浙江省2018年中考数学总复习 第七章 数学思想与开放探索问题 第40讲 实验与动态型问题讲解篇

第40讲实验与动态型问题类型一由点运动产生的问题例1(2017·丽水)如图1，在△ABC中，∠A＝30°，点P从点A出发以2cm/s的速度沿折线A－C－B运动，点Q从点A出发以a(cm/s)的速度沿AB运动，P，Q两点同时出发，当某一点运动到点B时，两点同时停止运动．设运动时间为x(s)，△APQ的面积为y(cm2)，y关于x的函数图象由C1，C2两段组成，如图2所示．(1)求a的值；(2)求图2中图象C2段的函数表达式；(3)当点P运动到线段BC上某一段时△APQ的面积大于当点P在线段AC上任意一点时△APQ的面积，求x的取值范围．【解后感悟】解题的关键是从运动图与描述图中获取信息，根据图象确定x的运动时间与面积的关系，同时关注图象不同情况的讨论．这类问题往往探究点在运动变化过程中的变化规律，如等量关系、图形的特殊位置、图形间的特殊关系等，且体现分类讨论和数形结合的思想．1．(2016·白银)如图，△ABC是等腰直角三角形，∠A＝90°，BC＝4，点P是△ABC 边上一动点，沿B→A→C的路径移动，过点P作PD⊥BC于点D，设BD＝x，△BDP的面积为y，则下列能大致反映y与x函数关系的图象是( )2．(1)如图，在平面直角坐标系中，点A在抛物线y＝x2－2x＋2上运动，过点A作AC⊥x 轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连结BD，则对角线BD的最小值为.(2) (2016·舟山)如图，在直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴，y 轴上，点A 的坐标为(－1，0)，∠ABO ＝30°，线段PQ 的端点P 从点O 出发，沿△OBA 的边按O→B→A→O 运动一周，同时另一端点Q 随之在x 轴的非负半轴上运动，如果PQ ＝3，那么当点P 运动一周时，点Q 运动的总路程为 .类型二 由线运动产生的问题例2 (2015·无锡)如图，C 为∠AOB 的边OA 上一点，OC ＝6，N 为边OB 上异于点O 的一动点，P 是线段CN 上一点，过点P 分别作PQ∥OA 交OB 于点Q ，PM ∥OB 交OA 于点M.(1)若∠AOB＝60°，OM ＝4，OQ ＝1，求证：CN⊥OB； (2)当点N 在边OB 上运动时，四边形OMPQ 始终保持为菱形．①问：1OM －1ON 的值是否发生变化？如果变化，求出其取值范围；如果不变，请说明理由；②设菱形OMPQ 的面积为S 1，△NOC 的面积为S 2，求S 1S 2的取值范围．【解后感悟】解答这类问题时要用运动与变化的观点去观察和研究图形，把握直线或曲线变化的全过程，本题中PQ∥OA，PM ∥OB ，涉及相似三角形的判定与性质，抓住等量关系，特别注意一些不变量、不变关系或特殊关系．3．(1)(2016·长春市南关区模拟)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 在x 轴的正半轴上，点B 在点C 的左侧，直线y ＝kx 经过点A(3，3)和点P ，且OP ＝6 2.将直线y ＝kx 沿y 轴向下平移得到直线y ＝kx ＋b ，若点P 落在矩形ABCD 的内部，则b 的取值范围是( )A ．0<b<3B ．－3<b<0C ．－6<b<－3D ．－3<b<3(2) (2016·合肥模拟)在平面直角坐标系的第一象限内，边长为1的正方形ABCD 的边均平行于坐标轴，A 点的坐标为(a ，a)．如图，若曲线y ＝4x (x>0)与此正方形的边有交点，则a 的取值范围是 .(3) (2016·新昌模拟)已知Rt △ABC 的顶点坐标为A(1，2)，B(2，2)，C(2，1)，若抛物线y ＝ax 2与该直角三角形无公共点，则a 的取值范围是 .(4) (2016·海陵模拟)如图，等腰直角三角形的斜边长AB ＝8，一直线l 绕顶点B 任意旋转，过A 向l 作垂线，垂足为H ，则线段CH 长的取值范围是 .