2019年北师大版初中八年级数学上册2.7第1课时 二次根式及其化简学案
024.北师大版八年级数学上册2.7 第1课时 二次根式及其化简(教案)
2.7二次根式第1课时二次根式及其化简教学目标1．了解二次根式的定义及最简二次根式；(重点)2．运用二次根式有意义的条件解决相关问题．(难点)教学过程一、情境导入问题：(1)如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝2，∠C＝90°，那么AB边的长是多少？(2)面积为S的正方形的边长是多少？(3)要修建一个面积为6.28平方米的圆形水池，它的半径是多少米？(π取3.14)上述结果有什么共同特征？二、合作探究探究点一：二次根式的相关概念【类型一】二次根式的定义下列式子中，哪些是二次根式，哪些不是二次根式？(1)2；(2)4；(3)33；(4)1x＋y；(5)x＋y(x≥0，y≥0)；(6)3a2＋8；(7)－x2－12.解：(1)(2)(5)(6)是；(3)(4)(7)不是．方法总结：在判断一个代数式是不是二次根式时，应该在原始形式的基础上进行判断，不能先化简再作判断，如本题4＝2，4是二次根式，但2不是二次根式．【类型二】二次根式有意义的条件当x________，x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义．解析：要使x＋3＋1x＋1在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数x＋3≥0和分母x＋1≠0，解得x≥－3且x≠－1.方法总结：使一个代数式有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．探究点二：二次根式的性质及化简化简下列二次根式．(1)48；(2)8a3b(a≥0，b≥0)；(3)（－36）×169×（－9）.解析：本题主要考查运用ab＝a·b(a≥0，b≥0)及a2＝a(a≥0)进行化简．解：(1)48＝16×3＝16×3＝43；(2)8a 3b ＝22·a 2·2ab ＝（2a ）2·2ab ＝2a 2ab ；(3)（－36）×169×（－9）＝36×169×9＝6×13×3＝234.方法总结：(1)若被开方数中含有负因数，则应先化成正因数，如(3)题．(2)将二次根式尽量化简，使被开方数(式)中不含能开得尽方的因数(因式)，即化为最简二次根式(后面学到)． 探究点三：最简二次根式 在二次根式8a ，c 9，a 2＋b 2，a 2中，最简二次根式共有( ) A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个解析：8a 中有因数4；c 9中有分母9；a 3中有因式a 2.故最简二次根式只有a 2＋b 2.故选A.方法总结：只需检验被开方数是否还有分母，是否还有能开得尽方的因数或因式．三、板书设计二次根式⎩⎪⎨⎪⎧定义⎩⎨⎧形如a （a ≥0）的式子有意义的条件：a ≥0性质：（a ）2＝a （a ≥0），a 2＝a （a ≥0）最简二次根式 教学反思本节经历从具体实例到一般规律的探究过程，运用类比的方法，得出实数运算律和运算法则，使学生清楚新旧知识的区别和联系，加深学生对运算法则的理解，能否根据问题的特点，选择合理、简便的算法，能否确认结果的合理性，等等．初中数学公式大全1 过两点有且只有一条直线2 两点之间线段最短3 同角或等角的补角相等4 同角或等角的余角相等5 过一点有且只有一条直线和已知直线垂直6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行9同位角相等，两直线平行10内错角相等，两直线平行11同旁内角互补，两直线平行12两直线平行，同位角相等13两直线平行，内错角相等14两直线平行，同旁内角互补15定理三角形两边的和大于第三边16推论三角形两边的差小于第三边17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180 °18推论1直角三角形的两个锐角互余19推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和20平行四边形判定定理1两组对角分别相等的四边形是平行四边形21平行四边形判定定理2两组对边分别相等的四边形是平行四边形22平行四边形判定定理3对角线互相平分的四边形是平行四边形23平行四边形判定定理4一组对边平行相等的四边形是平行四边形24矩形性质定理1矩形的四个角都是直角25矩形性质定理2矩形的对角线相等26矩形判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形27矩形判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形28菱形性质定理1菱形的四条边都相等29菱形性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角30菱形面积= 对角线乘积的一半，即S= （a×b ）÷231菱形判定定理1四边都相等的四边形是菱形32菱形判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形33正方形性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等34正方形性质定理2 正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角35定理1关于中心对称的两个图形是全等的36定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分37逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称38等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等。
北师大版八年级上册数学2.7第1课时二次根式及其化简教案2
2.7 二次根式第 1 课时二次根式及其化简要点难点提示本单元要点是二次根式的重要性质：，它是二次根式化简和运算的重要依照。
1．二次根式的重要性质：要注意以下问题：（ 1）由于被开方数a2≥ 0(非负数 )，因此 a 能够取随意实数。
而是表示算术根，因此（非负数），即，可用绝对值的定义和性质去掉绝对值符号。
去掉绝对值符号时，第一要判隔离对值符号内的代数式的值的符号。
若没法决定，要对其进行议论。
（ 2）应用公式化简时，为保证结果的非负性，也防止出现运算上的错误，应第一写成的形式，而后再去绝对值符号。
2．的差别（ 1） a 的取值范围不一样：中的a一定是非负数。
中的 a 能够是任何实数。
（ 2）运算次序不一样，表示对非负数 a 先开方，再平方。
而表示对实数 a 先平方，再开方。
知识点精析例 1．判断以下各式能否正确(1)(2)(3)(4)(5)解：依据二次根式知， (1),(2),(3) 都是错的，只有(4),(5) 是对的。
例 2．化简(1)(2)(-1<x<8) (3)(0<x<1)(4)解： (1) ∵x2+1>0,∴(2) ∵-1<x<8,∴x+1>0, x-8<0.∴=|x+1|-|x-8|=x+1+x-8=2x-7.(3) ∵0<x<1,∴.∴.(4)==|x-4|+|x-3|当x≥4时，原式=x-4+x-3=2x-7.当 3≤x<4时，原式 =4-x+x-3=1.当 x<3 时，原式 =4-x-x+3=7-2x 。
∴原式=说明：关于二次根式的化简，第一应依据算术根的定义写成绝对值的形式。
而正确去掉绝对值符号是化简的要点。
去掉绝对值符号时应第一判断绝对值符号内代数式值的符号。
此类问题，一般可分为两类。
第一类是不需要议论直接化简。
属于此类问题一般有以下三种状况①具体数字，此时化简的条件已暗中给定，②恒为非负值或依据题中的隐含条件，如（1）小题。
【教案】2.7_二次根式北师大版八年级数学上册
