最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告最小二乘法数值分析实验报告篇一：数值分析+最小二乘法实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析 201X年 4 月 13日篇二：数值分析上机实验最小二乘法数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二乘法三、程序M文件：sy ms x f; xx=input( 请输入插值节点 as [x1,x2...]\n ff=i nput( 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f 2...]\n m=input(请输入要求的插值次数m= n=leng th(xx); fr i=1:(m+1) syms faix; fai=x^(i-1); fr j=1:n x=xx(j);H(i,j)=eval(fai); end endA=ff*(H) *inv(H*(H) syms x; f=0; fr i=1:(m+1) f=f+A(i)*x^(i-1); end f plt(xx,ff, * ) hldnezplt(f,[xx(1),xx(n)])四、结果 sav e and run之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2-1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as[f1,f2...] [-1.76 0.42 1.21.341.432.254.38]请输入要求的插值次数m=3 f =133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359 9627370496*x^2+1020815915537309/9007199254740992*x^3五、拓展：最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
最小二乘法的实验报告
最小二乘法的实验报告最小二乘法的实验报告引言：最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和求解最优解。
它适用于各种领域，如统计学、经济学、工程学等。
本实验旨在通过实际案例，探讨最小二乘法在实际问题中的应用和效果。
一、实验目的本实验旨在通过最小二乘法，对一组实际数据进行拟合，得出最佳拟合曲线，并分析拟合结果的合理性和可靠性。
二、实验材料与方法1. 实验材料：- 一组实际数据：包含自变量和因变量的数据对。
- 计算机软件：如MATLAB、Python等，用于进行最小二乘法计算和绘制拟合曲线。
2. 实验方法：- 数据处理：对实际数据进行预处理，包括数据清洗、异常值处理等。
- 模型选择：根据实际问题和数据特点，选择适当的拟合模型。
- 参数估计：利用最小二乘法，求解模型参数的最优估计值。
- 拟合效果评估：通过计算残差平方和、确定系数等指标，评估拟合效果的好坏。
三、实验过程与结果1. 数据处理：在本实验中，我们选择了一组汽车销量与广告投入的数据。
首先，我们对数据进行了清洗，排除了异常值和缺失值。
2. 模型选择：根据实际问题和数据特点，我们选择了线性模型进行拟合。
即假设广告投入与汽车销量之间存在线性关系。
3. 参数估计：利用最小二乘法，我们求解了线性模型的参数估计值。
具体计算过程如下： - 建立线性模型：y = β0 + β1x，其中y表示汽车销量，x表示广告投入。
- 最小化残差平方和：min Σ(yi - (β0 + β1xi))^2，其中yi为实际销量，xi为实际广告投入。
- 对β0和β1求偏导，并令偏导数为0，得到最优解的估计值。
4. 拟合效果评估：通过计算残差平方和和确定系数等指标，我们评估了拟合效果的好坏。
结果显示，残差平方和较小，确定系数较接近1，表明拟合效果较好。
四、实验讨论1. 拟合效果的合理性：通过对拟合效果的评估，我们认为拟合结果较为合理。
然而，我们也要注意到，拟合结果仅仅是对观测数据的一个估计，并不能完全代表真实情况。
实验三(最小二乘法)
实验三 最小二乘法
一．实验目的
了解最小二乘法的基本原理。
二．实验类型 设计型
三．实验学时 2学时
四．实验环境
1．硬件设备要求：
PC 及其联网环境； 2．软件设备要求：
MATLAB 。
五．实验原理及实验内容
最小二乘法原理：
已知数据对(,)(1,2,
,)j j x y j n =，求多项式0
()()m
i i i P x a x m n ==<∑，使得
2
0110(,,
,)n m
i m i j j j i a a a a x y ==⎛⎫
Φ=- ⎪⎝⎭
∑∑
为最小。
注意到此时()k k x x ϕ=，多项式系数01,,
,m a a a 满足下面的线性方程组：
100121111
2m m m
