北师大版高中数学选修(1-2)-4.1《数系的扩充与复数的概念》参考教案
高中数学北师大版选修1-2第四章《数系的扩充与复数的引入》(第1课时 数系的扩充和复数的概念)精品学案
第1课时数系的扩充和复数的概念1.了解引进复数的必要性,理解并掌握虚数单位i.2.理解复数的代数形式,复数虚部与实部.3.实数集、复数集、虚数集与纯虚数集的关系.重点:掌握复数的实部与虚部;实数、复数、虚数、纯虚数与复数的代数形式的实部、虚部的关系;两复数相等的充要条件.难点:体会复数问题实数化的过程.由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.问题1:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单位i的定义?虚数单位i满足它的平方等于-1,即i2=-1.问题2:(1)复数:形如a+b i(a,b∈R)的数叫作复数.(2)复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.(3)复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b分别叫作复数的实部与虚部.(4)两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i⇔a=c,b=d.问题3:复数z=a+b i(a,b∈R),当b=0时,复数z是实数;当b≠0时,复数z是虚数;当时,复数z是纯虚数.问题4: 两复数可不可以比较大小?当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.“复数”“虚数”这两个名词,都是人们在解方程时引入的.为了用公式求一元二次、三次方程的根,就会遇到求负数的平方根的问题.1545年,意大利数学家卡丹诺在《大术》一书中,首先研究了虚数,并进行了一些计算.1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.【答案】B2.复数z=-3-10i的实部是().A.3B.-3C.-10iD.10【解析】复数z=-3-10i的实部是-3.【答案】B3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.【解析】z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.【答案】a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)4.判断下列命题的真假:(1)-1的平方根只有一个;(2)i是1的4次方根;(3)i是方程x6-1=0的根;(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.【解析】(1)∵(-i)2=i2=-1,∴-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.(2)∵i2=-1,∴i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.对复数概念的理解已知下列命题:①复数a+b i不是实数;②两个复数不能比较大小;③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.其中真命题的个数是().A.0B.1C.3D.4【方法指导】根据复数的有关概念来判断命题的真假.【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.【答案】A【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.复数概念的应用z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?【方法指导】根据复数的分类方式将问题转化为求实部和虚部应满足什么条件.【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.(3)若z是纯虚数,则得m=3.【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.复数相等的充要条件(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.(2)设z1=1+sin θ-icos θ,z2=+(cos θ-2)i,若z1=z2,求θ.【方法指导】确定两复数的实部与虚部,利用两复数相等的定义列方程组,解方程组.【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得(2)由已知,得故解得θ=2kπ(k∈Z).【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;③解方程组,求出相应的参数.下列命题中正确的有.①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.