圣彼得堡悖论概述
圣彼得堡悖论及其消解新解
圣彼得堡悖论新解与不确定性估值内容提要：著名数学家Bernoulli为解决“圣彼得堡悖论”提出了货币的边际效用递减理论（下称“效用函数解决方案”），本文通过以下两个方面证明了Bernoulli的“效用函数解决方案”是不成立的：1、用Bernoulli和克莱默的“效用函数”构造了新的悖论；2、设计并实施了不存在边际效用递减效应的“新型圣彼得堡游戏”，该游戏同样产生了“圣彼得堡悖论”。
本文进一步分析论证了人们面对不确定性前景的风险调整才是导致“圣彼得堡悖论”产生的真正原因，由此给出了不确定性决策的风险调整模型，用此模型解决了“圣彼得堡悖论”及其它相关悖论。
本文对基于不确定性的经济学理论研究提出了一个全新的研究思路和方向。
关键词：不确定性估值，圣彼得堡悖论，效用，风险调整模型，经济实验1.圣彼得堡悖论与Bernoulli的效用函数解决方案“圣彼得堡悖论”来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。
设定掷币掷出正面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金2元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金4元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果第n次投掷成功，得奖金2n元，游戏结束。
按照概率期望值的计算方法，此游戏的期望收益为所有可能结果的得奖期望值之和：1111 ()2482 2482n nE=⨯+⨯+⨯++⨯+――――――――――――(1.1)由于对于游戏中投币的次数没有理论上的限制，很显然，上式是无数个1的和，它等于无穷大，即该抽奖活动收益的数学期望值是无限的。
那么对于这样一个收益的数学期望值是无穷大的“圣彼得堡游戏”当支付多大的费用呢？试验表明，大多数人只准备支付几元钱来参加这一游戏。
于是，个人参与这种游戏所愿支付的有限价格与其收益的无穷数学期望之间的矛盾就构成了所谓的“圣彼得堡悖论”。
Bernoulli对于这个问题给出一种解决办法。
他认为人们真正关心的是奖励的效用而非它的绝对数量；而且额外货币增加提供的额外效用，会随着奖励的价值量的增加而减少，即后来广为流传的“货币边际效用递减律”。
圣彼得堡悖论名词解释
圣彼得堡悖论名词解释圣彼得堡悖论，又称为彼得堡悖论，是一种经典的悖论问题，它在数学和哲学领域都有着广泛的应用和研究。
这个悖论问题最初由俄罗斯大作家和哲学家达斯金所提出，后来又被数学家伯努利和欧拉等人深入研究，成为了现代数学中的一个重要课题。
本文将从名词解释的角度，对圣彼得堡悖论进行详细的阐述和解释。
一、圣彼得堡悖论的定义圣彼得堡悖论是一种概率论中的悖论问题，它涉及到一个赌博游戏，游戏规则如下：在一个赌场里，有一个游戏机，它会不断地抛出一枚硬币，直到这枚硬币首次出现正面朝上为止。
每当硬币出现反面朝上时，游戏机就会停止抛硬币，然后赌徒可以选择离开游戏，或者继续玩下去。
如果赌徒决定继续玩下去，那么游戏机会再次抛出硬币，如果这次硬币正面朝上，那么赌徒就会赢得2美元，否则游戏就会继续进行下去，继续抛硬币，直到出现正面朝上为止。
每次硬币出现反面朝上，游戏机就会将赌注翻倍，也就是说，第一次出现反面朝上时，赌注为1美元，第二次出现反面朝上时，赌注为2美元，第三次出现反面朝上时，赌注为4美元，以此类推。
现在问题来了，假设你是这个赌场的赌徒，你带了100美元来玩这个游戏，你打算一直玩下去，直到赢得1000美元，那么你需要准备多少钱呢？这个问题看起来很简单，但是仔细分析一下就会发现，它涉及到一些概率论和数学问题，很容易陷入悖论的境地。
二、圣彼得堡悖论的分析为了更好地理解圣彼得堡悖论，我们需要对概率论中的一些基本概念进行解释和分析。
首先，我们需要了解期望值的概念。
期望值是指一系列数据中每个数据值乘以其概率的总和，也就是平均值。
例如，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上的概率都是50%，那么这个硬币的期望值就是(0.5*1+0.5*0)=0.5。
其次，我们需要了解几何级数的概念。
