高一数学《三角函数》复习教案
三角函数(一轮复习教案)
第三章三角函数 (1)第一节角的概念与任意角的三角函数 (2)第二节同角三角函数的基本关系式与诱导公式 (9)第三节三角函数的图象与性质 (16)第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的应用 (24)第五节和角公式 (37)第六节倍角公式与半角公式 (45)第七节正弦定理和余弦定理 (53)第八节正弦定理、余弦定理的应用举例 (61)第三章三角函数知识网络：学习重点：三角函数是高考命题的重点，分值约占10%～15%，一般是一个小题和一个大题，以中低档题为主．1．主要考查三角函数的图象与性质，简单的三角恒等变换，正、余弦定理及其应用，且题目常考常新．2．客观题主要涉及三角函数的求值，函数的图象及性质，解答题主要以三角变换为工具，综合考查函数的图象与性质；或以正、余弦定理为工具，结合三角变换考查解三角形的有关知识．3．高考命题中，本章常与平面向量相结合，既可以考查平面向量的运算，又可以考查三角函数式的化简和三角函数的性质，符合高考命题“要在知识点的交汇处命题”的要求.学法指导：1.立足基础，着眼于提高．立足课本，牢固掌握三角函数的概念、图象和性质；弄清每个公式成立的条件，公式间的内在联系及公式的变形、逆用等．要在灵、活、巧上下功夫，切不可死记硬背．2．突出数学思想方法．应深刻理解数与形的内在联系，理解众多三角公式的应用无一不体现等价转化思想．在解决三角函数的问题时仔细体会拆角、切化弦、三角函数归一的方法技能．3．抓住关键，三角函数的化简、求值中，要熟练掌握三角变换公式的应用，其中角的变换是解题的关键，注意已知与待求中角的关系，力争整体处理．4．注意三角函数与向量等内容的交汇渗透，这也是命题的热点之一.第一节 角的概念与任意角的三角函数学习目标：1.了解任意角的概念，了解弧度制的概念． 2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 考点梳理：1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． (2)从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )． 2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． (2)角α的弧度数在半径为r 的圆中，弧长为l 的弧所对圆心角为αrad ，则α＝lr. (3)角度与弧度的换算①n °＝n π180rad ；②α rad ＝(180απ)°.(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝rα，扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2α.3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x.(2)三角函数在各象限的符号一全正，二正弦，三正切，四余弦． 4．单位圆与三角函数线(1)单位圆：半径为1的圆叫做单位圆． (2)三角函数线． (3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)． 思考：1．“角α为锐角”是“角α为第一象限角”的什么条件？ 【提示】 充分不必要条件．2．终边在直线y ＝x 上的角的正弦值相等吗？【提示】 当角的终边一个在第一象限，一个在第三象限时，正弦值不相等． 学情自测：1．已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin π3，2cos π3)，则α弧度数是( )A ．2 B.π3 C.π6 D.2π3【解析】 点A 的坐标为(3，1)． ∴sin α＝132＋1＝12，又α为锐角，∴α＝π6.【答案】C12．(2012·江西高考)下列函数中，与函数y＝定义域相同的函数为( )3xA ．y ＝1sin x B ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x【解析】 函数y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，选项A 中由sin x ≠0⇒x ≠k π，k ∈Z ，故A 不对；选项B 中x >0，故B 不对；选项C 中，x ∈R ，故C 不对；选项D 中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x |x ≠0}，故选D.【答案】 D3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角【解析】 由sin α＜0，得α在第三、四象限或y 轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．【答案】 C4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．【解析】 ∵l ＝3π，α＝135°＝3π4，∴r ＝l α＝4，S ＝12lr ＝12×3π×4＝6π.【答案】 4 6π5．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝________.【解析】 由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255＜0，∴y ＜0且y 16＋y2＝－255， 解之得y ＝－8. 【答案】 －8 典例探究：例1（角的集合表示）(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思路】(1)角的终边是射线，应分两种情况求解．(2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．【解答】 (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }，当角的终边在第三象限时，角的集合为{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }，故所求角的集合为{α|α＝2k π＋π3，k ∈Z }∪{α|α＝2k π＋43π，k ∈Z }＝{α|α＝k π＋π3，k ∈Z }．(2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z )，∴k π＋π2＜α2＜k π＋34π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2＜α2＜2n π＋34π，α2是第二象限角， 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角,变式训练1：若角θ的终边与π3角的终边相同，则在[0,2π)内终边与角θ3的终边相同的角为________．【解析】 ∵θ＝π3＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝π9＋23k π(k ∈Z )，当k ＝0,1,2时，θ3＝π9，7π9，13π9.【答案】 π9，7π9，13π9例2（弧度制的应用）已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l . (2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？(3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．【思路】(1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；(3)利用S 弓＝S 扇－S △，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．【解答】 (1)l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得：l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2 rad. (3)设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm ，S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝(2π3－3)(cm 2)变式训练2：已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10，(1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】(1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10，∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3.(2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝103π，S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3.又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50(π3－32).例3（三角函数的定义）(1)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114C ．－4D ．4(2)已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．【思路】(1)求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解．(2)在直线上设一点P (4t ，－3t )，求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P 可在不同的象限内，所以需分类讨论．【解答】 (1)点P 到原点O 距离|OP |＝m 2＋9，∴cos α＝m m 2＋9＝－45，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16m ＜0，∴m ＝－4.【答案】 C(2)在直线3x ＋4y ＝0上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则x ＝4t ，y ＝－3t ，∴r ＝|PO |＝x 2＋y 2＝4t 2＋－3t 2＝5|t |， 当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，当t ＞0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.当t ＜0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.