数值分析(最小二乘法)模板
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告最小二乘法数值分析实验报告篇一：数值分析+最小二乘法实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析 201X年 4 月 13日篇二：数值分析上机实验最小二乘法数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二乘法三、程序M文件：sy ms x f; xx=input( 请输入插值节点 as [x1,x2...]\n ff=i nput( 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f 2...]\n m=input(请输入要求的插值次数m= n=leng th(xx); fr i=1:(m+1) syms faix; fai=x^(i-1); fr j=1:n x=xx(j);H(i,j)=eval(fai); end endA=ff*(H) *inv(H*(H) syms x; f=0; fr i=1:(m+1) f=f+A(i)*x^(i-1); end f plt(xx,ff, * ) hldnezplt(f,[xx(1),xx(n)])四、结果 sav e and run之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2-1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as[f1,f2...] [-1.76 0.42 1.21.341.432.254.38]请输入要求的插值次数m=3 f =133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359 9627370496*x^2+1020815915537309/9007199254740992*x^3五、拓展：最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
基本最小二乘法
基本最小二乘法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：基本最小二乘法（Least Squares Method）是统计学中一种常用的参数估计方法，其基本思想是通过最小化实际观测值与理论值之间的残差平方和来求得模型参数。
最小二乘法常用于回归分析、拟合曲线以及解决线性方程组等问题。
最小二乘法的核心思想是寻找使得误差的平方和最小的参数估计值。
具体来说，假设有n个数据点(x_1,y_1), (x_2,y_2), …, (x_n,y_n)，要拟合这些数据点，可以假设它们之间存在某种函数关系y=f(x)，通过最小化残差平方和的方法来确定函数f(x)的参数值。
最小二乘法的数学表达式可以用下面的公式来表示：\min_{\beta} \sum_{i=1}^{n} (y_{i} - \beta^{T}x_{i})^{2}y_{i}是实际观测值，x_{i}是自变量，\beta是要求解的参数向量。
最小二乘法的优势在于它是一种封闭解的方法，能够直接获得参数的解析解，而不需要通过迭代算法来求解。
最小二乘法对于数据中的离群点具有一定的鲁棒性，能够有效地排除异常值的影响。
最小二乘法在实际应用中有着广泛的应用。
在回归分析中，最小二乘法可以用来拟合数据点并预测新的输出值；在信号处理中，最小二乘法可以用来估计信号的频率和幅度；在机器学习和人工智能领域，最小二乘法也被广泛应用于线性回归、岭回归等算法。
最小二乘法也存在一些限制。
最小二乘法要求数据满足线性关系，并且误差项服从正态分布。
如果数据不符合这些假设，最小二乘法的结果可能会出现偏差。
最小二乘法对数据中的离群点较为敏感，如果数据中存在大量离群点，最小二乘法的结果可能会受到影响。
为了解决最小二乘法的这些限制，人们提出了许多改进的方法。
岭回归（Ridge Regression）和Lasso回归（Lasso Regression）是两种常见的正则化方法，可以在最小二乘法的基础上引入惩罚项来减少模型的复杂度，并提高模型的泛化能力。
数值分析之最小二乘法与最佳一致逼近
这里 ( x) 0是 [a, b]上的权函数，它表示不同点 ( xi , f ( xi ))
处的数据比重不同.
5
S ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x) (n m) 用最小二乘法求拟合曲线的问题，就是在
S ( x )中求一函数 y S * ( x)， 使误差取得最小.
23
结果如下：
24
2
用正交多项式做最小二乘拟合
用最小二乘法得到的法方程组，其系数矩阵
n . G是病态的
(
(k 0,1,, n). （5.6） j 0 如果 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) 是关于点集
k
, j )a j d k
{xi } (i 0,1,, m) 带权 ( xi ) (i 0,1,, m)
4 2.00 8.46 2.135
21
( 0 , y ) yi 9.404,
i 0 4
4
(1 , y ) xi yi 14.422.
i 0
故有法方程
5 A 7.50b 9.404, 7.50 A 11.875b 14.422.
解得
A 1.122, b 0.505, a e A 3.071.