类型三 由图形运动产生的问题例3 (2016·金华)由6根钢管首尾顺次铰接而成六边形钢架ABCDEF ，相邻两钢管可以转动．已知各钢管的长度为AB ＝DE ＝1米，BC ＝CD ＝EF ＝FA ＝2米．(铰接点长度忽略不计)(1)转动钢管得到三角形钢架，如图1，则点A ，E 之间的距离是 米； (2)转动钢管得到如图2所示的六边形钢架，有∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝120°，现用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，则所用三根钢条总长度的最小值是 米．【解后感悟】由图形变化产生的问题包括由点引起的图形变化，图形的平移、旋转、翻转等；图形在变化过程中，抓住不变的图形和量；以三角形、四边形和圆的变化为常见的一种题型．本题的关键是添加辅助线构造特殊三角形以及平行四边形．4．(2016·金华)如图，Rt △ABC 纸片中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，点D 在边BC 上，以AD 为折痕折叠△ABD 得到△AB′D，AB ′与边BC 交于点E.若△DEB′为直角三角形，则BD 的长是.5．(2016·宁波)如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为(5，0)，菱形OABC 的顶点B ，C 都在第一象限，tan ∠AOC ＝43，将菱形绕点A 按顺时针方向旋转角α(0°＜∠α＜∠AOC)得到菱形FADE(点O 的对应点为点F)，EF 与OC 交于点G ，连结AG.(1)求点B 的坐标；(2)当OG ＝4时，求AG 的长； (3)求证：GA 平分∠OGE；(4)连结BD 并延长交x 轴于点P ，当点P 的坐标为(12，0)时，求点G 的坐标．【动点实验题】用如图1，2所示的两个直角三角形(部分边长及角的度数在图中已标出)，完成以下两个探究问题：探究一：将以上两个三角形如图3拼接(BC 和ED 重合)，在BC 边上有一动点P. (1)当点P 运动到∠CFB 的角平分线上时，连结AP ，求线段AP 的长； (2)当点P 在运动的过程中出现PA ＝FC 时，求∠PAB 的度数．探究二：如图4，将△DEF 的顶点D 放在△ABC 的BC 边上的中点处，并以点D 为旋转中心旋转△DEF，使△DEF 的两直角边与△ABC 的两直角边分别交于M 、N 两点，连结MN.在旋转△DEF 的过程中，△AMN 的周长是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，请说明理由．【方法与对策】本题是几何综合题，运用了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函数最值等知识点．第(3)问，由发现并证明△AMD≌△CND 取得解题的突破点，再利用勾股定理和二次函数的性质求出最小值．这种题型要注意问题的前后关系，要利用前面方法来指导后面的问题，要利用特殊到一般的思想，这是中考常见题型．【没有画图和动态分析，致使问题分析不全】如图，已知△ABC 三个顶点的坐标分别为A(1，4)，B(4，1)，C(1，1)，若双曲线y ＝kx (x ＞0)与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是________．第40讲 实验与动态型问题【例题精析】例1 (1)如图1，作PD⊥AB 于D ，∵∠A ＝30°，∴PD ＝12AP ＝x ，∴y ＝12AQ ·PD ＝12ax 2，由图象可知，当x ＝1时，y ＝12，∴12×a ×12＝12，解得a ＝1； (2)如图2，作PD⊥AB 于D ，由图象可知，PB ＝5×2－2x ＝10－2x ，PD ＝PB·sin B ＝(10－2x)·sin B ，∴y ＝12×AQ ×PD＝12x ×(10－2x)·sin B ，∵当x ＝4时，y ＝43，∴12×4×(10－2×4)·sin B ＝43，解得，sin B ＝13，∴y ＝12x ×(10－2x)×13＝－13x 2＋53x ；(3)12x 2＝－13x 2＋53x ，解得，x 1＝0，x 2＝2，由图象可知，当x ＝2时，y ＝12x 2有最大值，最大值是12×22＝2，－13x 2＋53x ＝2，解得，x 1＝3，x 2＝2，∴当2＜x ＜3时，点P 运动到线段BC 上某一段时△APQ 的面积大于当点P 在线段AC 上任意一点时△APQ 的面积．