2019届高考数学一轮复习第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系课件文新人教A版
高三数学一轮复习精品课件8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
②三直线FH、EG、AC共点. 证明
易知FH与直线AC不平行，但共面， ∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC. 又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG， ∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点.
思维升华
共面、共线、共点问题的证明 (1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或 点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有 条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合. (2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他 各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上. (3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证 其他直线经过该点.
5.如图，正方体的底面与正四面体的底 面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线 EF与正方体的六个面所在的平面相交的 平面个数为____4____. 答案 解析
EF与正方体左、右两侧面均平行.所以与EF相交的侧面有4个.
题型分类 深度剖析
题型一 平面基本性质的应用
例1 (1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则
§8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系
内容索引
基础知识 自主学习 题型分类 深度剖析 课时作业
君不见，黄河之水天上来，奔流到海不复回。 君不见，高堂明镜悲白发，朝如青丝暮成雪。 人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。 天生我材必有用，千金散尽还复来。 烹羊宰牛且为乐，会须一饮三百杯。 岑夫子，丹丘生，将进酒，杯莫停。 与君歌一曲，请君为我倾耳听。 钟鼓馔玉不足贵，但愿长醉不复醒。 古来圣贤皆寂寞，惟有饮者留其名。 陈王昔时宴平乐，斗酒十千恣欢谑。 主人何为言少钱，径须沽取对君酌。 五花马，千金裘，呼儿将出换美酒，与尔同销万古愁
高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第二节 空间点、直线、平面之间的位置关系实用课件 理
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[解析] (1)①错，两条直线不相交，则它们可能平行，也可
能异面；②由公理 4 可知正确；③错，若一条直线和两条平行直
线中的一条相交，则它和另一条直线可能相交，也可能异面；④
由平行直线的传递性可知正确．故选 B.
(2)图①中，直线 GH∥MN；图②中，G，H，N 三点共面，
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2．异面直线所成的角 (1)定义：设 a，b 是两条异面直线，经过空间任一点 O 作 直线 a′∥a，b′∥b，把 a′与 b′所成的 锐角(或直角)叫做 异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)．
(2)范围： 0，π2 .
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解析：画出正方体，结合共面的公理与推论求得选 D.
答案：D
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2．如图是正方体或四面体，P，Q，R，S 分别是所在棱的中点，
则这四个点不共面的一个图是
()
解析：A、B、C 图中四点一定共面，D 中四 点不共面． 答案：D
抓牢双(w基án·自学(zìxué)区 完成 chéng) 情况
[基本知识]
1．空间中两直线的位置关系
(1)空间中两直线的位置关系
共面直线__平相____交行______ 异面直线：不同在任何一个平面内
(2)公理 4 和等角定理 ①公理 4：平行于 同一条直线 的两条直线互相平行．