m m m m S S S a T S S S a T S S S a T ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪
= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
其中
11
(0,1,2,
,2)
(0,1,2,
,)
n
k k j j n
k k j j j S x k m T y x k m ======∑∑
然后只要调用解线性方程组的函数程序即可。
实验内容：
例如：试用线形函数和二次多项式拟合如下数据:
并做出数据点和相应的拟合曲线图。
实验程序:
实验结果:
练习：已知实验数据如下：
x y和拟对表中数据作三次多项式拟合，给出拟合函数多项式的系数，并作出离散数据{,}
i i
合多项式的图形。
六．实验小结。
数值分析上机实验最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------数值分析上机实验最小二乘法数值分析实验报告五最小二乘法一、数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据题目设有如下数据 xj -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 ( )jf x -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二t(f,[xx(1),xx(n)]) 四、结果 save and run 之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359结果 save and run 之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/4503599 627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x9627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x五、拓展：1 / 2最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
数值分析实验报告
数值分析实验报告
一、实验背景
本实验主要介绍了数值分析的各种方法。
在科学计算中，为了求解一
组常微分方程或一些极限问题，数值分析是一种有用的方法。
数值分析是
一种运用计算机技术对复杂模型的问题进行数学分析的重要手段，它利用
数学模型和计算机程序来解决复杂的数学和科学问题。
二、实验内容
本实验通过MATLAB软件，展示了以下几种数值分析方法：
（1）拉格朗日插值法：拉格朗日插值法是由法国数学家拉格朗日发
明的一种插值方法，它可以用来插值一组数据，我们使用拉格朗日插值法
对给定的点进行插值，得到相应的拉格朗日多项式，从而计算出任意一个
点的函数值。
（2）最小二乘法：最小二乘法是一种常用的数据拟合方法，它可以
用来拟合满足一定函数的点的数据，它的主要思想是使得数据点到拟合曲
线之间的距离的平方和最小。
（3）牛顿插值法：牛顿插值法是一种基于差商的插值方法，它可以
用来插值一组数据，可以求得一组数据的插值函数。
（4）三次样条插值：三次样条插值是一种基于三次样条的插值方法，它可以用来对一组数据进行插值，可以求得一组数据的插值函数。
三、实验步骤
1．首先启动MATLAB软件。
工程数值分析实验龙格库塔,最小二乘法
工程数值分析实验报告指导老师班级 学号 姓名实验一：最小二乘法拟合曲线实验一、实验名称：最小二乘法拟合曲线实验实验时间： 2015-5-14 实验地点： 主楼机房 实验器材： 计算机matlab二、实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。
三、实验要求：（1）根据最小二乘法和加权最小二乘法的基本理论，编写程序构造拟合曲线的法方程，要求可以方便的调整拟合多项式的次数；（2）采用列主元法解（1）中构造的法方程，给出所拟合的多项式表达式； （3）编写程序计算所拟合多项式的均方误差，并作出离散函数 和拟合函数的图形； （4） 用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB 的内部函数plot 作出其图形，并与（1）的结果进行比较。
四、算法描述（实验原理与基础理论）基本原理：从整体上考虑近似函数 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)( (i=0,1,…,m) i i i y x p r -=)( (i=0,1,…,m)绝对值的最大值imi r ≤≤0max ，即误差 向量Tm r r r r ),,(10 = 的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir2的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir2来 度量误差 i r (i=0，1，…，m)的五、实验内容：共有两组给定数据，把给定的数据拟合成多项式。
