2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学(课件 学案 考点集训 ) (1)

∴m＝32.
【点评】向量共线充要条件的 2 种形式： (1)a∥b a＝λb(b≠0)； (2)a∥b x1y2－x2y1＝0(其中 a＝(x1，y1)，b＝(x2， y2)). 当涉及向量或点的坐标问题时一般利用(2)比较方 便.
考点 4 向量问题坐标化
例5如图，平面内有三个向量O→A、O→B、O→C，其 中O→A与O→B的夹角为 120°，O→A与O→C的夹角为 30°， 且|O→A|＝|O→B|＝1，|O→C|＝2 3，若O→C＝λO→A＋μO→B(λ、 μ∈R)，则 λ＋μ 的值为________.
第 29 讲 平面向量的基本定理及坐标运算
【学习目标】 1. 了解平面向量的基本定理及其意义，掌握平面 向量的正交分解及其坐标表示； 2. 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运 算，理解用坐标表示平面向量共线和垂直的条件.
【基础检测】 1. 已知向量 a＝(4，3)，b＝(－2，1)，如果向量 a ＋λb 与 b 垂直，则|2a－λb|的值为________.
考点 1 平面向量基本定理的应用
例1如果 e1，e2 是平面 α 内一组不共线的向量，那么 下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的 是( )
A. e1 与 e1＋e2 B. e1－2e2 与 e1＋2e2 C. e1＋e2 与 e1－e2 D. e1＋3e2 与 6e2＋2e1
【解析】选项 A 中，设 e1＋e2＝λe1，则11＝＝λ0，无解； 选项 B 中，设 e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，则λ－＝21＝，2λ无解； 选项 C 中，设 e1＋e2＝λ(e1－e2)，则λ1＝＝1－，λ无解； 选项 D 中，e1＋3e2＝12(6e2＋2e1)，所以两向量是共线 向量.
【答案】D
例2如图所示，已知△AOB 中，点 C 是以 A 为中 心的点 B 的对称点，O→D＝2D→B，DC 和 OA 交于点 E， 设O→A＝a，O→B＝b.
(1)用 a 和 b 表示向量O→C、D→C； (2)若O→E＝λO→A，求实数 λ 的值.
【解析】(1)由题意知，A 是 BC 的中点， 且O→D＝23O→B， 由平行四边形法则得，O→B＋O→C＝2O→A. ∴O→C＝2O→A－O→B＝2a－b， D→C＝O→C－O→D＝(2a－b)－23b＝2a－53b.
＝ x2＋y2叫做向量 a 的长度(模).
3.平面向量坐标运算
向量的加 若 a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则 a＋b＝_(_x1＋x2,y1＋_yy1－y2_)_.
实数与向 量的积
若 a＝(x1,y1),λ
∈R,则 λa＝__
(λx1,λy1) __.
2λλ－＋μ2＝μ＝2，2，解得 λ＝65，μ＝25，λ＋μ＝85.
【答案】D
5. 已知向量 a＝(－1，2)，点 A(－2，1)，若A→B∥a
且|A→B|＝3 5，O 为坐标原点，则O→B的坐标为( ) A. (1，－5) B. (－5，7) C. (1，－5)或(5，－7) D. (1，－5)或(－5，7)
考点 2 平面向量的坐标运算
例3已知点 A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4). 设 A→B＝a，B→C＝b，C→A＝c，且C→M＝3c，C→N＝－2b.
(1)求 3a＋b－3c； (2)求满足 a＝mb＋nc 的实数 m，n 的值； (3)求点 M，N 的坐标及向量M→N的坐标.
【解析】由已知得 a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)， c＝(1，8).
cos
sin
θ＝－λ＋32μ，两式相减得 θ＝λ＋12μ，
2λ－μ＝sin
θ－cos
θ
＝
2
sin
θ－π4 ，θ
－
π 4∈
－π4 ，π4
，
2sinθ－π4 ∈
－1，1. 【答案】[－1，1]
【点评】(1)向量相等就是两向量的坐标对应相等. (2)利用向量的坐标运算可将向量问题代数化. (3)注意如下结论的运用： ①当向量的起点在原点时，P 点的坐标就是向量 O→P的坐标；
【点评】(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、 减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段 两端点的坐标，则应先求向量的坐标. (2)解题过程中， 常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程 (组)来进行求解.
考点 3 平面向量共线的坐标表示
例4已知 a＝(1，0)，b＝(2，1). (1)当 k 为何值时，ka－b 与 a＋2b 共线； (2)若A→B＝2a＋3b，B→C＝a＋mb，且 A，B，C 三 点共线，求 m 的值.
向量的坐 标
若起点 A(x1,y1),终点 B(x2,y2),则A→B＝(x_2_－x1,y2－_y.1)
4.两向量平行和垂直的坐标表示
(1)设 a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则 a∥b⇔x1y2－y1x2＝0. (2)设 a＝(x1,y1),b＝(x2,y2),则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.
A. e1＋e2 和 e1－e2 B. 3e1－2e2 和 4e2－6e1 C. e1＋2e2 和 4e2－6e1 D. e2 和 e1＋e2
【解析】∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2 与 4e2－6e1 共线，又作为一组基底的两个向量一定不 共线，∴它们不能作为一组基底.
【答案】B
【解析】以 A 为坐标原点，AB，AD 所在直线分别
为 x，y 轴建立平面直角坐标系，依题意得 D0，1，
E1，0，C(1，1)，B2，0，F32，12，E→D＝－1，1，A→F
＝32，12，设 Pcos θ，sin θ，θ∈0，π2 ，依题意A→P ＝λE→D＋μA→F，即cos θ，sin θ＝－λ＋32μ，λ＋12μ，
所以02＝3－＝122λ3＋λ，μ，所以λμ＝＝4，2，
所以 λ＋μ＝6.
【答案】6
例6在直角梯形 ABCD 中，AB⊥AD，DC∥AB，
AD＝DC＝1，AB＝2，E，F 分别为 AB，BC 的中点， 点 P 在以 A 为圆心，AD 为半径的圆弧 DE 上变动(如 图所示). 若A→P＝λE→D＋μ A→F，其中 λ，μ ∈R，则 2λ －μ 的取值范围是________.
【解析】由题可知(a＋λb)·b＝0，即(4－2λ，3＋ λ)·(－2，1)＝0，解得 λ＝1，所以 2a－λb＝(10，5)， |2a－λb|＝5 5.
【答案】5 5
2. 已知点 A(0，1)，B(3，2)，向量A→C＝(－4，－3)，
则向量B→C＝( )
A. (－7，－4) B. (7，4)
C. (－1，4)
D. (1，4)
【解析】因为点 A(0，1)，B(3，2)， 所以A→B＝(3－0，2－1)＝(3，1). 因为向量A→C＝(－4，－3)， 所以B→C＝A→C－A→B＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).
【答案】A
3. 已知 e1，e2 是表示平面内所有向量的一组基底， 则下列四组向量中，不能作为一组基底的是( )
1. (2018·全国卷Ⅲ)已知向量 a＝(1，2)，b＝(2，－ 2)，c＝(1，λ )，若 c∥(2a＋b). 则 λ＝________.
【解析】2a＋b＝2(1，2)＋(2，－2)＝(4，2)，又
4. 如图，正方形 ABCD 中，M、N 分别是 BC、 CD 的中点，若A→C＝λA→M＋μB→N，则λ ＋μ＝( )
8
A. 2
B.3
6
8
C.5
D.5
【解析】设正方形边长为 2，以 A 为原点建立平 面直角坐标系，则 M(2，1)，N(1，2)，B(2，0)，C(2， 2)，B→N＝(－1，2)，依题意，A→C＝λA→M＋μB→N，即
【解析】由条件可知，∠COB＝90°，以 O 为原 点，OC 所在直线为 x 轴，OB 所在直线为 y 轴，建立 平面直角坐标系.
则O→C＝(2
3，0)，O→B＝(0，1)，O→A＝

