普通最小二乘法(OLS)
Eviews数据统计与分析教程5章 基本回归模型的OLS估计-普通最小二乘法
EViews统计分析基础教程
五、 线性回归模型的检验
1.拟合优度检验
拟合优度R2的计算公式为 R2 = ESS / TSS = 1－RSS / TSS 当回归平方（ESS）和与总体平方和（TSS）较为接 近时，模型的拟合程度较好；反之，则模型的拟合 程度较差。因此，模型的拟合程度可通过这两个指 标来表示。
2.实际值、拟合值和残差
三条曲线分别是实际值（Actual），拟合值（Fitted） 和残差（Residual）。实际值和拟合值越接近，方程拟 合效果越好。
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三、多元线性回归模型
通常情况下，将含有多个解释变量的线性回归模型（多 元线性回归模型）写成如下形式， yi = 0 + 1 x1i +2 x2i+3 x3i+…k xki + ui （i=1， 2，…，n） 其中，y为被解释变量，也被称为因变量；x为解释变量 或自变量；u是随机误差项（random error term），也 被称为误差项或扰动项； n为样本个数。
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五、 线性回归模型的检验
3.异方差性检验 （1）图示检验法 检验步骤：
建立方程对象进行模型的OLS（最小二乘）估计， 此时产生的残差保存在主窗口界面的序列对象 resid中。 建立一个新的序列对象，并将残差序列中的数据 复制到新建立的对象中。 然 后 选 择 主 窗 口 中 的 “ Quick‖ | ―Graph‖ | ―Scatter‖选项，生成散点图，进而可判断随机项 是否存在异方差性。
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五、 线性回归模型的检验
1.拟合优度检验
拟合优度检验用来验证回归模型对样本观测值（实 际值）的拟合程度，可通过R2统计量来检验。
第三讲普通最小二乘法
在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：
Yi 0 1 X i i
随机抽取n组样本观测值（Xi, Yi）（i=1,2,…n）。
假如模型的参数估计量已经求得，为 那么Yi服从如下的正态分布： 于是，Y的概率函数为
2 ˆ ˆ Yi ~ N ( 0 1 X i , )
② 用最小二乘法拟合的直线来代表 x 与 y 之间的 关系与实际数据的误差比其他任何直线都小
2. 正规方程和估计量
取偏导数并令其为0，可得正规方程 ( ei2 ) ˆ ˆ X )0 2 (Yi 1 2 i ˆ
( ei2 ) ˆ ˆ X )X 0 2 (Yi 1 2 i i ˆ
普通最小二乘法（OLS） （Ｏrdinary Least Squares) 高斯被认为是历史上 最重要的数学家之一，并 享有“数学王子”之称。 高斯和阿基米德、牛顿并 列为世界三大数学家。一 生成就极为丰硕，以他名 字“高斯”命名的成果达 110个，属数学家中之最。
C.F.Gauss 1777－1855
解得模型的参数估计量为：
ˆ X i2 Yi X i Yi X i 0 nX i2 (X i ) 2 ˆ nYi X i Yi X i 1 2 2 n X ( X ) i i
可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型 结构参数的 最大或然估计量 与 普通最小
6
在家庭可支配收入-消费支出例中，对于所抽出的一组样 本数，参数估计的计算可通过下面的表进行。
表 2.2.1 参数估计的计算表
Xi
Yi
xi
yi
xi y i
xi2
y i2
X i2
Yi 2
计量经济学中ols估计的定义
计量经济学中ols估计的定义OLS估计是计量经济学中一种常用的参数估计方法，全称为普通最小二乘估计。
它是通过最小化观测数据的实际值与模型估计值之间的残差平方和来估计模型参数。
