普通最小二乘法(OLS)
一元线性回归模型的基本假设二、参数的普通最小二乘估计（OLS）
§2.2一元线性回归模型的参数估计一、一元线性回归模型的基本假设二、参数的普通最小二乘估计（OLS）三、参数估计的最大或然法(ML)四、最小二乘估计量的性质五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计单方程计量经济学模型分为两大类：线性模型和非线性模型•线性模型中，变量之间的关系呈线性关系•非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系一元线性回归模型：只有一个解释变量i i i X Y μββ++=10i=1,2,…,nY 为被解释变量，X 为解释变量，β0与β1为待估参数，μ为随机干扰项回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。
估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最小二乘法（ordinary least squares,OLS）。
为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。
注：实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关。
一、线性回归模型的基本假设假设1、解释变量X是确定性变量，不是随机变量；假设2、随机误差项μ具有零均值、同方差和不序列相关性：E(μi)=0i=1,2,…,nVar(μi)=σμ2i=1,2,…,nCov(μi,μj)=0i≠j i,j=1,2,…,n假设3、随机误差项μ与解释变量X之间不相关：Cov(X i,μi)=0i=1,2,…,n假设4、μ服从零均值、同方差、零协方差的正态分布μi~N(0,σμ2)i=1,2,…,n注意：1、如果假设1、2满足，则假设3也满足;2、如果假设4满足，则假设2也满足。
以上假设也称为线性回归模型的经典假设或高斯（Gauss）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model,CLRM）。
二、参数的普通最小二乘估计（OLS）给定一组样本观测值（X i ,Y i ）（i=1,2,…n ）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值.普通最小二乘法（Ordinary least squares,OLS ）给出的判断标准是：二者之差的平方和∑∑+-=-=ni i i n i X Y Y Y Q 121021))ˆˆ(()ˆ(ββ最小。
标准最小二乘法
标准最小二乘法标准最小二乘法（Ordinary Least Squares, OLS）是一种常用于回归分析的方法，旨在通过拟合数据来找到最合适的模型。
在本文中，将详细介绍标准最小二乘法的原理、应用和计算步骤。
标准最小二乘法的原理十分简单直观，它通过寻找使得拟合模型与观测数据之间误差的平方和最小的参数估计值。
在回归分析中，我们通常会假设一个线性模型来描述自变量和因变量之间的关系。
标准最小二乘法通过最小化残差的平方和来找到最佳拟合的模型。
残差即观测值与拟合值之间的差异。
在应用标准最小二乘法进行回归分析时，需要先确定一个合适的模型。
通常，我们会选择一个线性模型来描述因变量和自变量之间的关系，然后通过参数估计找到最佳的拟合模型。
这一过程可以通过最小化残差平方和的方法来实现。
在计算步骤上，标准最小二乘法可以分为以下几个关键步骤。
首先，需要确定线性模型的形式，并根据实际情况选择自变量。
其次，通过收集样本数据，计算出相关的变量值。
然后，利用计算出的变量值进行模型参数的估计。
最后，通过计算残差平方和，确定最佳的拟合模型。
标准最小二乘法在实际应用中具有广泛的意义和应用价值。
例如，在经济学中，可以利用标准最小二乘法来估计供求关系和弹性系数。
在工程领域，可以通过标准最小二乘法来建立物理模型并进行预测。
在社会科学中，也可以利用标准最小二乘法来研究变量之间的关系。
总结而言，标准最小二乘法是一种常用的回归分析方法，通过最小化残差平方和来找到最佳的拟合模型。
它的计算步骤简单清晰，适用于各个领域的数据分析和预测。
通过合理应用标准最小二乘法，可以有效地研究自变量和因变量之间的关系，为实际问题提供有力的解决方案。
综上所述，标准最小二乘法是一种重要的分析工具，具有广泛的应用前景。
它不仅可以帮助我们理解数据，还可以通过拟合模型来进行预测和分析。
在实际应用中，我们应当遵循标准最小二乘法的原理和计算步骤，以确保分析结果的准确性和可靠性。
