最小二乘位相解包裹算法
最小二乘算法原理
最小二乘算法原理最小二乘算法（Least Squares Algorithm）是统计学和数学中常用的一种回归分析方法，用于在观测数据有噪声的情况下，拟合一个最接近观测数据的函数。
该算法的目标是找到一组参数，使得通过这些参数计算出的函数值与观测数据的残差（观测值与拟合值之间的差异）的平方和最小。
在最小二乘算法中，我们有一个假设函数（也称为模型函数），通过调整函数中的参数来对观测数据进行拟合。
通常情况下，我们假设函数为线性函数，形式为y = f(x;θ) = θ₀+ θ₁x₁+ θ₂x₂+ ... + θₙxₙ，其中x₁, x₂, ..., xₙ是自变量的特征，θ₀, θ₁, θ₂, ..., θₙ是函数的参数。
算法的目标是最小化观测数据与拟合函数之间的残差的平方和，即最小化目标函数S(θ)，其中θ表示函数的参数，如下所示：S(θ) = ∑(yᵢ - f(xᵢ; θ))²这个目标函数可以被称为损失函数，因为它测量了预测值与真实值之间的差异，并希望这个差异尽可能地小。
为了最小化目标函数，最小二乘算法使用了最优化方法。
具体而言，通过求解目标函数的偏导数为零的方程，得到了最小二乘估计量。
这个方程可以写成如下矩阵形式：XᵀXθ= Xᵀy其中X是一个矩阵，包含自变量的特征值，每一行代表一个观测数据点的特征向量；y是一个向量，包含观测数据的目标变量值；θ是一个向量，代表函数的参数。
通过求解上述方程可以得到最小二乘估计量的闭式解：θ= (XᵀX)⁻¹Xᵀy这个解给出了使得目标函数最小的最优参数值。
最小二乘算法不仅仅适用于线性回归问题，也可以推广到非线性回归问题。
在非线性回归中，假设函数是非线性的，例如多项式函数、指数函数等。
在这种情况下，最小二乘算法使用迭代优化方法，例如梯度下降法，来找到最小化目标函数的最优参数值。
总结一下，最小二乘算法是一种常用的回归分析方法，在观测数据有噪声的情况下，通过最小化观测数据与拟合函数之间的残差的平方和，来寻找最优的参数值。
最小二乘的求解及简化剖析
1
wr11n 1
0
0
x1n
wr12 n 1
wr22 n 1
0
x2 n
wr1M n 1 wr2M n 1
wrMM n 1 xM n
wr1d wr2d
n n
1 1
wrMd n 1
dn
用于时间递推最小二乘估计的Givens算法
可以利用一系列M个Givens旋转，来消除矩阵 Rn
个行矢量
矢量除以其长度，得到一个标准正交矢量组
qˆi ,i 1,2,, k
其中
qˆi
qi qiH qi
3.1 Gram-Schmidt正交化
在对数据矩阵A的分解时,可以证明:
a1 a2 aM q1 q2 qM R~M
其中
1 ~r12 ~r1M
R~M
0
1
~r2M
0 0
1
3.2 Givens旋转
通过对信号矢量XM l的一个线性加权组合可以 得到对理想信号d l 的一个估值。所以，
d l, n XTM lhM n,
0l n
定义误差为
el, n dl d l, n,
0ln
1、最小二乘估计的矩阵形式
最小二乘估计问题可以表述为，给定一组观测矢
量组 XM l,l 0,1,n 确定出系数矢量 hM n，使加权
趣的两行，Givens 旋转在这些行上的操作表示为
ci si
si ci
0 0
0 0
wrii n 1 xiin
wri,i1 n 1
xii1 n
0 0
0 0
rii n
0
ri,i1 n xii11 n
riM n xMi1 n
(完整word版)多种最小二乘算法分析+算法特点总结
第一部分：程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结 (3)一：RLS遗忘因子法 (3)RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果 (3)遗忘因子法的特点: (4)二：RFF遗忘因子递推算法 (4)仿真思路和辨识结果 (4)遗忘因子递推算法的特点： (6)三:RFM限定记忆法 (6)仿真思路和辨识结果 (6)RFM限定记忆法的特点： (7)四:RCLS偏差补偿最小二乘法 (7)仿真思路和辨识结果 (7)RCLS偏差补偿最小二乘递推算法的特点： (9)五：增广最小二乘法 (9)仿真思路和辨识结果 (9)RELS增广最小二乘递推算法的特点: (11)六：RGLS广义最小二乘法 (11)仿真思路和辨识结果 (11)RGLS广义最小二乘法的特点： (13)七：RIV辅助变量法 (14)仿真思路和辨识结果 (14)RIV辅助变量法的特点： (15)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法） (15)仿真思路和辨识结果 (15)Cor—ls相关最小二乘法（二步法)特点： (17)九：MLS多级最小二乘法 (17)仿真思路和辨识结果 (17)MLS多级最小二乘法的特点: (21)十:yule_walker辨识算法 (21)仿真思路和辨识结果 (21)yule_walker辨识算法的特点: (22)第二部分：matlab程序 (23)一：RLS遗忘因子算法程序 (23)二：RFF遗忘因子递推算法 (24)三:RFM限定记忆法 (26)四:RCLS偏差补偿最小二乘递推算法 (29)五:RELS增广最小二乘的递推算法 (31)六；RGLS 广义最小二乘的递推算法 (33)七:Tally辅助变量最小二乘的递推算法 (37)八：Cor-ls相关最小二乘法（二步法) (39)九:MLS多级最小二乘法 (42)十yule_walker辨识算法 (46)第一部分:程序设计思路、辨识结果分析和算法特点总结一：RLS遗忘因子法RLS遗忘因子法仿真思路和辨识结果仿真对象如下：其中, v(k ）为服从N（0,1)分布的白噪声。
最小二乘问题公式(一)
最小二乘问题公式(一)最小二乘问题公式1. 最小二乘问题简介最小二乘问题是一种统计学和数学中常见的优化问题。
它的目标是求解一个线性模型，使得模型中的实际观测值与模型预测值之间的残差的平方和最小。
2. 最小二乘问题公式最小二乘问题的公式可以表示为：∥Ax−b∥2minx其中，A是一个m×n的矩阵，x是一个n维列向量，b是一个m维列向量。
3. 相关公式下面列举一些与最小二乘问题相关的公式：正规方程最小二乘问题的解可以通过使用正规方程求解：x=(A T A)−1A T b这里，A T表示A的转置，A−1表示A的逆矩阵。
最小二乘解的闭式解对于线性模型 Ax =b ，当 A T A 是满秩矩阵时，最小二乘问题的解存在唯一的闭式解。
QR 分解法除了使用正规方程，还可以使用QR 分解法求解最小二乘问题。
使用QR 分解可以将最小二乘问题转化为一个更容易求解的等价问题。
广义逆矩阵最小二乘问题的解可以通过求解广义逆矩阵的方式得到：x =A †b这里，A † 是矩阵 A 的广义逆矩阵。
4. 示例解释假设有一组观测数据，其中 m =5 表示观测样本数量，n =2 表示模型参数数量。
我们可以将这些观测数据表示为矩阵 A 和列向量 b 。
通过求解最小二乘问题，可以得到模型的最优参数估计。
假设观测数据的矩阵表示为：A =[ 12345678910]观测数据的目标值列向量表示为：b=[3 7 11 15 19]根据最小二乘问题的公式，我们可以求解最优参数估计：x=(A T A)−1A T b带入具体数值计算后，得到最优参数估计为：x=[11]这表示线性模型的最优参数为x1=1和x2=1。
5. 总结最小二乘问题是一种常见的优化问题，用于求解线性模型的最优参数估计。
通过求解最小二乘问题的公式，可以得到模型的最优参数估计。
正规方程、闭式解、QR分解法和广义逆矩阵都是常用的求解最小二乘问题的方法。
最小二乘算法
最小二乘算法最小二乘算法是一种常用的数学方法，用于解决线性回归问题。
它的基本思想是通过最小化误差平方和来确定最佳拟合直线或曲线。
在实际应用中，最小二乘算法被广泛应用于数据分析、信号处理、图像处理等领域。
最小二乘算法的核心是寻找最佳拟合直线或曲线。
在线性回归问题中，我们需要找到一条直线，使得该直线与数据点的距离最小。
具体来说，我们需要找到一组参数，使得该直线的误差平方和最小。
误差平方和是指每个数据点到直线的距离的平方和。
最小二乘算法的目标就是最小化这个误差平方和。
最小二乘算法的求解过程可以通过矩阵运算来实现。
具体来说，我们可以将数据点表示为一个矩阵X，将参数表示为一个向量θ，将目标值表示为一个向量y。
然后，我们可以通过最小化误差平方和的公式来求解参数θ。
最小二乘算法的求解过程可以通过矩阵运算来实现，这使得算法的求解速度非常快。
最小二乘算法的优点是可以处理大量数据，并且可以处理非线性问题。
此外，最小二乘算法还可以用于解决多元线性回归问题。
多元线性回归问题是指有多个自变量的线性回归问题。
在多元线性回归问题中，最小二乘算法可以通过矩阵运算来求解参数。
最小二乘算法的应用非常广泛。
在数据分析领域，最小二乘算法可以用于拟合数据，预测未来趋势。
在信号处理领域，最小二乘算法可以用于滤波、降噪等。
在图像处理领域，最小二乘算法可以用于图像重建、图像增强等。
最小二乘算法是一种非常有用的数学方法，可以用于解决线性回归问题。
它的优点是可以处理大量数据，并且可以处理非线性问题。
最小二乘算法的应用非常广泛，可以用于数据分析、信号处理、图像处理等领域。
的最小二乘解
的最小二乘解最小二乘解（Least squares solution）是一种线性方程组求解方法，它的目标是找到一个向量，使得这个向量和实际数据点间的误差平方和最小，因此也被称为“最小平方拟合”或者“最小误差平方和解”。
最小二乘解在多个领域中都有广泛的应用，如经济学、物理学、信号处理等。
