数值分析实验报告
数值分析综合实验报告
一、实验目的通过本次综合实验，掌握数值分析中常用的插值方法、方程求根方法以及数值积分方法，了解这些方法在实际问题中的应用，提高数值计算能力。
二、实验内容1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：利用已知数据点构造多项式，以逼近未知函数。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，通过增加基函数，提高逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，通过不断缩小区间来逼近根。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，通过迭代逼近根。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，通过迭代逼近根。
3. 数值积分方法（1）矩形法：将积分区间等分，近似计算函数值的和。
（2）梯形法：将积分区间分成若干等分，用梯形面积近似计算积分。
（3）辛普森法：在梯形法的基础上，将每个小区间再等分，提高逼近精度。
三、实验步骤1. 拉格朗日插值法（1）输入已知数据点，构造拉格朗日插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
2. 牛顿插值法（1）输入已知数据点，构造牛顿插值多项式。
（2）计算插值多项式在未知点的函数值。
3. 方程求根方法（1）输入方程和初始值。
（2）选择求解方法（二分法、Newton法、不动点迭代法）。
（3）迭代计算，直到满足精度要求。
4. 数值积分方法（1）输入被积函数和积分区间。
（2）选择积分方法（矩形法、梯形法、辛普森法）。
（3）计算积分值。
四、实验结果与分析1. 插值方法（1）拉格朗日插值法：通过构造多项式，可以较好地逼近已知数据点。
（2）牛顿插值法：在拉格朗日插值法的基础上，增加了基函数，提高了逼近精度。
2. 方程求根方法（1）二分法：适用于函数在区间内有正负值的情况，计算简单，但收敛速度较慢。
（2）Newton法：利用函数的导数信息，收敛速度较快，但可能存在数值不稳定问题。
（3）不动点迭代法：将方程转化为不动点问题，收敛速度较快，但可能存在初始值选择不当的问题。
3. 数值积分方法（1）矩形法：计算简单，但精度较低。
数值分析2024上机实验报告
数值分析2024上机实验报告数值分析是计算数学的一个重要分支，它研究如何用数值方法来解决数学问题。
在数值分析的学习过程中，学生需要通过上机实验来巩固理论知识，并学会使用相应的数值方法来解决实际问题。
本篇报告将详细介绍2024年度数值分析上机实验的内容和结果。
一、实验内容2024年度数值分析上机实验分为四个部分，分别是：方程求根、插值与拟合、数值积分和常微分方程的数值解。
1.方程求根这部分实验要求使用数值方法求解给定的非线性方程的根。
常见的数值方法有二分法、牛顿法、割线法等。
在实验过程中，我们需要熟悉这些数值方法的原理和实现步骤，并对不同方法的收敛性进行分析和比较。
2.插值与拟合这部分实验要求使用插值和拟合方法对给定的一组数据进行拟合。
插值方法包括拉格朗日插值、牛顿插值等；拟合方法包括最小二乘拟合、多项式拟合等。
在实验中，我们需要熟悉插值和拟合方法的原理和实现步骤，并对不同方法的精度和稳定性进行比较。
3.数值积分这部分实验要求使用数值方法计算给定函数的积分。
常见的数值积分方法有梯形法则、辛普森法则、龙贝格积分等。
在实验过程中，我们需要熟悉这些数值积分方法的原理和实现步骤，并对不同方法的精度和效率进行比较。
4.常微分方程的数值解这部分实验要求使用数值方法求解给定的常微分方程初值问题。
常见的数值方法有欧拉法、改进的欧拉法、四阶龙格-库塔法等。
在实验中，我们需要熟悉这些数值解方法的原理和实现步骤，并对不同方法的精度和稳定性进行比较。
二、实验结果在完成2024年度数值分析上机实验后，我们得到了以下实验结果：1.方程求根我们实现了二分法、牛顿法和割线法，并对比了它们的收敛速度和稳定性。
结果表明，割线法的收敛速度最快，但在一些情况下可能会出现振荡；二分法和牛顿法的收敛速度相对较慢，但稳定性较好。
2.插值与拟合我们实现了拉格朗日插值和最小二乘拟合，并对比了它们的拟合效果和精度。
结果表明，拉格朗日插值在小区间上拟合效果较好，但在大区间上可能出现振荡；最小二乘拟合在整体上拟合效果较好，但可能出现过拟合。
数值分析积分实验报告(3篇)
第1篇一、实验目的本次实验旨在通过数值分析的方法，研究几种常见的数值积分方法，包括梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法，并比较它们在计算精度和效率上的差异。
