传递函数矩阵的状态空间最小实现
最小实现
n1
s
n
n
s
s
n1
1 , n1 , n 其中 均mp阵 分母多项式为特征多项式。
其能控标准型实现为：
Op Ac n Ip Cc n Ip 1 Ip Ip B Op 0 Ip
一旦给出了G(s)便可直接写出其实现。(按 能控或能观标准型)
A
C
0 n
1
0
1
1
Bc
0 0 Cc 1
n
1
A
0
0 0 1 1
应注意：G(s)为严格真有理分式阵。 1．Gij(s)的分子阶次低于分母阶次时，实 现为（A，B，C） 2．分子阶次等于分母阶次时，实现为 （A，B，C，D）， D l im G ( s ) 且
s
n
1
B
0
n 1
C
0
0 0 1
再验证能观性或能控性，以确出系统）
将G(s)化写为：有理分式阵。
1
G ( s )
s
n
n1
传递函数（阵）所反映的是系统中能控且 能观测的子系统。 因此，既可用能控性作为实现，又能用能 观标准型作实现。
定理：Ｇ(s)的一个实现(Ａ,Ｂ,Ｃ)既能控 又能观,则实现是严格的真有理分式Ｇ(s) 的实现． 说明：G(s)只能反映系统中能控又能观 的动态行为，所以把不能控或不能观的 状态消去，不会影响系统的G(s)，或如 果有不能控或不能观的状态分量存在将 使系统实现的不是最小实现．
传递函数阵的最小实现例题
传递函数阵的最小实现例题传递函数阵的最小实现是一个重要的概念，它涉及到线性系统的稳定性和可控性。
下面是一个简单的例子来说明如何实现传递函数阵的最小实现。
考虑一个简单的线性时不变系统，其传递函数为\(H(s) = \frac{b_0 + b_1s + b_2s^2}{a_0 + a_1s + a_2s^2}\) 其中\(a_0, a_1, a_2, b_0, b_1, b_2\) 是系统的参数。
为了实现传递函数阵的最小实现，我们需要找到一组状态空间表示，使得该状态空间表示的传递函数等于给定的传递函数\(H(s)\)。
状态空间表示通常由以下四个方程组成：\[\begin{aligned}x' &= Ax + Bu \\y &= Cx +Du\end{aligned}\]其中\(x\) 是状态向量，\(u\) 是输入向量，\(y\) 是输出向量，\(A, B, C, D\) 是系统的状态矩阵和输出矩阵。
根据给定的传递函数\(H(s)\)，我们可以将系统参数转换为状态空间表示的参数。
具体地，我们可以使用以下步骤：1. 首先将传递函数\(H(s)\) 转换为多项式形式，即\(H(s) = \frac{\sum_{i=0}^n b_i s^i}{\sum_{i=0}^n a_i s^i}\)。
2. 然后将多项式形式的传递函数转换为状态空间表示的参数。
具体地，我们可以使用以下公式：\[\begin{aligned}a_0 &= 1 \\a_1 &= -A \\a_2 &= A^2 -B^2 \\b_0 &= -D \\b_1 &= C \\b_2 &= -B\end{aligned}\]3. 最后将参数代入状态空间表示的公式，即可得到状态空间表示。
下面是一个具体的例子：考虑传递函数\(H(s) = \frac{s^2 + 2s + 1}{s^2 + 2s + 3}\)，我们可以将其转换为多项式形式：\(H(s) = \frac{(s+1)^2}{(s+1)^2 + 2}\)然后使用上述公式将多项式形式的传递函数转换为状态空间表示的参数：\[\begin{aligned}A &= -1 \\B &= 0 \\C &= 1 \\D &=-1\end{aligned}\]最后代入状态空间表示的公式，得到状态空间表示：\[\begin{aligned}x' &= -x \\y &= x\end{aligned}\]这是一个简单的例子，说明如何实现传递函数阵的最小实现。
第8章 传递函数矩阵的状态空间实现
注 这里使用的符号D与G(s)的右MFD描述G(s) = Nr(s)Dr-1(s) 和左MFD描 述G(s) = Dl-1(s)Nl(s)中的符号Dr、Dl 不同，切勿混淆。
实现的基本属性： (1) 实现的维数 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)的结构复杂程度可由 其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维数，即 实现的维数 = dim A (8–3) (2) 实现的不惟一性 传递函数矩阵G(s)的实现(A,B,C,D)满足强不惟一性 ，即不仅实现结果不惟一，而且其实现维数也不惟一。
1 2 I1 1 I1 2 0 1 jI1 2 1 jI1 2 0 0 0 I3
I1 P jI1 0
I1 jI1 0
0 0 , I3
P 1
(8 83)
其中，I1为维数与A1相同的单位阵， I3为维数与A3相同的单位阵，j2 = -1。 上述变换下导出的实数化并联实现具有形式：
1
m
1
m
f11
1
m
c p [ f11
f12
1
f m m
m
f m2
f m1 ]
(8 75)
并联实现(8-75)中， Ap为约当规范型，因此也称并联实现为约当型实现。 当g(s)的严格真部分n(s)/d(s)中包含共轭复数极点时，并联实现中会出 现复数元，导致应用和分析上的不便。解决方法是对(Ap, bp, cp) 引入适当等 价变换，使之实数化，以m = 3时的情形为例，设(Ap, bp, cp)为