②等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么 这两个角 相等或互补 ．
④依次首尾相接的四条线段必共面．
A．0
B．1
C．2
2019高考数学一轮复习第八章立体几何83空间点直线平面之间的位置关系练习理
地地道道的达到 §8.3空间点、直线、平面之间的地点关系考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型展望热度2016 浙江 ,2; 1. 点、线、 理解空间直线、 平面地点关系的定义 , 并认识以下2015 广东 ,8;能够作为推理依照的公义和定理.2014 广东 ,7;面理解 选择题★★☆·公义 1: 假如一条直线上的两点在一个平面内2013 课标全国的地点关系,那么这条直线上全部的点都在此平面内.Ⅱ,4;·公义 2: 过不在同一条直线上的三点 , 有且只有2013 江西 ,8 一个平面 .2017 课标全国·公义 3: 假如两个不重合的平面有一个公共点 ,Ⅱ,10;那么它们有且只有一条过该点的公共直线.2017 课标全国2. 异面直线 ·公义 4: 平行于同一条直线的两条直线相互平 掌握Ⅲ,16; 选择题 ★★★所成的角行 .2016 课标全国填空题·定理 : 空间中假如一个角的两边与另一个角的 Ⅰ,11; 两边分别平行 , 那么这两个角相等或互补2015 四川 ,14;2015 广东 ,18剖析解读 1. 会用平面的基天性质证明点共线、 线共点、点线共面问题 ; 会用反证法证明相关异面或共面问题.2.会判断和证明两条直线异面 ; 会应用三线平行公义和等角定理及推论解决相关问题, 会求两条异面直线所成的角 ; 认识两条异面直线间的距离 .3. 高考对本节内容的考察常以棱柱、 棱锥为依靠 , 求异面直线所成的角 , 分值约为5分,属中档题 .五年高考考点一点、线、面的地点关系1.(2016 浙江 ,2,5 分 ) 已知相互垂直的平面 α , β 交于直线 l. 若直线 m,n 知足 m ∥ α ,n ⊥ β , 则 ( )A.m ∥lB.m ∥nC.n ⊥lD.m ⊥n答案C2.(2015 广东 ,8,5 分 ) 若空间中 n 个不一样的点两两距离都相等 , 则正整数 n 的取值 ( )A. 至多等于 3B. 至多等于 4C.等于 5D.大于 5 答案B3.(2015 福建 ,7,5 分 ) 若 l,m 是两条不一样的直线 ,m 垂直于平面α , 则“ l⊥m ”是“ l ∥ α”的 ( )A. 充分而不用要条件B. 必需而不充分条件C. 充分必需条件D. 既不充分也不用要条件 答案B4.(2013 江西 ,8,5 分 ) 如图 , 正方体的底面与正四周体的底面在同一平面 α 上 , 且 AB ∥CD,正方体的六个面所在的平面与直线 CE,EF 订交的平面个数分别记为m,n, 那么 m+n=()呵呵复生复生复生地地道道的达到 A.8 B.9 C.10 D.11答案A教师用书专用 (5 — 8)5.(2014 广东 ,7,5 分 ) 若空间中四条两两不一样的直线l 1,l2,l 3,l 4,知足 l 1⊥l 2,l 2⊥l 3,l 3⊥l 4, 则以下结论必定正确的是 ( ) A.l 1⊥l B.l ∥l414C.l 1 与 l 4 既不垂直也不平行D.l 1 与 l 4 的地点关系不确立答案 D6.(2013 课标全国Ⅱ ,4,5 分 ) 已知 m,n 为异面直线 ,m ⊥平面 α,n ⊥平面 β . 直线 l 知足 l ⊥m,l ⊥n,l ?α,l ?β , 则 ( ) A. α ∥β 且 l ∥ α B. α ⊥β 且 l ⊥ βC. α 与 β 订交 , 且交线垂直于 lD. α 与 β 订交 , 且交线平行于l答案 D7.(2013 安徽 ,3,5 分 ) 在以下命题中 , 不是公义的是 ()．．A. 平行于同一个平面的两个平面相互平行B. 过不在同一条直线上的三点 , 有且只有一个平面C. 假如一条直线上的两点在一个平面内, 那么这条直线上全部的点都在此平面内D. 假如两个不重合的平面有一个公共点 , 那么它们有且只有一条过该点的公共直线答案 A8.(2013 浙江 ,10,5 分 ) 在空间中 , 过点 A 作平面 π 的垂线 , 垂足为 B, 记 B=f π (A). 设 α , β 是两个不一样的平面 , 对空间随意一点 P,Q =f β [f α (P)],Q =f α [f β (P)], 恒有 PQ=PQ, 则 ()1212A. 平面 α 与平面 β 垂直B. 平面 α 与平面 β 所成的 ( 锐 ) 二面角为 45°C. 平面 α 与平面 β 平行D. 平面 α 与平面 β 所成的 ( 锐 ) 二面角为 60°答案 A考点二 异面直线所成的角1.(2017 课标全国Ⅱ ,10,5 分 ) 已知直三棱柱 ABC-AB C 中, ∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1, 则异面直线 AB 1 与 BC1 1 11所成角的余弦值为 ()A. B.C. D.