7 二次根式第 1 课时二次根式的概念和性质教学目标【知识与技能】1. 了解二次根式及最简二次根式的概念.2. 会化简二次根式.3. 理解并掌握二次根式的性质.【过程与方法】经历观察、分析、讨论、归纳二次根式及最简二次根式的过程,发展学生的归纳概括能力和语言表达能力.【情感、态度与价值观】积极参与数学活动,感受数学活动充满了探索性和创造性,体会到数学学习的乐趣.教学重难点【重点】理解并掌握二次根式及最简二次根式的概念,化简二次根式.【难点】化简二次根式.教学过程一、知识回顾,引入新课师:同学们还记得平方根的概念吗?生:记得.一般地,如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根.师:什么叫做算术平方根呢?生:正数的正的平方根以及零的平方根,统称算术平方根.师:很好!非负数a的算术平方根用(a>0)表示.一般地,例如(a X))的式子，我们叫做二次根式. 这就是今天这节课我们要学习的内容.二、讲授新课师:请同学们观察下列代数式,你能发现它们有什么共同特征吗?,,,,（其中b=24,c=25）.生:它们都含有开方运算，并且被开方数都是非负数•师:很好! 一般地，例如(a》0)的式子，叫做二次根式,a叫做被开方数.那么二次根式具有什么性质呢？下面我们一起来探究一下•请同学们完成以下填空：= _______ ,x = ________ ;= _______ ,x = ________ ;= _____ ,x = ______ ;学生独立完成填空，然后集体订正•并根据上面的猜想，估计下列式子是否相等，再借助计算器验证•师:请同学们比较左右两边的等式，你发现了什么？你能用字母表示你发现的规律吗？学生分组讨论交流，然后由小组代表发言，教师予以补充完善•师:通过刚才的探究，我们可以发现积的算术平方根的性质和商的算术平方根性质•即：(1) 积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积(各因式必须是非负数),即=(a >0,b>0);(2) 商的算术平方根的性质：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根•(被除式必须是非负数，除式必须是正数),即=(a丸,b>0).师:知道了二次根式的这些性质，下面我们来看几个例题，加深理解•三、例题讲解【例1】化简：(1) ；(2)；(3)・【答案】(1) = X =9 X 8=72;(2) =X =5;(3) ==.例1的化简结果5,中,被开方数中都不含分母,也不含能开得尽方的因数.一般地,被开方数不含分母,也不含能开得尽方的因数或因式,这样的二次根式,叫做最简二次根式.化简时,通常要求最终结果中分母不含有根号,而且各个二次根式是最简二次根式.【例2】化简:(1) ;(2);(3) .【答案】(1)==X =5;(2) ===;(3) ==.判断最简二次根式的方法:通常将不含分母的被开方数分解因数或因式后,不含能开得尽方的因数或因式,即为最简二次根式.【例3】先化简,再求出下面算式的近似值(精确到0. 01).(1);(2);(3).(合理应用二次根式的性质,可以帮助我们简化实数的运算.)【答案】(1)=== =12^20. 78;(2)===~1. 01;(3)===X =10-2X =o. 01 X ~o. 02.四、巩固练习1. 化简:;(2);(3);(4)【答案】(1)165 (2)4 (3) (4)2. 化简:-答案】原式=-=.3. 若b>0,x<0,化简:-.【答案】原式=-=-=-=.五、课堂小结师: 通过这节课的学习,同学们有什么收获?能与大家分享一下吗学生发言,教师予以点评.第 2 课时二次根式的运算(1)教学目标【知识与技能】1. 了解二次根式的运算法则是由二次根式的性质得到的.2. 会进行简单的二次根式乘除以及加减运算.3. 会进行二次根式的四则混合运算.【过程与方法】让学生进一步了解数学知识之间是相互联系的.【情感、态度与价值观】培养学生努力探索事物之间内在联系的学习习惯.教学重难点【重点】二次根式的乘除以及加减运算.【难点】熟练地进行二次根式的四则混合运算.教学过程一、复习归纳1. 二次根式的性质：(1)()2=a(a>0)(2)= (3=)(a »,b ») (4)=(a »,b>0)2. 想一想：你能计算吗?(1)x ；(2)x ；(3)x师:先计算每组数中的左边的式子，再计算右边的式子•它们相等吗？你发现了什么？学生先独立完成，然后分组讨论交流，再集体订正•3. 提出问题.(1) 两列火车分别运煤2x吨和3x吨,问这两列火车共运煤多少吨? _______(2) 两列火车分别运煤2x吨和3y吨,问这两列火车共运煤多少吨? _______这是以前学过的多项式加减法，同类项可以合并，想一想在计算二次根式加减法的时候能运用此类方法吗？