第一组给定数据点如表1所示如下：表1 数据表表2 数据表六、程序流程图七、实验结果ans =27-May-2015ans =7.3611e+05ans =1.0e+03 *2.0150 0.0050 0.0270 0.0140 0.0010 0.0213 >>八、实验结果分析实验程序 quxiannihe.m clear alldate,now,clockx0=[0.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y0=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; w=ones(size(x0)); x=0:0.01:1; %进行五次曲线拟合 N=5;for i=1:Na1=LSF(x0,y0,w,i) ; y=polyval(a1,x); figure(i)plot(x0,y0,'ok',x,y,'r') title('最小二乘法'); legend('y0','y'); xlabel('x'); ylabel('y'); end实验二：4阶经典龙格库塔法解常微分方程一、实验名称： 4阶经典龙格库塔法解常微分方程实验时间： 2015-5-14 实验地点： 主楼机房 实验器材： 计算机matlab二、实验目的：学习掌握4阶经典R-K 方法，体会参数和步长对问题的影响。
数值分析+最小二乘法实验报告
数学与信息工程学院
实验报告
课程名称：数值分析
实验室：
实验台号：
班级：
姓名：
实验日期：2012 年 4 月13 日
实验名称最小二乘法求多项式拟合
实验目的和要求（1）了解最小二乘法求多项式拟合原理和方法；
（2）通过实例掌握用MATLAB求拟合函数及拟合图像；（3）编程实现用最小二乘法求多项式拟合。
实验内容和步骤：
实验内容：
根据matlab编写算法，用最小二乘法求多项式拟合。
实验步骤：
（1）开启软件平台——MATLAB，编程；
在command window 编写程序，求出拟合函数
x=[-2,-1,0,1,2];
y=[-0.1,0.1,0.4,0.9,1.6];
>> p=polyfit(x,y,3);
>> pa=poly2str(p,'x')
pa =
0.0083333 x^3 + 0.085714 x^2 + 0.39167 x + 0.40857（2）根据数值解法步骤编写M文件；
x=[-2 -1 0 1 2];
y=[-0.1 0.1 0.4 0.9 1.6];
p1=polyfit(x,y,3)
x1=-3:0.01:3;
y1=polyval(p1,x1);
plot(x,y,'b^',x1,y1,'r-')
（3）观察运行结果。
实验数据记录：
实验结果分析：
1.画图中点与函数要用不同的表现法，否则图片就是五点的连接。
2.3次拟合比2次拟合更准确。
3.在写M文件时，注意数据点乘的运用。
成绩评定
签字：年月日。
数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告
数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告篇一：数值分析设计曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据?xi,yi??i?0,1,2,?,m?中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系y?F?x?。
由于观测数据往往不准确，因此不要求y?F?x?经过所有点?xi,yi?，而只要求在给定点xi上误差而只要求所在所有给定点xi上的误差?i?F(xi)?yi ?i?0,1,2,?,m?按某种标准最小。
若记????0,?1,?2,?,?m?，就是要求向量?的范数如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数?最小。
2T 作为误差度量的标准。
F?x?的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。
如果F?x?是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。
最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。
这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。
线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。
