20172018学年江西省赣州市寻乌中学高二(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高二数学上期末考试(理)试题
2017-2018 学年度江西省寻乌中学上学期期末考试高二理科数学第I卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1•命题“-n • N *, f n -■ N *且f n < n ”的否定形式是(a ■ i2.若复数——=2 _i （其中a,b是实数），则复数a bi在复平面内所对应的点位于（）b —iA .第一象限B .第二象限C.第三象限 D .第四象限23•已知a, b, c均为实数，则“ b二ac ”是"a,b,c构成等比数列”的（）充分也不必要条件4抛物线x^-y的准线方程是（4C.5•在等差数列D. 102 2x yD. 1 y = 09 1 6In x7.函数f x ，则（）xA . x =e为函数f x的极大值点1C. x 为函数f x的极大值点e B . x =e为函数f x的极小值点1D . x 为函数f x的极小值点eA .一n 三N , f n f N 且 f n ] > nC. n0 • N , f n°N 且f n°. n0 B .一n 三N , f n j E N或 f n ] , nD. T n。
• N , f n o y N 或 f n o • n oA .必要不充分条件B .充分不必要条件C.充要条件D. 既不=20，则a8C. 96.已知.IABC 的两个顶点 A 5, 0 , B -5, 0，周长为22,则顶点C 的轨迹方程是=1 36 1 12 2x yB . 1 y = 036 1 1C.。
江西省赣州市寻乌中学2017届高三理综上学期期末考试试题(PDF)
江西寻乌中学2016-2017学年度高三第一学期期末质量评估理科综合试卷1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。
满分150分，考试时间150分钟。
2．解答一律写在答题卷中，不能答在试题卷上。
可能用到的相对原子质量：H:1O:16C:12Na:23Cl:35.5Mg:24Ca:40Cu:64第I卷(选择题，共126分)一、选择题（本题共13小题，每小题6分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.下在适宜光照条件下、恒温密闭的容器中培养绿色植物并测定植物的光合速率，图甲为密闭容器，图乙为1h内该容器中CO2的变化曲线。
据图分析，下列说法正确的是（）A．B点时，该植物叶肉细胞的净光合速率为0B．A-B段，叶绿体内ADP含量逐步升高C．该绿色植物前30min总光合速率（以CO2表示）的平均值为4380μL.L-1/lh D．用图甲装置测植物呼吸速率必须在黑暗条件下，但不必放置适量的NaOH 溶液2.某种野生型油菜存在一种突变体，叶绿素、类胡萝卜素含量均低，其叶片呈现黄化色泽。
野生型和突变体的成熟叶片净光合速率、呼吸速率及相关指标见下表。
A.叶绿素和类胡萝卜素分布于叶绿体的类囊体薄膜上，可用纸层析法提取叶片中的色素B.与野生型相比，突变体中发生的改变可能抑制了叶绿素a向叶绿素b的转化C.突变体成熟叶片中叶绿体消耗CO2的速率比野生型低2.47μmolCO2•m-2•s-1D.CO2浓度、ATP与[H]产量等是导致突变体光合速率降低的限制因素3.下列关于遗传信息流动的叙述，正确的是（）A.线粒体和叶绿体中遗传信息的流动均遵循中心法则B.DNA中的各基因遗传信息最终都传递给了蛋白质C.遗传信息在从碱基序列到氨基酸序列的传递过程中没有损失D.DNA病毒可以在无细胞条件下进行遗传信息的独立表达4.下丘脑是位于大脑皮层腹面调节内脏活动的高级中枢，调节着体温、水平衡、血糖和内分泌腺活动等重要的生理功能。
江西省赣州市寻乌中学2016-2017学年高二数学上学期第三次月考试题理(PDF)
(B)．若命题 p ： x0 R, x02 x0 1 0 ，则 p ： x R, x2 x 1 0 (C)． ABC 中， sin A sin B 是 A B 的充要条件 (D)．若 p q 为假命题，则 p 、 q 均为假命题
则有 0＜m＜15，解得 0＜m＜1． 故所求实数 m 的取值范围是 0＜m＜1．
（18）解：
（Ⅰ）抛物线 y＝x2－4x＋3 与坐标轴的交点分别是
(1，0)，(3，0)，(0，3)．
所求圆的圆心是直线 y＝x 与 x＝2 的交点(2，2)，圆的半径是 5，
于是圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝5． （Ⅱ）圆心 C 到直线 2x－y＋2＝0 的距离 d＝ 4 ，
在，说明理由.
(20)(本小题满分 12 分)
已知抛物线 y2 =4x 和点 M (6，0) ，o 为坐标原点，直线过点 M，且与抛物线交于 A,B 两
点.
(Ⅰ)求 OAOB ; (Ⅱ)若 OAB 的面积等于12 10 ，求直线的方程.
(21)(本小题满分 12 分)
如图，在棱长为 a 的正方形 OABC O1A1B1C1 中，点 E,F 分别是棱 AB,BC 上的动点，
.
（16）已知
F1，F2
分别为双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b 0) 的左右焦点，过 F2 作双曲线一条
渐近线的垂线，垂足为 M，且 MF1 3 MF2 ，则此双曲线的离心率是
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分 10 分）
江西省赣州市寻乌中学2017-2018学年高二上学期期末考
2017-2018学年度江西省寻乌中学上学期期末考试高二理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.命题“()**,n N f n N ∀∈∉且()f n n ≤”的否定形式是（ ）A ．()**,n N f n N ∀∈∉且()f n n >B ．()**,n N f n N ∀∈∉或()f n n >C ．()**00,n N f n N ∃∈∉且()00f n n > D ．()**00,n N f n N ∃∈∉或()00f n n >2. 若复数2a ii b i+=--（其中,a b 是实数），则复数a bi +在复平面内所对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3.已知,,a b c 均为实数，则 “2b ac =”是“,,a b c 构成等比数列”的 （ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ． 既不充分也不必要条件4.抛物线214x y =的准线方程是 （ ） A ．116x = B ．116x =- C. 116y = D ．116y =-5.在等差数列{}n a 中，134561,20a a a a a =+++=，则8a = （ ） A ． 7 B ．8 C. 9 D ．106.已知ABC ∆的两个顶点()()5,0,5,0A B -，周长为22，则顶点C 的轨迹方程是 （ ）A ．2213611x y += B ．()22103611x y y +=≠ C. 221916x y += D ．()2210916x y y +=≠ 7. 函数()ln xf x x=，则（ ） A ．x e =为函数()f x 的极大值点 B ．x e =为函数()f x 的极小值点 C. 1x e =为函数()f x 的极大值点 D ．1x e=为函数()f x 的极小值点8. 如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，已知,M N 分别是BD 和AD 的中点，则1B M 与1D N 所成角的余弦值为（ ）A9.已知数列{}n a ，1121,2nn n a a a a +==+，则10a 的值为 （ ） A ．5 B ．15 C. 112 D ．21110.若函数()321f x x x mx =+++是R 上的单调函数，则实数m 的取值范围是 （ ） A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦11.已知(),0,x y ∈+∞，且满足1122x y+=，那么4x y +的最小值为 （ ） A ．32-．3+ C.32+．312. 已知12,F F 是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，若直线y x =与双曲线C 交于,P Q 两点，且四边形12PFQF 为矩形，则双曲线的离心率为（ ） A．22第Ⅱ卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若()()()3,2,5,1,3,0,7,2,1a b c =-=-=-，则()a b c +=． 14.1dx xεε=⎰ ．15.椭圆C 的中心在坐标原点，左、右焦点12,F F 在x 轴上，已知,A B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P 是椭圆上一点，且1PF x ⊥轴，2//PF AB ，则此椭圆的离心率为 ． 16.已知(),f x y ax by =+，若()11,12f ≤≤且()11,11f -≤-≤，则()2,1f 的取值范围为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 设数列{}n a 满足111,3,n n a a a n N ++==∈． （1）求{}n a 的通项公式及前n 项和n S ；（2）已知{}n b 是等差数列，且满足123123,b a b a a a ==++，求数列{}n b 的通项公式． 18. 