3] (2)(2016·全国Ⅰ卷)已知 θ 是第四象限角，且 sinθ
＋π4
＝35，则
tanθ
－π4
＝________．
最大特点是：关于sinx、 cosx的齐次式
答案 (1)B (2)A
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
1.利用 sin2α＋cos2α＝1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化，利用
sin cos
αα＝tan
α
可以实现角
α
的弦切互化．
2．应用公式时注意方程思想的应用：
对于 sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α 这三个式子，
(4)当 k 为奇数时，sin α＝31， 当 k 为偶数时，sin α＝－13. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)×
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
[例 1] (1)(2018·兰州测试)已知 sin αcos α＝18，且54π<α<32π，
则 cosα－sinα 的值为(
)A．－
[例 1] (2)(2019·平顶山联考)已知s3icnosα＋α－3csoins αα＝5，则 cos2α＋12sin 2α＝(
)
3 A.5
B.－35 C.－3 D.3
解析(2) 由s3icnosα＋α－3csoins αα＝5 得t3a－n tαa＋n α3＝5，
可得 tan α＝2， 则 cos2α＋12sin 2α＝cos2α＋sin αcos α ＝cosc2oαs＋2αs＋insiαnc2oαs α＝11＋＋ttaann2αα＝35.
考点二 诱导公式的应用
[训练 2] (1)(2017·北京卷)在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 与角 β 均以 Ox 为
始边，它们的终边关于 y 轴对称．若 sin α＝13，则 sin β＝________．
解析
(1)α 与 β 的终边关于 y 轴对称，
β yα 1
则 α＋β＝π＋2kπ，k∈Z， ∴β＝π－α＋2kπ，k∈Z，
∴f－236π＝tan－1 236π
＝tan－14π＋π6＝tan1
π＝ 6
3.
考点二 诱导公式的应用
1.诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 2．含 2π 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知，在计算含有 2π 的整数倍的三角函数 式中可直接将 2π 的整数倍去掉后再进行运算，如 cos(5π－α)＝ cos(π－α)＝－cos α.
求 f－236π的值．
此类问题，一般先化简再 带入求值
解 (2)∵f(α)＝（－12＋sinsiαn）2α（＋－sincoαs－αc）os＋2αcos α
＝2si2nsαinc2oαs＋α＋sincoαs α
＝cos sin
α（1＋2sin α（1＋2sin
α） α）
＝tan1 α，
化简得
sin2α＝190，则
sin
α＝3
10 10 (α
为锐角).
高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式课件文
公式五:sin
2
= ⑨α
cos α
,cos
公式六:sin2= αcos α,cos
=⑩2 αsin α .
=
2
-sαin α
.
判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1. (×) (2)若α∈R,则tan α= s i n 恒α 成立. (×)
12
A. 1
B.-1
C5 .
D.5 -
5
15
13
13
答案 C ∵tan α= s i n =α - 5,
cosα 1 2
∴cos α=-1 2 sin α,
5
又sin2α+cos2α=1,
∴sin2α+1 4 4 sin2α= 1 6 s9 in2α=1,
25
25
又由α为第二象限角知sin α>0,
3
s=in2α. cos2α
cos2α sin2α
sin 2α co s2α
cos2α co s2α sin 2α
cos2α
∴ cos=2α1=sin2α
t 1
=a n-2 α
tan
.2
1 α
4 3
2
1
1
4 3
2
25 7
tan 2α 1 1 tan 2α
规律总结 (1)利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用 s i n =α tan α
tan α 1 1 tan α 1 3
5.已知sin θ+cos θ= 4
3
,θ∈ 0
,
4
2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件
组数 一
二
三
四
五
六
2kπ＋α 角
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦 余弦 正切
sin α cos α tan α
__－__si_n_α___ __－__s_in__α__ ___s_in__α___ __c_o_s__α___ ___c_o_s_α___ _－__c_o_s__α__ ___c_o_s_α___ __－__c_o_s_α__ ___si_n_α____ __－__s_i_n_α__ __t_a_n_α____ __－__t_a_n_α__ __－__t_an__α__
归纳拓展 1．同角三角函数基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
1－sin 1＋sin
αα＋sin
α
π<α<32π得( A ) A．sin α＋cos α－2 C．sin α－cos α
B．2－sin α－cos α D．cos α－sin α
1－cos α 1＋cos α
[解析] 原式＝cos α
1－cossi2nαα2＋sin α
1－cos sin2α
α2，
α＋bcos α＋dcos
αα＝acttaann
αα＋＋db；
sin
αcos
α＝sin
αcos 1
高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节同角三角函数基本关系式与诱导公式课件理
s
in
α
4 5
,
c
o
s
α
3 5
,
(2) = 1=
=si n2α. cos2α
cos2α sin2α cos2α sin2α
sin 2α co s2α
cos2α co s2α sin 2α
cos2α
tan 2α 1 1 tan 2α
∵tan α=- 4 ,
4
C.-2 2 D.2 2
答案 C 由已知得sin α=- 1cos2α
=- 1 =1- 2,∴2 tan α= =-s 2i n α,选C. 2
93
co s α
3.已知sin 2 = z ,则13 cos(π+2z)的值为 (
)
A.- 7 B7. C2 . 2D.-
3
∴ cos=2 α 1=sin2α
1t=an-t 2aαn .2
1 α
4 32 ຫໍສະໝຸດ 11
4 3
2
25 7
方法技巧
同角三角函数基本关系式的应用技巧
技巧 解读
适合题型
切弦
主要利用tan θ= s i n 化成正弦、余弦,或者利用
sin =t
∴ sin=α cos=α cs=oi n s αα .
cos cos
α α
sin α cosα s i n α c o s α
cosα cosα
tan α 1 1 tan α 1 3
考点突破
考点一 同角三角函数的基本关系式
典例1 已知α是三角形的内角,且sin α+cos α= 1 .