【解析】①正确.②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.【答案】①复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:(1)z∈R;(2)z为虚数;(3)z为纯虚数?【解析】(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,所以有由②得x=4,经验证满足①.所以当x=4时,z∈R.(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,所以有解得即<x<4或x>4.所以当<x<4或x>4时,z为虚数.(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.关于a的方程是a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.【解析】设实数根是a,则a2-a tan θ-2-(a+1)i=0,∵a,tan θ∈R,∴∴a=-1且tan θ=1,又0<θ<,∴θ=,a=-1.1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().A.A∪B=CB.∁S A=BC.A∩(∁S B)=⌀D.B∩(∁S A)=B【答案】D2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().A.1或2B.1C.2D.不存在【解析】由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.【答案】C3.已知复数z=3-2i,则复数z的实部与虚部的积是.【解析】z=3-2i的实部和虚部分别为3,-2,故答案为-6.【答案】-64.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x 轴的负半轴上?【解析】(1)由已知得∴∴-7<m<3.∴当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.(2)由已知得解得m=4,即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.(2013年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.【解析】∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,∴∴m=-2.【答案】-21.复数z=-2+3i的虚部是().A.-2B.2C.3D.3i【解析】复数z=-2+3i的虚部是3.【答案】C2.若复数(2x2+5x+2)+(x2+x-2)i为虚数,则实数x满足().A.x=-B.x=-2或-C.x≠-2D.x≠1且x≠-2【解析】由题意得x2+x-2≠0,∴x≠1且x≠-2.【答案】D3.已知集合M={1,2,(m2-3m-1)+(m2-5m-6)i},集合N={-1,3},若M∩N={3},则实数m的值为.【解析】由题设知3∈M,∴m2-3m-1+(m2-5m-6)i=3.∴即∴m=-1.【答案】-14.设复数z=ab+(a2+b2)i(a、b∈R),a、b分别满足什么条件时,z是实数、虚数、纯虚数?【解析】当a、b同时为0时,z为实数;当a、b不全为0时,z是虚数;当a、b有且仅有一个为0时,z为纯虚数.5.如果(x+y)i=x-1,则实数x、y的值分别为().A.x=1,y=-1B.x=0,y=-1C.x=1,y=0D.x=0,y=0【解析】根据复数相等的充要条件,可知解得【答案】A6.下列命题中,正确命题的个数是().①若x,y∈C,则x+y i=1+i的充要条件是x=y=1;②若a,b∈R且a>b,则a+i>b+i;③若x2+y2=0,则x=y=0;④一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零;⑤-1没有平方根;⑥若a∈R,则(a+1)i是纯虚数.A.0B.1C.2D.3【解析】由于x,y∈C,所以x+y i不一定是复数的代数形式,不符合复数相等的充要条件,①是假命题.由于两个虚数不能比较大小,∴②是假命题.当x=1,y=i时,x2+y2=0成立,∴③是假命题.因为复数为纯虚数要求实部为零,虚部不为零,故④错.因为-1的平方根为±i,故⑤错.当a=-1时,(a+1)i是实数0,故⑥错.【答案】A7.复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,则复数z的虚部为.【解析】复数z=(a2+2a-3)+(a2-1)i(a∈R)为纯虚数,∴∴∴a=-3,∴a2-1=8,∴复数z的虚部为8.【答案】88.已知m∈R,复数z=+(m2+2m-3)i,当m为何值时:(1)z∈R;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数;(4)z=+4i?