通过实验，加深对数值积分理论和方法的理解，提高编程能力和实际问题解决能力。
二、实验内容1. 梯形法梯形法是一种基本的数值积分方法，通过将积分区间分割成若干个梯形，计算梯形面积之和来近似积分值。
实验中，我们选取了几个不同的函数，对积分区间进行划分，计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
2. 辛普森法辛普森法是另一种常见的数值积分方法，它通过将积分区间分割成若干个等距的区间，在每个区间上使用二次多项式进行插值，然后计算多项式与x轴围成的面积之和来近似积分值。
实验中，我们对比了辛普森法和梯形法的计算结果，分析了它们的精度差异。
3. 复化梯形法复化梯形法是对梯形法的一种改进，通过将积分区间分割成多个小区间，在每个小区间上使用梯形法进行积分，然后计算所有小区间积分值的和来近似积分值。
实验中，我们对比了复化梯形法和辛普森法的计算结果，分析了它们的精度和效率。
4. 龙贝格法龙贝格法是一种通过外推加速提高计算精度的数值积分方法。
它通过比较使用不同点数（n和2n）的积分结果，得到更高精度的积分结果。
实验中，我们使用龙贝格法对几个函数进行积分，并与其他方法进行了比较。
三、实验步骤1. 编写程序实现梯形法、辛普森法、复化梯形法和龙贝格法。
2. 选取几个不同的函数，对积分区间进行划分。
3. 使用不同方法计算积分近似值，并与实际积分值进行比较。
4. 分析不同方法的精度和效率。
四、实验结果与分析1. 梯形法梯形法在计算精度上相对较低，但当积分区间划分足够细时，其计算结果可以接近实际积分值。
2. 辛普森法辛普森法在计算精度上优于梯形法，但当积分区间划分较细时，计算量较大。
3. 复化梯形法复化梯形法在计算精度上与辛普森法相当，但计算量较小。
4. 龙贝格法龙贝格法在计算精度上优于复化梯形法，且计算量相对较小。
数值分析实验报告心得(3篇)
第1篇在数值分析这门课程的学习过程中，我深刻体会到了理论知识与实践操作相结合的重要性。
通过一系列的实验，我对数值分析的基本概念、方法和应用有了更加深入的理解。
以下是我对数值分析实验的心得体会。
一、实验目的与意义1. 巩固数值分析理论知识：通过实验，将课堂上学到的理论知识应用到实际问题中，加深对数值分析概念和方法的理解。
2. 培养实际操作能力：实验过程中，我学会了使用Matlab等软件进行数值计算，提高了编程能力。
3. 增强解决实际问题的能力：实验项目涉及多个领域，通过解决实际问题，提高了我的问题分析和解决能力。
4. 培养团队协作精神：实验过程中，我与同学们分工合作，共同完成任务，培养了团队协作精神。
二、实验内容及方法1. 实验一：拉格朗日插值法与牛顿插值法（1）实验目的：掌握拉格朗日插值法和牛顿插值法的原理，能够运用这两种方法进行函数逼近。
（2）实验方法：首先，我们选择一组数据点，然后利用拉格朗日插值法和牛顿插值法构造插值多项式。
最后，我们将插值多项式与原始函数进行比较，分析误差。
2. 实验二：方程求根（1）实验目的：掌握二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方程求根方法，能够运用这些方法求解非线性方程的根。
（2）实验方法：首先，我们选择一个非线性方程，然后运用二分法、Newton法、不动点迭代法、弦截法等方法求解方程的根。
最后，比较不同方法的收敛速度和精度。
3. 实验三：线性方程组求解（1）实验目的：掌握高斯消元法、矩阵分解法等线性方程组求解方法，能够运用这些方法求解线性方程组。
（2）实验方法：首先，我们构造一个线性方程组，然后运用高斯消元法、矩阵分解法等方法求解方程组。
最后，比较不同方法的计算量和精度。
4. 实验四：多元统计分析（1）实验目的：掌握多元统计分析的基本方法，能够运用这些方法对数据进行分析。
（2）实验方法：首先，我们收集一组多元数据，然后运用主成分分析、因子分析等方法对数据进行降维。
数值分析原理实验报告
一、实验目的通过本次实验，掌握数值分析的基本原理和方法，了解数值分析在科学和工程领域的应用，培养动手能力和分析问题的能力。
二、实验内容1. 二分法求方程根（1）原理：二分法是一种在实数域上寻找函数零点的算法。
对于连续函数f(x)，如果在区间[a, b]上f(a)f(b)<0，则存在一个根在区间(a, b)内。
二分法的基本思想是将区间[a, b]不断二分，缩小根所在的区间，直到满足精度要求。
（2）实验步骤：① 输入函数f(x)和精度要求；② 初始化区间[a, b]和中间点c=a+(b-a)/2；③ 判断f(c)与f(a)的符号，若符号相同，则将区间缩小为[a, c]，否则缩小为[c,b]；④ 重复步骤②和③，直到满足精度要求；⑤ 输出根的近似值。