使误差平方和
* 2 [ S ( x ) y ] i i i 0 2 i i 0 m m m
min
S ( x )
2 [ S ( x ) y ] , i i i 0
这里
S ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x)
(n m).
y S * ( x) 与所给数据{( xi , yi ), i 0,1,, m} 拟合.
4数值分析之最小二乘法
( 0 , n ) c0 ( f , 0 ) (1, n ) c1 ( f ,1 ) ( n , n ) cn ( f , n )
这个叫正则方程组或法方程组. 如果取的是正交基（正交函数系）则可保证系数矩阵是对角阵.
c dx
b a i i 1 i 0
n
b
a
f 1dx
b
c
i i 0
n
b
a
i1dx f 1dx
a
连续函数的最佳平方逼近
c
i i 0
n i i 0
n
b
a
i1dx f 1dx
a
1 1
b
c ( , ) ( f , )
a b 1 2
g
[ห้องสมุดไป่ตู้( xi ) g 2 ( xi )]1/2
i 1
m
最小二乘法
在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数 据: ( xi , yi ) (i 1,2,...m) ,求曲线y=f(x)的近似 曲线.
2
f ( x ) g ( x ) ( xi )[ f ( xi ) g ( xi )]
1 0) c0 2 / 3) 0 1 / 12 c 1 / 15 1 c0 10 / 15) c 12 / 15 1
对角阵
例题
10 12 g ( x) 1( x) 0 ( x) 15 15 10 12 ( x 1 / 2) 15 15 4 12 x 15 15
连续函数的最佳平方逼近
f(x) - g (x) = min f(x) - g(x)
数值分析15(最小二乘法1)
x
k 1
m
k
y1 x a0 y2 n xm an y mm y k m k 1 n x k m a k 1 0 x k yk
一个无解的方程组称为不相容。许多情况下方程 个数大于未知量个数使解不大可能满足所有的方程。 定义: 一个方程组称为相容方程(consistent equation),若 至少存在一个解能够严格满足该方程组。 定理: 线性方程Ax=b是相容的当且仅当增广矩阵的秩 等于矩阵A的秩, 即rank([A,b])=rank(A) 。
T T
20:23
10/43
1 1 2 例2 x1 1 1 1 x 2 1 1 3 1 1 1 1 1 3 1 T A A 1 1 1 3 1 1 1 1 1 2 x 3 1 1 1 1 6 1 T A b 1 1 1 1 4 1 3 x2 3 0.5 残差( residuals )r b Ax 0 2 20:23 2 2 2 r 2 r1 r2 r3 ( least squares ) 0.5
20:23
2/43
离散数据的拟合 x x1 f(x ) y1
求拟合函数:
x2 y2
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
c1 c2 x1 y1 c1 c2 x2 y2
( x ) c1 c2 x
y1 1 x1 1 x c y 1 2 2 Ac=y c2 1 x m ym
数值分析 最小二乘a
整理并代入表中的数据得：
2 y a ( x ) a ( xi ) a 0 i 1 i 1 i 1 i 1 6 6 6 6 2 3 x y x a ( xi ) a ( xi ) a 0 i 1 i 1 i 1 i 1 6 6 6 6 4 xi2 y xi2 a ( x3 i ) a ( xi ) a 0 i 1 i 1 i 1 i 1
(1)(,g)=(g,);
(2)(c,g)=c(,g); (3)(1+2,g)=(1,g)+(2,g);
若(,g)=0,称(x)与g(x)正交 ,记为g .