【解析】(1)m需满足解得m=-3.(2)m需满足m2+2m-3≠0且m-1≠0,解得m≠1且m≠-3.(3)m需满足解得m=0或m=-2.(4)m需满足解得m∈⌀.9.已知m、n∈R,复数z1=m2+2n-3+(m+n)i,z2=2m-3n+2+(2m-n)i,若z1=z2,则m+n=.【解析】∵z1=z2,∴∴∴n=1或n=-,m+n=3n,∴m+n的值为3或-.【答案】3或-10.已知复数z1=sin 2x+λi,z2=m+(m-cos 2x)i(λ,m,x∈R),且z1=z2.若λ=0且0<x<π,求x的值.【解析】∵z1=z2,∴∴λ=sin 2x-cos 2x.若λ=0,则sin 2x-cos 2x=0,得tan 2x=.∵0<x<π,∴0<2x<2π,∴2x=或2x=, ∴x=或.。
高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学选修1,2《数系的扩充和复数的概念》教案高中数学选修1-2《数系的扩充和复数的概念》教案【一】教学准备教学目标知识与技能1、了解数系扩充的过程及引入复数的需要2、掌握复数的有关概念和代数符号形式、复数的分类方法及复数相等的充要条件过程与方法1、通过数系扩充的介绍，让学生体会数系扩充的一般规律2、通过具体到抽象的过程，让学生形成复数的一般形式情感态度与价值观1、体会数系的扩充过程中蕴含的创新精神与实践精神，感受人类理性思维的作用2、体会类比、分类讨论、等价转化的数学思想方法教学重难点重点：引入复数的必要性与复数的相关概念、复数的分类，复数相等的充要条件难点：虚数单位i的引进和复数的概念教学过程(一)问题引入事实上在实数范围内x和y确实不存在?为什么会这样呢?假设x和y是存在的，那么就肯定是一些不是实数的数，那么，这些数是什么呢?我们能不能解决这个问题呢?这就是我们今天要学习的内容《数系的扩充和复数的引入》(二)回顾数系的扩充历程师：其实对于这种“数不够用”的情况，我们并不陌生。
大家记得吗?从小学到现在，我们一直在经历着数的不断扩充。
现在就让我们来回顾一下，看看我们以前是怎么解决“数不够用”的问题的。
(三)类比，引入新数，将实数集扩充1、类比数系的扩充规律，引导学生找出解决“实数不够用”这个问题的办法生：引入新数，使得平方为负数师：我们希望引入的数的平方为负数，但是负数有无穷多个，我们不肯能一下子引入那么多，只要引入平方为多少就行呢?2、历史重现：3、探究复数的一般形式：(四)新的数集——复数集1.复数的定义(略)2.复数的应用：复数在数学、力学、电学及其他学科中都有广泛的应用，复数与向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，是进一步学习数学的基础。
(五)复数的分类(六)复数相等的充要条件复数相等的充要条件可以把复数相等的问题转化为求方程组的解的问题，是一种转化的思想。
课后小结1、由于实际的需要，我们总结数的三次扩充过程的规律，运用类比的方法，我们引进了新的数i，并将实数集扩充到了复数集，认识到了复数的代数形式，并讨论了复数的分类及复数相等的充要条件，并且利用相等的条件把复数问题转化为方程组的解的问题2、那么，复数究竟是什么东西呢?能不能像实数一样在现实中找到它的影子呢?别急，我们的探索脚步并不会停止下去，这是我们下次将要探索的内容。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-2 1.1数的概念的扩展》4
《数系的扩充与复数的引入》的教学设计作者：谢伟单位：江西省萍乡市第三中学一、教学内容分析本课是北师大版新课标普通高中数学选修1-2第四章第一节《数系的扩充与复数的引入》的内容。
该节中的内容包括：数系的扩充与复数的引入、复数的有关概念。
总课时安排为2课时，《数系的扩充与复数的引入》是本节中的第一课时。
复数的有关概念和有关计算是中学阶段函数文理科都必学的内容，复数的定义以及它的发展对现代科技的发展有着深远的影响。
在历年的高考中对复数的考查每年都有涉及。
在本节课是以复数的概念为主线，它始终贯穿于整个课堂教学过程，这是本节课的重点内容。
二、学生学习情况的分析我所教授的班级是学校里的平行班，具体的学生情况有以下特点：学习习惯不太好，需要不断地引导和规范；数学基本功不太扎实，演算不能做到又准又快；独立解决问题能力弱，畏难情绪严重，探索精神不足。
只有极少数学生学习习惯良好，学风严谨，思维缜密。
三、教学目标根据新课标的要求，以及对教材与内容分析，考虑到学生已有的认知结构及心理特征，制定如下教学目标：（一）三维目标1、知识与技能（1）通过实例，了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用。
（2）理解复数的基本概念。
（3）掌握复数的代数表示方法,理解复数相等的充要条件，并能进行一些简单的应用。
2、过程与方法（1）通过本节课的学习，通过“数与形”之间的转换，渗透数形结合的数学思想。
（2）通过合作探究活动，明白考虑问题要细致、缜密，说理要严密、明确。
