湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三上-期中数学(理)(有答案)(精选)
湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三上学期期中考试数学(理)试题
湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三上学期期中考试理科数学本试题卷共8页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。
2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。
4、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。
如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。
6、保持卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。
7、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。
一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则()U C A B ⋂=（ ）A ．{5}B ．{1,3,7}C ．{2,4}D ．{6}2．已知命题2:,10p a R a a ∀∈++≥，则p ⌝为（ ）A ．2000,10a R a a ∃∈++≤B ．2,10a R a a ∀∈++≤C ．2000,10a R a a ∃∈++<D ．2,10a R a a ∀∈++<3．已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，若c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ）A ．(3,0)-B ．(1,0)C ．(0,3)-D ．(0,1)4．函数01()()2f x x =-+）A ．112,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．[)2,-+∞C ．112,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()2,-+∞5．已知函数2()ln 2f x x x =+-，则()y f x =的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,3)6．已知1sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ） A ．16 B ．13 C ．23 D．123±7．在平面直角坐标系中，AB 、CD 、EF 、GH 是单位圆上的四段弧（如图），点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH8．设函数2|1|2,||1()1,||11x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩ ，则((1))f f =（ ） A ．1- B ．13 C ．14 D ．159．为了得到函数3cos 3y x x =+的图象，可以将函数2sin 3y x =的图象沿x 轴（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移18π个单位 D ．向左平移18π个单位10．下列四个图中，函数ln |1|1x y x +=+的图象可能是（ ）11．函数(1)f x +是偶函数，且1x ≤时，()2x f x =，若()1f a <，则a 的取值范围是（ ） A ．(0)(2,)-∞⋃+∞， B ．(0)(1,2)-∞⋃， C ．(,0)-∞ D ．(0)(3,)-∞⋃+∞，12．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],m n D ⊆使()f x 在[],m n 上的值域为,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数()log ()x a f x a t =+，（0,1a a >≠）是“成功函数”，则t 的取值范围是（ ） A ．11[,)42 B ．1(0,)4 C ．11(,)42 D ．1(0,]4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上． 13．函数()ln 1f x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ． 14．在ABC ∆，120,5,7A AB BC =︒==，则sin sin BC的值为 ．15．平面向量(1,0),(1,3)a b ==-，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ．16．已知函数4()2f x x x =+-，若存在1231,,,,[,4]4n x x x x ∈，使得1()f x +2()f x ++1()n f x -=()n f x ，则正整数n 的最大值为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本题满分10分）已知命题:||3p x <，命题2:450q x x --≤，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围．18．（本题满分12分）在△ABC 中，c b a ,,分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足,2sin a b c b a B >>=．（1）求A 的大小；（2）若2a b ==，求△ABC 的面积．19．（本题满分12分）已知函数2()cos sin f x x x x x R =⋅+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期；（2）求函数()f x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最值及相应x 的值．20．（本题满分12分）已知0a b c ++=，3a =，5b =，7c =． （1）求a 与b 的夹角；（2）是否存在实数k ，使a b +与a kb -垂直？21．（本题满分12分）已知函数()()33xxf x R λλ-=+⋅∈．（1）是否存在实数λ使得()f x 为奇函数？若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由； （2）在（1）的结论下，若不等式(41)(2)0t t f f m -+->在[]1,1t ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．22．（本题满分12分）设R a ∈，函数()ln f x a x x =-． （1）若()f x 无零点，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 有两个相异零点12x x ，，求证： 12ln ln 2ln 0x x a -+<．高三（理科）数学参考答案一、选择题二、填空题13．y x = 14．35 15．12- 16．8三、解答题17．解：:33p x -<<，…………………2分:15q x -≤≤，…………………4分p q ∧为假，p q ∨为真，则,p q 一真一假…………………5分（1）若p 真q 假，则33{15x x x -<<<->或，∴31x -<<-…………………7分（2）若p 假q 真，则33{15x x x ≤-≥-≤≤或，∴35x ≤≤…………………9分所以31x -<<-或35x ≤≤…………………10分 （另解请酌情给分．．．．．．．）18．解：（1）∵2sin b a B =，∴由正弦定理化简得：sin 2sin sin B A B =，…………………………2分 ∵sin 0B ≠，∴1sin 2A =，…………………………3分 ∵a b c >>，∴A 为钝角，…………………………4分 则56A π=．…………………………6分（2）∵a =，2b =，cos A =，∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即24122c c =+-⨯，整理得：280c -=，…………………………8分计算得出：c =10分则111sin 2222S bc A ∆==⨯⨯⨯=12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）19．解：（1）11cos 2()sin 2sin(2)2223x f x x x π+=+=-…………2分 ∴=T π………………4分（2）[,]44x ππ∈-，52[,]366x πππ-∈-………………6分 当236x ππ-=即4x π=时，max 1()sin 62f x π==………………9分当232x ππ-=-即12x π=-时，min ()sin()12f x π=-=-………………12分（另解请酌情给分．．．．．．．）20．解：（1）∵a b c +=-，∴22()a b c +=，……………1分 则2222a a b b c +⋅+=，即得152a b ⋅=，…………3分 ∴1cos ,2a b a b a b⋅<>==，,[0,]a b π<>∈，…………5分 ∴a 与b 的夹角为3π．…………7分 （2）∵a b +与a kb -垂直，∴()()0a b a kb +⋅-=，…………8分 则22(1)0a k a b kb +-⋅-=，15159+25022k k --=，…………10分 ∴3365k =．…………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）21．解：（1）若()f x 为奇函数，则(0)0f =，…………1分 即1+=0λ，解得1λ=-，…………2分()33(33)()x x x x f x f x ---=-=--=-，则存在1λ=-，使得()f x 为奇函数………4分（2）()33x x f x -=-（x R ∈），()(33)l n 30x x f x -'=+>，…………5分则()f x 在R 上为增函数，…………6分 ∵()f x 为奇函数，(41)(2)0t tf f m -+->， 即(41)(2)t tf f m ->-，…………7分又()f x 在R 上为增函数，∴412t tm ->-，…………8分则2421(2)21,([1,1])t t t tm t <+-=+-∈-恒成立，令12[,2]2t n =∈，则22151()24m n n n <+-=+-，…………10分 令215()()24g n n =+-，min 1()4g n =-，…………11分 ∴14m <-…………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）22．