通过深入学习和理解标准最小二乘法，我们能够更好地利用这一工具解决实际问题。
最小二乘法 回归模型
最小二乘法回归模型
最小二乘法回归模型是统计学中常用的一种数据分析工具，用于探索两个或多个变量之间的关系。
该模型基于最小二乘法原理，通过最小化预测值与实际值之间的平方误差来找到最佳的回归线或回归面，从而实现对数据的拟合和预测。
最小二乘法回归模型的基本假设是，因变量与自变量之间存在线性关系，并且误差项独立同分布，服从正态分布。
在此基础上，我们可以通过建立线性回归方程来描述这种关系，并利用最小二乘法原理来求解回归系数。
在最小二乘法回归模型中，我们通常使用普通最小二乘法（Ordinary Least Squares，OLS）来估计回归系数。
OLS的核心思想是使得残差平方和（即预测值与实际值之差的平方和）达到最小。
通过求解最小化残差平方和的方程组，我们可以得到回归系数的估计值。
最小二乘法回归模型具有许多优点，如简单易行、计算方便、解释性强等。
它可以帮助我们了解变量之间的关系强度、方向以及预测未来的趋势。
同时，该模型还可以通过引入控制变量来消除其他因素的影响，提高回归分析的准确性。
然而，最小二乘法回归模型也存在一些限制和假设。
例如，它要求数据满足线性关系、误差项独立同分布等假设条件。
当这些假设不成立时，回归结果可能会受到偏差或误导。
因此，在应用最小二乘法回归模型时，我们需要对数据进行充分的探索和分析，以确保模型的有效性和可靠性。
总之，最小二乘法回归模型是一种强大的数据分析工具，它可以帮助我们揭示变量之间的关系并预测未来的趋势。
在实际应用中，我们需要根据具体情况选择合适的模型和方法，以提高数据分析的准确性和可靠性。
第三讲普通最小二乘法
在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：
Yi 0 1 X i i
随机抽取n组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）。
假如模型的参数估计量已经求得，为 那么Yi服从如下的正态分布： 于是，Y的概率函数为
2 ˆ ˆ Yi ~ N ( 0 1 X i , )
② 用最小二乘法拟合的直线来代表 x 与 y 之间的 关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
2. 正规方程和估计量
取偏导数并令其为0，可得正规方程 ( ei2 ) ˆ ˆ X )0 2 (Yi 1 2 i ˆ
( ei2 ) ˆ ˆ X )X 0 2 (Yi 1 2 i i ˆ
普通最小二乘法（OLS） （Ｏrdinary Least Squares) 高斯被认为是历史上 最重要的数学家之一，并 享有“数学王子”之称。 高斯和阿基米德、牛顿并 列为世界三大数学家。一 生成就极为丰硕，以他名 字“高斯”命名的成果达 110个，属数学家中之最。
C.F.Gauss 1777－1855
解得模型的参数估计量为：
ˆ X i2 Yi X i Yi X i 0 nX i2 (X i ) 2 ˆ nYi X i Yi X i 1 2 2 n X ( X ) i i
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型 结构参数的 最大或然估计量 与 普通最小
6
在家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样 本数，参数估计的计算可通过下面的表进行。
表 2.2.1 参数估计的计算表
Xi
Yi
xi
yi
xi y i
xi2
y i2
X i2
Yi 2
普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法 (Ordinary Least Squares, OLS) 是一种用于
数据拟合的统计方法。
它的思想是找到一组参数，使得拟合曲线与每个观测点的距离最小。
普通最小二乘法的假设是，拟合曲线是一个正态分布，其中观测点误差都服从正态分布的假设。
在应用普通最小二乘法之前，需要检验数据是否符合正态分布的假设。
普通最小二乘法假设每个观测点的误差是独立的，拟合曲线的误差是准确的。
普通最小二乘法的优点是它可以得到最佳的拟合结果，它的结果准确而可靠。
普通最小二乘法的缺点是它不能应付非正态分布的情况，也不能处理多重共线性的情况，这些都会降低拟合曲线的精确度。
ols 普通最小二乘法
ols 普通最小二乘法
普通最小二乘法（OLS）是一种用于在线性回归模型中估计未知参数的线性最小二乘法。
