普通最小二乘法(OLS)
Eviews数据统计与分析教程5章 基本回归模型的OLS估计-普通最小二乘法
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五、 线性回归模型的检验
1.拟合优度检验
拟合优度R2的计算公式为 R2 = ESS / TSS = 1－RSS / TSS 当回归平方（ESS）和与总体平方和（TSS）较为接 近时，模型的拟合程度较好；反之，则模型的拟合 程度较差。因此，模型的拟合程度可通过这两个指 标来表示。
2.实际值、拟合值和残差
三条曲线分别是实际值（Actual），拟合值（Fitted） 和残差（Residual）。实际值和拟合值越接近，方程拟 合效果越好。
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三、多元线性回归模型
通常情况下，将含有多个解释变量的线性回归模型（多 元线性回归模型）写成如下形式， yi = 0 + 1 x1i +2 x2i+3 x3i+…k xki + ui （i=1， 2，…，n） 其中，y为被解释变量，也被称为因变量；x为解释变量 或自变量；u是随机误差项（random error term），也 被称为误差项或扰动项； n为样本个数。
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五、 线性回归模型的检验
3.异方差性检验 （1）图示检验法 检验步骤：
建立方程对象进行模型的OLS（最小二乘）估计， 此时产生的残差保存在主窗口界面的序列对象 resid中。 建立一个新的序列对象，并将残差序列中的数据 复制到新建立的对象中。 然 后 选 择 主 窗 口 中 的 “ Quick‖ | ―Graph‖ | ―Scatter‖选项，生成散点图，进而可判断随机项 是否存在异方差性。
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五、 线性回归模型的检验
1.拟合优度检验
拟合优度检验用来验证回归模型对样本观测值（实 际值）的拟合程度，可通过R2统计量来检验。
第三讲普通最小二乘法
在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：
Yi 0 1 X i i
随机抽取n组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）。
假如模型的参数估计量已经求得，为 那么Yi服从如下的正态分布： 于是，Y的概率函数为
2 ˆ ˆ Yi ~ N ( 0 1 X i , )
② 用最小二乘法拟合的直线来代表 x 与 y 之间的 关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
2. 正规方程和估计量
取偏导数并令其为0，可得正规方程 ( ei2 ) ˆ ˆ X )0 2 (Yi 1 2 i ˆ
( ei2 ) ˆ ˆ X )X 0 2 (Yi 1 2 i i ˆ
普通最小二乘法（OLS） （Ｏrdinary Least Squares) 高斯被认为是历史上 最重要的数学家之一，并 享有“数学王子”之称。 高斯和阿基米德、牛顿并 列为世界三大数学家。一 生成就极为丰硕，以他名 字“高斯”命名的成果达 110个，属数学家中之最。
C.F.Gauss 1777－1855
解得模型的参数估计量为：
ˆ X i2 Yi X i Yi X i 0 nX i2 (X i ) 2 ˆ nYi X i Yi X i 1 2 2 n X ( X ) i i
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型 结构参数的 最大或然估计量 与 普通最小
6
在家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样 本数，参数估计的计算可通过下面的表进行。
表 2.2.1 参数估计的计算表
Xi
Yi
xi
yi
xi y i
xi2
y i2
X i2
Yi 2
计量经济学中ols估计的定义
计量经济学中ols估计的定义OLS估计是计量经济学中一种常用的参数估计方法，全称为普通最小二乘估计。
它是通过最小化观测数据的实际值与模型估计值之间的残差平方和来估计模型参数。
在OLS估计中，我们试图找到一组参数，使得模型的预测值与实际观测值的差异最小化。
OLS估计在计量经济学中被广泛应用，特别是在回归分析中。