答案 C2.(2016 课标全国Ⅰ ,11,5 分) 平面 α 过正方体 ABCD-A 1B 1C 1D 1 的极点 A, α ∥平面 CB 1 D 1, α ∩平面 ABCD=m,α ∩ 平面 ABB 1A 1=n, 则 m,n 所成角的正弦值为 ( )A. B. C. D.答案A3.(2017 课标全国Ⅲ ,16,5 分 )a,b 为空间中两条相互垂直的直线, 等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与呵呵复生复生复生a,b 都垂直 , 斜边 AB 以直线 AC为旋转轴旋转 , 有以下结论 :①当直线 AB与 a 成 60°角时 ,AB 与 b 成 30°角 ;②当直线 AB与 a 成 60°角时 ,AB 与 b 成 60°角 ;③直线 AB 与 a 所成角的最小值为45°;④直线 AB 与 a 所成角的最大值为60°.此中正确的选项是.( 填写全部正确结论的编号 )答案②③4.(2015 四川 ,14,5 分 ) 如图 , 四边形 ABCD和 ADPQ均为正方形 , 它们所在的平面相互垂直,动点 M在线段 PQ 上 ,E,F 分别为 AB,BC 的中点 . 设异面直线 EM与 AF 所成的角为θ , 则 cos θ的最大值为.答案教师用书专用(5)5.(2015广东,18,14分)如图,三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直 ,PD=PC=4,AB=6,BC=3.点 E 是 CD边的中点 , 点 F,G 分别在线段 AB,BC 上 , 且 AF=2FB,CG=2GB.(1)证明 :PE⊥FG;(2)求二面角 P-AD-C 的正切值 ;(3)求直线 PA 与直线 FG所成角的余弦值 .分析(1) 证明 : 由于 PD=PC,点 E 为 DC中点 ,因此 PE⊥DC.又由于平面PDC⊥平面 ABCD,交线为 DC,因此 PE⊥平面 ABCD.又 FG? 平面 ABCD,因此 PE⊥FG.(2) 由 (1) 可知 ,PE⊥AD.由于四边形ABCD为长方形 , 因此 AD⊥DC.又由于 PE∩DC=E,因此 AD⊥平面 PDC.而 PD? 平面 PDC,因此 AD⊥PD.由二面角的平面角的定义, 可知∠ PDC为二面角P-AD-C 的一个平面角.在 Rt△PDE中 ,PE==,因此 tan ∠PDC==.进而二面角P-AD-C 的正切值为 .(3) 连结 AC.由于 ==,因此 FG∥AC.易求得 AC=3,PA==5.因此直线 PA与直线 FG所成角等于直线 PA与直线 AC所成角 , 即∠ PAC, 在△ PAC中,cos ∠PAC==.因此直线PA与直线 FG所成角的余弦值为.三年模拟呵呵复生复生复生A 组2016— 2018 年模拟·基础题组考点一点、线、面的地点关系1.(2018四川泸州模拟,6) 设 a,b 是空间中不一样的直线, α , β是不一样的平面, 则以下说法正确的选项是()A.a∥b,b ? α , 则 a∥ αB.a ? α ,b ? β, α ∥ β , 则 a∥bC.a? α ,b ? α,a ∥ β ,b ∥ β , 则α ∥ βD. α ∥β ,a ? α, 则 a∥β答案 D1 1 1 1 1 是异面直线的条数为 ()2.(2018 四川泸州模拟 ,4) 在正方体 ABCD-AB CD 中 , 棱所在直线与直线BAA.4B.5C.6D.7答案 C3.(2017 河北邢台二模 ,5) 设 m,n 是两条不一样的直线 , α , β是两个不一样的平面. 给出以下四个命题 :①若 m∥n,m⊥ β , 则 n⊥ β ; ②若 m∥n,m∥ β , 则 n∥ β ;③若 m∥ α ,m∥ β , 则α∥ β ; ④若 n⊥ α,n ⊥ β , 则α ⊥ β.此中真命题的个数为 ( )A.1B.2C.3D.4答案 A4.(2017 河北邯郸调研,5) 如图 , 在三棱锥 S-ABC中 ,G1,G2分别是△ SAB 和△ SAC的重心 , 则直线 G1G2与 BC的地点关系是()A. 订交B. 平行C. 异面D. 以上都有可能答案 B考点二异面直线所成的角5.(2018 广东东莞模拟 ,6) 在正四棱锥 P-ABCD中 ,PA=2, 直线 PA与平面 ABCD所成角为 60°,E 为 PC的中点 , 则异面直线PA与 BE 所成角为 ()A.90°B.60°C.45°D.30°答案 C6.(2017 广东汕头模拟 ,8) 已知四棱锥 P-ABCD的侧棱长与底面边长都相等, 点 E 是 PB的中点 , 则异面直线 AE与PD所成角的余弦值为()A. B. C. D.答案 C7.(2016黑龙江哈尔滨四模,7) 如图 , 四棱锥 P-ABCD中, ∠ABC=∠BAD=90°,BC=2AD,△PAB和△ PAD都是等边三角形 , 则异面直线CD与 PB所成角的大小为()A.90°B.75°C.60°D.45°答案 AB 组2016— 2018 年模拟·提高题组呵呵复生复生复生地地道道的达到(满分 :30 分时间:30分钟)一、选择题 ( 每题 5 分, 共 10 分)1.