变式训练3：设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求4sin α－3tanα的值．【解】 ∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5， 从而24x ＝xx 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3. ∵90°＜α＜180°，∴x ＜0，因此x ＝－ 3.则r ＝22，∴sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153.故4sin α－3tan α＝10＋15.小结：一条规律三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦． 两个技巧1.在利用三角函数定义时，点P 可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．2．利用单位圆和三角函数线是解简单三角不等式的常用技巧． 三点注意1.第一象限角、锐角、小于90°的角是三个不同的概念，前者是象限角，后两者是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示，以方便解题．课后作业(十六) 角的概念与任意角的三角函数一、选择题图3－1－21．(2013·宁波模拟)如图3－1－2，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(cos θ，sin θ)B ．(－cos θ，sin θ)C ．(sin θ，cos θ)D ．(－sin θ，cos θ)【解析】 设P (x ，y )，由三角函数定义知sin θ＝y ，cos θ＝x ，故点P 的坐标为(cos θ，sin θ)．【答案】 A2．已知2弧度的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所对的弧长是( )A ．2B ．sin 2 C.2sin 1D ．2sin 1【解析】 由题设，圆弧的半径r ＝1sin 1，∴圆心角所对的弧长l ＝2r ＝2sin 1.【答案】 C3．(2013·海淀模拟)若α＝k ·360°＋θ，β＝m ·360°－θ(k ，m ∈Z )，则角α与β的终边的位置关系是( )A ．重合B ．关于原点对称C ．关于x 轴对称D ．关于y 轴对称【解析】 由题意知角α与角θ的终边相同，角β与角－θ的终边相同，又角θ与角－θ的终边关于x 轴对称，故选C.【答案】 C4．若角α的终边在直线y ＝－2x 上，且sin α＞0，则cos α和tan α的值分别为( )A.55，－2 B ．－55，－12 C ．－255，－2 D ．－55，－2【解析】 由题意知，角α的终边在第二象限，在角α的终边上取点P (－1,2)，则r ＝5，从而cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2，故选D.【答案】 D5．(2013·昆明模拟)设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan α＝( )A.43B.34 C ．－34 D ．－43【解析】 由题意知x ＜0，r ＝x 2＋16，∴cos α＝x x 2＋16＝15x ，∴x 2＝9，∴x ＝－3，∴tan α＝－43.【答案】 D6．已知点P (sin 3π4，cos 34π)在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π4 【解析】 由已知得P (22，－22)，∴tan θ＝－1且θ是第四象限角，∴θ＝7π4. 【答案】 D二、填空题7．(2013·潍坊模拟)若角120°的终边上有一点(－4，a )，则a 的值是________． 【解析】 由题意知－a4＝tan 120°，∴－a4＝－3，∴a ＝4 3.【答案】 438．已知角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上，则|sin α|sin α－|cos α|cos α＝________.【解析】 因为角α的终边落在直线y ＝－3x (x ＜0)上， 所以角α是第二象限角，因此sin α＞0，cos α＜0， 故|sin α|sin α－|cos α|cos α＝sin αsin α－－cos αcos α＝1＋1＝2. 【答案】 29．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．【解析】 由题意知点Q 是角2π3的终边与单位圆的交点，设Q (x ，y )，则y ＝sin2π3＝32，x ＝cos 2π3＝－12，故Q (－12，32)． 【答案】 (－12，32)三、解答题10．已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ＋cos θ的值．【解】 ∵θ的终边过点(x ，－1)(x ≠0)，∴tan θ＝－1x，又tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1.当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22， 因此sin θ＋cos θ＝0；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22，因此sin θ＋cos θ＝－ 2.11．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6， (1)求AB 的长；(2)求AB 所在弓形的面积．【解】 (1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6，∴AB 的长l ＝2π3×6＝4π. (2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin2π3＝12×62×32＝93， ∴S 弓形＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.12．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ＞0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．【解】 由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )， 点Q 的坐标为(2a ，a )．所以，sin α＝－2a a 2＋－2a 2＝－25，cos α＝a a 2＋－2a 2＝15， tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a 2a 2＋a 2＝15， cos β＝2a 2a 2＋a 2＝25， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－25·15＋15·25＋(－2)×12＝－1.第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式学习目标：1.理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2x ＝1，sin x cos x＝tan x .2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.考点梳理：1．同角三角函数的基本关系式(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1.(2)商数关系：tan α＝sin αcos α(α≠π2＋k π，k ∈Z )．组数 一 二 三四五 角 α＋2k π(k∈Z ) －αα＋(2k ＋1)π(k ∈Z )α＋π2－α＋π2正弦 sin α －sin_α －sin_α cos_α cos_α 余弦 cos α cos_α －cos_α －sin_α sin_α正切 tan α－tan_α tan_α口诀函数名不变符号看象限思考：1．有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sin α(k∈Z)，你认为正确吗？【提示】不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 2．sin(－π－α)如何使用诱导公式变形？【提示】 sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α.学情自测：1．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin α＝( )A ．－1213 B.1213 C.512 D ．±1213【解析】 ∵cos(α－π)＝cos(π－α)＝－cos α＝－513，∴cos α＝513，又α是第四象限角，∴sin α＜0，则sin α＝－1－cos 2α＝－1213.【答案】 A2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|＜π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3 C.π6 D.π3【解析】 由sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)得 －sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，又|θ|＜π2，∴θ＝π3，故选D.【答案】 D3．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22 C ．－32 D.32【解析】 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22.【答案】 A4．若cos α＝－35且α∈(π，3π2)，则tan α＝( )A.34B.43 C ．－34 D ．－43【解析】 ∵cos α＝－35，且α∈(π，3π2)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－－352＝－45，∴tan α＝sin αcos α＝43.【答案】 B5．(2012·辽宁高考)已知sin α－cos α＝2，α∈(0，π)，则sin 2α＝( )A ．－1B ．－22 C.22 D ．1【解析】 因为sin α－cos α＝2，所以1－2sin αcos α＝2，即sin 2α＝－1.【答案】A典例探究：例1（同角三角函数关系式的应用）(1)(2013·潍坊模拟)已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2 (2)(2013·银川模拟)已知α∈(π，3π2)，tan α＝2，则cos α＝________.