已知抛物线()220y px p =>，焦点对准线的距离为4，过点()1,1P -的直线交抛物线于,A B 两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P 恰是线段AB 的中点，求直线AB 的方程．19.如图，直三棱柱111ABC A B C -中，,D E 分别是1,AB BB 的中点，12,AA AC CB AB ====．（1）证明：1//BC 平面1ACD ； （2）求锐二面角1D AC E --的余弦值．20. 在圆224x y +=上任取一点P ，点P 在x 轴的正射影为点Q ，当点P 在圆上运动时，动点M 满足 2PQMQ =，动点M 形成的轨迹为曲线C ．（1）求曲线C 的方程；（2）点()2,0A 在曲线C 上，过点()1,0的直线l 交曲线C 于,B D 两点，设直线AB 斜率为1k ，直线AD 斜率为2k ，求证：12k k 为定值．21.如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，22,,,3AB AD DAB PD AD PD DC π==∠=⊥⊥．（1）证明：平面PBC ⊥平面PBD ； （2）若二面角P BC D --为6π，求AP 与平面PBC 所成角的正弦值． 22.设函数()2xf x x e =．（1）求曲线()f x 在点()1,e 处的切线方程；（2）若()f x ax <对(),0x ∈-∞恒成立，求实数a 的取值范围； （3）求整数n 的值；使函数()()1F x f x x=-在区间(),1n n +上有零点．试卷答案一、选择题1-5: DCADC 6-10:BAADC 11、12：CD二、填空题71,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦三、解答题17.（1）由题设可知{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列， 所以13n n a -=，1331132n n n S --==-；（2）设数列{}n b 的公差d ，∵12312333,13b a b a a a S ===++==， ∴31102b b d -==， ∴5d =， ∴52n b n =-．18.（1）由题设可知4p =，所以抛物线方程为28y x =；（2）方法一：设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=-，又21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，相减整理得1212128842y y x x y y -===--+-，所以直线AB 的方程是()411y x =---，即430x y +-=． 方法二：由题设可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为()()()112211,,,,y k x A x y B x y =--，由()2811y x y k x ⎧=⎪⎨=--⎪⎩，消去x ，得28880ky y k ---=， 易知2121832560,2k y y k ⎛⎫∆=++>+= ⎪⎝⎭，又122y y +=-所以82,4k k=-=-， 所以直线AB 的方程是()411y x =---，即430x y +-=．19.解：（1）连结1AC ，交1AC 于点O ，连结DO ，则O 为1AC 的中点，因为D 为AB 的中点，所以1//BC OD ，又因为OD ⊂平面11,ACD BC ⊄平面1ACD ， ∴1//BC 平面1ACD ；（2）由12,AA AC CB AB ====，可知AC BC ⊥，以C 为坐标原点，CA方向为x 轴正方向，CB 方向为y 轴正方向，1CC方向为z 轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz ，则()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2D E A ，()()()11,1,0,0,2,1,2,0,2CD CE CA ===，设(),,n x y z =是平面1ACD 的法向量，则100n CD n CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩即0220x y x z +=⎧⎨+=⎩， 可取()1,1,1n =--，同理，设m 是平面1ACE 的法向量，则100m CE m CA ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 可取()2,1,2m =-，从而cos ,3n m n m n m==，所以锐二面角1D AC E --的余弦值为3． 20.解：（1）设点M 坐标为(),x y ，点P 的坐标为()00,x y ，则00,2y x x y ==， 因为点()00,P x y 在圆224x y +=，所以22004x y +=①把00,2x x y y ==代入方程①，得2244x y +=，即2214x y +=， 所以曲线C 的方程为2214x y +=； （2）方法一：由题意知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为1x my =+，()()1122,,,B x y D x y ，由22141x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩消去x ，得()224230m y my ++-=， 易知216480m ∆=+>，得12122223,44m y y y y m m --+==++， ()()()()()1212121222221212121233221113244y y y y y y k k x x my my m y y m y y m m m -=====------++-+++．所以1234k k =-为定值． 方法二：（1）当直线l斜率不存在时，1,,B D ⎛⎛ ⎝⎭⎝⎭，所以1232212124k k ==--- ； （2）当直线l 斜率存在时，设直线l 方程为()()()11221,,,,y k x B x y D x y =-，由()22141x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩消去y ，得()2222148440k x k x k +-+-=， 易知248160k ∆=+>，22121222844,1414k k x x x x k k-+==++， ()()()()()()()()()22222212121212122221212121244814111322222444164164k k k k k x x x x k x x y y k k x x x x x x x x k k k --++-++⎡⎤--⎣⎦=====------++--++，所以1234k k =-为定值． 21.解：（1）∵,P D A D P D C D ⊥⊥，AD CD D = ，AD ⊂平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴PD ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴PD BC ⊥，又2,1,3AB AD DAB π==∠=，∴BD ==又sin sin BD AB A ADB=∠，∴02sin 1,90ADB ADB ∠==∠=， AD BD ⊥，又因为//AD BC ，∴BC BD ⊥，又∵,PD BD D BD ⋂=⊂平面,PBD PD ⊂平面PBD ，∴BC ⊥平面PBD ，而BC ⊂平面PBC ， ∴平面PBC ⊥平面PBD ； （2）由（1）所证，BC ⊥PBD ，所以PBD ∠即为二面角P BC D --的平面角，即6PBD π∠=，而BD =，所以1PD =，分别以DA DB DP 、、为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． 则()()()()1,0,0,,,0,0,1A B C P -，所以，()()()1,0,1,1,0,0,0,AP BC BP =-=-=，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z = ，则00n BC n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即00x z -=⎧⎪⎨+=⎪⎩可取(n = ，∴AP 与平面PBC所成角的正弦值为sin AP n AP nθ===22.解：（1）()()22xf x x x e '=+，∴()13f e '=， ∴所求切线方程为()31y e e x -=-，即32y ex e =-；（2）∵()f x ax <，对(),0x ∈-∞恒成立， ∴()x f x a xe x<=，对(),0x ∈-∞恒成立． 设()()(),1xxg x xe g x x e '==+，令()0g x '>，得1x >-，令()0g x '<得1x <-，∴()g x 在(),1-∞-上递减，在()1,0-上递增， ∴()()min 11g x g e =-=-， ∴1a e<-；（3）令()0F x =得()1f x x =，当0x <时，()210,0xf x x e x=><， ∴()F x 的零点只能在()0,+∞上，()()2212x F x x x e x '=++在()0,+∞上大于0恒成立，∴函数()F x 在()0,+∞上递增． ∴()F x 在()0,+∞上最多有一个零点，∵()1110,2024F e F ⎛⎫=->=-<⎪⎝⎭， ∴由零点存在的条件可得()F x 在()0,+∞上有一个零点0x ，且01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴0n =．。
江西省赣州市寻乌中学2018届高三上学期期末考试数学(理)试题+PDF版含答案
a __________.