3、情感、态度与价值观在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、合作与评价，拉近学生之间、师生之间的情感距离，培养学生对数学的兴趣。
（二）重点、难点重点：理解复数的基本概念难点：掌握复数的代数表示方法,理解复数相等的充要条件，并能进行一些简单的应用。
四、 教学方法合作学习认为教学是师生之间、生生之间互相作用的过程，强调多边互动，共同掌握知识。
北师大版数学- 数系的扩充和复数的概念导学案 选修1-2
青海师范大学附属第二中学高中数学 3.1.1 数系的扩充和复数的概念导学案 选修1-2【学习要求】1．了解引进虚数单位i 的必要性，了解数集的扩充过程.2．理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.3．掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件．【学法指导】可以从实际需求和数系的扩充认识引入复数的必要性，认识复数代数形式的结构，从本质上理解复数和有序数对的对应关系.1．复数的有关概念(1)复数 ①定义：形如a ＋b i 的数叫做复数，其中a ，b ∈______，i 叫做__________．a 叫做复数的______，b 叫做复数的______．②表示方法：复数通常用字母____表示，即________．(2)复数集①定义：__________所构成的集合叫做复数集．②表示：通常用大写字母____表示．2．复数的分类及包含关系(1)复数(a ＋b i ，a ，b ∈R)⎩⎨⎧ 实数b ＝0虚数b ≠0⎩⎪⎨⎪⎧ 纯虚数a ＝0非纯虚数a ≠0(2)集合表示：3．复数相等的充要条件 设a ，b ，c ，d 都是实数，那么a ＋b i ＝c ＋d i ⇔__________. 探究点一 复数的概念问题1 为解决方程x 2＝2，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x 2＋1＝0在实数系中无根的问题呢？问题2 如何理解虚数单位i?问题3 什么叫复数？怎样表示一个复数？问题4 什么叫虚数？什么叫纯虚数？例1 请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．①2＋3i ；②－3＋12i ；③2＋i ；④π；⑤－3i ；⑥0.跟踪1符合下列条件的复数一定存在吗？若存在，请举出例子；若不存在请说明理由．(1)实部为－2的虚数； (2)虚部为－2的虚数；(3)虚部为－2的纯虚数； (4)实部为－2的纯虚数．例2 当实数m 为何值时，复数z ＝m 2＋m －6m＋(m 2－2m )i 为 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．跟踪2 实数m 为何值时，复数z ＝m m ＋2m －1＋(m 2＋2m －3)i 是 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数．探究点二 两个复数相等问题1 两个复数能否比较大小？问题2 两个复数相等的充要条件是什么？ 例3 已知x ，y 均是实数，且满足(2x －1)＋i ＝－y －(3－y )i ，求x 与y .跟踪3 已知x 2－x －6x ＋1＝(x 2－2x －3)i(x ∈R)，求x 的值．【达标检测】1．已知复数z ＝a 2－(2－b )i 的实部和虚部分别是2和3，则实数a ，b 的值分别是 ( )A ．2，1B ．2，5C ．±2，5D ．±2，12．下列复数中，满足方程x 2＋2＝0的是 ( )A ．±1B ．±IC ．±2iD ．±2i3．如果z ＝m (m ＋1)＋(m 2－1)i 为纯虚数，则实数m 的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．－1或14．下列几个命题：①两个复数相等的一个必要条件是它们的实部相等；②两个复数不相等的一个充分条件是它们的虚部不相等；③1－a i(a ∈R)是一个复数；④虚数的平方不小于0；⑤－1的平方根只有一个，即为－i ；⑥i 是方程x 4－1＝0的一个根；。
北师大版高中数学选修1-2导学案：数系的扩充与复数的概念
学习目标理解数系的扩充是与生活密切相关的，明白复数及其相关概念.二、新课导学※ 学习探究探究任务一：复数的定义问题：方程210x +=的解是什么？为了解决此问题，我们定义21i i i ⋅==-，把新数添进实数集中去，得到一个新的数集，那么此方程在这个数集中就有解为 .新知：形如a bi +的数叫做复数，通常记为z a bi =+（复数的代数形式），其中i 叫虚数单位，a 叫实部，b 叫虚部，数集{}|,C a bi a b R =+∈叫做复数集.试试：下列数是否是复数，试找出它们各自的实部和虚部。