【思路】 (1)先根据已知条件求得tan α，再把所求式变为用tan α表示的式子求解；(2)切化弦，结合sin 2α＋cos 2α＝1求解．【解答】 (1)由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得tan α＋33－tan α＝5，即tan α＝2.所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25. (2)依题意得⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝sin αcos α＝2，sin 2α＋cos 2α＝1，由此解得cos 2α＝15；又α∈(π，3π2)，因此cos α＝－55.【答案】 (1)A (2)－55, 变式训练1：(2012·大纲全国卷)已知α为第二象限角，sin α＝35，则sin 2α＝( )A ．－2425B ．－1225 C.1225 D.2425【解析】 ∵α为第二象限角且sin α＝35，∴cos α＝－1－sin 2α＝－45，∴sin 2α＝2sin α·cos α＝2×35×(－45)＝－2425.【答案】 A例2（诱导公式的应用） (1)已知tan α＝2，sin α＋cos α＜0，则sin 2π－α·sin π＋α·cos π＋αsin 3π－α·cos π＋α＝________.(2)已知α为第三象限角，f (α)＝sin α－π2·cos 3π2＋α·tan π－αtan －α－π·sin －α－π，①化简f (α)；②若cos(α－3π2)＝15，求f (α)的值．【思路】(1)先利用诱导公式对原式进行化简，再根据tan α＝2，结合α的范围和同角三角函数关系式求解；(2)①直接利用诱导公式化简约分．②利用α在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f (α)．【解答】 (1)原式＝－sin α·－sin α·－cos α－sin α·cos α＝sin α，∵tan α＝2＞0，∴α为第一象限角或第三象限角．又sin α＋cos α＜0，∴α为第三象限角，由tan α＝sin αcos α＝2，得sin α＝2cos α代入sin 2α＋cos 2α＝1，解得sin α＝－255.【答案】 －255(2)①f (α)＝sin α－π2·cos 3π2＋α·tan π－αtan －α－π·sin －α－π＝－cos α·sin α·－tan α－tan α·sin α＝－cos α.②∵cos(α－3π2)＝15，∴－sin α＝15，从而sin α＝－15.又α为第三象限角，∴cos α＝－1－sin 2α＝－265，∴f (α)＝265.变式训练2：(1)(2013·烟台模拟)sin 600°＋tan 240°的值等于( )A ．－32 B.32 C.3－12 D.3＋12(2)(2013·台州模拟)已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β为非零实数)，若f (2 012)＝5，则f (2 013)＝( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．不能确定【解析】 (1)sin 600°＋tan 240°＝sin(360°＋240°)＋tan(180°＋60°)＝sin(180°＋60°)＋tan 60°＝－sin 60°＋tan 60°＝－32＋3＝32.(2)∵f (2 012)＝a sin(2 012π＋α)＋b cos(2 012π＋β)＋4 ＝a sin α＋b cos β＋4＝5， ∴a sin α＋b cos β＝1，∴f (2 013)＝a sin(2 013π＋α)＋b cos(2 013π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝－1＋4＝3. 【答案】 (1)B (2)A例3（sin α±cos α与sin α·cos α的关系）(2013·扬州模拟)已知－π＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x1－tan x的值．【思路】(1)利用平方关系，设法沟通sin x －cos x 与sin x ＋cos x 的关系；(2)先利用倍角公式、商数关系式化为角x 的弦函数，再设法将所求式子用已知表示出来．【解答】(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，整理得2sin x cos x ＝－2425.∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π＜x ＜0，∴sin x ＜0，又sin x ＋cos x ＞0， ∴cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，7 5.故sin x－cos x＝－(2)sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x ＝2sin x cos x ＋sin x 1－sin xcos x＝2sin x cos x cos x ＋sin x cos x －sin x ＝－2425×1575＝－24175.变式训练3：已知－π2＜x ＜0，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求tan x 的值．【解】(1)由sin x ＋cos x ＝15，平方得sin 2x ＋2sin x cos x ＋cos 2x ＝125，即2sin x cos x ＝－2425，∵(sin x －cos x )2＝1－2sin x cos x ＝4925.又∵－π2＜x ＜0，∴sin x ＜0，cos x ＞0，sin x －cos x ＜0，故sin x －cos x ＝－75.(2)由(1)得sin x －cos x ＝－75，故由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋cos x ＝15sin x －cos x ＝－75，得sin x ＝－35，cos x ＝45，∴tan x ＝sin x cos x ＝－3545＝－34.小结：一个口诀诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 两个防范1.利用诱导公式进行化简求值时，要注意函数名称和符号的确定．2．在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要注意判断三角函数值的符号．三种方法在求值与化简时，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α进行弦、切互化．(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化．(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4等．课后作业(十七) 同角三角函数的基本关系式与诱导公式一、选择题1．(2013·郑州模拟)记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°＝( )A.1－k2kB ．－1－k2kC.k1－k 2 D ．－k1－k2【解析】 由cos(－80°)＝k ，得cos 80°＝k ，∴sin 80°＝1－k 2，∴tan 100°＝tan(180°－80°)＝－tan 80°＝－1－k2k.【答案】 B2．(2013·温州模拟)若cos(π2＋θ)＝32，且|θ|＜π2，则tan θ＝( )A ．－ 3 B.33 C ．－33D.3 【解析】 ∵cos(π2＋θ)＝32，∴－sin θ＝32，即sin θ＝－32， ∵|θ|＜π2，∴θ＝－π3，∴tan θ＝tan(－π3)＝－ 3.【答案】 A3．(2013·济南模拟)已知α∈(－π2，0)，sin(－α－3π2)＝55则sin(－π－α)＝( )A.55B.255 C ．－55 D ．－255【解析】 ∵sin(－α－3π2)＝－sin(3π2＋α)＝cos α＝55，且α∈(－π2，0)，∴sin α＝－1－cos 2α＝－1－525＝－255， ∴sin(－π－α)＝－sin(π＋α)＝sin α＝－255.【答案】 D4．(2013·保定模拟)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝( )A ．－43 B.54 C ．－34 D.45【解析】 sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θsin 2θ＋cos 2θ ＝tan 2θ＋tan θ－2tan 2θ＋1＝4＋2－24＋1＝45. 【答案】 D5．(2013·普宁模拟)若sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，则sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ的值为( ) A ．－81727 B.81727 C.82027 D ．－82027【解析】 ∵sin θ＋cos θsin θ－cos θ＝2，∴sin θ＝3cos θ，∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝3cos 2θ＋127cos 2θ＝8227cos 2θ由⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝3cos θ，sin 2θ＋cos 2θ＝1得cos 2θ＝110，∴sin θcos 3θ＋cos θsin 3θ＝82027. 【答案】 C6．若sin α是5x 2－7x －6＝0的根，则sin －α－3π2sin 3π2－αtan 22π－αcos π2－αcos π2＋αsin π＋α＝( )A.35B.53C.45D.54【解析】 方程5x 2－7x －6＝0的两根为x 1＝－35，x 2＝2，则sin α＝－35.原式＝cos α－cos αtan 2αsin α－sin α－sin α＝－1sin α＝53.【答案】 B 二、填空题7．已知sin(π4＋α)＝32，则sin(3π4－α)的值为________．【解析】 sin(3π4－α)＝sin[π－(π4＋α)]＝sin(π4＋α)＝32.【答案】328．(2013·青岛模拟)已知tan α＝2，则7sin 2α＋3cos 2α＝________.【解析】 7sin 2α＋3cos 2α＝7sin 2α＋3cos 2αsin 2α＋cos 2α＝7tan 2α＋3tan 2α＋1＝7×22＋322＋1＝315. 【答案】 3159．已知sin(x ＋π6)＝14，则sin(7π6＋x )＋cos 2(5π6－x )＝________.【解析】 原式＝－sin(π6＋x )＋cos 2(π6＋x )＝－14＋(1－142)＝1116.