数值分析上机实验最小二乘法
最小二乘法数值分析实验报告
最小二乘法数值分析实验报告最小二乘法数值分析实验报告篇一：数值分析+最小二乘法实验报告数学与信息工程学院实课程名称：实验室：实验台号：班级：姓名：实验日期：验报告数值分析 201X年 4 月 13日篇二：数值分析上机实验最小二乘法数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二乘法三、程序M文件：sy ms x f; xx=input( 请输入插值节点 as [x1,x2...]\n ff=i nput( 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f 2...]\n m=input(请输入要求的插值次数m= n=leng th(xx); fr i=1:(m+1) syms faix; fai=x^(i-1); fr j=1:n x=xx(j);H(i,j)=eval(fai); end endA=ff*(H) *inv(H*(H) syms x; f=0; fr i=1:(m+1) f=f+A(i)*x^(i-1); end f plt(xx,ff, * ) hldnezplt(f,[xx(1),xx(n)])四、结果 sav e and run之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2-1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as[f1,f2...] [-1.76 0.42 1.21.341.432.254.38]请输入要求的插值次数m=3 f =133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359 9627370496*x^2+1020815915537309/9007199254740992*x^3五、拓展：最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 数值分析论文--曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法姓名：徐志超学号：2019730059 专业：材料工程学院：材料科学与工程学院科目：数值分析曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在物理实验中经常要观测两个有函数关系的物理量。
根据两个量的许多组观测数据来确定它们的函数曲线，这就是实验数据处理中的曲线拟合问题。
这类问题通常有两种情况：一种是两个观测量 x 与 y 之间的函数形式已知，但一些参数未知，需要确定未知参数的最佳估计值；另一种是 x 与 y 之间的函数形式还不知道，需要找出它们之间的经验公式。
后一种情况常假设 x 与 y 之间的关系是一个待定的多项式，多项式系数就是待定的未知参数，从而可采用类似于前一种情况的处理方法。
在两个观测量中，往往总有一个量精度比另一个高得多，为简单起见把精度较高的观测量看作没有误差，并把这个观测量选作x，而把所有的误差只认为是y 的误差。
设 x 和 y 的函数关系由理论公式 y＝f（x； c1， c2， cm）1 / 13（0-0-1）给出，其中 c1， c2， cm 是 m 个要通过实验确定的参数。
对于每组观测数据（xi， yi） i＝1， 2，， N。
都对应于 xy 平面上一个点。
若不存在测量误差，则这些数据点都准确落在理论曲线上。
只要选取m 组测量值代入式（0-0-1），便得到方程组yi＝f （x；c1，c2，cm）（0-0-2）式中 i＝1，2，， m.求 m 个方程的联立解即得 m 个参数的数值。
显然Nm 时，参数不能确定。
在 Nm 的情况下，式（0-0-2）成为矛盾方程组，不能直接用解方程的方法求得 m 个参数值，只能用曲线拟合的方法来处理。
4数值分析之最小二乘法
( 0 , n ) c0 ( f , 0 ) (1, n ) c1 ( f ,1 ) ( n , n ) cn ( f , n )
这个叫正则方程组或法方程组. 如果取的是正交基（正交函数系）则可保证系数矩阵是对角阵.
c dx
b a i i 1 i 0
n
b
a
f 1dx
b
c
i i 0
n
b
a
i1dx f 1dx
a
连续函数的最佳平方逼近
c
i i 0
n i i 0
n
b
a
i1dx f 1dx
a
1 1
b
c ( , ) ( f , )
a b 1 2
g
[ห้องสมุดไป่ตู้( xi ) g 2 ( xi )]1/2
i 1
m
最小二乘法
在科学实验中,得到函数y=f(x)的一组实验数 据: ( xi , yi ) (i 1,2,...m) ,求曲线y=f(x)的近似 曲线.
