不定积分分部积分公式
不定积分分部积分法
解： e x sin xdx sin xdex e x sin x e xd sin x
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xdex
e x sin x e x cos x e xd cos x
e x sin x e x cos x e x sin xdx
例4、求 arccos xdx
解：原式 x arccos x xd arccos x
x x
arccos arccos
x x
1 2
x dx
1 x2 (1 x2
)
1 2
d
(1
x2)
x arccos x 1 x2 C
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分部积分公式： udv uv vdu
例5、求 e x sin xdx
第四章 不定积分
分部积分法
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x (t )
1、第二换元公式： f ( x)dx f [ (t )](t )dt t1( x)
注：一般当被积函数含根号又不能用凑微分法求出其
积分时，考虑用第二换元公式去根号, 把无理化为有理. 2、去根号的方法： (1)被积函数含 a2 x2， 令x a sin t.
例1、求 x cos xdx
解：设令u x，v cos x. 则u 1, v sin x
故 x cos xdx x sin x sin xdx x sin x cos x C
若设u
故x
cos x，
cos xdx
v x.
x2 2
cos
则u sin x，v
x
x2 2
(
sin
x
)dx
x2 2
.
3.2.4_不定积分的分部积分法
1 sin x 1 dx dx d (cos x ) 证： I n n n 1 n 1 sin x sin x sin x
cos x 1 n1 cos xd ( n1 ) sin x sin x
cos x cos 2 x n1 ( n 1) dx n 2 sin x sin x cos x 1 1 n1 ( n 1) dx ( n 1) dx n 2 n sin x sin x sin x
即
udv uv vdu 。
分部积分法是乘积微分公式的逆运算。
分部积分法常用于被积函数是两种不同类型函数乘积的积分，
如 x n a x dx , x n sin xdx , x n arctan xdx , e x cos xdx 等。
2
3.2.4 不定积分的分部积分法
1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) dx x x cos(ln x ) sin(ln x )dx
x cos(ln x ) x sin(ln x ) xd [sin(ln x )] 1 x cos(ln x ) x sin(ln x ) x cos(ln x ) dx x x cos(ln x ) x sin(ln x ) cos(ln x )dx
（5） arcsin xdx
4
3.2.4 不定积分的分部积分法
（1） x sin xdx 。
2
分部积分的步骤：
解： x 2 sin xdx x 2 d (cos x ) ——凑微分，选 u, v ；
[ x 2 cos x cos xd ( x 2 )] ——代分部积分公式；
不定积分部分积分法
不定积分部分积分法
不定积分的部分积分法，也叫做“分部积分法”，是求解不定积分中的一种常用方法。
其基本思想是将一个复杂的函数的不定积分转化为两个简单函数之间的关系，从而简化积分运算。
部分积分法的公式表达如下：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx
其中，u(x)和v(x)分别是函数u和v的原函数，u'(x)和v'(x)分别是函数u和v的导数。
具体操作步骤如下：
1.选取u(x)和v'(x)，其中u(x)为被积函数的一部分，并且它的导函数u'(x)容易求得；v'(x)为另一部分，并且它的原函数v(x)容易求得。
2.计算u'(x)和v(x)。
3.应用部分积分公式，将被积函数分解为两个简单函数数乘及求导的形式。
4.求解新的积分，可能需要再次应用部分积分法或其他积分技巧。
5.最终得到原方程的不定积分。
需要注意的是，部分积分法只适用于能找到合适的u(x)和v(x)
的情况，如果无法找到合适的u(x)和v(x)，则无法应用此方法。
此外，部分积分法还可以用于计算定积分，只需在公式两边同时加上积分上下限，即可得到定积分的部分积分公式。
22 不定积分的分部积分法
分部积分过程： uv′dx = udv = uv − vdu = uv − vu′ dx = L ∫ ∫ ∫ ∫
x2exdx. 例2 求 ∫
解
x2exdx = ∫ x2dex ∫
降
x
= x e − ∫ e dx = x e − 2∫ xe dx
2 x x 2
2 x
幂 降 幂
x
= x e − 2∫ xde = x e − 2(xe − ∫ e dx)
∴
∫ xf ′(x)dx = xf (x) − ∫ f (x)dx
2 −x2 −x2
= −2x e −e
20
+C
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思考题2 求积分 ∫ sin(ln x)dx. 解
∫sin(ln x)dx = xsin(ln x) − ∫ xd[sin(ln x)]
1 = xsin(ln x) − ∫ x cos(ln x) ⋅ dx x
1 1+ x ⋅ dx 2 1+ x 1 dx 2 1+ x
∫ xln xdx
1 2 xdx = dx 2
1 ln xdx2 xdx = ∫ 2
= 1 x2 ln x − 1 ∫ x2⋅ 1 dx x 2 2 x
= 1 x2 ln x− 1 ∫ xdx 2 2 xdx = 1 x2 ln x− 1 x2 +C . 2 4
7
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分部积分过程： uv′dx = udv = uv − vdu = uv − vu′ dx = L ∫ ∫ ∫ ∫ 例4
9
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不定积分的分部积分法.
