材料力学扭曲
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材料的力学性能---扭转、弯曲、压缩
弯曲试验方法 弯曲试验时，将圆柱形或矩形试样放置 在一定跨距L的支座上，进行三点弯曲或四 点弯曲加载。
对高塑性材料，弯曲试 验不能使试件发生断裂，其 曲线的最后部分可延伸很长， 图(a)。因此，弯曲试验难以 测得塑性材料的强度，而且 试验结果的分析也很复杂， 故塑性材料的力学性能由拉 伸试验测定，而不采用弯曲 试验测定。
通过扭转试验测定的扭转图以及表面的切应力和切 应变，可得到材料的下列主要力学性能指标。 1. 切变模量G 在弹性范围内，切应力与切应变之比称为切变 模量。对实心圆杆试样有 G= /=32TL0/(d04) 2. 扭转比例权限p和扭转屈服强度s 具有明显物理屈服现象的材料 如低碳钢)，在 确定Tp的方法：在T-φ图上某一点对T( 轴的正切 比直线的正切值大50%时的扭矩。因此，这种 扭转试验时也同样呈现屈服现象。在扭转试验 极限实质上是一种规定条件的比例极限。 机扭矩度盘上读出相应的扭矩T，计算出扭转比 例极限p和扭转屈服强度s，即 p=Tp/W， s=Ts/W
max= Mmax/W
式中：对于三点弯曲试验 Mmax=PL/4 对于四点弯曲试验 Mmax=PK/2 有
一般对脆性材料只测定断裂是的抗弯强度bb,
bb=Mb/W
2.弯曲模量Eb 对矩形试样，弯曲模量 Eb=mL3/4bh 式中m为弯曲图上P-f直线 段的斜率，L为试样的跨距。
弯曲试验的应用
对于脆性材料，弯曲图(c)比拉伸试验的几何 外形简单，所以适用于测定加工不方便的脆性材 料， 如铸铁、工具钢、硬质合金乃至陶瓷材料的 断裂强度和塑性。 通过弯曲试验．可测定脆性或低塑性材料的 以下几种主要力学性能。
材料弯曲的力学性能指标
1.抗弯强度bb 按弹性弯曲公式计算的试样弯曲至断裂前达 到的最大弯曲应力，称为抗弯强度。 弯曲试样拉伸侧表面的最大正应力
材料力学金属扭转实验报告[5篇范例]
![材料力学金属扭转实验报告[5篇范例]](https://img.taocdn.com/s3/m/c85686fa0408763231126edb6f1aff00bfd57047.png)
材料力学金属扭转实验报告[5篇范例]第一篇：材料力学金属扭转实验报告材料力学金属扭转实验报告【实验目的】1、验证扭转变形公式，测定低碳钢的切变模量G。
；测定低碳钢和铸铁的剪切强度极限bτ握典型塑性材料（低碳钢）和脆性材料（铸铁）的扭转性能；2、绘制扭矩一扭角图；3、观察和分析上述两种材料在扭转过程中的各种力学现象，并比较它们性质的差异；4、了解扭转材料试验机的构造和工作原理，掌握其使用方法。
【实验仪器】仪器名称数量参数游标卡尺1 0-150mm，精度CTT502 微机控制电液伺服扭转试验机 1 最大扭矩500N·m，最大功率低碳钢、铸铁各 1 标准【实验原理和方法】1..测定低碳钢扭转时的强度性能指标试样在外力偶矩的作用下，其上任意一点处于纯剪切应力状态。
随着外力偶矩的增加，当达到某一值时，测矩盘上的指针会出现停顿，这时指针所指示的外力偶矩的数值即为屈服力偶矩esM，低碳钢的扭转屈服应力为 pess43WM=τ式中：/3pd W π=为试样在标距内的抗扭截面系数。
在测出屈服扭矩sT 后，改用电动快速加载，直到试样被扭断为止。
这时测矩盘上的从动指针所指示的外力偶矩数值即为最大力偶矩ebM，低碳钢的抗扭强度为 pebb43WM=τ对上述两公式的来源说明如下：低碳钢试样在扭转变形过程中，利用扭转试验机上的自动绘图装置绘出的ϕ-eM 图如图1-3-2 所示。
当达到图中 A 点时，eM 与ϕ成正比的关系开始破坏，这时，试样表面处的切应力达到了材料的扭转屈服应力sτ，如能测得此时相应的外力偶矩epM，如图1-3-3a 所示，则扭转屈服应力为 pepsWM=τ经过A 点后，横截面上出现了一个环状的塑性区，如图1-3-3b 所示。