请尝试计算以下几题•(1) 3+4;(2)+; (3)++4.、讲授新课1. 在学生进行练习后进行总结•①二次根式的乘除运算法则•=(a》0，b $0)=(a>0，b>0)即将二次根式的性质等式左右两边对换，就得到二次根式的乘法法则和除法法则②二次根式的加减运算法则•师:与合并同类项类似，我们可以把相同二次根式的项合并•下列计算结果哪些正确，哪些不正确？+=;a+=a;-=;a+b=(a+b);-=-=0.学生回答，教师予以订正•③二次根式的四则混合运算•二次根式即可以进行乘除运算，也可以进行加减运算•以前学习的实数的运算法则、运算律仍然适用•说说下列算式的运算顺序，并计算出结果(+) •X +x2. 例题学习.【例1】计算.(1) X ; (2); (3).(归纳二次根式的乘除运算的一般步骤:(1)运用法则,化归为根号内的实数运算;(2)完成根号内乘除运算;(3)化简二次根式.)【答案】(1)X ===;(2) ==;(3) ====.【例2】计算:(1) 3X 2;(2) X - 5;(3)(+1)2;(4) (+3)(- 3);(5)- X ;(6)【答案】(1)3X 2=3X 2X =6;(2) X - 5=-5=-5=6-5=1;(3) (+1)2=()2+2+1=5+2+1=6+2;(4) (+3)(- 3)=()2-32=13-9=4;(5) (-)X =X - X =-=6- 1=5;(6) =+=+=2+3=5.【例3】计算:(1) +;(2)- ;(3)( +) X .【答案】(1)+3=+=X +=4+=5;(3) (+) X =+=+=2+3=5.三、课堂小结师:本节课我们学习了哪些知识?还有什么疑惑的地方吗? 师生共同总结.第 3 课时二次根式的运算（2）教学目标【知识与技能】1. 巩固对二次根式的四则混合运算的掌握.2. 进一步学会应用整式的运算法则进行二次根式的运算.【过程与方法】引导学生从特殊到一般,用总结归纳的方法以及类比的方法解决数学问题.【情感、态度与价值观】体验并掌握迁移、转化等数学思想与方法.教学重难点【重点】进一步应用二次根式的运算法则进行二次根式的四则混合运算.【难点】熟练进行二次根式的四则混合运算.教学过程一、引入新课师:通过上节课的学习,同学们已经掌握了二次根式的相关运算法则,这节课我们进一步来学习二次根式的加减乘除混合运算.二、例题讲解【例1】先化简,再求出近似值（精确到0. 01）.（二次根式加减运算的一般步骤是:先化简,再合并. ）【答案】原式=--=2--= (2-- )=^1.73.例2】计算.(1) -3x ；(2) (- 3) •(3) (-)十.(说明:(1)二次根式混合运算的运算次序是:先乘除,后加减;(2)整式运算的运算法则和运算律对二次根式同样适用;(3)二次根式的运算结果能化简的必须化简. )【答案】(1)原式=3-6=-3;(2) 原式=--3- =-3=-9;(3) 原式=+ -十=-=4- 3=1.【例3】计算:(1)-;(2)-8+;(3) (-)=(4)+-.【答案】(1)-=-J(2)-+=-+=3- 2+=;(3) (-)十=*- *(4) +-=+-=+- 3=-+.在上面第( 4)题中,很容易看出,化成最简二次根式后与,化简后的被开方数不可能相同此,结,因果中可以保留,不必将它化成最简二次根式.三、课堂小结师:本堂课我们学到了什么新知识学生发言,教师予以补充.。
2.7二次根式(第一课时)学案北师大版八年级数学上册
二次根式
班级： 学号： 姓名： 得分：
【中考考点】二次根式的应用.
【学习目标】
1.认识二次根式和最简二次根式的概念.
2.探索二次根式的性质．
3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．
【学习重点】二次根式的性质.
【学习难点】利用二次根式性质将二次根式转化为最简二次根式．
【学习过程】
一、导: 复习导入.
二、思：学习课本41页内容，完成下列问题：
（2）归纳二次根式的性质：
三、练+展+评：化简
（1）50 （2）72 （3）31
四、议:独立思考2分钟后小组合作探究
五、练+测：（共22分；独立闭卷，限时10分钟）
2.一个直角三角形的斜边长为15cm,一条直角边长为10cm,求另一条直角边长.
（选做）3.方格纸中每个小方格边长为1，画一条边长20的线段.