几何级数是指一个数列中每一项与前一项的比值相等的数列，例如1，2，4，8，16，32，64……就是一个几何级数，其中公比为2。
现在我们开始分析圣彼得堡悖论。
圣彼得堡悖论
20.解释并阐述圣彼得堡悖论数学家丹尼尔·贝诺里1725-1733年在圣彼得堡做研究时研究了这样一个问题：这是一个掷硬币的游戏，参加者先付门票，然后开始掷硬币，直至第一个正面出现时为止。
在此之前出现的反面的次数决定参加者的报酬，计算报酬R的公式为R(n)=2n公式中的n为参加者掷硬币出现反面的次数，参加者可能获得的报酬取决于他掷硬币时，在掷出第一个正面前可以掷出多少个反面。
参加者可能遇到的各种情况的概率及报酬见表。
如果n为0，他可以得到的报酬为20=1元，期望报酬为1/2；如果n为1，他可以得到的报酬为21=2元，期望报酬仍为1/2；余此类推，如果n为n，他可以得到的全部期望报酬为E(R)=∑Pr(n)R(n)=1/2+1/2+……=∞。
由于门票的价格是有限的，而期望报酬却是无穷大的，这就成为了一个悖论。
贝诺里运用边际效用递减的道理解决了这个问题。
他指出，参加者赋予所有报酬的每一元不同的价值，随着报酬的增加，每新获得的1元价值是递减的。
因此，函数log(R)给报酬为R元的参加者一个主观价值，报酬越高，每一元的价值就越小。
最后，他计算出风险报酬应为2元，这是参加者愿付的最高价。
我们将风险溢价为零时的风险投资称为公平游戏(fair game)，风险厌恶型的投资者不会选择公平游戏或更糟的资产组合，他们只愿意进行无风险投资或投机性投资。
当他们准备进行风险投资时，他们会要求有相应的风险报酬，即要求获得相应的超额收益或风险溢价。
投资者为什么不接受公平游戏呢？公平游戏看上去至少不坏，因为它的期望收益为0，而不是为负。
圣彼得堡悖论反映了一个人选择是否进行投资不仅与该项目的风险与收益有关，也与投资者对于风险的态度有关。
案例：平安银行对养老保险的投资者进行的风险爱好评估。
圣·彼得斯伯格悖论
圣·彼得斯伯格悖论
圣·彼得斯伯格悖论是一个重要的经典悖论，由德国哲学家圣·彼得斯·伯格在1899年提出的。
它的提出使得许多哲学家思考行为自由与确定性之间的关系。
圣·彼得斯伯格悖论的核心思想是行为是不可自由的，而所有行为也都是由外部力量
所决定的。
圣·彼得斯·伯格认为，确定论认为行为是受外部力量所决定的，由此推断出
行为既不可自由又不受外部力量控制，这时就会出现悖论。
正如圣·彼得斯·伯格所说：“Ein Wille ist entweder frei oder vom Kausalgesetz bestimmt; beides zusammen
ist unmöglich.”（一个意志要么是自由的，要么是受因果关系所决定的，这两者不可能
兼而有之）。
这个悖论引起了哲学家和思考者们的极大关注，也被认为是一个完全无法解决的悖论。
在行为宿命论与自由意志之间，没有一个通用的解决方案，许多哲学家也只是围绕着这个
悖论进行讨论，争论不休。
众说纷纭的背后，圣·彼得斯伯格悖论的核心问题是：是否存在一种把行为自由与确
定性结合起来的方式？许多哲学家相信只有结合两者，才能更好的理解人的行为和思想的
活动。
事实上，许多哲学家都以圣·彼得斯伯格悖论作为他们进行思考行为自由与确定性之
间关系的依据。
因此，和它一样古老，有深刻启发意义的圣·彼得斯伯格悖论，也可以作
为哲学家解释和探讨行为自由与确定性之间关系的重要参考。
对圣彼得堡悖论的思考
对圣彼得堡悖论的思考
关于圣彼得堡悖论,课堂上我们亲身体验了伯努利试验,通过掷硬币的试验,也加深了自己对圣彼得堡悖论的认识.理论上来讲,圣彼得堡游戏的期望应该是无穷大的,但是通过现场投掷硬币的试验,不难发现硬币投掷者所获得的奖金的实际值并非如此.
由于首次抛掷正面向上,获5＊2＝10元奖金,第二次出现正面,5＊2＊2＝20元奖金….第n次出现正面,则或5＊2＊2＊….(n个2)元奖金,通过两轮的试验发现,第一轮庄家定价35元是稳赚不赔的,可见游戏参与者的奖金期望值,也与理论期望值是相差甚远的,在第二轮的游戏中,由于双方的竞价,庄家的定价在25元左右,游戏参与者获得了一些奖金,但每次的数额并不是很多.从游戏中发现,理论与实际的差别是很大的,在决策问题的时候,也是必须注意这种差别的,而不应该硬套理论.