通过OLS估计，我们可以得到回归系数的估计值，从而量化自变量对因变量的影响。
在实际应用中，我们通常会对回归模型进行OLS估计，然后根据估计结果进行统计推断和政策分析。
在进行OLS估计时，我们需要满足一些假设，包括线性关系、正态性、同方差性、无自相关性等。
如果这些假设不成立，可能会导致OLS估计结果的失真。
因此，在进行OLS估计前，我们需要对数据进行充分的检验和准备，以确保OLS估计的有效性和准确性。
OLS估计的优点之一是它的计算简单直观，易于理解和实现。
此外，OLS估计还具有最小方差性质，即在一定条件下，OLS估计是所有线性无偏估计中方差最小的。
因此，OLS估计在实际应用中被广泛使用。
然而，OLS估计也存在一些局限性。
例如，在存在遗漏变量或误设函数形式的情况下，OLS估计结果可能会产生偏误。
此外，在样本量较小或数据不满足假设的情况下，OLS估计的有效性也会受到影响。
总的来说，OLS估计是计量经济学中一种重要的参数估计方法，它通过最小化残差平方和来估计模型参数，具有简单直观、计算效率高的优点。
然而，在应用OLS估计时，我们需要注意数据的准备和假设的检验，以确保OLS估计结果的准确性和有效性。
OLS估计在实际应用中具有重要意义，可以帮助我们理解变量之间的关系，进行统计推断和政策分析。
最小二乘法(OLS)的原理解析
定义
最小二乘法（OLS），英文全称ordinary least squares，又称最小平方法，是回归分析 （regression analysis）最根本的一个形式,对模型条件要求最少，也就是使散点图上的所有观测值 到回归直线距离的平方和最小。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘 法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，最小二 乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
公式
在一元线性回归模型中，回归方程一般表示为
yi
=
β^0
+
β^ x 1 i
，所用到的是statmodels模块中
OLS（最小二乘法），通过实际值 yi 与拟合值 y^i 差的平方和Q最小，也就是残差平方和最小，来
确定拟合方程中的系数 β1 和截距 β0 ，公式如下：
n
n
∑
( xi
)2
−
(
∑
xi
)2
i=1
i=1
n
n
n
n
(∑
xi2
)(
∑
yi
)
−
(∑
xi)(∑
xiyi
)
β^ = i=1
0
i=1 n
i=1
i=1
n
n
∑
( xi
)2
−
(
∑
普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法 (Ordinary Least Squares, OLS) 是一种用于
数据拟合的统计方法。
它的思想是找到一组参数，使得拟合曲线与每个观测点的距离最小。
普通最小二乘法的假设是，拟合曲线是一个正态分布，其中观测点误差都服从正态分布的假设。
在应用普通最小二乘法之前，需要检验数据是否符合正态分布的假设。
普通最小二乘法假设每个观测点的误差是独立的，拟合曲线的误差是准确的。
普通最小二乘法的优点是它可以得到最佳的拟合结果，它的结果准确而可靠。
普通最小二乘法的缺点是它不能应付非正态分布的情况，也不能处理多重共线性的情况，这些都会降低拟合曲线的精确度。
ols 普通最小二乘法
ols 普通最小二乘法
普通最小二乘法（OLS）是一种用于在线性回归模型中估计未知参数的线性最小二乘法。
OLS通过最小二乘法原则选择一组解释变量的线性函数的参数：最小化给定数据集中观察到的因变量（被预测变量的值）与预测变量之间残差的平方和。
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
根据样本数据，采用最小二乘估计式可以得到简单线性回归模型参数的估计量。
但是估计量参数与总体真实参数的接近程度如何，是否存在更好的其它估计式，这就涉及到最小二乘估计式或估计量的最小方差（或最佳）（Best）性、线性（Linear）及无偏（Unbiased）性，简称为BLU特性。
这就是广泛应用普通最小二乘法估计经济计量模型的主要原因。
下面证明普通最小二乘估计量具有上述三特性。
1、线性特性
所谓线性特性，是指估计量分别是样本观测值的线性函数，亦即估计量和观测值的线性组合。
2、无偏性
无偏性，是指参数估计量的期望值分别等于总体真实参数。
3、最小方差性
所谓最小方差性，是指估计量与用其它方法求得的估计量比较，其方差最小，即最佳。