数学一轮复习第四章三角函数解三角形4.2同角三角函数的基本关系及诱导公式学案理
4。
2同角三角函数的基本关系及诱导公式必备知识预案自诊知识梳理1。
同角三角函数的基本关系（1）平方关系:sin2α+cos2α=。
(2)商数关系:sinαcosα=(α≠π2+kπ,k∈Z)。
2.三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ+α(k∈Z)π+α-απ-απ2-απ2+α正弦sin α余弦cos α正切tan α续表公式一二三四五六口诀函数名不变,符号看象限函数名改变,符号看象限1。
特殊角的三角函数值2.同角三角函数基本关系式的常用变形(1)（sin α±cos α）2=1±2sin αcos α；（2)sin α=tan αcos αα≠π2+kπ,k∈Z；(3）sin2α=sin2αsin2α+cos2α=tan2αtan2α+1;（4）cos 2α=cos 2αsin 2α+cos 2α=1tan 2α+1。
考点自诊1.判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”。
（1）对任意的角α，β有sin 2α+cos 2β=1。
( ） （2)若α∈R ，则tan α=sinαcosα恒成立.（ ）（3)sin （π+α）=-sin α成立的条件是α为锐角。
( )(4）若cos(n π—θ）=13(n ∈Z )，则cos θ=13.（ ）2。
(2020河北衡水中学模拟一,理3)已知cos α-π2=-2√55，α∈π，3π2,则tan α=（ ）A 。
2B 。
32C.1D.123。
(2020河北唐山模拟，理4）已知角α的顶点在原点,始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点A (2sin α，3）（sin α≠0），则cos α=( ）A.12B 。
-12C 。
√32D.-√324。
函数f (x )=15sin x+π3+cos x —π6的最大值为（ ) A.65B.1C.35D.15关键能力学案突破考点同角三角函数基本关系式的应用【例1】（1)若tan(α-π）=12，则sin 2α+1cos 2α-sin 2α=( )A。
高考数学一轮复习 第四章 三角函数 解三角形 第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式练习-人教版
第2节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式[A 级 基础巩固]1．(多选题)若cos(π＋α)＝－12，则sin(α－2π)可以等于()A.12B ．－12 C.32D ．－32解析：由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，所以sin α＝±32，故sin(α－2π)＝sin α＝±32. 答案：CD2．(2020·某某模拟)已知直线2x －y －1＝0的倾斜角为α，则sin 2α－2cos 2α＝() A.25B ．－65 C ．－45D ．－125解析：由题意知tan α＝2，所以sin 2α－2cos 2α＝2sin αcos α－2cos 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α－2tan 2α＋1＝25. 答案：A3．已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α的值为()A ．－32B.32C ．－34D.34解析：因为5π4<α<3π2，所以cos α<0，sin α<0且cos α>sin α， 所以cos α－sin α>0.又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34，所以cos α－sin α＝32. 答案：B4．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于()A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝3，又|θ|<π2，所以θ＝π3.答案：D5．(2020·某某重点中学联考)已知3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos(5π14＋α)，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫15π14＋α＝()A ．－53B ．－35C.35D.53 解析：由3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫33π14＋α＝－5cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α，得sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α， 所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫5π14＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π14＋α＝－53.答案：A6．(2020·某某一中月考)已知cos(α＋π)＝25，则sin(2α＋π2)＝()A.725B ．－725C.1725D ．－1725解析：由cos(α＋π)＝25，得cos α＝－25，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝cos 2α＝2cos 2α－1＝－1725.答案：D7．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是()A.35B ．－35 C ．－3 D ．3解析：由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，cos 2α＋12sin 2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝ 1＋tan α1＋tan 2α＝35. 答案：A8．(多选题)已知－π2<θ<π2，则sin θ＋cos θ＝a ，其中a ∈(0，1)，则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是()A ．－3B ．－13C ．－14D ．－1解析：由sin θ＋cos θ＝a ，a ∈(0，1)， 得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22， 又－π2<θ<π2，所以0<θ＋π4<π4，从而－π4<θ<0，因此－1<tan θ<0，则满足题目的取值为－13与－14.答案：BC9．(2017·卷)在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称．若sin α＝13，则sin β＝________．解析：由角α与角β的终边关于y 轴对称，可知α＋β＝π＋2k π(k ∈Z)，所以β＝2k π＋π－α(k ∈Z)，所以sin β＝sin α＝13.答案：1310．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝33，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫56π＋α＝________．解析：因为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π，所以tan ⎝⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－33.答案：－3311．(2020·潍坊一中质检)若sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则tan αtan β＝________． 解析：因为sin(α＋β)＝3sin(π－α＋β)，所以sin αcos β＝2cos αsin β，所以tan α＝2tan β， tan αtan β＝2. 答案：212．若sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α，则sin α·cos α＝________． 解析：由sin(π－α)＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α， 可得sin α＝－2cos α，则tan α＝－2， sin α·cos α＝sin α·cos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－25. 答案：－25[B 级 能力提升]13．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，其中a ，b ，α，β都是非零实数．若f (2 019)＝－1，则f (2 020)＝()A ．1B ．2C ．0D ．－1解析：因为f (2 019)＝a sin(2 019π＋α)＋b cos(2 019π＋β)＝－a sin α－b cos β＝－1，所以a sin α＋b cos β＝1，所以f (2 020)＝a sin(2 020π＋α)＋b cos(2 020π＋β)＝a sin α＋b cos β＝1.答案：A14．(2018·全国卷Ⅰ)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝()A.15B.55C.255D ．1 解析：由cos 2α＝23，得cos 2α－sin 2α＝23，所以cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝23，即1－tan 2α1＋tan 2α＝23， 所以tan α＝±55，即b －a 2－1＝±55， 所以|a －b |＝55. 答案：B15．若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为________． 解析：由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4，又(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ， 即m 24＝1＋m2，解得m ＝1± 5.又Δ＝4m 2－16m ≥0，所以m ≤0或m ≥4， 所以m ＝1－ 5. 答案：1－ 5[C 级 素养升华]16．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝1225，且0<α<π4，则sin α＝________，cosα＝________．解析：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π2＋α＝－cos α·(－sin α)＝sin αcos α＝1225.因为0<α<π4，所以0<sin α<cos α.又因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以sin α＝35，cos α＝45.答案：3545。
高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形2同角三角函数的基本关系及诱导公式课件新人教A版(文)
(方法二)由
即( 2cos α+1) =0,所以 cos α=2
3π
4
又 α∈(0,π),所以 α= ,
3π
所以 tan α=tan 4 =-1.