14.若 cos 75
1 ，则 sin 60 2 __________. 3
15. 已 知 函 数 f x lg x 1 ， 实 数 a, b 满 足 ： a b, 且f a f
b 1 ，则 b2
3
B. , 0, 4
3
C.
3 3 , 3 3
D. , 0 3
2
10. 设 函 数 f x 是 定 义 在 0, 上 的 单 调 函 数 ， 且 对 x 0, 都 有
13 2 4
C.
1 16
D.
1 32
8. 在 ABC 中 ， 角 A,B,C 所 对 的 边 分 别 为 a, b, c，S 表 示 ABC 的 面 积 ， 若
S
1 2 2 b c a 2 ，则 A 4
A. 90
B. 60
C. 45
2 2
D. 30 Nhomakorabea9.直线 y kx 3与圆 x 3 y 2 4 相交于 M 、N 两点，若 MN 2 3 ，则 k 的 取值范围是 A. , 0 4
, x R, f x 的 最 小 值 为 2
4, f 0 2 2 ，且相邻两条对称轴之间的距离为 .
（I）当 x
时，求函数 f x 的最大值和最小值； , 2 2 5 , ，且 f x 1，求 cos x 的值. 12 2
x ，直线 y 2 x和x 轴所围成图形的面积为 S，则 S _______.
江西省赣州市寻乌中学2017届高三数学上学期期末考试试题理(PDF)
A． 24 种
B．18 种
i 1, s 1
i n
是
s s i1
否
输出 结束
i i 1
第 6 题图
C． 48 种
D． 36 种
9． (x 1 2)5 展开式中常数项为（ ） x
A．252
B．－252
C．160
D．－160
10．命题
p : sin
1 tan
tan
1 sin
(0
)
4
无实数解，命题
2
2
由正弦定理得 3(sin A sin C) sin B
3 cos A C sin A C 2sin B cos B cos B 3 B .
2
2
22
22
3
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数 f (x) 2x 1 ，数列{an},{bn} 分别满足 an f (n), bn f (bn1) ，且
a A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分 也不必要条件
2．若复数(1+ai)2 - 2i （为虚数单位）是纯虚数，则实数 a = （ ）
A．
B． -1
C． 0
D． ±1
3．式子
1 2 cos2
1 2 sin2
(
R) 的最小值为（
）
A. 3 4
B. 3 2
C. 4 3
A． S6
B． S7
C． S8
D． S15
8．某大学的 8 名同学准备拼车去旅游，其中大一、
开始 输入n
大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙
两辆汽车，每车限坐 4 名同学（乘同一辆车的 4 名
江西省赣州市寻乌中学2016-2017学年高二上学期第一次月考数学试卷(理科) Word版含解析
2016-2017学年江西省赣州市寻乌中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=45°，则=（）A．B．C．D．2．设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（）A．2B．2+1 C．2+2 D．2+33．数列{a n}满足a n（1﹣a n）=1，a8=2，则a1=（）+1A．B．2 C．D．34．设S n为数列{a n}的前n项和且S n=，则=（）A．B．C．D．305．如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A、B两点间的距离，选取一条基线CD，A、B、C、D在一平面内．测得：CD=200m，∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，则AB=（）A．m B．200mC．100m D．数据不够，无法计算6．下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v7．以下四个命题中：（1）在回归分析中，可用相关指数R2的值判断模型的拟合效果，R2越大，模型的拟合效果越好；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r越接近于1；（3）若统计数据x1，x2，x3，…，x n的方差为1，则2x1，2x2，2x3，…，2x n的方差为2；（4）对分类变量x 与y 的随机变量k 2的观察值k 0来说，k 0越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．48．下列程序图的输出结果为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图是2015年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（ ）A ．85.2，84B ．84，85C ．86，84D ．84，86 10．如图所示程序框图中，输出S=（ ）A ．45B ．﹣55C ．﹣66D ．6611．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为（ ）A ．1B ．C ．D ．与M 点的位置有关12．一个球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的体积为（ ）A． B． C． D．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）13．将38化成二进制数为．14．设变量x，y满足，则目标函数z=2x+4y最大值为．15．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据，则其线性回1，0，4，x，7，14中位数为5，求这组数据的方差为．17．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．18．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x﹣b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数．（2）用秦九韶算法求多项式f（x）=3x5+2x3﹣8x+5在x=2时的值．20．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）在多大程度上可以认为判断性别与休闲方式有关系，为什么？（其中）21．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．22．已知AD是△ABC中∠A的角平分线，且cos2A+5cosA=2，△ADC与△ADB的面积之比为1：2（1）求sin∠A的值；（2）求sin∠ADC的值．23．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．2016-2017学年江西省赣州市寻乌中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．在△ABC中，a，b，c是角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，A=45°，则=（）A．B．C．D．【考点】等比数列的性质；正弦定理．【分析】由a，b，c成等比数列，根据等比数列的性质化简得到关于a，b及c的关系式，利用正弦定理化简后得到关于sinA，sinB及sinC的关系式，然后把所求的式子也利用正弦定理化为关于正弦函数的式子，把化简得到关系式及A的度数代入求出值．【解答】解：由a，b，c成等比数列，得到b2=ac，由正弦定理得：sin2B=sinA•sinC．又A=45°，∴===sinA=．故选：C．2．设a＞1，b＞2，且ab=2a+b，则a+b的最小值为（）A．2B．2+1 C．2+2 D．2+3【考点】基本不等式．【分析】由已知式子可得b=，代入整理可得a+b=a﹣1++3，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞1，b＞2，且ab=2a+b，∴ab﹣b=2a，∴b（a﹣1）=2a，解得b=，∴a+b=a+====a﹣1++3≥3+2=3+2当且仅当a﹣1=即a=1+时取等号故选：D3．数列{a n}满足a n（1﹣a n）=1，a8=2，则a1=（）+1A．B．2 C．D．3【考点】数列递推式．=，a8=2，利用递推思想分别求得a7，a7，…，a2，即可求得a1=．【分析】由a n+1=，a8=2，【解答】解：∵数列{a n}满足a n+1∴2=，解得a7=，a7=，解得a6=﹣1，a6=，解得：a5=2，a5=，解得a4=，a4=，解得a3=﹣1，a3=，解得a2=2，a2=，解得a1=．故选：A．4．设S n为数列{a n}的前n项和且S n=，则=（）A．B．C．D．30【考点】数列的求和．【分析】a5=S5﹣S4，由此能求出结果．【解答】解：∵数列{a n}的前n项和S n=，∴，∴．故选：D．5．如图，A、B两点都在河的对岸（不可到达），为了测量A、B两点间的距离，选取一条基线CD，A、B、C、D在一平面内．