(2017 广东惠州三调 ,11) 如图是一个几何体的平面睁开图, 此中四边形ABCD为正方形 ,E,F 分别为 PA,PD的中点 , 在此几何体中 , 给出下边 4 个结论 :①直线 BE 与直线 CF异面 ;②直线BE与直线AF异面;③直线 EF∥平面 PBC; ④平面 BCE⊥平面 PAD.此中正确的有()A.1 个B.2 个C.3 个D.4 个答案 B2.(2016湖南长沙模拟,8)如图,三棱锥A-BCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别是AD,BC的中点,则异面直线 AN,CM所成的角的余弦值为()A. B. C. D.答案 A二、填空题 ( 共 5 分)3.(2018安徽皖南八校联考,15) 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为1, 点 M在线段 BC上 ( 点 M异于点 B,C), 点N为线段CC1的中点 , 若平面AMN 截正方体ABCD-A1B1C1D1所得的截面为四边形, 则线段BM 长的取值范围为.答案三、解答题 ( 共 15 分)4.(2018上海普陀一模,18)以下图的圆锥的体积为π,底面直径AB=2,点 C 是的中点 , 点 D是母线 PA的中点 .(1)求该圆锥的侧面积 ;(2)求异面直线 PB 与 CD所成角的大小 .分析(1) ∵圆锥的体积为π ,底面直径AB=2,2∴ π×1×PO=π, 解得 PO=,∴P A==2,∴该圆锥的侧面积S=π rl= π ×1×2=2 π .(2)连结 OC.∵圆锥中 ,点 C 是的中点 ,O 为底面圆心 ,∴PO⊥平面ABC,OC⊥AB,∴以 O为原点 ,OC 所在直线为x 轴,OB 所在直线为y 轴,OP 所在直线为z 轴成立以下图的空间直角坐标系,呵呵复生复生复生地地道道的达到则 A(0,-1,0),P(0,0,),D,B(0,1,0),C(1,0,0),=(0,1,-),=,设异面直线PB与 CD所成角为θ ,则 cos θ ===, ∴ θ =.∴异面直线PB与 CD所成角为 .C 组2016— 2018 年模拟·方法题组方法 1点、线、面地点关系的判断方法1.(2018 湖南衡阳模拟 ,6) 如图 , 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E,F,G,H分别为棱AA1,B1C1,C1D1,DD1的中点,则以下直线中与直线EF订交的是 ()A. 直线 CCB.直线 CDC. 直线 HCD. 直线 GH1 1 1 1答案 C2.(2016 四川泸州模拟 ,4) 若 m、 n 为两条不一样的直线 , α、β 为两个不一样的平面, 且 m⊥ α ,n ⊥ β , 则以下命题中的假命题是 ( )A. 若 m∥n, 则α∥ βB. 若α ⊥β , 则 m⊥nC. 若α、β订交 , 则 m、n 订交D. 若 m、 n 订交 , 则α、β订交答案 C3.(2017 湖北武昌调研 ,16) 若四周体 ABCD的三组对棱分别相等 , 即 AB=CD,AC=BD,AD=BC,则( 写出全部正确结论的编号 ).①四周体 ABCD每组对棱相互垂直 ;②四周体 ABCD每个面的面积相等 ;③从四周体 ABCD每个极点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于 180°;④连结四周体 ABCD每组对棱中点的线段相互垂直均分;⑤从四周体 ABCD每个极点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长.答案②④⑤方法 2 异面直线所成角的求法4.(2018 四川泸州模拟 ,7) 在正方体 ABCD-AB C D 中 ,E 为 BC的中点 ,F 为 B C 的中点 , 则异面直线 AF 与 C E 所成1 1 1 1 1 1 1角的正切值为 ( )A. B. C. D.答案 C5.(2017河北唐山 3 月模拟 ,10) 已知 P 是△ ABC 所在平面外一点,M,N 分别是 AB,PC 的中点 , 若 MN=BC=4,PA=4,呵呵复生复生复生2019高考数学一轮复习第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系练习理地地道道的达到则异面直线PA与 MN所成角的大小是()A.30°B.45°C.60°D.90°答案 A6.(2017广东惠州调研,14)在正四棱锥P-ABCD中 ,PA=2, 直线 PA与平面 ABCD所成的角为60°,E 为 PC的中点 , 则异面直线PA与 BE所成角的大小为.答案45°呵呵复生复生复生11 / 11。
高考数学一轮复习 第8章 立体几何 第3讲 空间点、直线、平面之间的位关系课件 文