2
.
2
-21考点1
考点2
考点3
(方法三)因为 sin α-cos α= 2,
π
所以 2sin - 4 = 2,
解析: (1)(方法一)因为 sin α-cos α= 2,所以(sin α-cos α)2=2,
所以 sin 2α=-1.
3π
2
因为 α∈(0,π),2α∈(0,2π),所以 2α= .
3π
所以 α= 4 ,所以 tan α=-1.
sin-cos = 2,
sin2 + cos 2 = 1,
1
解 (1)联立方程
sin + cos = ,
5
sin2 + cos 2 = 1.②
1
由①得 cos α=5-sin α,将其代入②,
整理得 25sin2α-5sin α-12=0.
①
-12考点1
考点2
考点3
∵α 是三角形内角,
4
sin = 5 ,
∴
3
4
∴tan α=-3.
cos = - 5 ,
对点训练 2(1)已知 sin α-cos α= 2,α∈(0,π),则 tan α=( A )
2
A.-1
π
B.- 2
2
C. 2
D.1
1
1
5
cos -sin
(2)已知- <α<0,sin α+cos α=- ,则
2023年高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形2同角三角函数基本关系式及诱导公式练习含解析
同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求 1.理解同角三角函数的基本关系式sin 2α＋cos 2α＝1，sin αcos α＝tan α.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：sin αcos α＝tan α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式公式一 二三四五 六 角2k π＋α(k ∈Z )π＋α －α π－απ2－απ2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin αcos αcos α余弦 cos α －cos α cos α－cos α sin α －sin α正切 tan αtan α－tan α －tan α口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形 sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin αcos α恒成立．( × )(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( × )(4)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝13，则cos α＝－13.( √ )教材改编题1．已知α是第二象限角，sin α＝55，则cos α的值为． 答案 －255解析 ∵sin α＝55，α是第二象限角， ∴cos α＝－1－sin 2α＝－255.2．已知sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，那么tan α的值为．答案 －2316解析 由sin α－2cos α3sin α＋5cos α＝－5，知cos α≠0，等式左边分子、分母同时除以cos α，可得tan α－23tan α＋5＝－5，解得tan α＝－2316.3．化简cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为．答案 －sin 2α解析 原式＝sin αcos α·(－sin α)·cos α＝－sin 2α.题型一 同角三角函数基本关系例1 (1)已知cos α＝－513，则13sin α＋5tan α＝.答案 0解析 ∵cos α＝－513<0且cos α≠－1，∴α是第二或第三象限角． ①若α是第二象限角，则sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132＝1213， ∴tan α＝sin αcos α＝1213－513＝－125.此时13sin α＋5tan α＝13×1213＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－125＝0. ②若α是第三象限角， 则sin α＝－1－cos 2α＝－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－5132 ＝－1213，∴tan α＝sin αcos α＝－1213－513＝125，此时，13sin α＋5tan α＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1213＋5×125＝0. 综上，13sin α＋5tan α＝0.(2)已知tan α＝12，则sin α－3cos αsin α＋cos α＝；sin 2α＋sin αcos α＋2＝.答案 －53 135解析 已知tan α＝12，所以sin α－3cos αsin α＋cos α＝tan α－3tan α＋1＝－53.sin 2α＋sin αcos α＋2 ＝sin 2α＋sin αcos αsin 2α＋cos 2α＋2 ＝tan 2α＋tan αtan 2α＋1＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋1＋2＝135.(3)已知sin θ＋cos θ＝713，θ∈(0，π)，则tan θ＝.答案 －125解析 由sin θ＋cos θ＝713，得sin θcos θ＝－60169，因为θ∈(0，π)，所以sin θ>0，cos θ<0， 所以sin θ－cos θ＝1－2sin θcos θ＝1713，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＋cos θ＝713，sin θ－cos θ＝1713，解得⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝1213，cos θ＝－513，所以tan θ＝－125.教师备选1．(2022·锦州联考)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin2α等于( )A.35 B ．－35C ．－3D ．3答案 A解析 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，可得tan α＝2，则cos 2α＋12sin2α＝cos 2α＋sin αcos α＝cos 2α＋sin αcos αcos 2α＋sin 2α＝1＋tan α1＋tan 2α ＝35. 2．若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cos α＝23，则sin α－cos α的值为( ) A.23B ．－23C.43 D ．－43答案 C解析 由诱导公式得sin(π－α)＋cos α＝sin α＋cos α＝23， 所以(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝29，则2sin αcos α＝－79<0，因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 所以cos α<0，所以sin α－cos α>0， 因为(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝169，所以sin α－cos α＝43.思维升华 (1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 跟踪训练1 (1)(2021·新高考全国Ⅰ)若tan θ＝－2，则sin θ1＋sin2θsin θ＋cos θ等于( )A ．－65B ．－25C.25D.65答案 C解析 方法一 因为tan θ＝－2， 所以角θ的终边在第二或第四象限， 所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝25，cos θ＝－15或⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝－25，cos θ＝15，所以sin θ1＋sin2θsin θ＋cos θ＝sin θsin θ＋cos θ2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θ ＝45－25＝25. 