若材料的塑性很好，且当塑性区扩展到接近中心时，横截面周边上各点的切应力仍未超过扭转屈服应力，此时的切应力分布可简化成图 1-7c 所示的情况，对应的扭矩sT 为 OϕM eABCM epM esM eb 图 1-3-2低碳钢的扭转图τ sTτ sTτ sT（a）pT T =（b）s pT T T <<（c）sT T =图 1-3-3低碳钢圆柱形试样扭转时横截面上的切应力分布s p s3d/22sd/2s s3412d 2 d 2 ττπρρπτρπρρτ WdT ====⎰⎰由于es sM T =，因此，由上式可以得到 pess43WM=τ无论从测矩盘上指针前进的情况，还是从自动绘图装置所绘出的曲线来看，A 点的位置不易精确判定，而B 点的位置则较为明显。
材料力学课件-扭转弯曲
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§6.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
§3.3 圆轴扭转时的应力和强度计算
[例]已知：如图，P，a，l。
求：距A端x处截面上内力。 解：①求外力
A
X 0, XA 0 Pa mA 0 , RB l P(l a) Y 0 , YA l
XA A
YA
P
B
RB
§4.2 梁的剪力与弯矩、剪力图与弯矩图
②求内力——截面法
Y 0 , Q YA
Fs
无变化FsxFra bibliotekFs<0 M
x
x
x
Fs1 C
Fs>0
斜直线
M x x
增函数 降函数 自左向右折角 自左向右突变 曲线
M M x M x
Fs2 Fs1–Fs2=P
x
C
x
增函数 降函数
折向与P反向
与 m 同
M
M1 x
M2 M 2 M1 m
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图 杆受垂直于轴线的外力或外力偶矩的作 用时,其轴线变成了曲线，这种变形称为 弯曲。以弯曲变形为主的构件通常称为梁。
受力特点：外力垂直于杆轴线,力偶作
用于轴线所在平面内。 变形特点：杆轴线由直变弯。
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
§4.1 平面弯曲的概念及梁的计算简图
材料力学课件：扭转
B
D
C
12 3
A P
Page4
§3-6 热应力与预应力
扭转
§4-1 引言 §4-2 圆轴扭转应力
Page5
§3-6 热应力与预应力
lT=ll T
B
C
A A’
变形不受限制(静定结构)，杆内未引起应力
Page6
B lT=ll T
CB
C
A’
A
A
变形受到限制(静不定结构)，杆内引起应力
热应力：因温度的变化在杆件内部引起的应力 预应力：由于实际尺寸的误差在杆件内部引起的应力
各
截面的扭矩。
Page20
扭矩图：外扭力矩随杆轴线变化的情况。
M 3ml
m
x
A
B
C
D
l
l/2 l/2
T1 ( x)
x
T ml
x
2ml
例：(m：单位长度的扭力偶矩)
AB段： T1 x mx
BC段： T2 ml CD段： T3 2ml
Page21
思考：
M
M’
M’
M
(1)
M’
(2)
M’
(3)
FN3
FN1
FN2
Page9
3
1
2
3
1
2
协调方程:
l3+ l1/cos()=
l3
FN3
FN1
FN2
Page10
➢ 装配应力在工程结构中的应用
1 23
P
在准确加工、装配的情况下，2杆 的应力最大。
如果能使3根杆同时达到许用应力， 将对结构更有利。
FN1 [1 ]A FN 2 [ 2 ]A FN 3 [ 3 ]A
材料力学第3章扭转部分课件详解
Me
Me
扭转(Torsion)
§3-2 扭转的内力的计算
(Calculating internal force of torsion)
一、外力偶矩的计算 (Calculation of external moment)
已知:轴转速－n 转/分钟；输出功率－P 千瓦，计算：力偶矩Me
电机每秒输入功：W P1000(N.m)
E
O1 ρ
a
的一个角度.
