DFT对称性的验证以及应用课程设计
DFT的计算量及对称性(图) 17
DFT的计算量及对称性（图）上一回说到，为了克服DFT存在的栅栏效应、频谱泄漏和混叠失真等问题，可以增加采样点数N。
但点数N的增加又会带来DFT计算量呈幂函数规律大幅度增加。
即对于长度为N有限长序列x（n），完成其一个N点DFT（1）需要进行的计算量为：（2）和（3）完成一个如下的逆变换运算量亦然：（4）假设一个点数N＝1024的信号，则DFT计算量仅复数乘法运算就高达104万次以上。
现在工程技术实际中采样点数N可达（5）那么仅复数乘法计算量就高达（6）简直是天文数字！如果有许多路信号序列的实时控制系统，你让计算机怎么来得及处理啊？可见我们必须千方百计减少DFT的运算量！科学家们首先想到的就是利用DFT的“对称性”。
一、复共轭序列的DFT我们知道DFT中的序列都可以表示为复数项级数，那么自然就有与之相对的复共轭序列。
设是的复共轭序列，长度也为N，若（7）则复共轭序列的离散傅里叶变换为（8）且（9）证明：由DFT的定义式（1）有（10）注意上式中使用了（11）且因为DFT的概念是建立在周期序列的基础之上的，所以X（k）隐含周期性，根据DFT的定义式（1）便有（12）即DFT的末点就是其起始点。
证毕。
同理可证（13）二、共轭对称性的定义根据序列的偶对称和奇对称性质，有限长共轭对称序列定义为（14）有限长共轭反对称序列定义为（15）由此推论出（16）（17）和（18）（19）注意：上述结论对频域序列X（k）也成立。
此处的对称性指关于变换区间中点（N/2点）的对称性。
因为x（n）和X （k）均是区间[0，N－1]上的有限长序列。
三、序列表示为共轭对称部分和共轭反对称部分时的DFT因为任何有限长序列x（n）都可以表示为其共轭对称部分和共轭反对称部分之和，即：（20）则（21）其中，X（k）的实部对应于x（n）的共轭对称部分的DFT：（22）X（k）的虚部（包括虚数单位j）对应于x（n）的共轭反对称部分的DFT：（23）四、序列表示为实部和虚部时的DFT设（24）其中序列的实部为（25）序列的虚部（包括虚数单位j）为（26）则（27）其中，X（k）的共轭对称部分对应于x（n）的实部的DFT：（28）X（k）的共轭反对称部分对应于x（n）的虚部（含j）的DFT：（29）五、实序列的DFT特殊地，如果有实序列：（30）则其DFT（31）此时不难由式（8）推论出（32）六、DFT的共轭对称性的应用利用共轭对称性，进行一次DFT可以变换两个实序列。
离散傅立叶变换DFT实验报告
实验一 离散时间系统的时域分析一、实验目的１. 运用MATLAB 仿真一些简单的离散时间系统，并研究它们的时域特性。
２. 运用MATLAB 中的卷积运算计算系统的输出序列，加深对离散系统的差分方程、冲激响应和卷积分析方法的理解。
二、实验原理离散时间系统其输入、输出关系可用以下差分方程描述：∑=∑=-=-M k k N k k k n x p k n y d 00][][当输入信号为冲激信号时，系统的输出记为系统单位冲激响应 ][][n h n →δ，则系统响应为如下的卷积计算式：∑∞-∞=-=*=m m n h m x n h n x n y ][][][][][ 当h[n]是有限长度的（n ：[0，M]）时，称系统为FIR 系统；反之，称系统为IIR 系统。
在MATLAB 中，可以用函数y=Filter(p,d,x) 求解差分方程，也可以用函数 y=Conv(x,h)计算卷积。
例1clf;n=0:40;a=1;b=2;x1= 0.1*n;x2=sin(2*pi*n);x=a*x1+b*x2;num=[1, 0.5,3];den=[2 -3 0.1];ic=[0 0]; %设置零初始条件y1=filter(num,den,x1,ic); %计算输入为x1(n)时的输出y1(n)y2=filter(num,den,x2,ic); %计算输入为x2(n)时的输出y2(n)y=filter(num,den,x,ic); %计算输入为x (n)时的输出y(n)yt= a*y1+b*y2;%画出输出信号subplot(2,1,1)stem(n,y);ylabel(‘振幅’)；title(‘加权输入a*x1+b*x2的输出’)；subplot(2,1,2)stem(n,yt);ylabel(‘振幅’)；title(‘加权输出a*y1+b*y2’)；(一)、线性和非线性系统对线性离散时间系统，若)(1n y 和)(2n y 分别是输入序列)(1n x 和)(2n x 的响应，则输入)()()(21n bx n ax n x +=的输出响应为)()()(21n by n ay n y +=，即符合叠加性，其中对任意常量a 和b 以及任意输入)(1n x 和)(2n x 都成立，否则为非线性系统。
DFT性质及DFT应用的研究
DFT性质(xìngzhì)及DFT应用(yìngyòng)的研究易长城(Chángchéng)生物医学工程(gōngchéng)专业2014级本科(běnkē)指导老师：王燕李霞摘要：为了掌握DFT正变换及反变换之间的计算关系；观察和分析 DFS 应用中存在的混叠、泄漏、栅栏效应等问题和改善途径、方法；了解 DFT 实部、虚部之对应关系；验证 DFT 的若干性质；学习 Matlab 中子程序的编写和调用；运用matlab编程，研究DFT的性质和以及可能在应用出现的问题；通过上述方法，实现了DFT函数的编程和调用，详细探究了DFT的在时域和K域的能量守恒关系、复数序列的圆周相关定理，观察了DFT在采样频率不够时的混叠现象、没加窗之前的泄露现象以及栅栏效应。