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(必修 2 P43 练习 T1)下列命题正确的是( ) A．经过三点确定一个平面 B．经过一条直线和一个点确定一个平面 C．四边形确定一个平面 D．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 解析：选 D．A 选项考查公理 2，即三点必须不在同一条直 线上，才能确定一个平面；B 选项如果点在直线上，则该直 线和这个点不能确定一个平面；C 选项中的四边形有可能是 空间四边形，只有 D 是正确的．
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【对点通关】 (必修 2 P45 例 2 改编)如图，空间四边形 ABCD 中，E，F 分别是 AB，AD 的中点，G，H 分 别在 BC，CD 上，且 BG∶GC＝DH∶HC＝ 1∶2． (1)求证：E，F，G，H 四点共面； (2)设 EG 与 FH 交于点 P，求证：P，A，C 三点共线．
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(1)点线共面问题证明的两种方法 ①纳入平面法：先确定一个平面，再证有关点、线在此平面 内； ②辅助平面法：先证有关点、线确定平面 α，再证其余点、 线确定平面 β，最后证明平面 α，β 重合． (2)证明多线共点问题的两步 ①先证其中两条直线交于一点； ②再证交点在第三条直线上．证交点在第三条直线上时，第 三条直线应为前两条直线所在平面的交线，可以利用公理 3 证明．
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(2)因为 EF∥CD1，EF<CD1，所以 CE 与 D1F 必相交，设交 点为 P， 则由 P∈CE，CE⊂平面 ABCD，得 P∈平面 ABCD． 同理 P∈平面 ADD1A1． 又平面 ABCD∩平面 ADD1A1＝DA， 所以 P∈直线 DA．所以 CE、D1F、DA 三线共点．
高考数学一轮复习 第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系教学案 理
8.3 空间点、直线、平面之间的位置关系 考纲要求1．理解空间直线、平面位置关系的定义．2．了解四个公理和等角定理，并能以此作为推理的依据．1．平面的基本性质(1)公理1：如果一条直线上的____在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号表示为：A ∈l ，B ∈l ，A ∈α，B ∈α⇒l __α.作用：可用来证明点、直线在平面内．(2)公理2：过____________上的三点，有且只有一个平面． 符号表示为：A ，B ，C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使A ∈α，B ∈α，C ∈α.作用：①可用来确定一个平面，为空间图形平面化作准备；②证明点线共面．(3)公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们____________过该点的公共直线．符号表示为：P ∈α，且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l .作用：①可用来确定两个平面的交线；②判断三点共线、三线共点．2．直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类⎩⎪⎨⎪⎧ 共面直线⎩⎪⎨⎪⎧ ：同一平面内，有且只有 一个公共点 ：同一平面内，没有公共点异面直线：不同在 一个平面内，没有公共点(2)公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．符号表示为：设a ，b ，c 是三条直线，a ∥b ，c ∥b ，则____． 公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间中这个性质都适用．作用：判断空间两条直线平行的依据．(3)等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角__________．(4)异面直线所成的角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做________，已知异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，我们把a ′与b ′所成的__________叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角)，两条异面直线所成的角θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2，计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．