利用内积可以定义函数的平方模
f
2
(f, f)
b
a
f 2 ( x)dx
函数的平方模满 足 (1) 20,而且2=0(x)=0;
x
x ax b m xi 2 求 a 和 b 使得 (a, b) (ax b yi ) 最小。 i i 1
方案一：设 y P ( x )
it easy! We But Take hey, the system ofjust 线性化 /* linearization */：令 Y 1 , X 1 ，则
i 1
[
]
2
2
j 0
n
m
aj
x
i 1
jk i
m
i 1
m
yi xik
记 bk x , ck yi xik
i 1 k i i 1
m
b0 0 . . . b n 0
数值计算方法最小二乘法
数值计算方法最小二乘法最小二乘法，这个名字听上去挺严肃的，实际上它的作用可大了，简直是数据分析的小魔法。
想象一下，你在开车，路上有个小伙伴总是在给你指路，结果他指的方向总是让你偏离目标，心里那个急啊，简直想把他“丢”到窗外去。
可是，最小二乘法就是在帮助你找出那个最靠谱的路线，省得你每次都得绕远路。
说到最小二乘法，它的核心思想就像是“找最小的差距”。
你有没有想过，为什么你总是对着一堆数据发愁？其实就像拼图一样，有些数据就像拼图的边缘，而最小二乘法就是帮你找到那几块最适合的，让整个画面更完整。
想象一下，数据就像是跳跃的小猴子，东奔西跑，最小二乘法就是个聪明的猎手，能把这些猴子都抓到一起，形成一个完美的画面。
最小二乘法是怎么工作的呢？好比你在找人合影，大家的身高都不一样，你想把所有人都照得美美的。
最小二乘法就像是个高个子的摄影师，他会站在一个合适的角度，确保每个人都在最佳的光线下。
通过调整每个人的位置，减少那些因角度不佳造成的“失真”，最终拍出一张人人满意的合照。
在实际应用中，这个方法简直是无处不在。
你可以想象一下，当你在听一首歌，旋律时而高亢，时而低沉，那些音符有时候就像是散落的星星。
最小二乘法就像一个调音师，帮你把这些音符都调整到一个和谐的旋律，听起来更动听，打个比方，就像把一锅乱炖的菜，调成了一道美味的汤。
最小二乘法在科学研究中也发挥着重要的作用。
比如说，科学家们想要测量地球的温度变化，就得用到这些数据。
最小二乘法就像是一位智慧的老者，能通过历史的数据，预测未来的变化，简直厉害得让人瞠目结舌。
学会最小二乘法并不是一朝一夕的事儿。
你得对数据有一定的敏感度，就像一位优秀的厨师，能够根据食材的特点，调配出不同的味道。
最小二乘法也需要你不断尝试和练习，才能在数据的海洋中游刃有余。
不过，最小二乘法的魅力不仅在于它的应用，还在于它带来的思维方式。
它教会我们如何从复杂中找出简单的规律，像是在找宝藏一样，挖掘出数据背后的故事。
昆明理工数值分析大课后复习最小二乘法
数值分析实验报告课题八曲线拟合的最小二乘法一、问题提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘法求得拟合曲线。
在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。
二、实验要求t(分）0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 y(×10-4)0 1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.02 4.641、用最小二乘法进行曲线拟合；2、近似解析表达式为ϕ( t) = a1t + a2t 2 + a3t 3；3、打印出拟合函数ϕ(t)，并打印出ϕ(t j )与y(t j)的误差，j = 1,2,",12 ；4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；5、* 绘制出曲线拟合图﹡。