udv uv vdu
凑微口诀：指三幂对反
学法建议：
1、熟记常用的凑微分形式。
2、善于观察，选择适当的积分方法。 3、加强合作精神。 4、验算。
f xdx f x
作业：
课后练习3：（1）---（8）
x = t, 则 x = t 2 ,
d x 2t d t ,
x t t e d x 2 te d t 2 t d( e )
2(tet et d t )
2(tet et ) C
2e x ( x 1) C.
天然气的产量
海上石油钻井平台
• 工程师们发现，一个新开发的天然气井t月 的总产量P（单位： 106 m3）的变化率为
2
三、使用分部积分法应注意
（1）常用于被积函数为两个不同类型函数的 乘积形式，以及特 殊 的单个函数形式。
(如 x sin xdx , e arctan xdx , ln xdx 等)
x
0
x
ln xdx
(2)要正确地选择u与dv。 凑微口诀：指三幂对反
cos x d x. xd v
2 2 x ln xdx ln x x dx
dv
（3）分部积分法可以连续使用．连续使用分部 积分法时，每一次选u的函数一般说必须是同类函 数，否则作两次分部积分后会出现恒等式． （4）求一个不定积分，需要将换元积分法和分 部积分法结合起来使用。
x e 例3求积分 d x.
解： 设
依题意，当 t 0
P 0.
代入上式，得
C 212.25.
不定积分的分部积分法公式
不定积分的分部积分法公式“不定积分的分部积分法公式”是一个复杂的数学概念，它用于计算一类曲线函数的定积分的近似值。
不定积分的分部积分法公式也被称为埃尔米特积分公式，是一种广泛应用的积分技术，为计算复杂曲线函数提供了有效的数值计算方法。
首先，我们需要了解什么是不定积分。
不定积分是一类特殊的函数，它可以用来计算曲线的面积，可以表达为：∫ f (x) dx=F (b)-F (a)其中，F (x)表示与x有关的积分函数，a和b分别表示曲线的两个端点。
不定积分不能精确计算，但可以采用分部积分公式来估计积分值。
埃尔米特积分公式是常用的一种不定积分的分部积分法。
它是由数学家埃尔米特博克曼于1851年发明的，埃尔米特积分公式可以用来计算以下积分：∫a^b f(x)dx (f (x_i)Δx)其中，Δx表示曲线上每个分段的x方向距离，f (x_i)表示每个分段上x坐标位置处的函数值，Σ表示求和符号；a和b分别表示曲线的两个端点。
有了不定积分的分部积分公式，我们就可以简单地计算出复杂曲线的积分值了。
我们可以假设曲线在每一部分上都呈线性变化，也就是说，f (x)的图像可以被拆分成N个等距的直线段，称为分段线，然后再分别求每一段的积分，将它们相加就得到了曲线的积分值了。
也就是说，我们可以利用这样的公式来求解曲线函数：∫a^b f (x) dx (f (x_i)Δx)用上面的公式，我们可以对曲线函数进行拆分，将曲线分段，然后求出每个分段的积分值，最后将所有分段的积分值相加得到整个曲线的积分值，也就是不定积分的结果了。
埃尔米特积分公式是研究和应用积分技术最重要且最常用的方法之一，它可以用来计算复杂曲线函数的定积分。
埃尔米特积分公式是一种有效的、快速的计算手段，在一定程度上可以减少函数积分计算的误差，帮助我们准确地计算函数的积分值。
埃尔米特积分公式在工程计算中也有重要应用，它可以用来计算各种复杂函数的积分，例如建筑工程中混凝土结构的受力计算、软件设计中的面向对象编程等。
不定积分的分部积分法
x x e sin x d x sin x d e
e x sin x - e x d(sin x)
x x e sin x cos x d e e sin x - e cos xdx x x
e x sin x - (e x cos x - e x d cos x )
这两个公式称为分部积分公式.