关键词： DFT matlab 时域 K域Abstract：In order to understand the relationship between DFT positive transform and inverse transformation, we can observe and analyze the problems such as aliasing, leakage and fence effect in DFS application, and improve the way and method. We understand the correspondence between DFT real part and imaginary part. The use of matlab programming, research the nature of DFT and may be in the application of the problem; through the above method to achieve the DFT function programming and call, a detailed study of the DFT in the Time domain and K domain, the algebraic phenomenon of DFT in the case of insufficient sampling frequency, the leakage phenomenon and the fence effect before windowing are observed.Keywords：DFT matlab time domain K domain1.前言：了掌握DFT正变换及反变换之间的计算关系；观察和分析 DFS 应用中存在的混叠、泄漏、栅栏效应等问题和改善途径、方法；了解 DFT 实部、虚部之对应关系；验证 DFT 的若干性质；学习 Matlab 中子程序的编写和调用。
数字信号处理： MATLABdft对称性验证以及应用
数字信号处理： MATLABdft对称性验证以及应用武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书目录1 MATLAB基本操作及常用命令介绍 (1)1(1 MATLAB的启动 .....................................................................11(2桌面平台 ..................................................................... . (1)1.3 基本平面图形绘制命令plot (2)2 理论分析 ..................................................................... (3)2.1实验内容 ..................................................................... . (3)2.2序列对称性的理论验证 (3)3 程序验证 ............................................................................................. 4 4 结果分析 ..................................................................... ........................ 7 5 对称性的应用 ..................................................................... .. (10)5.1 FFT算法的基本思想 (10)5.2 对称性应用的程序实现 (11)6 心得体会 ..................................................................... ...................... 15 参考文献 ..................................................................... .. (16)武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书1 MATLAB基本操作及常用命令介绍1(1 MATLAB的启动启动MATLAB有多种方式，最常用的方法就是双击系统桌面的MATLAB图标，也可以在开始菜单的程序选项中选择MATLAB快捷方式。
DFT 变换的性质及应用
任务1、用三种不同的DFT 程序计算x(n ) (0.9)n (n = 0,1,2,…,7)的傅立叶变换X(k)，并比较三种程序的计算机运行时间。
步骤：a.用for 循环语句编制函数文件，实现循环计算X(k)；b.编写矩阵运算的函数文件，实现矩阵计算X(k)；c.调用FFT 函数直接计算X(K)任务2、给定x(n) = nR16 (n) ，h(n) = R8 (n) 利用DFT 实现两序列的线性卷积运算，并研究DFT 的点数与混叠的关系，并用stem(n,y)画出相应的图形。
任务3、讨论序列补零及增加数据长度对信号频谱的影响(1)求出序列x(n)=cos(0.48 n)+cos(0.52 n)基于有限个样点n=10 的频谱；(2)求n=100 时,取x(n)的前10 个,后90 个设为零，得到x(n)的频谱;(3) 增加x(n)有效的样点数，取100 个样点得到x(n)的频谱n=[0:1:99];x=cos(0.48*pi*n)+cos(0.52*pi*n);subplot(2,1,1);stem(n,x);title('signal x(n),0<=n<=99');xlabel('n') axis([0,100,-2.5,2.5])X=fft(x);magX=abs(X(1:1:51));k=0:1:50;w=2*pi/100*k;subplot(2,1,2);stem(w/pi,magX);title('100点DFT');xlabel('(w/pi)') axis([0,1,0,60])测试记录分析结论一、任务1a.用for 循环语句编制函数文件，实现循环计算X(k)；b.编写矩阵运算的函数文件，实现矩阵计算X(k)；c.调用FFT 函数直接计算X(K) 三种程序的计算机运行时间二、任务 2051015202530350102030405060708090100小结本次实验总共包括三个任务。