2
f ( x ) g ( x ) ( xi )[ f ( xi ) g ( xi )]
1 0) c0 2 / 3) 0 1 / 12 c 1 / 15 1 c0 10 / 15) c 12 / 15 1
对角阵
例题
10 12 g ( x) 1( x) 0 ( x) 15 15 10 12 ( x 1 / 2) 15 15 4 12 x 15 15
连续函数的最佳平方逼近
f(x) - g (x) = min f(x) - g(x)
数值分析上机实验报告
数值分析上机实验报告摘要：本报告是对数值分析课程上机实验的总结和分析，涵盖了多种算法和数据处理方法，通过对实验结果的分析，探究了数值计算的一般过程和计算的稳定性。
1. 引言数值计算是数学的一个重要分支，广泛应用于物理、金融、工程等领域。
本次实验是对数值分析课程知识的实际应用，通过上机实现算法，探究数值计算的可靠性和误差分析。
2. 实验方法本次实验中，我们实现了多种算法，包括：（1）牛顿迭代法求方程的根；（2）高斯消元法求线性方程组的解；（3）最小二乘法拟合数据点；（4）拉格朗日插值法估计函数值；（5）梯形公式和辛普森公式求积分近似值。
对于每个算法，我们都进行了多组数值和不同参数的实验，并记录了相关数据和误差。
在实验过程中，我们着重考虑了算法的可靠性和计算的稳定性。
3. 实验结果与分析在实验中，我们得到了大量的实验数据和误差分析，通过对数据的展示和分析，我们得到了以下结论：（1）牛顿迭代法求解非线性方程的根能够对算法的初始值和迭代次数进行适当的调整，从而达到更高的稳定性和可靠性。
（2）高斯消元法求解线性方程组的解需要注意到矩阵的奇异性和精度的影响，从而保证计算的准确性。
（3）最小二乘法拟合数据点需要考虑到拟合的函数形式和数据的误差范围，采取适当的数据预处理和拟合函数的选择能够提高计算的准确性。
（4）拉格朗日插值法估计函数值需要考虑到插值点的选择和插值函数的阶数，防止出现龙格现象和插值误差过大的情况。
（5）梯形公式和辛普森公式求积分近似值需要考虑到采样密度和拟合函数的选择，从而保证计算的稳定性和收敛速度。
4. 结论通过本次实验的分析和总结，我们得到了深入的认识和理解数值计算的一般过程和算法的稳定性和可靠性，对于以后的数值计算应用也提供了一定的指导和参考。
数值分析上机实验最小二乘法
---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------数值分析上机实验最小二乘法数值分析实验报告五最小二乘法一、数值分析实验报告五最小二乘法一、题目设有如下数据题目设有如下数据 xj -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 ( )jf x -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二t(f,[xx(1),xx(n)]) 四、结果 save and run 之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359结果 save and run 之后：请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/4503599 627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x9627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x五、拓展：1 / 2最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
工程数值分析实验龙格库塔,最小二乘法
工程数值分析实验报告指导老师班级 学号 姓名实验一：最小二乘法拟合曲线实验一、实验名称：最小二乘法拟合曲线实验实验时间： 2015-5-14 实验地点： 主楼机房 实验器材： 计算机matlab二、实验目的：学会用最小二乘法求拟合数据的多项式，并应用算法于实际问题。
三、实验要求：（1）根据最小二乘法和加权最小二乘法的基本理论，编写程序构造拟合曲线的法方程，要求可以方便的调整拟合多项式的次数；（2）采用列主元法解（1）中构造的法方程，给出所拟合的多项式表达式； （3）编写程序计算所拟合多项式的均方误差，并作出离散函数 和拟合函数的图形； （4） 用MATLAB 的内部函数polyfit 求解上面最小二乘法曲线拟合多项式的系数及平方误差，并用MATLAB 的内部函数plot 作出其图形，并与（1）的结果进行比较。
四、算法描述（实验原理与基础理论）基本原理：从整体上考虑近似函数 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)( (i=0,1,…,m) i i i y x p r -=)( (i=0,1,…,m)绝对值的最大值imi r ≤≤0max ，即误差 向量Tm r r r r ),,(10 = 的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir2的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir2来 度量误差 i r (i=0，1，…，m)的五、实验内容：共有两组给定数据，把给定的数据拟合成多项式。