【答案】 1116三、解答题10．已知函数f (x )＝1－sin x －3π2＋cos x ＋π2＋tan 34πcos x.(1)求函数y ＝f (x )的定义域；(2)设tan α＝－43，求f (α)的值．【解】 (1)由cos x ≠0，得x ≠π2＋k π，k ∈Z ，所以函数的定义域是{x |x ≠π2＋k π，k ∈Z }．(2)∵tan α＝－43，∴f (α)＝1－sin α－3π2＋cos α＋π2＋tan 34πcos α＝1－cos α－sin α－1cos α＝－cos α－sin αcos α＝－1－tan α＝13.11．已知tan(α＋87π)＝a .求证：sin 157π＋α＋3cos α－137πsin 207π－α－cos α＋227π＝a ＋3a ＋1. 【证明】 由已知得左边＝sin[π＋α＋87π]＋3cos[α＋8π7－3π]sin[4π－α＋87π]－cos[2π＋α＋87π]＝－sin α＋87π－3cos α＋87π－sin α＋87π－cos α＋87π＝tan α＋87π＋3tan α＋87π＋1＝a ＋3a ＋1＝右边，所以原等式成立．12．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．【解】 由已知得⎩⎨⎧sin A ＝2sin B ， ①3cos A ＝2cos B ， ②①2＋②2得2cos 2A ＝1，即cos A ＝22或cos A ＝－22.(1)当cos A ＝22时，cos B ＝32， 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝π4，B ＝π6，∴C ＝π－(A ＋B )＝712π.(2)当cos A ＝－22时，cos B ＝－32. 又A 、B 是三角形的内角，∴A ＝34π，B ＝56π，不合题意．综上知，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.第三节三角函数的图象与性质学习目标：1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性．2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间(－π2，π2)内的单调性.考点梳理：1．周期函数和最小正周期对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得定义域内的每一个x 值，都满足f (x ＋T )＝f (x )，那么函数f (x )就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．若在所有周期中，存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做f (x )的最小正周期．y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan xπ1．是否每一个周期函数都有最小正周期？【提示】 不一定．如常数函数f (x )＝a ，每一个非零数都是它的周期．2．正弦函数和余弦函数的图象的对称轴及对称中心与函数图象的关键点是什么关系？ 【提示】 y ＝sin x 与y ＝cos x 的对称轴方程中的x 都是它们取得最大值或最小值时相应的x .对称中心的横坐标都是它们的零点． 学情自测：1．函数y ＝tan 3x 的定义域为( )A ．{x |x ≠32π＋3k π，k ∈Z }B ．{x |x ≠π6＋k π，k ∈Z }C ．{x |x ≠－π6＋k π，k ∈Z }D ．{x |x ≠π6＋k π3，k ∈Z }【解析】 由3x ≠π2＋k π，k ∈Z 得x ≠π6＋k π3，k ∈Z ，故选D.【答案】 D2．函数f (x )＝2cos(x ＋5π2)是( ) A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为2π的偶函数C ．最小正周期为2π的非奇非偶函数D ．最小正周期为π的偶函数【解析】 f (x )＝2cos(x ＋52π)＝2cos(x ＋π2)＝－2sin x ，故f (x )是最小正周期为2π的奇函数．【答案】 A3．(2012·福建高考)函数f (x )＝sin(x －π4)的图象的一条对称轴是( ) A ．x ＝π4 B ．x ＝π2C ．x ＝－π4D ．x ＝－π2【解析】 法一 ∵正弦函数图象的对称轴过图象的最高点或最低点，故令x －π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴x ＝k π＋3π4，k ∈Z . 取k ＝－1，则x ＝－π4. 法二 x ＝π4时，y ＝sin(π4－π4)＝0，不合题意，排除A ；x ＝π2时，y ＝sin(π2－π4)＝22，不合题意，排除B ；x ＝－π4时，y ＝sin(－π4－π4)＝－1，符合题意，C 项正确；而x ＝－π2时，y ＝sin(－π2－π4)＝－22，不合题意，故D 项也不正确． 【答案】 C 4．比较大小：sin(－π18)________sin(－π10)． 【解析】 ∵－π2＜－π10＜－π18＜0， ∴sin(－π18)＞sin(－π10)． 【答案】 ＞5．函数y ＝2－3cos(x ＋π4)的最大值为________，此时x ＝________. 【解析】 当cos(x ＋π4)＝－1时，函数有最大值5， 此时，x ＋π4＝π＋2k π，k ∈Z ， 即x ＝34π＋2k π，k ∈Z . 【答案】 5 34π＋2k π，k ∈Z 典例探究：例1（三角函数的定义域和值域）(1)(2012·山东高考)函数y ＝2sin(πx 6－π3)(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3 B ．0C ．－1D ．－1－3(2)函数y ＝1tan x －1的定义域为________． 【思路】(1)先确定πx 6－π3的范围，再数形结合求最值； (2)由tan x －1≠0且x ≠k π＋π2，k ∈Z 求解． 【解答】 (1)∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6， ∴sin(π6x －π3)∈[－32，1]． ∴y ∈[－3，2]，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧ tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧ x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }． 【答案】 (1)A (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }, 变式训练1：(1)函数y ＝2sin x －1的定义域为________．(2)当x ∈[π6，7π6]时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________． 【解析】 (1)由2sin x －1≥0得sin x ≥12，∴2k π＋π6≤x ≤2k π＋5π6，k ∈Z ， 故函数的定义域为[2k π＋π6，2k π＋56π](k ∈Z )． (2)∵x ∈[π6，76π] ∴－12≤sin x ≤1， 又y ＝3－sin x －2cos 2x ＝2sin 2x －sin x ＋1＝2(sin x －14)2＋78， ∴当sin x ＝14时，y min ＝78， 当sin x ＝1或－12时，y max ＝2. 【答案】 (1)[2k π＋π6，2k π＋5π6](k ∈Z ) (2)782 例2（三角函数的单调性）(2012·北京高考)已知函数f (x )＝sin x －cos x sin 2x sin x. (1)求f (x )的定义域及最小正周期；(2)求f (x )的单调递减区间．【思路】(1)求定义域时考虑分母不为零，然后对f (x )解析式进行化简，转化成正弦型函数的形式，再求周期；(2)求单调递减区间时利用整体代换，把ωx ＋φ当作一个整体放入正弦的减区间内解出x即为减区间，不要忽略对定义域的考虑．【解答】(1)由sin x≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sin x－cos x sin 2xsin x＝2cos x(sin x－cos x)＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin(2x －π4)－1， 所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π2](k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )． 所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π8](k ∈Z )． 变式训练2:(2013·武汉模拟)已知函数y ＝sin(π3－2x )，求： (1)函数的周期；(2)求函数在[－π，0]上的单调递减区间．【解】由y ＝sin(π3－2x )可化为y ＝－sin(2x －π3)． (1)周期T ＝2πω＝2π2＝π. (2)令2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ， 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 所以x ∈R 时，y ＝sin(π3－2x )的减区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z . 取k ＝－1,0可得函数在[－π，0]上的单调递减区间为[－π，－7π12]和[－π12，0]. 例3（三角函数的奇偶性、周期性和对称性）设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)，给出以下四个论断： ①它的最小正周期为π；②它的图象关于直线x ＝π12成轴对称图形； ③它的图象关于点(π3，0)成中心对称图形； ④在区间[－π6，0)上是增函数． 以其中两个论断作为条件，另两个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题________(用序号表示即可)．【思路】本题是一个开放性题目，依据正弦函数的图象及单调性、周期性以及对称性逐一判断．【解答】若①、②成立，则ω＝2ππ＝2；令2·π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，且|φ|＜π2，故k ＝0，∴φ＝π3.此时f (x )＝sin(2x ＋π3)，当x ＝π3时，sin(2x ＋π3)＝sin π＝0，∴f (x )的图象关于(π3，0)成中心对称；又f (x )在[－5π12，π12]上是增函数，∴在[－π6，0)上也是增函数，因此①②⇒③④，用类似的分析可得①③⇒②④.