测得：CD=200m，∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，则AB=（）A．m B．200mC．100m D．数据不够，无法计算【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】由题意可得AC⊥BD．设AC∩BD=O，可得△OCD为等腰直角三角形，求得OC=OD 的值，△BCO中，由直角三角形中的边角关系求得OB的值，同理求得OA的值，再利用勾股定理求得AB的值．【解答】解：如图所示，∵∠ADB=∠ACB=30°，∠CBD=60°，∴AC⊥BD．设AC∩BD=O，则△AOD∽△BOC，∴OC=OD，△OCD为等腰直角三角形，∴∠ODC=∠OCS=45°．设OA=x，OB=y，则AD=2x，BC=2y，∴OD=x，OC=y．△COD中，由勾股定理可得3x2+3y2=40000，求得x2+y2=，故AB==．故选：A．6．下列说法错误的是（）A．若直线a∥平面α，直线b∥平面α，则直线a不一定平行于直线bB．若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面βC．若平面α⊥平面β，则α内一定不存在直线平行于平面βD．若平面α⊥平面v，平面β⊥平面v，α∩β=l，则l一定垂直于平面v【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据线面平行的性质定理进行判断，B．利用反证法结合面面垂直的性质进行判断，C．利用面面垂直以及线面平行的性质进行判断，D．根据面面垂直的性质进行判断．【解答】解：A ．若直线a ∥平面α，直线b ∥平面α，则a ，b 平行或相交或是异面直线，则直线a 不一定平行于直线b 正确，故A 正确，B ．若α内存在直线垂直于平面β，则根据面面垂直的判定定理得α⊥β，与平面α不垂直于平面β矛盾，故若平面α不垂直于平面β，则α内一定不存在直线垂直于平面β正确，故B 错误，C ．若平面α⊥平面β，则α内当直线与平面的交线平行时，直线即与平面β平行，故C 错误，D ．若平面α⊥平面v ，平面β⊥平面v ，α∩β=l ，则根据面面垂直的性质得l 一定垂直于平面v ，故D 正确， 故选：C7．以下四个命题中：（1）在回归分析中，可用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 越接近于1；（3）若统计数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1，2x 2，2x 3，…，2x n 的方差为2； （4）对分类变量x 与y 的随机变量k 2的观察值k 0来说，k 0越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【考点】命题的真假判断与应用． 【分析】（1）根据相关指数R 2的值的性质进行判断， （2）根据线性相关性与r 的关系进行判断， （3）根据方差关系进行判断，（4）根据分类变量x 与y 的随机变量k 2的观察值k 0的关系进行判断． 【解答】解：（1）用相关指数R 2的值判断模型的拟合效果，R 2越大，模型的拟合效果越好，故（1）正确；（2）若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r 的绝对值越接近于1，故（2）错误； （3）若统计数据x 1，x 2，x 3，…，x n 的方差为1，则2x 1，2x 2，2x 3，…，2x n 的方差为4，故（3）错误；（4）对分类变量x 与y 的随机变量k 2的观察值k 0来说，k 0越大，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大．错误； 故选：A8．下列程序图的输出结果为1+2+3+4+5+6+7+8+9+10的是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】程序框图．【分析】分别判断各个选项的输出结果，即可得到答案．【解答】解：选项A 的程序框图输出的结果为S=2+3+4+5+6+7+8+9+10，选项B的程序框图输出的结果为S=2+3+4+5+6+7+8+9+10+11，选项C的程序框图输出的结果为S=1+2+3+4+5+6+7+8+9，选项D的程序框图输出的结果为S=1+2+3+4+5+6+7+8+9+10，故选：D．9．如图是2015年某大学自主招生面试环节中，七位评委为某考生打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和众数依次为（）A．85.2，84 B．84，85 C．86，84 D．84，86【考点】茎叶图．【分析】根据茎叶图中的数据，求出平均数与众数即可．【解答】解：根据茎叶图知，这组数据为79，84，84，86，93；所以这组数据的平均数为×（79+84+84+86+93）=85.2，众数为84．故选：A．10．如图所示程序框图中，输出S=（）A．45 B．﹣55 C．﹣66 D．66【考点】循环结构．【分析】根据程序框图的流程，可判断程序的功能是求S=12﹣22+32﹣42+…+（﹣1）n+1•n2，判断程序运行终止时的n值，计算可得答案．【解答】解：由程序框图知，第一次运行T=（﹣1）2•12=1，S=0+1=1，n=1+1=2；第二次运行T=（﹣1）3•22=﹣4，S=1﹣4=﹣3，n=2+1=3；第三次运行T=（﹣1）4•32=9，S=1﹣4+9=6，n=3+1=4；…直到n=9+1=10时，满足条件n＞9，运行终止，此时T=（﹣1）10•92，S=1﹣4+9﹣16+…+92﹣102=1+（2+3）+（4+5）+（6+7）+（8+9）﹣100=×9﹣100=﹣55．故选：B．11．在棱长为3的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 在线段BD 1上，且，M 为线段B 1C 1上的动点，则三棱锥M ﹣PBC 的体积为（ ）A ．1B ．C ．D ．与M 点的位置有关【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】如图所示，连接BC 1，取=，可得PN ∥D 1C 1，=1，由于D 1C 1⊥平面BCC 1B 1，可得PN ⊥平面BCC 1B 1，利用三棱锥M ﹣PBC 的体积=V 三棱锥P ﹣BCM =即可得出．【解答】解：如图所示，连接BC 1，取=，则PN ∥D 1C 1，，PN=1，∵D 1C 1⊥平面BCC 1B 1， ∴PN ⊥平面BCC 1B 1，即PN 是三棱锥P ﹣BCM 的高．∴V 三棱锥M ﹣PBC =V 三棱锥P ﹣BCM ===．故选：B ．12．一个球体经过切割后，剩下部分几何体的三视图如图所示，则剩下部分几何体的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图，得到几何体是加工一个球割去八分之一的部分，剩下的几何体；由此求体积即可．【解答】解：由题意，几何体是直径为2的球切去八分之一剩下的部分，所以其体积为；故选A ．二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）13．将38化成二进制数为 100110（2） ．【考点】排序问题与算法的多样性．【分析】利用“除k 取余法”是将十进制数除以2，然后将商继续除以2，直到商为0，然后将依次所得的余数倒序排列即可得到答案．【解答】解：38÷2=19 019÷2=9 (1)9÷2=4 (1)4÷2=2 02÷2=1 01÷2=0 (1)故38（10）=100110（2）故答案为：100110（2）14．设变量x ，y 满足，则目标函数z=2x +4y 最大值为 13 ．【考点】简单线性规划．【分析】先画出约束条件的可行域，再求出可行域中各角点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后易得目标函数z=2x +4y 的最大值．【解答】解：由约束条件得如图所示的三角形区域，三个顶点坐标为A （1，2），B （2，2），C （，）将三个代入得z 的值分别为10，12，13直线z=2x +4y 过点C 时，z 取得最大值为13；故答案为：1315．某种产品的广告费支出x与销售额y（单位：百万元）之间有如下对应数据，则其线性回【分析】先求出横标和纵标的平均数，得到这组数据的样本中心点，利用最小二乘法求出线性回归方程的系数，代入样本中心点求出a的值，写出线性回归方程．【解答】解：=5，=50，=145，x i y i=1380∴b=÷=6.5a=50﹣6.5×5=17.5故回归方程为y=6.5x+17.5．故答案为：y=6.5x+17.5．16．已知一组数据按从小到大顺序排列，得到﹣1，0，4，x，7，14中位数为5，求这组数据的方差为．【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知先做出x的值，根据﹣1，0，4，x，7，14中位数为5，求出x是6，这组数据都是已知数据，可以代入平均数公式，做出平均数，代入方差公式，得到方差．【解答】解：由题意知先做出x的值，∵﹣1，0，4，x，7，14中位数为5，∴=5，∴x=6，∴这组数据的平均数是=5这组数据的方差是（36+25+1+1+4+81）=，故这组数据的平均数和方差为．故答案为：17．直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切线．若l1与l2的交点为（1，3），则l1与l2的夹角的正切值等于．【考点】圆的切线方程；两直线的夹角与到角问题．