方法二 (弦化切法)因为tan θ＝－2， 所以sin θ1＋sin2θsin θ＋cos θ＝sin θsin θ＋cos θ2sin θ＋cos θ＝sin θ(sin θ＋cos θ) ＝sin 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ1＋tan 2θ＝4－21＋4＝25. (2)已知α是三角形的内角，且tan α＝－13，则sin α＋cos α的值为．答案 －105解析 由tan α＝－13，得sin α＝－13cos α，将其代入sin 2α＋cos 2α＝1，得109cos 2α＝1，所以cos 2α＝910，易知cos α<0，所以cos α＝－31010，sin α＝1010，故sin α＋cos α＝－105. 题型二 诱导公式例2 (1)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝13，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α的值为( )A.223B ．－223C.13 D ．－13答案 D解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝－13. 延伸探究 本例(1)改为已知θ是第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝.答案 34解析 ∵θ是第二象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45， ∴θ＋π4为第二象限角，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－35， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4 ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－3545＝34.(2)tan π－αcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －α－πsin －π－α的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案 B解析 原式＝－tan α·cos α·－cos αcos π＋α·[－sin π＋α]＝tan α·cos 2α－cos α·sin α ＝－sin αcos α·cos αsin α＝－1.教师备选1．已知函数f (x )＝ax －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P ，且角α的始边与x 轴的正半轴重合，终边过点P ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－α等于( )A.23 B ．－23C.32 D ．－32答案 B解析 易知函数f (x )＝a x －2＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点P (2,3)，故tan α＝32，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＋sin2αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin α＝－sin αcos α＋2sin αcos α－sin αsin α＝－cos αsin α＝－1tan α＝－23.2．若sin x ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π2，则cos x ·cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2等于( )A.310 B ．－310C.34 D ．－34答案 A解析 易知sin x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＝－3cos x ，所以tan x ＝－3，所以cos x cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2＝－sin x cos x ＝－sin x cos x sin 2x ＋cos 2x＝－tan x tan 2x ＋1＝310. 思维升华 (1)诱导公式的两个应用①求值：负化正，大化小，化到锐角为终了； ②化简：统一角，统一名，同角名少为终了． (2)诱导公式的应用步骤任意负角的三角函数――――――→利用诱导公式三或一任意正角的三角函数――――――→利用诱导公式一0～2π内的角的三角函数――――――→利用诱导公式二或四或五或六锐角三角函数．跟踪训练2 (1)已知cos(75°＋α)＝13，求cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝.答案 0解析 因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°， (15°－α)＋(α＋75°)＝90°，所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)] ＝－cos(75°＋α)＝－13，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)] ＝cos(75°＋α)＝13.所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－13＋13＝0.(2)(2022·盐城南阳中学月考)设tan(5π＋α)＝2，则sin －3π＋α＋cos α－πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝. 答案 3解析 由已知tan(5π＋α)＝tan α＝2， sin －3π＋α＋cos α－πcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－112π＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α＝sin π＋α＋cos π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α－cos α－sin α＋cos α＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3.题型三 同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3 已知f (α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α.(1)化简f (α)；(2)若α＝－31π3，求f (α)的值；(3)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2，求f (α)的值． 解 (1)f (α)＝sin α－3πcos 2π－αsin ⎝⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos －π－αsin －π－α＝－sin α×cos α×－cos α－cos α×sin α＝－cos α. (2)若α＝－31π3，则f (α)＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝－cos π3＝－12. (3)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－π2＝15， 可得sin α＝－15，因为α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π，3π2， 所以cos α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.