在OLS估计中，我们试图找到一组参数，使得模型的预测值与实际观测值的差异最小化。
OLS估计在计量经济学中被广泛应用，特别是在回归分析中。
通过OLS估计，我们可以得到回归系数的估计值，从而量化自变量对因变量的影响。
在实际应用中，我们通常会对回归模型进行OLS估计，然后根据估计结果进行统计推断和政策分析。
在进行OLS估计时，我们需要满足一些假设，包括线性关系、正态性、同方差性、无自相关性等。
如果这些假设不成立，可能会导致OLS估计结果的失真。
因此，在进行OLS估计前，我们需要对数据进行充分的检验和准备，以确保OLS估计的有效性和准确性。
OLS估计的优点之一是它的计算简单直观，易于理解和实现。
此外，OLS估计还具有最小方差性质，即在一定条件下，OLS估计是所有线性无偏估计中方差最小的。
因此，OLS估计在实际应用中被广泛使用。
然而，OLS估计也存在一些局限性。
例如，在存在遗漏变量或误设函数形式的情况下，OLS估计结果可能会产生偏误。
此外，在样本量较小或数据不满足假设的情况下，OLS估计的有效性也会受到影响。
总的来说，OLS估计是计量经济学中一种重要的参数估计方法，它通过最小化残差平方和来估计模型参数，具有简单直观、计算效率高的优点。
然而，在应用OLS估计时，我们需要注意数据的准备和假设的检验，以确保OLS估计结果的准确性和有效性。
OLS估计在实际应用中具有重要意义，可以帮助我们理解变量之间的关系，进行统计推断和政策分析。
最小二乘法(OLS)的原理解析
定义
最小二乘法（OLS），英文全称ordinary least squares，又称最小平方法，是回归分析 （regression analysis）最根本的一个形式,对模型条件要求最少，也就是使散点图上的所有观测值 到回归直线距离的平方和最小。它通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘 法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，最小二 乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。
公式
在一元线性回归模型中，回归方程一般表示为
yi
=
β^0
+
β^ x 1 i
，所用到的是statmodels模块中
OLS（最小二乘法），通过实际值 yi 与拟合值 y^i 差的平方和Q最小，也就是残差平方和最小，来
确定拟合方程中的系数 β1 和截距 β0 ，公式如下：
n
n
∑
( xi
)2
−
(
∑
xi
)2
i=1
i=1
n
n
n
n
(∑
xi2
)(
∑
yi
)
−
(∑
xi)(∑
xiyi
)
β^ = i=1
0
i=1 n
i=1
i=1
n
n
∑
( xi
)2
−
(
∑
普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法名词解释
普通最小二乘法 (Ordinary Least Squares, OLS) 是一种用于
数据拟合的统计方法。
它的思想是找到一组参数，使得拟合曲线与每个观测点的距离最小。
普通最小二乘法的假设是，拟合曲线是一个正态分布，其中观测点误差都服从正态分布的假设。
在应用普通最小二乘法之前，需要检验数据是否符合正态分布的假设。
普通最小二乘法假设每个观测点的误差是独立的，拟合曲线的误差是准确的。
普通最小二乘法的优点是它可以得到最佳的拟合结果，它的结果准确而可靠。
普通最小二乘法的缺点是它不能应付非正态分布的情况，也不能处理多重共线性的情况，这些都会降低拟合曲线的精确度。
计量经济学第四章习题
计量经济学第四章习题第四章练习题1. 什么是异⽅差性？试举例说明经济现象中的异⽅差性。
检验异⽅差性的⽅法思路是什么？ 2. 判断题。
并简单说明理由。