0 0 Ac 0 0 1 0 0 1 0 1 0 2 0 , 1 n 1 0 0 0 bc , 0 1
第六章传递函数矩阵的实现理论
能控形实现的维数？
⎡0 ⎢1 ⎢ A = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0
0 0 0 0 ⎤ 0 0 0 − 2⎥ ⎥ 1 0 0 − 7⎥ ⎥ 0 1 0 − 9⎥ 0 0 1 − 5⎥ ⎦
⎡0 ⎢3 ⎢ B = ⎢5 ⎢ ⎢2 ⎢ ⎣0
4⎤ 6⎥ ⎥ 4⎥ ⎥ 1⎥ 0⎥ ⎦
C = [0 0 0 0 1]
（6-1）
或简写为（A，B，C，E）是其传递函数矩阵 G ( s ) 的一个实现， 如果两者为外部等价即成立关系式：
C(sI − A)−1 B + E = G(s)
（6-2）
传递函数矩阵 G ( s ) 的实现（A，B，C，E）的结构复杂程 度可由其维数表征。一个实现的维数规定为其系统矩阵A的维 数，即有
L O
0 q ⎤ −α 1 I q ⎥ ⎥ , M ⎥ ⎥ −α l −1 I q ⎥ ⎦ lq × lq Iq ⎤ ⎦
q × lq
⎡ P0 ⎤ ⎢ P ⎥ B0 = ⎢ 1 ⎥ ⎢ M ⎥ ⎢ ⎥ P ⎣ l −1 ⎦ lq × p
(6-9)
而真传递函数矩阵 G ( s ) 的能观形实现为 ( A0 , B0 , C0 , E ) 。 例：试建立
co = [0, L, 0, 1]
（6-5）
这时A阵的规模不可能再减小了，因为再减小就不可能得出 传递函数的分母是 n 次多项式的结果。 6.1.2 传递函数矩阵的实现 考虑以有理分式矩阵描述给出的真 q × p 传递函数矩阵 G ( s )
G(s) = (gij (s)), i = 1,L, q j = 1,L, p
（6-4）
能观测规范形实现 式（6-3）所示标量传递函数 g(s)的严真部分n(s)/d(s)的 4 能观测规范形实现具有形式：
现代控制理论试题详细答案
现代控制理论试题B 卷及答案一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。
状态变量个数是2。
…..（4分）2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）…..….…….（1分）写成010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦…..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分）二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。
（3分）2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，判定该系统是否完全能观？(5分)解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。
若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。
…..….…….（3分） 2.[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分）[][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分）rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）三、已知系统1、2的传递函数分别为 求两系统串联后系统的最小实现。
现代控制理论复习题库
现代控制理论复习题库⼀、选择题1.下⾯关于建模和模型说法错误的是( C )。
A．⽆论是何种系统，其模型均可⽤来提⽰规律或因果关系。
B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种⽅式的组合表⽰状态变量、输⼊变量、输出变量、参数之间的关系。
C．为设计控制器为⽬的建⽴模型只需要简练就可以了。
D．⼯程系统模型建模有两种途径，⼀是机理建模，⼆是系统辨识。
&&&&的类型是( B ) 。
2.系统()3()10()y t y t u t++=A．集中参数、线性、动态系统。
B．集中参数、⾮线性、动态系统。
C．⾮集中参数、线性、动态系统。
D．集中参数、⾮线性、静态系统。
3.下⾯关于控制与控制系统说法错误的是( B )。
A．反馈闭环控制可以在⼀定程度上克服不确定性。
B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。
C．反馈闭环控制可在⼀定程度上克服外界扰动的影响。
D．控制系统在达到控制⽬的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。
x Pz说法错误的是( D )。
4.下⾯关于线性⾮奇异变换=A．⾮奇异变换阵P是同⼀个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。
B．对于线性定常系统，线性⾮奇异变换不改变系统的特征值。
C．对于线性定常系统，线性⾮奇异变换不改变系统的传递函数。