【分析】设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，由直角三角形中的边角关系求得sinθ的值，可得cosθ、tanθ的值，再计算tan2θ．【解答】解：设l1与l2的夹角为2θ，由于l1与l2的交点A（1，3）在圆的外部，且点A与圆心O之间的距离为OA=，圆的半径为r=，∴sinθ=，∴cosθ=，tanθ=，∴tan2θ==，故答案为：．18．已知函数f（x）=（ax﹣1）（x﹣b），如果不等式f（x）＞0的解集是（﹣1，3），则不等式f（﹣x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．【考点】其他不等式的解法．【分析】根据题意和一元二次不等式是解法，求出对应方程的根，再求出a和b的值，代入不等式f（﹣x）＜0化简后，求出f（﹣x）＜0的解集．【解答】解：∵不等式f（x）=（ax﹣1）（x﹣b）＞0的解集是（﹣1，3），∴方程（ax﹣1）（x﹣b）=0的两个根是﹣1和3，且a＜0，则、b=3，即a=﹣1，代入f（﹣x）＜0得，（x﹣1）（﹣x﹣3）＜0，∴（x﹣1）（x+3）＞0，解得x＜﹣3或x＞1，∴不等式f（﹣x）＜0的解集是（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）．三、解答题（本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）19．（1）用辗转相除法求228与1995的最大公约数．（2）用秦九韶算法求多项式f（x）=3x5+2x3﹣8x+5在x=2时的值．【考点】秦九韶算法．【分析】（1）用较大的数字除以较小的数字，得到商和余数，然后再用上一式中的除数和得到的余数中较大的除以较小的，以此类推，当整除时，就得到要求的最大公约数；（2）首先把一个n次多项式f（x）写成（…（（a[n]x+a[n﹣1]）x+a[n﹣2]）x+…+a[1]）x+a[0]的形式，然后化简，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值，求出函数的值．【解答】（1）解：1995=228×8+171，228=171×1+57，171=57×3因此57是1995与228的最大公约数．﹣﹣﹣﹣﹣（2）解：f（x）=3x5+2x3﹣8x+5=（（（（3x+0）x+2）x+0）x﹣8）x+5﹣﹣﹣当x=2时，v0=3，v1=3×2=6，v2=6×2+2=14，v3=14×2=28，v4=28×2﹣8=48，v5=48×2+5=101﹣﹣﹣﹣﹣﹣所以，当x=2时，多项式的值是101．﹣﹣﹣﹣﹣﹣20．在对人们的休闲方式的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．（1）根据以上数据建立一个2×2的列联表；（2）在多大程度上可以认为判断性别与休闲方式有关系，为什么？（其中）【考点】独立性检验的应用．【分析】（1）根据共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．得到列联表．（2）根据列联表中所给的数据做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到有97.5%的把握认为性别与休闲方式有关系．122计算因为k≥5.024，所以有理由认为假设“休闲方式与性别无关”是不合理的，即有97.5%的把握认为“休闲方式与性别有关”．21．如图，正方形ABCD所在的平面与三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．（1）求证：AB∥平面CDE；（2）求证：平面ABCD⊥平面ADE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（1）根据正方形对边平行可得AB∥CD，结合线面平行的判定定理可得AB∥平面CDE；（2）由已知AE⊥平面CDE，可得AE⊥CD，结合正方形ABCD邻边垂直及线面垂直的判定定理可得CD⊥平面ADE，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABCD⊥平面ADE【解答】证明：（1）正方形ABCD中，AB∥CD，又AB⊄平面CDE，CD⊂平面CDE，所以AB∥平面CDE．（2）因为AE⊥平面CDE，且CD⊂平面CDE，所以AE⊥CD，又正方形ABCD中，CD⊥AD且AE∩AD=A，AE，AD⊂平面ADE，所以CD⊥平面ADE，又CD⊂平面ABCD，所以平面ABCD⊥平面ADE．22．已知AD是△ABC中∠A的角平分线，且cos2A+5cosA=2，△ADC与△ADB的面积之比为1：2（1）求sin∠A的值；（2）求sin∠ADC的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）根据二倍角公式求出cosA，从而求出sinA即可；（2）设CD=m，AC=n，由余弦定理求出m，n的关系，结合正弦定理求出∠ADC的正弦值即可．【解答】解：（1）△ABC中，∵cos2A=2cos2A﹣1，∴由cos2A+5cosA=2得：cosA=或cosA=﹣3（舍），∴sinA=；（2）∵=，∴=，∵AD是△ABC中∠A的角平分线，∴=，设CD=m，AC=n，由余弦定理得：CB2=AC2+AB2﹣2AC•AB•cos60°，即得：n=m，由正弦定理得：=，∴sin∠ADC=．23．已知直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方（1）求圆C的方程；（2）过点M（1，0）的直线与圆C交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】圆方程的综合应用．【分析】（1）设出圆心C坐标，根据直线l与圆C相切，得到圆心到直线l的距离d=r，确定出圆心C坐标，即可得出圆C方程；（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，当直线AB斜率存在时，设直线AB方程为y=k （x﹣1），联立圆与直线方程，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，由若x轴平分∠ANB，则k AN=﹣k BN，求出t的值，确定出此时N坐标即可．【解答】解：（1）设圆心C（a，0）（a＞﹣），∵直线l：4x+3y+10=0，半径为2的圆C与l相切，∴d=r，即=2，解得：a=0或a=﹣5（舍去），则圆C方程为x2+y2=4；（2）当直线AB⊥x轴，则x轴平分∠ANB，若x轴平分∠ANB，则k AN=﹣k BN，即+=0，整理得：2x1x2﹣（t+1）（x1+x2）+2t=0，即+2t=0，解得：t=4，当点N（4，0），能使得∠ANM=∠BNM总成立．2016年12月7日。
20172018学年江西省赣州市寻乌中学高三(上)期末数学试卷(理科)
2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数Z=的共轭复数对应的点在复平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x||x+1|＜3}，集合B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B=（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|﹣2≤x≤3}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|﹣4＜x≤3} 3．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知f（x）=x+﹣1，f（a）=2，则f（﹣a）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣35．（5分）在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD 的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．6．（5分）在等差数列{a n}中，a9=a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．1327．（5分）已知正数x、y满足，则z=的最小值为（）A．1 B．C．D．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若S=，则∠A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°9．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]10．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对∀x∈（0，+∞）都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，e） D．（e，4）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知曲线，y=2﹣x，与x轴所围成的图形的面积为S，则S=．12．（5分）已知平面向量的夹角为，，则=．13．