若要作为本游戏的庄家,对参与游戏的人给下定价,使自己作为庄家能够获利,从实际出发来考虑的话,游戏者获得10元奖金的概率是0.5,获得20元的奖金的概率是0.25,获得40元奖金的概率是0.125,获得80元的概率也将会变得更小,获得更高奖金的几率也将是越来越小,在实际的试验中,若想出现获得高奖金的结果,一定是重复游戏多次的,在实际的游戏中,由于各种因素的限制,游戏的次数也是非常的有限的,故出现高奖金的几率也是微小的.获得40元的奖金几率几经比较小了,连续几次均获40元以上奖金的几率,将会更小,故庄家的定价定在40以内,是有利可图的.再者来看,获二十元奖金的概率也只有0.25,连续数次获得20元以上的奖金几率也是很小的,故庄家长时间经营自己的生意的话,即从长远来看,二十元钱的定价对庄家来说也是有利可图的, 故我的观点是20元以上的定价,作为庄家都是可以接受的.。
圣彼得堡悖论解法
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管理决策4.2讲义
§4.2 效用函数的概念4.2.1 圣彼得堡悖论设有一个赌局，下赌注者掷一枚均匀的硬币，当出现正面反复掷下去，直到出现反面为止，如果前n 次都连续出现正面，第1+n 次出现反面，则下赌注者赢n 2元，第1次出现反面赢0元。
请问下赌注者愿意付多少赌金进行这个赌博？ 下赌注者期望赢利()+∞=⋅∑∞=1212n n n 元，虽然期望赢利为无穷大，但在实际生活中多数博彩者只愿意付不到10元才肯参与这一博彩，由此可见，人们实际决策行为与期望最优准则理论相悖。
这就是著名的圣彼得堡悖论(St.Petersburg Paradox)，由伯努利(Daniel Bernouli,1783)发现的，4.2.2 效用及效用函数（1）效用的概念（2）效用的测定 辨优设有决策系统(A,Q,V)，其结果值集合为{}n ,c ,,c c V 21=，记*c ≥()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21max ，0c ≤()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21min ，测定各结果值j c 的效用值)(j c u ，其步骤如下：①设1)(=*c u ，0)(0=c u 。
②建立简单事态体)]1([0*x c x c L -=，；，，其中x 称为可调概率。
③通过反复提问，不断改变可调概率值x ，让决策者权衡比较，当)]1(*[,0j j j p c p c L p x -==，；，时，得到无差异关系：)]1(*[~0j j j p c p c L c -=，；，。
④测得结果值j c 的效用：j j *j j p ))u(c p ()u(c p c u =-+=01)(。
不难看出，j c 的效用值就等于概率值j p 。
设决策问题的结果值集合{}n ,c ,,c c V 21=，且*c ≥()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21max ，0c ≤()n ,c ,,c c ⋅⋅⋅21min ，定义在c 上的实值函数)(c u 满足条件：①0)(0=c u ， 1)(*=c u ，存在V c ∈，使)(c u 满足无差异关系)),(1;),((~0*c c u c c u c -。
圣彼得堡悖论 是经济学内容
圣彼得堡悖论是经济学内容圣彼得堡悖论是经济学中一个著名的悖论，它揭示了人们在面对不确定性时的决策行为。
圣彼得堡悖论的名字来源于俄罗斯圣彼得堡市的赌场，这个悖论的实验是在赌场中进行的。
在圣彼得堡悖论实验中，参与者需要支付一定的入场费来参与游戏，游戏规则如下：一开始，一枚公平的硬币被抛掷，如果硬币正面朝上，参与者会得到1个游戏币，并且有机会继续游戏，再次抛掷硬币；如果硬币反面朝上，游戏结束，参与者不再获得任何游戏币。