ρ
b
D
G
T
d
D' G' O2
b
dx
经过半径 O2D 上任一点G的纵向线EG 也倾斜了一个角度
r ,也就是横截面半径上任一点E处的切应变
r
tan r
GG' EG
rd
dx
扭转(Torsion)
二、物理关系(Physical Relationship)
由剪切胡克定律
G
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
A
D
扭转(Torsion)
Me2
Me3
Me1
n
Me4
B
C
解: 计算外力偶矩
A
D
Me
9
549
p kw
n r / min
Me1 15915 N m
Me2 Me3 4774.5 N m
Me4 6366 N m
扭转(Torsion)
计算 CA 段内任横一截面 2-2
dy
τ
τx
大小相等,方向相反,将组成 一个力偶. z
dx
其矩为( dy dz) dx
扭转(Torsion)
材料力学-扭转变形
③绘制扭矩图
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
m2 T1
T3 m4
m2
m3 T2
T（kN.m）
–
4.78
– 9.56
6.37
x
12
§4—3 圆轴扭转时的应力、强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题） 几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。 一）、几何关系： 1、实验：
外力偶矩： m 9549 P (N m) n
2、已知：功率 P马力(Ps)，转速 n转／分(r／min；rpm)。
外力偶矩： m 7024 P (N m) n
8
二、内力：T（扭矩）
1、内力的大小：（截面法） m
m
mx 0 T m 0
T m
x
T
2、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
2
2
3d
1
32
(D4
d
4)
1 D4 (1 4 )
d
32
Wp
IP
D
1 D3(1 4 )
16
2
d
D
O
d
O
D
D
21
六、切应力互等定理
1、在单元体左、右面（杆的横截面）上 只有切应力，其方向与 y 轴平行. 由平衡方程
Fy 0
可知，两侧面的内力元素 dy dz
9549 150 15.4 * 60
1.55103(N.m)
②计算并校核切应力强度
m2 1 m3 2 m1 3 m4
n A 1 B 2 C 3D
m2 T1
T3 m4
m2
m3 T2
T（kN.m）
–
4.78
– 9.56
6.37
x
12
§4—3 圆轴扭转时的应力、强度计算
一、圆轴扭转时横截面上的应力（超静定问题） 几何关系：由实验通过变形规律→应变的变化规律 物理关系：由应变的变化规律→应力的分布规律 静力关系：由横截面上的扭矩与应力的关系→应力的计算公式。 一）、几何关系： 1、实验：
外力偶矩： m 9549 P (N m) n
2、已知：功率 P马力(Ps)，转速 n转／分(r／min；rpm)。
外力偶矩： m 7024 P (N m) n
8
二、内力：T（扭矩）
1、内力的大小：（截面法） m
m
mx 0 T m 0
T m
x
T
2、内力的符号规定：以变形为依据，按右手螺旋法则判断。
2
2
3d
1
32
(D4
d
4)
1 D4 (1 4 )
d
32
Wp
IP
D
1 D3(1 4 )
16
2
d
D
O
d
O
D
D
21
六、切应力互等定理
1、在单元体左、右面（杆的横截面）上 只有切应力，其方向与 y 轴平行. 由平衡方程
Fy 0
可知，两侧面的内力元素 dy dz
9549 150 15.4 * 60
1.55103(N.m)
②计算并校核切应力强度
材料力学扭转教学课件PPT
200 kW。试做轴力图。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
(a)
P2
P3
P1
n
P4
B
C
D
A
例题3-2图
m P2 2
m P3 3
P1
m1
m n
4 P4
B
C
D
A
m2
m3
m1
m4
(b)
B
C
A
D
解:1.计算外力偶矩
m1
m2
9.55 P1 15.9kN .m
m3
n
9.55
P2
n
4.78kN
.m
m4
9.55 P4 n
6.37kN .m
2.由计算简图用截面法计算各段轴内的扭矩，然后画扭矩图
§3.1 扭转的概念和实例