•分部积分过程
,
uv vdx dx udv uv- vdu uv d uv uv u vdx vdx .. uv vu x udv u vdu u
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - vu dx = 例1 求 x cos xdx. 解
例5 (3) 求 arccos xdx x arccos x - xd arccos x
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
1 1 1 2 2 2 1 例3 求 x ln xdx ln xdx x ln x - x dx 例4 2 2 2 x 1 ln xdx 2 1 x 2 ln x - 1 x 2 1 dx x ln xdx 例 4 解：原式 = 2 2 2 x
内容小结
1、分部积分公式：
u v dx u dv u v - v du
2 、分部积分： uvdx uv - vudx中u, v的确定原则：
“反对幂指三” , 前 u 后
1 x 2 arctan x - 1 x 1 arctan x C . 2 2 2
分部积分过程： u vdx u dv uv - v du = uv - uv dx =
常用的24个不定积分公式及证明
常用的24个不定积分公式及证明一、基本积分公式。
1. ∫ kdx = kx + C（k为常数）- 证明：根据求导公式(kx + C)'=k，所以∫ kdx = kx + C。
2. ∫ x^n dx=frac{x^n + 1}{n+1}+C(n≠ - 1)- 证明：对frac{x^n + 1}{n+1}+C求导，根据求导公式(x^m)'=mx^m - 1，可得(frac{x^n+1}{n + 1}+C)'=frac{(n + 1)x^n+1-1}{n+1}=x^n，所以∫ x^n dx=frac{x^n +1}{n+1}+C(n≠ - 1)。
3. ∫(1)/(x)dx=lnx+C- 证明：当x>0时，(ln x)'=(1)/(x)；当x < 0时，[ln(-x)]'=(1)/(-x)×(-1)=(1)/(x)。
所以∫(1)/(x)dx=lnx+C。
4. ∫ e^x dx=e^x+C- 证明：因为(e^x)' = e^x，所以∫ e^x dx=e^x+C。
5. ∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)- 证明：设y = a^x，则ln y=xln a，y = e^xln a。
对y=(a^x)/(ln a)+C求导，((a^x)/(ln a)+C)'=(1)/(ln a)× a^xln a=a^x，所以∫ a^x dx=(a^x)/(ln a)+C(a>0,a≠1)。
6. ∫sin xdx=-cos x + C- 证明：因为(-cos x)'=sin x，所以∫sin xdx =-cos x+C。
7. ∫cos xdx=sin x + C- 证明：因为(sin x)'=cos x，所以∫cos xdx=sin x + C。
8. ∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C- 证明：因为(tan x)'=sec^2x=(1)/(cos^2)x，所以∫(1)/(cos^2)xdx=tan x + C。
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x2e x 2( xex e xdx)
x2e x 2( xe x e x ) C.
例4 求积分 x ln xdx.
解
ln
xd
x2 2
1 x2 2
ln
x
x2 2
d (ln
x)
1 2
x 2 ln
练习1 求 xsinxdx.
解 令u x，dv sin xdx，则du dx，v cos x，则
xsinxdx x cos x ( cos x) dx x cos x cos x dx
xcos x sin x C.
练习2 求 x4lnxdx.
解
x4
ln
xdx
lnxd(
e x sin x (e x cos x e xd cos x)
e x (sin x cos x) e x sin xdx
e x sin xdx
e x (sin x cos x) C . 2
复原法在求不定积分时有着广泛的应用。
例7 求 cos xdx.