因此填①②⇒③④或①③⇒②④.【答案】①②⇒③④或①③⇒②④,变式训练3：已知函数f (x )＝sin(πx －π2)－1，则下列说法正确的是( ) A ．f (x )是周期为1的奇函数B ．f (x )是周期为2的偶函数C ．f (x )是周期为1的非奇非偶函数D ．f (x )是周期为2的非奇非偶函数【解析】周期T ＝2ππ＝2，f (x )＝sin(πx －π2)－1＝－cos πx －1，因此函数f (x )是偶函数，故选B.【答案】 B小结：两条性质1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z )．2．对称性：正、余弦函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形且最值点在对称轴上，正切函数的图象只是中心对称图形．三种方法求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x 、cos x 的有界性；(2)化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．课后作业(十八) 三角函数的图象与性质一、选择题1．(2013·银川模拟)下列函数中，最小正周期为π，且图象关于直线x ＝π3对称的函数是( )A ．y ＝2sin(2x ＋π3)B ．y ＝2sin(2x －π6)C ．y ＝2sin(x 2＋π3) D ．y ＝2sin(2x －π3) 【解析】根据函数的最小正周期为π，排除C ，又图象关于直线x ＝π3对称，则f (π3)＝2或f (π3)＝－2，代入检验知选B. 【答案】 B2．函数y ＝tan(π4－x )的定义域是( ) A ．{x |x ≠π4} B ．{x |x ≠－π4} C ．{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z } D ．{x |x ≠k π＋3π4，k ∈Z }【解析】y ＝tan(π4－x )＝－tan(x －π4)，由x －π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠n π＋3π4，k ∈Z ，故选D.【答案】 D3．函数y ＝sin 2x ＋sin x －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54] 【解析】 f (x )＝(sin x ＋12)2－54， ∵sin x ∈[－1,1]，∴－54≤f (x )≤1， ∴f (x )的值域为[－54，1]． 【答案】 C4．(2013·日照质检)函数y ＝sin 2x 的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，得到的图象关于直线x ＝π6对称，则φ的最小值为( ) A.5π12 B.11π6 C.11π12D ．以上都不对 【解析】 函数y ＝sin 2x 的图象平移后所得图象对应的函数解析式为y ＝sin 2(x －φ)＝sin(2x －2φ)，其图象关于x ＝π6对称，所以2·π6－2φ＝k π＋π2(k ∈Z )，解得φ＝－k 2π－π12(k ∈Z )，故当k ＝－1时，φ的最小值为5π12. 【答案】 A5．(2013·北京模拟)已知函数f (x )＝sin x ＋3cos x ，设a ＝f (π7)，b ＝f (π6)，c ＝f (π3)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜a ＜bC ．b ＜a ＜cD ．b ＜c ＜a【解析】 ∵f (x )＝sin x ＋3cos x ＝2sin(x ＋π3)， ∴函数f (x )的图象关于直线x ＝π6对称，从而f (π3)＝f (0)， 又f (x )在[0，π6]上是增函数，∴f (0)＜f (π7)＜f (π6)，即c ＜a ＜b . 【答案】 B6．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω＞0，－π＜φ≤π.若f (x )的最小正周期为6π，，且当x ＝π2时，f (x )取得最大值，则( ) A ．f (x )在区间[－2π，0]上是增函数B ．f (x )在区间[－3π，－π]上是增函数C ．f (x )在区间[3π，5π]上是减函数D ．f (x )在区间[4π，6π]上是减函数【解析】 ∵T ＝6π，∴ω＝2πT ＝2π6π＝13， ∴13×π2＋φ＝2k π＋π2， ∴φ＝2k π＋π3(k ∈Z )． ∵－π＜φ≤π，∴令k ＝0得φ＝π3.∴f (x )＝2sin(x 3＋π3)． 令2k π－π2≤x 3＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，则6k π－5π2≤x ≤6k π＋π2，k ∈Z .易知f (x )在区间[－2π，0]上是增函数． 【答案】 A 二、填空题7．(2013·延吉模拟)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，f (α)＝A ，f (β)＝0，|α－β|的最小值为π3，则正数ω＝________.【解析】 由|α－β|的最小值为π3知函数f (x )的周期T ＝43π，∴ω＝2πT ＝32.【答案】 328．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π6)(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x ∈[0，π2]，则f (x )的取值范围是________．【解析】 依题意得ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)．因为x ∈[0，π2]，所以2x －π6∈[－π6，56π]，所以sin(2x －π6)∈[－12，1]，所以f (x )∈[－32，3]．【答案】 [－32，3]9．已知函数f (x )＝cos x sin x (x ∈R )，给出下列四个命题： ①若f (x 1)＝－f (x 2)，则x 1＝－x 2； ②f (x )的最小正周期是2π；③f (x )在区间[－π4，π4]上是增函数；④f (x )的图象关于直线x ＝3π4对称．其中真命题是________．【解析】 f (x )＝12sin 2x ，当x 1＝0，x 2＝π2时，f (x 1)＝－f (x 2)，但x 1≠－x 2，故①是假命题；f (x )的最小正周期为π，故②是假命题；当x ∈[－π4，π4]时，2x ∈[－π2，π2]，故③是真命题；因为f (3π4)＝12sin 32π＝－12，故f (x )的图象关于直线x ＝34π对称，故④是真命题．【答案】 ③④ 三、解答题10．已知函数f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，(1)求f (π4)的值；(2)若x ∈[0，π2]，求f (x )的最大值及相应的x 值．【解】 (1)∵f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ，∴f (π4)＝sin π4cos π4＋sin 2π4＝(22)2＋(22)2＝1.(2)f (x )＝sin x cos x ＋sin 2x ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝12(sin 2x －cos 2x )＋12＝22sin(2x －π4)＋12， 由x ∈[0，π2]得2x －π4∈[－π4，3π4]，所以，当2x －π4＝π2，即x ＝38π时，f (x )取到最大值为2＋12.11．设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8， (1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．【解】 (1)∵直线x ＝π8是函数f (x )图象的一条对称轴，∴2×π8＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，即φ＝π4＋k π，k ∈Z ，又－π＜φ＜0，∴φ＝－34π.(2)由(1)知f (x )＝sin(2x －34π)，令－π2＋2k π≤2x －34π≤π2＋2k π，k ∈Z ，得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z . 因此y ＝f (x )的单调增区间为[π8＋k π，58π＋k π]，k ∈Z .12．(2013·潍坊模拟)已知向量a ＝(A sin ωx ，A cos ωx )，b ＝(cos θ，sin θ)，f (x )＝a ·b ＋1，其中A ＞0，ω＞0，θ为锐角．f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，且当x ＝π12时，f (x )取得最大值3. (1)求f (x )的解析式；(2)将f (x )的图象先向下平移1个单位，再向左平移φ(φ＞0)个单位得g (x )的图象，若g (x )为奇函数，求φ的最小值．【解】 (1)f (x )＝a ·b ＋1＝A sin ωx ·cos θ＋A cos ωx ·sin θ＋1＝A sin(ωx ＋θ)＋1，∵f (x )的图象的两个相邻对称中心的距离为π2，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2.∵当x ＝π12时，f (x )的最大值为3，∴A ＝3－1＝2，且有2·π12＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z )．∴θ＝2k π＋π3，∵θ为锐角，∴θ＝π3.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)＋1.(2)由题意可得g (x )的解析式为g (x )＝2sin[2(x ＋φ)＋π3]，∵g (x )为奇函数，∴2φ＋π3＝k π，φ＝k π2－π6(k ∈Z )，∵φ＞0，∴当k ＝1时，φ取最小值π3.第四节 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及三角函数模型的应用学习目标：1.了解函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的物理意义；能画出y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题. 考点梳理：1．2.3.由(1)先平移后伸缩 (2)先伸缩后平移思考：1．五点作法作y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，首先确定哪些数据？【提示】 先确定ωx ＋φ，即先使ωx ＋φ等于0，π2，π，3π2，2π，然后求出x的值．2．在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”两种途径，向左或向右平移的单位个数为什么不一样？