➢ 扭转变形 ——作用在垂直于杆件轴线的平面内 的力偶矩，使得杆件的任意两个 横截面都发生了绕轴线的相对转 动。
➢ 扭转变形杆件的内力 ——扭矩（T ）
➢ 轴 ——主要承受扭矩的构件
m A'
g
A
m B j B'
扭转的受力特征 ：在杆件的两端作用两个大小相等、
转向相反、且作用平面垂直于杆件轴线的力偶。
dA
O r
dA
dA
O
A
G 2
dj
dx
dA
G
dj
dx
A
2dA
T
GI p
dj
dx
令 Ip A 2dA
dj
dx
T GI p
代入物理关系式
G
dj
dx
得：
T
Ip
T
Ip
—横截面上距圆心为处任一点剪应力计算公式。
材料力学 拉压 剪切 扭转 弯曲
• 强度指标：强度极限b
• 近似地认为应力、应变服
从胡克定律： =E
天津大学材料力学
低碳钢的压缩实验
天津大学材料力学
铸铁的压缩实验
天津大学材料力学
抗压强度σbc > 抗拉强度σbt
§1.5 许用应力和强度条件
1、极限应力 u
塑性材料： u = s、 0.2 脆性材料： u = bt、 bc
2、许用应力 u
n
（n>1，安全系数）
关于安全系数：
① 弥补因计算误差、材料不均匀等因素的影响； ② 使构件有一定的强度储备。
天津大学材料力学
轴向拉伸或压缩杆件的强度条件：
max
FN A
m ax
三类强度问题：
① 强度校核 ② 截面设计 ③ 许用载荷
二、 变形（deformation）、应变（strain）
天津大学材料力学
胡克定律（Hooke’s Law）:
L
L EA
FN
—— 变形和轴力的关系
E
—— 应变和应力的关系
E ——弹性模量（材料常数），衡量材料抵抗弹性变形 的能力。
EA ——杆件的抗拉（压）刚度，表征杆件抵抗轴向拉压 变形的能力。
天津大学材料力学
天津大学材料力学
加工硬化（冷作硬化） 强化阶段
屈服阶段
弹性阶段
弹性卸载
颈缩阶段
天津大学材料力学
强度指标
① 屈服极限： s
② 强度极限： b 塑性指标
① 断后伸长率（延伸率）：
＝
n
l1－l0 l0
100％
② 断面收缩率（截面收缩率）：
• 近似地认为应力、应变服
从胡克定律： =E
天津大学材料力学
低碳钢的压缩实验
天津大学材料力学
铸铁的压缩实验
天津大学材料力学
抗压强度σbc > 抗拉强度σbt
§1.5 许用应力和强度条件
1、极限应力 u
塑性材料： u = s、 0.2 脆性材料： u = bt、 bc
2、许用应力 u
n
（n>1，安全系数）
关于安全系数：
① 弥补因计算误差、材料不均匀等因素的影响； ② 使构件有一定的强度储备。
天津大学材料力学
轴向拉伸或压缩杆件的强度条件：
max
FN A
m ax
三类强度问题：
① 强度校核 ② 截面设计 ③ 许用载荷
二、 变形（deformation）、应变（strain）
天津大学材料力学
胡克定律（Hooke’s Law）:
L
L EA
FN
—— 变形和轴力的关系
E
—— 应变和应力的关系
E ——弹性模量（材料常数），衡量材料抵抗弹性变形 的能力。
EA ——杆件的抗拉（压）刚度，表征杆件抵抗轴向拉压 变形的能力。
天津大学材料力学
天津大学材料力学
加工硬化（冷作硬化） 强化阶段
屈服阶段
弹性阶段
弹性卸载
颈缩阶段
天津大学材料力学
强度指标
① 屈服极限： s
② 强度极限： b 塑性指标
① 断后伸长率（延伸率）：
＝
n
l1－l0 l0
100％
② 断面收缩率（截面收缩率）：
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切应力 相等，方向与半径垂直。
d
dA
∵ d << R0，切应力 沿壁厚均布。 ∴ 横截面上各点切应力 相等，方
向与半径垂直。
取微面积：dA= d ·R0d 微内力： dA= d ·R0d
对圆心微力矩：dT = dA·R0= d ·R02d
合力偶矩即为横截面上的扭矩： T A dT 02 dR02d
M
x
2. 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。
上海交通大学
例1 已知一传动轴， n = 300 r/min，主动轮输入 PA = 500 kW，
从动轮输出 PB =150 kW，PC= 150 kW，PD= 200 kW，试绘
制轴的扭矩图。
MB
MC
MA MD
解：(1) 计算外力偶矩
T 2R0d
T
2 R02 d
T
2A0 d
上海交通大学
A0：为平均半径处圆的面积。
二、纯剪切与切应力互等定理
取微小单元体 abcd ：
左、右侧面(横截面)： 合力： d dy 其力偶矩： ( d dy)dx
a