一个线性方程组可以用矩阵和向量的乘积来表示，即 Ax = b，其中A是一个m×n的矩阵，x和b都是n维列向量。
如果A的行向量线性无关（也就是说没有冗余的等式），则称A为列满秩。
如果A的行向量不满秩，则Ax = b可能没有解，也可能有无限个解。
如果A的列向量是满秩的，则称A为行满秩，那么Ax = b只有一个解。
如果A既不是行满秩也不是列满秩，则称A为奇异的（singular）。
当A的列向量不满秩时，我们通常无法找到一个x，使得Ax = b。
但是在很多情况下，我们希望找到一个最接近的x，使得Ax与b之间的误差尽量小。
这就是最小二乘解的目标。
我们定义误差向量e = Ax - b，我们希望找到一个x，使得e的范数（也就是长度）最小。
因此，我们需要解决以下最小化问题：$$\min_{x} ||Ax-b||^{2}$$其中，$||\cdot||$表示向量的范数。
上述问题是一个无约束的最小二乘问题。
它的解为：$$x = (A^TA)^{-1}A^Tb$$这个解也被称为正规方程组（normal equations）的解。
正规方程组是一个n×n的矩阵，当A的列向量是满秩的时候，它是一个可逆矩阵，因此解存在且唯一。
但是如果A的列向量是线性相关的，那么正规方程组将不可逆，且解不唯一。
在这种情况下，我们需要使用其他的方法求解最小二乘解。
另一种求解最小二乘解的方法是QR分解（QR decomposition）。
QR分解将矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A = QR。
正交矩阵Q的每一列都是单位向量，因此Q的转置和逆相等。
使用最小二乘迭代相移方法测量透明元件
使用最小二乘迭代相移方法测量透明元件**基金项目：国家重点研发计划重大科学仪器设备开发专项(2016YFF0101908)李泾渭，辛 青，郁 杰，侯昌伦(杭州电子科技大学电子信息学院,浙江杭州310000)摘要：为了更精确地测量透明平板前后两个面的面形相位发布，提出了一种基于最小二乘迭代的相移算法。
通过一次最小二乘相移算法后，可以得到相应的透明平板面形图，但是由于初始得到的相位值存在误差，因此得到的面 形图精度并不会很高。
因此需要通过得到的面形图推导出准确的相位值，本算法通过最小二乘发多次迭代的方法， 计算出较准确的初始相移值。
对该方法进行仿真实验后，可知此算法的测量精度较高且抗噪能力比较好，仿真得到 面形图的PV 值与RMS 值误差值均小于0.006姿遥在实际测量结果中，得到测量结果的PV 值误差小于0.09姿，RMS 误差小于0.02姿。
测量到的面形与物体真实面形接近，测量精度较高遥关键词：干涉；最小二乘迭代算法；相移算法；面形检测；多表面干涉中图分类号：TN247 ； O438 文献标识码：A DOI : 10.16157/j.issn.0258-7998.200753中文引用格式：李泾渭,辛青,郁杰,等.使用最小二乘迭代相移方法测量透明元件[J].电子技术应用,2021,47(1):100-107.英文弓I 用格式： Li Jingwei , Xin Q ing , Yu Jie , et al. Measure transparent elements using least squares iterative phase shift method [J].Application of Electronic Technique , 2021,47(1) ： 100- 107.Measure transparent elements using least squares iterative phase shift methodLi Jingwei , Xin Qing , Yu Jie , Hou Changlun(College of Electronic Information , Hangzhou Dianzi University , Hangzhou 310000 , China)Abstract : In order to measure the surface phase of the front and back of the transparent plate more accurately, a phase shift algo rithm based on least squares iteration is proposed. After a least squares phase shift algorithm , the corresponding transparent flat surface pattern can be obtained, but the accuracy of the obtained surface map is not high because there is an error in