每次正面朝上时，参与者得到的游戏币数量会翻倍，即第一次正面朝上得到1个游戏币，第二次正面朝上得到2个游戏币，第三次正面朝上得到4个游戏币，以此类推。
根据游戏规则可以算出，参与者在每次游戏中获得的期望收益是无限的。
因为每次抛掷硬币都有50%的概率正面朝上，所以参与者获得游戏币的次数不受限制。
而且每次获得的游戏币数量是指数增长的，所以参与者可以获得无限多的游戏币，期望收益无限。
然而，圣彼得堡悖论的关键在于人们对风险的态度。
虽然参与者可以获得无限期望收益，但每次参与游戏都需要支付入场费。
当入场费过高时，参与者可能会认为风险太大，不愿意参与游戏。
毕竟，付出很高的入场费却不一定能获得高额收益，这让人们感到不安。
圣彼得堡悖论揭示了人们在面对不确定性时的风险厌恶特征。
尽管理论上可以获得无限期望收益，但人们普遍对高风险的决策持谨慎态度。
这与经济学中的效用函数理论相关。
效用函数描述了人们对不同结果的偏好程度，而风险厌恶是效用函数的一个重要特征。
圣彼得堡悖论的实验结果显示，人们的风险厌恶特征会限制他们在面对不确定性时的行为。
在实际生活中，人们往往更愿意选择稳定的收益，而不愿意承担高风险。
这也解释了为什么很多人选择稳定的工作而不愿意冒险创业，或者选择保守的投资方式而不愿意追求高收益。
总结起来，圣彼得堡悖论揭示了人们在面对不确定性时的风险厌恶特征。
尽管参与者可以获得无限期望收益，但由于风险厌恶，他们可能不愿意承担高风险。
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圣彼得堡悖论概述圣彼得堡悖论是决策论中的一个悖论。
圣彼得堡悖论是数学家丹尼尔·伯努利（Daniel Bernoulli）的表兄尼古拉·伯努利（Daniel Bernoulli）在１７３８提出的一个概率期望值悖论，它来自于一种掷币游戏，即圣彼得堡游戏。
设定掷出正面或者反面为成功，游戏者如果第一次投掷成功，得奖金２元，游戏结束；第一次若不成功，继续投掷，第二次成功得奖金４元，游戏结束；这样，游戏者如果投掷不成功就反复继续投掷，直到成功，游戏结束。
如果第ｎ次投掷成功，得奖金２的ｎ次方元，游戏结束。
按照概率期望值的计算方法，将每一个可能结果的得奖值乘以该结果发生的概率即可得到该结果奖值的期望值。
游戏的期望值即为所有可能结果的期望值之和。
随着ｎ的增大，以后的结果虽然概率很小，但是其奖值越来越大，每一个结果的期望值均为1，所有可能结果的得奖期望值之和，即游戏的期望值，将为“无穷大”。
按照概率的理论，多次试验的结果将会接近于其数学期望。
但是实际的投掷结果和计算都表明，多次投掷的结果，其平均值最多也就是几十元。
正如Hacking（１９８０）所说：“没有人愿意花２５元去参加一次这样的游戏。
”这就出现了计算的期望值与实际情况的“矛盾”，问题在哪里? 实际在游戏过程中，游戏的收费应该是多少？决策理论的期望值准则在这里还成立吗？这是不是给“期望值准则”提出了严峻的挑战？正确认识和解决这一矛盾对于人们认识随机现象、发展决策理论和指导实际决策无疑具有重大意义。
圣彼得堡问题对于决策工作者的启示在于，许多悖论问题可以归为数学问题，但它同时又是一个思维科学和哲学问题。
悖论问题的实质是人类自身思维的矛盾性。
从广义上讲，悖论不仅包括人们思维成果之间的矛盾，也包括思维成果与现实世界的明显的矛盾性。
对于各个学科各个层次的悖论的研究，历来是科学理论发展的动力。
圣彼得堡悖论所反映的人类自身思维的矛盾性，首先具有一定的哲学研究的意义；其次它反映了决策理论和实际之间的根本差别。
人们总是不自觉地把模型与实际问题进行比较，但决策理论模型与实际问题并不是一个东西；圣彼得堡问题的理论模型是一个概率模型，它不仅是一种理论模型，而且本身就是一种统计的“近似的”模型。
在实际问题涉及到无穷大的时候，连这种近似也变得不可能了。
实验的论文解释丹尼尔·伯努利对这个悖论的解答在１７３８年的论文里，提出了效用的概念以挑战以金额期望值为决策标准，论文主要包括两条原理：１、边际效用递减原理：一个人对于财富的占有多多益善，即效用函数一阶导数大于零；随着财富的增加，满足程度的增加速度不断下降，效用函数二阶导数小于零。