六、结:
1.二次根式性质：=⋅b a （a ≥0，b ≥0），=b
a （a ≥0，
b ＞0）． 2.一般地，被开方数不含 ，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做 。
化简时，要求最终结果中分母_________________，而且各个二次根式是________________。
北师大版八年级上册数学 第1课时 二次根式及其化简教案精选教案2
2.7 二次根式第1课时二次根式及其化简【教材分析】本节是在前两节的基础上，从实际运算的客观需要出发，引出最简二次根式的概念，然后通过一组例题介绍了化简二次根式的方法。
本小节内容比较少（求学生了解最简二次根式的概念并掌握化简二次根式的方法），但是本节知识在全章中却起着承上启下的重要枢纽作用，二次根式性质的应用、二次根式的化简以及二次根式的运算都需要最简二次根式来联接。
(1)知识结构(2)重难点分析①本节的重点Ⅰ、最简二次根式概念Ⅱ、利用二次根式的性质把二次根式化简为最简二次根式。
【重点分析】①本章的主要内容是二次根式的性质和运算，但自始至终围绕着二次根式的化简和运算。
二次根式化简的最终目标就是最简二次根式；而二次根式的运算则是合并同类二次根式，怎样判定同类二次根式，是在化简为最简二次根式的基础上进行的。
因此本节以二次根式的概念和二次根式的性质为基础，内容虽然简单，在本章中却起着穿针引线的作用，不可因为内容简单而采取弱化处理；同时初二学生代数成绩的分化一般是由本节开始的，分化的根本原因就是对最简二次根式概念理解不够深刻，遇到相关问题不知怎样操作，具体操作到哪一步。
②本节的难点是化简二次根式的方法与技巧1、难点分析化简二次根式，实际上是二次根式性质的综合运用。
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号、约分。
所以对初学者来说，这一过程容易出现符号和计算出错的问题。
熟练掌握化简二次根式的方法与技巧，能够进一步开拓学生的解题思路，提高学生的解题能力。
重难点的解决办法是对于最简二次根式这一概念，关键是遇到实际式子能够加以判断。
因此在过程中对概念本身采取弱化处理，让学生在反复练习中熟悉这个概念；同时中应充分对最简二次根式概念理解后应用具体的实例归纳出把一个二次根式化为最简二次根式的方法，在观察对比中引导学生具体解决问题的方法技巧。
023.北师大版八年级数学上册2.7 第1课时 二次根式及其化简(导学案)
2.7 二次根式第1课时二次根式及其化简一、学习目标1、了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断。
2、能熟练地把二次根式化为最简二次根式。
3、了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用。
4、进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力。
5、通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点。
6、通过本节的学习，渗透转化的数学思想。
二、重点难点1、学习重点会把二次根式化简为最简二次根式2、学习难点准确运用化二次根式为最简二次根式的方法三、学习方法程序式学习四、课时安排二课时五、学习过程1、复习引入准备本节内容需要的二次根式的性质和与性质相关例题、练习题以及引入材料。
【预备资料】⑴、二次根式的性质⑵、二次根式性质例题⑶、二次根式性质练习题【引入材料】看下面的问题：已知：＝1.732，如何求出的近似值?解法1：解法2：比较两种解法，解法1很繁，解法2较简便，比例说明，将二次根式化简，有时会带来方便。
2、概念讲解与巩固【概念讲解材料】满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：(1)、被开方数的因数是整数，因式是整式；(2)、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如:都不是最简二次根式，因为被开方数的因数(或系数)为分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1)实际上就是要求被开方数的分母中不带根号。
又如也不是最简二次根式，因为被开方数中含有能开得尽方的因数或因式，不满足条件(2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因数或分解成因式后而言的，如。
判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
【概念理解学习材料1】例1、下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？分析：判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
解：最简二次根式有，因为被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式。
北师大版八年级上册2.7.1二次根式及其化简导学案(无答案)
2.7.1 二次根式及其化简一、学习目标1、了解二次根式的定义并能用其确定未知数的取值范围。
2、了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断。
3、能熟练地把二次根式化为最简二次根式。
二、重点难点1、学习重点:能根据定义确定未知数的取值范围，会把二次根式化为最简二次根式。
2、学习难点:准确运用性质将二次根式化为最简二次根式。