23i +，84i -，83i +，6，i ，29i --，7i ，0反思：形如 的数叫做复数，其中 和 都是实数，其中 叫做复数z 的实部， 叫做复数z 的虚部.对于复数(,)a bi a b R +∈当且仅当 时，它是实数；当 时，它是虚数；当 时，它是纯虚数；探究任务二：复数的相等若两个复数a bi +与c di +的实部与虚部分别 ，即: ， .则说这两个复数相等.a bi +=c di + ⇔ ；a bi +=0 ⇔ .注意:两复数 比较大小.※ 典型例题例1 实数m 取什么值时，复数1(1)z m m i =++-是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？变式：已知复数22276(56)()1a a z a a i a R a -+=+--∈-，试求实数a 分别取什么值时，分别为（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？例2已知复数a bi +与3(4)k i +-相等，且a bi +的实部、虚部分别是方程2430x x --=的两根，试求：,,a b k 的值.练2. 已知i 是虚数单位，复数2(1)(23)4(2)z m i m i i =+-+-+，当m 取何实数时，z 是：（1）实数；（2） 虚数；（3）纯虚数；（4）零.三、总结提升※学习小结1. 复数的有关概念；2. 两复数相等的充要条件；3. 数集的扩充.※知识拓展复数系是在实数系的基础上扩充而得到的.数系扩充的过程体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的作用. 学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 实数m取什么数值时，复数1(1)=-++是实数（）z m m iA．0 B．1-C．2-D．3-2. 如果复数a bi+的和是纯虚数，则有（）+与c diA．0a c+≠+=且0b dB．0+=a cb d+≠且0C．0+≠a db d+=且0D．0+≠b d+=且0b c3. 如果22=+-+-+为实数,那么实数a的值为（）2(32)z a a a a iA．1或2-B．1-或2C．1或2 D．1-或2-4.若22-+++是纯虚数，则实数x的值是x x x i(1)(32)5. 若()(1)(23)(21)x y y i x y y i++-=+++，则实数x= ；y= .课后作业1.求适合下列方程的实数与的值:(1)(32)(5)172++-=-x y x y i i(2)(3)(4)0+-+-=x y x i2. 符合下列条件的复数一定存在吗?若存在，请举出例子；若不存在,请说明理由.(1)实部为(2)虚部为(3)虚部为。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修1-2 1.1数的概念的扩展》
《数系的扩充和复数的引入-----数的概念的推广》教学设计（北师大版选修1-2第4章第1节）一、教材分析数系的扩充的过程体现了数学的发展与创造过程，同时也体现了数学发生发展的客观需要。
复数的引入实现了中学阶段数系的又一次扩充，其实在必修一学习指数函数的时候，就已经经历了一次指数扩充，指数可以扩充到任意的整数、分数、有理数和无理数。
现在通过这部分的学习，有助于学生体会数学理论产生与发展的过程，认识到数学的发展既来自外部的实际需求，也有来自内部的逻辑规律，形成正确的数学观。
通过复数的学习使学生对于数的概念有一个初步的、完整的认识，为他们运用数学知识解决问题增添了新的工具，同时也为他们进一步学习高等数学、力学、电学等打下一定的基础。
教材在本节内容的处理上，突出数域的扩充，注重知识的形成过程，对于复数的概念不是直接给出，而是从学生已有的知识出发，先概括自然数到实数的结构关系，然后提出新的问题。
教材还在本章最后还提供了阅读材料——数的扩充。
由此可见，教材充分体现出复数的概念是由实际需求与数学内部矛盾引出来的。
二、学情分析学生从小学到高中经历了一个完整的数学学习过程，对数系从自然数集逐步扩充到实数集有一定的认识。
另外学生在本章之前已经学习了《推理与证明》的内容，有了一定的推理与证明能力，有利于本节课利用类比的思想对实数集进行扩充。
学生已经具备一定的数学抽象和逻辑推理的能力，但在实际应用方面还有待提高，老师可以适当引导，提出一些问题，让学生进行充分的讨论并回答，提高学生的核心素养。
三、教学目标1、知识与技能了解数系的发展原因和发展过程，理解复数的有关概念，复数的分类2、过程与方法在经历数系的扩充过程中体验复数引入的必要性，体验数学的发现和创造过程，感知数学产生、发展的客观要求。
3、情感、态度与价值观在经历数系的扩充过程中，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系。
通过引入数学史内容，感受数学家的研究精神。
北师大版数学高二-选修1学案 4.1数系的扩充与复数的引入