数字信号处理： MATLABdft对称性验证以及应用
数字信号处理： MATLABdft对称性验证以及应用武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书目录1 MATLAB基本操作及常用命令介绍 (1)1(1 MATLAB的启动 .....................................................................11(2桌面平台 ..................................................................... . (1)1.3 基本平面图形绘制命令plot (2)2 理论分析 ..................................................................... (3)2.1实验内容 ..................................................................... . (3)2.2序列对称性的理论验证 (3)3 程序验证 ............................................................................................. 4 4 结果分析 ..................................................................... ........................ 7 5 对称性的应用 ..................................................................... .. (10)5.1 FFT算法的基本思想 (10)5.2 对称性应用的程序实现 (11)6 心得体会 ..................................................................... ...................... 15 参考文献 ..................................................................... .. (16)武汉理工大学《数字信号处理》课程设计说明书1 MATLAB基本操作及常用命令介绍1(1 MATLAB的启动启动MATLAB有多种方式，最常用的方法就是双击系统桌面的MATLAB图标，也可以在开始菜单的程序选项中选择MATLAB快捷方式。
验证dft的实验报告
验证dft的实验报告导言DFT（Discrete Fourier Transform）是一种将一个离散信号的时域表示转换为频域表示的数学变换方法。
本次实验旨在验证DFT的有效性和可靠性，以及了解它在信号处理领域的应用。
实验目的1. 了解DFT的原理和数学表达式；2. 熟悉DFT的运算过程；3. 验证DFT算法在信号处理中的效果。
实验步骤1. 实现DFT算法首先，我们需要实现DFT算法。
DFT将时域信号转换为频域信号，我们需要编写代码来执行这个转换过程。
以下是伪代码示例：function dft(signal):N = length(signal) 信号长度spectrum = []for k in range(N):real_part = 0imag_part = 0for n in range(N):angle = 2 * pi * k * n / Nreal_part += signal[n] * cos(angle)imag_part += signal[n] * sin(angle)spectrum[k] = complex(real_part, imag_part)return spectrum2. 生成测试信号为了验证DFT的准确性，我们需要生成一个已知频谱的测试信号。
我们可以使用一个简单的正弦函数和脉冲函数的组合作为测试信号，如下所示：signal = sin(2 * pi * f1 * t) * pulse(t, t_start, t_end)其中，`f1`是正弦函数的频率，`t`是时间，`pulse(t, t_start, t_end)`是一个单位脉冲函数。
3. 运行DFT算法将生成的测试信号输入DFT算法中，得到频域信号。
我们可以将频域信号进行绘图，观察其频谱分布。
4. 验证结果比较DFT算法得到的频谱和测试信号的已知频谱，检查它们是否吻合。
可以使用频谱图来进行对比分析。
实验结果与分析我们使用Python编程语言实现了DFT算法，并生成了一个具有已知频谱的测试信号。
数字信号除处理课程设计-DFT在信号频谱分析中的应用[1]
![数字信号除处理课程设计-DFT在信号频谱分析中的应用[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/4aa75deaf8c75fbfc77db2ba.png)
