北京市2017届高三数学(文)综合练习1 Word版含答案

北京市2017届高三综合练习文科数学本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间为120分钟．第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中，有且只有一个是符合题目要求的） 1．（宣武·文·题1）设集合{|4},sin 40A x x m ==︒≤，则下列关系中正确的是（ ） A ．m A ⊂ B ．m A ⊄ C ．{}m A ∈ D ．{}m A ∉ 【解析】 D ；正确的表示法，m A ∈，{}m A Þ，{}m A ∉．2．（宣武·文·题2）设平面向量(1,2),(2,)y ==-a b ，若a b ∥，则|3|+a b 等于（ ） A ．5B ．6C ．17D ．26【解析】 A ；a b ∥，则2(2)104y y ⨯--⋅=⇒=-，从而3(1,2)+=a b ． 3．（宣武·文·题3）下列函数中，既是奇函数又是区间(0,)+∞上的增函数的是（ ） A ．12t x =B ．1y x -=C ．3y x =D ．2x y =【解析】 C ；AD 不是奇函数，B 在(0,)+∞上是减函数． 4．（宣武·文·题4）设i 是虚数单位，则复数(1i)2i z =+⋅所对应的点落在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 B ；22i z =-+5．（宣武·文·题5）若{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项和，且1122π3S =，则6tan a 的值为（ ） A ．3 B ．3-C ．3±D ．33-【解析】 B ；由1112105762a a a a a a a +=+==+= ，可得11611S a =，∴62π3a =． 6．（宣武·文·题6）设函数32()log x f x a x+=-在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．3(1,log 2)-- B ．3(0,log 2)C ．3(log 2,1)D ．3(1,log 4)【解析】 C ；32()log 1f x a x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭在(1,2)上是减函数，由题设有(1)0,(2)0f f ><，得解．7．（宣武·文·题7）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 表示ABC △的面积，若2221c o s c o s s i n ,()4a B b A c C S b c a +==+-，则B ∠=（ ）A ．90︒B ．60︒C ．45︒D ．30︒【解析】 C ；由余弦定理可知cos cos a B b A c +=，于是sin 1C =，π2C =． 从而22222111()()244S ab b c a b b ==+-=+，解得a b =，因此45B ∠=︒．8．（宣武·文·题8）设圆C 的圆心在双曲线2221(0)2x y a a -=>的右焦点且与此双曲线的渐近线相切，若圆C 被直线:30l x y -=截得的弦长等于2，则a 的值为（ ） A ．2 B ．3C ．2D ．3【解析】 A ；圆C 的圆心2(2,0)C a +，双曲线的渐近线方程为20x ay ±=，C 到渐近线的距离为222222a d a +==+，故圆C 方程222(2)2x a y -++=．由l 被圆C 截得的弦长是2及圆C 的半径为2可知，圆心C 到直线l 的距离为1，即221213a a +=⇒=+．第Ⅱ卷（非选择题 共110分）二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分） 9．（宣武·文·题9）把容量是100的样本分成8组，从第1组到第4组的频数分别是15，17，11，13，第5组到第7组的频率之和是0.32，那么第8组的频率是 ．【解析】0.12； 1517111310.320.12100100100100-----=． 10．（宣武·文·题10）命题“任意常数列都是等比数列”的否定形式是 ． 【解析】 存在一个常数列不是等比数列；全称命题的否定是存在性命题．11．（宣武·文·题11）若将下面的展开图恢复成正方体，则ABC ∠的度数为 ．11题图CB A【解析】60︒； 恢复的图形如图，ABC △是正三角形，60ABC ∠=︒．CBA12．（宣武·文·题12）执行如图程序框图，输出S 的值等于 ．12题图否是输出Si <=4i=i + 1S =S + AA=A + iA=0，S=0，i=1结束开始【解析】20； 运算顺序如下1,1,23,4,36,10,410,20,54A S i A S i A S i A S i ===→===→===→===>，输出S ，故20S =．13．