4.1数系的扩充与复数的引入导学案●三维目标1．知识与技能(1)了解数的概念的发展过程和数集扩充到复数集的必然性．(2)了解复数的有关概念及分类．(3)理解复数相等的充要条件．(4)了解复数与复平面内点的对应关系．2．过程与方法通过数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维在数系扩充过程中的作用．3．情感、态度与价值观通过复数与复平面内点的对应关系，体会二维空间中数与形之间的内在联系，培养数形结合的意识．●重点难点重点：数的概念的扩展和复数相等的充要条件．难点：复数的向量表示．虚数单位i的认知是教学的重点，教学中要围绕“为什么引入i？如何引入i，i是什么？”展开教学，本节课是在复数的代数表示下，介绍了复数的有关概念、复数的分类、复数相等的充要条件以及复数的几何意义，抓住复数的代数表示，就抓住了重点，继而突破难点．●教学建议1．教学时应从两个方面阐述数的发展，首先是因生产和科学发展的需要而使数逐步扩充的过程；其次数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾．2．教学时应强调数系扩充应满足的两个条件：一是数系扩充后仍然保持原有数系中的运算法则和运算关系；二是新数系解决了原有数无法解决的矛盾．3．在教学中，应引导学生体会复数相等的充要条件的意义和用法，它是化“虚”为“实”的桥梁．4．教学时，应强调建立复平面的意义，它使实数与数轴上的点之间的一一对应扩展到复数与复平面内的点之间的一一对应，即从一维空间扩展到二维空间，使复数有了几何形象．●教学流程通过问题引入课题：x2＝－1在R上有解吗？→定义复数：z＝a＋b i(a，b∈R)⇒复数的分类→复数相等的充要条件⇒复数的几何意义→应用示例→练习反馈→归纳总结，深化认识课标解读1.了解数系的扩充过程(重点)．2．了解复数的有关概念及分类(重点)．3．理解两个复数相等的充要条件(重点)．4．理解复数的几何意义(难点).复数【问题导思】对于方程x2＋1＝0，思考下列问题：(1)该方程有实数解吗？为什么？(2)若i是该方程的一个解，则i要满足什么条件？【提示】(1)因为Δ＝0－4＜0，所以方程无实数解．(2)i2＝－1.1．复数的概念(1)虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．(2)复数的概念：把形如a＋b i的数叫作复数(a，b是实数，i是虚数单位)．复数通常表示为z＝a＋b i(a，b∈R)．(3)对于复数z＝a＋b i，a与b分别叫作复数z的实部与虚部，并且分别用Re_z与Im_z 表示，即a＝Re_z，b＝Im_z.(4)复数的全体组成的集合叫作复数集，记作C，显然R C.2．复数的分类z＝a＋b i(a，b∈R)中，当b＝0时，z为实数；当b≠0时，z为虚数；当a＝0且b≠0时，z为纯虚数．3．复数相等的充要条件a＋b i＝c＋d i(a，b，c，d∈R)当且仅当a＝c且b＝d.4．复平面当用直角坐标平面内的点表示复数时，我们称这个直角坐标平面为复平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴．5．复数的两种几何意义6．复数的模设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)在复平面内对应的点是Z (a ，b )，点Z 到原点的距离|OZ |叫作复数z 的模或绝对值，记作|z |，显然|z |＝a 2＋b 2.复数的有关概念及分类当实数m 为何值时，z ＝m 2－m －6m ＋3＋(m 2＋5m ＋6)i 为(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？【思路探究】 本例考查复数的有关概念及分类问题．清楚复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )为实数、虚数及纯虚数的限制条件是解决本题的关键．【自主解答】 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝0，m ＋3≠0， 解得m ＝－2.∴当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6≠0，m ＋3≠0， 解得m ≠－2且m ≠－3.∴当m ≠－2且m ≠－3时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －6m ＋3＝0，m 2＋5m ＋6≠0，解得m ＝3.∴当m ＝3时，z 为纯虚数．1．研究一个复数在什么情况下是实数、虚数或纯虚数时，首先要保证这个复数的实部、虚部是有意义的，这是一个前提条件．2．对于复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当b ＝0时为实数；当b ≠0时为虚数；a ＝0且b ≠0时为纯虚数．复数z ＝log 3(x 2－3x －3)＋ilog 2(x －3)，当x 为何实数时，(1)z 为实数？(2)z 为虚数？(3)z 为纯虚数？【解】 (1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －3＝0，x 2－3x －3＞0， 解得x ＝4，∴当x ＝4时，z 为实数．(2)若z 为虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －3≠0，x 2－3x －3＞0. 