教师备选设f (α)＝2sin π＋αcos π－α－cos π＋α1＋sin 2α＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋α－sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(1＋2sin α≠0)．(1)化简f (α)；(2)若α＝－23π6，求f (α)的值．解 (1)f (α)＝－2sin α·－cos α－－cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α ＝cos α2sin α＋1sin α2sin α＋1＝cos αsin α＝1tan α.(2)当α＝－23π6时，f (α)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π6＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－23π6 ＝1tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4π＋π6＝1tanπ6＝133＝ 3. 思维升华 (1)利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响．跟踪训练3 (1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sin α的值是( ) A.355 B.377 C.31010 D.13答案 C解析 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3sin β－2tan α＋5＝0，tan α－6sin β－1＝0.消去sin β，得tan α＝3，∴sin α＝3cos α，代入sin 2α＋cos 2α＝1， 化简得sin 2α＝910，则sin α＝31010(α为锐角)．(2)已知－π<x <0，sin(π＋x )－cos x ＝－15，则sin2x ＋2sin 2x1－tan x ＝.答案 －24175解析 由已知，得sin x ＋cos x ＝15，两边平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925，由－π<x <0知，sin x <0， 又sin x cos x ＝－1225<0，∴cos x >0，∴sin x －cos x <0， 故sin x －cos x ＝－75.∴sin2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋sin x 1－sin xcos x＝2sin x cos x cos x ＋sin xcos x －sin x＝－2425×1575＝－24175.课时精练1．cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3等于( ) A ．－32 B ．－12C.12 D.32答案 C解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π3＝cos 19π3 ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫6π＋π3＝cos π3＝12. 2．若cos165°＝a ，则tan195°等于( ) A.1－a 2B.1－a2aC ．－1－a2aD ．－a1－a2答案 C解析 若cos165°＝a ， 则cos15°＝cos(180°－165°) ＝－cos165°＝－a ， sin15°＝1－a 2，所以tan195°＝tan(180°＋15°) ＝tan15°＝sin15°cos15°＝－1－a2a.3．若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝513，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α等于( ) A ．－513B ．－1213C.1213D.513答案 D解析 因为7π10－α＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5＝π2， 所以7π10－α＝π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π5，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π10－α＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π5＝513.4．(2022·天津西青区模拟)已知sin α＋cos α＝－2，则tan α＋1tan α等于( ) A ．2B.12C ．－2D ．－12答案 A解析 由已知得1＋2sin αcos α＝2， ∴sin αcos α＝12，∴tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝sin 2α＋cos 2αsin αcos α＝112＝2.5．(多选)在△ABC 中，下列结论正确的是( ) A ．sin(A ＋B )＝sin C B ．sinB ＋C2＝cos A2C ．tan(A ＋B )＝－tan C ⎝⎛⎭⎪⎫C ≠π2D ．cos(A ＋B )＝cos C 答案 ABC解析 在△ABC 中，有A ＋B ＋C ＝π， 则sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，A 正确． sinB ＋C2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A 2＝cos A 2，B 正确．tan(A ＋B )＝tan(π－C )＝－tan C ⎝⎛⎭⎪⎫C ≠π2，C 正确．cos(A ＋B )＝cos(π－C )＝－cos C ，D 错误．6．(多选)已知α∈(0，π)，且sin α＋cos α＝15，则( )A.π2<α<π B ．sin αcos α＝－1225C ．cos α－sin α＝75D ．cos α－sin α＝－75答案 ABD解析 ∵sin α＋cos α＝15，等式两边平方得(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝125，解得sin αcos α＝－1225，故B 正确；∵α∈(0，π)，sin αcos α＝－1225<0，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，故A 正确；cos α－sin α<0，且(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1225＝4925，解得cos α－sin α＝－75，故D 正确．7．cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°＝. 答案 0解析 因为cos(180°－α)＝－cos α，于是得cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos89°＋cos90°＋cos91°＋…＋cos177°＋cos178°＋cos179°＝cos1°＋cos2°＋cos3°＋…＋cos89°＋cos90°－cos89°－…－cos3°－cos2°－cos1° ＝cos90°＝0.8．设f (θ)＝2cos 2θ＋sin 22π－θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋θ－32＋2cos 2π＋θ＋cos －θ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝. 答案 －512解析 ∵f (θ)＝2cos 2θ＋sin 2θ＋cos θ－32＋2cos 2θ＋cos θ ＝cos 2θ＋cos θ－22cos 2θ＋cos θ＋2， 又cos 17π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫6π－π3 ＝cosπ3＝12， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17π3＝14＋12－212＋12＋2＝－512.9．