（宣武·文·题13）设,x y ∈R ，且满足20x y -+=，则22x y +的最小值为 ；若,x y 又满足4y x >-，则yx的取值范围是 ． 【解析】 2,(1,3)；22222(2)2(1)22x y x x x +=++=++≥，当1x y =-=-时取等号；画出204x y y x -+=⎧⎨>-⎩的可行域，为射线SP （如图），要求的就是SP 上的点与原点连线的斜率，易算出(1,3)S ，斜率的范围为(1,3)．yx Ox-y+2=0x+y=4PS14．（宣武·文·题14） 有下列命题：①0x =是函数3y x =的极值点；②三次函数32()f x ax bx cx d =+++有极值点的充要条件是230b ac ->； ③奇函数32()(1)48(2)f x mx m x m x n =+-+-+在区间(4,4)-上是单调减函数． 其中假命题的序号是 ． 【解析】 ①；3y x =在R 上单调增，没有极值点，①错；2()32f x ax bx c '=++，()f x 有极值点的充要条件是()0f x '=有两个不相等的实根，24120b ac ∆=->，也即230b ac ->，②正确； ()f x 是奇函数，则(0)00f n =⇒=，由()()f x f x -=-，可得2(1)0m x -=，因此1m =，所以3()48f x x x =-．当(4,4)x ∈-时，2()3483(4)(4)0f x x x x '=-=+-<，故()f x 在(4,4)x ∈-上是单调减函数．三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（宣武·文·题15）已知函数22()2sin cos sin cos ()2222x x x xf x a a =+-∈R⑴当1a =时，求函数()f x 的最小正周期及图象的对称轴方程式；⑵当2a =时，在()0f x =的条件下，求cos21sin 2xx +的值．【解析】 ⑴π()sin cos 2sin 4f x x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭最小正周期为2π，由πππ42x k -=+，得3ππ()4x k k =+∈Z⑵当2,()0a f x ==时，解得1tan 2x =，222cos 2cos sin cos sin 1tan 11sin 2(cos sin )cos sin 1tan 3x x x x x x x x x x x x ---====++++．16．（宣武·文·题16）如图，在四棱锥P A B C D -中，PA ⊥平面A B C D ，底面ABCD 为直角梯形，90ABC BAD ∠=∠=︒，AD BC >，,E F 分别为棱,AB PC 的中点． ⑴求证：PE BC ⊥；⑵求证：EF ∥平面PAD ．FE DCBA P【解析】 ⑴∵PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD∴PA BC ⊥ ∵90ABC ∠=︒ ∴BC AB ⊥∴BC ⊥平面PAB 又E 是AB 中点， ∴PE ⊂平面PAB ∴BC PE ⊥．⑵证明：取CD 中点G ，连结FG ，EG ，GFE DCBA P∵F 为PC 中点，∴FG PD ∥．∵FG ⊄平面PAD ，PD ⊂平面PAD ，∴FG ∥平面PAD ； 同理，EG ∥平面PAD ．∵FG EC G = ，∴平面EFG ∥平面PAD ． ∴EF ∥平面PAD ．17．（宣武·文·题17）某校高三年级有男生105人，女生126人，教师42人，用分层抽样的方法从中抽取13人，进行问卷调查．设其中某项问题的选择支为“同意”，“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．同意 不同意 合计 教师 1 女生 4 男生2⑴请完成此统计表；⑵试估计高三年级学生“同意”的人数；⑶从被调查的女生中选取2人进行访谈，求选到的两名学生中，恰有一人“同意”一人“不同意”的概率． 【解析】 ⑴由分层抽样可知，男生、女生和教师被抽取的人数分别为5,6,2，被调查人答卷情况统计表：同意 不同意 合计 教师 1 1 2 女生 2 4 6 男生325⑵23126105426310565⨯+⨯=+=（人）⑶设“同意”的两名学生编号为1，2，“不同意”的四名学生分别编号为3，4，5，6，选出两人则有（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15种方法； 其中（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），8种满足题意，则恰有一人“同意”一人“不同意”的概率为815．18．（宣武·文·题18） 已知函数3221()(1)(,)3f x x ax a x b a b =-+-+∈R⑴若1x =为()f x 的极值点，求a 的值；⑵若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[2,4]-上的最大值；⑶当0a ≠时，若()f x 在区间(1,1)-上不单调，求a 的取值范围． 