最小方差性又称有效性。
这一性质就是著名的高斯一马尔可夫（Gauss-Markov）定理。
这个定理阐明了普通最小二乘估计量与用其它方法求得的任何线性无偏估计量相比，它是最佳的。
OLS估计和IV估计原理
OLS估计和IV估计原理OLS估计和IV估计是两种常用的经济学中的参数估计方法。
OLS估计（Ordinary Least Squares）是一种基于最小二乘法的普通最小二乘法估计方法，用于估计线性回归模型的参数。
IV估计（InstrumentalVariable Estimation）是一种用于解决内生性问题的估计方法，它通过引入工具变量来消除内生性引起的偏误。
OLS估计的原理是通过最小化残差平方和来估计模型参数。
OLS估计的基本假设是线性回归模型具有一定的线性关系，残差服从正态分布且具有恒定的方差。
OLS估计以观测数据直接进行参数估计，计算出最小二乘估计量，即使得残差平方和最小的参数值。
OLS估计的一般步骤包括：首先，根据问题的设定和经济理论，建立线性回归模型；然后，计算样本数据的均值与方差，构造目标函数（残差平方和）；接着，对目标函数进行优化，对参数进行估计；最后，进行统计推断分析，包括参数的显著性检验、拟合优度检验等。
OLS估计的优点是计算简便、解释性强，但其在存在内生性的情况下会引起参数估计偏误。
IV估计的原理是基于工具变量的一种参数估计方法。
当自变量存在内生性时，OLS估计会引起内生性偏误，此时可以引入工具变量来消除内生性偏误。
工具变量是与内生自变量相关但不与因变量相关的变量，通过工具变量的使用，可以将内生性问题的影响隔离开来。
IV估计是通过两个阶段的回归来实现的。
首先，利用工具变量对内生自变量进行回归，得到其预测值（第一阶段回归）。
然后，将预测值代入原始模型中，以代替内生自变量，对原始模型进行回归，从而估计出模型的参数（第二阶段回归）。
IV估计的关键在于选择有效的工具变量，一般来说，工具变量应满足两个条件：与内生自变量相关、不与误差项相关。
此外，IV估计还需要满足一些其他的假设条件，如无系统误差、同方差性等。
相对于OLS估计，IV估计的优点是可以解决内生性问题，对于内生问题较为有效。
计量经济学第四章习题
计量经济学第四章习题第四章练习题1. 什么是异⽅差性？试举例说明经济现象中的异⽅差性。
检验异⽅差性的⽅法思路是什么？ 2. 判断题。
并简单说明理由。
(1) 存在异⽅差时，普通最⼩⼆乘法（OLS ）估计量是有偏的和⽆效的； (2) 存在异⽅差时，常⽤的t 检验和F 检验失效；(3) 存在异⽅差时，常⽤的OLS 估计⼀定是⾼估了估计量的标准差； (4)如果从OLS 回归中估计的残差呈现出系统性，则意味着数据中存在着异⽅差； (5) 存在序列相关时，OLS 估计量是有偏的并且也是⽆效的； (6) 消除序列相关的⼀阶差分变换假定⾃相关系数ρ必须等于1； (7) 回归模型中误差项t u 存在异⽅差时，OLS 估计不再是有效的； (8) 存在多重共线性时，模型参数⽆法估计；(9)存在多重共线性时，⼀定会使参数估计值的⽅差增⼤，从⽽造成估计效率的损失；(10) ⼀旦模型中的解释变量是随机变量，则违背了基本假设，使得模型的OLS 估计量有偏且不⼀致。
3. 回归模型中误差项t u 存在序列相关时，OLS 估计不再是⽆偏的；已知消费模型：01122t t t t y x x u ααα=+++。
其中，t y ：消费⽀出；t x 1：个⼈可⽀配收⼊；t x 2：消费者的流动资产。
设0)(=t u E ，为常数）其中2212()(σσt t ar x u V =。
要求： (1)进⾏适当变换消除异⽅差，并证明之。
(2)写出消除异⽅差后，模型的参数估计量的表达式。
4. 简述异⽅差对下列各项有何影响：(1) OLS 估计量及其⽅差； (2) 置信区间；(3)显著性t 检验和F 检验的使⽤。
5. 已知模型：22201122,()t t t t t t t Y X X u Var u Z βββσσ=+++==。
式中，Y 、X 1、X 2和Z 的数据已知。
假设给定权数t w ，加权最⼩⼆乘法就是求下式中的各β，以使的下式最⼩2221102)()(t t t t t t t t t X w X w w Y w u w RSS βββ---==∑∑(1) 求RSS 对β1、β2和β2的偏微分并写出正规⽅程。
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普通最小二乘法（OLS ）
普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。