(1)已知cos α是方程3x 2－x －2＝0的根，且α是第三象限角，求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α＋3π2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋αtan 2π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α的值；(2)已知sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，求cos x －2sin x 的值．解 (1)因为方程3x 2－x －2＝0的根为x 1＝1，x 2＝－23，又α是第三象限角，所以cos α＝－23，所以sin α＝－53，tan α＝52. 所以原式＝－cos αsin αtan 2α－sin αcos α＝tan 2α＝54.(2)∵sin x ＋cos x ＝－713(0<x <π)，∴cos x <0，sin x >0，即sin x －cos x >0， 把sin x ＋cos x ＝－713，两边平方得1＋2sin x cos x ＝49169， 即2sin x cos x ＝－120169，∴(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝289169，即sin x －cos x ＝1713，联立⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝－713，sin x －cos x ＝1713，解得sin x ＝513，cos x ＝－1213，∴cos x －2sin x ＝－2213.10．(2022·衡水模拟)已知角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)． (1)求sin α＋π＋cos α－πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π2的值；(2)若α是第二象限角，求sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α的值． 解 (1)∵m ≠0，∴cos α≠0， 即sin α＋π＋cos α－πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－sin α－cos αcos α＋2sin α＝－tan α－11＋2tan α.又∵角α的终边经过点P (3m ，－6m )(m ≠0)， ∴tan α＝－6m3m ＝－2，故sin α＋π＋cos α－πsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＋2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π2＝－tan α－11＋2tan α＝2－11＋2×－2＝－13.(2)∵α是第二象限角，∴m <0， 则sin α＝－6m 3m2＋－6m2＝－6m 35|m |＝255， cos α＝3m 3m 2＋－6m2＝3m 35|m |＝－55， ∴sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2＋sin(π－α)cos α－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α ＝cos 2α＋sin αcos α＋sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－552＋255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－55＋255＝－1＋255.11．(多选)已知角α满足sin α·cos α≠0，则表达式sin α＋k πsin α＋cos α＋k πcos α(k ∈Z )的取值可能为( ) A ．－2 B ．－1或1 C ．2 D ．－2或2或0答案 AC解析 当k 为奇数时，原式＝－sin αsin α＋－cos αcos α＝(－1)＋(－1)＝－2；当k 为偶数时，原式＝sin αsin α＋cos αcos α＝1＋1＝2.∴原表达式的取值可能为－2或2.12．(2022·河北六校联考)若sin α是方程5x 2－7x －6＝0的根，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－α－3π2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αtan 22π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α等于( )A.35B.53C.45D.54 答案 B解析 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－1sin α＝53.13．曲线y ＝e x ＋x 2－23x 在x ＝0处的切线的倾斜角为α，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝.答案 45解析 由题意得y ′＝f ′(x )＝e x＋2x －23，所以f ′(0)＝e 0－23＝13，所以tan α＝13，所以α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos α＝310，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2 ＝cos2α＝2cos 2α－1＝2×910－1＝45. 14．函数y ＝log a (x －3)＋2(a >0且a ≠1)的图象过定点Q ，且角α的终边也过点Q ，则3sin 2α＋2sin αcos α＝. 答案 75解析 由题意可知点Q (4,2)，所以tan α＝12，所以3sin 2α＋2sin αcos α ＝3sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α ＝3tan 2α＋2tan α1＋tan 2α ＝3×14＋2×121＋14＝75.15．(多选)已知f (α)＝2sin αcos α－2sin α＋cos α＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤α≤π2，则下列说法正确的是( ) A ．f (α)的最小值为－ 2 B ．f (α)的最小值为－1 C ．f (α)的最大值为2－1 D ．f (α)的最大值为1－ 2 答案 BD解析 设t ＝sin α＋cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4，由0≤α≤π2，得π4≤α＋π4≤3π4， 则1≤t ≤2，又由(sin α＋cos α)2＝t 2， 得2sin αcos α＝t 2－1，所以f (α)＝g (t )＝t 2－1－2t ＋1＝t －1－2t ＋1，又因为函数y ＝t －1和y ＝－2t ＋1在[1，2]上单调递增， 所以g (t )＝t －1－2t ＋1在[1，2]上单调递增， g (t )min ＝g (1)＝－1， g (t )max ＝g (2)＝1－ 2.16．已知关于x 的方程2x 2－(3＋1)x ＋m ＝0的两根分别是sin θ和cos θ，θ∈(0,2π)，求：(1)sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ的值； (2)m 的值；(3)方程的两根及此时θ的值．解 (1)原式＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－sin θcos θ＝sin 2θsin θ－cos θ＋cos 2θcos θ－sin θ ＝sin 2θ－cos 2θsin θ－cos θ ＝sin θ＋cos θ. 由已知得sin θ＋cos θ＝3＋12， 所以sin 2θsin θ－cos θ＋cos θ1－tan θ＝3＋12.(2)由已知得sin θcos θ＝m2，因为1＋2sin θcos θ＝(sin θ＋cos θ)2，21 所以1＋m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋122，解得m ＝32.(3)联立⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＋cos θ＝3＋12，sin θcos θ＝34，解得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12 或⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝12，cos θ＝32.因为θ∈(0,2π)，所以θ＝π3或π6.。