______ ________ ______ ．两个平面的位置关系表示法 公共点个数，b ⊂α，l ∩立的是( )．A ．l ⊂αB ．l ⊄αC ．l ∩α＝AD ．l ∩α＝B2．l 1，l 2，l 3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是( )．A ．l 1⊥l 2，l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B ．l 1⊥l 2，l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C ．l 1∥l 2∥l 3⇒l 1，l 2，l 3共面D ．l 1，l 2，l 3共点⇒l 1，l 2，l 3共面3．在空间中，下列命题正确的是( )．A ．平行直线的平行投影重合B ．平行于同一直线的两个平面平行C ．垂直于同一平面的两个平面平行D ．垂直于同一平面的两条直线平行4．设a ，b ，c 为空间三条不同的直线，下面四个命题： ①若a ，b 异面，b ，c 异面，则a ，c 异面；②若a ，b 相交，b ，c 相交，则a ，c 相交；③若a ∥b ，则a ，b 与c 所成的角相等；④若a ⊥b ，b ⊥c ，则a ∥c .其中真命题的序号是__________．5．(2012郑州模拟)已知：空间四边形ABCD (如图所示)，E ，F分别是AB ，AD 的中点，G ，H 分别是BC ，CD 上的点，且CG ＝13BC ，CH ＝13DC ． 求证：(1)E ，F ，G ，H 四点共面；(2)三直线FH ，EG ，AC 共点．一、平面的基本性质【例1】定线段AB 所在的直线与定平面α相交，P 为直线AB 外一点，且P 不在α内，若直线AP ，BP 与α分别交于C ，D 点，求证：不论P 在什么位置，直线CD 必过一定点．方法提炼证明三点共线通常有两种方法：一是首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，于是可得这三点都在这两个平面的交线上，即三点共线；二是选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在这条直线上，从而得出三点共线．请做演练巩固提升5二、空间中两条直线的位置关系【例2】在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是CD 的中点，连接AE 并延长与BC 的延长线交于点F ，连接BE 并延长交AD 的延长线于点G ，连接FG .求证：直线FG ⊂平面ABCD ，且直线FG ∥直线A 1B 1.方法提炼1．证明或判断空间两直线平行最常用的方法是公理4.平行线的传递性即若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .2．判断两直线为异面直线的常用方法．过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线，如图．请做演练巩固提升1忽视对异面直线所成的角与三角形内角的关系而致误【典例】已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为BB1，CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为__________．解析：设正方体的棱长为a.连结A1E，可知D1F∥A1E，∴异面直线AE与D1F所成的角可转化为AE与A1E所成的角，在△AEA1中，cos∠AEA1＝a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22＋a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22－a22a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22a2＋⎝⎛⎭⎪⎫a22＝35.答案：35答题指导：1．(1)在用平行平移的方法将异面直线所成的角转化为三角形内角时，忽视对三角形内角“即为两异面直线所成角或其补角”的叙述．(2)通过解三角形得到某一内角的余弦值为负值后，忽视角的范围，不知将其转化为正值来处理．2．求异面直线所成角一般用平移法：①一作：即找或作平行线，作出异面直线所成的角．②二证：即证明作出的角是异面直线所成的角．③三求：解三角形，求出所作的角，注意异面直线所成的角为锐角或直角．1．关于直线m，n与平面α，β，有以下四个命题：①若m ∥α，n∥β且α∥β，则m∥n；②若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n；③若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n；④若m⊥α，n ⊥β且α⊥β，则m⊥n.