２、最大效用原理：在风险和不确定条件下，个人的决策行为准则是为了获得最大期望效用值而非最大期望金额值。
圣彼得堡悖论的消解历史圣彼得堡悖论的提出已有２００多年了，所提出的消解方法大致可以归纳为以下几种观点：（一）边际效用递减论Daniel Bernoulli在提出这个问题的时候就给出一种解决办法。
他认为游戏的期望值计算不应该是金钱，而应该是金钱的期望效用，即利用众所周知的“期望效用递减律”，将金钱的效用测度函数用货币值的对数来表示：效用=log（货币值）。
所有结果的效用期望值之和将为一个有限值log(4)≈ 0.60206，如果这里的效用函数符合实际，则理性决策应以4元为界。
这一解释其实并不能令人满意。
姑且假定“效用递减律”是对的，金钱的效用可以用货币值的对数来表示。
但是如果把奖金额变动一下，将奖金额提高为l0的2n次方(n=3时，奖金为108)，则其效用的期望值仍为无穷大，新的悖论又出现了当然，我们并不清楚效用值与货币值之间究竟有什么样的关系，不过只要我们按照效用的2n倍增加奖金，悖论就总是存在。
（二）风险厌恶论圣彼得堡悖论对于奖金额大小没有限制，比如连续投掷４０次才成功的话，奖金为1.1万亿元。
但是这一奖金出现的概率极小，1.1万亿次才可能出现一次。
实际上，游戏有一半的机会，其奖金为２元，四分之三的机会得奖4元和2元。
奖金越少，机会越大，奖金越大，机会越小。
如果以前面Hacking所说。
花25元的费用冒险参与游戏将是非常愚蠢的，虽有得大奖的机会，但是风险太大。
因此，考虑采用风险厌恶因素的方法可以消解矛盾。
Pual Weirich就提出在期望值计算中加入一种风险厌恶因子，并得出了游戏费用的有限期望值，认为这种方法实际上解决了该悖论。
但是这种方法也并不十分完美。
首先，并非所有人都是风险厌恶的，相反有很多人喜欢冒险。
如每期必买的彩票，以及Casino（卡西诺）纸牌游戏，其价格都高于得奖的期望值。
你也可以说这些喜欢冒险买彩票和赌博的人是非理性的，可他们自有乐趣，喜欢这样的风险刺激。
总之，风险厌恶的观点很难解释清楚实际游戏平均值非常有限的问题。
退一步说，即便承认风险厌恶的观点，矛盾仍然不能消除。
我们仍然可以调整奖金额，最后，考虑风险厌恶情况的期望值仍然是无穷大而与实际情况不符。
（三）效用上限论对前两种观点的反驳，我们采用了增加奖金额的方法来补偿效用的递减和风险厌恶，两者均是假定效用可以无限增加。
也有一种观点认为奖金的效用可能有一个上限，这样，期望效用之和就有了一个极限值。
M enger认为效用上限是惟一能消解该悖论的方法。
设效用值等于货币值，上限为１００单位，则游戏的期望效用为7.56l25，如表3所示。
也许这里的效用上限太小了，不过我们可以任意选定一个更大的值比如225 。
有多人如Russell Har—din (1982)，W illiam G uNtaNon (1994)，Richard Jeffrey(1983)等都赞成这样的观点。
不过这种效用上限的观点似乎不太令人信服。
效用上限与效用递减不同，或许你认为有２２５的钱够自己花的了，可是钱并不能给我们带来所有的效用，有些东西不是钱所能买来的。
效用上限意味着再也没有价值可以添加了。
但是一个人有了钱，还希望他的朋友、亲戚也像他一样富有；同一个城市里的人和他一样富有。
而效用上限论认为到了这一上限他们就不用再做任何交易了，看起来这并不能成立。
对有些人来讲，似乎期望和需求并不是无限增加的，对于现有的有限需求他们已经满足了。
他们觉得这里的游戏期望效用值确实是有限的。
不过是不是确实有这样的人还是一个不确定的问题，或者是个经验性的问题。
但认为“越多越好”的人确实是存在的。
对于决策准则这样的理性选择的理论，不能基于可疑的和经验性的判断而加以限制，因而期望有限论不足以消解这里的矛盾。
（四）结果有限论Gustason认为，要避免矛盾，必须对期望值概念进行限制，其一是限制其结果的数目；其二是把其结果值的大小限制在一定的范围内。