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=．14．（5分）若，则sin（60°+2α）=．15．（5分）已知函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b满足：，则f（8a+2b+11）取最小值时，a+b的值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）已知函数的最小值为﹣4，f（0）=2，且相邻两条对称轴之间的距离为π．（I）当时，求函数f（x）的最大值和最小值；（II）若，且的值．17．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=S n+a n+2，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．18．（12分）已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，S5=30，数列{b n}的前n项和为T n，且．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和M n．20．（12分）已知经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为，（I）求圆C的方程；（II）已知直线l∥PQ，若l与圆C交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）复数Z=的共轭复数对应的点在复平面内位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：Z====i的共轭复数i对应的点在复平面内位于第一象限．故选：A．2．（5分）设集合A={x||x+1|＜3}，集合B={x|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B=（）A．{x|2≤x≤3}B．{x|﹣2≤x≤3}C．{x|﹣2≤x＜2}D．{x|﹣4＜x≤3}【解答】解：A={x||x+1|＜3}={x|﹣4＜x＜2}，B={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3}，则A∩B={x|﹣2≤x＜2}，故选：C．3．（5分）设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若a=1，则两条直线方程为x+2y﹣1=0与直线x+2y+4=0，则两直线平行，即充分性成立，当a=0时，两条直线方程为2y﹣1=0与直线x+y+4=0，则两直线不平行，当a≠0时，若两直线平行，则满足≠，由得a（a+1）=2，即a2+a﹣2=0，得a=1或a=﹣2，则必要性不成立，即“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的充分不必要条件，故选：A4．（5分）已知f（x）=x+﹣1，f（a）=2，则f（﹣a）=（）A．﹣4 B．﹣2 C．﹣1 D．﹣3【解答】解：∵f（x）=x+﹣1，f（a）=2，∴=2，∴=3，∴f（﹣a）=﹣a﹣﹣1=﹣3﹣1=﹣4．故选：A．5．（5分）在△ABC中，AB=2，BC=3，∠ABC=60°，AD为BC边上的高，O为AD 的中点，若，则λ+μ=（）A．1 B．C．D．【解答】解：在△ABD中，BD==1又BC=3所以BD=∴∵O为AD的中点∴∵∴∴故选D6．（5分）在等差数列{a n}中，a9=a12+3，则数列{a n}的前11项和S11=（）A．24 B．48 C．66 D．132【解答】解：在等差数列{a n}中，a9=a12+3，∴，解a1+5d=6，∴数列{a n}的前11项和S11=（a1+a11）=11（a1+5d）=11×6=66．故选：C．7．（5分）已知正数x、y满足，则z=的最小值为（）A．1 B．C．D．【解答】解：如图易得当x=1，y=2时2x+y的最大值为4，又∵z=4﹣x•=的最小值为，故选C．8．（5分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S表示△ABC的面积，若S=，则∠A=（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：由已知得：S=bcsinA=（b2+c2﹣a2）可得：sinA=，由余弦定理可得：cosA=，所以tanA=1，又A∈（0°，180°），则A=45°．故选：C．9．（5分）直线y=kx+3与圆（x﹣2）2+（y﹣3）2=4相交于M，N两点，若，则k的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣]∪[0，+∞）C．[﹣，]D．[﹣，0]【解答】解：设圆心（2，3）到直线y=kx+3的距离为d，由弦长公式得，，故d⩽1，即，化简得3k2≤1，∴，故k的取值范围是．故选：C．10．（5分）f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，且对∀x∈（0，+∞）都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，则方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（）A．（0，）B．（，1）C．（1，e） D．（e，4）【解答】解：∵f（x）是定义在（0，+∞）上单调函数，且对∀x∈（0，+∞），都有f（f（x）﹣lnx）=e+1，∴设f（x）﹣lnx=t，则f（t）=e+1，即f（x）=lnx+t，令x=t，则f（t）=lnt+t=e+1，则t=e，即f（x）=lnx+e，函数的导数f′（x）=，则由f（x）﹣f′（x）=e得lnx+e﹣=e，即lnx﹣=0，设h（x）=lnx﹣，则h（1）=ln1﹣1=﹣1＜0，h（e）=lne﹣=1﹣＞0，∴函数h（x）在（1，e）上存在一个零点，即方程f（x）﹣f′（x）=e的实数解所在的区间是（1，e），故选：C．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．（5分）已知曲线，y=2﹣x，与x轴所围成的图形的面积为S，则S=．【解答】解：方法一：，解得：，则A（1，1），则将阴影部分分成两部分，S1=dx==，三角形的面积S2=×1×1=，∴所围成的面积S=+=，故答案为：．方法二：，解得：，则A（1，1），则所围成的面积S=（2﹣y﹣y2）dy=（2y﹣y2﹣y3）=（2﹣﹣）=，故答案为：．12．（5分）已知平面向量的夹角为，，则=2．【解答】解：∵向量的夹角为，，∴===4．∴=2故答案为：2．13．（5分）已知过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax ﹣y+1=0垂直，则a=2．【解答】解：因为点P（2，2）满足圆（x﹣1）2+y2=5的方程，所以P在圆上，又过点P（2，2）的直线与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，所以切点与圆心连线与直线ax﹣y+1=0平行，所以直线ax﹣y+1=0的斜率为：a==2．故答案为：2．14．（5分）若，则sin（60°+2α）=．【解答】解：∵cos（α+75°）=，∴sin[90°﹣（α+75°）]=sin（15°﹣α）=，则sin（60°+2α）=cos（30°﹣2α）=1﹣2sin2（15°﹣α）=．故答案为：．15．（5分）已知函数f（x）=|lg（x+1）|，实数a，b满足：，则f（8a+2b+11）取最小值时，a+b的值为．【解答】解：因为f（a）=f（﹣），所以|lg（a+1）|=|lg（﹣+1）|=|lg （）|=|lg（b+2）|，所以a+1=b+2，或（a+1）（b+2）=1，又因为a＜b，所以a+1≠b+2，所以（a+1）（b+2）=1．又由f（a）=|lg（a+1）|有意义知a+1＞0，从而0＜a+1＜b+1＜b+2，于是0＜a+1＜1＜b+2．所以8a+2b+11=8（a+1）+2（b+2）﹣1=2（b+2）+﹣1＞1．从而f（8a+2b+11）=|lg[2（b+2）+]|=lg[2（b+2）+]≥3lg2，当且仅当b=0，a=﹣时取等号．∴a+b=．故答案为﹣．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．（10分）已知函数的最小值为﹣4，f（0）=2，且相邻两条对称轴之间的距离为π．（I）当时，求函数f（x）的最大值和最小值；（II）若，且的值．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）的最小值是﹣4，A＞0，∴A=4，∴f（0）=4sinφ=2，∵0＜φ＜π，∴φ=．∵f（x）相邻两条对称轴之间的距离为π，∴f（x）的周期T==2π，∴ω=1．∴．∵，∴，∴当x+=﹣即x=﹣时，f（x）取得最小值f（﹣）=﹣2，当x+=即x=时，f（x）取得最大值f（）=4．（Ⅱ）∵，∴，∵，∴，∴，∴=．17．（12分）数列{a n}的前n项和为S n，已知S n+1=S n+a n+2，a1，a2，a5成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}满足，求数列{b n}的前n项和T n．