其中真命题有( )．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．(2012浙江高考)设l是直线，α，β是两个不同的平面，( )．A．若l∥α，l∥β，则α∥βB．若l∥α，l⊥β，则α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，则l⊥βD．若α⊥β，l∥α，则l⊥β3．设A，B，C，D是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确的是( )．A．若AC与BD共面，则AD与BC共面B．若AC与BD是异面直线，则AD与BC是异面直线C．若AB＝AC，DB＝DC，则AD＝BCD．若AB＝AC，DB＝DC，则AD⊥BC4．设a，b，c是空间中的三条直线，下列命题：①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊂平面α，b⊂平面β，则a，b一定是异面直线；③若a，b与c成等角，则a∥b.上述命题中正确的是__________(只填序号)．5．如图所示，平面四边形EFGH的四个顶点分别在空间四边形ABCD的四边上，且直线EH与FG相交于点P，求证：B，D，P三点共线．参考答案基础梳理自测知识梳理1．(1)两点 ⊂ (2)不在一条直线(3)有且只有一条2．(1)相交直线 平行直线 任何 (2)a ∥c (3)相等或互补(4)异面直线 锐角(或直角)3．无数个 一个 无 a ⊂α a ∩α＝A a ∥α4．α∥β α∩β＝l 无数 α⊥β 无数基础自测1．A2．B 解析：在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A 错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，B 正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C 错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D 错．3．D 解析：对于A ，平行直线的平行投影也可能平行，故A 错误；对于B ，平行于同一直线的两个平面也可能相交，故B 错误； 对于C ，垂直于同一平面的两个平面也可能相交，故C 错误．4．③ 解析：①a ，c 可能相交、平行或异面；②a ，c 可能相交、平行或异面；③正确；④a ，c 可能相交、平行或异面．5．解：(1)连接EF ，GH .已知E ，F 分别为AB ，AD 的中点，∴EF 12BD . 又CG ＝13BC ，CH ＝13DC ， ∴HG 13BD .∴EF ∥HG 且EF ≠HG . ∴EF ，HG 可确定平面α，即E ，F ，G ，H 四点共面．(2)由(1)知：EFHG 为平面图形，且EF ∥HG ，EF ≠HG .∴四边形EFHG 为梯形．设直线FH ∩直线EG ＝O .∵点O ∈直线FH ，直线FH ⊂平面ACD ，∴点O ∈平面ACD .同理点O∈平面ABC.又∵平面ACD∩平面ABC＝AC，∴点O∈直线AC.∴直线FH，EG，AC交于点O，即三直线共点．考点探究突破【例1】证明：设定线段AB所在直线为l，与平面α交于O点，即l∩α＝O.由题意可知，AP∩α＝C，BP∩α＝D，∴C∈α，D∈α.又∵AP∩BP＝P，∴AP，BP可确定一平面β，且C∈β，D∈β.∴CD＝α∩β.∵A∈β，B∈β，∴l⊂β.∴O∈β.∴O∈α∩β，即O∈CD.∴不论P在什么位置，直线CD必过一定点．【例2】证明：已知E是CD的中点，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有A∈平面ABCD，E∈平面ABCD，所以AE⊂平面ABCD.又因为AE∩BC＝F，所以F∈AE.从而F∈平面ABCD.同理G∈平面ABCD，所以FG⊂平面ABCD.因为EC 12 AB，故在Rt△FBA中，CF＝BC，同理DG＝AD.又在正方形ABCD中，BC AD，所以CF DG.所以四边形CFGD是平行四边形．所以FG∥CD.又CD∥AB，AB∥A1B1，所以直线FG∥直线A1B1.演练巩固提升1．B 解析：若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行，也可能相交或异面，故①错；若m∥α，n⊥β且α⊥β，则m与n可能平行，也可能相交或异面，故②错；若m⊥α，且α∥β，则m⊥β，又n∥β，所以m⊥n，故③为真命题；若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故④为真命题．因此真命题有2个．2．B 解析：A选项中由l∥α，l∥β不能确定α与β的位置关系，C选项中由α⊥β，l⊥α可推出l∥β或l⊂β，D 选项由α⊥β，l∥α不能确定l与β的位置关系．3．C 解析：A中，若AC与BD共面，则A，B，C，D四点共面，则AD与BC共面；B中，若AC与BD是异面直线，则A，B，C，D四点不共面，则AD与BC是异面直线；C中，若AB＝AC，DB＝DC，AD不一定等于BC；D中，若AB＝AC，DB＝DC，可以证明AD⊥BC.4．①5．证明：∵点P是直线EH与FG的交点，∴点P既在直线EH上，也在直线FG上．又直线EH，FG分别在平面ABD和平面BCD内，∴点P既在平面BCD内，又在平面ABD内．故点P必在两平面的交线上，而平面ABD∩平面BCD＝BD，∴P∈BD，即点P在直线BD上．∴B，D，P三点共线．。