D．对于线性定常系统，线性⾮奇异变换不改变系统的状态空间描述。
5.下⾯关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。
A．线性系统的响应包含两部分，⼀部是零状态响应，⼀部分是零输⼊响应。
B．线性系统的零状态响应是稳态响应的⼀部分。
C．线性系统暂态响应是零输⼊响应的⼀部分。
D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越⼤。
6.下⾯关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。
A．能控且能观的状态空间描述⼀定对应着某些传递函数阵的最⼩实现。
B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能⼒。
C．能观性表征的是状态反映输出的能⼒。
传递函数矩阵的状态空间最小实现
传递函数矩阵的状态空间最小实现传递函数矩阵最小实现方法——降阶法人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。
给定严格真传递函数矩阵()G s ，为寻找一个维数最小的（A,B,C ）,使1()()C sI A B G s --=，则称该（A,B,C ）是()G s 的最小实现，也称为不可约实现。
最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论：（1）（A,B,C ）为严格真传递函数矩阵()G s 的最小实现的充要条件是（A,B ）能控且（A,C ）能观测。
（2）严格真传递函数矩阵()G s 的任意两个最小实现（A,B,C ）与(,,)A B C 之间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T 使得式子11,,A T AT B T B C CT --===成立。
（3）传递函数矩阵()G s 的最小实现的维数为()G s 的次数n δ，或()G s 的极点多项式的最高次数。
为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。
求最小实现的方法有三种：1、降阶法。
根据给定的传递函数矩阵()G s ，第一步先写出满足()G s 的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足()G s 的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。
2、直接求取约当型最小实现的方法。
若()G s 诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。
3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。
下面主要研究降阶法（先求能控型再求能观测子系统的方法）并举例说明。
先求能控型再求能观测子系统的方法设（p ×q ）传递函数矩阵()G s ，且p ＜q 时，优先采用本法。
取出()G s 的第j 列，记为j ()G s ，是j u 至()y s 的传递函数矩阵，有j ()G s =1[()....()]Tj qj g s g s =11()()[]()()j qj T j qj p s p s q s q s记()j d s 为1()j q s ,()qj q s 的最小公倍式，则j ()G s =11[()()]()T j qj j n s n s d s设()j d s =1,1,1,0jj j nn j n j j s a sa s a --++++则12,1,2,1,0()j j j j n n ij ij n ij n ij ij n s sss ββββ----=++++ ，1,...i q =在此()j d s 是q 个子系统传递函数的公共部分，由单输入-多输出系统的实现可知，能用能控规范Ⅰ型的j A 、j b 实现()j d s ，由()ij n s 的诸系数确定j C ，这时j ()G s 的实现为1,0,0,10j j j jn j j j j n n n I A a a a --⨯⎡⎤=⎢⎥---⎢⎥⎣⎦ 1001j j n b ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1,01,11,1,0,1,1j j q n jj j j n j qj qj qj n C ββββββ⨯--⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 令1,,j p =，便可得j ()G s 的实现为12n nP A A A A ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 12n pP b b B b ⨯⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]12q n P C C C C ⨯=当p ＜q 时，显见A 、B 、C 的维数均较小，且有1pj j n n ==∑。
4第四章 传递函数矩阵的状态空间
]
[
]
dj(s)为最小公倍式,nij(s)为分子多项式
d j ( s ) = s + a j ,n j 1s