(1) 存在异⽅差时，普通最⼩⼆乘法（OLS ）估计量是有偏的和⽆效的； (2) 存在异⽅差时，常⽤的t 检验和F 检验失效；(3) 存在异⽅差时，常⽤的OLS 估计⼀定是⾼估了估计量的标准差； (4)如果从OLS 回归中估计的残差呈现出系统性，则意味着数据中存在着异⽅差； (5) 存在序列相关时，OLS 估计量是有偏的并且也是⽆效的； (6) 消除序列相关的⼀阶差分变换假定⾃相关系数ρ必须等于1； (7) 回归模型中误差项t u 存在异⽅差时，OLS 估计不再是有效的； (8) 存在多重共线性时，模型参数⽆法估计；(9)存在多重共线性时，⼀定会使参数估计值的⽅差增⼤，从⽽造成估计效率的损失；(10) ⼀旦模型中的解释变量是随机变量，则违背了基本假设，使得模型的OLS 估计量有偏且不⼀致。
3. 回归模型中误差项t u 存在序列相关时，OLS 估计不再是⽆偏的；已知消费模型：01122t t t t y x x u ααα=+++。
其中，t y ：消费⽀出；t x 1：个⼈可⽀配收⼊；t x 2：消费者的流动资产。
设0)(=t u E ，为常数）其中2212()(σσt t ar x u V =。
要求： (1)进⾏适当变换消除异⽅差，并证明之。
(2)写出消除异⽅差后，模型的参数估计量的表达式。
4. 简述异⽅差对下列各项有何影响：(1) OLS 估计量及其⽅差； (2) 置信区间；(3)显著性t 检验和F 检验的使⽤。
5. 已知模型：22201122,()t t t t t t t Y X X u Var u Z βββσσ=+++==。
式中，Y 、X 1、X 2和Z 的数据已知。
假设给定权数t w ，加权最⼩⼆乘法就是求下式中的各β，以使的下式最⼩2221102)()(t t t t t t t t t X w X w w Y w u w RSS βββ---==∑∑(1) 求RSS 对β1、β2和β2的偏微分并写出正规⽅程。
普通最小二乘法
选择合适的回归模型，如线性回归、多项式回归等。
设定模型假设
确保满足回归分析的基本假设，如误差项独立同分布、误差项无系统偏差等。
建立模型
利用最小二乘法计算回归参数的最优估计值。
分析估计量的性质，如无偏性、有效性等，确保估计结果可靠。
参数估计
检验估计量性质
计算最小二乘估计量
03
模型选择与优化
普通最小二乘法的历史与发展
02
普通最小二乘法的原理
01
02
03
线性回归模型是一种预测模型，通过找到最佳拟合直线来预测因变量的值。
在线性回归模型中，自变量和因变量之间存在线性关系，即因变量可以表示为自变量的线性组合。
线性回归模型的一般形式为：y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βpxp + ε，其中y是因变量，x1, x2, ..., xp是自变量，β0, β1, β2, ..., βp是参数，ε是误差项。
详细描述
主成分回归是一种基于主成分分析的回归方法，通过提取解释变量中的主要成分，降低数据的维度，提高模型的解释性和稳定性。
总结词
主成分回归首先对解释变量进行主成分分析，提取出解释变量中的主要成分，然后将这些主成分作为新的解释变量进行回归分析。由于主成分能够反映原始变量中的大部分信息，因此这种方法能够减少数据的维度，降低多重共线性的影响，提高模型的稳定性和解释性。
无偏性
普通最小二乘法估计的参数具有无偏性，即估计的期望值等于真实值。
最佳线性无偏估计
普通最小二乘法能得到最佳线性无偏估计，即估计的方差最小。
优点
异方差性
普通最小二乘法对数据的异方差性敏感，可能导致估计结果失真。
计量经济学作业
计量经济学作业（5-7）一、作业五1. 在存在异方差情况下，普通最小二乘法（OLS ）估计量是有偏的和无效的。
（）2. 当存在自相关时，OLS 估计量是有偏的并且也是无效的。
（）3. 如果在多元回归模型中，根据通常的t 检验，全部回归系数分别都是统计上不显著的，那么该模型不会有一个高的R 2值。
（）4. 在时间序列模型中，遗漏重要解释变量既有可能导致异方差问题，又有可能导致自相关问题。
（）5. 变量是非线性的回归模型在计量经济学上不被称作线性回归模型。
（）6. 随机误差项μi 与残差e i 是一回事。
（）7. 给定显著性水平α及自由度，若计算得到的t 值超过临界的t 值，则接受原假设。