2019版高考数学一轮复习第八章立体几何第二节空间点、直线、平面之间
故∠D1B1C(或其补角)为所求角,
又B1D1=B1C=D1C, 所以∠D1B1C=60°.
考点突破
考点一 共点、共线、共面问题
典例1 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是AB和AA1的
中点.求证:
(1)E、C、D1、F四点共面; (2)CE、D1F、DA三线共点.
证明 (1)如图所示,连接CD1、EF、A1B,
1.如图是正方体和四面体,P,Q,R,S分别是所在棱的中点,则这四个点不 共面的是 ( D )
答案 D A、B、C中四个点一定共面,D中四个点不共面.
2.若直线l不平行于平面α,且l⊄α,则 ( B )
A.α内的所有直线与l异面 B.α内不存在与l平行的直线 C.α内存在唯一的直线与l平行 D.α内的直线与l都相交 答案 B 假设α内存在直线m∥l, ∵l⊄α ,∴l∥α,与题设矛盾,故选B.
答案 ③④
解析 直线AM与CC1是异面直线,直线AM与BN也是异面直线,所以①② 错误.点B,B1,N在平面BB1C1C中,B1在直线BN外,点M在此平面外,所以BN 与MB1是异面直线.同理,AM与DD1也是异面直线.
方法技巧
异面直线的判定方法 (1)利用反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条直线平行或相交, 由假设出发,经过严格的推理,导出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异 面.此法在异面直线的判定中经常用到. (2)利
3.(2017北京东城一模,4)已知m是直线,α,β是两个互相垂直的平面,则
“m∥α”是“m⊥β”的 ( D ) A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件
答案 D 当α⊥β,m∥α时,m∥β或m⊂β或m与β相交,故“m∥α”不是“m
近年高考数学一轮复习第8章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位关系演练文(2021年整理)
2019高考数学一轮复习第8章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位关系分层演练文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第8章立体几何第3讲空间点、直线、平面之间的位关系分层演练文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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第3讲空间点、直线、平面之间的位关系一、选择题1．四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有( ）A．4个B．3个C．2个D．1个解析：选A．首尾相连的四条线段每相邻两条确定一个平面,所以最多可以确定四个平面．2．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面,命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的（)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．若A，B，C，D四点不共面,则直线AC和BD不共面,所以AC 和BD不相交；若直线AC和BD不相交,若直线AC和BD平行时，A，B，C，D 四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α,β内,则“直线a和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A．若直线a,b相交，设交点为P，则P∈a，P∈b．又a⊂α，b⊂β，所以P∈α,P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交,则a，b 可能相交,也可能异面或平行．故“直线a和直线b相交"是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．4．在正方体ABCD。