初中数学竞赛二次根式竞赛训练题
二次根式 奥赛题
二次根式 奥赛题 教学目标：1、概念，计算 2、化简重难点：能力培养一、知识点拨1、二次根式的性质①20,a ≥=若则 ；()()a a a ⎧==⎨-⎩；= (0,0)a b ≥≥0,0)a b =≥> 2、共轭根式如x a y a ==的两个根式称为共轭根式。
如果它们的积不含有二次根式，则它们互为有理化根式。
3、重二次根式如果二次根式的被开方数中含有二次根式,这样的式子叫重二次根式。
化简重二次根式的方法有：平方法；配方法；构造法；待定系数法等。
二、例题精讲例题1、设0,0,x y << 化简：练习1、当0a ≤，0b <__________=2、已知0xy >，化简二次根式 ）3、将a移到根号内，得 ( )B. ；C.+=-=求ab的值。
例题2、已知a b a b例题3、______________练习：1、x2、设2),m a =≤≤ 求109836m m m m ++++- 的值。
三、拓展延伸1、方程组943xy =⎧⎪+=的解是_________________2、对于题目“化简求值：1a ，其中a=15”，甲、乙两个学生的解答不同． 甲的解答是：1a1a 1a +1a －a=2495a a -= 乙的解答是：1a 1a 1a +a －1a =a=15 谁的解答是错误的？为什么？ 因此乙的解答是错误的．3、规律性问题观察下列各式及其验证过程：， 验证：；，验证：.（1）按照上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜想 （2）针对上述各式反映的规律，写出用n(n≥2，且n 是整数)表示的等式，并给出验证过程.四、作业：1=成立的x 的取值范围是（ ） A. 2x ≠ B. 0x ≥ C. 2x > D. 2x ≥2、已知0<x<1=______。
二次根式—2024全国初中数学重点高中自招竞赛试题精选精编
二次根式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1(2024·全国·八年级竞赛)4+15+4-15=．【答案】10【分析】本题考查二次根式的运算，将式子进行平方，运用完全平方公式展开后化简，即可解答．【详解】∵4+15+4-152=4+152+24+15⋅4-15+4-152=4+15+216-15+4-15=8+2=10，又4+15>0，4-15>0∴4+15+4-15=10．故答案为：10．2(2024·全国·九年级竞赛)已知x为实数，则x-2+4-x的最大值为．【答案】2【分析】本题考查二次根式有意义的条件和配方法，掌握被开方数为非负数和配方法是解题关键．先确定x的取值范围，然后利用配方法分析其最值．【详解】解：由题意可得x-2≥04-x≥0，解得2≤x≤4，令y=x-2+4-x y≥0，则y2=x-2+4-x2=x-2+2x-24-x+4-x=2+2-x2+6x-8=2+2-x-32+1∵0≤-x-32+1≤1∴y2的最大值为4，∴y的最大值为2，即x-2+4-x的最大值为2．故答案为：2．3(2024·全国·八年级竞赛)定义一种新的运算“@”：x@y=ax+by，其中a、b为常数，且使得等式a-2-8-4a+a b=12恒成立，那么2@3=．【答案】1【分析】本题考查了二次根式的意义，幂的运算，求代数式的值，正确理解二次根式的意义是解答本题的关键．先根据二次根式的意义列出不等式组并求解，得到a=2，再代入方程求出b的值，从而得到x@y=2x -y，依此即可求得答案．【详解】根据题意得a-2≥08-4a≥0 ，∴a≥2 a≤2 ，∴a=2，将a=2代入a-2-8-4a+a b=12得0-0+2b=12，解得b=-1，∴x@y=2x-y，∴2@3=2×2-3=1．故答案为：1．4(2024·全国·八年级竞赛)计算：2+520172-52017=．【答案】-1【分析】本题主要考查了分式混合运算，平方差公式和积的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据相关的运算法则进行计算即可．【详解】解：2+520172-52017=2+52-52017=4-52017=-12017=-1．故答案为：-1．5(2024·全国·八年级竞赛)若不等式x+4+x-1≥a-x-2-2对任意实数x都成立，则a的最大值为．【答案】8【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，根据题设借助绝对值的几何意义得x+4+x-2有最小值为6，又由x-1≥0得出当x=1时，x+4+x-2+x-1的最小值为6，然后由不等式恒成立即可求解．【详解】解：x+4+x-1≥a-x-2-2，∴x+4+x-2+x-1≥a-2当-4≤x≤2时，x+4+x-2有最小值为6，∵x-1≥0，∴当x=1时，x+4+x-2+x-1的最小值为6，∴6≥a-2，∴解得a≤8，∴a的最大值为8，故答案为：8．6(2024·全国·八年级竞赛)计算12×1327+75+313-48-24-3232=．