解得3＋212＜x ＜4或x ＞4，∴当3＋212＜x ＜4或x ＞4时，z 为虚数． (3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧ log 3x 2－3x －3＝0，log 2x －3≠0， ①②解①得x ＝－1或4.当x ＝－1时，x －3＝－4＜0，当x ＝4时，x －3＝1，log 2(x －3)＝0，所以无解．∴复数z 不可能是纯虚数．复数相等的充要条件求使等式(2x －1)＋i ＝y －(3－y )i 成立的实数x ，y 的值．【思路探究】 题目条件给出的是关于复数的等式，可以考虑利用复数相等的充要条件来解决．【自主解答】 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1＝y ，1＝－3－y .解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝52，y ＝4.1．在利用复数相等的充要条件解题时，首先要把复数化为a ＋b i 的形式，便于分清复数的实部与虚部．2．复数相等的充要条件是将复数问题转化为实数问题的主要依据，实部与实部、虚部与虚部分别相等，进而列方程组求解实数x ，y 的值．已知(2x ＋8y )＋(x －6y )i ＝14－3i ，求实数x ，y 的值．【解】 由复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋8y ＝14，x －6y ＝－3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝1. 复数的几何意义在复平面内，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i(m ∈R )的对应点(1)在虚轴上；(2)在实轴负半轴上；(3)在直线y ＝x 上，分别求出复数z .【思路探究】 把点的对应关系转化为实部与虚部应满足的条件，列方程(不等式)组，求解实数m .【自主解答】 (1)若复数z 对应点在虚轴上，则m 2－m －2＝0，∴m ＝－1或m ＝2.此时z ＝6i 或z ＝0.(2)若复数z 对应点在实轴负半轴上，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －2＜0，m 2－3m ＋2＝0， 解得m ＝1，∴z ＝－2.(3)若复数z 对应的点在直线y ＝x 上，则m 2－m －2＝m 2－3m ＋2，∴m ＝2，∴复数z ＝0.1．复数a ＋b i(a ，b ∈R )在复平面内与点(a ，b )对应．2．此类问题的解题方法是根据点的位置，利用复数的相关概念，转化为关于m 的方程或不等式(组)求解．本例中，若复数z ＝(m 2－m －2)＋(m 2－3m ＋2)i 在复平面中的对应点位于第二象限，求实数m 的取值范围．【解】 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2，m >2或m <1. ∴－1<m <1.即实数m 的取值范围为{m |－1<m <1}．复数模的几何意义已知复数z 1＝3－i ，z 2＝－12＋32i. (1)求|z 1|及|z 2|的值并比较大小；(2)设z ∈C ，满足|z 2|≤|z |≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？【思路探究】 利用模的几何意义解题．【自主解答】 (1)由复数模的定义：|z 1|＝|3－i|＝2，|z 2|＝|－12＋32i|＝1. ∴|z 1|>|z 2|.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，则1≤|z |≤2.∴1≤x 2＋y 2≤4.因为x2＋y2≥1表示圆x2＋y2＝1及其外部所有点组成的集合，x2＋y2≤4表示圆x2＋y2＝4及其内部所有点组成的集合．∴满足条件的点Z(x，y)的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示．1．画出图形，结合图形求解，把复数问题转化为几何问题，数形结合是常用的数学思想方法之一．2．设复数z＝x＋y i(x，y∈R)，则在复平面内，满足：(1)|z|＝r(r∈R且r＞0)的点Z的轨迹是以原点为圆心，r为半径的圆．(2)|z－(a＋b i)|＝r(a，b∈R，r∈R且r＞0)的点Z的轨迹是以(a，b)为圆心，r为半径的圆．。
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案
高中数学《数系的扩充和复数的概念》教案一、教学目标1. 让学生理解实数和虚数的概念，了解复数的基本形式。
2. 让学生掌握复数的运算规则，包括加、减、乘、除以及共轭复数的概念。
3. 培养学生运用复数解决实际问题的能力。
二、教学内容1. 实数和虚数的概念：介绍实数和虚数的定义，举例说明实数和虚数的区别。
2. 复数的基本形式：介绍复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。
3. 复数的运算规则：讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。