解：（1）①若0<a 时，则()10af x x'=-<，()f x 是区间()0,+∞上的减函数， ∵11(1)10,()1,aaf f e e =-<=-而10a<，则101a e <<，即11()10a a f e e =-> ∴1(1)()0af f e ⋅<，函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点； ②若0,()a f x x ==-，在区间()0,+∞无零点； ③若0>a ，令()0f x '=，得x a =，在区间(0,)a 上， ()0f x '>，函数()f x 是增函数； 在区间(,)a +∞上，()0f x '<，）是减函数；函数x f ( 故在区间上，),0(+∞的最大值为)(x f ()ln ,f a a a a =-无零点，由于)(x f则()ln 0f a a a a =-<，解得0a e <<， 故所求实数a 的取值范围是[)0,e ………………5分（2）因为1x ， 2x 是方程ln 0a x x -=的两个不同的实数根． ∴()()112201{02alnx x alnx x -=-=两式相减得()1212ln ln ()0a x x x x ---=，解得1212ln x x a x x -=要证： 12ln ln 2ln 0x x a -+<，即证： 212x x a <，即证： ()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证()221211221221ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，………………8分不妨设12x x <，令12(0,1)x t x =∈．只需证21ln 2t t t <-+．设()21ln 2g t t t t=--+，∴()22111ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎝'⎪⎭； 令()12ln h t t t t =-+，∴()22211110h t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭'，∴()h t 在()01，上单调递减，∴()()1h t h > 0=，∴()0g t '>，∴()g t 在()01，为增函数，∴()()10g t g <=．即21ln 2t t t<-+在()01，恒成立，∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a -+<．………………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）。
湖北省重点高中联考协作体2019届高三上学期期中考试高三数学理科试卷(有答案)
2018年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学理科试卷考试时间：2018年11月9日上午8：00－10：00 试卷满分：150分★祝考试顺利★2018年秋季湖北省重点高中联考协作体期中考试高三数学(理科)参考答案一、选择题：每题5分，共50分.1~5 BADCB 6~10 CAADD 11~12 BC二、填空题：每小题4分，共20分，请将答案填入相应栏内.13.0 14.1 15.21616log 33+(或 228log 33-)16.74 1.B 【解析】由于[](,1)(2,),1,2R A C A =-∞-+∞∴=-,又B ={}4x x x <≤∴集合]()(0,2R C A B =.选B.2.A 【解析】A.逆否命题与原命题同真同假，由x y =可得sin sin x y =; B. 命题“”为假命题有三种情况，(i)p 真q 假，(i i)p 假q 真，(iii) p 假q 假； C.“” 是“”成立的充分不必要条件;D 否定是：“对任意，均有210x x ++≤”.故选A.3.D 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ,3243,S S S =+ 11323(3)22a d a ⨯∴+= 1434,2d a d ⨯+++解得132d a =-,1612,3,513a d a a d =∴=-∴=+=-.故选D. 4.C 【解析】因为()f x 为奇函数，所以()()111f f -=-=，于是()111f x --≤≤等价于()()()111f f x f --≤≤,又()f x 在()-∞+∞，单调递减,111x ∴--≤≤ 0x ∴≤≤2. 故选C. 5.B 【解析】∵BD →＝2BO →，BE →＝λBA →＋μBD →，∴BE →＝λBA →＋2μBO →.∵E 为线段AO 的中点，∴BE →＝12(BA →＋BO →)，∴λ＝12，2μ＝12，解得μ＝14，∴λ-μ＝14.选B.6.C 【解析】由12n n n a a a +=+得1121,n n a a +=+所以11112(1)n n a a ++=+,故11n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列,公比为2,111112(1)2n n n a a -+=+=,1221log (1)log 2n n nb n a +=+==.故选C. 7.A 【解析】∵函数()sin(23)2f x x πϕ=+-是奇函数，其中(0,)2πϕ∈，∴6πϕ=， ∴f （x ）=sin2x=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣），则函数g （x ）=cos （2x ﹣ϕ）=cos （2x ﹣）=cos2（x ﹣） 的图象可由函数f （x ）的图象向左平移个单位得到的，C,D 错;由26x k ππ-=,得,122k x ππ=+1k =-时 512x π=-,B 错.()03g π=，故选A ． 8.A 【解析】()(),()(),f x f x f x f x -≠-≠-排除B,C. 21()0,f e e e=->211()0,f e e e =+> 211()0f e e e -=-<.故选A ． 9.D 【解析】由已知得抛物线的焦点为(0,2),所以0,0n m ><,2,c c a ==,所以双曲线的方程是2213y x -=.渐近线方程是y =.选D. 10.D 【解析】由已知()2f x x a =-+有两个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线2y x a =-+有两个交点，作图可得22,1a a ≤∴≤.选D.11.B 【解析】①由正弦定理及大对大角可知①正确；②A B =或,2A B π+=ABC ∆是直角三角形或等腰三角形；所以②错误；③由已知及余弦定理可得22222222a c b b c a a b c ac bc+-+--=，化简得222a b c =+2.AC <<所以④错误. 故选B.12. C 【解析】沿AD 折后如图,AD BC ⊥,易知CDB ∠是二面角C AD B --的平面角,120CDB ∠=,12,4,CD BD AD ===由余弦定理得2222BC CD BD CD =+-cos120BD ⋅,可得BC =,过D 作DF BC ⊥于F ,连接AF ,则AF BC ⊥,由面积相等得11sin12022CD BD DF BC ⋅=⋅,可得DF =.①平面ABC 与平面ACD 不垂直,A 错;②由于111(84sin 120)4332D A B C A B C D B C D V V S AD --==⋅=⨯⨯=,B 错;③易知AFD ∠为二面角A B C D --的平面角,tan 3AD AFD DF ∠===,C 对;④BC 与平面ACD 所成的角是BCD ∠,sin 6021sin 14BD BCD BC ⋅∠==,D 错．故选.C 13.0 【解析】(3,0),a b +=由()c a b +得，0λ=．14.1【解析】22sin cos 1,cos sin 1,sin cos 2sin cos 1,αβαβαβαβ+=+=∴++=22cos sin 2cos sin 3αβαβ++=,相加得22(sin cos cos sin )4αβαβ++=,sin()1αβ∴+=.15.21616log 33+(或228log 33-)【解析】22612(log 12)(log )2f f =23(log )16f == 21616log 33+228(log 3)3=-. 16. 74【解析】设椭圆方程是2222111x y a b +=,双曲线方程是2222221x y a b -=,由定义可得1212,PF PF a +=1221122122,,PF PF a PF a a PF a a -=∴=+=-,在12F PF ∆中由余弦定理可得22212121212(2)()()2()()c o s 3c a a a a a a a a π=++--+-,即2221243,c a a =+ 22222222221212212122222222121212123332321171712(2)(16)()26444444a a a a a a a a c c a a a a a a a a +++=+=+++=++≥+742=+. 三、解答题:本大题6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 考点：同角三角函数关系,辅助角公式,正、余弦定理的应用．专题：计算题；三角函数的求角；解三角形及三角形面积的计算．【命题意图】本小题主要考查正弦定理，余弦定理，三角恒等变换，三角形面积等基础知识；考查运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学抽象，数学运算等.【试题简析】解：（1）由已知得2221cos 222c a b ac B ac ac +-=== ..................................................................................... 