高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理
【2019最新】精选高考数学一轮复习第四章三角函数与解三角形4-2同角三角函数的基本关系与诱导公式学案理考纲展示►1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tan x.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．考点1 三角函数的诱导公式诱导公式(1)[教材习题改编]已知f(x)＝sin＋2sin－4cos 2x＋3cos，则f的值为( )A．0 B．1 C．－5 D．－9答案：C(2)[教材习题改编]已知cos α＝－，则sin＝________.答案：－35解析：sin＝cos α＝－.诱导公式的应用原则：负化正，大化小，化到锐角为终了．sin(－2 010°)的值是________．答案：12解析：sin(－2 010°)＝－sin 2 010°＝－sin(5×360°＋210°)＝－sin 210°＝－sin(180°＋30°)＝sin 30°＝.[典题1] (1)[2017·浙江台州中学高三月考]已知sin＝，则cos＝( )A. B．－ C. D．－13[答案] D[解析] 根据诱导公式可知，sin ＝－cos⇒cos＝－，故选D.(2)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)sin(－1 050°)＝________.[答案] 1[解析] 原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝1.(3)设f(α)＝，其中1＋2sin α≠0，则f＝________.[答案] 3[解析] ∵f(α)＝－2sin α－cos α＋cos α1＋sin2α＋sin α－cos2α＝＝＝， ∴f ＝＝1tan ⎝⎛⎭⎪⎫－4π＋π6 ＝＝.[点石成金] 利用诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．考点2 同角三角函数的基本关系同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2α＋cos2α＝________；(2)商数关系 tan α＝. 答案：(1)1(1)[教材习题改编]已知cos α＝，且α是第四象限角，则sin α的值为________． 答案：－513解析：由于α是第四象限角，故sin α＝－＝－.(2)[教材习题改编]已知tan α＝－2，则＝________.答案：－21.基本关系式的误区：公式形式误区；角的范围误区．下列命题正确的有________．(填序号)①若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1；②若α∈R，则tan α＝恒成立；③sin2α＋cos2α＝sin2θ＋cos2θ.答案：③解析：①只有当α＝β时，才有sin2α＋cos2β＝1；②因为cos α≠0，则α≠＋kπ，k∈Z；③根据平方关系式，可得③正确．2．诱导公式应用的常见两种错误：符号；函数名．(1)若sin(3π＋θ)＝，则sin θ＝________.(2)若cos＝m，则sin α＝________.答案：(1)－(2)－m解析：(1)先应用诱导公式一，得sin(3π＋θ)＝sin(2π＋π＋θ)＝sin(π＋θ)；再应用公式二，得sin(π＋θ)＝－sin θ，故sin θ＝－.(2)因为＋α可看作是第二象限角，所以cos＝－sin α，故sin α＝－m.有关结论．(1)＝________.答案：cos2α解析：由sin2α＋cos2α＝1和＝tan α，得tan2αcos2α＋cos2α＝1，故＝cos2α.(2)＝________.答案：|sin α－cos α|解析：因为1－sin 2α＝sin2α＋cos2α－2sin αcos α＝(sin α－cos α)2，所以＝|sin α－cos α|.[典题2] (1)[2017·甘肃兰州诊断]已知sin(π－α)＝log8 ，且α∈，则tan(2π－α)的值为( ) A ．－ B. C ．± D.52[答案] B[解析] sin(π－α)＝sin α＝log8 ＝－，又因为α∈， 则cos α＝＝，所以tan(2π－α)＝tan(－α)＝－tan α＝－＝.(2)已知sin α＋cos α＝，且0＜α＜π，则tan α＝________.[答案] －43[解析] 解法一：联立方程 由①得cos α＝－sin α，将其代入②，整理得25sin2α－5sin α－12＝0.∵α是三角形的内角，∴⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－.解法二：∵sin α＋cos α＝，∴(sin α＋cos α)2＝2， 即1＋2sin αcos α＝， ∴2sin αcos α＝－，∴(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋＝.∵sin αcos α＝－＜0且0＜α＜π，∴sin α＞0，cos α＜0，∴sin α－cos α＞0. ∴sin α－cos α＝.由⎩⎪⎨⎪⎧ sin α＋cos α＝15，sin α－cos α＝75，得⎩⎪⎨⎪⎧sin α＝45，cos α＝－35，∴tan α＝－.[题点发散1] 保持本例(2)中条件不变，求：(1)；(2)sin2α＋2sin αcos α的值．解：由母题，可知tan α＝－. (1)＝tan α－45tan α＋2＝＝.(2)sin2α＋2sin αcos α＝sin2α＋2sin αcos αsin2α＋cos2α＝＝＝－.[题点发散2] 若本例(2)中条件变为“＝5”，求tan α的值．解：解法一：由＝5，得 tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.解法二：由＝5，得sin α＋3cos α＝15cos α－5sin α，∴6sin α＝12cos α，即tan α＝2. [题点发散3] 若本例(2)中的条件和结论互换：已知α是三角形的内角，且tanα＝－，求 sin α＋cos α的值．解：由tan α＝－，得sin α＝－cos α，将其代入 sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1，∴cos2α＝，易知cos α＜0，∴cos α＝－，sin α＝，故 sin α＋cos α＝－.[点石成金] 同角三角函数基本关系式的应用技巧A. B.53C. D．－2答案：A解析：3sin α＋cos α＝0⇒cos α≠0⇒tan α＝－，1cos2α＋2sin αcos α＝cos2α＋sin2αcos2α＋2sin αcos α＝＝＝.2．[2017·四川雅安模拟]已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ 的值为( )A. B.13 C ．－ D ．－13 答案：C解析：由题意，知(sin θ＋cos θ)2＝， ∴1＋2sin θcos θ＝，∴2sin θcos θ＝， 由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝， 可得sin θ－cos θ＝±. 又∵θ∈，sin θ<cos θ， ∴sin θ－cos θ＝－.考点3 巧用相关角的关系解题[典题3] (1)已知cos ＝a(|a|≤1)，则cos ＋sin 的值是________．[答案] 0[解析] 由题意知，cos ＝cos ＝－cos ＝－a.sin ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ＝a ， ∴cos ＋sin ＝0.