【答案】12【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式，解题的关键是掌握运算法则．【详解】解：原式=23×13×33+53+3×33-43-26-3×632=23×33-6=12．7(2024·全国·八年级竞赛)计算：2009×2010×2011×2012+1-2009=．【答案】2010【分析】本题考查整式的混合运算、二次根式的性质，设参数计算是解答的关键．设a=2009，利用整式的混合运算法则和二次根式的性质是解答的关键．【详解】解：记a=2009，则原式=a a+1+1-aa+3a+2=a a+3+1-aa+2a+1=a2+3a+1-aa2+3a+2=a2+3a2+2a2+3a+1-a=a2+3a+12-a=a2+3a+1-a=a+12=a+1=2010，故答案为：2010．8(2024·全国·八年级竞赛)化简：-(x+1)2=．【答案】0【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，由被开方数为非负数得到-x+12≤0，可确2≥0，即x+1定x+12=0，进而求解，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．【详解】解：由题意可得，-(x+1)2≥0，∴x+12≤0∴(x+1)2=0，∴-x+12=0=0，故答案为：0．9(2024·全国·八年级竞赛)已知实数x满足20122-4024x+x2+x-2013=x，则x-20122=．【答案】2013【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．先根据二次根式有意义的条件求出x的取值范围，再根据二次根式的性质化简得x-2013=2012，然后两边平方即可求解．【详解】解：∵x-2013≥0，∴x≥2013，∴x>2012．∵20122-4024x+x2+x-2013=x，∴2012-x2+x-2013=x，∴2012-x+x-2013=x，∴x-2012+x-2013=x，∴x-2013=2012，即x-2013=20122，故x-20122=2013．故答案为：2013．10(2024·全国·八年级竞赛)计算：1+20092+2009220102-12010=．【答案】2009【分析】本题考查了完全平方公式和二次根式化简，熟练巧用完全平方公式是解本题的关键；首先化简为完全平方公式形式，然后根据二次根式开方即可解答．【详解】解：1+20092+20092 20102-12010=1+2010-12+20092 20102-12010=1+20102-2×2010+1+2009220102-1 2010=20102-2×2010+2+200920102-12010=20102-2×2010-1+200920102-12010=20102-2×2009+200920102-12010=2010-200920102-12010=2010-20092010-1 2010=2009．故答案为：2009．11(2024·全国·八年级竞赛)5+26+5-26=．【答案】23【分析】本题考查二次根式的化简，熟练利用完全平方公式化简二次根式是解本题的关键．把原式化为3+22+3-22，再利用二次根式的性质化简即可．【详解】解：5+26+5-26=3+22+3-22=3+2+3-2=23，故答案为：23．12(2024·全国·八年级竞赛)计算：(π+999)0-12+-3+8+(-1)3+(2+1)23-22=．【答案】22-3+1【分析】本题主要考查了二次根式的运算，先将二次根式化简，再根据二次根式的运算法则计算即可．【详解】原式=1-23+3+22-1+(3+22)(3-22)=22-3+(9-8)=22-3+1.故答案为：22-3+1．13(2024·全国·九年级竞赛)已知正整数a、b满足等式a+b=369，则a-b=．【答案】123或-123【分析】本题考查了二次根式的加减运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．先把369化成最简二次根式，再把满足正整数a、b的所有值列举出来代入计算即可．【详解】解：∵369=341，正整数a、b满足等式a+b=369，∴a=41，b=241，即a=41,b=164，或a=241，b=41，即a=164,b=41，∴a-b=41-164=-123或a-b=164-41=123，故答案为：123或-123．14(2024·全国·七年级竞赛)计算：1-2=．+2-3+⋅⋅⋅+2016-2017+3-4【答案】2017-1/-1+2017【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，解题的关键是根据绝对值的意义，去掉绝对值，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可．【详解】解：1-2+⋯+2016-2017+3-4+2-3=2-1+3-2+4-3+⋯+2017-2016=2017-1．