2分 由()0,πB ∈，得π=3B . ................................................................................................... 5分 （2）由cos A =，()0,πA ∈得，sin 10A ==， 在ABC △中，sin sin()sin cos cos sin C B A B A B A =+=+110210=+⨯= ....................................... 7分 由正弦定理sin sin a b A B =得，sin sin a b B A =⋅== ............... 8分 所以1sin 2ABC S ab C =△12==．. ................................................ 10分 点评：本题已知三角形的边角关系式，求角A 的大小，已知三角形面积求三角形的另两边长．着重考查了正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属于容易题．18.考点：线线垂直与线面垂直的相互转换．专题：计算与证明题；距离的转换;线面角,二面角的求解．【解析】(1)证明：如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知AD CD BC ===可得ABC ∆是等腰直角三角形，即AB AC ⊥， ．．．．．．．．．．．．．．2分 又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥， ．．．．．．．．．．．．．．4分又AP AC A =,所以AB ⊥平面PAC ，所以AB PC ⊥（2）建立如图所示空间直角坐标系，则())()0,0,0,,,A C D())()0,0,2,,2.P B PD =- 设()01PM tPD t =<<，则M的坐标为(),22t -．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 设(),,n x y z =是平面AMC 的一个法向量，则 00n AC n AM ⎧=⎨=⎩，得()0220t z ⎧=⎪+-=，则可取1,1,2(1)n t ⎛⎫=- ⎪ ⎪-⎝⎭．．．．．．．．．．．．．10分 又()0,0,1m =是平面ACD 的一个法向量， 所以02(cos ,cos 45m n m n m n ===，23t = 2.3PM PD ∴= ．．．．．．．．．．．．．．12分点评：本题是立几综合题;线面垂直性质与判定定理，利用空间向量研究二面角及线面角; 属于容易题．19. 考点：三角函数的诱导公式,和差倍角公式;辅助角公式,化简三角函数式子．专题：求三角函数的周期,求单调区间．解：（1）()f x 的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭.．．．．．．．．．．．．．．2分 1()4tan sin()cos()4sin(cos )32f x x x x x x x ππ=-++=+22sin cos sin 2cos2)x x x x x =-=-sin 222sin(2)3x x x π=+=+ ．．．．．．．．．．．．．．5分 所以()f x 的最小正周期是2.2T ππ== ．．．．．．．．．．．．．．6分 (2)令23z x π=+,易知2sin y z =的单调递增区间是2,2,,22k k k Z ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦由 222,232k x k πππππ-+≤+≤+得5,1212k x k k Z ππππ-+≤≤+∈． ．．．．．．．．．．．．8分 设,33A ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦,5,1212B x k x k k Z ππππ⎧⎫=-+≤≤+∈⎨⎬⎩⎭, 易知,.312A B ππ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦ ．．．．．．．．．．．．．．10分所以,当,33x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时, ()f x 在区间,312ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增, 在区间,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. ．．．．．．．．．．．．．．12分点评：本题利用两角和的余弦公式及降幂公式,辅助角公式把三角函数化为一个复角的形式,再求周期及单调区间．本题属于容易题．20. 考点：等差等比数列的定义及通项公式的求法;错位相减法．专题：数列综合题,数列求和问题．解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*n ∈N ），即11n n a a +-=（2n ≥，*n ∈N ），且211a a -=．∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．∴1n a n =+．．．．．．．．．．．．6分（2）由（Ⅰ）知n n n b 2)1(⋅+= 它的前n 项和为n T 12312341T 2333433(1)3(1)3T 2333433(1)3(2)n n n n n n n n n n -+=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅=⋅+⋅+⋅++⋅++⋅ 12341(1)(2):2T 233333(1)3n n n n +--=⋅+++++-+⋅ ．．．．．．．．．．．8分 13(13)333(1)3(3)31322n n n n n +-=+-+⋅=--⋅+- 333T ()3244n n n ∴=+⋅- ．．．．．．．．．．．．．．12分 点评：数列的通项公式及错位相减法是解决数列问题的基础; 本题属于容易题．21. 考点：函数的应用题,列式解不等式;分离常数法,利用函数的单调性求最值．专题：考察数学建模,分析问题解决问题的能力及数学运算能力．解：（1）由题意得36(100)(1)6100,100x x -+≥⨯ ．．．．．．．．．．．．．．．2分 220032000,03x x x -≤∴<≤， ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 又*x N ∈，所以066x <≤(*x N ∈)； ．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）x 户农民从事蔬菜加工的总年收入为36()50x a x -万元，从事蔬菜种植的所有农民年总年收入36(100)(1)100x x -+万元，依题意得36()50x a x -≤36(100)(1)100x x -+恒成立， ．．．．．．．．．．．．．．．．8分231002100ax x x ≤++，10032100x a x ≤++恒成立，1003100x y x =+在上递减，在⎫⎪⎭递增，10035757,2157100x y ⨯==++=++=，10035858,2 1.72 1.742 5.4658100x y ⨯==++=++=， 5.46a ∴≤ . ．．．．．．．．．．．．．．．．12分点评：本题第(1)问要分别求出动员前后从事蔬菜种植的总收入(户数不同); 第(2)问要求出动员后,从事蔬菜加工与从事蔬菜种植的两个总收入代数式,再列不等式求解.属于中档题．22. 考点：求椭圆的方程;弦长、面积的计算．专题：平面几何综合题，椭圆的定义，换元法求最值问题．【解析】(1)设动圆的半径为r ，则2CF r =，1,CF r =所以1212,CF CF F F +=>由椭圆的定义知动圆圆心C 的轨迹是以12,F F为焦点的椭圆，1a c ==所以b =C 的轨迹方程是22132x y +=； ．．．．．．．．．．．．．．．．4分 (2)当直线MN 斜率不存在时,直线PQ 的斜率为0,易得4,MN PQ ==四边形PMQN的面积S = ．．．．．．．．．．．．．．．．5分 当直线MN 斜率存在时,设其方程为(1)(0),y k x k =-≠联立方程得2(1)4y k x y x=-⎧⎨=⎩,消元得2222(24)0k x k x k -++= 设1122(,),(,),M x y N x y 则12212421x x k x x ⎧+=+⎪⎨⎪=⎩24 4.MN k==+ ．．．．．．．．．．．．．．．．7分 ,PQ MN ⊥ ∴直线PQ 的方程为1(1),y x k=-- 221(1)132y x k x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,得222(23)6360k x x k +-+-= 设3344(,),(,),P x y Q x y 则34221226233623x x k kx x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩PQ ==四边形PMQN的面积2114(22S MN PQ k ==+= ．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分令21k t +=,1t >,上式222()224S t t t ===--+-+++11,01t t >∴<<,由二次函数图像可知2111()224t -+++的范围是(0,2)2S >=综上可得S ≥．．．．．．．．．．．．．．．．12分点评：经典题型,椭圆方程与直线联立求弦长及面积;属于中档题．。
湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2020届高三上学期期中考试理科数学)参考答案
则 f (x) 在 (0, a ) 上单调递减，在 ( a , +) 上单调递增…………………………………8 分
i）当 a 1时， f (x) 在[0,1] 上单调递减，则 f (x)min = f (1) = −3a ……………………9 分
ii）当 0 a 1时， f (x) 在 (0, a ) 上单调递减，在 ( a ,1) 上单调递增
x +1 f (x) 0 ，得 x − 1− a 或 x 1− a f (x) 0 ，得 − 1− a x 1− a i）− 1− a −1即 a 0 时， f (x) 在 (−1, 1− a ) 单调递减，( 1− a, +) 单调递增…4 分 ii） − 1− a −1即 0 a 1时， f (x) 在 (− 1− a，1− a ) 单调递减，