【提示】 可以看出，前者平移|φ|个单位，后者平移|φω|个单位，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误． 学情自测：1．已知简谐运动f (x )＝2sin(π3x ＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6B ．T ＝6，φ＝π3C ．T ＝6π，φ＝π6D ．T ＝6π，φ＝π3【解析】 由题意知f (0)＝2sin φ＝1，∴sin φ＝12，又|φ|＜π2，∴φ＝π6，又T ＝6，故选A.【答案】 A2．把y ＝sin 12x 的图象上点的横坐标变为原来的2倍得到y ＝sin ωx 的图象，则ω的值为( )A ．1B ．4 C.14D ．2【解析】 横坐标变为原来的2倍，则x 变为12x ，故得到的函数解析式为y ＝sin 14x ，故选C.【答案】 C3．将函数y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把所π10个单位，得到图象的函数解析式为( )得图象上所有的点向右平行移动A ．y ＝sin(2x －π10)B ．y ＝sin(2x －π20)C ．y ＝sin(12x －π10)D ．y ＝sin(12x －π20)【解析】 将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到的图象解析式为y ＝sin 12x ，再把所得图象上所有点向右平移π10个单位，得到的图象解析式为y ＝sin 12(x －π10)＝sin(12x －π20)．【答案】 D4．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图3－4－1所示，则( )图3－4－1A ．ω＝1，φ＝π6B ．ω＝1，φ＝－π6C ．ω＝2，φ＝π6D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由图象知A ＝1，T ＝4(712π－π3)＝π，∴2πω＝π，ω＝2，排除A ，B ，再由2×π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 【答案】 D5．(2012·安徽高考)要得到函数y ＝cos(2x ＋1)的图象，只要将函数y ＝cos 2x 的图象( )A ．向左平移1个单位B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位【解析】 ∵y ＝cos(2x ＋1)＝cos 2(x ＋12)，∴只要将函数y ＝cos 2x 的图象向左平移12个单位即可，故选C.【答案】 C 典例探究：例1（函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象变换）(1)(2012·浙江高考)把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )(2)(2013·大连模拟)设ω＞0，函数y ＝sin(ωx ＋π3)＋2的图象向右平移4π3个单位后与原图象重合，则ω的最小值是( )A.23B.43C.32D ．3 【思路】(1)写出变换后的函数解析式，再根据图象变换找图象；(2)平移后与原图象重合，则平移量是周期的整数倍． 【解答】(1)y ＝cos 2x ＋1――→横坐标伸长2倍纵坐标不变y ＝cos x ＋1――→向左平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)＋1――→向下平移1个单位长度y ＝cos(x ＋1)．结合选项可知应选A.(2)设函数的周期为T ，由题意知kT ＝43π，k ∈Z ，∴T ＝4π3k ，∴ω＝32k ，k ∈Z ，又ω＞0，∴k ＝1时，ω有最小值32，故选C.【答案】 (1)A (2)C 变式训练1：(1)(2013·济南模拟)要得到函数y ＝sin(2x －π3)的图象，只需将函数y ＝sin 2x 的图象( )A ．向左平移π12个单位B ．向右平移π12个单位C ．向左平移π6个单位D ．向右平移π6个单位(2)(2013·青岛质检)将函数y ＝sin(x －π3)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin(12x －π3)B ．y ＝sin(2x －π6)C ．y ＝sin 12xD ．y ＝sin(12x －π6)【解析】 (1)∵y ＝sin(2x －π3)＝sin 2(x －π6)，∴只需将函数y ＝sin 2x 的图象向右平移π6个单位即可．(2)将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y ＝sin(12x －π3)的图象，然后。
高中数学三角函数教案
高中数学三角函数教案三角函数内容在高中数学课程中占有重要的地位，它是描述现实世界周期现象的重要模型，又是高中教材中基本初等函数的其中之一。
下面店铺为你整理了高中数学三角函数教案，希望对你有帮助。
高中数学三角函数教案：任意角的三角函数一、教学目标1.掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义(包括定义域、正负符号判断);了解任意角的余切、正割、余割函数的定义.2.经历从锐角三角函数定义过度到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程. 领悟直角坐标系的工具功能,丰富数形结合的经验.3.培养学生通过现象看本质的唯物主义认识论观点,渗透事物相互联系、相互转化的辩证唯物主义世界观.4.培养学生求真务实、实事求是的科学态度.二、重点、难点、关键重点:任意角的正弦、余弦、正切函数的定义、定义域、(正负)符号判断法.难点:把三角函数理解为以实数为自变量的函数.关键:如何想到建立直角坐标系;六个比值的确定性( α确定,比值也随之确定)与依赖性(比值随着α的变化而变化).三、教学理念和方法教学中注意用新课程理念处理传统教材,学生的数学学习活动不仅要接受、记忆、模仿和练习,而且要自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学,师生互动,教师发挥组织者、引导者、合作者的作用,引导学生主体参与、揭示本质、经历过程.根据本节课内容、高一学生认知特点和我自己的教学风格,本节课采用“启发探索、讲练结合”的方法组织教学.四、教学过程[执教线索:回想再认:函数的概念、锐角三角函数定义(锐角三角形边角关系)——问题情境:能推广到任意角吗?——它山之石:建立直角坐标系(为何?)——优化认知:用直角坐标系研究锐角三角函数——探索发展:对任意角研究六个比值(与角之间的关系:确定性、依赖性,满足函数定义吗?)——自主定义:任意角三角函数定义——登高望远:三角函数的要素分析(对应法则、定义域、值域与正负符号判定)——例题与练习——回顾小结——布置作业](一)复习引入、回想再认开门见山,面对全体学生提问:在初中我们初步学习了锐角三角函数,前几节课,我们把锐角推广到了任意角,学习了角度制和弧度制,这节课该研究什么呢?探索任意角的三角函数(板书课题),请同学们回想,再明确一下:(情景1)什么叫函数?或者说函数是怎样定义的?让学生回想后再点名回答,投影显示规范的定义,教师根据回答情况进行修正、强调:传统定义:设在一个变化过程中有两个变量x与y,如果对于x的每一个值,y都有唯一确定的值和它对应,那么就说y是x的函数,x叫做自变量,自变量x的取值范围叫做函数的定义域.现代定义:设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称映射?:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y= f(x),x∈A ,其中x叫自变量,自变量x的取值范围A叫做函数的定义域高中数学三角函数教案：三角函数的诱导公式1教学目标1.知识与技能(1)能够借助三角函数的定义及单位圆中的三角函数线推导三角函数的诱导公式。
(完整版)高一数学《三角函数》复习教案
必修 4 第一章 三角函数 复习（一）一、 基本知识1、随意角：（1）正角：按逆时针旋转所形成的角（2）负角：按顺时间旋转所形成的角（3）零角：没有旋转（始边和终边重合） 2、象限角：终边所在象限 3、与角 终边同样的角： n 360o n Z 4、弧度制和角度制的转变：rad180o1R5、弧长公式： l21 扇形面积公式： SR 2 lR26、特别角三角函数值：角 0 30o45o60o90o 180o270o 360o弧度制3 2 643 22sin1 23 10 1 0222cos3 21 011 222tan31 3不存在不存在37、三角函数公式：（ 1）同角三角函数基本关系： sin 2cos 21tansin （ 2）三角函数引诱公式：cos公式一：角度制： sin(k 360 ) sin弧度制： sin(2k ) sincos( k 360 ) cos cos( 2k ) costan( k 360 ) tantan(2k ) tan公式二：角度制： sin(180 ） sin弧度制： sin(） sin cos(180 ）coscos( ）costan(180） tantan(） tan 公式三： sin( ) sincos( ) costan()tan公式四：角度制： sin(180） sin 弧度制： sin(） sin cos(180 ） cos cos(）costan(180） tantan(） tan 公式五：角度制： sin(90 o)cos 弧度制： sin(2) coscos(90o)sincos(2) sin公式六：角度制： sin(90 o)cos弧度制： sin(2) coscos(90 o)sincos()sin8、周期函数：2f一般地，对于函数 f ( x) ，假如存在一个非零常数 T ，使适当 x 取定义域内的每一个值时，都有( x ＋ T ＝fx ，那么函数 f ( x 就叫做周期函数，非零常数 T 叫做这个函数的周期) ( ))9、正弦函数： y=sinx（ 1）定义域： R 值域： [-1,1]（ 2）图象：五点法绘图正弦函数 y=sinx ，x∈[0 ， 2π ] 的图象中，五个重点点是： (0,0) (,1) (,0) (3,-1) (2 ,0)22（ 3）周期性： 2kπ (k ∈Z 且 k≠ 0) 都是它的周期，最小正周期是2π（4）奇偶性：正弦函数在定义域 R 内为奇函数，图象对于原点对称（5）单一性：在［－2＋ 2kπ，2＋2kπ］( k∈ Z) 上都是增函数；3在［2＋2kπ，2＋2kπ］( k∈ Z) 上都是减函数。
(完整word)高一数学三角函数复习教案