4. 共轭复数的概念：介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。
三、教学重点与难点1. 教学重点：实数和虚数的概念，复数的基本形式，复数的运算规则，共轭复数的概念。
2. 教学难点：复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
2. 利用例题演示，让学生直观地理解复数的运算方法。
3. 设计练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学步骤1. 引入实数和虚数的概念，举例说明实数和虚数的区别。
2. 讲解复数的一般形式，解释实部和虚部的意义。
3. 讲解复数的加、减、乘、除运算方法，并通过例题演示。
4. 介绍共轭复数的定义，讲解共轭复数的性质和运用。
5. 设计练习题，让学生运用所学知识解决问题。
教案仅供参考，具体教学过程中请根据学生的实际情况进行调整。
六、教学评价1. 通过课堂讲解、例题分析和练习题，评价学生对实数、虚数和复数的概念的理解程度。
2. 通过复数运算的练习题，评价学生对复数运算规则的掌握情况。
3. 通过共轭复数相关练习题，评价学生对共轭复数性质和运用的理解程度。
七、教学拓展1. 介绍复数在工程、物理等领域的应用，激发学生学习复数的兴趣。
2. 引导学生思考复数运算的规律，培养学生的逻辑思维能力。
八、教学资源1. PPT课件：实数、虚数和复数的概念，复数的运算规则，共轭复数的性质和运用。
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数系的扩充与复数的概念
一、教学目标：
1、知识与技能：了解引进复数的必要性；理解并掌握虚数的单位i ；
2、过程与方法：理解并掌握虚数单位与实数进行四则运算的规律；
3、 情感、态度与价值观：理解并掌握复数的有关概念(复数集、代数形式、虚数、纯虚数、实部、虚部) 理解并掌握复数相等的有关概念。
二、教学重点，难点：复数的基本概念以及复数相等的充要条件。
三、教学方法：阅读理解，探析归纳，讲练结合
四、教学过程
（一）、问题情境
1、情境：数的概念的发展：从正整数扩充到整数，从整数扩充到有理数，从有理数扩充到实数，数的概念是不断发展的，其发展的动力来自两个方面．
①解决实际问题的需要．由于计数的需要产生了自然数；为了刻画具有相反意义的量的需要产生了负数；由于测量等需要产生了分数；为了解决度量正方形对角线长的问题产生了无理数(即无限不循环小数)．
②解方程的需要．为了使方程40x +=有解，就引进了负数，数系扩充到了整数集；为了使方程320x -=有解，就要引进分数，数系扩充到了有理数集；
为了使方程22x =有解，就要引进无理数，数系扩充到了实数集． 引进无理数
以后，我们已经能使方程2x a =(0)a >永远有解．但是，这并没有彻底解决问题，
当0a <时，方程2x a =在实数范围内无解．为了使方程2x a =(0)a <有解，就必
须把实数概念进一步扩大，这就必须引进新的数．（可以以分解因式：44x -为
例）
2、问题：实数集应怎样扩充呢？
（二）、新课探析
1、为了使方程2x a =(0)a <有解，使实数的开方运算总可以实施，实数集
的扩充就从引入平方等于1-的“新数”开始．为此，我们引入一个新数i ，叫做虚
数单位（imaginary unit ）．并作如下规定：①21i =-；②实数可以与i 进行四则
运算，进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．在这种规定下，i 可以与实数b 相乘，再同实数a 相加得i b a ⋅+．由于满足乘法交换律和加法交换律，上述结果可以写成a bi + (,a b R ∈)的形式．
2、复数概念及复数集C
形如a bi +(,a b R ∈)的数叫做复数。
全体复数构成的集合叫做复数集，一般用字母C 来表示， 即{},,C z z a bi a b R ==+∈．显然有N*N
Z Q R C ．
3、复数的有关概念：1) 复数的表示：通常用字母z 表示，即
z a bi =+(,a b R ∈)，其中,a b 分别叫做复数的实部与虚部；2）虚数和纯虚数：①复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b =时，z 就是实数a ．②复数z a bi =+(,a b R ∈)，当0b ≠时，z 叫做虚数。
特别的，当0a =，0b ≠时，z bi =叫做纯虚数．
4、复数集的分类
分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一．根据上述原则，复数集的分类如下：
5、两复数相等
如果两个复数a bi +与c di +（,,,a b c d R ∈）的实部与虚部分别相等，我们
就说这两个复数相等．即a c a bi c di b d =⎧+=+⇔⎨=⎩，（复数相等的充要条件），
特别地：000a a bi b =⎧+=⇔⎨=⎩（复数为0的充要条件）．。