the initial phase value . Therefore , it is necessary to derive the accurate phase value from the obtained surface map. The algorithm calculates the more accurate initial phase shift value by the method of least squares and multiple iterations. After the simulation experiment of the method , it is known that the measurement accuracy of this algorithm is high and the anti - noise ability is better. The error of the PV value and RMS value of the surface map is less than 0.006姿.In actual measurement results, the PV error of the measure ment result is less than 0.09姿,and the RMS error is less than 0.02姿.The measured shape is close to the true shape of the ob ject, and the measurement accuracy is high .Key words : interference ； least squares iterative algorithm ； phase shift algorithm ； shape detection ； multi -surface interference0引言光学元件面形最主要的检测方法是相移干涉法,在 传统情况下，被检测的光学元件只有一个光滑表面,使 用传统的相移干涉算法,能检测到高精度的光学元件面 形［1-2］° 但是 当传统的相移干涉算法检测前后两个表面 都光滑的光学元件时,由于被测元件前后两个表面都会产生反射光,所形成的干涉图像由多表面干涉形成,传 统的相移干涉无法分离各自的干涉条纹,故无法测得此 时的光学元件的面形°目前常用的消除多表面干涉的方法是使用折射率匹配的消光漆或凡士林涂抹在被测光学元件的后表面,抑制后表面的反射,或者使用多模激光器［3］使后表面的 反射光与测试光不相干。
最小二乘算法原理
最小二乘算法原理最小二乘算法是一种用来求解最优拟合直线或曲线的方法。
其原理是通过最小化实际观测值与拟合值之间的差异平方和，来找到最合适的模型参数。
假设我们有n个数据点，其中每个数据点由自变量x和因变量y组成。
最小二乘算法的目标是找到一条拟合直线（或曲线），使得所有数据点到该直线（或曲线）的距离之和最小。
首先，我们需要定义一个模型函数，表示拟合直线（或曲线）的形式。
例如，对于线性函数来说，模型函数可以表示为：y= a + bx，其中a和b是需要求解的模型参数。
然后，我们计算每个数据点与模型函数的差异，记为残差或误差。
对于线性函数来说，残差可以表示为：ε = y - (a + bx)。
接下来，我们计算残差的平方和（Sum of Squared Residuals，SSR），即将每个残差平方后求和。
SSR表示了实际观测值与拟合值之间的整体偏差。
最小二乘算法的关键步骤是，通过求解模型参数的偏导数并令其等于零，来找到使得SSR最小的模型参数。
对于线性函数来说，我们可以通过求解下面的正规方程组来得到最优参数的估计值：∂SSR/∂a = -2Σ(y - (a + bx)) = 0∂SSR/∂b = -2Σx(y - (a + bx)) = 0将上述方程化简后，我们就可以得到最优参数的估计值：a = (Σy - bΣx) / nb = (nΣxy - ΣxΣy) / (nΣx^2 - (Σx)^2)其中，Σ表示对所有数据点求和，n表示数据点的个数。
通过最小二乘算法，我们可以得到拟合直线（或曲线）的最优参数估计值，从而使得实际观测值与拟合值之间的差异最小化。
最小二乘算法被广泛应用于数据分析、回归分析、信号处理等领域。
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Ψ 求解J的最小二乘意义下的解 求解J的最小二乘意义下的解i, j ,即可 获得相位展开的解。 上式可最终归结为：
为求解（2 为求解（2）方程，需要的边界条件是：
此外，还需要知道 值，这些值可由下式得到：
的
