教师培训课件：新课程教学设计案例

Teaching Design of HPM
运用历史的两种方式 1 历史材料的直接利用 2 历史启示下的教学方法——发生教学法
Teaching Design of HPM
严格演绎的方法 更强调结果，而忽略导致该结果的问题。引入新 概念、理论、证明的动机被隐藏了。（弗赖登塔 尔：“违反教学法的颠倒”）
案例2 一元二次方程的概念
20
14 1775
案例2 一元二次方程的概念
（展示图片）现在大家看到的是 中世纪欧洲最伟大的一位数学家， 他叫斐波纳契。他在1225年写成 一本书，叫《花朵》（听起来不 像数学书名）。在该书中，斐波 纳契提出了如下问题——
斐波纳契
案例2 一元二次方程的概念
例7、如图2，在等腰三
数学问题
完成天数 完成天数 相遇时间 相遇时间
3 0 02 5 02 0 0 x 1 5 0 0
《希腊选集》
3 0 0 2 5 0 2 0 0 x 3 0 0 1 5 0 0
1 5
1 7
x
1
1 5
1 7
x
2 7
1
《计算之书》
案例1 一元一次方程概念
例6、开学第一天，小明问新来的数学老师几岁了， 数学老师回答说：“取我年龄的一半，加上我年 龄的1/3，又加上我年龄的1/4，最后再加上我的年 龄，总数刚好是100。”请问新来的数学老师多大 了？试列出一元一次方程。（定和）
例2、（1）已知电线杆的3/14部分在地下。若地下部分长为 2.7米，则电线杆的总长为多少？（2）已知电线杆的3/14 部分在地下。若地上部分长为10米，则电线杆总长为多少？ 设电线杆的总长为x，试建立关于x的方程。 (四则)
案例1 一元一次方程概念
例3、小强的爸爸和小强做数学游戏。爸爸让小强在心里随 便选定一个数（但不要说出来），按如下步骤做计算：将 这个数乘以5，再将所得乘积加上6，再将所得和乘以4， 再将所得乘积加上9，最后，将所得的和乘以5。经过计算， 小强得到465。小强爸爸立刻说出小强心里选定的那个数。 你知道这个数是多少吗？试列出方程。(四则)
案例1 一元一次方程概念
5、小明花77元买4本书。第二本书的价格是第一本的2/3；第 三本的价格是第二本的3/4；第四本的价格是第三本的4/5。 求各本书的价格。”列出一元一次方程。（改编自《计算 之书》）
6、菁菁有苹果若干。她把其中的三分之一、四分之一、五 分之一和八分之一分别给了四位好朋友。又给她妈妈10个， 自己只剩下一个苹果。问：菁菁原有几个苹果？列出一元 一次方程。（改编自《希腊选集》）
例 5 在例 3 中，如果梯子的顶端沿墙再一次向下滑 动6英尺，那么底端将再一次滑动多远？试列出底 端再一次滑动的距离所满足的方程。
案例2 一元二次方程的概念
例 6 如图，有一所正方形的学校，南门和北门各开 在南、北面围墙的正中间。在北门的正北方20米 处有一颗大榕树。一个学生从南门出来，朝正南 方走14米，然后转向西走1775米，恰好见到学校 北面的大榕树。问这所学校每一面围墙的长度是 多少？试列出方程。
案例1 一元一次方程概念
7、成书于公元4世纪的《孙子算经》卷下有这样一道题：“今有器中米， 不知其数。前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升。 问：本米几何？”（注：1斗 = 10升）列出一元一次方程。
8、斐波纳契《计算之书》中设题：一人临终前对他的长子说，“你们之 间这样来分我的可动财产：你拿1比赞和余下财产的1/7”；又对次子 说，“你拿2比赞和余下财产的1/7”；又命第三个儿子拿3比赞和余下 财产的1/7 。这样依次分下去，他给每个儿子比前一个儿子多1比赞以 及余下财产的1/7 。把剩余的最后一份财产分给最小的儿子后，恰好 不再有剩余。结果，每个儿子所得恰好一样多。问此人有几个儿子， 有多少财产？列出一元一次方程。
角形ABC中，已知AB=AC
A
=10，BC=12。AD是底边
BC上的高。在AB、AC上
E
F
各求一点 E、F，在BC上
求两点G和H，使AEGHF
是等边五边形。
B
IG
D
HJ
C
案例2 一元二次方程的概念
在教师的引导下，基于已有的知识和经验，学生 从例2、3、5、6、7中分别得到各不相同的一元二 次方程，如下表所示。
案例1 一元一次方程概念
9、自己设计一个可用一元一次方程来求解的实际问题。 本设计的主要目的是让学生经历从实际问题中寻找数量关系、建立一 元一次方程这一数学模型的过程，并了解一元一次方程的概念。一方 面，通过历史上出现过的各类实际问题，让学生体会一元一次方程对 于问题解决的必要性，从而创造学生对于该知识点的强烈的学习动机； 另一方面，根据重构的历史顺序，从学生已有的知识出发，由易至难 对问题进行编排，体现一元一次方程概念的可接受性，从而遵ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ了学 生学习数学的心理规律。从下表中我们看到，发生教学法与新课程的 理念或要求是一致的。