必修4 第一章 三角函数 复习（一）一、 基本知识1、任意角：（1）正角：按逆时针旋转所形成的角 （2）负角：按顺时间旋转所形成的角（3）零角：没有旋转（始边和终边重合） 2、象限角：终边所在象限3、与角α终边相同的角：360 n n Z βα=+⋅∈o4、弧度制和角度制的转化：180 rad π=o5、弧长公式：12l R α=扇形面积公式：212S R lR α==（1）同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+= sin tan cos ααα=（2）三角函数诱导公式：公式一：角度制：sin()sin 360k αα+⋅︒= 弧度制： sin(2)sin k απα+=ααcos )360cos(=︒⋅+k cos(2)cos k απα+= ααtan )360tan(=︒⋅+k tan(2)tan k απα+=公式二：角度制：sin(180sin αα︒+=-）弧度制：sin(sin παα+=-） cos(180cos αα︒+=-） cos(cos παα+=-）ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）公式三： sin()sin αα-=- cos()cos αα-= tan()tan αα-=- 公式四：角度制：ααsin 180sin(=-︒） 弧度制：ααπsin sin(=-）cos(180cos αα︒-=-） cos(cos παα-=-） ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-） 公式五：角度制：sin(90)cos αα-=o 弧度制： sin()cos 2παα-=cos(90)sin αα-=o cos()sin 2παα-= 公式六：角度制：sin(90)cos αα+=o 弧度制： sin()cos 2παα+= cos(90)sin αα+=-o cos()sin 2παα+=-8、周期函数：9、正弦函数：y=sinx（1）定义域：R 值域：[-1,1] （2）图象：五点法画图正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (,0) (23π,-1) (2,0)（3）周期性：2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π （4）奇偶性：正弦函数在定义域R 内为奇函数，图象关于原点对称（5）单调性：在［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数；在［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数。
《三角函数复习》教学案
《三角函数》复习课教学案一、教学目标：1．进一步巩固三角函数的图象、性质和三角变换；2．应用三角函数解决实际问题； 3．渗透数形结合与转化思想．教学目标（修改）1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域；2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最 值。
3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。
体 现数学思想方法在解决三角最值问题中的作用。
二、教学过程： （一）知识点回顾：（略） （二）基础练习：1． 的值等于 ．2．下列函数 中，既是以π为周期的奇函数，又是(0,)2π上的增函数的是 ．3．若方程1cos sin 322cos +=-k x x x 有解，则k4．已知函数sin()yA x ωϕ=+（0,||A ϕπ><）的一段图象 如下图所示，则函数的解析式 ．（三）例题选讲：例1．已知113cos ,cos()7142πααββα=-=<<且0< （1）求tan 2α的值（2）求β的值例２．已知函数（1）求函数f(x)的最小正周期.（2）用五点法作出此函数在一个周期内的简图；并指出其减区间，对称轴和对称中心．（3）如何将此函数的图象变换到 的图象？tan ,cos2,sin 2,sin y x y x y x y x ====2x 3f(x)=sin2x 2y =3sin2x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦πx ∈0,2f(x)-k >000cos75cos15（4）若 时， 恒成立，求实数k 的取值范围．10090ABCD ATPS P TS BC CD PQCR 思考题：如图是一块边长为米的正方形地皮，其中是一半径为米的扇形小山，是弧上一点，其余都是平地，现一开发商想在平地上建造一个有边落在与上的长方形停车场．求长方形停车场的最大面积和最小面积．（四）巩固练习：1．若函数()f x 图象上每一个点的纵坐标保持不变，横坐标伸长到原来的两倍，然后再将整个图象沿x 轴向右平移2π个单位，向下平移3个单位，恰好得到1sin 2y x =的图象，则()f x = ．2．①存在实数α，使sin α·cos α=1；②)227cos(2)(x x f --=π是奇函数；③83π-=x 是函数)432s i n(3π-=x y 的图象的一条对称轴；④函数)c o s (s i n x y =的值域为]1c os ,0[．其中正确命题的序号是 ．3．函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f (1)a ≤，则a 的所有可能值为 ．DABPRQSCT4．已知函数a R a a x x x x f ,(2cos 62sin 62sin )(∈++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛+=ππ为常数）． （1）求函数的最小正周期； （2）求函数的单调递减区间； （3）若⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx 时，f(x)的最小值为-2，求a 的值．。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案示范三篇高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案1教材分析：高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》是一节基础性课程，课本中主要包含了三角函数诱导公式的定义、常见角度的三角函数值以及相应的推导方法等内容。
教师需要全面了解教材的内容，并对教材的组织结构、难易程度及与之相应的教学资源进行细致的分析和处理。
教学目标：通过本节课的教学，学生应该能够掌握诱导公式的基本概念、运用方法及其相关定理，能够熟练地计算一些常见角度的三角函数值，并能够对不同情况下的三角函数值进行求解。
教学重点：本节课教学的重点主要集中在诱导公式的定义及其相关定理的理解和运用上，同时也需要教师在教学过程中重点关注学生对于诱导公式的记忆和运用情况。
教学难点：本节课教学难点在于对于一些相对较为复杂的求解题目的讲解和理解，尤其是在涉及到三角函数值之间的相互替换问题时需要引导学生注重方法逻辑的分析和运用。
学情分析：本节课所涉及到的内容主要是在初中阶段所学习的三角函数知识的基础上进一步推广和延伸，对于新生来说可能需要花费一定的时间来加深对于三角函数概念的理解和记忆。
教学策略：教师可以通过引入案例以及图像的呈现等方式来促进学生对于三角函数概念以及诱导公式的理解和记忆，同时也需要关注学生在解题过程中的思维逻辑和分析方法的引导。
教学方法：本节课教学方法需要注重理论掌握和实践操作的结合，可以通过练习习题，讲解案例和互动讨论等方式来提高学生的思维能力和实际操作水平。
同时也可以通过个性化的辅导方式注重对于学生的学习经历和个体差异进行分析和处理。
高一数学《三角函数的诱导公式(第1课时)》教案2本节课的教学过程如下：一、导入环节（约5分钟）教学内容：复习三角函数的基本概念，介绍本节课的主题——三角函数的诱导公式。
教学活动：1.学生们通过手写练习纸，复习三角函数的基本公式和图像；2.老师引导学生们思考有哪些角的三角函数值已知，而另外一个角的三角函数值不易计算；3.通过引导，学生们提出了需要学习三角函数的诱导公式的需求；4.老师介绍三角函数的诱导公式的含义和作用，引发学生们兴趣。
高一数学三角函数教案
高一数学三角函数教案在一年的数学教学任务中，作为高一数学老师的你知道如何写一篇高一数学三角函数教案吗？来写一篇高一数学三角函数教案吧，它会对你的教学工作起到不菲的帮助。
下面是为大家收集有关于高一数学三角函数教案，希望你喜欢。
高一数学三角函数教案1一、教材《直线与圆的位置关系》是高中人教版必修2第四章第二节的内容，直线和圆的位置关系是本章的重点内容之一。
从知识体系上看，它既是点与圆的位置关系的延续与提高，又是学习切线的判定定理、圆与圆的位置关系的基础。
从数学思想方法层面上看它运用运动变化的观点揭示了知识的发生过程以及相关知识间的内在联系，渗透了数形结合、分类讨论、类比、化归等数学思想方法，有助于提高学生的思维品质。
二、学情学生初中已经接触过直线与圆相交、相切、相离的定义和判定;且在上节的学习过程中掌握了点的坐标、直线的方程、圆的方程以及点到直线的距离公式;掌握利用方程组的方法来求直线的交点;具有用坐标法讨论点与圆的位置关系的基础;具有一定的数形结合解题思想的基础。
三、教学目标(一)知识与技能目标能够准确用图形表示出直线与圆的三种位置关系;可以利用联立方程的方法和求点到直线的距离的方法简单判断出直线与圆的关系。
(二)过程与方法目标经历操作、观察、探索、总结直线与圆的位置关系的判断方法，从而锻炼观察、比较、概括的逻辑思维能力。
(三)情感态度价值观目标激发求知欲和学习爱好，锻炼乐观探索、发现新知识、总结规律的能力，解题时养成归纳总结的良好习惯。
四、教学重难点(一)重点用解析法讨论直线与圆的位置关系。
(二)难点体会用解析法解决问题的数学思想。
五、教学方法根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持.在教学中采纳小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用，老师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动。
三角函数复习教案_整理
三角函数复习教案_整理三角函数是高中数学中的重要内容，也是后续学习高等数学、物理等学科的基础。
为了帮助学生复习和巩固三角函数的相关知识，特别整理了以下的教案。
一、知识概述1.三角函数的定义及性质：正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数等。
2.三角函数的周期性及相关计算公式。
3.三角函数的图像与性质。
4.三角函数的运算：和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式等。
二、教学目标1.熟练掌握三角函数的定义及性质。
2.能够准确绘制三角函数的图像。
3.能够灵活运用三角函数的运算公式。
三、教学重点1.熟练掌握三角函数的图像与性质。
2.掌握三角函数的运算公式及其应用。
四、教学难点能够灵活运用三角函数的运算公式，解决实际问题。
五、教学方法1.板书法：结合图表将三角函数的定义、性质及运算公式进行清晰明了的呈现。
2.演示法：通过具体的例子和解题步骤，引导学生掌握运算的方法和技巧。