三、核心问题1、什么是二次根式？2、二次根式有什么性质？3、什么是最简二次根式？四、自主学习：自学课本第41、42页，解决问题1、一般的，形如)0(≥a a 的式子叫做___________.2、计算下列各式.（1）=⨯94______ =⨯94______（2）=94______ =94______ （3）=4925______ =4925______ 归纳总结：=ab __________(),0,0≥≥b a=b a _________()0,0＞b a ≥ 3、最简二次根式的两个要求：①_____________________________________________ ②_____________________________________________五、自学反馈1、下列根式中，是二次根式的有（填写序号）________________①3- ②3-③3)3(- ④38 ⑤a - ⑥32-- ⑦12--a ⑧122++a a 方法总结：___________________________________________________________________.2、下列二次根式中，是最简二次根式的有（填写序号）____________①49 ②1.0 ③21 ④7 ⑤a 9 ⑥25xy 方法总结：___________________________________________________________________.3、化简 (1)=⨯499_____ (2)=⨯716_____ (3)=2512_____ (4)=18_____ (5)=27_____ (6)=32_____ (7)=72_____ (8)=y x 275_____方法总结：___________________________________________________________________.4、化简（1）=133________________（2）=509_______________（3）=21_______________ 方法总结：___________________________________________________________________.六、课堂练习1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？（1）1+x （2）x 41- （3）2x - （4）x x 1+ （5）x x -++212、判断下列二次根式是否是最简二次根式（1）a 2.0 （2）ab 3 （3）b a 218 （4）ab ab1 （5）332b a （6）x y x 23、化简下列二次根式 （1）75 （2）271 （3）ab 18 （4）3309.0b a（5）()0,0432≥≥b a b a （6）2275xy y x （7）32942y x x y4、无论x 取任何实数，二次根式m x x +-62都有意义，求m 的取值范围.5、若1≤x ，化简：442122+--+-x x x x。
北师大版数学八年级上册2.7 二次根式(第1课时) 教案设计
学校
辽宁省本溪市本溪满族自治县清河城镇九年一贯制学校
课名
二次根式
教师姓名
张盼盼
学科（版本）
北师大版
章节
2.7.1
学时
第一课时
年级
八年级
二、教学目标
知识与技能：⑴认识二次根式和最简二次根式的概念，掌握二次根式双重非负性的特点。
⑵探索二次根式的性质，并能利用二次根式的性质将二次根式化简成最简二次根式的形式。
商的算术平方根____________________________
学生先自主完成学案的第一题计算部分，组长对答案进行检查，最后小组进行讨论得出结论，各组派代表回答问题。
老师和同学一起利用计算器进行计算第二题，最后由学生得出结论，第三部分则由学生独立完成，教师叫学生回答，教师再根据学生的回答进行补充与强调，第四部分先由学生说教师再规范其语言。
过程与方法：引导学生认识从特殊到一般的认知规律，大胆猜测结果。从例子中归纳出一般适用的方法。
情感态度与价值观：通过探索规律，培养学生学习的主动性，使学生敢于探索，鼓励学生大胆猜想，积极与他人交流，增强学习数学的兴趣的信心。
三、学习者分析
七年级上学期已学习了有理数的加、减、乘、除、乘方运算，本学期又学习了有理数的平方根、立方根，认识了实数．这些都为本课时学习二次根式的运算公式提供了知识基础．当然，毕竟是一个新的运算，学生有一个熟悉的过程，运算的熟练程度尚有一定的差距，在本节课及后两节课的学习中，应针对学生的基础情况，控制上课速度和题目的难度
学生都做完后，教师对其进行错误的进行纠正。并对有其他方法的习题进行讲解另一种方法。
最后一张不经历风雨怎么见彩虹的图片来结束本节课。
教师抽中的八名同学分别选折他们喜欢的题号，教师刮出对应的习题，学生到黑板上进行板演。其他同学在下面完成。最后与黑板上同学完成的答案进行对比，先自己判断谁对谁错，如果错了是否能够改正。
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2.7 二次根式
第1课时二次根式及其化简
一、目标
1、了解最简二次根式的意义，并能作出准确判断。
2、能熟练地把二次根式化为最简二次根式。
3、了解把二次根式化为最简二次根式在实际问题中的应用。
4、进一步培养学生运用二次根式的性质进行二次根式化简的能力，提高运算能力。
5、通过多种方法化简二次根式，渗透事物间相互联系的辩证观点。
6、通过本节的学习，渗透转化的数学思想。
二、重点难点
1、重点
会把二次根式化简为最简二次根式
2、难点
准确运用化二次根式为最简二次根式的方法
三、方法
程序式
四、课时安排
二课时
五、过程
1、复习引入
准备本节内容需要的二次根式的性质和与性质相关例题、练习题以及引入材料。
【预备资料】
⑴、二次根式的性质
⑵、二次根式性质例题
⑶、二次根式性质练习题
【引入材料】
看下面的问题：
已知：＝1.732，如何求出的近似值?