在已经获得样本观测值i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下
（见图中的散点），假如模型（）的参数估计量已经求得到，
为^0β和^
1β，并且是最合理的参数估计量，那么直线方程（见
图中的直线） i i x y ^
1^0^ββ+= i=1,2,…,n 应该能够最
好地拟合样本数据。
其中^i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释变量的观测值计算得到的。
那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。
),()(1022101ββββQ u x y Q i i n i i ==--=∑∑= ()()),(min ˆˆˆˆ1021
10212ˆ,ˆ1100ββββββββQ x y y y u Q n i i n i i i =--=-==∑∑∑== 为什么用平方和因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。
这就是最小二乘原则。
那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。
由于
2
1
^1^012
^
))(()(∑∑+--=n i i n i i x y y y Q ββ＝ 是^0β、^1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。
根据罗彼塔法则，当Q 对^0β、^
1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。
即
0011001100ˆ,ˆ1
ˆ,ˆ0
=∂∂=∂∂====ββββββββββQ
Q
容易推得特征方程：
()0)ˆˆ(0ˆ)ˆˆ(1011
10==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i i n
i i
i i i i n i i e x x y
x e y y x y
ββββ 解得： ∑∑∑∑∑+=+=2^
1^0^1^0i i i i i i x x x y x
n y ββββ （）
所以有：⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n i i i n i i n i i n i i n i i n i i i 10121
21121111ˆˆ)())(()()()(ˆβββ （） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。
为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。
由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。
但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。
记
∑=-i x n
x 1 ∑=-i y n
y 1 y y y
x x x
i i i i -=-=
（）的参数估计量可以写成
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-===∑∑==x y x y x n t i n t i i 101211ˆˆˆβββ 至此，完成了模型估计的第一项任务。
下面进行模型估计的第二项任务，即求随机误差项方差的估计量。
记i i i i y y u e ˆˆ-==为第i 个样本观测点的残差，即被解释变量的估计值与观测值之差。
则随机误差项方差的估计量为 2ˆ2
2-=∑n e i
u σ 在关于2ˆu σ
的无偏性的证明中，将给出（）的推导过程，有兴趣的读者可以参考有关资料。
在结束普通最小二乘估计的时候，需要交代一个重要的概念，即“估计量”和“估计值”的区别。
由（）给出的参数估计结果是由一个具体样本资料计算出来的，它是一个“估计值”，或者“点估计”，是参数估计量^0β和^1β的一个具体数值；但从另一个角度，仅仅把（）看成^0β和^1β的一个表达式，那么，则是i y 的函数，而i y 是随机变量，所以^0β和^1β也是随机变量，在这个角度上，称之为“估计量”。
在本章后续内容中，有时把^0β和^1β作为随机变量，有时又把^0β和^
1β作为确定的数值，道理就在于此。