第一组给定数据点如表1所示如下：表1 数据表表2 数据表六、程序流程图七、实验结果ans =27-May-2015ans =7.3611e+05ans =1.0e+03 *2.0150 0.0050 0.0270 0.0140 0.0010 0.0213 >>八、实验结果分析实验程序 quxiannihe.m clear alldate,now,clockx0=[0.0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0]; y0=[1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00]; w=ones(size(x0)); x=0:0.01:1; %进行五次曲线拟合 N=5;for i=1:Na1=LSF(x0,y0,w,i) ; y=polyval(a1,x); figure(i)plot(x0,y0,'ok',x,y,'r') title('最小二乘法'); legend('y0','y'); xlabel('x'); ylabel('y'); end实验二：4阶经典龙格库塔法解常微分方程一、实验名称： 4阶经典龙格库塔法解常微分方程实验时间： 2015-5-14 实验地点： 主楼机房 实验器材： 计算机matlab二、实验目的：学习掌握4阶经典R-K 方法，体会参数和步长对问题的影响。
数值分析+最小二乘法实验报告
数学与信息工程学院
实验报告
课程名称：数值分析
实验室：
实验台号：
班级：
姓名：
实验日期：2012 年 4 月13 日
实验名称最小二乘法求多项式拟合
实验目的和要求（1）了解最小二乘法求多项式拟合原理和方法；
（2）通过实例掌握用MATLAB求拟合函数及拟合图像；（3）编程实现用最小二乘法求多项式拟合。
实验内容和步骤：
实验内容：
根据matlab编写算法，用最小二乘法求多项式拟合。
实验步骤：
（1）开启软件平台——MATLAB，编程；
在command window 编写程序，求出拟合函数
x=[-2,-1,0,1,2];
y=[-0.1,0.1,0.4,0.9,1.6];
>> p=polyfit(x,y,3);
>> pa=poly2str(p,'x')
pa =
0.0083333 x^3 + 0.085714 x^2 + 0.39167 x + 0.40857（2）根据数值解法步骤编写M文件；
x=[-2 -1 0 1 2];
y=[-0.1 0.1 0.4 0.9 1.6];
p1=polyfit(x,y,3)
x1=-3:0.01:3;
y1=polyval(p1,x1);
plot(x,y,'b^',x1,y1,'r-')
（3）观察运行结果。
实验数据记录：
实验结果分析：
1.画图中点与函数要用不同的表现法，否则图片就是五点的连接。
2.3次拟合比2次拟合更准确。
3.在写M文件时，注意数据点乘的运用。
成绩评定
签字：年月日。
数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告
数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告数值分析曲线拟合的最小二乘法实验报告篇一：数值分析设计曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法一、目的和意义在科学实验的统计方法研究中，往往要从一组实验数据?xi,yi??i?0,1,2,?,m?中，寻找自变量x与因变量y之间的函数关系y?F?x?。
由于观测数据往往不准确，因此不要求y?F?x?经过所有点?xi,yi?，而只要求在给定点xi上误差而只要求所在所有给定点xi上的误差?i?F(xi)?yi ?i?0,1,2,?,m?按某种标准最小。
若记????0,?1,?2,?,?m?，就是要求向量?的范数如果用最大范数，计算上困难较大，通常采用欧式范数?最小。
2T 作为误差度量的标准。
F?x?的函数类型往往与实验的物理背景以及数据的实际分布有关，它一般含有某些待定参数。
如果F?x?是所有待定参数的线性函数，那么相应的问题称为线性最小二乘问题，否则称为非线性最小二乘问题。
最小二乘法还是实验数据参数估计的重要工具。
这是因为这种方法比其他方法更容易理解，即使在其他方法失效的情况下，用最小二乘法还能提供解答，而且从统计学的观点分析，用该方法求得各项估计具有最优统计特征，因此这一方法也是系统识别的重要基础。
线性最小二乘问题可以借助多元微分学知识通过求解法方程组得到解答。
用最小二乘法求拟合曲线时，首先要确定S?x?的形式。
这不单纯是数学问题，还与所研究问题的运动规律以及所得观测数据?xi,yi?有关；通常要从问题的运动规律以及给定数据描图，确定S?x?的形式，并通过实际计算选出较好的结果。
为了使问题的提法更有一般性，通常把最小二乘法中的? 22 都考虑为加权平方和22 ? ????xi???S?xi??f?xi??? i?0 m 2 这里??xi??0是?a,b?上的加权函数，它表示不同点?xi,f?xi?处的数据比重不同。
?二、计算方法在某冶炼过程中，根据统计数据的含碳量与时间关系，试求含碳量y与时间t的拟合曲线。
数值分析中的最小二乘法与曲线拟合
数值分析中的最小二乘法与曲线拟合数值分析是现代理论与实践密切结合的一门交叉学科，其中最小二乘法和曲线拟合是其中两个非常重要的概念。