法二：由正弦定理，
在 ABC 中， AB = AC ………………………………………………………2 分 sin BCA sin ABC
在 BCD中， BD = CD ……………………………………………………4 分 sin BCD sin DBC
由 D 为 AC 的中点， sin ABC = sin DBC
则 f (x)min = f ( a) = −2a a −1…………………………………10 分
−1, a 0
综上得，
f
( x)min
=
−3a, a 1
．………………………………………………12 分
−2a a −1, 0 a 1
21．解：（1）法一： SABC
=
1 2
AB BC sin ABC
−3 x −1 x −2或x 3
湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2019届高三数学上学期期中联考试题 文
宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期中联考高三（文科）数学（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）一．选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的．）1.已知集合A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁R B )＝( )A ．[0,1]B ．(－∞，1]∪[2，＋∞)C ．[－1,0]D ．[1,2]2.已知条件p ：x ＋y ≠2，条件q ：x ，y 不都是1，则q 是p 的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件3.已知函数f (x )＝x 2-4x ＋3，x ∈[－4, 6]．则f (x )的值域为（ ）A. [15,35]B. [-1,35]C. [-1,15]D. [3,15]4．如图，在直角坐标系xOy 中，射线OP 交单位圆O 于点P ，若∠AOP ＝θ，则点P 的坐标是( )A ．(－sin θ，cos θ)B ． (sin θ，cos θ)C ．(－cos θ，sin θ)D ． (cos θ，sin θ)5.在等差数列{a n }中，a 2＋a 4＝15－a 3，S n 表示数列{a n }的前n 项和，则S 5＝( )A ．5B ．15C ．25D ．756.已知函数()f x ＝sin(ωx ＋φ)+1(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为4π，且对任意x ∈R ，都有()f x ≤()3f π成立，则()f x 图象的一个对称中心的坐标是( )A. 2,03π⎛⎫- ⎪⎝⎭B. 2,13π⎛⎫- ⎪⎝⎭C. 2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 2,13π⎛⎫ ⎪⎝⎭7.已知函数f (x )为奇函数，对任意x ∈R ，都有f (x ＋6)=f (x )，且f (2)＝4，则f (2 014)＝( ) A ． －4 B ．－8 C ．0 D ．－168.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A bB a==，则该三角形的形状是( )A ．直角三角形或等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形9.已知函数f (x )( )A ．(－∞，1]B ．[-1，1)C ．(1，3]D ．[1，＋∞)10.已知y ＝f (x )为(0，＋∞)上的可导函数，且有()f x '＋()f x x>0，则对于任意的a ，b ∈(0，＋∞)，当b >a 时，有( )A ． af (b )>bf (a )B ．af (b )<bf (a )C ． af (a )<bf (b )D ．af (a )>bf (b )11.已知函数2610(3)1,3(),3x x a x x f x ax -+⎧-+≤⎪=⎨>⎪⎩ (a >0，且a ≠1)，若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3) B. (0,1) C ．5,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．(2,3)12.设f (x )＝|ln x |，若函数f (x )－ax=0在区间(0,4)上有三个根，则实数a 的取值范围是( )A. ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，1eB. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，ln 22C. ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1eD. ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 22，e二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共计20分，将答案填在答题纸上）13.已知tan α，tan β是方程x 2-33x ＋4＝0的两根，且,αβ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则αβ+＝________.14.在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝3a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝242，则n ＝________.15．已知命题p ：2,0x R x a ∀∈-≥；命题q ：2000,220x R x ax a ∃∈++-=.若命题“p ∨q ”是真命题，则实数a 的取值范围为________．16. 若函数32()132x a f x x x =-++在区间1,32⎛⎫⎪⎝⎭上有极值点,则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17. （本小题10分）已知命题p ：函数()f x 为定义在R 上的单调递减函数，实数m 满足不等式(1)(32)f m f m +<-. 命题q ：当x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时,方程2sin 2sin 1m x x =--+有解. 求使“p 且q ”为真命题的实数m 的取值范围.18.（本小题12分）已知函数f (x )＝2sin x sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6.(1)求函数f (x )的对称轴和单调递增区间； (2)当x ∈,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求函数f (x )的值域．19.（本小题12分）已知函数f (x )＝x +a ln x (a ∈R)．(1)当a ＝2时，求曲线y ＝f (x )在点A (1，f (1))处的切线方程； (2)求函数f (x )的极值．20.（本小题12分）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，b ＝a tan B ，且A 为钝角．(1)证明：A －B ＝π2；(2)求sin B ＋sin C 的取值范围．21.（本小题满分12分）已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点，其导函数为3()2f x x '=+， 数列{}n a 的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数()y f x =的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝11n n a a +，试求数列{b n }的前n 项和T n .22．（本小题12分）已知函数f (x )＝x －(a ＋1)ln x －a x (a ∈R)，g (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)当x ∈[1，e 2]时，求f (x )的最小值；(2)当a <1时，若存在x 1∈[e ，e 2]，使得对任意的x 2∈[－1,0]，f (x 1)<g (x 2)恒成立，求a 的取值范围．宜昌市部分示范高中教学协作体2017年秋期中联考高三（文科）数学参考答案一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13、 2π314、5 15、(－∞，0]∪[1,+∞) 16、三．解答题(本大题共6小题，共75分）17.解：对于命题p :由函数f (x )为R 上的单调递减函数得132m m +>- 解得23m >………………………2分 对于命题q :当x ∈时,sin x ∈[0,1],m=cos 2x-2sin x=-sin 2x-2sin x +1=-(sin x +1)2+2∈[-2,1], ………………………6分综上,要使“p 且q ”为真命题,只需p 真q 真,即232m m ⎧>⎪⎨⎪-⎩≤≤1解得实数m 的取值范围是. ………………………10分18. 解：(1)f (x )＝2sin x ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x ＋12cos x ＝3×1－cos 2x 2＋12sin 2x ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋32. ………………2分 所以函数f (x )的对称轴为x ＝5,212k k ππ+∈Z . ………………………4分 由－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤5π12＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12＋k π，5π12＋k π，k ∈Z. (7)分 (2)当x ∈,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，2x －π3∈20,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3∈[]0,1，………………………10分f (x )∈⎣⎦. ………………………11分故f (x )的值域为,122+⎣⎦。
湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2019-2020高三9月月考数学(理)试题(解析版)
宜昌市部分示范高中教学协作体2019年秋9月联考高三（理科）数学一、选择题1.i 是虚数单位，()25z i i -=，z =（ ）A.B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据复数除法运算，求得z 的表达式，再求z 的模.【详解】依题意()()()52512222i i i z i i i i +===-+--+，所以z == D. 【点睛】本小题主要考查复数除法运算，考查复数模的运算，属于基础题.2.全集{}0,1,2,3,4,5,6U =,集合6{|}1A x N N x =∈∈+，则U C A =（ ） A. {2,3,4,5,6} B. {3,4,5,6}C. {3,4,6}D. {3,4,5}【答案】C 【解析】 【分析】先求得集合A 的元素，再求得集合A 的补集.【详解】依题意{}0,1,2,5A =，故{}3,4,6U C A =，故选C.【点睛】本小题主要考查集合元素，考查集合补集的运算，属于基础题.3.命题“矩形的对角线相等”的否定及真假，描述正确的是（ ） A. 矩形对角线都不相等，真B. 矩形的对角线都不相等，假C. 矩形的对角线不都相等，真D. 矩形的对角线不都相等，假【答案】D 【解析】 【分析】根据命题的否定的知识写出原命题的否定，并判断出真假性.【详解】命题的否定是否定结论，故原命题的否定为“矩形的对角线不都相等”，为假命题. 【点睛】本小题主要考查命题的否定，考查矩形的几何性质，属于基础题.4.如果,x y 是实数，那么“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的( ) A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】 【分析】将两者相互推导，根据能否推导的情况判断出正确选项. 【详解】当“x y ≠”，可能cosx cosy =，如ππcos cos 33⎛⎫-= ⎪⎝⎭.当“cosx cosy ≠”，则“x y ≠”成立.故“x y ≠”是“cosx cosy ≠”的必要不充分条件.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查余弦函数的性质.5.小吴一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小吴一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为（ ）A. 1%B. 2%C. 3%D. 5% 【答案】C【解析】由题意3030%3%30+40+100+80+50⨯=，故选C．6.椭圆22221(0)x ya ba b+=>>22221x ya b-=的离心率为（）A. 2B.C.D. 【答案】D【解析】【分析】根据椭圆离心率求得ba的值，再根据双曲线离心率公式，求得双曲线的离心率.=，故214ba⎛⎫=⎪⎝⎭=，故选D.【点睛】本小题主要考查椭圆离心率、双曲线离心率有关计算，属于基础题.7.设曲线11xyx+=-在点(3,2)处的切线与直线10ax y++=垂直,则a=( )A. 2B. 2-C.12- D.12【答案】B【解析】 【详解】因为22(1)y x -='-，所以22()12,(31)a a -⋅-=-⇒=--选B.考点：导数几何意义【思路点睛】（1）求曲线的切线要注意“过点P 的切线”与“在点P 处的切线”的差异，过点P 的切线中，点P 不一定是切点，点P 也不一定在已知曲线上，而在点P 处的切线，必以点P 为切点；（2）利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解.8.定义在R 上的奇函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，若(1)1f =，则(2020)f 的值是（ ） A. 0 B. 1C. 505D. 2020【答案】A 【解析】 【分析】根据(1)(1)f x f x +=-求得函数的对称轴，结合函数为奇函数，求得函数的周期，再根据周期性求得()2020f 的值.【详解】由于(1)(1)f x f x +=-，所以函数图像关于直线1x =对称，而函数是奇函数，图像关于原点对称，故函数是周期为4的周期函数，故()()()20200450500f f f =+⨯==，故选A. 【点睛】本小题主要考查函数对称轴、周期性，考查抽象函数求值，属于基础题.9.函数2()(1)sin f x x x x x =+-+的零点的个数是（ ） A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】将函数()f x 因式分解.利用导数求得函数()sin g x x x =-的单调区间，判断出函数()sin g x x x =-零点个数.由此判断出()f x 零点个数.【详解】依题意()()()1sin f x x x x =+-，故1x =-是函数()f x 的零点.构造函数()sin g x x x =-，注意到()00g =，且()'1cos 0g x x =-≥，所以()g x 在R 上递增，只有唯一零点0x =.所以()f x 有两个零点1x =-或0x =.故选B.【点睛】本小题主要考查函数零点，考查利用导数研究函数的零点，考查因式分解，属于中档题.10.函数3()3f x x x =-在区间()2,m -上有最大值，则m 的取值范围是（ ）A.1,)-+∞（ B. 1,1]-（ C. 1,2)-（ D.1,2]-（ 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数求得函数的单调区间和极大值，根据区间()2,m -上的图像包括且不能高过极大值列不等式组，解不等式组求得m 的取值范围. 【详解】由于()()()'233311fx x x x =-=+-，故函数在(),1-∞-和()1,+∞上递增，在()1,1-上递减，()()122f f -==，画出函数图像如下图所示，由于函数在区间()2,m -上有最大值，根据图像可知(],B A m x x ∈，即(]1,2m ∈-，故选D.【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值，考查函数在开区间上有最值的问题，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.11.已知函数()f x 是定义在R 上函数，且满足()()0f x f x '+>，其中()f x '为()f x 的导数，设(0)a f =，2(ln 2)b f =，(1)c ef =，则a 、b 、c 的大小关系是A. c b a >>B. a b c >>C. c a b >>D. b c a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据题意得到()()(),()()xxF x f x e F x f x f x e ⎡'⎤=+⎣⎦'=>0, 函数F （x ）是单调递增函数，则F （1）>F(ln2)>F(0),化简后得到结果. 【详解】函数()f x 是定义在R 上的函数，且满足()()0f x f x'+>,设()()(),()()x x F x f x e F x f x f x e ⎡'⎤=+⎣⎦'=>0,故函数F （x ）是单调递增函数，则F （1）>F(ln2)>F(0),的()()()012ln 20ef f e f >>,() 1ef >() 22f ln >() 0f . c b a >>.故答案为：A.【点睛】本题考查了函数单调性应用，解抽象函数不等式问题，通常需要借助于函数的单调性和奇偶性和周期性，或者需要构造函数再求导,两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.12.若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为( ) A. 3B.C.D.【答案】A 【解析】 【分析】设正方形的边长，利用体积列方程求得四棱锥的高，计算出四棱锥外接球半径的最小值，求得此时对应的四棱锥的高.【详解】设正方形的边长为a ，则四棱锥的高为227h a =，正方形对角线长为，则其外接圆的半径2r a =.设球的半径为R ，则()222h R r R -+=，解得44222272727210844108a a R a a a =+=++94≥=，当且仅当42274108a a =，即3a =时等号成立，此时，四棱锥的高为2272739h a ===.故选A.【点睛】本小题主要考查四棱锥外接球半径的最小值的计算，考查四棱锥的体积公式，考查利用基本不等式求最值的方法，属于中档题.二、填空题：13.计算：122231(lg lg8)4log 3log 4125--÷+⋅=________.【答案】20 【解析】 【分析】根据对数运算、指数运算有关公式，化简所求表达式. 【详解】依题意，原式()1232223lg104log 3log 2-=⨯+⨯()223322log 3log 2=-⨯+⨯⨯18220=+=.【点睛】本小题主要考查对数运算，考查指数运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14.幂函数222(22)m y m m x -=--在(0,)+∞上增函数，则m =________.【答案】3 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和单调性，求得m 的值.【详解】由于函数为幂函数，所以2221m m --=，解得3m =或1m =-，当1m =-时，函数为1y x=，不满足在(0,)+∞上递增，故舍去.当3m =时，7y x =符合题意.综上所述，m 的值为3.【点睛】本小题主要考查幂函数的定义，考查幂函数的单调性，属于基础题.15.函数2()cos 2sin 2f x x a x =--+的最大值为3，则a =________.【答案】12± 【解析】 【分析】利用同角三角函数的基本关系式化简，结合二次函数的性质及最大值列方程，解方程求得a 的值. 【详解】依题意()()222sin 2sin 1sin 1f x x a x x a a =-+=-+-，由于二次函数()()22111y t a a t =-+--≤≤开口向上，故在区间的端点取得最大值.