dy
'
c
'
b
d
上、下底面(纵向截面)：'
dx
合力： ' d dx
其力偶矩： ( ' d dx)dy
M 9549 P 9549 7060 566520(N m) 566.5(kN m)
n
119
上海交通大学
二、扭矩及扭矩图
M
m
1. 扭矩
截面法：
m
设横截面上的内力偶矩为T： M
m
S Mx=0 T – M = 0
称
T =M T 为扭矩
，为横截面上内力的合力偶矩。m
T
规定：按右手螺旋法则确定扭矩的符号：
上海交通大学
二、特点
A
B O
A
g
O
f
M
B M
受力：两端受一对大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作
用平面与杆轴线垂直；
变形：各横截面绕杆轴线发生相对转动。
扭转角f ：任意两横截面转过的角度。如：fAB
轴：工程中以扭转变形为主的构件。
上海交通大学
§9-2 动力传递与扭矩
一、轴传递的功率、转速与外力偶矩之间的关系
MB
MC
MA MD
1
2
3
1
2
B
C
MB
1
1 T1
B
MB
MC
3n AD
MD
3
T3 3 D
2
2 T2
B
C
上海交通大学
(3) 绘制扭矩图
MB
MC
MA MD
T1 = –4.775 kN·m
T2 = –9.55 kN·m
B
C
AD
T3 = 6.336 kN·m
T
6.336
C B-
4.775
9.55
+
A
Dx
CA 段为危险截面：
(1) 圆周线形状、大小、 间距不变，仅绕轴线 相对转动；
(2) 纵向线倾斜了 g 角；
(3) 矩形abcd变成了平行 四边形a'b'c'd'。
推知：
a
c
a'
c'
(1) 过半径的纵向截面上无正应力；b
d b'
d'
(2) 横截面上无正应力，只有切应力。
上海交通大学
截面法：取横截面 m-m 分析
∵ 圆周各点对称于圆心，沿圆周各点
MA
9549
PA n
9549
500 300
B
C
n AD
15.92kN m
MB
MC
9549
PB n
9549 150 300
4.775kN m
MD
9549
PD n
9549 200 300
6.366kN m
上海交通大学
(2) 各段扭矩 BC段：截面1-1 S Mx=0 T1 + MB = 0 T1 = – MB= –4.775 kN·m CA段：截面2-2 S Mx=0 T2 + MB + MC = 0 T2 = – MB – MC = –9.55 kN·m AD段：截面3-3 S Mx=0 T3 – MD = 0 T3 = MD = 6.336 kN·m
(2) 纵向线仍为直线，但倾斜了g 角；
(3) 矩形abcd变成了平行四边形a'b'c'd'。
上海交通大学
假设：轴的圆形横截面扭转变形后仍为同样的圆形平面，其半 径仍为直线。
可知：
(1) 横截面上无正应力；
(2) 横截面上切应力方向与半径垂直。
取截面1、截面2之间的微段dx 分析：
横截面 2 相对截面 1 转过 df；
2(1+ )
道任意两个，就可以确定第三个。
上海交通大学
§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
一、扭转切应力的一般公式
1. 扭转试验研究——变形几何关系 目的： 确定横截面上各点应变
分布规律。 圆轴扭转试验：
薄壁圆筒表面作圆周线，纵向 线，形成小矩形。 实验现象：
(1) 圆周线绕轴线相对转动，但 形状、大小、间距不变；
第九章 扭 转
§9-1 引 言 §9-2 动力传递与扭矩 §9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律 §9-4 圆轴扭转横截面上的应力 §9-5 极惯性矩与抗扭截面系数 §9-6 圆轴扭转破坏与强度条件 §9-7 圆轴扭转变形与刚度条件 *§9-8 非圆截面轴扭转简介
上海交通大学
§9-1 引 言
一、 工程实例 汽车传动轴、转向盘轴； 机床传动轴； 攻螺纹丝锥； 行车传动轴； 船舶推进轴等。
S Mz=0 ( ' d dx)dy – ( d dy)dx = 0 ∴ ' =
切应力互等定理：物体内通过任意一点的两相互垂直截面上切 应力必成对存在，且数值相等，方向相反，
两者都垂直于两截面的交线，方向同时指向 或背离这一交线。
纯剪切应力状态：单元体无正应力，只受切应力作用。
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三、剪切胡克定律
工程实际中常已知轴传递的功率、转速，需换算成作用在轴上 的外力偶矩：
M 9549 P (N m) n