湘南学院课程设计课程名称数字信号处理系别：计算机科学系专业班级：通信一班学号： 04 06 02 03 10 36 姓名：胡金霞、肖雅青、许芬、李真真、薛明、蒋小松题目： DFT在信号频谱分析中的应用完成日期： 2010年 12月 23日指导老师：樊洪斌2010年 12月 23日目录1、设计题目 (3)2、设计目的 (3)3、设计原理 (3)4、实现方法 (3)5、设计内容及结果 (6)6、改进建议 (12)7、思考题及解答 (15)8、设计体会 (15)9、参考文献 (16)Ⅰ.设计题目DFT 在信号频谱分析中的应用Ⅱ.设计目的掌握离散傅里叶变换的有关性质，利用Matlab 实现DFT 变换。
了解DFT 应用，用DFT 对序列进行频谱分析，了解DFT 算法存在的问题及改进方法。
学习并掌握FFT 的应用。
Ⅲ.设计原理所谓信号的频谱分析就是计算信号的傅里叶变换。
连续信号与系统的傅里叶分析显然不便于直接用计算机进行计算，使其应用受到限制，而DFT 是一种时域和频域均离散化的变换，适合数值运算，成为分析离散信号和系统的有力工具。
工程实际中，经常遇到的连续信号Xa(t),其频谱函数Xa(jW)也是连续函数。
数字计算机难于处理，因而我们采用DFT 来对连续时间信号的傅里叶变换进行逼近，进而分析连续时间信号的频谱。
Ⅳ.实现方法离散傅里叶变换是有限长序列的傅里叶变换，它相当于把信号的傅里叶变换进行等频率间隔采样，并且有限长序列的离散傅里叶变换和周期序列的离散傅里叶级数本质是一样的。
快速傅里叶变换（FFT ）并不是一种新的变换，它是离散傅里叶变换的一种快速算法，并且主要是基于这样的思路而发展起来的：（1）把长度为N 的序列的DFT 逐次分解成长度较短的序列的DFT 来计算。
（2）利用WN(nk)的周期性和对称性，在DFT 运算中适当的分类，以提高运算速度。
（对称性nkNnk N W W N-=+2，12-=NN W ;周期性nkN nk N nrN N k rN n N W W W W ---==)(，r 为任意整数,1=nrNNW ）离散傅里叶变换的推导：离散傅里叶级数定义为nk j N k p p ek x Nn x N21)(1)(π∑-==（1-1）将上式两端乘以nm j Neπ2-并对n 在0~N-1求和可得⎥⎦⎤⎢⎣⎡==∑∑∑∑∑-=---=-=-=---=-10)(110101)(1N2N2N2)()(1)(N n m k n j N N k p N n N k m k n j pN n nm j pe k X ek XNen xπππ 因为{m k 1mk 0)(N )(10)(N 2N2N2-1-1N 11=≠---=-==∑m k j m k j N n m k n je eeNπππ所以∑∑-=-=--=110)()()(N2N k p N n nm j pm k k X en xδπ 这样∑-=-=10N2)()(N n nm j p p en x m X π用k 代替m得∑-=-=10N2)()(N n nk j pP en xk X π（1-2）令N2πj NeW -=则（1-2）成为DFS []∑-===1)()()(N n nkNpp p W n xk X n x （1-3） （1-1）成为IDFS []∑-=-==10)(1)()(N n nkN p p p W k X N n x k X （1-4） 式（1-3）、（1-4）式构成周期序列傅里叶级数变换关系。
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N 1
x( n)e
X(k)=dfT[x(n)] =n 0
反变换:
式中WN
1.2
设x*(n)是x(n)的复共轭序列，长度为N，则
(1)已知
X(k)=DFT[X( n)]
DFT[X(n)]=X (Nk)0 k N 1
2.1.1程序流程图
2.1.2程序编写与结果分析
2.2用一次FFT实现两个序列的DFT
2.2.1程序流程图
2.2.2程序编写与结果分析
3课程设计心得体会
参考文献
13
Байду номын сангаас13
13
16
.17
有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，反映它的"有限长"特点的一种有用 工具是离散傅里叶变换（DFT）。离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法 在理论上相当重要之外，而且由于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散 傅里叶变换在各种数字信号处理的算法中起着核心的作用。而离散傅立叶变换的对称性, 在求实序列的离散傅立叶变换中有重要作用。 可以实现一次DFT的计算得到两个序列DFT的高效算法，而DFT可以通过一次快速FFT变换来实现。
题 目：DFT对称性的验证及以应用 初始条件:
具备数字信号处理的理论知识;
具备Matlab编程能力;
了解DFT的对称原理及应用;
提供编程所需要的计算机一台
要求完成的主要任务：（包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）
1、独立编写程序验证DFT的对称性
2、用DFT的对称性用一次FFT实现两个序列的FFT变换
关键词：DFT共轭对称性matlab
1
1.1
有限长序列在数字信号处理是很重要的一种序列，当然可以用Z变换和傅里叶变换来
研究它，但是，可以导出反映它的"有限长"特点的一种有用工具是离散傅里叶变换(DFT)0离散傅里叶变换除了作为有限长序列的一种傅里叶表示法在理论上相当重要之外，而且由 于存在着计算离散傅里叶变换的有效快速算法，因而离散傅里叶变换在各种数字信号处理 的算法中起着核心的作用。
3、完成符合学校要求的设计说明书
时间安排:
指导教师签名:
系主任（或责任教师）签名:
摘要
1DFT基础知识
1.1离散傅立叶变换（DFT）定义
1.2复共轭序列的DFT
1.3 DFT的共轭对称性
1.3.1有限长共轭对称序列和共轭反对称序列
1.3.2共轭对称性分析
2程序设计与分析
2.1 N点DFT对称性的验证