(2)已知sin ＝，则cos ＝________.[答案]12[解析] ∵＋＝，∴cos ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝sin ＝.[点石成金] 巧用相关角的关系会简化解题过程．常见的互余关系有－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等，常见的互补关系有＋θ与－θ；＋θ与－θ等.1.已知sin ＝，则cos ＝________.答案：－解析：cos ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫11π12－α ＝cos ＝－cos ， 而sin ＝sin ＝cos ＝，所以cos ＝－.2．若tan(π＋α)＝－，则tan(3π－α)＝________.答案：12解析：因为tan(π＋α)＝tan α＝－，所以tan(3π－α)＝tan(π－α)＝－tan α＝.[方法技巧] 1.同角三角函数基本关系可用于统一函数．诱导公式主要用于统一角，其主要作用是进行三角函数的求值、化简和证明，如已知一个角的某一三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，要特别注意平方关系的使用．2．三角函数求值与化简的常用方法(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝化成正、余弦．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝tan ＝… [易错防范] 1.利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤为：去负—脱周—化锐．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．3．注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．真题演练集训1．[2016·新课标全国卷Ⅲ]若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝( )A. B. C ．1D.1625答案：A解析：解法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或⎩⎨⎧sin α＝－35，α＝－45，则sin 2α＝2sin αcos α＝， 则cos2α＋2sin 2α＝＋＝.解法二：cos2α＋2sin 2α＝cos2α＋4sin αcos αcos2α＋sin2α＝＝＝.2．[2014·大纲全国卷]设a ＝sin 33°，b ＝cos 55°，c ＝tan 35°，则( )A ．a>b>cB ．b>c>aC ．c>b>aD ．c>a>b答案：C解析：∵a＝sin 33°，b ＝cos 55°＝sin 35°，c ＝tan 35°＝， 又0<cos 35°<1，∴c>b>a.3．[2015·四川卷]已知sin α＋2cos α＝0，则2sin αcos α－cos2α的值是________． 答案：－1解析：由sin α＋2cos α＝0，得tan α＝－2. 所以2sin αcos α－cos2α＝2sin αcos α－cos2αsin2α＋cos2α＝＝＝－1.课外拓展阅读精品- 11 - / 11 分类讨论思想在三角函数求值化简中的应用[典例] (1)已知A ＝＋(k∈Z)，则A 的值构成的集合是( )A ．{1，－1,2，－2}B ．{－1,1}C ．{2，－2}D ．{1，－1,0,2，－2} (2)在△ABC 中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cos A ＝－cos(π－B)，则C＝________.[思路分析] (1)角中有整数k ，应对k 是奇数还是偶数进行讨论；(2)利用同角三角函数基本关系式的平方关系时，要对开方的结果进行讨论．[解析] (1)当k 为偶数时，A ＝＋＝2；当k 为奇数时，A ＝－＝－2.所以A 的值构成的集合是{2，－2}．(2)由已知，得{sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，② ①2＋②2，得2cos2A ＝1，即cos A ＝±，当cos A ＝时，cos B ＝，又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝，B ＝，所以C ＝π－(A ＋B)＝.当cos A ＝－时，cos B ＝－.又A ，B 是三角形的内角，所以A ＝，B ＝，不合题意．综上，C ＝.[答案] (1)C (2)7π12温馨提示(1)本题在三角函数的求值化简过程中，体现了分类讨论思想，即使讨论的某种情况不合题意，也不能省略讨论的步骤；(2)三角形中的三角函数问题，要注意隐含条件的挖掘以及三角形内角和定理的应用．。
2019版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角函数 第二节 同角三角函数的基本关系与诱导公式实用
[全练题点]
1.[考点一] 若α∈－π2，π2，sin α＝－35，则cos(－α)＝(
)
A．－45
B.45
3 C.5
D．－35
解析：因为α∈－π2，π2，sin α＝－35，所以α∈－π2，0，cos
α＝45，则cos(－α)＝45.
答案：B
2.[考点二](2018·河北衡水中学月考)已知tan θ＝2，则sin2θ＋
[例2] (2018·安徽江南十校联考)已知tan α＝－34，则sin
α·(sin α－cos α)＝
()
21
25
A.25
B.21
C.45
D.54
[解析] sin α·(sin α－cos α)＝sin2α－sin α·cos α＝
sin2α－sin α·cos sin2α＋cos2α
α
＝
tan2α－tan tan2α＋1
表达式中需要利用 “1”转化
表达式中含有sin θ±cos θ或sin θcos θ
[基本能力]
1．判断题 (1)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1. (2)若α∈R ，则tan α＝csoins αα恒成立．
(× ) (×)
2．填空题 (1)已知α∈π2，π，sin α＝45，则tan α＝________.
[例1] (1)已知cos α＝k，k∈R ，α∈π2，π，则sin(π＋α)＝
A．－ 1－k2
B. 1－k2
()
C．± 1－k2
D．－k
(2)(2018·厦门质检)若α∈π2，π，sin (π－α)＝35，则tan α＝
()
A．－43
4 B.3
C．－34
高三数学一轮复习课件 第四章 4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式
A.{1，－1,2，－2}
B.{－1,1}
√C.{2，－2}
D.{1，－1,0,2，－2}
解析 当 k 为偶数时，A＝ssiinn αα＋ccooss αα＝2；
当 k 为奇数时，A＝－sisninαα－ccooss αα＝－2.
(2)(2018·太原质检)化简：tanπ＋αcos2π＋αsinα－32π＝ －1 . cos－α－3πsin－3π－α
A.－
2 6
B.
2 6
C.－23
√D.23
(2)已知 sin α＝25 5，则 tan(π＋α)＋csoins5522ππ＋－αα＝
52或－52
.
3 课时作业
PART THREE
基础保分练
1.已知 α 是第四象限角，tan α＝－152，则 sin α 等于
1 A.5
(2)商数关系：
sin cos
αα＝tan
αα≠π2＋kπ，k∈Z
.
2.三角函数的诱导公式
公式
一
角 2kπ＋α(k∈Z)
二 π＋α
三
四
－α π－α
正弦
sin α
－__s_i_n_α_ _－__s_in__α_ __s_in__α_
五 π2－α
_c_o_s__α_
六 π2＋α
__c_o_s_α__
α＝tan
－sin α α·cos α·tan
α＝－tan1
α＝2
1
6＝
6 12 .
1 2 3 4 5 67
2 题型分类 深度剖析
PART TWO
自主演练
题型一 同角三角函数基本关系式的应用
1.已知 α 是第四象限角，sin α＝－1123，则 tan α 等于