例2 (1)过P 作PE⊥OA 于E ，∵PQ ∥OA ，PM ∥OB ，∴四边形OMPQ 为平行四边形．∴PM ＝OQ ＝1，∠PME ＝∠AOB＝60°，∴PE ＝PM·sin 60°＝32，ME ＝12，∴CE ＝OC －OM －ME ＝32，∴tan ∠PCE ＝PE CE ＝33，∴∠PCE ＝30°，∴∠CPM ＝90°，又∵PM∥OB，∴∠CNO ＝∠CPM＝90°，即CN⊥OB.(2)①1OM －1ON 的值不发生变化．理由如下：设OM ＝x ，ON ＝y.∵四边形OMPQ 为菱形，∴OQ ＝QP ＝OM ＝x ，NQ ＝y －x.∵PQ∥OA，∴∠NQP ＝∠O.又∵∠QNP＝∠ONC，∴△NQP ∽△NOC ，∴QP OC ＝NQ ON ，即x 6＝y －x y ，∴6y －6x ＝xy.两边都除以6xy ，得1x －1y ＝16，即1OM －1ON ＝16. ②过P 作PE⊥OA 于E ，过N 作NF⊥OA 于F ，则S 1＝OM·PE，S 2＝12OC ·NF ，∴S 1S 2＝x ·PE 3NF .∵PM ∥OB ，∴∠PMC ＝∠O.又∵∠PCM＝∠NCO，∴△CPM ∽△CNO.∴PE NF ＝CM CO ＝6－x 6.∴S 1S 2＝x （6－x ）18＝－118(x －3)2＋12.∵0＜x ＜6，由这个二次函数的图象可知，0＜S 1S 2≤12.例3 (1)如图1中，∵FB ＝DF ，FA ＝FE ，∴∠FAE ＝∠FEA，∠B ＝∠D，∴∠FAE ＝∠B，∴AE ∥BD ，∴AE DB ＝AF FB ，∴AE 4＝23，∴AE ＝83，故答案为83. (2)如图2中，作BN⊥FA 于N ，延长AB 、DC 交于点M ，连结BD 、AD 、BF 、CF.在Rt △BFN 中，∵∠BNF ＝90°，BN ＝32，FN ＝AN ＋AF ＝12＋2＝52，∴BF ＝BN 2＋NF 2＝7，同理得到AC ＝DF ＝7，∵∠ABC ＝∠BCD＝120°，∴∠MBC ＝∠MCB＝60°，∴∠M ＝60°，∴CM ＝BC ＝BM ，∵∠M ＋∠MAF＝180°，∴AF ∥DM ，∵AF ＝CM ，∴四边形AMCF 是平行四边形，∴CF ＝AM ＝3，∵∠BCM ＝∠CBD＋∠CDB＝60°，∠CBD ＝∠CDB，∴∠CBD ＝∠CDB＝30°，∵∠M ＝60°，∴∠MBD ＝90°，∴BD ＝DM 2－BM 2＝23，BE ＝BD 2＋DE 2＝13，∵7<3<23＜13，∴用三根钢条连接顶点使该钢架不能活动，∴连结AC 、BF 、DF 即可，∴所用三根钢条总长度的最小值为37，故答案为37.【变式拓展】 1．B2. (1)1 (2)43.(1)C (2)2≤a≤3 (3)a<0或a>2或0<a<14 (4)0≤CH≤84.2或55．(1)如图1，过点B 作BH⊥x 轴于点H ，∵四边形OABC 为菱形，∴OC ∥AB ，∴∠BAH ＝∠COA.∵tan ∠AOC ＝43，∴tan ∠BAH ＝43.又∵在直角△BAH 中，AB ＝5，∴BH ＝45AB ＝4，AH＝35AB ＝3，∴OH ＝OA ＋AH ＝5＋3＝8，∴点B 的坐标为(8，4)； (2)如图1，过点A 作AM⊥OC 于点M ，在直角△AOM 中，∵tan ∠AOC ＝43，OA ＝5，∴AM ＝45OA ＝4，OM ＝35OA ＝3，∵OG ＝4，∴GM ＝OG －OM ＝4－3＝1，∴AG ＝AM 2＋GM 2＝42＋12＝17； (3)如图1，过点A 作AN⊥EF 于点N ，∵在△AOM 与△AFN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AOM ＝∠F，OA ＝FA ，∠AMO ＝∠ANF＝90°，∴△AOM ≌△AFN(AAS)，∴AM ＝AN ，∴GA 平分∠OGE. (4)如图2，过点G 作GQ⊥x 轴于点Q ，由旋转可知：∠OAF＝∠BAD＝α.