用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S?x?的形式。
这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据?xi,yi?有关；通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定S?x?的形式，并通过实际计算选出较好的结果。
为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的? 22 都考虑为加权平方和22 ? ????xi???S?xi??f?xi??? i?0 m 2 这里??xi??0是?a,b?上的加权函数，它表示不同点?xi,f?xi?处的数据比重不同。
?二、计算方法在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。
数值分析曲线拟合的最小二乘法——董安葳
数值分析第二次实验报告姓名：董安葳学号：5123119题目：曲线拟合的最小二乘法实验方法：根据书中最小二乘法的定义，自行设计算法编写matlab函数文件zuixiaoerchengnihe.m，然后通过调用自己编写的函数来解决实际问题。
实验过程：1．实验代码：zuixiaoerchengnihe.mfunction zuixiaoerchengnihe(X,Y,n) %X,Y为实验数据，分别为两个向量，由用户输入，n为所要求的拟合曲线的次数[b,a]=size(X);G=zeros(n+1,n+1); %法方程的矩阵Gd=zeros(n+1,1); %法方程的矩阵dfor ii=1:n+1for jj=ii:n+1for kk=1:a;G(ii,jj)=G(ii,jj)+X(1,kk)^(ii+jj-2); %通过循环计算矩阵G的上三角endG(jj,ii)=G(ii,jj); %矩阵G是对称矩阵，所以下三角的值直接拷贝上三角的值endfor pp=1:ad(ii,1)=d(ii,1)+Y(1,pp)*X(1,pp)^(ii-1); %通过循环计算矩阵dendendjielun=(G^(-1))*d %解法方程，输出为拟合曲线的系数向量%将所得系数向量通过循环输出将标准的拟合曲线方程输出fprintf('f(x)=')for ii=1:n+1fprintf([num2str(jielun(ii,1)) 'x' '^' num2str(ii-1)])if ii~=n+1fprintf('+')endendfprintf('\n')2．调用方法和输出结果：P95第十六题：P95第17题：P95第18题：经过输入X向量和Y向量再通过plot函数连线则可以判断用二次函数拟合比较合适。
故如下方式调用：。
最小二乘法实验报告
最小二乘法实验报告最小二乘法实验报告引言最小二乘法是一种常用的数学方法，用于拟合数据和估计模型参数。
它通过最小化观测值与理论值之间的误差平方和，寻找最优解。
本实验旨在通过实际数据拟合的方式，探索最小二乘法的原理和应用。
实验步骤1. 数据采集在实验开始前，我们选择了一个简单的线性回归模型进行拟合。
为了收集数据，我们在实验室里设置了一个简单的装置，用于测量物体的运动距离和所需时间。
通过多次重复实验，我们得到了一组数据，包括物体运动距离和所需时间的测量值。
2. 数据处理在进行最小二乘法拟合之前，我们需要对数据进行处理。
首先，我们计算每次实验的平均速度，通过将运动距离除以所需时间得到。
然后，我们将平均速度作为自变量，所需时间作为因变量，得到一组有序的数据点。
3. 拟合模型接下来，我们使用最小二乘法来拟合线性回归模型。
线性回归模型可以表示为：y = a + bx，其中y是因变量（所需时间），x是自变量（平均速度），a和b是待估计的模型参数。
通过最小化残差平方和，我们可以得到最优的a和b的估计值。
4. 拟合结果分析通过最小二乘法拟合得到的模型参数估计值，我们可以进一步分析拟合结果的准确性和可靠性。
首先，我们计算拟合优度，即拟合值与观测值之间的相关系数。
较高的拟合优度表明模型拟合效果较好。
此外，我们还可以计算参数估计的标准误差，用于评估参数估计值的可靠性。
结果与讨论在本实验中，我们使用最小二乘法对一组实际测量数据进行了线性回归拟合。
通过计算拟合优度，我们发现拟合效果较好，相关系数接近1。
这表明我们选择的线性回归模型较为合适，并且可以用于预测因变量（所需时间）。
此外，我们还计算了参数估计的标准误差。
标准误差是对参数估计值的精度进行评估的指标。
较小的标准误差表示参数估计值较可靠。
通过计算，我们发现参数估计值的标准误差较小，说明我们得到的模型参数估计值较为准确。
结论通过本实验，我们深入了解了最小二乘法的原理和应用。
