计算方法课件 第一章数值计算中的误差

第一章数值计算中的误差

§1 引言

一、 数值计算的概念

一般工程和技术问题的求解过程：

物理模型⎯⎯⎯→建模数学模型

⎯⎯⎯⎯→数值计算结果

数值计算的概念：用计算工具求出数学问题数值解的全过程，包括算法的选择、算法的分析（收敛性、稳定性和误差分析）。

二、算法对结果的影响

1．算法的优劣影响计算的效率

例1 计算多项式

1

110()n n n n p x a x a x a x a −−=++++"的值。

1） 直接计算(0,1,,)i i a x i n ="，再逐项相加，共

需要(1)/2n n +次乘法和n 次加法运算。

2） 著名的秦九韶算法：

12101()()((()))()

;1;n n n n i p x p x a x a x a x a x a p x p a for i n to p p x a end −−−=+++++=⎧⎪=⎪⎨=⋅+⎪⎪⎩""将改写为

，然后用下述方法计算

共需n 次乘法和n 次加法。

2．算法的优劣影响结果的精度，甚至导致计算失败

例2 计算

3

1

x ⎛⎞=。

6617/5)17/12)1

1)0.00409600.005232782

9911/63

0.005232780.005019954(990.005076140.00504626−−≈≈−−−+序号算式

结果结果结果1与结果2

采用了相差不大的的近似值

1.4和1.4166，而不同的算法得出的结果却五花八门、各不相同，特别是算法2的结果显然错误。

§2 误差的种类及其来源

¾模型误差：建模中的模型误差。

¾观测误差：建模和具体运算过程中数据的观测误差。

¾截断误差：有限逼近无限时的误差，例如

357

≈−+−。

x x x x x

sin/3!/5!/7!

¾舍入误差：计算过程中四舍五入造成的误差。

§3绝对误差和相对误差

*::x x 准确值或真值

近似值

一、 绝对误差和绝对误差限

近似值*x 的绝对误差：*()x x x ε=−；当()0x ε>时，称*x 为亏近似值，反之称为盈近似值或强近似值。

绝对误差限η：

*|()|||x x x εη=−≤

二、 相对误差和相对误差限

相对误差：*()()/()/r

x x x x x x εε==−；实际中常用****()()/()/r

x x x x x x εε==−代替。 相对误差限δ：|()|r x εδ≤

注：绝对误差和相对误差是描述误差的两个度量，相比而言，相对误差更能反映误差的特性。正如涨跌幅（%）比涨跌更能反映股票的上涨或下跌情况。

§4有效数字及其与误差的关系一、有效数字的概念

当近似值*x的绝对误差限是某一位上的半个单位是，我们称其“准确”到这一位，且从该位起直到前面第一位非零数字为止的所有数字都称为有效数字。

例3 3.1415926π≈精确到小数点后4位的近似值

为3.1416（

4

()0.510x ε−≤×），它具有5位有效数字；精确到小数点后5位的近似值为 3.14159

（

5

()0.510x ε−≤×），它具有6位有效数字。

有效数字概念：设近似值*x 的规格化形式为

*120.10m n x a a a =±×", (1.4.1)

式中n 是正整数，m 是整数，12,,,n a a a "是0至9中的一个数字，10a ≠，若*

x 的绝对误差限为

*1

|()|||102

m n x x x ε−=−≤

×, (1.4.2) 则称*x 为具有n 位有效数字的有效数或称它精

确到10m-n ,12,,,n a a a "都是*

x 的有效数字,其中

11,,n a a −"都是准确数字,n a 可能与真值x 中的同

一位数字相差1。 例4

（1）3.14是π具有3位有效数字的近似值，精

确到0.01；

（2）0.302具有3位有效数字,精确到0.001； 0.30200具有5位有效数字,精确到0.00001;

（3）

*0.1524,0.154x x ==，*

x 具有2位有效数字，精确到0.01，数字“4”称为存疑数字。

二、有效数字与相对误差的关系

从前面的定义可看出，有效数字是通过绝对误差来定义的，有了绝对误差，就可知道有效数字，反之，知道了有效数字，也可得到绝对误差。那么有效数字与误差的另一度量“相对误差”有怎样的关系呢？

1． 有效数字⇒相对误差

若(1.4.1)表示的近似值*

x 具有n 位有效数字，则

*1

*

1121

()

0.5101|()||

|10.102m n n r m n x x x a a a a εε−−+−×=≤≤×

×" (1.4.3) 即

1

1

1

102n a δ−+=

× (1.4.4) 是*

x 的一个相对误差限。

2． 相对误差⇒有效数字

若(1.4.1)表示的近似值*

x ,如其相对误差

*

1

11

|()|102(1)

n r

x a ε−+≤×+， (1.4.5) 则根据(1.4.5)和*11

||(1)10m x a −<+×，有 **11

111

|()||()|(1)10102(1)

0.510

m n r m n

x x x a a εε−−+−=×<+××

×+=×

故*x 至少具有n 位有效数字。