若1t =-时取得最大值，即()221113,2a a a --+-==，此时二次函数对称轴12t a ==，根据二次函数性质可知1t =-时取得最大值，符合题意.若1t =时取得最大值，即()22113a a -+-=，解得12a =-，此时二次函数对称轴12t a ==-，根据二次函数性质可知1t =时取得最大值，符合题意.故12a =±.【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二次函数的性质以及最值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.16.在一段线路中有4个自动控制的常用开关A 、B 、C 、D ，如图连接在一起，假定在2019年9月份开关A ，D 能够闭合的概率都是0.7，开关B ，C 能够闭合的概率都是0.8，则在9月份这段线路能正常工作的概率为________.【答案】0.9676 【解析】 【分析】先计算线路不能正常工作的概率，用1减去这个概率，求得正常工作的概率.【详解】,B C 段不能正常工作的概率为10.80.80.36-⨯=.线路不能正常工作的概率为0.30.30.36⨯⨯，故能正常工作的概率为10.30.30.360.9676-⨯⨯=.【点睛】本小题主要考查相互独立事件概率计算，考查对立事件的方法计算概率，属于基础题.三、解答题17.设函数()f x 与()g x 的定义域是x ∈R 且1x ≠±,()f x 是偶函数, ()g x 是奇函数,且1()()1f xg x x +=-.（1）求()f x 和()g x 的解析式 ；（2）求111()()()(2)(3)(4)432g g g g g g +++++的值. 【答案】（1）21()1f x x =-， 2()1xg x x =-；（2）0. 【解析】 【分析】（1）将x -代入题目所给函数方程1()()1f xg x x +=-，根据函数的奇偶性化简，解方程组求得()f x 和()g x 的解析式.（2）计算证得1()()0g x g x+=，由此求得表达式的值为0.【详解】(1)∵1()()1f x g x x +=- , ①∴1()()1f xg x x -+-=--,∵()f x 是偶函数，()g x 是奇函数,∴1()()1f xg x x --=+,② ①②相加得21()1f x x =-， 进而2()1xg x x =-.（2）∵2()1x g x x =- ∴21()1xg x x -=-,∴1()()0g x g x += ,∴111()()()(2)(3)(4)0432g g g g g g +++++= .【点睛】本小题主要考查利用函数的奇偶性求函数解析式，考查倒序相加法，属于基础题.18.如图直三棱柱111ABC A B C -中，截面11AB C ⊥平面11AA B B .（1）求证：1111A B B C ⊥；（2）记二面角111A B C A --的大小为α，直线1AC 与平面111A B C 所成的角为β，试比较α与β的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）αβ>.【解析】【分析】（1）在平面11AA B B 内作11A D AB ⊥，根据面面垂直的性质定理得到111B C A D ⊥，结合直三棱柱的几何性质，得到111 B C A A ⊥，由此证得11B C ⊥平面11AA B B ，进而证得1111B C A B ⊥.（2）根据二面角和线面角的定义，得到11AB A α=∠,11AC A β=∠，利用sin sin αβ>，以及两个角为锐角，证得αβ>.【详解】（1）在平面11AA B B 内作11A D AB ⊥，易证111B C A D ⊥，111B C A A ⊥ , 从而11B C ⊥平面11AA B B ,所以1111B C A B ⊥.（2）11AB A α=∠,11AC A β=∠设1AA a =,1AB b = ,1AC c = ,则a b c << 于是sin sin a a b cαβ=>=， 由于α，β都是锐角，所以αβ>.【点睛】本小题主要考查线面垂直证明线线垂直，考查线面角、面面角的定义，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.19.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点(1,2)P ，11(,)A x y ，22(,)B x y 均在抛物线上．（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；（2）当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求12y y +的值及直线AB 的斜率．【答案】(1)抛物线的方程是24y x =, 准线方程是1x =-．；（2）1．【解析】试题分析：（I ）设出抛物线的方程，把点P 代入抛物线求得p 则抛物线的方程可得，进而求得抛物线的准线方程．（2）设直线PA 的斜率为PA k ，直线PB 的斜率为PB k ，则可分别表示PA k 和PB k ，根据倾斜角互补可知PA PB k k =-，进而求得的值，把A ，B 代入抛物线方程两式相减后即可求得直线AB 的斜率．试题解析：（I ）由已知条件，可设抛物线的方程为22(0)y px p =>因为点(1,2)P 在抛物线上,所以2221p =⨯，得2p =. 2分故所求抛物线的方程是24y x =, 准线方程是1x =-. 4分（2）设直线PA 的方程为2(1)(0)y k x k -=-≠， 即：21y x k-=+，代入24y x =，消去x 得： 24840y y k k-+-=. 5分 设1122(,),(,)A x y B x y ，由韦达定理得：142y k +=，即：142y k =-. 7分 将k 换成k -，得242y k =--，从而得：124y y +=-， 9分 直线AB 的斜率1212221212124144AB y y y y k y y x x y y --====--+-. 12分.考点：抛物线的应用．20.2018年12月18日上午10时，在人民大会堂举行了庆祝改革开放40周年大会．40年众志成城，40年砥砺奋进，40年春风化雨，中国人民用双手书写了国家和民族发展的壮丽史诗．会后，央视媒体平台，收到了来自全国各地的纪念改革开放40年变化的老照片，并从众多照片中抽取了100张照片参加“改革开放40年图片展”，其作者年龄集中在[2585]，之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如下：（Ⅰ）求这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，作者年龄X 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平 均数x ，2σ近似为样本方差2s ．（i ）利用该正态分布，求(6073.4)P X <<；（ii ）央视媒体平台从年龄在[4555]，和[6575]，的作者中，按照分层抽样的方法，抽出了7人参加“纪念改革开放40年图片展”表彰大会，现要从中选出3人作为代表发言，设这3位发言者的年龄落在区间[4555]，的人数是Y ，求变量Y 13.4≈，若2~(,)X N μσ，则()0.683P X μσμσ-<<+=，(22)0.954P X μσμσ-<<+=【答案】（1）60x =,2180s =；（2）（i ）0.3415；（ii ）详见解析.【解析】【分析】(1) 利用离散型随机变量的期望与方差的公式计算可得答案；（2）（i ）由(1)知，~(60180X N ，)，从而可求出(6073.4)P X <<； （ii ）可得Y 可能的取值为0，1，2，3，分别求出其概率，可列出Y 的分布列，求出其Y 的数学期望.【详解】解：（1）这100位作者年龄的样本平均数x 和样本方差2s 分别为300.05400.1500.15600.35700.2800.1560x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=()()()222222300.05200.1100.1500.35100.2200.15180s =-⨯+-⨯+-⨯⨯+⨯+⨯+⨯= （2）（i ）由（1）知，()~60180X N ，， 从而1(6073.4)(6013.46013.4)0.34152P X P X <<=-<<+=； （ii ）根据分层抽样的原理，可知这7人中年龄在[]4555，内有3人，在[]6575，内有4人， 故Y 可能的取值为0，1，2，3()0334374035C C P Y C ===，()12343718135C C P Y C ===， ()21343712235C C P Y C === ()3034371335C C P Y C === 所以Y 的分布列为所以Y 数学期望为()41812190123353535357E Y =⨯+⨯+⨯+⨯= 【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，正态分布的应用，其中解答涉及到离散型随机变量的期望与方差公式的计算、正态分布曲线的概率的计算等知识点的考查，着重考查了学生分析问题，解答问题的能力及推理与运算的能力，属于中档题型.21.已知函数()xe f x x a=-（其中常数0a <）. （1）求函数()f x 的定义域及单调区间；（2）若存在实数(],0x a ∈，使得不等式()12f x ≤成立，求a 的取值范围. 【答案】(1){}|x x a ≠，()f x 的单调递增区间为()1,a ++∞，单调递减区间为(),a -∞，(),1a a +；(2)的1ln 12a ≤-.【解析】【详解】（1）函数()f x 的定义域为{}|x x a ≠，[]22(1)()1'()()()x x x e x a e x a e f x x a x a -+--⋅==--，由'()0f x >，解得1x a >+，由'()0f x <，解得1x a <+且x a ≠,()f x ∴的单调递增区间为(1,)a ++∞，单调递减区间为(,)a -∞和(,1)a a +；（2）由题意可知，当且仅当0a <， 且()xe f x x a =-在(],0a 上的最小值小于或等于12时，存在实数(],0x a ∈，使得不等式1()2f x ≤成立 ，若10a +<即1a <-时，()f x ∴在(],0a 上的最小值为1(1)a f a e ++=， 则112a e +≤，得1ln 12a ≤-，若10a +≥，即1a ≥-时，()f x 在(],0a 上单调递减，则()f x 在(],0a 上的最小值为1(0)f a =-， 由112a -≤，得2a ≤-（舍） ，综上所述，1ln12a ≤-. 