解法1：
解法2：
比较两种解法，解法1很繁，解法2较简便，比例说明，将二次根式化简，有时会带来方便。
2、概念讲解与巩固
【概念讲解材料】
满足下列条件的二次根式，叫做最简二次根式：
(1)、被开方数的因数是整数，因式是整式；
(2)、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。
如:都不是最简二次根式，因为被开方数的因数(或系数)为分数或因式为分式，不符合条件(1)，条件(1)实际上就是要求被开方数的分母中不带根号。
又如也不是最简二次根式，因为被开方数中含有能开得尽方的因数或因式，不满足条件(2).注意条件(2)是对被开方数分解成质因数或分解成因式后而言的，如。
判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
【概念理解学习材料1】
例1、下列二次根式中哪些是最简二次根式？哪些不是？为什么？
分析：判断一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查定义中的两个条件是否同时满足，同时满足两个条件的就是，否则就不是。
解：最简二次根式有，因为
被开方数中含能开得尽方的因数９，所以它不是最简二次根式。
说明：判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二
次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数(或因式)的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察。
【概念理解巩固材料1】
正选练习题1
判断下列各式是否是最简二次根式？
【概念理解学习材料2】
例2、判断下列各式是否是最简二次根式？
分析：（1）显然满足最简二次根式的两个条件。
（2）或
解：最简二次根式只有，因为
或
说明：最简二次根式应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）。
【概念理解巩固材料2】
正选练习题2
判断下列各式是否是最简二次根式？
【概念理解学习材料3】
例3判断下列各式是否是最简二次根式？
分析：最简二次根式应该分母里没根式，根式里没分母（或小数）来进行判断发现和是最简二次根式，而不是最简二次根式，因为
在根据定义知也不是最简二次根式，因为
解：最简二次根式有和，因为
，
【概念理解巩固材料3】
正选练习题3
判断下列各式是否是最简二次根式？
【概念理解学习材料4】
例4判断下列各式是否是最简二次根式？
分析：被开方数是多项式的要先分解因式再进行观察判断。
（1）不能分解因式，显然满足最简二次根式的两个条件。
（2）
解：最简二次根式只有，因为
说明：被开方数比较复杂时，应先进行因式分解再观察。
【概念理解巩固材料5】
正选练习题5
判断下列各式是否是最简二次根式？
3、化简二次根式为最简二次根式方法学习与巩固
【化简方法学习材料1】
例1、把下列二次根式化为最简二次根式
分析：本例题中的2道题都是基础题，只要将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面即可。
解：
【化简方法巩固材料1】
正选练习题1
化简
【化简方法学习材料2】
例2、把下列二次根式化为最简二次根式
分析：本例题中的2道题被开方数都是多项式，应先进行因式分解。
解：
说明：被开方数中能开的尽方的因数或因式的算术平方根移到根号外面后要注意符号问题。
在化简二次根式时，要防止出现如下的错误:
化简二次根式的步骤是：
(1)把被开方数(或式)化成积的形式，即分解因式。
(2)化去根号内的分母，即分母有理化。
(3)将根号内能开得尽方的因数(式)开出来。
【化简方法巩固材料2】
正选练习题2
化简
【化简方法学习材料3】
例3、把下列二次根式化为最简二次根式
分析：被开方式比较复杂时，要先对被开方式进行处理。
解：
说明：运算中要注意运算的准确性和合理性。
【化简方法巩固材料3】
正选练习题3
化简
4、小结
⑴最简二次根式概念
⑵二次根式的化简
化简二次根式的过程，一般按以下步骤：把根号下的带分数或绝对值大于1的小数化成假分数，把绝对值小于1的小数化成分数；被开方数是多项式的要因式分解；使被开放数不含分母；将被开方数中能开的尽方的因数或因式用它的算术平方根代替后移到根号外面；化去分母中的根号；约分。