式中：P — 功率，千瓦(kW) n — 转速，转/分(r/min) M — 外力偶矩，牛顿·米(N·m)
可知：P 一定时，n ， M
如：一万吨轮，P =7060 kW，n =119 r/min，则：
切应变 g ：单元体直角的改变量。
单位：rad (弧度)
dy
由试验可得 - g 曲线。agFra bibliotek'
'
b
可知： 当 ≤ p 时，有
c
d
= Gg
dx
称为剪切胡克定律。
p：材料的剪切比例极限；
G：材料的切变模量，单位：GPa
p
钢 ：G = 80 GPa
对各向同性材料，有
G E
O
g
在材料的三个弹性常数中，只要知
| T |max = 9.55 kN·m
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§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆筒的扭转应力
薄壁圆筒： 壁厚 d d R0/10
R0：为圆筒平均半径。 薄壁圆筒的扭转实验： 薄壁圆筒表面作圆周线，纵向线，形成小矩形。
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两端加外力偶矩 M，使 薄壁圆筒产生扭转变形。
实验现象：
d
dA
∵ d << R0，切应力 沿壁厚均布。 ∴ 横截面上各点切应力 相等，方
向与半径垂直。
取微面积：dA= d ·R0d 微内力： dA= d ·R0d
对圆心微力矩：dT = dA·R0= d ·R02d
合力偶矩即为横截面上的扭矩： T A dT 02 dR02d
M
x
2. 扭矩图：表示沿杆件轴线各横截面上扭矩变化情况的图线。
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例1 已知一传动轴， n = 300 r/min，主动轮输入 PA = 500 kW，
从动轮输出 PB =150 kW，PC= 150 kW，PD= 200 kW，试绘
制轴的扭矩图。
MB
MC
MA MD
解：(1) 计算外力偶矩
T 2R0d
T
2 R02 d
T
2A0 d
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A0：为平均半径处圆的面积。
二、纯剪切与切应力互等定理
取微小单元体 abcd ：
左、右侧面(横截面)： 合力： d dy 其力偶矩： ( d dy)dx
a
dy
'
c
'
b
d
上、下底面(纵向截面)：'
dx
合力： ' d dx
其力偶矩： ( ' d dx)dy
M 9549 P 9549 7060 566520(N m) 566.5(kN m)
n
119
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二、扭矩及扭矩图
M
m
1. 扭矩
截面法：
m
设横截面上的内力偶矩为T： M
m
S Mx=0 T – M = 0
称
T =M T 为扭矩
，为横截面上内力的合力偶矩。m
T
规定：按右手螺旋法则确定扭矩的符号：
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二、特点
A
B O
A
g
O
f
M
B M
受力：两端受一对大小相等、方向相反的外力偶作用，力偶作
用平面与杆轴线垂直；
变形：各横截面绕杆轴线发生相对转动。
扭转角f ：任意两横截面转过的角度。如：fAB
轴：工程中以扭转变形为主的构件。
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§9-2 动力传递与扭矩
一、轴传递的功率、转速与外力偶矩之间的关系
MB
MC
MA MD
1
2
3
1
2
B
C
MB
1
1 T1
B
MB
MC
3n AD
MD
3
T3 3 D
2
2 T2
B
C
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(3) 绘制扭矩图
MB
MC
MA MD
T1 = –4.775 kN·m
T2 = –9.55 kN·m
B
C
AD
T3 = 6.336 kN·m
T
6.336
C B-
4.775
9.55
+
A
Dx
CA 段为危险截面：
(1) 圆周线形状、大小、 间距不变，仅绕轴线 相对转动；
(2) 纵向线倾斜了 g 角；
(3) 矩形abcd变成了平行 四边形a'b'c'd'。
推知：
a
c
a'
c'
(1) 过半径的纵向截面上无正应力；b