故答案为：2017-1．15(2024·全国·九年级竞赛)计算：9+18-27=．【答案】3+32-33【分析】本题考查二次根式的加减运算，理解二次根式的性质，准确化简各数是解题关键．直接根据二次根式的性质化简即可．【详解】解：9+18-27=3+32-33故答案为：3+32-33．16(2024·全国·八年级竞赛)若实数a满足a-8+a-2015=a，则a=．【答案】2079【分析】本题考查二次根式有意义的条件、绝对值的化简、算术平方根，熟知二次根式有意义的条件是解答的关键．先求得a≥2015，则a-8=a-8，进而得到a-2015=8，然后求解即可．【详解】解：依题意得a-2015≥0，则a≥2015，∴a-8=a-8，∴原式化为a-8+a-2015=a，即a-2015=8，得a-2015=64，∴a=2079．故答案为：2079．17(2024·全国·八年级竞赛)已知-2<x<3，则x2-6x+9-x2+4x+4化简为．【答案】1-2x【分析】先判断出x-3<0,x+2>0，再根据二次根式的性质化简原式即可．此题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．【详解】解：∵-2<x<3，∴x-3<0,x+2>0，∴x2-6x+9-x2+4x+4=x-32-x+22=x-3-x+2=3-x-x-2=1-2x故答案为：1-2x二、单选题18(2021·全国·九年级竞赛)设n,k为正整数，A1=(n+3)(n-1)+4,A2=(n+5)A1+4,A3= (n+7)A2+4，A4=(n+9)A3+4,⋯,A k=(n+2k+1)A k-1+4,⋯，已知A100=2005，则n的值为( )．A.1806B.2005C.3612D.4100【答案】A【详解】A1=[(n+1)+2][(n+1)-2]+4=(n+1)2-22+4=(n+1)2=n+1，A2=[(n+3)+2][(n+3)-2]+4=(n+3)2-22+4=(n+3)2=n+3，A3=[(n+5)+2][(n+5)-2]+4=(n+5)2-22+4=(n+5)2=n+5，同理A4=n+7,A5=n+9,⋯,A100=n+2×100-1=n+199=2005⇒n=2005-199=1806．故选：A．19(2011·湖北黄冈·九年级竞赛)设a、b是整数，方程x2+ax+b=0的一根是4-23，则a2+b2 ab的值为()A.2B.0C.-2D.-1【答案】C【分析】先化简4-23，再代入方程x2+ax+b=0并整理，根据题意列出二元一次方程组并求解求得a 和b的值，再代入计算即可．【详解】解：4-23=32-23+1==3-12=3-1．∵方程x2+ax+b=0的一根是4-23，∴4-232+4-23a+b=0．∴3-12+3-1a+b=0．∴a-23+4-a+b=0．∵a、b是整数，∴a-2=0,4-a+b=0．解得a=2, b=-2．∴a2+b2ab =22+-222×-2=-2．故选：C．【点睛】本题考查二次根式的化简，一元二次方程的解，二元一次方程组的应用，正确构造二元一次方程组是解题关键．20(2024·全国·八年级竞赛)若二次根式x-2在实数范围内没有意义，则x的取值范围是() A.x<2 B.x≤2 C.x>2 D.x≥2【答案】A【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式没有意义的条件可得x-2<0，再解不等式即可，关键是掌握二次根式中的被开方数是非负数.【详解】解：二次根式x -2在实数范围内没有意义，∴x -2<0，解得：x <2故选：AD ．21(2024·全国·八年级竞赛)已知13-7的整数部分是m ，小数部分是n ，则m m +7n +mn 的值为()A.10B.7C.6D.4【答案】A【分析】本题考查了无理数的估算，分母有理化，代数式求值，先根据无理数的估算求出m ，n 的值，再代入进行求解即可．【详解】解：13-7=3+73+7 3-7=3+72，∵4<7<9，∴2<7<3，∴2.5<3+72<3，∴m =2，n =3+72-2，∴m m +7n +mn =22+7×3+72-2+2×3+72-2 =10，故选：A ．22(2024·全国·九年级竞赛)若1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，则ab的值为()A.18B.8C.2D.92【答案】B【分析】本题考查了根与系数的关系．先整理成一般式，利用根与系数的关系分另求得b 和a 的值，再代入求解即可．【详解】解：方程a (x -b )2=7整理得ax 2-2abx +ab 2-7=0，∵1±72是关于x 的一元二次方程a (x -b )2=7a ≠0 的两根，∴1+72+1-72=1=--2ab a =2b ，∴b =12，1+72⋅1-72=-32=ab 2-7a ，∴-32=12 2-7a ，∴a =4，∴a b=412=8．故选：B ．23(2024·全国·八年级竞赛)已知75m 是整数，则满足条件的最小正整数m =( )．