=S n+a n+2，∴a n+1=S n+1﹣S n=a n+2【解答】解：（1）∵S n+1∴数列{a n}是公差为2的等差数列；又a1，a2，a5成等比数列，∴∴a1=1，∴（2）由（1）可得：∴T n=b1+b2+b3+…+b n﹣1+b n=1•21+3•22+5•23+…+（2n﹣3）•2n﹣1+（2n﹣1）•2n∴错位相减得：==2+2n+2﹣8﹣（2n﹣1）•2n+1=﹣6﹣（2n﹣3）•2n+1∴．18．（12分）已知向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，设f（x）=．（1）求函数f（x）的解析式及单调递增区间；（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且a=1，b+c=2．f（A）=1，求△ABC的面积．【解答】解：（1）向量=（，=（cosx，cosx），x∈R，f（x）=．=，=，=，令：（k∈Z），解得：（k∈Z），故函数的单调递增区间为：（k∈Z）．（2）在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，f（A）=1，则：（0＜A＜π），解得：A=，利用余弦定理：，a2=b2+c2﹣2bccosA，且a=1，b+c=2．解得：bc=1所以△ABC的面积为：．19．（12分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，S5=30，数列{b n}的前n项和为T n，且．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设，求数列{c n}的前n项和M n．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，∴∴a n=2n数列{b n}的前n项和为T n，且∴b1=1，n≥2时，∴（2），=（n﹣1）ln2+（﹣1）n[lnn+ln （n+1）]∴其中=（﹣1）n ln （n+1）∴20．（12分）已知经过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点的圆C半径小于5，且在y轴上截得的线段长为，（I）求圆C的方程；（II）已知直线l∥PQ，若l与圆C交于A，B两点，且以线段AB为直径的圆经过坐标原点，求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）设圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0，令x=0⇒y2+Ey+F=0，∴y1+y2=﹣E，y1•y2=F，∴，∴E2﹣4F=48①…（2分）又圆过P（4，﹣2），Q（﹣1，3）两点，∴⇒2E+F=﹣12…②由①②得：或…（4分）∵圆的半径小于5，∴圆的方程为x2+y2﹣2x﹣12=0…（6分）（Ⅱ），∴设l的方程为：x+y+m=0…（7分）由⇒2x2+（2m﹣2）x+m2﹣12=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则…（9分）∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，…（10分）∴x1•x2+y1•y2=x1•x2+（﹣x1﹣m）•（﹣x2﹣m）=0整理得：m2+m﹣12=0⇒m=3或m=﹣4，…（11分）且m=3或m=﹣4均满足△＞0…（12分）∴l的方程为x+y+3=0或x+y﹣4=0…（13分）21．（12分）已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【解答】解：（1）①h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx﹣n．则h（0）=1﹣n，函数的导数h′（x）=e x﹣m，则h′（0）=1﹣m，则函数在x=0处的切线方程为y﹣（1﹣n）=（1﹣m）x，∵切线过点（1，0），∴﹣（1﹣n）=1﹣m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣mx．若函数h（x）在（﹣1，+∞）上没有零点，即e x﹣mx=0在（﹣1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若﹣1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（﹣1）=﹣e﹣1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜﹣e﹣1，若方程m=无解，则﹣e﹣1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=﹣+=，设h（x）=16e x﹣（x+4）2，则h′（x）=16e x﹣2（x+4）=16e x﹣2x﹣8，[h′（x）]′=16e x﹣2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x﹣2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16﹣8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16﹣16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．。
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2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n02．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．106．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=．14．（5分）=．15．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．2017-2018学年江西省赣州市寻乌中学高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是（）A．∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）＞nB．∀n∈N*，f（n）∉N*或f（n）＞nC．且f（n0）＞n0D．或f（n0）＞n0【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以，命题“∀n∈N*，f（n）∉N*且f（n）≤n”的否定形式是：或f（n0）＞n0．故选：D．2．（5分）若复数=2﹣i其中a，b是实数，则复数a+bi在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：复数=2﹣i，其中a，b是实数，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．则复数a+bi在复平面内所对应的点（﹣7，﹣3）位于第三象限．故选：C．3．（5分）已知a，b，c均为实数，则“b2=ac”是“a，b，c构成等比数列”的（）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：由“b2=ac”推不出“a，b，c构成等比数列，比如a=b=c=0，反之成立，故选：A．4．（5分）抛物线x2=y的准线方程是（）A．y=1 B．y=﹣1 C．y=D．y=﹣【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；所以：2p=，即p=，所以：=，所以准线方程y=﹣．故选：D．5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=1，a3+a4+a5+a6=20，则a8=（）A．7 B．8 C．9 D．10【解答】解：设公差为d，则1+2d+1+3d+1+4d+1+5d=20，∴d=，∴a8=1+7d=9，故选C．6．（5分）已知△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹方程是（）A．B．C．D．【解答】解：△ABC的两个顶点A（5，0），B（﹣5，0），周长为22，则顶点C 的轨迹是椭圆，可知c=5，2a=12，解得a=6，c=．则顶点C的轨迹方程是：．故选：B．7．（5分）函数，则（）A．x=e为函数f（x）的极大值点B．x=e为函数f（x）的极小值点C．为函数f（x）的极大值点D．为函数f（x）的极小值点【解答】解：的定义域（0，+∞），求导f′（x）=，令f′（x）=＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）=＜0，解得：x＞e，∴函数在（0，e）上递增，在（e，+∞）上递减，∴当x=e时，函数有极大值，故选A．8．（5分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD 的中点，则B1M与D1N所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2，则B1（2，2，2），M（1，1，0），D1（0，0，2），N（1，0，0），∴=（﹣1，﹣1，﹣2），=（1，0，﹣2），∴B1M与D1N所成角的余弦值为||=，故选：A．9．（5分）已知数列{a n}，a1=1，，则a10的值为（）A．