2. 牛顿法求方程根（1）原理：牛顿法是一种在实数域上寻找函数零点的算法。
对于可导函数f(x)，如果在点x0附近，f(x0)f'(x0)≠0，则存在一个根在点x0附近。
牛顿法的基本思想是通过泰勒展开近似函数，然后求解近似方程的根。
（2）实验步骤：① 输入函数f(x)和精度要求；② 初始化迭代次数n=0，近似根x0；③ 计算导数f'(x0)；④ 求解近似方程x1=x0-f(x0)/f'(x0)；⑤ 判断|x1-x0|是否满足精度要求，若满足，则停止迭代；否则，将x0更新为x1，n=n+1，返回步骤③。
3. 雅可比迭代法解线性方程组（1）原理：雅可比迭代法是一种解线性方程组的迭代算法。
对于线性方程组Ax=b，雅可比迭代法的基本思想是利用矩阵A的对角线元素将方程组分解为多个一元线性方程，然后逐个求解。
（2）实验步骤：① 输入系数矩阵A和常数向量b；② 初始化迭代次数n=0，近似解向量x0；③ 计算对角线元素d1, d2, ..., dn；④ 更新近似解向量x1=x0-A/d1, x2=x0-A/d2, ..., xn=x0-A/dn；⑤ 判断|x1-x0|是否满足精度要求，若满足，则停止迭代；否则，将x0更新为x1, x2, ..., xn，n=n+1，返回步骤③。
数值分析实验报告
数值分析实验报告篇一：数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二：数值分析实验报告数值分析实验报告课题一：解线性方程组的直接方法1.实验目的：1、通过该课题的实验，体会模块化结构程序设计方法的优点；2、运用所学的计算方法，解决各类线性方程组的直接算法；3、提高分析和解决问题的能力，做到学以致用；4、通过三对角形线性方程组的解法，体会稀疏线性方程组解法的特点。
2.实验过程：实验代码：#include "stdio.h"#include "math.h"#includeiostreamusing namespace std;//Gauss法void lzy(double **a,double *b,int n) {int i,j,k;double l,x[10],temp;for(k=0;kn-1;k++){for(j=k,i=k;jn;j++){if(j==k)temp=fabs(a[j][k]);else if(tempfabs(a[j][k])){temp=fabs(a[j][k]);i=j;}}if(temp==0){cout"无解\n; return;}else{for(j=k;jn;j++){temp=a[k][j];a[k][j]=a[i][j];a[i][j]=temp;}temp=b[k];b[k]=b[i];b[i]=temp;}for(i=k+1;in;i++) {l=a[i][k]/a[k][k];for(j=k;jn;j++)a[i][j]=a[i][j]-l*a[k][j]; b[i]=b[i]-l*b[k];}if(a[n-1][n-1]==0){cout"无解\n;return;}x[n-1]=b[n-1]/a[n-1][n-1];for(i=n-2;i=0;i--){temp=0;for(j=i+1;jn;j++)temp=temp+a[i][j]*x[j];x[i]=(b[i]-temp)/a[i][i];}for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]); printf("\n");}}//平方根法void pfg(double **a,double *b,int n)int i,k,m;double x[8],y[8],temp;for(k=0;kn;k++){temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+pow(a[k][m],2);if(a[k][k]temp)return;a[k][k]=pow((a[k][k]-temp),1.0/2.0);for(i=k+1;in;i++){temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+a[i][m]*a[k][m]; a[i][k]=(a[i][k]-temp)/a[k][k]; }temp=0;for(m=0;mk;m++)temp=temp+a[k][m]*y[m];y[k]=(b[k]-temp)/a[k][k];}x[n-1]=y[n-1]/a[n-1][n-1];for(k=n-2;k=0;k--){temp=0;for(m=k+1;mn;m++)temp=temp+a[m][k]*x[m];x[k]=(y[k]-temp)/a[k][k];}for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]);printf("\n");}}//追赶法void