8. 蛛网现象可能会带来计量经济模型的自相关问题。
（）9. 无论模型中包括多少个解释变量，总离差平方和（TSS ）的自由度总为（n-1）。
（） 10. 在多元线性回归模型中，方差膨胀因子（VIF ）一定是不小于1。
（） 11. 在存在异方差情况下，常用的OLS 法总是高估了估计量的标准差。
（） 12. 若假定自相关系数等于1，那么一阶差分变换能够消除自相关。
（） 13. 存在多重共线时，模型参数无法估计。
（）14. 如果在多元回归模型中，根据通常的t 检验，全部回归系数分别都是统计上不显著的，那么该模型不会有一个高的R 2值。
（）15. 当我们得到参数区间估计的上下限的具体数值后，就可以说参数的真实值落入这个区间的概率为1-α. （）16. p 值和显著性水平α是一回事。
（）17. 只有当μi 服从正态分布时，OLS 估计量才服从正态分布。
（）18. 多元回归模型的总体显著性意味着模型中任何一个变量都是统计显著的。
（） 19. 戈德菲尔德-夸特检验（GQ 检验）可以检验复杂性的异方差。
（） 20. 残差平方和除以自由度（n-k ）始终是随机误差项μi 方差（2σ）的无偏估计量。
（） 21. 用一阶差分法消除自相关时，我们假定自相关系数等于-1。
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最小二乘估计量的数值性质
1、样本回归曲线经过Y和X的样本均值所决定
的点。 Y ˆ1 ˆ2 X
2、估计的Y的均值等于实测的Y的均值。
Yˆ Y 3、残差均值等于零。uˆ 0
4、残差和样本X不相关。 uˆi uˆi Xi X 0
5、残差和预测的Y值不相关。
一阶条件
2 Yi ˆ1 ˆ2 Xi 0 2 Yi ˆ1 ˆ2 Xi Xi 0
2 2
Yi Yi
ˆ1 ˆ1
ˆ2 X i ˆ2 X i
0 Xi
0
uˆi 0 uˆi X i 0
正规方程组
Yi nˆ1 ˆ2 Xi
Yi Xi ˆ1
X i ˆ2
也必须明确Yi的概率分布。
总体回归函数
Yi 1 2 X i ui
要知道Yi的概率分布， 必须明确X i和ui是怎样产生的！
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
Y 样本 X
最小二乘估计量的推导
最小化 uˆi2 Yi ˆ1 ˆ2 Xi 2
uˆi2 ˆ1
Yi
ˆ1 ˆ2 X i ˆ1
2
2
Yi ˆ1 ˆ2 X i
uˆi2 ˆ2
Yi
ˆ1 ˆ2 X i ˆ2
2
2
Yi ˆ1 ˆ2 X i X i
X
2 i
解方程
ˆ2
( X i X )(Yi Y (Xi X )2
)
xi yi xi2
ˆ1 Y ˆ2 X
惯例：小x写i 字Xi 母X 表, yi • OLS估计量是可观测样本值的函数，因而容 易计算。
• OLS估计量是点估计量。对于给定的样本， 只能获得总体参数的一个估计值。
ˆ2为X i，Yi的函数,是一个随机变量。
如果X i取定值，则ˆ2仅仅为Yi的函数。
因此，Yi的随机波动决定了ˆ2的随机波动。 或者说，Yi的生成方式决定了ˆ2的生成方式。 从而，ˆ2的概率分布取决于Yi的概率分布。
所以，要对真实的 2做出统计推断，
必须明确Yi的概率分布。
同理，要对真实的1做出统计推断，
uˆi yˆi 0
uˆi xi 0
单纯的最小二乘估计量只 能提供总体参数的一个点估计 值，却不能对总体参数做出任 何统计推断。要对总体参数从 而对因变量做统计推断，还需 要对回归模型进行一系列详细 的假定。
ˆ2
( X i X )(Yi Y (Xi X )2
) , ˆ1
Y
ˆ2 X
普通最小二乘法
Method of ordinary least squares
(OLS)
Y 样本 X
Y 样本
SRF :Yˆi ˆ1 ˆ2 Xi
uˆi Yi Yˆi
Yi
Yˆi
Xi
最小二乘原理：构造合适的估计量X，
使得残差平方和（residual sum of
squares,RuSˆi2S）最小Yi。 ˆ1 ˆ2 X i 2