3.练习法：通过大量的练习，让学生熟练运用所学的知识和方法。
六、教学内容1.三角函数的定义及性质：（1）正弦函数的定义及性质。
（2）余弦函数的定义及性质。
（3）正切函数的定义及性质。
（4）余切函数的定义及性质。
2.三角函数的周期性及相关计算公式：（1）正弦函数的周期及其计算公式。
（2）余弦函数的周期及其计算公式。
（3）正切函数的周期及其计算公式。
3.三角函数的图像与性质：（1）正弦函数的图像及性质。
（2）余弦函数的图像及性质。
（3）正切函数的图像及性质。
4.三角函数的运算：（1）和差化积公式的推导与应用。
（2）积化和差公式的推导与应用。
（3）倍角公式的推导与应用。
（4）半角公式的推导与应用。
七、教学步骤1.引入新知识，复习前置知识。
2.讲解三角函数的定义及性质。
3.探讨三角函数的周期性及计算公式。
4.分析讨论三角函数的图像及性质。
5.结合具体例子，讲解三角函数的运算公式的推导与应用。
6.练习三角函数的计算与运用。
7.总结与复习。
八、教学辅助资料1.板书及教学用具：教师应准备白板、黑板、彩笔、粉笔等教学用具，及时记录关键公式和重点内容。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
必修4 第一章 三角函数 复习（一）一、 基本知识1、任意角：（1）正角：按逆时针旋转所形成的角 （2）负角：按顺时间旋转所形成的角（3）零角：没有旋转（始边和终边重合） 2、象限角：终边所在象限3、与角α终边相同的角：360 n n Z βα=+⋅∈4、弧度制和角度制的转化：180 rad π=5、弧长公式：12l R α=扇形面积公式：212S R lR α==2 3 1 01 （1）同角三角函数基本关系：22sin cos 1αα+= sin tan cos ααα=（2）三角函数诱导公式：公式一：角度制：sin()sin 360k αα+⋅︒= 弧度制： sin(2)sin k απα+=ααcos )360cos(=︒⋅+k cos(2)cos k απα+= ααtan )360tan(=︒⋅+k tan(2)tan k απα+=公式二：角度制：sin(180sin αα︒+=-）弧度制：sin(sin παα+=-） cos(180cos αα︒+=-） cos(cos παα+=-）ααtan 180tan(=+︒） ααπtan tan(=+）公式三： sin()sin αα-=- cos()cos αα-= tan()tan αα-=- 公式四：角度制：ααsin 180sin(=-︒） 弧度制：ααπsin sin(=-）cos(180cos αα︒-=-） cos(cos παα-=-） ααtan 180tan(-=-︒） ααπtan tan(-=-） 公式五：角度制：sin(90)cos αα-= 弧度制： sin()cos 2παα-=cos(90)sin αα-= cos()sin 2παα-= 公式六：角度制：sin(90)cos αα+= 弧度制： sin()cos 2παα+= cos(90)sin αα+=- cos()sin 2παα+=-8、周期函数：9、正弦函数：y=sinx（1）定义域：R 值域：[-1,1] （2）图象：五点法画图正弦函数y=sinx ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0,0) (2π,1) (π,0) (23π,-1) (2π,0)（3）周期性：2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π （4）奇偶性：正弦函数在定义域R 内为奇函数，图象关于原点对称（5）单调性：在［－2π＋2k π，2π＋2k π］(k ∈Z )上都是增函数；在［2π＋2k π，23π＋2k π］(k ∈Z )上都是减函数。
（6）最值：当x ＝2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最大值1当x ＝－2π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－110、余弦函数： y=cosx（1）定义域：R 值域：[-1,1] （2）图象：五点法画图x ∈[0,2π]的五个点关键是(0,1) (2π,0) (π,-1) (23π,0) (2π,1)（3）周期性：2k π(k ∈Z 且k ≠0)都是它的周期，最小正周期是2π （4）余弦函数在定义域R 内为偶函数，图象关于y 轴对称 （5）单调性：在［(2k －1)π，2k π］(k ∈Z )上都是增函数；在［2k π，(2k ＋1)π］(k ∈Z )上都是减函数.（6）最值：当x ＝2k π，k ∈Z 时，取得最大值1当x ＝－π＋2k π，k ∈Z 时，取得最小值－111.正切函数：x y tan =（1） 定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,22|ππ（2） 值域：R（3） 单调性: x y tan =在)2,2(ππππk k ++-上为增函数（4） 周期性：周期为πk ；最小正周期为π二，典型例题1. 已知f(α)=)sin()tan()tan()2cos()sin(αππαπααπαπ-----+---;（1）化简f(α);（2）若α是第三象限角，且cos 5123=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πα，求f(α)的值.2．已知tan α=2,求4sin 2α-3sin αcos α-5cos 2α.的值3. 若sinA=55,sinB=1010,且A,B 均为钝角,求A+B 的值.4. 求值：140cos 40cos 2)40cos 21(40sin 2-︒+︒︒+︒5：已知函数23cos sin 3)(2+-=x x xcox x f ϖϖϖ ),(R x R ∈∈ϖ的最小正周期为π且图象关于6π=x 对称；(1) 求f(x)的解析式；(2) 若函数y ＝1－f(x)的图象与直线y ＝a 在]2,0[π上中有一个交点，求实数a 的范围．6：函数y=Asin(ωx+ϕ)(ω＞0,|ϕ|＜2π,x ∈R )的部分图象如图，则函数表达式为( ) A. y=-4sin )48(ππ-x B. y=-4sin )48(ππ+xC. y=4sin )48(ππ-x D. y=4sin )48(ππ+x三，作业巩固1．已知0＜α＜π2＜β＜π，sin α=35，cos(α+β)=－45，则sin β等于 （ ）A ．0B ．0或2425C ． 2425D ．0或－24252． cos75°+cos15°的值等于 （ ） A ．6 2 B － 6 2 C ． － 2 2 D ． 2 23．函数y=lg(2cosx －1)的定义域为 （ ）A ．{x ｜－π3＜x ＜π3}B ．{x ｜－π6＜x ＜π6｝C ．{x ｜2k π－π3＜x ＜2k π+π3，k ∈Z}D ．{x ｜2k π－π6＜x ＜2k π+π6，k ∈Z}4.已知cos(α－β)=－45，cos(α+β)= 45，且（α－β）∈（π2，π），α+β∈（3π2，2π），求cos2α、cos2β的值．5．函数y=sin x 2+cos x2在（－2π，2π）内的递增区间是 ．例2 右图为某三角函数图像的一段（1）试用y=Asin （ωx+φ)型函数表示其解析式； （2）求这个函数关于直线x=2π对称的函数解析式．二、 解题方法1、找终边相同的角：利用360 n n Z βα=+⋅∈，通过取不同的k 值，求得相应范围内的角。
2、给出角的终边的位置求角的集合：先找[0,2]π内的角，再看转多少度就能回到所求的位置。
3、弧度制和角度制转化：（1）弧度化角度：180 rad π= 15718rad '=例如：454π=（把π看作180） 41804() rad π⨯=（2）角度化弧度：例如：60601803ππ== 4、根据三角函数定义求值：（1）已知角度，求其三角函数值：确定角的终边所在位置（在第几象限，与x 轴夹角），再以坐标原点为圆心作单位圆，设单位圆与角的终边交于(,)P x y ，则sin y α=，cos x α=，tan yxα=（2）已知一角终边上一点坐标(,)P x y ，求这个角的三角函数值：求坐标原点O 与P 点的距离r op ==sin y r α=，cos x r α=，tan yxα=5、判断三角函数值的符号：先把所给的角转化到[0,2]π的范围内，在判断这个角是第几象限角，正弦值看y ，余弦值看x ，正切值：x 和y 是否同号。
6、根据三角函数诱导公式化简、求值、证明： （1）化简：注意题目中是否给出角的范围（2）求值：先把负角化成正角，在把这个正角化成带分数的形式，也就是把这个正角写成“π的整数倍+某一个角”的形式，在利用三角函数诱导公式求解。
（注意在公式中正负号的改变）。
（3）证明：注意1的代换：22sin cos 1αα+= 7、求正、余弦函数的周期：（1）用定义求周期：在sin cos 和后+2π，整理后的形式和原式保持一致，整理后“x+”后的数就是这个函数的周期。
（2）形如sin()y A x ωϕ=+：周期为2πω8、求正、余弦函数的最值：把sin cos 和后的数看成整体，再求相应x 的值。
9、求正、余弦函数的单调区间：把sin cos 和后的数看成整体，再求相应x 的范围。
10、利用正、余弦函数的单调性比较两个三角函数值的大小：（1）正弦比较大小：把角转化到[,]22ππ-或3[,]22ππ范围内sin y x =在[,]22ππ-上为增函数，在3[,]22ππ为减函数（2）余弦比较大小：把角转化到[,0]π-或[0,]π范围内cos y x =在[,0]π-上为增函数，在[0,]π上为减函数一、 基本知识1、正切函数：x y tan =（5） 定义域：⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+≠Z k k x x ,22|ππ（6） 值域：R（7） 单调性: x y tan =在)2,2(ππππk k ++-上为增函数（8） 周期性：周期为πk ；最小正周期为π 2、三角函数图像变换：)sin(ϕω+=x A y 的图象 （1） 振幅：A; 周期：ωπ2=T ；频率：πω21==T f ；相位：ϕω+x ；初相：ϕ （2） 图象变换：)sin(sin ϕ+=→=x y x y ：纵坐标不变，横坐标向左（0>ϕ）或向右)0(<ϕ平移ϕ个单位； )sin()sin(ϕωϕ+=→+=x y x y ：纵坐标不变，横坐标伸长（10<<ω）或缩短（1>ω）到原来的ω1倍； )sin()sin(ϕωϕω+=→+=x A y x y ：横坐标不变，总坐标伸长或所到原来的A 倍。
二、 解题方法：1、求正切函数的单调区间：把“tan ”后的角看成一个整体，设为z ，再求函数的单调区间；2、利用正切函数单调性比较大小：把所给的角转化到)2,2(ππ-内； 3、求正切函数的周期；x x tan )tan(=+π在“tan ”所给角度后+π，整理所得式子，使得每一个“x +”的形式，周期就是所加的那个数； 4、图象变换：左右平移（左加右减）→横向伸缩→纵向伸缩；。