23，－12，
因为O→C＝λO→A＋μO→B，
所以(2

3，0)＝λ

23，－12＋μ(0，1)，
②若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则向量A→B＝(x2－x1， y2－y1).
1. 向量的坐标表示主要依据平面向量的基本定理， 平面向量―对―应→实数对(x，y)，任何一个平面向量都有唯一 的坐标表示，但是每一个坐标所表示的向量却不一定唯一. 也就是说，向量的坐标表示和向量不是一一对应的关系， 但和起点为原点的向量是一一对应的关系，即实数对(x，
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(6，－42).
(2)因为 mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
所以－ －63mm＋ ＋n8n＝＝5， －5，
解得mn＝＝－－11.，
(3)设 O 为坐标原点. 因为C→M＝O→M－O→C＝3c， 所以O→M＝3c＋O→C＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)， 所以点 M 的坐标为(0，20). 又因为C→N＝O→N－O→C＝－2b， 所以O→N＝－2b＋O→C＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以点 N 的坐标为(9，2)， 所以M→N＝(9，－18).
(2)由题意知，E→C∥D→C. 又∵E→C＝O→C－O→E＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，
D→C＝2a－53b，
∴2－2 λ＝15，∴λ＝45.
3
【点评】用平面向量基本定理解决问题的一般思路 (1)先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表 示为向量的形式，再通过向量的运算来解决. (2)在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解 题带来方便.
【解析】由A→B∥a 知，存在实数 λ，
使A→B＝λa＝(－λ，2λ)，
又|A→B|＝3 5，则 λ2＋4λ2＝9×5，即 λ＝3 或 λ＝－3， 所以A→B＝(3，－6)或(－3，6). 又点 A(－2，1)， 所以O→B＝O→A＋A→B＝(1，－5)或(－5，7).