OLS通过最小二乘法原则选择一组解释变量的线性函数的参数：最小化给定数据集中观察到的因变量（被预测变量的值）与预测变量之间残差的平方和。
最小二乘法（又称最小平方法）是一种数学优化技术。
它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。
最小二乘法还可用于曲线拟合。
其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
根据样本数据，采用最小二乘估计式可以得到简单线性回归模型参数的估计量。
但是估计量参数与总体真实参数的接近程度如何，是否存在更好的其它估计式，这就涉及到最小二乘估计式或估计量的最小方差（或最佳）（Best）性、线性（Linear）及无偏（Unbiased）性，简称为BLU特性。
这就是广泛应用普通最小二乘法估计经济计量模型的主要原因。
下面证明普通最小二乘估计量具有上述三特性。
1、线性特性
所谓线性特性，是指估计量分别是样本观测值的线性函数，亦即估计量和观测值的线性组合。
2、无偏性
无偏性，是指参数估计量的期望值分别等于总体真实参数。
3、最小方差性
所谓最小方差性，是指估计量与用其它方法求得的估计量比较，其方差最小，即最佳。
最小方差性又称有效性。
这一性质就是著名的高斯一马尔可夫（Gauss-Markov）定理。
这个定理阐明了普通最小二乘估计量与用其它方法求得的任何线性无偏估计量相比，它是最佳的。
普通最小二乘法
选择合适的回归模型，如线性回归、多项式回归等。
设定模型假设
确保满足回归分析的基本假设，如误差项独立同分布、误差项无系统偏差等。
建立模型
利用最小二乘法计算回归参数的最优估计值。
分析估计量的性质，如无偏性、有效性等，确保估计结果可靠。
参数估计
检验估计量性质
计算最小二乘估计量
03
模型选择与优化
普通最小二乘法的历史与发展
02
普通最小二乘法的原理
01
02
03
线性回归模型是一种预测模型，通过找到最佳拟合直线来预测因变量的值。
在线性回归模型中，自变量和因变量之间存在线性关系，即因变量可以表示为自变量的线性组合。
线性回归模型的一般形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp + ε，其中y是因变量，x1, x2, ..., xp是自变量，β0, β1, β2, ..., βp是参数，ε是误差项。
详细描述
主成分回归是一种基于主成分分析的回归方法，通过提取解释变量中的主要成分，降低数据的维度，提高模型的解释性和稳定性。
总结词
主成分回归首先对解释变量进行主成分分析，提取出解释变量中的主要成分，然后将这些主成分作为新的解释变量进行回归分析。由于主成分能够反映原始变量中的大部分信息，因此这种方法能够减少数据的维度，降低多重共线性的影响，提高模型的稳定性和解释性。
无偏性
普通最小二乘法估计的参数具有无偏性，即估计的期望值等于真实值。
最佳线性无偏估计
普通最小二乘法能得到最佳线性无偏估计，即估计的方差最小。
优点
异方差性
普通最小二乘法对数据的异方差性敏感，可能导致估计结果失真。
普通最小二乘法
对随机扰动项u的假定
假定1：零均值假定:
u 在给定X的条件下， 的条件期望为零 i
E(ui Xi ) 0
假定2：同方差假定:
在给定X的条件下， 的条件
方差为某个常数 ui
2
Y
E(Y Xi )
Var(ui X i ) E[ui E(ui X i )]2 2
第14页/共33页
23
第23页/共33页
概
率
密
度
f ( )
f (ˆ )
f (*)
估计值
24
第24页/共33页
3、渐近性质（大样本性质）
思想:当样本容量较小时，有时很难找到方差最小的无偏估计，
需要考虑样本扩大后的性质（估计方法不变，样本数逐步增大）
一致性：
当样本容量 n 趋于无穷大时，如果
数的真实值，就称这个估计ˆ式 是
解得模型的参数估计量为：
ˆ
0
ˆ1
X
2 i
Yi
X iYi
nX
2 i
(X
i
)2
nYi X i YiX
nX
2 i
(X i
)2
X
i
i
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型 结构参数的最大或然估计量与普通最小二乘估计 量是相同的。
第11页/共33页
简单线性回归模型的最小二乘估计
用样本去估计总体回归函数，总要使用特定的方法，而任 何估
Xi X
14
假定3：无自相关假定:
随机扰动项 u i的逐次值互不相关
Cov(ui ,u j ) E[ui E(ui )][u j E(u j )]
E(uiu j ) 0
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普通最小二乘法（OLS ）