这是典型的结果有限论，这一观点是从实际出发的。
因为实际上，游戏的投掷次数总是有限的数。
比如对游戏设定某一个投掷的上限数Ｌ，在投掷到这个数的时候，如果仍然没有成功，也结束游戏，不管你还能再投多少，就按照Ｌ付钱。
因为你即便不设定Ｌ，实际上也总有投到头的时候，人的寿命总是有限的，任何原因都可以使得游戏中止。
现在设定了上限，期望值自然也就可以计算了。
问题是，这已经不是原来的那种游戏了！同时也并没有证明原来的游戏期望值不是无限大。
原来的游戏到底存在吗？Jeffrey说：“任何提供这一游戏的人都是一个骗子，谁也没有无限大的银行！”是说实际上没有这种游戏吗？恐怕这也不见的。
如果我邀请你玩这种游戏，你说我实际上不是在这样做吗? 或者说我实际上邀请你玩的不是这种游戏而是另外的什么游戏? 很多游戏场提供许多概率极小、奖金额极大几乎不可能的游戏，他们仍然在经营、在赚钱，照样吃饭睡觉，一点儿也不担心哪一天会欠下一屁股债，崩盘倒闭。
Jeffrey在这样说的时候，实际上是承认了圣彼得堡游戏的期望值是无穷大了。
认为游戏厅不提供这样的游戏，正是因为他们认为其期望值是无穷大，迟早他们会因此而破产倒闭。
这正是用了常规的决策理论，而反过来又说这种游戏实际上不存在，应该排除在期望值概念之外。
因此，用限制期望值概念的方法并不能消解悖论。
不能限制期望值概念的原因还有很多。
比如，我们不能用限制期望值概念的方法仅把圣彼得堡游戏排除在外，而应该是通用的。
在人寿保险中，有一个险种根据保险人的年龄，每长一岁给付一定的赔付金额。
采用人类寿命的经验曲线给出每个年龄的生存机会。
大于１４０岁的生存率已经没有经验可以借鉴，但可以采用一定的函数将生存年龄扩展至无穷大，当然其生存率趋向于零。
注意到这里的给付金额也是无限的，但是其在期望值计算方面并没有出现什么问题。
问题的本质与悖论的消解所谓悖论，《辞海》中的定义是：“一命题Ｂ，如果承认Ｂ，可推得非Ｂ，反之，如果承认非Ｂ，又可推得Ｂ，称命题Ｂ为一悖论。
”可见，作为一种推理的矛盾现象，悖论是人们自己制造出来的。
现在已经有人证明，这种意义上的悖论是不存在的。
一个命题是一个具有真假的判断语句，如果一个命题Ｂ和非Ｂ能够相互推出，则Ｂ要么是非真非假的单义句，要么是非真非假的多义句。
所以，悖论作为人类思维系统的一种矛盾形式，它的消解必须从人们思维系统自身的矛盾性和不完善性着手，需要人类战胜和超越自己。
历史上一次一次的悖论的消解，提出了更完备的公理系统，完善了人类的思维和科学系统，使得科学得到进一步的发展。
圣彼得堡悖论也是一样。
（一）对圣彼得堡悖论各种消解观点的评述综合上述悖论的消解观点，效用递减论符合了“边际效用递减律”，能够在一定程度上解决实际问题，但是却绕开了问题的基本面。
圣彼得堡游戏的期望值到底是多少并没有真正得到解决；风险厌恶论，犯了同样的错误，只不过是用风险因子替换了效用函数，实际上只是一种风险效用；效用上限论和结果上限论试图回避问题的无限性，篡改了原问题，自然也不可能解决问题。
这些观点都是从实际出发的，但都没有触及人们的思维系统，不能冲破自己思想的牢笼，即便解决了这一悖论，又会有新的悖论出现。
（二）最后的消解从上述圣彼得堡悖论的消解方法来看，其效果都不是十分理想，都没有真正解决问题。
但是正是这些努力，是我们认识到仅从实际出发是不能解决问题的，而最合理的解释就是——保留期望值的定义，调整我们的思维。
当我们这样做的时候，圣彼得堡悖论就不再是一个悖论了！理论上期望值的计算没有什么错误，我们需要承认它的期望值是无穷大；而实际上它的均值又不可能是无穷大，因为它是样本均值，样本均值随着样本容量的增加，以概率收敛于其期望值。
这都是正常的，它们本身就是应该有差距的！至于差距应该有多大，在小于无穷大的时候，样本均值随着实验次数的增多，越来越接近总体均值（或理论均值），圣彼得堡游戏不正是这样的吗？而在总体均值是无穷大的时候，我们如何让样本均值如何接近无穷大呢？非得是我们认为的很大很大吗？再大也不是无穷大，和现在也没有区别，我们平时的“大小”概念已经不适应了。