最小二乘法是一种数学运算方法，用于求解一组方程组的未知参数，使得每个方程的误差平方和最小。
在实际应用中，最小二乘法广泛应用于数据拟合、信号处理、回归分析等领域。
在数据拟合中，最小二乘法是一种常见的方法，它可以用于拟合曲线和函数。
它通过延伸曲线以获得局部数据之间的交点，并通过在它们上进行平均化的方法来尝试匹配数据。
最小二乘法的概念为我们提供了一个理论基础，以便在一定程度上预测新的数据中对象的行为或趋势。
但是，即使在相对简单的问题中，最小二乘法可能并不是最佳选择。
曲线拟合是对一系列数据进行插值的过程，以便获得与原始数据点更准确相匹配的曲线或函数。
曲线拟合可以通过在相邻数据点之间进行插值来完成。
在曲线拟合中，只有在数据有很好的统计关系或在相邻数据点
有很好的相关性时，才会产生准确的结果。
否则，结果可能并不
准确，因为这些结果取决于数据点的数量和分布。
需要注意的是，曲线拟合和最小二乘法并不是一个可以代替另
一个的工具。
它们的适用范围不同。
曲线拟合适用于对离散数据
点进行联合分析，而最小二乘法适用于求解连续数据的线性模型。
总之，数值分析中的最小二乘法和曲线拟合是非常实用的概念，可以应用于各种领域。
它们作为现代数据分析的主要工具之一，
不断吸引着越来越多的学者和工程师投入到其中，将继续发挥重
要作用。
数值分析之最小二乘法与最佳一致逼近
就要求矩阵 G非奇异，
而 0 ( x), 1 ( x), , n ( x)在 [a, b]上线性无关不能推出 矩阵 G非奇异，必须加上另外的条件.
8
定义10
设 0 ( x), 1 ( x), , n ( x) [a, b]的任意线
性组合在点集 {xi , i 0,1,, m}(m n) 上至多只有 n 个
只在一组离散点集 {xi , i 0,1,, m} 上给定，这就是科
学实验中经常见到的实验数据 {( xi , yi ), i 0,1,, m}的
曲线拟合.
1
问题为利用 yi f ( xi ), i 0,1,, m, 求出一个函数
y S * ( x) 与所给数据{( xi , yi ), i 0,1,, m} 拟合.
13
令 S1 ( x) a0 a1 x, 这里 m 4, n 1, 0 ( x) 1, 1 ( x) x, 故
( 0 , 0 ) i 8,
i 0 4
( 0 , 1 ) (1 , 0 ) i xi 22,
i 0
4
(1 , 1 ) i xi2 74,
这样就变成了线性模型 .
19
例2
设数据 ( xi , yi )(i 0,1,2,3,4) 由表3-1给出，
表中第4行为 ln yi yi ,通过描点可以看出数学模型为 及 b. y aebx , 用最小二乘法确定 a
表3 1 i xi yi 0 1.00 5.10 1 1.25 5.79 2 1.50 6.53 3 1.75 7.45 4 2.00 8.46
4
S ( x ) 的一般表达式为线性形式.
若 k ( x)是 k 次多项式，S ( x ) 就是 n 次多项式. 为了使问题的提法更有一般性，通常在最小二乘法中 S ( x) a00 ( x) a11 ( x) ann ( x) (n m) 考虑加权平方和
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数值分析上机实验最小二乘法
数值分析实验报告五最小二乘法一、数值分析实验报告五最
小二乘法一、题目设有如下数据题目设有如下数据 xj -3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3 ( )jf x -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 -1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38 用三次多项式拟
合这组数据，并绘出图形。
二、用三次多项式拟合这组数据，并绘出图形。
二、方法最小二t(f,[xx(1),xx(n)]) 四、结果 save and run 之后：
请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插
值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/450359
结果 save and run 之后：
请输入插值节点 as [x1,x2...] [-3 -2 -1 0 1 2 3] 请输入插
值节点处对应的函数值 as [f1,f2...] [-1.76 0.42 1.2 1.34 1.43 2.25 4.38] 请输入要求的插值次数m =3 f = 133/100+121469856021/35184372088832*x-8042142191733/4503599 627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x
9627370496*x+1020815915537309/9007199254740992*x五、拓展：
1 / 2
最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。
五、拓展：
最小二乘法计算方法比较简单，是实际中常用的一种方法，但是必须经计算机来实现，如果要保证精度则需要对大量数据进行拟合，计算量很大。