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最小二乘法数值分析实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析2012 年 4 月 13 日数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形二、方法最小二乘法三、程序M文件： syms x f;xx=input(‘请输入插值节点as [x1,x2...]\n’);ff=input(‘请输入插值_ __________________ ___________________ ___________________ ___________________实验一MATLAB在数值分析中的应用插值与拟合是来源于实际、又广泛应用于实际的两种重要方法随着计算机的不断发展及计算水平的不断提高，它们已在国民生产和科学研究等方面扮演着越来越重要的角色下面对插值中分段线性插值、拟合中的最为重要的最小二乘法拟合加以介绍分段线性插值所谓分段线性插值就是通过插值点用折线段连接起来逼近原曲线，这也是计算机绘制图形的基本原理实现分段线性插值不需编制函数程序，MATLAB自身提供了内部函数interp1其主要用法如下：interp1(x,y,xi) 一维插值◆yi=interp1(x,y,xi)对一组点(x,y) 进行插值，计算插值点xi的函数值x为节点向量值，y为对应的节点函数值如果y
为矩阵，则插值对y 的每一列进行，若y 的维数超出x 或xi 的维数，则返回NaN ◆ yi=interp1(y,xi)此格式默认x=1:n ，n为向量y的元素个数值，或等于矩阵y的size(y,1) ◆ yi=interp1(x,y,xi,’method’)method用来指定插值的算法默认为线性算法其值常用的可以是如下的字符串nearest 线性最近项插值linear线性插值spline 三次样条插值贵州师范大学数学与计算机科学学院学生实验报告1. 对函数f(x)?,哪一种曲线拟合较好?为什么?能找出更好的拟合曲线吗?七、总结1、从图像可以看出用lagrange插值函数拟合数据中间拟合的很好，但两边与原函数图象相比波动太大，逼近效果很差，出现所谓的Runge现象2、从图像可以看出用最小二乘法去拟合较少的数据点，曲线拟合比直线拟合得好，高次的会比低次的拟合得好3.一般情形高次插值比低次插值精度高,但是插值次数太高也不一定能提高精度.八、附录1、M文件：function cy=Lagrange(x,y,n,cx)m=length(cx);cy=zeros(1,m);for k=1:n+1t=ones(1,m);for j=1:n+1if j~=kt=t.*(cx-x(j))./(x(k)-x(j));endendcy=cy+y(k).*t ;end>> x=-5::5;>> y=1./(x. +1);>> plot(x,y)>> n=10;>> x0=-5:10/n:5;>> y0=1./(1+x0. );>> cx=-5::5;>> cy=Lagrange(x0,y0,n,cx);>> hold on>> plot(cx,cy)e1 =xxxx大学数值分析实验报告题目：学
院：专业：年级：学生姓名：学号：日期：曲线拟合的最小二乘法xxxx学院xxxxxxx xxxx级xxx xxx 2014年12月24日课题八曲线拟合的最小二乘法一、问题的提出从随机的数据中找出其规律性，给出其近似表达式的问题，在生产实践和科学实验中大量存在，通常利用数据的最小二乘拟合求得拟合曲线在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求出含碳量y与时间t的拟合曲线0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55t(分)y(x10?4)0 二、要求1、用最小二乘法进行曲线的拟合；2、近似表达式为：?(t)?a0?a1t?a2t2?a3t3；?(t)，3、打印出拟合函数：并打印出?(tj)与y(tj)的误差，其中j?1,2,3,?,12；
4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；
5、*绘制出拟合曲线图；三、目的和意义1、掌握曲线拟合的最小二乘法；2、最小二乘法亦可用于解超定线性方程组；
3、探索拟合函数的选择与拟合进精度间的关系；四、MATLAB2011a简介及算法介绍MATLAB2011a本实验是基于MATLAB2011a软件平台进行程序设计MATLAB2011a是一款将数据结构、程序特性以及图形用户界面完美地结合在一起的一款强大的软件MATLAB的核心是矩阵和数组，在MATLAB2011a中，所有的数据都是以矩阵或数组的形式来表
示和存储的MATLAB2011a提供了常用的矩阵代数运算功能，同时还提供了非常广泛的、灵活的数组运算功能，用于数据集的处理MATLAB的编程特性与其他高级语言类似，同时它还可以与其他语言(如Fortran和C语言)混合编程，进一步扩展了自身的功能这次作业课题，主要采用了MATLAB语言进行程序的编写，误差计算，拟合函数的输出，以及拟合曲线(1)和拟合曲线(2)与原离散数据点在一个图形界面中的现实的显示