Teaching Design of HPM
教师需要： 了解该概念的历史发展过程； 确定历史发展过程中的若干关键环节（步骤）一
个环节发展到下一个环节的动因是什么？数学家 遇到何种困难和障碍？ 在此基础上，重构这些环节（步骤），使其适合 于课题教学； 设计出一系列由易至难、环环相扣的问题（可以 是历史上的问题或改编的问题）
案例1 一元二次方程的概念
案例2 一元二次方程的概念
例 1 矩形面积为12，宽为长的3/4。问该矩形的长、 宽各为多少？（埃及纸草书）
例 2 已知矩形面积为60，长比宽多7。问该矩形的 长为多少？列出矩形的长所满足的方程。
例 3 已知矩形面积为60，长宽之和为17，问该矩形 的长为多少？列出矩形的长所满足的方程。 （巴 比伦泥版 ）
案例1 一元一次方程概念
四则问题
合作问题
行程问题
定和问题
余数问题
一元一次方程历史的重构
案例1 一元一次方程概念
例1、（1）有一块面积为240平方米的长方形空地，长为20 米，求宽。（2）如果要在这块空地的一头建一座房子， 要求留下72平方米做草坪，则房子地基的长应为多少？设 房子的长为x米，试建立关于x的方程。(四则)
案例1 一元一次方程概念
3、在约制作于公元前1800年的巴比伦泥版上，有这样一道 题：“我找到一石，但未称其重量。它的6倍，加上2 斤， 再加上[所得重量]三分之一的七分之一的24倍，共重60斤。 问：石子原重几何？”试列出关于石重的一元一次方程。
4、在印度算书《丽罗娃蒂》（12世纪）中有这样一个问题： “某数乘以5，减去乘积的1/3，余数除以10；又加上此数 的2倍、1/2、3/4，得68。求此数。”列出一元一次方程。
案例2 一元二次方程的概念
题 次
所建立的方程
1 x2 160
2 x27x600 3 x217x600
4 x23240 5 x236x2520
6 x234x710000
Teaching Design of HPM
了解历史资料
设计课堂活动
选择合适话题
实施教学计划
分析课堂需要
评价课堂活动
Furinghetti: 将数学史用于数学教学的过程
Teaching Design of HPM
设计发生教学法时影考虑的因素： 学生的学习（心理学领域） 概念的历史（数学史领域） 数学教材 课程标准
案例1 一元一次方程概念
题次 未知数(x)
一元一次方程
问题来源
6
数学老师 的年龄
x1x1x1x100 234
7
小淳每月 零花钱数
1x1x1x1x1x100 2 6 12 20 30
8
菁菁班里 的人数
1x1x1x1x 237
《益智问题集》 《计算之书》 《九章算术》
《希腊选集》
9
苹果数 《计算之书》 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2x 1 1 1 1 1 1 11
案例1 一元一次方程概念
练习： 1、一个水池，有两个进水口和两个排水口。用第一个进水口注水，1天
可注满；用第二个进水口注水，2天可注满。用第一个排水口排水，3 天可排完；用第二个排水口排水，4天可排完。问：同时打开两个进 水口和两个排水口，多长时间可注满水池？”试建立一元一次方程。 （改编自《九章算术》、《希腊选集》和《计算之书》） 2、第一艘船从甲地出发，需行5天才抵达乙地；第二艘船从乙地出发， 需行7天才能抵达甲地。今两船各从甲、乙两地同时出发，相向而行， 问几天后第二次相遇（假设两船到达的目的地后，各自立即返回）？ 试列出一元一次方程。（改编自《九章算术》和《计算之书》）
案例2 一元二次方程的概念
序
问题
地区
时间
1
长30英尺的梯子靠墙直立，当顶端沿墙下 移6英尺时，底端离墙移动多远？
巴比 公元前1600-
伦
1800年
2
一根芦苇靠墙直立，当顶端沿墙下移3英 尺时，底端离墙移动9英尺。问芦苇有 多长？
巴比 伦
公元前100年
3
今有垣高一丈。倚木于垣，上与垣齐。引 木却行一尺，其木至地。问木长几何？
案例1 一元一次方程概念
例4、（1）甲、乙、丙三人制砖，一天各能完成300、250和 200块。三人合作制砖1500块，需多长时间？（2）若甲先 工作一天后乙、丙加入，还需多长时间？设需x天完成， 试列出关于x的方程。(合作)
例5、（1）第一艘船从甲地出发，需行5天才抵达乙地；第 二艘船从乙地出发，需行7天才能抵达甲地。今两船各从 甲、乙两地同时出发，相向而行，问几天后相遇？（2） 如果第二艘船先行2天，第一艘船才出发，那么，两船几 天后相遇？设x天后两船相遇，试列出关于x的方程。(行程)
中国
公元1世纪
4
长20英尺的矛，靠塔直立。若将底端离墙 外移12英尺，则尖端抵塔多高？