选做题：22.已知直线l 的极坐标方程是πsin()03ρθ-=,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系,曲线C 的参数方程是2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩,（α为参数）. （1）求直线l 被曲线C 截得的弦长； （2）从极点作曲线C 的弦,求各弦中点轨迹的极坐标方程.【答案】（1）（2）2sin (0)ρθρ=≠.【解析】【分析】（1）求得直线l 和曲线C 的直角坐标方程，利用弦长=求得弦长.（2）根据曲线C 的参数方程，求得中点的参数方程，消去参数后求得中点轨迹的直角坐标方程，并转化为极坐标方程.【详解】（1）由题意可知,直线l 的直角坐标系方程是y =,曲线C 的普通方程是22(2)4x y +-=,则圆心C 到直线l 的距离1d ==,故所求的弦长是=（2）从极点作曲线C 的弦,弦的中点的轨迹'C 的参数方程为cos 1sin x y αα=⎧⎨=+⎩,（α为参数）, 且3π3π[0,)(,2π)22α∈⋃,其普通方程为22(1)1(0)x y y +-=≠, 极坐标方程为22sin 0ρρθ-=,化简得2sin (0)ρθρ=≠.【点睛】本小题主要考查参数方程、直角坐标方程和极坐标方程的相互转化，考查直线和圆相交所得弦长计算，考查中点的轨迹方程的求法，属于中档题.23.已知0a >，0b >，0c >.若函数()f x x a x b c =++-+的最小值为2.(1)求a b c ++的值；(2)证明：11194a b b c c a ++≥+++. 【答案】(1)2；(2)证明见解析.【解析】分析：(1)先根据绝对值三角不等式得()f x 的最小值为a b c ++ ，再根据0a >，0b >，得结果.(2)先构造()()()11111114a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭，再利用均值不等式可得结论.详解：（1）∵ ()()()f x x a x b c x a x b c a b c a b c =++-+≥+--+=++=++，当且仅当a x b -≤≤时，等号成立，∴ ()f x 的最小值为a b c ++，∴ 2a b c ++=.（2）由（1）可知，2a b c ++=，且a ，b ，c 都是正数， 所以()()()11111114a b b c c a a b b c c a a b b c c a ⎛⎫⎡⎤++=+++++++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭， 134b c a b b c c a a b a c a b b c c a b c c a a b ⎡⎤++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()19322244≥+++= 当且仅当1a b c ===时，取等号， 所以11194a b b c c a ++≥+++得证. 点睛：形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ，＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解.。
湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体2019-2020学年高一数学上学期期中试题
宜昌市部分示范高中教学协作体2019年秋期中联考高一数学（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1. 已知全集}{1,2,3,4,5,6U =错误!未找到引用源。
，集合}{1,3,5P =，}{1,2,4Q =错误!未找到引用源。
，则()U C P Q ⋃=错误!未找到引用源。
( )A. {1}B. {3, 5}C.{1, 2, 4, 6}D. {1, 2, 3, 4, 5}2. 已知2(1)2(1)3(1)16f x x x -=-+-+错误!未找到引用源。
，则(1)f =（ ）错误!未找到引用源。
A. 21B.15C. 3D. 03.函数ln(1)y x =-错误!未找到引用源。
的定义域为( )A.(],3-∞ 错误!未找到引用源。
B. (]1,3错误!未找到引用源。
C.()1,+∞ 错误!未找到引用源。
D. ()[),13,-∞⋃+∞错误!未找到引用源。
4.下列四个函数中，在()0,+∞错误!未找到引用源。
上为增函数的是（ ）A.()3f x x =- 错误!未找到引用源。
B. 2()3f x x x =- 错误!未找到引用源。
C. 1()f x x=-错误!未找到引用源。
D. ()||f x x =- 错误!未找到引用源。
5. 已知函数()f x 为奇函数，且当x>0时， 21()f x x x=+ ，则(1)f -=（ ） A.-2B. 0C.1D.26. 已知2log 0.2a =，0.22b =，0.30.2c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<7. 2()2(1)2f x x a x =+-+在 (,4]-∞上是减函数，则a 的取值范围是（ ）. A ． 3a ≥ B ． 3a ≥- C ． 5a ≤D ． 3a ≤-8. 已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( ) A ．1 B ．－1 C ．0,1 D ．－1,0,19．已知函数2()2f x x x =-错误!未找到引用源。
2019届湖北省宜昌市示范高中协作体高三上学期期中联考化学试题(解析版)
绝密★启用前湖北省宜昌市示范高中协作体2019届高三年级上学期期中联合考试化学试题（解析版）（全卷满分：100分考试用时：90分钟）可能用到的相对原子质量：H－1 C－12 N－14 O－16 Na－23 Mg－24 Al－27 K－39 Cr－52 Cu－64 I－127第Ⅰ卷（选择题共48分）一、选择题：本大题共16小题,每小题3分。
在每小题给出的四个选项中,只有—项是符合题目要求的。
1.化学与生活息息相关,下列说法不正确的是( )A. 二氧化硫是主要的大气污染物,能形成酸雨,其pH小于5.6B. 中国瓷器驰名世界,它是以黏土为原料,经高温烧结而成C. 凡是含有食品添加剂的食物对人体健康均有害D. 河南安阳出土的司母戊鼎充分体现了我国光辉的古代科技,它属于铜合金【答案】C【解析】【分析】A. 酸雨pH小于5.6；B.瓷器是以黏土为原料的硅酸盐产品；C.并非所有含有食品添加剂的食物对人体健康均有害；D.司母戊鼎属于铜合金；【详解】A.通常情况下正常雨水因溶解二氧化碳而导致雨水pH约为5.6,当pH小于5.6时,为酸雨,二氧化硫可形成硫酸型酸雨,故A项正确；B．瓷器属于硅酸盐产品,它是以黏土为原料,经高温烧结而成,故B项正确；C. 我国把营养强化剂也归为食品添加剂的范畴,包括对人体有益的某些氨基酸类,盐类,矿物质类,膳食纤维等,并非所有含有食品添加剂的食物对人体健康均有害,故C项错误；D.司母戊鼎属于铜合金,故D项正确。
综上,本题选C。
2.屠呦呦因发现青蒿素获得诺贝尔生理学或医学奖,是中医药成果获得的最高奖项。
古代文献《肘后备急方》中内容：“青蒿一握,以水二升渍,绞取汁,尽服之。
”对她的研究有很大帮助。
该叙述中涉及的主要分离提纯操作是( )A. 蒸馏B. 萃取C. 渗析D. 结晶【答案】B【解析】【分析】青蒿一握,以水二升渍,绞取汁,尽服之涉及的主要分离提纯操作是萃取。
【详解】一把青蒿用水浸泡,使有效成分溶解,然后再用力拧绞,使青蒿中可溶性组分尽量释放到溶液中。
2019-2020学年湖北省宜昌市部分示范高中教学协作体高三(上)期中数学试卷(理科)(PDF版 含答案)
)
5
A． 1 3
B． log3 5
C． log5 3
D． 1 5
【解答】解：把函数 y 3x 的图象向右平移 t 个单位长度，
得
y
3xt
3x 3t
，此时由
3x 3t
3x 5
得 3t
5 ，得 t
log3 5 ，
故选： B ．
10．函数 y ln cos x( x ) 的图象是 (
15．已 知 ABC 内角 A ， B ， C 的对 边分别为 a ， b ， c ， c 2 ， 3a 2c sin A ，则
abc
．
sin A sin B sin C
16．关于以下结论：
① n N * ， n22n ；
②函数 f (x) sin4 x cos4 x 的最小正周期为 ；
)
2
2
A．
B．
C．
D．
【解答】解：cos(x) cos x ，
y ln cos x( x ) 是偶函数，
2
2
可排除 B 、 D ，
由 cos x1 ln cos x0 排除 C ，
故选： A ． 11．关于函数 f (x) | cos x | cos | 2x | 有下列四个结论： ① f (x) 是偶函数；② f (x) 的最小正周期为 2 ；③ f (x) 在 [3 , 5 ] 上单调递增；④ f (x) 的
D． p q
6．若幂函数 f (x) x 过点 (2, 1 ) ，则下列说法正确的是 (
)
4
A． f （7） f (5) B． f (5) f ( )