普通最小二乘法（Ordinary Least Square ，简称OLS ），是应用最多的参数估计方
法，也是从最小二乘原理出发的其他估计方法的基础，是必须熟练掌握的一种方法。
在已经获得样本观测值
i i x y ,（i=1,2,…,n ）的情况下
（见图2.2.1中的散点），假如模型（2.2.1）的参数估计量
已经求得到，为^0β和^
1β，并且是最合理的参数估计量，那
么直线方程（见图2.2.1中的直线）
i i x y ^
1^0^ββ+= i=1,2,…,n
(2.2.2)
应该能够最好地拟合样本数据。
其中
^
i y 为被解释变量的估计值，它是由参数估计量和解释
变量的观测值计算得到的。
那么，被解释变量的估计值与观测值应该在总体上最为接近，判断的标准是二者之差的平方和最小。
),()(102
2101ββββQ u x y Q i i n
i i ==--=∑∑= ()()
),(min ˆˆˆˆ1
02
1
102
12ˆ,ˆ1
1
ββββββββQ x y y y u Q n
i i n
i i i =--=-==∑∑∑==
(2.2.3)
为什么用平方和？因为二者之差可正可负，简单求和可能将很大的误差抵消掉，只有平方和才能反映二者在总体上的接近程度。
这就是最小二乘原则。
那么，就可以从最小二乘原则和样本观测值出发，求得参数估计量。
由于
2
1
^
1^01
2
^
))(()(∑∑+--=n
i i n
i i x y y y Q ββ＝
是
^
0β、^
1β的二次函数并且非负，所以其极小值总是存在的。
根据罗彼塔法则，当Q 对^
0β、
^
1β的一阶偏导数为0时，Q 达到最小。
即
1
1001
100ˆ,ˆ1
ˆ,ˆ0=∂∂=∂∂====ββββββββββQ Q (2.2.4)
容易推得特征方程：
()0)ˆˆ(0ˆ)ˆˆ(101
110==--==-=--∑∑∑∑∑==i i i
i
n
i i i i i i
n
i i
e x x y
x e y y x y
ββββ
解得：
∑∑∑∑∑+=+=2^
1
^
^
1
^
i
i
i
i
i
i
x
x x y x
n y ββββ （2.2.5）
所以有：⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪
⎨⎧
-=---=--=∑∑∑∑∑∑∑=======x y x x y y x x x x n y x y x n n i i n
i i i n
i i n i i n i i n i i n i i i 1012121
121111ˆˆ)())(()()()(ˆβββ （2.2.6） 于是得到了符合最小二乘原则的参数估计量。
为减少计算工作量，许多教科书介绍了采用样本值的离差形式的参数估计量的计算公式。
由于现在计量经济学计算机软件被普遍采用，计算工作量已经不是什么问题。
但离差形式的计算公式在其他方面也有应用，故在此写出有关公式，不作详细说明。
记
∑=
-
i x n
x 1
∑=
-
i y n y 1
y y y
x x x
i i i i -=-=
（2.2.6）的参数估计量可以写成
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧
-===∑∑==x
y x y x n t i n
t i i 101211ˆˆˆβββ (2.2.7)
至此，完成了模型估计的第一项任务。
下面进行模型估计的第二项任务，即求随机误差项方差的估计量。
记i i i i
y y u
e ˆˆ-==为第i 个样本观测点的残差，即被解释变量的估计值与观测值之差。
则随机误差项方差的估计量为
2
ˆ2
2
-=
∑n e i
u σ
(2.2.8)
在关于2ˆu σ的无偏性的证明中，将给出（2.2.8）的推导过程，有兴趣的读者可以参考
有关资料。
在结束普通最小二乘估计的时候，需要交代一个重要的概念，即“估计量”和“估计值”的区别。
由（2.2.6）给出的参数估计结果是由一个具体样本资料计算出来的，它是一个“估计值”，或者“点估计”，是参数估计量
^0β和^
1β的一个具体数值；但从另一个角度，仅仅
把（2.2.6）看成
^
0β和^
1β的一个表达式，那么，则是i y 的函数，而i y 是随机变量，所以^
β和^
1β也是随机变量，在这个角度上，称之为“估计量”。
在本章后续内容中，有时把
^
0β和
^1β作为随机变量，有时又把^0β和^
1β作为确定的数值，道理就在于此。
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