三、实验目的1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、实验原理——最小二乘法拟合在函数的最佳平方逼近中f(x)∈[a,b],对已知函数f(x)的一组离散数据{(xi,yi),i=0,1,…m}，yi=f(xi)，求函数拟合S*(x),记误差δi=S*(xi)-yi 要求一个函数)(*x S y =与所给数据(){}m i y x i i ,,1,0,,⋅⋅⋅=的曲线拟合，这里()()m i x f y i i ,,1,0⋅⋅⋅==，要求一个函数)(*x S y =与所给数据(){}m i y x i i ,,1,0,,⋅⋅⋅=拟合，若记误差()()()T m i i i m i y x S δδδδδδ,,,,,,,1,0210*⋅⋅⋅=⋅⋅⋅=-=，设()()()x x x n ϕϕϕ,,,10⋅⋅⋅是[]b a C ,上线性无关函数族，在()()(){}x x x span n ϕϕϕϕ,,,10⋅⋅⋅=中找一函数()x S *,使误差平方和()[]()()[]22*222min ∑∑∑=∈==-=-==mi i i x S mi mi i i iy x S y x S ϕδδ， （4.1）这里()()()()()m n x a x a x a x S <111100ϕϕϕ+⋅⋅⋅++=. （4.2）这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法。
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19:25
离散数据的线性拟合 x x1 x2 f(x ) y1 y2
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
求拟合函数: ( x ) a00 ( x) a11 ( x)
0 ( x1 ) 1 ( x1 ) 0 ( xm ) 1 ( xm ) y1 n ( x1 ) a0 y2 n ( xm ) an y m
( u1 , vk ) ( u1 , u1 )
uk -1 +uk
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Gram-Schmidt正交化的矩阵编码
v1 u1 v2 v3 vk
( u1 , v2 ) ( u1 , u1 ) ( u1 , v3 ) ( u1 , u1 )
u1 u2 u1 ( u22 ,u32 ) u2 u3 u1
19:25 pinv(X)*y, norm(X\y) , norm(pinv(X)*y) X\y,
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1范数意义下的残差最小
Sparse and Redundant Representations:
参考文献:
From Theory to Applications in Signal and Image Processing
定理: Gb是不相容矩阵的最小范数最小二乘解当且仅当 AGA=A, (AG)H=AG, GAG=G, (GA)H=GA。
注释: 最小范数最小二乘广义矩阵即Moore-Penrose矩阵。
19:25
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总结 相容方程
Ax b Ax b
arg min Ax b
x 2 2
矩阵可逆则解唯一, 如果矩阵秩亏损的情形, 则所有解 中有唯一的最小范数解。
19:25
1 1 2 1 1 x1 1 x 2 3 3 9
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1.7500 0.7500 1.9500 0.9500
直接方法: 高斯消元法
A(n – 1) = Fn-1Fn-2· · · · · · · F1 A
定理 矩阵A列满秩时, 最小二乘解唯一x= (ATA ) -1ATb。
19:25
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不相容方程解的唯一性 是否存在某种意义下的唯一性? 最小范数最小二乘解 (minimum norm least squares solution)
若存在G满足 Gb 2 x 2 其中x {x : Ax b 2 Az b 2 z }, 则称Gb 是最小范数最小二乘解, G称为最小范数最小二乘广义矩阵。
19:25
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最小二乘拟合问题研究包括:
模型的选取
存在唯一性 最小二乘解的计算
19:25
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为什么不直接求解正规方程?