zgf(double **a,double *b,int n){int i;double a0[10],c[10],d[10],a1[10],b1[10],x[10],y[10]; for(i=0;in;i++){a0[i]=a[i][i];if(in-1)c[i]=a[i][i+1];if(i0)d[i-1]=a[i][i-1];}a1[0]=a0[0];for(i=0;in-1;i++){b1[i]=c[i]/a1[i];a1[i+1]=a0[i+1]-d[i+1]*b1[i];}y[0]=b[0]/a1[0];for(i=1;in;i++)y[i]=(b[i]-d[i]*y[i-1])/a1[i];x[n-1]=y[n-1];for(i=n-2;i=0;i--)x[i]=y[i]-b1[i]*x[i+1];for(i=0;in;i++){printf("x%d=%lf\t",i+1,x[i]); printf("\n");}}int main(){int n,i,j;double **A,**B,**C,*B1,*B2,*B3;A=(double **)malloc(n*sizeof(double)); B=(double **)malloc(n*sizeof(double));C=(double **)malloc(n*sizeof(double));B1=(double *)malloc(n*sizeof(double));B2=(double *)malloc(n*sizeof(double));B3=(double *)malloc(n*sizeof(double));for(i=0;in;i++){A[i]=(double *)malloc((n)*sizeof(double));B[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double));C[i]=(double*)malloc((n)*sizeof(double)); }cout"第一题(Gauss列主元消去法):"endlendl; cout"请输入阶数n:"endl;cinn;cout"\n请输入系数矩阵:\n\n";for(i=0;in;i++)for(j=0;jn;j++){篇三：数值分析实验报告(包含源程序) 课程实验报告课程实验报告。
数值分析实验报告5篇
1.69376699767424 0.92310666706964 0.08471614569741 0.40804026409411
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
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讨论：
利用这种方法进行这类实验，可以很精确的扰动敏感性的一般规律。即 当对扰动项的系数越来越小时，对其多项式扰动的结果也就越来越小， 即扰动敏感性与扰动项的系数成正比，扰动项的系数越大，对其根的扰 动敏感性就越明显，当扰动的系数一定时，扰动敏感性与扰动的项的幂 数成正比，扰动的项的幂数越高，对其根的扰动敏感性就越明显。
解线性方程组的直接方法
实验 （主元的选取与算法的稳定性） 问题提出：Gauss消去法是我们在线性代数中已经熟悉的。但由于计算 机的数值运算是在一个有限的浮点数集合上进行的，如何才能确保 Gauss消去法作为数值算法的稳定性呢？Gauss消去法从理论算法到数值 算法，其关键是主元的选择。主元的选择从数学理论上看起来平凡，它 却是数值分析中十分典型的问题。 实验内容：考虑线性方程组 编制一个能自动选取主元，又能手动选取主元的求解线性方程组的 Gauss消去过程。 实验要求： （1）取矩阵，则方程有解。取n=10计算矩阵的条件数。让程序自动选 取主元，结果如何？ （2）现选择程序中手动选取主元的功能。每步消去过程总选取按模最 小或按模尽可能小的元素作为主元，观察并记录计算结果。若每步消去 过程总选取按模最大的元素作为主元，结果又如何？分析实验的结果。 （3）取矩阵阶数n=20或者更大，重复上述实验过程，观察记录并分析 不同的问题及消去过程中选择不同的主元时计算结果的差异，说明主元
数值分析实验报告模板
数值分析实验报告模板篇一：数值分析实验报告(一)(完整)数值分析实验报告12345篇二：数值分析实验报告实验报告一题目：非线性方程求解摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。
本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。