∵AB＝AD ，∴∠ABP ＝180°－α2，∵∠AOT ＝∠F，∠OTA ＝∠GTF，∴∠OGF ＝∠OAF＝α，∴∠OGA＝∠EGA＝180°－α2，∴∠OGA ＝∠ABP，又∵∠GOA＝∠BAP，∴△GOA ∽△BAP ，∴GQ BH ＝OAAP ，∴GQ ＝57×4＝207.∵tan ∠AOC ＝43，∴OQ ＝207×34＝157，∴G ⎝ ⎛⎭⎪⎫157，207.【热点题型】【分析与解】探究一：(1)依题意画出图形，如图1所示：由题意，得∠CFB＝60°，FP 为角平分线，则∠CFP＝30°.∴CF ＝BC·tan 30°＝3×33＝ 3.∴CP ＝CF·tan ∠CFP ＝3×33＝1.过点A 作AG⊥BC 于点G ，则AG ＝12BC ＝32，∴PG ＝CG －CP ＝32－1＝12.在Rt △APG 中，由勾股定理得：AP ＝AG 2＋PG 2＝（32）2＋（12）2＝102. (2)由(1)可知，FC ＝3，如图2所示，以点A 为圆心，以FC ＝3长为半径画弧，与BC 交于点P 1、P 2，则AP 1＝AP 2＝ 3.过点A 作AG⊥BC 于点G ，则AG ＝12BC ＝32，在Rt △AGP 1中，cos ∠P 1AG ＝AG AP 1＝323＝32，∴∠P 1AG ＝30°.∴∠P 1AB ＝45°－30°＝15°.同理求得，∠P 2AG ＝30°，∠P 2AB ＝45°＋30°＝75°.∴∠PAB 的度数为15°或75°. 探究二：△AMN 的周长存在最小值．如图3所示，连结AD ，∵△ABC 为等腰直角三角形，点D 为斜边BC 的中点，∴AD ＝CD ，∠C ＝∠MAD＝45°.∵∠EDF＝90°，∠ADC ＝90°，∠MDA ＝∠NDC.∵在△AMD 与△CND 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MAD ＝∠C，AD ＝CD ，∠MDA ＝∠NDC，∴△AMD ≌△CND(ASA)．∴AM＝CN.设AM ＝x ，则CN ＝x ，AN ＝AC －CN ＝22BC －CN ＝322－x ，在Rt △AMN 中，由勾股定理得：MN ＝AM 2＋AN 2＝x 2＋（322－x ）2＝2x 2－32x ＋92＝2（x －324）2＋94，∴△AMN 的周长为：AM ＋AN ＋MN ＝322＋2（x －324）2＋94.当x＝324时，有最小值，最小值为322＋94＝3＋322.∴△AMN 周长的最小值为3＋322.【错误警示】如图2，若双曲线与△ABC 有公共点，则双曲线向下最多到点C ，向上最多到与直线AB 只有一个交点，当过点C 时，解得k ＝1；当双曲线与直线AB 只有一个交点时，设直线AB解析式为y ＝ax ＋b ，∵A(1，4)，B(4，1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧4＝a ＋b ，1＝4a ＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝5，∴直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5，∴⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x ，y ＝－x ＋5，∴x 2－5x ＋k ＝0，则该方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即(－5)2－4k ＝0，解得k ＝254，∴k 的取值范围为：1≤k≤254.。