正规方程(normal equation) AT Ax AT b
A Rmn , 其中m n, AT Ax AT b注意AT A Rnn cond ( A A) (cond ( A))
Matlab: pinv (Pseudoinverse) 比较back slash和pinv的区别。
1 2 3 16 4 5 6 17 X 7 8 9 , y 18 10 11 12 19 13 14 15 20
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离散数据的多项式拟合 x x1 x2 f(x ) y1 y2
求拟合函数:
1 1
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
n
( x) a0 a1 x
x1 xm
n 1
an x
y1 x a0 y2 n xm an y m
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不相容方程解的存在性
Ax b
x arg min || Ax b ||2 2
x
不相容方程的最小二乘解总是存在的。 证明: 即证明正规方程是相容方程。 rank([ATA, b])=rank(ATA)
设rank( A) k , 则rank( AT A) rank( AT ) rank( A) k , rank([ AT A, AT b]) rank( AT A) k 由于[ AT A, AT b] AT [ A, b], 故rank([ AT A, AT b]) min{rank( AT ),rank([ A, b])} rank([ AT A, AT b]) k 综上所述 ,rank([ AT A, AT b]) rank(AT A) k
a1n (1) a2 n ( n 1 ) a nn
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矩阵LU分解是高斯消元法的矩阵编码。
回顾:
不相容Ax b
m n
超定方程Ax b, 其中A R
x
,m n
最小二乘解 x arg min || Ax b ||2 （least squares） 2
T 2
1 1
x1 xm
1 1 2 1 1 T X 0 , X X 2 1 1 19:25 0
y1 x a0 y2 n xm an y m
|| y || || Qx || || x ||
2 2 2 2
x 2 2
2 2
2 2
x arg min || QAx Qb || arg min || Rx Qb ||
x
19:25
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—— Gram-Schmidt正交化——
u1 v1 u2 v2 u3 v3 uk vk
( x ) c1 c2 x
y1 1 x1 1 x c y 1 2 2 Ac=y c2 1 x m ym
超定方程组
c1 c2 xm ym
19:25
19:25
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定理 如果矩阵A 列满秩, 则ATA可逆。
证明 : 如果矩阵列满秩则矩阵列向量1 , 2 , 线性无关, 则对于任意的非零向量c Ac c11 c2 2 cn n 0, 进一步有对任意非零向量c A Ac 0,
T T
, n
因为矩阵AT A正定, AT A可逆。
—— Gram-Schmidt正交化——
v1 u1 v2 v3 vk
19:25
( u1 , v2 ) ( u1 , u1 ) ( u1 , v3 ) ( u1 , u1 )
u1 u2 u1 u1
( u2 , v3 ) ( u2 , u2 )
u2 u3
( uk 1 , vk ) ( uk 1 , uk 1 )
19:25
( u1 , v2 ) ( u1 , u1 ) ( u1 ,v3 ) ( u1 , u1 )
u1 u1 u1
( u2 , v3 ) ( u2 , u2 )
u2
( uk 1 , vk ) ( uk 1 , uk 1 )
( u1 ,vk ) ( u1 , u1 )
uk -1
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相容方程解的唯一性 是否存在某种意义下的唯一性?
最小范数解(minimum norm solution):
如果存在G满足 Gb 2 = min x 2 , 则称Gb为相容方程的最小范数解,
Ax b
广义逆矩阵G为最小范数广义逆矩阵。
定理: Gb是相容矩阵的最小范数解当且仅当 AGA=A, (GA)H=GA。 参考: 张贤达, 矩阵分析与应用, 清华大学
初等变分原理 arg min Ax b 2 AT Ax AT b ( normal eqaution )
x 2
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正交矩阵QTQ=QQT=I 半正交矩阵QTQ=I(列正交)或QQT=I (行正交)
回顾:正交矩阵乘向量,则向量2范数不变。 QTQ= I , y =Qx
yT y (Qx)T (Qx) xT QT Qx xT x
如果m =n且A非奇异, 则方程的解为x A-1b。一个自然的问题是在 m n和A为秩亏缺( rank ( A) min{m , n})的情况下是否存在一个与 x A-1b相类似的解, 比如x Gb是相容方程的解?
定理: 相容方程Ax=b对y不等于零有解x=Gb当且仅当 AGA=A。(G称为是A的广义逆generalized inverse)
《数值分析》 16
最小二乘解的存在唯一性
最小二乘解的数值方法
19:25
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离散数据的直线拟合 x x1 x2 f(x ) y1 y2
求拟合函数:
· · · · · · · · · · xm · · · · · · · · · · ym
c1 c2 x1 y1 c1 c2 x2 y2
ann ( x)
超定方程组
19:25
4/46
回顾:
Ax b
m n
2 2
超定方程Ax b, 其中A R
x
,m n
最小二乘解 x arg min || Ax b ||（next best）
初等变分原理 arg min Ax b 2 AT Ax AT b ( normal eqaution )
1 k ( ukk1 , uk 1 ) uk -1 +uk