5 B．C．D．【解答】解：∵数列{a n}，a1=1，，∴=，=，=，由此猜想a n=．下面利用数学归纳法进行证明：①，成立；②假设a k=，则==，成立，∴，∴a10=．故选：D．10．（5分）若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则实数m的取值范围是（）A．（，+∞）B．（﹣∞，]C．[，+∞）D．（﹣∞，）【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y′=3x2+2x+m≥0恒成立，即△=4﹣12m≤0，∴m≥．故选C．11．（5分）已知x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵x，y∈（0，+∞），且满足，那么x+4y=（x+4y）=≥==+，当且仅当x=2=时取等号．故选：C．12．（5分）如图，F1，F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右两个焦点．若直线y=x与双曲线C交于P、Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为（）A．2+B．2+C．D．【解答】解：由题意，矩形的对角线长相等，y=x代入﹣=1，可得x=±，∴•=c，∴2a2b2=（b2﹣a2）c2，∴2a2（c2﹣a2）=（c2﹣2a2）c2，∴2（e2﹣1）=e4﹣2e2，∴e4﹣4e2+2=0，∵e＞1，∴e2=2+，∴e=．故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若，则=﹣7．【解答】解：，则=（﹣2，﹣1，5）•（7，﹣2，1）=﹣14+2+5=﹣7；故答案为：﹣7．14．（5分）=1．【解答】解：∫1e dx=lnx|1e=lne﹣ln1=1，故答案为115．（5分）椭圆C的中心在坐标原点，左、右焦点F1，F2在x轴上，已知A，B 分别是椭圆的上顶点和右顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥x轴，PF2∥AB，则此椭圆的离心率为．【解答】解：如图所示，把x=﹣c代入椭圆标准方程：+=1（a＞b＞0）．则=1，解得y=±．取P，又A（0，b），B（a，0），F2（c，0），∴k AB=﹣，==﹣．∵PF2∥AB，∴﹣=﹣，化为：b=2c．∴4c2=b2=a2﹣c2，即a2=5c2，解得a=c，∴e==．故答案为：．16．（5分）已知f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，则f（2，1）的取值范围为．【解答】解：f（x，y）=ax+by，若1≤f（1，1）≤2且﹣1≤f（1，﹣1）≤1，可得，画出不等式组的可行域如图：则f（2，1）=2a+b，当直线z=2a+b经过A时取得最小值，经过B时取得最大值，由可得B（，），f（2，1）=2a+b的最小值为：！，最大值为：．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）设数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n，n∈N+．（Ⅰ）求{a n}的通项公式及前n项和S n；（Ⅱ）已知{b n}是等差数列，且满足b1=a2，b3=a1+a2+a3，求数列{b n}的通项公式．【解答】解：（Ⅰ）由题设可知{a n}是首项为1，公比为3的等比数列，…（2分）所以，…（4分）…（6分）（Ⅱ）设数列{b n}的公差为d∵b1=a2=3，b3=a1+a2+a3=S3=13，∴b3﹣b1=10=2d，∴d=5，…（8分）∴b n=5n﹣2…（10分）18．（12分）已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点对准线的距离为4，过点P（1，﹣1）的直线交抛物线于A，B两点．（1）求抛物线的方程；（2）如果点P恰是线段AB的中点，求直线AB的方程．【解答】解：（1）由题设焦点对准线的距离为4，可知p=4，所以抛物线方程为y2=8x；（2）方法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2，y1+y2=﹣2，又，相减整理得，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．方法二：由题设可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=k（x﹣1）﹣1，A（x1，y1），B（x2，y2），由，消去x，得ky2﹣8y﹣8k﹣8=0，易知，又y1+y2=﹣2所以，所以直线AB的方程是y=﹣4（x﹣1）﹣1，即4x+y﹣3=0．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1=AC=CB=2，AB=2．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）连结AC1，交A1C于点O，连结DO，则O为AC1的中点，因为D为AB的中点，所以OD∥BC1，又因为OD⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD…（4分）（Ⅱ）由，可知AC⊥BC，以C为坐标原点，方向为x 轴正方向，方向为y轴正方向，方向为z轴正方向，建立空间直角坐标系Cxyz，则D（1，1，0），E（0，2，1），A1（2，0，2），，，设是平面A1CD的法向量，则即可取．…（6分）同理，设是平面A1CE的法向量，则，可取．…（8分）从而…（10分）所以锐二面角D﹣A1C﹣E的余弦值为…（12分）20．（12分）在圆x2+y2=4上任取一点P，点P在x轴的正射影为点Q，当点P 在圆上运动时，动点M满足，动点M形成的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线C的方程；（Ⅱ）点A（2，0）在曲线C上，过点（1，0）的直线l交曲线C于B，D两点，设直线AB斜率为k1，直线AD斜率为k2，求证：k1k2为定值．【解答】解：（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），则由题意知点P的坐标为（x，2y）因为P在圆O：x2+y2=4，所以x2+4y2=4故所求动点M的轨迹方程为．…（4分）（Ⅱ）方法一：由题意知直线l斜率不为0，设直线l方程为x=my+1，B（x1，y1），D（x2，y2）由消去x，得（m2+4）y2+2my﹣3=0，易知△=16m2+48＞0，得…（8分）=．所以为定值…（12分）方法二：（ⅰ）当直线l斜率不存在时，所以…（6分）（ⅱ）当直线l斜率存在时，设直线l方程为y=k（x﹣1），B（x1，y1），D（x2，y2）由消去y，得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0，易知△=48k2+16＞0，…（8分）=．所以为定值…（12分）21．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AB=2AD=2，，PD⊥AD，PD⊥DC．（Ⅰ）证明：平面PBC⊥平面PBD；（Ⅱ）若二面角P﹣BC﹣D为，求AP与平面PBC所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥AD，PD⊥CDAD∩CD=D，AD⊂平面ABCDCD⊂平面ABCD∴PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD∴PD⊥BC…（2分）又∴又∴，∠ADB=90°，AD⊥BD，又AD∥BC∴BC⊥BD…（4分）又∵PD∩BD=D，BD⊂平面PBD，PD⊂平面PBD∴BC⊥平面PBD而BC⊂平面PBC，∴平面PBC⊥平面PBD…（6分）解：（Ⅱ）由（Ⅰ）所证，BC⊥平面PBD∴∠PBD即为二面角P﹣BC﹣D的平面角，即∠PBD=而，所以PD=1…（8分）分别以DA、DB、DP为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A（1，0，0），，，P（0，0，1）∴，=（﹣1，0，0），，设平面PBC的法向量为，则，即，取y=1，得…（10分）∴AP与平面PBC所成角的正弦值为：．…（12分）22．（12分）设函数f（x）=x2e x．（1）求曲线f（x）在点（1，e）处的切线方程；（2）若f（x）＜ax对x∈（﹣∞，0）恒成立，求a的取值范围；（3）求整数n的值，使函数F（x）=f（x）﹣在区间（n，n+1）上有零点．【解答】解：（1）f'（x）=（x2+2x）e x，∴f'（1）=3e，∴所求切线方程为y﹣e=3e（x﹣1），即y=3ex﹣2e；（2）∵f（x）＜ax，对x∈（﹣∞，0）恒成立，∴，设g（x）=xe x，g'（x）=（x+1）e x，令g'（x）＞0，得x＞﹣1，令g'（x）＜0得x＜﹣1，∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上递减，在（﹣1，0）上递增，∴，∴；（3）令F（x）=0，得，当x＜0时，，∴F（x）的零点在（0，+∞）上，令f'（x）＞0，得x＞0或x＜﹣2，∴f（x）在（0，+∞）上递增，又在（0，+∞）上递减，∴方程仅有一解x0，且x0∈（n，n+1），n∈Z，∵，∴由零点存在的条件可得，则n=0．。