即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。
并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。
前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收敛，但精度不够。
熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。
体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。
数学原理：对于一个非线性方程的数值解法很多。
在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk)产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。
当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。
另外，若将该迭代公式改进为xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk)其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：本实验采用Matlab的M文件编写。
其中待求解的方程写成function的方式，如下function y=f(x);y=-x*x-sin(x);写成如上形式即可，下面给出主程序。
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数值分析实验报告*名：**学号： ************ 专业：数学与应用数学指导老师：***线性方程组的数值实验一、课题名字：求解双对角线性方程组 二、问题描述考虑一种特殊的对角线元素不为零的双对角线性方程组（以n=7为例）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡d a da d ad a da d a d 7665544332211⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x x x 7654321=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡b b b b b b b 7654321 写出一般的n （奇数）阶方程组程序（不要用消元法，因为不用它可以十分方便的解出这个方程组） 。
三、摘要本文提出解三对角矩阵的一种十分简便的方法——追赶法，该算法适用于任意三对角方程组的求解。
四、引言对于一般给定的d Ax =，我们可以用高斯消去法求解。
但是高斯消去法过程复杂繁琐。
对于特殊的三对角矩阵，如果A 是不可约的弱对角占优矩阵，可以将A 分解为UL ，再运用追赶法求解。
五、计算公式（数学模型）对于形如⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---b ac b ac ba cb n nn n n 11122211.........的三对角矩阵UL A =，容易验证U 、L 具有如下形式：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=u a u au a u n n U (3)3221， ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1 (1)11321l ll L 比较UL A =两边元素，可以得到⎪⎩⎪⎨⎧-===la b u c l bu iiii i i111 i=2, 3, ... ,n 考虑三对角线系数矩阵的线性方程组 f Ax = 这里()T nx xx x ...21=,()Tnffff ...21=令y Lx =，则有f Uy = 于是有()⎪⎩⎪⎨⎧-==--u yaf y u f y ii i ii11111*i=2， 3, ... ,n再根据y Lx =可得到⎪⎩⎪⎨⎧-==+xl yx y x i iiinn 1i=n-1, n-2, ... ,1六、程序结构设计1.数据流向图2、符号引用表3、N-S 流程图，4、模块构图和分程序（1）求解u i、l i和y i的过程for(i=0;i<N-1;i++){c[i]=c[i]/b[i];b[i+1]=b[i+1]-a[i]*c[i];if(i==0)f[i]=f[i]/b[i];elsef[i]=(f[i]-a[i-1]*f[i-1])/b[i];}（2）求解x i的过程f[N-1]=(f[N-1]-a[N-2]*f[N-2])/b[N-1];for(i=N-2;i>=0;i--)f[i]=f[i]-c[i]*f[i+1];5、计算程序#include<iostream.h>#include<math.h>#include<stdlib.h>void main(){int N,i;cout<<"输入对角线元素个数："<<'\n';cin>>N;double *a=new double[N-1];double *b=new double[N];double *c=new double[N-1];double *f=new double[N];cout<<"input array a[]"<<'\n'; //初始值为下三角中的元素for(i=0;i<N-1;i++)cin>>a[i];cout<<"input array b[]"<<'\n'; //初始值为对角元素for(i=0;i<N;i++)cin>>b[i];cout<<"input array c[]"<<'\n'; //初始值为上三角中的元素for(i=0;i<N-1;i++)cin>>c[i];cout<<"input array f[]"<<'\n'; //初始值为f矩阵中的元素for(i=0;i<N;i++)cin>>f[i];for(i=0;i<N-1;i++){c[i]=c[i]/b[i];b[i+1]=b[i+1]-a[i]*c[i];if(i==0)f[i]=f[i]/b[i];elsef[i]=(f[i]-a[i-1]*f[i-1])/b[i];}f[N-1]=(f[N-1]-a[N-2]*f[N-2])/b[N-1];for(i=N-2;i>=0;i--)f[i]=f[i]-c[i]*f[i+1];cout<<"输出计算结果："<<'\n';cout<<"("; for(i=0;i<N;i++)cout<<f[i]<<" ,";cout<<")"<<'\n'; exit(0);}七、计算结果与讨论1、理论结论在验证程序的正确性时，我先使用的课本上给出的例题⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------2112112112112⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡x x x x x 54321=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡00001 将a[i]、b[i]、c[i]、f[i]对应的数依次输入，运行程序得到的结果课本上的答案一致。
程序的正确性得以验证。
仔细观察题目，发现本次课题上所给出的矩阵与标准的三对角矩阵略有不同。
但是，进一步观察计算过程，发现这并不影响计算结果的正确性。
因此，这个算法同样能够用来解答本次课题。
输入与课题中所给的矩阵形式一致的矩阵，并运行程序：得到正确结果 2、讨论这个追赶法能够解出课题中所给方程的解，并且大大简化了计算的形式。
但是这个算法是在A 为三对角矩阵的基础上编写的。
对于课题中所给的不对称的双对角矩阵还能找到更为简便的算法。
本次试验我明白数值计算过程中针对一个题目往往有多个解法，我们在进行数值实验时应多加考虑，找到较为便捷的算法，这对程序的设计，题目计算时间的缩短都大有益处。
非线性方程求解的数值实验一、课题名字：用迭代法求解方程的根 二、问题描述选取一个函数，证明数值验证迭代公式()()()()()x fx f x f x f x f xxn n n nnnn ''2''122--=+ ，n=0, 1, ...在单根处是立方收敛的，但在多重根处则是线性收敛的。
三、摘要本文给出解非线性方程的一种迭代法，其迭代公式即为题目中所给出的公式，研究其在单根处和多根处的收敛性。
四、引言反幂五、计算结果与讨论在验证程序的正确性时，我采用了书上的例题⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=20101350144---A ，A 矩阵有特征值2,3,6，选定()Tv 1,1,10=，精度310-=ξ，运行结果如图，结果正确，然后更换数据,计算本题结果，运行结果如图，本题中所给矩阵较为特殊（上三角矩阵），由高等代数知识可知，上三角矩阵的特征值 为对角元素，对于本题来说，A 的特征值对角元素为-0.0001,3.737,0.006,4.567，程序解得的答案符合实际，可是迭代步数k 却 为2，这意味着迭代刚开始，序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧k m 1就已经收敛到-0.0001，明显不正确。
通过对A 矩阵的观察与分析，我们发现，==11a n λ-0.0001,相对于其他矩阵元素绝对值太小，甚至比精度ξ都要小，因此，我猜想，2λ过小导致第二步迭代时，变化量12m m -的数量级已经比310-=ξ的数量级要小很多，在迭代终止条件判断时，错误的终止了迭代。
但如果重新选择精度，第一，无法确定当ξ为什么数量级时能够作为终止条件，第二，ξ过小可能会导致ξ与12m m -之间的差值小于机器误差，同样会使迭代步数无法正确显示，那么，我们可以考虑将矩阵的元素同时扩大t 倍，特征值同时也会扩大t 倍，在输出结果时，将答案除以t ，精度310-=ξ不用改变，此处，我选取的参数t=710程序修改后的输出结果如图：，同时，我们可以将中间量序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧k m 1输出，查看收敛过程， ,可以发现迭代步数不等于2，此收敛过程也是正常的，印证了此前的猜想，问 题解决！六、程序主要模块代码本程序采用c++编写，IDE 采用Visual Studio 20121,高斯消去解方程组模块 变量引用表 变量名数学符号 类型 数量 说明A,A1 ()n n j i a A ⨯=,Double n*n 系数矩阵AA1为顺序消去后的矩阵A B1,B T n b b b b ),...,,(21=Double n 方程组右端项B1为顺序消去后的B X ()Tn x x x x ,...,,21=Double n 方程组的解 l ldouble1nnInt1方程组的阶double* Gauss (double A1[N+2][N+2],double B1[N+2],int n) {//N 阶方程组Ax=B 的高斯消去法求解 int i,j,k; double l; double* X=new double[N+2]; double A[N+2][N+2]; double B[N+2];for (i=1;i<=N;i++)for (j=1;j<=N;j++)A[i][j]=A1[i][j];for(i=1;i<=N;i++) B[i]=B1[i];for(k=1;k<=n;k++)//顺序消去{if (A[k][k]==0) break;for (i=k+1;i<=n;i++){l=A[i][k]/A[k][k];A[i][k]-=A[k][k]*l;B[i]-=B[k]*l;for (j=k+1;j<=n;j++)A[i][j]-=A[k][j]*l;}}X[n]=B[n]/A[n][n];for (int i=n-1;i>=1;i--)//回代求解{double s=0;for (int j=i+1;j<=n;j++)s=s+A[i][j]*X[j];X[i]=(B[i]-s)/A[i][i];}return X;}2,逆幂法求解模块变量引用表void inverse_power(){//逆幂法求解按模最小特征值int i,j,k=1;double t=1e7;double *z=new double[N+2];double *v=new double[N+2];double ans=-100000;double tmp=-100;for(i=1;i<=N;i++) v[i]=1;for (i=1;i<=N;i++)//A数组元素扩大t倍for(j=1;j<=N;j++)A[i][j]=A[i][j]*t; z=Gauss(A,v,N); m[0]=-100000; m[1]=max(z);for (i=1;i<=N;i++) v[i]=z[i]/m[1];while(fabs(m[k-1]-m[k-2])>=EPS){//判断收敛是否达到要求 z=Gauss(A,v,N);//高斯消去法解Az(k)=V(k-1) m[k]=max(z); for (i=1;i<=N;i++) v[i]=z[i]/m[k]; m[k]=1/m[k]; k++;}cout<<setiosflags(ios::fixed)<<setw(10)<<setprecision(7); cout<<"迭代步数为："<<k-1<<endl; for(i=1;i<=k-1;i++) cout<<"m["<<i<<"]="<<m[i]<<endl;cout<<"按模最小特征值为："<<m[k-1]/t;}七、反思与思考误差分析在数值运算中是一个很重要又很复杂的问题，因为每一步的运算都会产生误差，误差产生可能来自于算法自身的不稳定，也有可能来自于计算机中的机器误差，一个具体问题中，往往有上千万次的加减乘除运算，有可能导致误差的累计，最终导致结果的错误，在本题中，误差来源于原始数据数量级跨度较大，所求答案n λ过小，序列⎭⎬⎫⎩⎨⎧k m 1的单步变化量111--k k m m 远小于设定精度310-=ξ，导致迭代刚开始就结束了算法，产生了错误的答案。