【解析】 ⑴22()21f x x ax a '=-+-∵1x =是()f x 的极值点，∴(1)0f '=，即220a a -=，解得0a =或2．⑵∵(1,(1))f 在30x y +-=上．∴(1)2f =∵(1,2)在()y f x =上，∴21213a ab =-+-+又(1)1f '=-，∴21211a a -+-=-∴2210a a -+=，解得81,3a b ==∴22218(),()233f x x x f x x x '=-+=-由()0f x '=可知0x =和2x =是()f x 的极值点．∵84(0),(2),(2)4,(4)833f f f f ==-=-=∴()f x 在区间[2,4]-上的最大值为8．⑶因为函数()f x 在区间(1,1)-不单调，所以函数()f x '在(1,1)-上存在零点． 而()0f x '=的两根为1a -，1a +，区间长为2， ∴在区间(1,1)-上不可能有2个零点． 所以(1)(1)0f f ''-<，即2(2)(2)0a a a +-<． ∵20a >，∴(2)(2)0,22a a a +-<-<<． 又∵0a ≠，∴(2,0)(0,2)a ∈- ．19．（宣武·文·题19）已知椭圆的中心在原点O ，焦点在x 轴上，点(23,0)A -是其左顶点，点C 在椭圆上且0,||||AC CO AC CO ⋅== ．⑴求椭圆的方程；⑵若平行于CO 的直线l 和椭圆交于,M N 两个不同点，求CMN △面积的最大值，并求此时直线l 的方程．【解析】 ⑴设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，∵左顶点(23,0),,||||A AC CO AC CO -⊥=． ∴212a =，(3,3)C -又∵C 在椭圆上， ∴233112b+=，24b = ∴椭圆的标准方程为221124x y +=．⑵设1122(,),(,)M x y N x y∵CO 的斜率为1-，∴设直线l 的方程为y x m =-+，代入221124x y +=，得22463120x mx m -+-=．22122123644(312)0323124m m m x x m x x ⎧⎪∆=-⋅->⎪⎪+=⎨⎪⎪-⋅=⎪⎩ ∴2212123||2()42124m MN x x x x =+-=-又C 到直线l 的距离|33|||22m m d -+-==，∴CMN △的面积2213||(16)24S MN d m m =⋅⋅=⋅-223162342m m +-⋅=≤， 当且仅当2216m m =-时取等号，此时22m =±满足题中条件，∴直线l 的方程为220x y +±=．20．（宣武·文·题20）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，点1(,)n n S S +在直线*11()n y x n n n+=++∈N 上． ⑴求证：数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列；⑵若数列{}n b 满足2n a n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ； ⑶设232n n n T C +=，求证：122027nC C C +++> ． 【解析】 ⑴∵点1(,)n n S S +在直线11n y x n n+=++*()n ∈N 上， ∴111n n n S S n n++=++． 两边同除以1n +，得111n n S Sn n+-=+，于是n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，1为公差的等差数列．⑵由⑴可知，3(1)12n Sn n n=+-⨯=+，即2*2()n S n n n =+∈N ，∴当1n =时，13a =，当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+，经检验，当1n =时也成立，∴*21()n a n n =+∈N ． 于是212(21)2n a n n n b a n +=⋅=+⋅．∵3521211213252(21)2(21)2n n n n n T b b b b n n -+-=++++=⋅+⋅++-⋅++⋅ ， ∴5212123432(23)2(21)2(21)2n n n n T n n n -++=⋅++-⋅+-⋅++⋅ ， 相减，解得：232182399n n T n +⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭．⑶∵232111()23994nn n n T n C +==+-⋅，∴12111442(1)111329914nn n n C C C n ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥+⎣⎦+++=⋅+⋅-⋅-234111()927274n n n +=-+⋅2341712092792727n n +>--=≥．。