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宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考高三（理科）数学（全卷满分：150分 考试用时：120分钟）一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,4,5}A =，{1,3,5,7}B =，则()U C A B ⋂=（ ）A ．{5}B ．{1,3,7}C ．{2,4}D ．{6}2．已知命题2:,10p a R a a ∀∈++≥，则p ⌝为（ ）A ．2000,10a R a a ∃∈++≤B ．2,10a R a a ∀∈++≤C ．2000,10a R a a ∃∈++<D ．2,10a R a a ∀∈++<3．已知向量(1,2)a =，(1,1)b =-，若c 满足()//c a b +，()c a b ⊥+，则c =（ ）A ．(3,0)-B ．(1,0)C ．(0,3)-D ．(0,1)4．函数01()()2f x x =- ）A ．112,,22⎡⎫⎛⎫-⋃+∞⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭B ．[)2,-+∞C ．112,,22⎛⎫⎛⎫-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()2,-+∞5．已知函数2()ln 2f x x x =+-，则()y f x =的零点所在的区间为（ ）A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(2,3)6．已知1sin 23α=，则2cos ()4πα+=（ ）A ．16B ．13C ．23D．123±7．在平面直角坐标系中，AB 、CD 、EF 、GH 是单位圆上的四段弧（如图），点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边，若tan cos sin ααα<<，则P 所在的圆弧是（ ）A ．AB B ．CDC ．EFD ．GH8．设函数2|1|2,||1()1,||11x x f x x x --≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩ ，则((1))f f =（ ） A ．1- B ．13 C ．14 D ．159．为了得到函数3cos3y x x =+的图象，可以将函数2sin3y x =的图象沿x 轴（ ）A ．向右平移6π个单位 B ．向左平移6π个单位 C ．向右平移18π个单位 D ．向左平移18π个单位10．下列四个图中，函数ln |1|1x y x +=+的图象可能是（ ）11．函数(1)f x +是偶函数，且1x ≤时，()2xf x =，若()1f a <，则a 的取值范围是（ ）A ．(0)(2,)-∞⋃+∞，B ．(0)(1,2)-∞⋃，C ．(,0)-∞D ．(0)(3,)-∞⋃+∞，12．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数；②存在[],m n D ⊆使()f x 在[],m n 上的值域为,22m n ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，那么就称()y f x =为“成功函数”，若函数()log ()xa f x a t =+，（0,1a a >≠）是“成功函数”，则t 的取值范围是（ ）A ．11[,)42B ．1(0,)4C ．11(,)42D ．1(0,]4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案写在答题卡上． 13．函数()ln 1f x x =+在点(1,1)处的切线方程为 ． 14．在ABC ∆，120,5,7A AB BC =︒==，则sin sin BC的值为 ．15．平面向量(1,0),(1,3)a b ==-，则向量a 在向量b 方向上的投影为 ．16．已知函数4()2f x x x=+-，若存在1231,,,,[,4]4nx x x x ∈，使得1()f x +2()f x ++1()n f x -()n f x ，则正整数n 的最大值为 ．三、解答题：本题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤． 17．（本题满分10分）已知命题:||3p x <，命题2:450q x x --≤，若p q ∧为假，p q ∨为真，求实数x 的取值范围．18．（本题满分12分）在△ABC 中，c b a ,,分别为内角A ，B ，C 的对边，且满足,2sin a b c b a B >>=．（1）求A 的大小；（2）若2a b ==，求△ABC 的面积．19．（本题满分12分）已知函数2()cos sin 2f x x x x x R =⋅+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦上的最值及相应x 的值．20．（本题满分12分）已知0a b c ++=，3a =，5b =，7c =． （1）求a 与b 的夹角；（2）是否存在实数k ，使a b +与a kb -垂直？21．（本题满分12分）已知函数()()33xxf x R λλ-=+⋅∈．（1）是否存在实数λ使得()f x 为奇函数？若存在，求出实数λ，若不存在，请说明理由； （2）在（1）的结论下，若不等式(41)(2)0ttf f m -+->在[]1,1t ∈-上恒成立，求实数m 的取值范围．22．（本题满分12分）设R a ∈，函数()ln f x a x x =-． （1）若()f x 无零点，求实数的取值范围；（2）若()f x 有两个相异零点12x x ，，求证： 12ln ln 2ln 0x x a -+<．宜昌市部分示范高中教学协作体2018年秋期中联考高三（理科）数学参考答案一、选择题13．y x = 14．3515．12- 16．8三、解答题17．解：:33p x -<<，…………………2分:15q x -≤≤，…………………4分p q ∧为假，p q ∨为真，则,p q 一真一假…………………5分（1）若p 真q 假，则33{15x x x -<<<->或，31x -<<-…………………7分（2）若p 假q 真，则33{15x x x ≤-≥-≤≤或，35x ≤≤…………………9分所以31x -<<-或35x ≤≤…………………10分 （另解请酌情给分．．．．．．．）18．解：（1）∵2sin b a B =，∴由正弦定理化简得：sin 2sin sin B A B =，…………………………2分 ∵sin 0B ≠，∴1sin 2A =，…………………………3分 ∵a b c >>，∴A 为钝角，…………………………4分 则56A π=．…………………………6分（2）∵a =2b =，cos 2A =-，∴由余弦定理得：2222cos a b c bc A =+-，即241222c c =+-⨯⨯，整理得：280c -=，…………………………8分计算得出：c =，…………………………10分则111sin 2222S bc A ∆==⨯⨯⨯=12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）19．解：（1）11cos 2()sin 2sin(2)2223x f x x x π+=+=-…………2分 ∴=T π………………4分 （2）[,]44x ππ∈-，52[,]366x πππ-∈-………………6分 当236x ππ-=即4x π=时，max 1()sin62f x π==………………9分 当232x ππ-=-即12x π=-时，min ()sin()12f x π=-=-………………12分（另解请酌情给分．．．．．．．）20．解：（1）∵a b c +=-，∴22()a b c +=，……………1分 则2222a a b b c +⋅+=，即得152a b ⋅=，…………3分 ∴1cos ,2a b a b a b⋅<>==，,[0,]a b π<>∈，…………5分 ∴a 与b 的夹角为3π．…………7分 （2）∵a b +与a kb -垂直，∴()()0a b a kb +⋅-=，…………8分 则22(1)0a k a b kb +-⋅-=，15159+25022k k --=，…………10分∴3365k =．…………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）21．解：（1）若()f x 为奇函数，则(0)0f =，…………1分 即1+=0λ，解得1λ=-，…………2分()33(33)()x x x x f x f x ---=-=--=-，则存在1λ=-，使得()f x 为奇函数………4分 （2）()33xxf x -=-（x R ∈），()(33)l n 30xxf x -'=+>，…………5分则()f x 在R 上为增函数，…………6分 ∵()f x 为奇函数，(41)(2)0ttf f m -+->，即(41)(2)ttf f m ->-，…………7分又()f x 在R 上为增函数，∴412t t m ->-，…………8分 则2421(2)21,([1,1])ttt tm t <+-=+-∈-恒成立， 令12[,2]2t n =∈，则22151()24m n n n <+-=+-，…………10分 令215()()24g n n =+-， min 1()4g n =-，…………11分∴14m <-…………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）22．解：（1）①若0<a 时，则()10af x x'=-<，()f x 是区间()0,+∞上的减函数， ∵11(1)10,()1,aaf f e e =-<=-而10a<，则101a e <<，即11()10a a f e e =->∴1(1)()0af f e ⋅<，函数()f x 在区间()0,+∞有唯一零点； ②若0,()a f x x ==-，在区间()0,+∞无零点； ③若0>a ，令()0f x '=，得x a =，在区间(0,)a 上， ()0f x '>，函数()f x 是增函数； 在区间(,)a +∞上，()0f x '<，）是减函数；函数x f ( 故在区间上，),0(+∞的最大值为)(x f ()ln ,f a a a a =-无零点，由于)(x f 则()ln 0f a a a a =-<，解得0a e <<， 故所求实数a 的取值范围是[)0,e ………………5分（2）因为1x ， 2x 是方程ln 0a x x -=的两个不同的实数根． ∴()()112201{02alnx x alnx x -=-=两式相减得()1212ln ln ()0a x x x x ---=，解得1212ln x x a x x -=要证： 12ln ln 2ln 0x x a -+<，即证： 212x x a <，即证： ()21212212ln x x x x x x -<⎛⎫ ⎪⎝⎭，即证()221211221221ln 2x x x x xx x x x x -⎛⎫<=-+ ⎪⎝⎭，………………8分 不妨设12x x <，令12(0,1)x t x =∈．只需证21ln 2t t t<-+． 设()21ln 2g t t t t=--+，∴()22111ln 12ln g t t t t t t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎝'⎪⎭； 令()12ln h t t t t =-+，∴()22211110h t t t t ⎛⎫=--=--< ⎪⎝⎭'，∴()h t 在()01，上单调递减，∴()()1h t h > 0=，∴()0g t '>，∴()g t 在()01，为增函数，∴()()10g t g <=．即21ln 2t t t<-+在()01，恒成立，∴原不等式成立，即12ln ln 2ln 0x x a -+<．………………12分 （另解请酌情给分．．．．．．．）。