d b'
d'
(2) 横截面上无正应力，只有切应力。
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截面法：取横截面 m-m 分析
∵ 圆周各点对称于圆心，沿圆周各点
MA
9549
PA n
9549
500 300
B
C
n AD
15.92kN m
MB
MC
9549
PB n
9549 150 300
4.775kN m
MD
9549
PD n
9549 200 300
6.366kN m
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(2) 各段扭矩 BC段：截面1-1 S Mx=0 T1 + MB = 0 T1 = – MB= –4.775 kN·m CA段：截面2-2 S Mx=0 T2 + MB + MC = 0 T2 = – MB – MC = –9.55 kN·m AD段：截面3-3 S Mx=0 T3 – MD = 0 T3 = MD = 6.336 kN·m
(2) 纵向线仍为直线，但倾斜了g 角；
(3) 矩形abcd变成了平行四边形a'b'c'd'。
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假设：轴的圆形横截面扭转变形后仍为同样的圆形平面，其半 径仍为直线。
可知：
(1) 横截面上无正应力；
(2) 横截面上切应力方向与半径垂直。
取截面1、截面2之间的微段dx 分析：
横截面 2 相对截面 1 转过 df；
2(1+ )
道任意两个，就可以确定第三个。
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§9-4 圆轴扭转横截面上的应力
一、扭转切应力的一般公式
1. 扭转试验研究——变形几何关系 目的： 确定横截面上各点应变
分布规律。 圆轴扭转试验：
薄壁圆筒表面作圆周线，纵向 线，形成小矩形。 实验现象：
(1) 圆周线绕轴线相对转动，但 形状、大小、间距不变；
第九章 扭 转
§9-1 引 言 §9-2 动力传递与扭矩 §9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律 §9-4 圆轴扭转横截面上的应力 §9-5 极惯性矩与抗扭截面系数 §9-6 圆轴扭转破坏与强度条件 §9-7 圆轴扭转变形与刚度条件 *§9-8 非圆截面轴扭转简介
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§9-1 引 言
一、 工程实例 汽车传动轴、转向盘轴； 机床传动轴； 攻螺纹丝锥； 行车传动轴； 船舶推进轴等。
S Mz=0 ( ' d dx)dy – ( d dy)dx = 0 ∴ ' =
切应力互等定理：物体内通过任意一点的两相互垂直截面上切 应力必成对存在，且数值相等，方向相反，
两者都垂直于两截面的交线，方向同时指向 或背离这一交线。
纯剪切应力状态：单元体无正应力，只受切应力作用。
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三、剪切胡克定律
工程实际中常已知轴传递的功率、转速，需换算成作用在轴上 的外力偶矩：
M 9549 P (N m) n
式中：P — 功率，千瓦(kW) n — 转速，转/分(r/min) M — 外力偶矩，牛顿·米(N·m)
可知：P 一定时，n ， M
如：一万吨轮，P =7060 kW，n =119 r/min，则：
切应变 g ：单元体直角的改变量。
单位：rad (弧度)
dy
由试验可得 - g 曲线。agFra bibliotek'
'
b
可知： 当 ≤ p 时，有
c
d
= Gg
dx
称为剪切胡克定律。
p：材料的剪切比例极限；
G：材料的切变模量，单位：GPa
p
钢 ：G = 80 GPa
对各向同性材料，有
G E
O
g
在材料的三个弹性常数中，只要知
| T |max = 9.55 kN·m
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§9-3 切应力互等定理与剪切胡克定律
一、薄壁圆筒的扭转应力
薄壁圆筒： 壁厚 d d R0/10
R0：为圆筒平均半径。 薄壁圆筒的扭转实验： 薄壁圆筒表面作圆周线，纵向线，形成小矩形。
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两端加外力偶矩 M，使 薄壁圆筒产生扭转变形。
实验现象：