解 令 x t，则x t 2，dx 2tdt，有
如果令 u cos x, xdx 1 dx2 dv
2
x cos
xdx
x2 2
cos
x
x2 2
sin
xdx
显然，u, v 选择不当，积分更难进行.
由此可见，如果u和v选取不当，就求不出结果， 所以应用分部积分法时，恰当选取u和v是一个关键。 选取u和v一般要考虑下面两点：
（1）v要容易求得；
（2） vdu要比 udv容易积出。
2
x2 2
1
1 x
2
dx
x2 2
arctan
x
1
1
x2
1
(1
)dx arctan x ( x arctan x) C.
2
1 x2
2
2
若被积函数是幂函数和反三角函数的乘 积，就考虑设反三角函数为u.
即一般情况下，u与dv按以下规律选择
1.形如 xn sin kxdx， xn cos kxdx， xnekxdx 的不定积分，
cos xdx 2t cos tdt
2t sin t 2 sin tdt
2t sin t 2cost C
2 xsin x 2cos x C .
在计算积分时,有时需要同时使用换元积 分法与分部积分法.
练习5：求 e x dx
解： 令 x t, x t2 , dx 2tdt
x
x2 2
1 dx x
1 2
x2 ln
x
1 4
x2
C
若被积函数是幂函数和对数函数的乘
积，就考虑设对数函数为 u.
例5 求积分 x arctan xdx.
解 令 u arctan x , xdx d x2 dv
x arctan
xdx
x2 2
arctan
x
2 x
2
2
d
(arctan
x)
x2 arctan x
令u xn , 余下的为dv.
2.形如 xn ln xdx, xn arctan xdx, xn arcsin xdx的不
定积分，令dv xndx, 余下的为u.
3.形如 eax sin bxdx, eax cos bxdx的不定积分，可以
任意选择u和dv，但应注意,因为要使用两次分 部积分公式，两次选择u和dv应保持一致.
xexdx xdex xex e xdx xex e x C
若被积函数是幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为 u , 使其降幂一次(假定 幂指数是正整数)
例3 求积分 x2e xdx.
解 u x2 , e xdx de x dv, v ex
x2e xdx x2e x e xdx2 x2e x 2 xe xdx
ex cos x sin xd(ex) ex cos x exsin x ex cos xdx
这样便出现了循环公式
ex cos xdx ex cos x exsin x－ ex cos xdx,
移项得 2 ex cos xdx ex cos x exsin x C1,
ex
cos
xdx
原式 2 tetdt 2 tdet 2tet 2 etdt
2tet 2et C 2et (t 1) C
回代
一般地，若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 的乘积, 就考虑设幂函数为 u , 使其降幂一次(假定 幂指数是正整数)
例2 求积分 xexdx.
解 设u x, e xdx de x dv, v e x ,
xexdx xex e xdx xex e x C
熟练以后，可将以上求解过程表述为
复习回顾：基本积分公式，已介 绍两种基本积分方法：直接积分 法、换元积分法
问题： 考虑积分 x cos xdx ?
介绍另一种基本积分方法：分部积分法
一、分部积分法
由函数乘积的微分公式 d(uv)vd(u)ud(v)，
移项得 ud(v) d(uv) vd(u)， 对上式两端同时积分，得
udv uv vdu
ex
2
(cos
x
sin
x)
C
(C C1). 2
类似地，有
exsinxdx
ex
2
(sin
x
cos
x)
C
练习4 求积分 e x sin xdx.
解 e x sin xdx sin xde x e x sin x e xd(sin x)
e x sin x e x cos xdx e x sin x cos xde x
(1)
或
uv' dx uv u' vdx
(2)
公式(1)或公式(2)称为分部积分公式 .
例1 求积分 x cos xdx . 解 cos xdx d sin x dv 令 u x, v sin x
x cos xdx xd sin x x sin x sin xdx
x sin x cos x C.
x5)
5
x5 lnx
5
1
5
x4 dx
x5 lnx x5 C.
5 25
练习3 求 lnxdx.
解 ln xdx xln x xd(lnx)
xlnx dx
xlnx x C.
例6 求 ex cosxdx.
解 ex cos xdx cosxd(ex) ex cos x ex (-sinx)dx