可见，最小二乘算法的实质是求解满足Neumann 边界条件的柏松方程。由二维空间多个象素点可以得 到多个方程，构成线性方程组，并且该方程组的系数 矩阵为稀疏矩阵，求解这样的线性方程组有很多算法， 在实际中得到应用的是一些快速算法，如快速傅立叶 算法、离散余弦变换算法、基于高斯-实德迭代的多 网格算法、基于格林公式的格林算法等。
基于DCT的最小二乘算法的步骤 基于DCT的最小二乘算法的步骤
1)对由(2)式计算得到的阵列 ρi , j ,进行(3)式的二维 1)对由(2)式计算得到的阵列 进行(3)式的二维 离散余弦变换正变换, 离散余弦变换正变换,产生二维离散余弦变换谱值 ρ m,n ; 2)由(5)式计算得到 Ψm,n; 2)由(5)式计算得到 3)作 Ψm,n 的二维离散余弦变换反变换,得到最小 3)作 的二维离散余弦变换反变换, 二乘意义下的展开相位 φi . j 。 应当注意, i=0和j=0处,(5)式的分母为 应当注意,在i=0和j=0处,(5)式的分母为 零,这意味着 Ψ 0,0 是不确定值,因为对常数偏置无法 是不确定值, 解得泊松方程。在实际计算中, 解得泊松方程。在实际计算中,设 Ψ 0,0 = ρ0,0 ,以使该 ,以使该 偏置保持不变。
理论上, 理论上,展开相位差值应当等于包裹相位差值。 但是,由于奇异点的存在,应用(1)式展开相位时, 但是,由于奇异点的存在,应用(1)式展开相位时,干 涉图中受影响区域不可能得到正确的k(i,j)值。由 涉图中受影响区域不可能得到正确的k(i,j)值。由 于相位展开过程中后一点的k(i,j)总是在前一点的 于相位展开过程中后一点的k(i,j)总是在前一点的 基础上计算的,当遇有奇异点时, 基础上计算的,当遇有奇异点时,其所产生的相位展 开误差会叠加在后续的点上, 开误差会叠加在后续的点上,使误差沿去包裹方向 扩展,从而出现误差条带, 扩展,从而出现误差条带,即“跳序”或“拉线”现 象,这使得展开相位差值与包裹相位差值间将有差 值存在。
三.基于DCT的最小二乘解包裹算法 基于DCT的最小二乘解包裹算法
最小二乘相位展开方法 离散余弦变换求解泊松方程
பைடு நூலகம்
最小二乘相位展开方法
Ψ 假定 为二维离散点(i,j)上的展开相位,φij为 假定i, j 为二维离散点(i,j)上的展开相位,φij为 测量到的包裹相位,则有φij= + j 测量到的包裹相位,则有φij= Ψi, n(i,j)+2πk(i,j) （1）, k为整数,-π≤φij≤π。n(i,j)表示测量中的噪 k为整数, π≤φij≤π。n(i,j)表示测量中的噪 声,k(i,j)是整数值函数。相位展开的任务是要从包 ,k(i,j)是整数值函数。相位展开的任务是要从包 裹相位φij中估计适当的k(i,j),并去除噪声n(i,j),从而 裹相位φij中估计适当的k(i,j),并去除噪声n(i,j),从而 j 得到真实连续的相位场 Ψi,。
基于最小二乘法的位相解 包裹算法
一.位相解包裹
光干涉测量结果表现为干涉条纹，与被测物理 量直接相关的是蕴涵于干涉条纹中的位相信息。 无论是时域相位调制，还是频域相位调制，最 后获得的相位都是以反正切函数表示的。根据反正 切函数的固有性质，这些相位值仅是被测物理量每 一点对应的实际相位在2兀主值区间内的值，即处于 [一兀，兀]内的包裹相位值，需要把不连续的包裹 相位展开重建实际相位值。图1给出了一个一维相位 展开的简单示意图，图1(a)是包裹相位图，图1(b) 是解包裹相位图。
基于DCT的最小二乘算法的实现 基于DCT的最小二乘算法的实现
二维离散余弦变换为
二维反离散余弦变换为
其中
φi , j
对式(2)等式右边按照（3）式作二维DCT变 换,得到 ρi , j在DCT域内的解为 ρ m , n ,代入下式求 得 Ψm,n （5） 对 Ψm,n按照式(4)进行反DCT变换即可得到真实 φ 的相位分布i . j 。
二.位相解包裹算法分类
路径跟踪算法： 路径跟踪算法：
分支切割算法、质量图导向算法、掩模分割算法、 网络流算法等; 网络流算法等;
最小范数算法： 最小范数算法： 其中比较流行的是最小二乘算法
分为无加权和加权两种形式。通常是引入离散余 弦变换(DCT)求解离散泊松方程, 弦变换(DCT)求解离散泊松方程,得到最小二乘意 义上的展开相位解, 义上的展开相位解,进而得到展开的相位。
最小二乘算法的原理
寻找已展开的相邻像素点间展开相位差值与 该相邻像素点间包裹相位差值之差的最小二乘解, 该相邻像素点间包裹相位差值之差的最小二乘解, 得到最小二乘意义下的展开相位。 W, 首先定义包裹算子W,有 首先定义包裹算子W,有 W (Ψ i , j ) = φi , j 定义包裹相位差 x i , j = φ(i +1), j φi , j (3) iy, j = φi,(j+1) φi , j (4) 其中上标x 其中上标x、y分别指行像素相位差及列像素相位 差。在M 差。在M×N矩形像素网格上作最小二乘: 矩形像素网格上作最小二乘: