人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (19)

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高中数学人教A版高中必修1第二章基本初等函数指数函数及其性质教学设计

《指数函数及其性质》教学设计一、教材、学情分析1.教学目标：（1）.通过具体实例，经过合作交流活动得到指数函数的概念，由学生自主归纳总结并对指数函数的概念进行分析；（2）.借助具体指数函数的图象，探索、归纳、猜想指数函数的单调性与特殊点；（3）.学生在数学活动中感受数学思想之美、体会数学方法之重要，培养学生主动学习、合作交流的集体意识.2.教学重难点与突破方式教学重点：指数函数的概念的产生过程；教学难点：用数形结合的方法，从具体到一般地探索概括指数函数性质；突破方式：采用初中研究函数的列表法、图象法与图形计算器的实际操作相结合，让学生从不同的角度去研究指数函数，对其有一个全方位的认识，从而达到知识的迁移运用；在教学过程中通过自主探究、合作交流，培养学生“体会－总结－反思”的数学思维习惯，提高数学素养，激发学生勇于探索的精神.二、教学过程1、创设情境，归纳概念问题情境1：细胞分裂的实际模型问题情境2：名言警句“一尺之棰，日取其半，万世不竭”.引入：比较2x y = 与12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭这两个解析式的共同特征，类比、归纳指数函数的概念. PPT 展示概念思考：通过上一节的学习我们知道，当指数推到有理数时，底数 a ＞0才能保证有意义，底数函数概念中为什么要规定 a 不等于1呢?PPT 展示辨析题学生回答，教师评价引导，加深认知2、发现问题，探求新知师：请回顾研究初等函数性质的基本方法和步骤？学生回答，教师评价引导师：画出课件展示的两个函数图象，并观察所作出的函数图象，小组讨论总结特征.【让每个小组分工明确，一方面用最基本的列表、描点、连线画出图象研究指数函数，并让学生上台展示成果.通过组内交流归纳指数函数图象特点，由此得到指数函数性质，从而解决提出的第三个问题】教师课件展示集体研究成果【设计意图：通过合作学习不仅体现学生的主体地位，而且可以让学生在探索过程中体会到利用数形结合这一思想方法，借助图象分析问题，同时感受到从具体到一般的思想方法的应用，渗透概括能力的培养.】3、随堂练习、巩固提高师：课件展示例题请学生黑板做题，教师巡视指导评价，并板演示范【设计意图：利用新知解决刚才的实际问题，不仅达到学以致用的效果，同时进一步巩固所学知识，也有助于学生掌握逻辑推理的方法】4、师生交流，总结升华学生2分钟的小组交流，然后谈谈这节课的收获师：有哪组同学展示下成果？学生作答，教师鼓励其他同学补充并形成一致认知，PPT展示希望学生们通过这节课的学习，不仅充分认识指数函数及其性质，而且学习到了要珍惜时间，注意积累，积少成多的观念.。

高中数学函数初学教案人教版

高中数学函数初学教案人教版
学科：数学
年级：高中
课题：函数初学
教材版本：人教版
一、教学目标：
1. 熟练掌握函数的定义、性质和表示方法；
2. 能够分析并解决简单的函数问题；
3. 掌握函数的图像特征和变化规律。

二、教学重点与难点：
1. 函数的定义和性质；
2. 函数的图像特征和变化规律。

三、教学内容：
1. 函数的基本概念；
2. 函数的定义和性质；
3. 函数的表示方法；
4. 函数的图像特征。

四、教学步骤：
1. 引入新知识（5分钟）：通过例题引出函数的概念，并让学生尝试总结函数的定义和性质。

2. 展示重点内容（15分钟）：讲解函数的定义和性质，帮助学生理解函数的含义和特点。

3. 练习与拓展（20分钟）：让学生进行一些简单的函数练习，加深对函数的理解。

4. 深化与巩固（15分钟）：让学生分析函数的图像特征和变化规律，进一步巩固所学知识。

5. 总结与评价（5分钟）：总结本节课所学内容，检查学生对函数的掌握程度。

五、教学方式：
1. 教师讲解与示范；
2. 学生独立练习；
3. 小组合作讨论。

六、教学反思：
本节课通过简洁清晰的讲解和丰富多样的练习，让学生初步掌握了函数的定义、性质和表
示方法。

以后的教学中，可以更多地引入实际问题，让学生将函数理论应用到实际生活中，提高学生的学习兴趣和能力。

2019-2020年高中数学第二章函数 2.1 函数 2.1.2.1 函数的表示方法教案新人教B版必修1

2019-2020年高中数学第二章函数 2.1 函数 2.1.2.1 函数的表示方法教案新人教B版必修1教学分析课本从引进函数概念开始就比较注重函数的不同表示方法：列表法，图象法，解析法．函数的不同表示方法能丰富对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念．特别是在信息技术环境下，可以使函数在形与数两方面的结合得到更充分的表现，使学生通过函数的学习更好地体会数形结合这种重要的数学思想方法．因此，在研究函数时，要充分发挥图象的直观作用．在研究图象时，又要注意代数刻画以求思考和表述的精确性．三维目标1．了解函数的一些基本表示法(列表法、图象法、解析法)，会根据不同实际情境选择合适的方法表示函数，树立应用数形结合的思想．2．会用描点法画一些简单函数的图象，培养学生应用函数的图象解决问题的能力．重点难点教学重点：函数的三种表示方法．教学难点：分段函数的表示及其图象的初步认识．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.语言是沟通人与人之间的联系的，同样的祝福又有着不同的表示方法．例如，简体中文中的“生日快乐！”用繁体中文为：生日快樂！英文为：Happy Birthday！法文是Bon Anniversaire！德文是Alles Gute Zum Geburtstag！西班牙文中称iFeliz CumpleaRos！印度尼西亚文是Selamat Ulang Tahun！荷兰文的生日快乐为Van Harte Gefeliciteerd met jeverj aardag！在俄语中则是Сднемрождения！……那么对于函数，又有什么不同的表示方法呢？引出课题：函数的表示法．思路 2.我们前面已经学习了函数的定义，函数的定义域的求法，函数值的求法，那么函数的表示方法常用的有哪些呢？这节课我们就来研究这个问题(板书课题)．推进新课新知探究提出问题初中学过的三种表示法：列表法、图象法和解析法各是怎样表示函数的？讨论结果：(1)列表法：列一个两行多列的表格，第一行是自变量的取值，第二行是对应的函数值，这种用表格来表示两个变量之间的函数关系的方法叫做列表法．(2)图象法：以自变量x的取值为横坐标，对应的函数值y为纵坐标，在平面直角坐标系中描出各个点，这些点构成了函数的图象，这种用图象表示两个变量之间函数关系的方法叫做图象法．(3)解析法：用数学表达式表示两个变量之间的函数关系，这种表示方法叫作解析法，这个数学表达式叫做函数的解析式．应用示例思路1例1作函数y＝x的图象．分析：已知函数的定义域是[0，＋∞)，在直角坐标系中，由函数y＝x所确定的有序实数对有无限多个．可以想象，当自变量x在区间[0，＋∞)上从0开始连续无限增大时，相应的点(x，y)会形成一条连续不断的曲线．我们不可能作出一个定义在无穷区间内函数的完整图象，只能画出它在有限区间上的图象．也不可能作出函数图象上的无限多个点，但可以画出有限个坐标为(x，y)的点．现在的问题是，如何选取x值，通过描点、连线较准确地画出这个函数的图象．解：在这个函数的定义域内，从0开始适当地取若干个x的值：0,0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4,4.5,5，….算出对应的函数值，列出函数的对应值表(精确到0.1)：以这11个有序数对(x，y)为坐标，在直角坐标系中画出所对应的11个点，由这些点连成的一条光滑曲线就是函数y＝x的图象，如下图所示．点评：“数形结合”是我们研究函数的重要方法，画函数的图象是学习数学必须掌握的一个重要技能．在学习中要养成画图的习惯，并会利用函数的图象来理解函数的性质．例2某种笔记本的单价是5元，买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元，试用三种表示法表示函数y＝f(x)．活动：学生思考函数的表示法的规定．注意本例的设问，此处“y＝f(x)”有三种含义，它可以是解析表达式，可以是图象，也可以是对应值表．本题的定义域是有限集，且仅有5个元素．解：这个函数的定义域是{1,2,3,4,5}，用解析法可将函数y＝f(x)表示为y＝5x，x∈{1,2,3,4,5}．用列表法可将函数y＝f(x)表示为用图象法可将函数y＝f(x)表示为如下图所示．思路2例1设x是任意的一个实数，y是不超过x的最大整数，试问x和y之间是否是函数关系？如果是，画出这个函数的图象．解：对每一个实数x，都能够写成等式：x＝y＋α，其中y是整数，α是一个小于1的非负数．例如，6．48＝6＋0.48,6＝6＋0，π＝3＋0.141 592…，－1.35＝－2＋0.65，－12.52＝－13＋0.48，….由此可以看到，对于任一个实数x，都有唯一确定的y值与它对应，所以说x和y之间是函数关系．这个“不超过x的最大整数”所确定的函数通常记为y＝[x]．这个函数的定义域是实数集R，值域是整数集Z.例如，当x＝6时，y＝[6]＝6；当x＝π时，y＝[π]＝3；当x＝－1.35时，y＝[－1.35]＝－2.这个函数的图象，如下图所示．点评：本题中的函数通常称为取整函数，记为y＝[x]，x∈R.例2已知函数y＝f(n)，满足f(0)＝1，且f(n)＝nf(n－1)，n∈N＋.求f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，f(5)．分析：这个函数用两个等式定义，第一个等式首先给出自变量的初始值对应的函数值，然后由这个函数值用第二个等式依次递推地计算下一个函数值．解：因为f(0)＝1，所以f(1)＝1·f(1－1)＝1·f(0)＝1，f(2)＝2·f(2－1)＝2·f(1)＝2×1＝2，f(3)＝3·f(3－1)＝3·f(2)＝3×2＝6，f(4)＝4·f(4－1)＝4·f(3)＝4×6＝24，f(5)＝5·f(5－1)＝5·f(4)＝5×24＝120.点评：例题中的函数定义所用到的运算，通常叫做递归运算．这种定义函数的方法在计算机语言中经常使用.知能训练1．等腰三角形的周长是20，底边长y是一腰长x的函数，则( )A．y＝10－x(0＜x≤10)B．y＝10－x(0＜x＜10)C．y＝20－2x(5≤x≤10)D．y＝20－2x(5＜x＜10)解析：根据等腰三角形的周长列出函数解析式．∵2x＋y＝20，∴y＝20－2x.则20－2x＞0.∴x＜10.由构成三角形的条件(两边之和大于第三边)可知2x＞20－2x，得x＞5，∴函数的定义域为{x|5＜x＜10}．∴y＝20－2x(5＜x＜10)．答案：D2．定义在R上的函数y＝f(x)的值域为[a，b]，则y＝f(x＋1)的值域为( )A．[a，b] B．[a＋1，b＋1]C．[a－1，b－1] D．无法确定解析：将函数y＝f(x)的图象向左平移一个单位得函数y＝f(x＋1)的图象，由于定义域均是R，则这两个函数图象上点的纵坐标的取值范围相同，所以y＝f(x＋1)的值域也是[a，b]．答案：A3．函数f(x)＝11＋x2(x∈R)的值域是( )A．(0,1) B．(0,1] C．[0,1) D．[0,1]解析：(观察法)定义域是R，由于x2≥0，则1＋x2≥1，从而0＜11＋x2≤1.答案：B4．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，集合B＝{2,4,6,8}．集合A中的元素乘2.若A中的元素为自变量，B中的元素为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为A中的元素5的2倍为10，并没有在集合B中．5．在矩形中，若面积值作为自变量，其中一边长为因变量，能形成函数吗？解：不能．因为面积一定时，其中一边的长不确定．6．某人骑车的速度是20千米/时．他骑1.5小时，走的路程是多少？你能写出时间与路程的函数吗？解：1.5小时走的路程是20×1.5＝30(千米)．设时间为t ，路程为s ，则s ＝20t(t≥0)． 7．由下列式子是否能确定y 是x 的函数？(1)x 2＋y 2＝2；(2)x －1＋y －1＝1； (3)y ＝x －2＋1－x.解：(1)由x 2＋y 2＝2，得y ＝±2－x 2，因此由它不能确定y 是x 的函数．(2)由x －1＋y －1＝1，得y ＝(1－x －1)2＋1，所以当x 在{x|x≥1}中任取一值时，由它可以确定一个唯一的y 与之对应，故由它可以确定y 是x 的函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧x －2≥0，1－x≥0得x∈，故x 无值可取，y 不是x 的函数．拓展提升问题：画函数图象时，除去描点法外，还有其他方法吗？解答：还有变换法作图．变换法画函数的图象有三类： 1．平移变换：(1)将函数y ＝f(x)的图象向左平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x ＋a)的图象； (2)将函数y ＝f(x)的图象向右平移a(a ＞0)个单位得函数y ＝f(x －a)的图象； (3)将函数y ＝f(x)的图象向上平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)＋b 的图象； (4)将函数y ＝f(x)的图象向下平移b(b ＞0)个单位得函数y ＝f(x)－b 的图象．简记为“左加(＋)右减(－)，上加(＋)下减(－)”． 2．对称变换：(1)函数y ＝f(x)与函数y ＝f(－x)的图象关于直线x ＝0即y 轴对称； (2)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(x)的图象关于直线y ＝0即x 轴对称； (3)函数y ＝f(x)与函数y ＝－f(－x)的图象关于原点对称． 3．翻折变换：(1)函数y ＝|f(x)|的图象可以将函数y ＝f(x)的图象位于x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下方部分，并保留y ＝f(x)的x 轴上方部分即可得到．(2)函数y ＝f(|x|)的图象可以将函数y ＝f(x)的图象y 轴右边部分翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保留y ＝f(x)在y 轴右边部分图象即可得到．函数的图象是对函数关系的一种直观、形象的表示，可以直观地显示出函数的变化状况及其特性，它是研究函数性质时的重要参考，也是运用数形结合思想研究和运用函数性质的基础．另一方面，函数的一些特性又能指导作图，函数与图象是同一事物的两个方面，是函数的不同表现形式．函数的图象可以比喻成人的相片，观察函数的图象可以解决研究其性质．当然，也可以由函数的性质确定函数图象的特点．借助函数的图象来解决函数问题，函数的图象问题是高考的热点之一，应引起重视．课堂小结本节课学习了：函数的三种表示方法，在具体的实际问题中能够选用恰当的表示法来表示函数．作业课本本节练习B 2、3.设计感想本节教学设计容量较大，尽量借助于信息技术来完成．本节的设计重点是函数的三种表示方法，提出了表示法的应用．备课资料[备选例题]例1车管站在某个星期日保管的自行车和电动车共有3 500辆次，其中电动车保管费是每辆一次0.5元，自行车保管费是每次一辆0.3元．(1)若设自行车停放的辆次数为x ，总的保管费收入为y 元，试写出y 关于x 的函数关系式；(2)若估计前来停放的3 500辆次中，电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，试求该保管站这个星期日收入保管费总数的范围．活动：让学生审清题意读懂题．求解析式时不要忘记函数的定义域，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．然后再根据解析式列不等式求解．总的保管费＝自行车保管费＋电动车保管费．解：(1)由题意得y ＝0.3x ＋0.5(3 500－x)＝－0.2x ＋1 750，x∈N ＋且0≤x≤3 500. (2)若电动车的辆次不小于25%，但不大于40%，则3 500×(1－40%)≤x≤3 500×(1－25%)，即2 100≤x≤2 625，画出函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的图象，可得函数y ＝－0.2x ＋1 750(2 100≤x≤2 625)的值域是[1 225,1 330]，即收入在1 225元至1 330元之间．点评：本题主要考查函数的解析式和值域，以及应用函数知识解决实际问题的能力．解函数应用题的步骤是①审清题意读懂题；②恰当设未知数；③列出函数解析式，并指明定义域；④转化为函数问题，并解决函数问题；⑤将数学问题的答案还原为实际答案．例2水池有2个进水口，1个出水口，每个水口进出水的速度如下图甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如下图丙所示(至少打开一个水口)．给出以下三个论断：①0点到3点只进水不出水； ②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水；其中一定正确的论断是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③解析：由上图甲可看出，如果进水口与出水口同时打开，每个进水口的速度为出水口速度的一半，即v 进水＝12v 出水．由图丙可看出在0点到3点之间蓄水量以速度2匀速增加，所以在此时间段内一定是两个进水口均打开，出水口关闭，故①正确．由图丙可看出在3点到4点之间蓄水量以速度1匀速减少，所以在此时间段内一定是一个进水口打开，出水口打开，故②不正确．由图丙可看出在4点到6点之间蓄水量不变，所以在此时间段内一定是两个进水口打开，出水口打开，或者两个进水口关闭，出水口关闭，故③不正确．综上所述，论断仅有①正确．答案：A2019-2020年高中数学第二章函数 2.1 函数 2.1.2.2 分段函数教案新人教B 版必修1教学分析本节教材通过两个实例分析了分段函数的概念及简单应用．分段函数能够考查学生的逻辑思维能力，所以有关分段函数问题是高考热点和重点，在新课标中也有明确说明．因此要重视本节的教学．三维目标掌握分段函数的含义及其简单应用，提高学生的逻辑思维能力和应用能力，树立应用意识．重点难点教学重点：分段函数的含义及应用．教学难点：理解分段函数的含义．课时安排 1课时教学过程导入新课思路1.随着生活水平的提高，坐出租车的人越来越多，设行驶路程为x km ，费用为y 元，请结合当地实际，判断y 是否为x 的函数？学生回答后，教师让学生书写其解析式，此时，点出课题．思路2.在今后的学习中，会经常遇到一类函数，是高考的重点和热点，教师点出课题．推进新课新知探究提出问题已知变量x ，y 满足下列等式，y 是x 的函数吗？①|y|＝x ；②y＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>3，2，x≤2；③y＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0.函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>3，2，x≤2与函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0有什么特点？请指出中两个分段函数的定义域.讨论结果：(1)根据函数的定义，仅有②和③中，y 是x 的函数．(2)在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则，我们称这类函数为分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．(3)函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>3，2，x≤2的定义域是(－∞，2]∪(3，＋∞)．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x≥0，－x ，x<0的定义域是(－∞，0)∪[0，＋∞)，即R .由以上可见，分段函数的定义域是“每段”自变量取值范围的并集．应用示例思路1例1已知一个函数y ＝f(x)的定义域为区间[0,2]，当x∈[0,1]时，对应法则为y ＝x ，当x∈(1,2]时，对应法则为y ＝2－x ，试用解析法与图象法分别表示这个函数．解：已知的函数用解析法可表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x∈[0，1]，2－x ，，2]，用图象表达这个函数，它由两条线段组成，如下图所示．点评：本题主要考查分段函数．所谓分段函数是指在定义域的不同部分，其解析式不同的函数．注意：分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．生活中有很多可以用分段函数描述的实际问题，如出租车的计费、个人所得税纳税额等等.解：观察图象，知此函数是分段函数，并且在每段上均是一次函数，利用待定系数法求出解当－1≤x≤0时，f(x)＝x ＋x付邮资160分，超过40 g 不超过60 g 付邮资240分，依此类推，每封x g(0＜x≤100)的信应付多少分邮资(单位：分)？写出函数的表达式，作出函数的图象，并求函数的值域．解：设每封信的邮资为y ，则y 是信封重量x 的函数．这个函数关系的表达式为：f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧80，，20]160，，40]240，，60]320，，80]400，，100]函数的值域为{80,160,240,320,400}．根据上述函数的表达式，在直角坐标系中描点，作图．这个函数的图象如上图所示．点评：本题主要考查分段函数的解析式和图象．求分段函数的函数值时，要注意自变量在其定义域的哪一段上，依次代入分段函数的解析式．画分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f 1，f 2，…，x∈D 1，x∈D 2，…(D 1，D 2，…，两两交集是空集)的图象步骤是：(1)画整个函数y ＝f 1(x)的图象，再取其在区间D 1上的图象，其他部分删去不要；(2)画整个函数y ＝f 2(x)的图象，再取其在区间D 2上的图象，其他部分删去不要； (3)依次画下去；⎪⎧1.20，0<m≤20，思路2例1请画出下面函数的图象：y ＝|x|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，－x ，x≥0，x<0.活动：学生思考函数图象的画法：①一次函数是基本初等函数，其图象是直线，可直接画出；②利用变换法画出图象，根据绝对值的概念来化简解析式．解法一：函数y ＝|x|的图象如下图所示．解法二：画函数y ＝x 的图象，将其位于x 轴下方的部分对称到x 轴上方，与函数y ＝x 的图象位于x 轴上方的部分合起来得函数y ＝|x|的图象(如上图所示).例2某质点在30 s 内运动速度v 是时间t 的函数，它的图象如下图．用解析法表示出这个函数，并求出9 s 时质点的速度．解：速度是时间的函数，解析式为v(t)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 10＋t ，3t ，30，－3t ＋90，t∈[0，，t∈[5，，t∈[10，，t∈[20，30].由上式可得，t ＝9 s 时，质点的速度v(9)＝3×9＝27(cm/s).知能训练1．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0的定义域是( )A ．RB ．{0}C ．D ．(－∞，0)∪(0，＋∞)答案：A2．函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，x≥0，－2，x<0的值域是( )A ．{2}B ．{2，－2}C ．{－2}D ．R 答案：B3．设f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ |x －1|－2，|x|≤1，11＋x 2，|x|>1，则f[f(12)]＝________. 解析：f(12)＝|12－1|－2＝－32，∴f[f(12)]＝f(－32)＝11＋94＝413. 答案：4134．画函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ＋2，－x ， x≤0，x>0的图象．步骤：①画整个二次函数y ＝(x ＋1)2的图象，再取其在区间(－∞，0]上的图象，其他部分删去不要；②画一次函数y ＝－x 的图象，再取其在区间(0，＋∞)上的图象，其他部分删去不要；③这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象．如下图所示．5．求函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 2，x>2，1x ，x<0的值域．答案：(－∞，0)∪(4，＋∞)．拓展提升已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋1x，x>1，x 2－x ，x<－2，求f(2x ＋1)．解：当2x ＋1＞1，即x ＞0时，f(2x ＋1)＝1＋12x ＋1，当2x ＋1＜－2，即x ＜－32时，f(2x ＋1)＝(2x ＋1)2－(2x ＋1)＝4x 2＋2x ，由此可得f(2x ＋1)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋12x ＋1，x>0，4x 2＋2x ，x<－32.课堂小结本节课学习了分段函数，讨论分段函数的图象与性质．特别指出的是分段函数不是几个函数，而是一个函数．作业课本本节练习B 1、2设计感想在本节的教学设计中，注重引导学生学会探究．所涉及到的题目比较全面且难度较小，但是能较好地考查学生的思维能力，教师在实际上课中，可根据学生实际，选择应用．。

高中数学第二章函数教案2

课题：2.3.2函数的单调性2 教学目的：1.. 巩固函数单调性的概念；熟练掌握证明函数单调性的方法和步骤；初步了解复合函数单调性的判断方法.2.会求复合函数的单调区间. 明确复合函数单调区间是定义域的子集.教学重点：熟练证明函数单调性的方法和步骤. 教学难点：单调性的综合运用授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1.对于函数)(x f 的定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值21,x x⑴若当1x <2x 时，都有)(1x f <)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是增函数；⑵若当1x <2x 时，都有)(1x f >)(2x f ,则说)(x f 在这个区间上是减函数.2.若函数)(x f y =在某个区间是增函数或减函数，则就说函数)(x f y =在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做函数)(x f y =的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数.3.判断证明函数单调性的一般步骤是：⑴设1x ,2x 是给定区间内的任意两个值，且1x <2x ；⑵作差)(1x f －)(2x f ，并将此差式变形（要注意变形的程度）；⑶判断)(1x f －)(2x f 的正负（要注意说理的充分性）；⑷根据)(1x f －)(2x f 的符号确定其增减性.二、讲解新课：1．函数单调性的证明例1．判断并证明函数3)(x x f =的单调性证明：设21x x <则∵21x x < ∴021<-x x ，043)2(22221222121>++=++x x x x x x x , ∴021<-)f(x )f(x 即)f(x )f(x 21< （注：关键021<-)f(x )f(x 的判断）∴3)(x x f =在R 上是增函数.2．复合函数单调性的判断对于函数)(u f y =和)(x g u =，如果)(x g u =在区间),(b a 上是具有单调性，当),(b a x ∈时，),(n m u ∈，且)(u f y =在区间),(n m 上也具有单调性，则复合函数))((x g f y =在区间),(b a 具有单调性的规律见下表：以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.证明：①设),(,21b a x x ∈，且21x x <∵)(x g u =在),(b a 上是增函数，∴)()(21x g x g <，且),()(),(21n m x g x g ∈∵)(u f y =在),(n m 上是增函数，∴))(())((21x g x g f <. 所以复合函数))((x g f y =在区间),(b a 上是增函数 ②设),(,21b a x x ∈，且21x x <，∵)(x g u =在),(b a 上是增函数，∴)()(21x g x g <，且),()(),(21n m x g x g ∈∵)(u f y =在),(n m 上是减函数，∴))(())((21x g x g f >. 所以复合函数))((x g f y =在区间),(b a 上是减函数 ③设),(,21b a x x ∈，且21x x <，∵)(x g u =在),(b a 上是减函数，∴)()(21x g x g >，且),()(),(21n m x g x g ∈∵)(u f y =在),(n m 上是增函数，∴))(())((21x g x g f >. 所以复合函数))((x g f y =在区间),(b a 上是减函数 ④设),(,21b a x x ∈，且21x x <，∵)(x g u =在),(b a 上是减函数，∴)()(21x g x g >，且),()(),(21n m x g x g ∈∵)(u f y =在),(n m 上是减函数，∴))(())((21x g x g f <. 所以复合函数))((x g f y =在区间),(b a 上是增函数例2．求函数222)2()2(28x x y ---+=的值域，并写出其单调区间解：题设函数由228u u y -+=和22x u -=复合而成的复合函数，函数22x u -=的值域是]2,(-∞，在]2,(-∞上的值域是]9,(-∞. 故函数222)2()2(28x x y ---+=的值域是]9,(-∞. 对于函数的单调性，不难知二次函数228u u y -+=在区间)1,(-∞上是减函数，在区间),1[+∞上是增函数；二次函数22x u -=区间)0,(-∞上是减函数，在区间),0[+∞上是增函数当)1,(-∞∈u 时，)1,(22-∞∈-x ，即122<-x ，1-<x 或1>x . 当),1[+∞∈u 时，),1[22+∞∈-x ，即122≥-x ，11≤≤-x .而22x u -=在)1,(--∞上是增函数，228u u y -+=在)1,(-∞上是增函数，所以，函数222)2()2(28x x y ---+=在区间)1,(--∞上是增函数②当)0,1[-∈x 时，),1[22+∞∈-=x u ，而22x u -=在)0,1[-上是增函数，228u u y -+=在),1[+∞上是减函数，22)1(928--=-+=u u u y所以，函数222)2()2(28x x y ---+=在区间)0,1[-上是减函数③当)1,0[∈x 时，),1(22+∞∈-=x u ，而22x u -=在)1,0[上是减函数，228u u y -+=在),1(+∞上是减函数，所以，函数222)2()2(28x x y ---+=在区间)1,0[上是增函数④当),1[+∞∈x 时，]1,(22-∞∈-=x u ，而22x u -=在),1[+∞上是增函数，228u u y -+=在]1,(-∞上是减函数，所以，函数222)2()2(28x x y ---+=在区间),1[+∞上是减函数综上所述，函数222)2()2(28x x y ---+=在区间)1,(--∞、)1,0[上是增函数；在区间)0,1[-、]1,(-∞上是减函数另外，本题给出的复合函数是偶函数，在讨论具有奇偶性的函数的单调性时，应注意应用其奇函数或偶函数的性质，以使解题过程简捷、清楚、具有条理性三、课堂练习：课本P60练习：3，4四、小结本节课学习了以下内容：函数单调性的证明方法五、课后作业：课本第60习题2.3：4，5，6，7六、板书设计（略）七、课后记：。

人教B版高中数学必修一《第二章函数 2.1 函数 2.1.1 函数》_26

2.1.1 函数教学目标（1）知识与技能目标：会用集合与对应的语言描述函数，了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单应用.（2）过程与方法目标：从生活实际和学生已有知识出发，让学生感受、体验对应关系在刻画函数概念中的作用，在此基础上借助数字处理器的思想理解函数的实质.通过函数概念的学习，提高学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力.（3）情感、态度与价值观目标：通过对函数概念的教学，让学生体验到由具体到抽象，从特殊到一般，感性到理性的认知过程；使学生在初中数学学习的基础上，对数学的高度抽象性、概括性和广泛的应用性有进一步认识；通过课前预习、课上交流，培养学生良好的学习习惯，使学生获得成功体验，激发学生学习数学的兴趣，树立学好数学的信心.教学重难点由于函数概念中的“对应”本质是后继学习映射、函数图像与性质、指对幂函数等知识的基础，而学生初中对函数的学习是在“变量”观点下的定义，所以本节课的教学重点是函数概念的理解.学生在初中函数学习中，只停留在对一些具体函数的感知，所以本节课的教学难点是对函数符号的理解.学生的理解障碍有两个：一是符号的高度抽象性，二是函数中的任意性，学生对取的理解有一定困难，所以要充分铺垫，循序渐进.学情分析及教学内容分析一、学情分析：由于初中函数的概念是“变量说”定义，学生对这种定义已经很熟悉，应用起来得心应手，受先入为主思想的影响对“对应说”定义引入的必要性认识不足，对函数的“对应说”定义接受起来多少有一种排斥心理；学生初中对函数的理解仅停留在一些具体函数的层面上，更确切的说是限于对函数具体解析式的理解，初中数学学习学生重计算、重例题，对抽象的函数符号理解有一定困难.另外，学生受前几届学生的影响，认为函数难学的畏难心理较重，对函数的学习存在或多或少的恐惧.不过，学生生活中已经积累了丰富的函数的实例素材，这为函数教学做好了准备.从学生的学习习惯上看，学生初入高中自主学习的目的性、主动性还不够，知识的接受基本在课堂，有的学生甚至还不会听课.所以高中数学教学还肩负着教会学生学习的任务.在课堂教学中采用课前预习、引导发现、学生合作交流的教学方法，通过课前预习，实现课堂教学效益的最大化（区间有关概念学生是可以自己解决的）；课堂教学通过创设问题情境，注意通过学生熟悉的实际生活问题，和已经具备的函数知识引入课题，注重创设情景，拉近数学与现实之间的距离，激发学生的求知欲，调动学生主体参与的积极性，教师引导、启发，带领学生讨论交流，实现知识的内化、迁移.二、教学内容分析：函数是贯穿整个数学课程的一个基本脉络.本节课是在学生前面学习了集合的有关知识和初中已经学习了函数概念的基础上进行的，是对函数概念的高度抽象、概括和深化，是接下来学习映射、函数的表示方法、函数的单调性、函数的奇偶性的基础.同时，函数概念的教学是对学生抽象概括、分析总结等基本数学思维能力培养的重要题材，对培养学生数学表达能力、分析问题解决问题能力有重要作用.教材在编写顺序上，先学习函数后学习映射，揭示出映射与函数的内在联系，即：映射是函数概念的推广，函数是一种特殊的映射.符合学生由特殊到一般的认知规律.教学过程1．课前预习：（1）对照初中数学和高中数学函数概念，谈一谈两概念的相同点、不同点？（2）根据你对函数概念的理解和生活经验，在你的身边找两个函数实例.（3）区间的有关概念教学中并不急于让学生展示预习成果，原因是预习题（1）函数概念学生理解肯定有偏差，通过预习能知道初高中两定义中相同字眼“唯一确定”就可以了，让学生理解不同角度“变量”与“对应”是不现实的，借此讲解概念效果不好；预习题（2）所找的函数让学生在概念学习后去自省自悟；预习题（3）区间的有关概念真正体现学生自己能学会的不讲，达到课堂教学的效益最大化.2．情境导入：中考结束后，大家急切想知道自己的成绩，你是怎样知道自己的总分的？通过电话或者是网络查询，输入一个准考证号得到一个总分，这是不是一个函数？在这一过程中，我们不像初中函数那样关注成绩与准考证号这两个变量的依赖关系，研究一个变量随另一个变量变化而变化的规律性；而是注重两个量之间的对应关系.高中数学的函数就是从对应的角度定义函数的.通过这一实例使学生对抽象的概念消除了畏难情绪，为后继学习做好心理的准备.（“变量说”到“对应说”的提升——实现函数概念的第一次认识）3.新课讲授：问题1：中考成绩查询系统实质上就是一个数字处理系统，因此函数可以看作是一个数字处理系统，结合这个例子和预习情况你认为函数这样一个数字处理系统应包含哪几部分？结论1：两个数据库和一个处理器.问题2：数据库有什么要求？处理器在处理过程中遵循的规则是什么？结论2：前面一个非空数集，后面一个是由前面一个产生的.处理器在处理过程中遵循的规则（对应法则）是“任意”——“唯一”.这样降低了知识门槛，使学生觉得函数概念并不难，既便于理解，又帮助记忆，将函数看做数字处理系统，为下面讲解函数符号表示做好铺垫.使学生明白：函数不过是一个数据处理器的数学化.（函数是一个数字处理系统——实现函数概念的第二次认识）问题3：分析教材第29-30页所列的四个实例，是否是函数？对应法则是怎样给出的？你是怎样检验任意给定实数，都有唯一确定的与它对应的？结论3：（1）、（2）的对应法则是图像，（3）的对应法则是数表，（4）的对应法则是解析式；其中图像借助“画”，数表借助“查”，解析式借助“算”，为将来讲解函数的表示方法做好铺垫.交流讨论：分析课前自己找到的生活实例，判断是否是函数？（通过学生对自己和小组成员所找函数实例的辨析，让学生自省自悟，体会成功的愉悦，加深对函数概念的理解）.问题4：通过以上学习谈一谈对“任意实数”和“唯一确定”的理解.强化：这两点是函数的核心部分.讲解：对应法则的给出形式多样，我们用“”表示，记作，实现了图、表、数的高度抽象概括.由以上分析可知，函数就是一个数字处理系统，就是它的处理器.问题5：举例说明你在初中学过的函数的分别是什么？这样让学生将一个抽象的对应法则变为可以看得见的具体法则，并且有的可以用解析式表示有的不能用解析式表示，从而明确数学引进抽象符号的必要性.（对这一数字处理器的认识——实现函数概念的第三次认识）练习与巩固：教材第33页练习A第1题学生总结函数的概念并阅读教材第31页，小组讨论对函数概念的理解，并让小组代表发言，这是兵教兵的过程，又是对函数概念的内化过程，也是对函数概念的记忆过程.同时是对预习中函数值、定义域、区间等基础概念再一次强化的过程.学生独立完成教材第32页例1及第33页练习A第3题.教师强化解题格式，并小结求定义域的方法.例2.求函数，在处的函数值和值域.学生独立完成，教师适当点拨，简单总结求值域的方法.（针对初中一次函数、二次函数、反比例函数总结）练习与巩固：教材第33页练习A第3,7,8题.例3.（1）已知函数，求，，，；此题从特殊的2到再到最后到，使学生明确数字处理器既可以处理一个具体的数，也可以处理字母和代数式.（2）已知函数，求.此题让学生先独立思考，然后分组讨论、交流，启发学生运用整体代换进行变形.练习与巩固：教材第33页练习A第5，6题.4.课堂小结（师生共同完成）：（1）函数的有关概念.（2）确定一个函数的两个要素.（3）如何检验两个变量之间是否具有函数关系.5.课堂检测（活页练习）：⑴判断下列对应是否为函数：①②⑵求函数的定义域；⑶已知函数，求6.布置作业：（1）教材第33页练习B第3，4题，教材第52页习题A第4题,习题B第1题.（2）预习作业：什么叫映射？映射与函数有什么关系？（3）提高作业：①教材第33页练习B第1，2，5题；②若，求函数的解析式，并求的定义域和值域.分层布置作业，强化因材施教.教学反思：1.重视学生的亲身体验．借助学生印象深刻的生活经历，将新知识与学生的已有知识和生活经验联系起来．注意挖掘数学知识的现实背景，再现数学知识的抽象过程；问题情景的设置形成逐层深入环环相扣的问题链，以问题解决为线索，引导学生主动讨论、积极探索.2.体现学生学习方式的变革，倡导自主学习、合作学习、探究学习的学习方式；体现“以人为本”思想，强调课堂教学的有效性，不仅强调在实践中完成学生自身知识的建构，并要求在完成学习任务的同时有所感悟、有所创造.3.倡导课前预习，先学后教，以学定教，学生能课前自主解决的内容课堂不讲，增加课堂容量，追求课堂教学效益的最大化；引导学生学会阅读教材、理解教材，体会数学概念的形成过程，由具体实例到抽象知识再用抽象知识解决具体问题的认知过程，注重培养学生的自学能力和良好的学习习惯.4.在课件制作方面，并没有过多展示题目，而是设计了比较形象的“数字处理系统”，让学生看得见、摸得着，把抽象的函数概念形象化，效果很好.5.由于学生提前预习，先学后教，课堂教学中知识缺乏系统性、完整性；课堂容量大，时间有些紧，课堂留白不足.。

新课标高中数学人教A版必修一全册教案第二章基本初等函数(Ⅰ)

第二章基本初等函数（Ⅰ）一、课标要求：教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1.了解指数函数模型的实际背景.2.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.3.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）.4.通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型.5.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）.7.知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.8.通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数1312,,,y x y x y x y x-====的图象，了解它们的变化情况.二、编写意图与教学建议：1.教材注重从现实生活的事例中引出指数函数概念，所举例子比较全面，有利于培养学生的思想素质和激发学生学习数学的兴趣和欲望.教学中要充分发挥课本的这些材料的作用，并尽可能联系一些熟悉的事例，以丰富教学的情景创设.2.在学习对数函数的图象和性质时，教材将它与指数函数的有关内容做了比较，让学生体会两种函数模型的增长区别与关联，渗透了类比思想. 建议教学中重视知识间的迁移与互逆作用.3、教材对反函数的学习要求仅限于初步知道概念，目的在于强化指数函数与对数函数这两种函数模型的学习，教学中不宜对其定义做更多的拓展.4.教材对幂函数的内容做了削减，仅限于学习五种学生易于掌握的幂函数，并且安排的顺序向后调整，教学中应防止增加这部分内容，以免增加学生学习的负担.5.通过运用计算机绘制指数函数的动态图象,使学生进一步体会到信息技术在数学学习中的作用,教师要尽量发挥电脑绘图的教学功能..6. 教材安排了“阅读与思考”的内容,有利于加强数学文化的教育,应指导学生认真研读.。

人教版高中数学必修函数的概念课时教案

第2课时函数相等复习1.函数的观点.2.函数的定义域的求法.导入新课思路1.当实数a、b的符号同样,绝对值相等时,实数a=b;当会合A、B 中元素完整同样时,集合A=B;那么两个函数知足什么条件才相等呢？引出课题:函数相等.思路2.我们学习了函数的观点,y=x与y=x2是同一个函数吗？这就是本节课学习的内容,引x出课题:函数相等.推动新课新知研究提出问题①指出函数y=x+1的组成因素有几部分？②一个函数的组成因素有几部分？③分别写出函数y=x+1和函数y=t+1的定义域和对应关系,并比较异同.④函数y=x+1和函数y=t+1的值域同样吗？因而可知两个函数的定义域和对应关系分别同样,值域同样吗？⑤由此你对函数的三因素有什么新的认识？议论结果：①函数y=x+1的组成因素为:定义域R,对应关系x→x+1,值域是R.②一个函数的组成因素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三因素.此中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三因素都同样时,这两个函数才同样.③定义域和对应关系分别同样.④值域同样.⑤假如两个函数的定义域和对应关系分别同样,那么它们的值域必定相等.所以只需两个函数的定义域和对应关系分别同样,那么这两个函数就相等.应用示例思路11.以下函数中哪个与函数y=x相等？1/7(1)y=(x 2 3 x 3 x 2 x 2);(2)y= ;(3)y = ;(4)y = .x 活动：让学生思虑两个函数相等的条件后,指引学生求出各个函数的定义域,化简函数关系式为最简形式.只需它们定义域和对应关系分别同样,那么这两个函数就相等.解：函数y=x 的定义域是R,对应关系是x→x.∵函数y=(x)2的定义域是［0,+∞),∴函数y=( x)2 与函数y=x 的定义域R不同样. ∴函数y=(x)2与函数y=x 不相等. ∵函数y=3x 3的定义域是R,∴函数y=3x 3与函数y=x 的定义域R 同样. 又∵y=3x 3=x,∴函数y=3x 3与函数y=x 的对应关系也同样. ∴函数y=3x 3与函数y=x 相等.∵函数y=x 2的定义域是R,∴函数y=x 2与函数y=x 的定义域R 同样.又∵y=x 2=|x |,∴函数y= x 2与函数y=x 的对应关系不同样.∴函数y=x 2与函数y=x 不相等.(4)∵函数y=x 2的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),x∴函数y=x2与函数y=x 的定义域R 不同样,x∴函数y=( x)2与函数y=x 不相等.评论：此题主要考察函数相等的含义.议论函数问题时,要保持定义域优先的原则 .关于判断两 2/7个函数是不是同一个函数,要先求定义域,若定义域不一样,则不是同一个函数;若定义域同样,再化简函数的分析式,若分析式同样(即对应关系同样),则是同一个函数,不然不是同一个函数.变式训练判断以下各组的两个函数能否同样,并说明原因.y=x-1,x∈R与y=x-1,x∈N;③②y=x2-4与y= x 2·x2;y=1+1与u=1+1;xx④y=x2与y=x x2;⑤y=2|x|与y=2x,x0, 2x,x0;y=f(x)与y=f(u).是同一个函数的是________(把是同一个函数的序号填上即可).解：只需判断函数的定义域和对应法例能否均同样即可.①前者的定义域是R,后者的定义域是N,因为它们的定义域不一样,故不是同一个函数;②前者的定义域是{x|x≥2或x≤-2},后者的定义域是{x|x≥2},它们的定义域不一样,故不是同一个函数;③定义域同样均为非零实数,对应法例同样都是自变量取倒数后加1,那么值域必同样,故是同一个函数;④定义域是同样的,但对应法例不一样 ,故不是同一个函数;2x,x0,⑤函数y=2|x|=2x,x则定义域和对应法例均同样,那么值域必同样,故是同一个函数;0,⑥定义域同样,对应法例同样,那么值域必同样,故是同一个函数.故填③⑤⑥.思路21.判断以下函数f(x)与g(x)能否表示同一个函数,说明原因.(1)f(x)=(x-1)0,g(x)=1.(2)f(x)=x-1,g(x)=x2-2x 1.(3)f(x)=x2,g(x)=(x+1)2.3/7(4)f(x)=x2-1,g(u)=u2-1.活动：学生思虑函数的观点及其三因素,教师指引学生先判判定义域能否同样,当定义域同样时,再判断它们的对应关系能否同样.解：(1)∵f(x)=(x-1)0的定义域是{x|x≠1},函数g(x)=1的定义域是R,∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1的定义域不一样.∴函数f(x)=(x-1)0与函数g(x)=1不表示同一个函数.(2)∵f(x)=x-1的定义域是R,g(x)=x2-2x1=(x-1)2的定义域是R,∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=x2-2x1的定义域同样.又∵g(x)=x2-2x1=(x-1)2=|x-1|,∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=x2-2x1的对应关系不一样.∴函数f(x)=x-1与函数g(x)=x2-2x1不表示同一个函数.(3)很显然f(x)=x 2和g(x)=(x+1)2的定义域都是R,又∵f(x)=x2和g(x)=(x+1)2的对应关系不一样,∴函数f(x)=x2和g(x)=(x+1)2不表示同一个函数.(4)很显然f(x)=x2-1与g(u)=u2-1的定义域都是R, 22又∵f(x)=x-1与g(u)=u-1的对应关系也同样,∴函数f(x)=x2-1与g(u)=u2-1表示同一个函数.变式训练湖北黄冈模拟,理13已知函数f(x)知足f(ab)=f(a)+f(b)且f(2)=p,f(3)=q,则f(36)=_____ __.解：由题意得f(36)=f(6×6)=f(6)+f(6)=2f(6)=2f( 23)×=2［f(2)+f(3)］=2p+2q.答案：2p+2q2.函数y=f(x)的图象与直线x=2的公共点共有()个答案：C2.设y是u的函数的值域,当M∩N≠个个或1个D.不确立y=f(u),而u又是x的函数u=g(x),设M 表示u=g(x)的定义域,N是函数y=f(u)时,则y成为x的函数,记为y=f[g(x)].这个函数叫做由y=f(u)及u=g(x)复合而成的复合函数,它的定义域为M∩N,u叫做中间变量,f称为外层函数,g称为内层函数.指出以下复合函数外层函数和内层函数,而且使外层函数和内层函数均为基本初等函数.4/7(1)y= 1 ;(2)y=(x 2-2x+3)2;(3)y= 1 1 -1.x 1 x 2x活动：让学生思虑有哪些基本初等函数 ,它们的分析式是什么. 解：(1)设y=1,u=x+1,u即y= 1 的外层函数是反比率函数y=1,内层函数是一次函数 u=x+1. x 1 u(2)设y=u 2,u=x 2-2x+3,即y=(x 2-2x+3)2的外层函数是二次函数 y=u 2,内层函数是二次函数u=x 2-2x+3. (3)设y=u 2+u-1,u= 1 ,x1 1 21 即y=2 -1的外层函数是二次函数 y=u+u-1,内层函数是反比率函数u=.x xx 评论：到当前为止,我们所碰到的函数大多数是复合函数 ,而且是由正、反比率函数和一、二次函数复合而成的,跟着学习的深入 ,我们还会学习其余复合函数 .复合函数是高考要点考察的内容之一,应惹起我们的重视. 变式训练x 21 f(2) =_______.重庆高考,文2设f(x)= ,则1 x2 1f()2 答案：-1安徽高考,理15函数f(x)对随意实数x 知足条件f(x+2)=1f(5)］=.,若f(1)=-5,则［ff(x)剖析:∵函数f(x)对随意实数x 知足条件f(x+2)=1 1 =f(x). ,∴f(x+4)=f ［(x+2)+1］=f(x)f(x 2)f(1)=f(1+4)=f(5).又∵f(1)=-5,∴f(5)=-5.1 1 ∴f［f(5)］=f(-5)=f(-5+4)=f(-1)=f(-1+4)=f(3)=f(1+2)==.f(1)5答案：15知能训练1.以下给出的四个图形中,是函数图象的是()A.①B.①③④C.①②③D.③④5/7图1-2-1-2答案：B2.函数y=f(x)的定义域是R,值域是［1,2］,则函数y=f(2x-1)的值域是_______.答案：［1,2］3.以下各组函数是同一个函数的有________.①f(x)=x 3,g(x)=xx ;②f(x)=x 0,g(x)=1 ;x 0 2 2 ③f(x )= ,g(u)=u u;④f(x)=-x 2+2x,g(u)=-u 2+2u.答案：②③④拓展提高问题:函数y=f(x)的图象与直线 x=m 有几个交点？研究:设函数y=f(x)定义域是D,当m∈D 时,依据函数的定义知f(m)独一,则函数y=f(x)的图象上横坐标为 m 的点仅有一个(m,f(m)),即此时函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 仅有一个交点;当m D 时,依据函数的定义知f(m)不存在,则函数y=f(x)的图象上横坐标为 m的点不存在,即此时函数 y=f(x)的图象与直线 x=m 没有交点.综上所得,函数y=f(x)的图象与直线 x=m 有交点时仅有一个 ,或没有交点.讲堂小结复习了函数的观点,总结了函数的三因素;学习了复合函数的观点;判断两个函数是不是同一个函数.作业1.设M={x|-2≤x≤2},N={y|0≤给y≤出2},以下4个图形,此中能表示以会合M 为定义域,N 为值域的函数关系是()6/7图1-2-1-3剖析:A中,当0<x≤2时,N中没有元素与x对应,不可以组成函数关系;C 中一个x有两个y与之对应,所以不是函数关系;D中,表示函数关系,可是表示的函数值域不是N.答案：B2.某企业生产某种产品的成本为1000元,以1100元的价钱批发出去,随生产产品数目的增添,企业收入_______,它们之间是关系________.剖析:由题意,多生产一单位产品则多收入100元.生产产品数目当作是自变量,企业收入当作是因变量,简单得出关于自变量的每一个确立值,因变量都有独一确立值与之对应,进而判断二者是函数关系.答案：增添函数3.函数y=x2与S=t2是同一函数吗?答:函数确实定只与定义域与对应关系相关,而与所表示的字母没关,所以y=x2与S=t2表示的是同一个函数.所以并不是字母不一样即是不一样的函数,这是由函数的实质决定的.设计感想本节教课内容主假如依照高考说明,对课本内容适合拓展,要点对函数的相等问题进行了引申,设计时对拓展的内容采纳渐进式,设计时本着逐渐提高、拓展,不可以急于求成,不然事半功倍.7/7。

人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (18)

第十九教时教材：指数函数（3）目的：复习指数函数的定义和性质，并通过练习以期达到熟练技巧。

过程：一、复习：定义：形如 ()0,0≠>=a a a y x 的函数称为指数函数。

性质：定义域、值域、单调性、奇偶性（略）二、例一、已知函数()121-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y解：⎪⎩⎪⎨⎧<≥⎪⎭⎫⎝⎛=--1,21,2111x x y x x 定义域：x ∈R 10≤<y（其对称性与||21x y ⎪⎭⎫⎝⎛=比较）例二、求下列函数的单调区间： 1．()34260+-︒=x x tg y 2.12121-++⎪⎭⎫⎝⎛=x x y 解：1．()34260+-︒=x x tg y ()1223--=x∴增区间为 ),2[+∞ 减区间为 ]2,(-∞2．⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤<--≤=⎪⎭⎫ ⎝⎛=+-+++)21()21()211(2)1(221323121x x x y x x xx x∴增区间为 ]1,(--∞ 减区间为 ),1[+∞-例三、设函数 f (x )是偶函数，如果函数 ()x f y 2= 在 x >0 时是增函数，则在x <0时，是增函数还是减函数？并证明之。

解：是减函数。

设a x x <<21 则021>->-x x∵()x f 是偶函数, ∴()()x f x f =- ∴()()()()12122222x f x f x f x f --=∵()x f y 2= 在 x >0, 时是增函数，且21x x ->-, ∴()()12212<--x f x f即()()12212<xf x f ,又：()021>x f , ()022>x f ∴()()1222x f x f <,∴ x <0 时，y 是减函数。

例四、已知函数 222xx y -+=求：1︒函数的定义域、值域 2︒判断函数的奇偶性解：1︒ 定义域为 R由222xx y -+= 得 012222=+--x x y∵x ∈R , ∴△≥0, 即 0442≥-y , ∴12≥y , 又∵0>y ，∴1≥y2︒ ∵定义域为 R （是关于原点的对称区间）又∵ ()()x f x f xx =+=--222, ∴()x f 是偶函数。

人教版高一数学教案

人教版高一数学教案人教版高一数学教案1一、教材分析及处理函数是高中数学的重要内容之一，函数的基础知识在数学和其他许多学科中有着广泛的应用;函数与代数式、方程、不等式等内容联系非常密切;函数是近一步学习数学的重要基础知识;函数的概念是运动变化和对立统一等观点在数学中的具体体现;函数概念及其反映出的数学思想方法已广泛渗透到数学的各个领域，《函数》教学设计。

对函数概念本质的理解，首先应通过与初中定义的比较、与其他知识的联系以及不断地应用等，初步理解用集合与对应语言刻画的函数概念.其次在后续的学习中通过基本初等函数，引导学生以具体函数为依托、反复地、螺旋式上升地理解函数的本质。

教学重点是函数的概念，难点是对函数概念的本质的理解。

学生现状学生在第一章的时候已经学习了集合的概念，同时在初中时已学过一次函数、反比例函数和二次函数，那么如何用集合知识来理解函数概念，结合原有的知识背景，活动经验和理解走入今天的课堂，如何有效地激活学生的学习兴趣，让学生积极参与到学习活动中，达到理解知识、掌握方法、提高能力的目的，使学生获得有益有效的学习体验和情感体验，是在教学设计中应思考的。

二、教学三维目标分析1、知识与技能(重点和难点)(1)、通过实例让学生能够进一步体会到函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。

并且在此基础上学习应用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用。

不但让学生能完成本节知识的学习，还能较好的复习前面内容，前后衔接。

(2)、了解构成函数的三要素，缺一不可，会求简单函数的定义域、值域、判断两个函数是否相等等。

(3)、掌握定义域的表示法，如区间形式等。

(4)、了解映射的概念。

2、过程与方法函数的概念及其相关知识点较为抽象，难以理解，学习中应注意以下问题： (1)、首先通过多媒体给出实例，在让学生以小组的形式开展讨论，运用猜想、观察、分析、归纳、类比、概括等方法，探索发现知识，找出不同点与相同点，实现学生在教学中的主体地位，培养学生的创新意识。

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第二十教时
教材：对数的基本概念
目的：要求学生理解对数的概念，能够进行对数式与指数式的互化，并由此求一些特
殊的对数式的值。

进程：
一、引入：从指数导入，见P 80例题
假设1995年我国的国民生产总值为 a 亿元，如每年平均增长8%，
那么经过多少年国民生产总值是1995年的2倍？
设：经过x 年国民生产总值是1995年的2倍
则有 ()a a x 2%81=+ 208.1=x
这是已知底数和幂的值，求指数的问题。

即指数式 N a b =中，已知a 和
N 求b 的问题。

（这里 10≠>a a 且）
二、课题：对数
定义：一般地，如果 ()1,0≠>a a a 的b 次幂等于N , 就是 N a b
=，那么数 b 叫
做 a 为底 N 的对数，记作 b N a =log ，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。

N a b =
b N a
=l o g 1．在指数式中 N > 0 （负数与零没有对数） 2．对任意 0>a 且 1≠a , 都有 10=a ∴01log =a
同样易知： 1l o g =a a
3．如果把 N a b = 中的 b 写成 N a log , 则有 N a N
a
=log
（对数恒等式）
三、对数式与指数式的互换，并由此求某些特殊的对数。

例如： 1642= 216log 4= 100102= 2100
log 10= 242
1=
2
1
2l o g 4= 01.0102=- 201.0log 10-=
例一、P 81 例一、例二
例二、1．计算： 27log 9，81log
3
4
，()
()32log 32-+
，625log 4
3
5
解：设 =x 27log 9 则 ,27=x a 3233=x , ∴2
3
=x
设 =x 81log
3
4
则8134=⎪⎭
⎫ ⎝⎛x
,
44
33=x , ∴16=x
令 =x ()()32log 32-+=()
()13232log -+-, ∴()()1
3232-+=+x , ∴1-=x 令 =x 625log
4
3
5
,
∴625543=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛x
,
434
55
=x , ∴5=x
2．求 x 的值：①43
log 3-=x ②3
5log 2-=x
③()()
1123log 2122
=-+-x x x ④()[]0log log log 432=x
解：①271
3
4
4
3=
=-
x
②32
1
2
2
3
5
=
=-
x
③2,00212123222-==⇒=+⇒-=-+x x x x x x x
但必须：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧>-+≠->-012311201222
2x x x x ∴0=x 舍去 2-=x
④()1log log 43=x , ∴3log 4=x , 6443==x
3．求底数：533log -=x , 8
72l o g =x
解：5
3355
3
33-
--⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛==x
, ∴3
53
-
=x
8
77
88
7
22⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛==
x , ∴2=x
四、介绍两种特殊的对数：
1．常用对数：以10作底 N 10log 写成 N lg 2．自然对数：以 e 作底 e 为无理数，e = 2.71828……
N e log 写成 N ln
五、小结：1°定义 2°互换 3°求值六、作业：（练习） P 81 练习 P 84 习题2.7 1，2 《课课练》 P 79 课时练习 6—10。

人教版高中数学教案：第2章：函数,教案,课时第 (19)

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