nj n j 1
+ L + a j ,1s + a j , 0
17
nij ( s ) = β ij ,n j 1s
n j 1
+ L + β ij ,1s + β ij , 0 , i = 1,2 L q
g i ( s ) 为严格真分式 取 g i ( s ) 最小公分母,记为D(s)
D ( s ) = s n + an 1s n 1 + L + a1s + a0
β 1,n1 s n 1 + L + β 1, 0 (s) = 1 M G D( s) β q ,n1 s n 1 + L + β q , 0
& x5 = 3x5 + x6
& x6 = x6 + u1
3
1 1 & x2 = 2 x2 + x3 0 2 1 & x3 = x3 + u2 0 1 & x + & x 4 = 3 x 4 + u 2 x = 3 0 & x5 = 3x5 + x6 3 1 0 1 1 & x6 = x6 + u1
[
]
对 G ( s ) 建立能观测标准型,
xn = y1 & xi = xi +1 + ai y1 β1i u1 L β pi u p , i = 1,2,3, L , n 1 14
xn = y1 & xi = xi +1 + ai y1 β1i u1 L β pi u p , i = 1,2,3, L , n 1
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传递函数矩阵最小实现方法
降阶法人们在设计复杂系统时，总是希望在构造系统之前用模拟计算机或数字计算机对所设计的系统进行仿真，以检查系统性能是否达到指标要求。
给定严格真传递函数矩阵G(s)，为寻找一个维数最小的(A,B,C),使C(sl - A)」B二G(s)，则称该(A,B,C )是G(s)的最小实现，也称为不可约实现。
最小实现是系统实现的一种非常重要的实现方式，关于最小实现的特性，有下列几个重要结论：
(1)( A,B,C )为严格真传递函数矩阵G(s)的最小实现的充要条件是(A,B) 能控且(A,C)能观测。
(2)严格真传递函数矩阵G(s)的任意两个最小实现(A,B,C)与(A,B,C5之
间必代数等价，即两个最小实现之间由非奇异线性变换阵T使得式子
A =T」AT,
B =T J B,
C =CT 成立。
(3)传递函数矩阵G(s)的最小实现的维数为G(s)的次数n.，或G(s)的极点多项式的最高次数。
为了寻求传递函数矩阵的最小实现，就意味着要把系统中不能控和不能观测的状态变量消去而不至于影响系统的传递函数。
求最小实现的方法有三种：
1、降阶法。
根据给定的传递函数矩阵G(s)，第一步先写出满足G(s)的能控型实现，第二步从中找出能观测子系统；或者第一步先写出满足G(s)的能观测型实现，第二步从中找出能控子系统，均可求得最小实现。
2、直接求取约当型最小实现的方法。
若G(s)诸元容易分解为部分分式形式，运用直接求取约当型最小实现的方法是较为方便的。
3用汉克尔矩阵法求取最小实现的方法。
下面主要研究降阶法(先求能控型再求能观测子系统的方法)并举例说明。
先求能控型再求能观测子系统的方法设(px q)传递函数矩阵G(s)，且p v q时，
优先采用本法。
取出G(s)的第j列，记为G j(s)，是u j至y(s)的传递函
数矩阵，有
由n ij (s)的诸系数确定C j ，这时
A j
「a j,0
-6,° III Pj i
n j 1
1j,0
"I" j ，
b p -
G j (s)=[g 1j (s)....g qj (s)]T
=[
( )
l qu (s)
/((sy q qj
(s)
记d j (s)为q ij (s), q qj (s)的最小公倍式，则
1
Gj(s)
=帀g ⑼叭创
n | n , _1 ,,,
设d j (s) = s a j ，n_i S a“s a j,。
则 m(s) = '-ij,n j
- 1ij,n j ^
s^^ J|| - ■- j,i^ ■- ij,o , i = 1,...q
在此d j (s)是q 个子系统传递函数的公共部分，由单输入-多输出系统的实现 可知，能用能控规范I 型的 A j 、b j 实现d j (s)，
G j (s)的实现为
C j
i q
询
令j =1^1, p ，便可得G j (s)的实现为
b 2
n ；.p
A P -
C
q n = C1 C2 川C P 1
当p v q时，显见A、B、C的维数均较小，且有n： =n。
上述实现一定能
|.Si (nqQ
)n J
U nn o
1(n-OQ
)n
」
j Su SU 」L 。
由 TT- S U U} SU SU i
_Si
n o
|
Q
，
1
n-n o
有 SU = I n
o
由 CT 4 =C U uj-lcu cu 」-c o o ， 由 TA 宀鬥A U Ui]=[SAU SAU i]=B
[S i 」
:S i AU S i AU- ]A 21
B J SB L 可，
〔SB 一旦」’
于是由能控型化为能控能观测型的简化步骤可归结为: 有 C o = CU U i
，有 A 。
= SAU
A Q
有 B o 二
SB
控，但不一点能观测，需要找出能观测部分，为此需要判别（A,C ）的能观测行＜
C
CA 若（A,C ）能观测，贝U （ A,B,C ）为最小实现；若rankQ ° = rank
.