最小二乘拟合法在函数的最佳平方逼近中f(x)?C[a,b],如果f(x)只在一组离散的点集?xi,i?0,1,2,3,?,m?上给出，这就是科学实验中经常见到的实验数据?(xi,yi),i?0,1,2,3,?m?的曲线拟合，这里yi?f(xi)(i?0,1,2,3,?,m)，要求一个函数y?S*(x)与所给数据?(xi,yi),i?0,1,2,3,?m?拟合若记误差?i?S(xi)?yi(i?0,1,2,3,?,m),??(?0,?1,?2,?3,??m)T,设?0(x),?1(x),?,?n(x)是*?C[a,b]上线性无关的函数族，在??span??0(x),?1(x),?,?n(x)?中找一个函数S*(x)使误差平方和??这里22[S(xi)?yi]?min?[S*(xi)?yi]2, ()2i*2i?0i?0s(x)??i?0mmmS(x)?a0?0(x)?a1?1(x)?a2?2(x )?a3?3(x)??an?n(x) (n?m). () 这就是一般的最小二乘逼近，用几何语言说，就称为曲线拟合的最小二乘法. 用最小二乘法拟合曲线时，首先要确定S(x)的形式，这不是单
纯的数学问题，还与所研究问题的运动规律及所得到的观测数据(xi,yi)有关；通常要从问题的运动规律或给定的数据描图，确定S(x)的形式，并通过实际计算选出最好的结果——这点将从下面的例题得到说明. S(x)的一般表达式为()式表示的线性形式.若?k(x)是k次多项式，S(x)就是n次多项式为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中都考虑加权平方和2?2??22(xi)[S*(xi)?yi]2. ()i?0m 这里?(x)?0 (i?0,1,2,3,?m)是[a,b]上的权函数它表示不同的点(xi,yi)处的数据比重不同，列如：?(xi)可以表示点(xi,yi)处的重复观测次数用最小二乘法拟合曲线的问题，就是在形如()式的S(x)中求一函数y?S(x),使()式取得最小值它转化为求取多元函数*
I(a0,a1,?an)(xi)[?aj?(xi)?f(xi)]2i?0j?0mn***的极小点(a0,a1,?,an)的问题这与多元函数求极值的必要条件的问题一样，则有：mn?I?2??(xi)[?aj?(xi)?f(xi)]?k(xi)?0
k?0,1,2,?,n. ?aki?0j?0若记(?j,?k)(xi)?j(xi)?k(xi),
()i?0mm(f,?k)(xi)f(xi)?k(xi)?dk,k?0,1,2,3?,n, ()i?0上式可以改写为：?(?j?0mk,?j)aj?dk, k?0,1,2,3?,n, ()线性方程组()称为法方程，可以将其写成：Ga?d其
中??Ta?(a0,a1,?a2),d?(d0,d1,?dn)T,
(0,0)(0,1)(,)(,)11G10(n,0)(n, 1)(0,n)(n,1)
() (?n,?n)?五、课题分析拟合近似表达式：?(t)?a0?a1t?a2t2?a3t3的最高次数为三次，我们知道当拟合多项式的最高次数n?3时，与连续的情形一样，在求解法方程Ga?d的过程中，会出现系数矩阵(格拉姆矩阵)G为病态的问题但是如果?0(x),?1(x),?2(x),?,?n(x)是关于点集?xi?(i?0,1,2,?,m)带权?(xi)(i?0,1,2,?,m)正交的函数族，即：
0,jk,()
(?j,?k)(xi)?j(xi)?k(xi)??i?0?Ak?0,j?k,m则法方程的解为：(f,?k)?(?k,?k)*ak(x)f(x)?iii?0mk(xi),k?0,1,2,?,n ()??(x)?ii?0m2k(xi)这样就能避免求解格拉姆矩阵，也不会在求解线性方程组是就不会出现病态问题现在我们需要根据给定的节点x0,x1,?xm及权函数?(xi)?0,造出带权?(xi)正交的多项式?Pn(x)?.注意n?m，用递推公式表示Pk(x),即：?P0(x)?1,?() ?P1(x)?(x??1)P0(x),?P(x)?(x??)P(x) P(x),k?1,2,3,?,n?1.k?1kkk?1?k?1这里Pk(x)是首项系数为1的k次多项式，根据Pk(x)的正交性，得：m??(xi)xiPk2(xi)??(xPk(x),Pk(x))??k?1?i?0?m?(Pk(x),
Pk(x))2?(x)P(x)?iki?i?0??(xPk,Pk),k?0,1,2,3,?,n?1, () ??(P,P)kk?m??(xi)Pk2(xi)??(Pk,Pk)i?0?,k?1,2,3 ,?,n??k(Pk?1,Pk?1)?(xi)Pk2?1(xi)??i?0?用正交多项式?Pk(x)?的线性组合做最小二乘曲线拟合，只要根据公式()和()逐步求Pk(x)得同时，相应计算出系数(f,Pk)*ak??(Pk,Pk)??(x)f(x)P(x)iikii?0m??(x)Pii?0m, k?0,1,2,?,n，()2k(xi)
*并逐步把ak,Pk(x)累加到S(x)中去，最后就会得到所求的拟合曲线。