= n 0
v n
+
k 一
则从Q o 中选出n o 个线性无关行，记为S;在附加（n - n °）个任意行（通常为单 位矩阵I n 的任意行），记为S i ，即
构造W 的非奇异变换阵T ，€ 引入变换x =Tx ，由能观测性的结构分解可知
其中能观测子系统（A,B o ,C o ）即为所求的最小实现。
（瓦，瓦,C 0）有如下简化求法：记T‘为
I .构造S 阵（从Q o 中选出n o 个线性无关行）；
Vi
+ +
=S , Vn°
卑
+ T
T
■
V
n
=S
_
AQ
B = T |B° 1
C = c r = PC
o~\
'A 21 AQ j
I BQ J
L
J
— _1
A =TAT
A」
_0
■-1
-6
0〕
1
-5
r 一01
000
〔0b2
一0
1
一
C>_-1
1 1
一
1
g^s)= 丄
S +1 1 | 1
—1 s +1 —1
_s+1」
g2(s)二
s+3 _ 1 s+2
| -1 _(s+2)(s+3) s_3_
_s+2」
d=1
b2
「1」
C2屮
_-3
1
-1
2•由SU =%，求出U阵；
3. 计算最小实现。
A00 =SAU , 瓦二SB , C0 =CU。
由于S选择的任意性及求解U的任意性，最小实现不唯一，但最小实现的维数是唯一的，且系统都是能控能观测的。
下面举例说明该法。
例1、已知传递函数矩阵G(s)，求最小实现。
s 2 1
G(s)j s+1 s+3
s s+1
l-S+1 s + 2_j
解：化G(s)为严格真传递函数矩阵G(s)
J ___
G(s)=卜：1 s：3+£ 0L(?(S)+D
-1 -1 1 1
•s + 1 s + 2」
求G(s)的最小实现
令dMs) =s 1,d2(s) =s2 5s 6，其能控规范I型实现为
A 一-1
(?(s)的能控型实现为
(A,C)的能观测性判别：由于ran kC =2=m
「C l
~C 1 rankQ ° =rank | n m =rank |
=rank
]CA _
]CA
-1 -1
2 1
七
-1 =3 = n
-6 -3
即(A,C)能观测。
(A,B,C )能控且能观测，即为G(s)的最小实现 G(s)的最小实
现为(A,B,C,D )
例2、求下列G(s)的最小实现维数及最小实现
-4s + 6
2s+3 ]
(s+1)(s + 2) (s+1)(s+3)
G(s
)=
c ” -2 -1 ] (s+1)(s + 2) (s + 1)(s + 2) _
解(1)确定最小实现维数n,..：所有G(s)的一阶子式的最小公分母为(s ，1)(s ・2)； 二阶子式只有一个
0，其分母为任意常数。
故所有子式的最小公分母仍为
(s 1)(s 2)，有 n .=2。
(2)
g(s)二
1 ：4s + 6]
(s+1)(s+2)] -2 一
心乔E 2：3
]
C 』3 2
_-1
A 0
「 th
C
b =
1
IL 0
A 2
_0 b 2
令d 1 (s) = d 2(s) = (s 1)(s 2)，其能控规范I 型实现为
(A,C)的能观测性判别：由于rankC = 2二m 1 1
-3
7 4]
A
■ C C 21
_C 1 CA +
E-
1
=rank CA
+
CA njm
ran kQ 0 = ra nk =rank
■6 4
3 2〕 -2
-1 0 -8 -6 -4 -3 0 -2 0 -1 12 10
6 5
6
2
3
=2 <4
(A,C)不完全可观测 从Q o 中选出二行构成
S 阵亠 6
4
3 2
-2 0-10
由SU “2求U 阵: 6 4 IL-2 0 3
-1
U
11
2
] | U
21
U 31 U 41
1 0 「0 1」
四个方程含8个未知数，设任意规定
u
31 = U32 = u
41
=U 42 = 0，可解得
1 U = 一
4 0 2
3
4 0
故最小实现为 _3 一 2
A)= SAU = 1 2
4
_0
C 。
=cu。