A.5B.0C.3D.75【答案】C【分析】此题考查了无理数与有理数的联系，根据二次根式的定义进行解答，解题的关键是正确理解75m 什么情况下为正整数．【详解】解：∵75m =52×3m ，∴3m 是一个平方数，∴正整数m 最小是3，故选：C ．24(2021·全国·九年级竞赛)已知实数a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ,b +1 2=3-3b +1 ，则bb a+aa b的值为()A.23 B.-23C.-2D.-13【答案】B【分析】由题意可得a +1,b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，根据根与系数的关系可得a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理可得a +b =-5，ab =1，即得a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，然后把所求的式子变形后整体代入即可求解.【详解】解：∵a ≠b ，且满足a +1 2=3-3a +1 ，b +1 2=3-3b +1 ，∴a +1，b +1是方程x 2=3-3x 即x 2+3x -3=0的两个根，∴a +1+b +1=-3，a +1 b +1 =-3，整理，得a +b =-5，ab =1，∴a <0，b <0，a 2+b 2=a +b 2-2ab =25-2=23，∴b b a +aa b =-b a ab -a b ab =-b a -a b =-a 2+b 2ab=-23；故选：B .【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，二次根式的化简求值，由题意得出a +b =-5，ab =1，是解题的关键．三、解答题25(2024·全国·八年级竞赛)若m 满足关系式2x +3y +4x +5y -m =x -2012+y +2012-x -y ，求m 的值．【答案】4024【分析】本题考查了非负数的性质以及二次根式有意义的条件，得到x +y =2012是关键．根据二次根式的性质：被开方数是非负数求得2x +3y +4x +5y -m =0，然后根据非负数的性质得到关于x 和y 的方程组，然后结合x +y =2012即可求得m 的值．【详解】解：由x -2012+y ≥02012-x -y ≥0 可得x +y =2012，∴x +y =20122x +3y =04x +5y -m =0∴m =4x +5y =2x +y +2x +3y =402426(2024·全国·八年级竞赛)设等腰三角形的腰为a ，底边为b ，底边上的高为h ．(1)如果a =6+3，b =6+43，求h ；(2)如果b =46+2，h =26-1，求a ．【答案】(1)32；(2)52．【分析】此题考查了等腰三角形的基本性质，学会在等腰三角形中构造直角三角形从而应用勾股定理来求解．(1)知道等腰三角形、底边利用等腰三角形高的特殊性质可构成直角三角形，再应用勾股定理求解h 值；(2)知道等腰三角底边和高，同理在等腰三角形中构造直角三角形，利用勾股定理来求a 值．【详解】(1)解：在等腰△ABC 中，由勾股定理知，∵a 2=12b 2+h 2，∴6+3 2=146+43 2+h 2，∴36+123+3=1436+483+48 +h 2，∴39+123=9+123+12+h 2，∴h 2=18，∴h =18=32．(2)解：同理在等腰△ABC 中，由勾股定理知,∵a 2=12b 2+h 2，∴a 2=12×46+22+26-1 2∴a 2=26+1 2+26-1 2∴a 2=50，∴a =52．27(2024·全国·八年级竞赛)先化简，再求值：(2x -1)2-(3x +2)(3x -2)+(5x -4)(x +2)，其中x =2．【答案】2x -3,22-3【分析】本题考查平方差公式、完全平方公式及多项式乘多项式、整式的加减，熟练掌握并灵活运用它们是本题的关键．分别利用完全平方和、平方差公式、多项式乘多项式的法则、整式加减的运算法则计算即可．【详解】解：原式=4x 2-4x +1-9x 2+4+5x 2+6x -8，=2x -3当x =2时，原式=2x -3=22-3．28(2024·全国·八年级竞赛)已知：y =3x -15+15-3x +4，求2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y 的值．【答案】12【分析】先根据二次根式有意义的条件得出x =5，进而得出y =4，再化简求值，代入即可得出答案．【详解】解：由3x -15≥0,15-3x ≥0，∴x =5，∴y =4，∴2x +y 2-2x +y 2x -y ÷2y -12y =2x +y 2x +y -2x +y ÷2y -12y=2x+y-12y=2x+12y=12．29(2024·全国·八年级竞赛)已知a=4-15，求：(1)a-1a；(2)a5-6a4-16a3+7a2+23a-42008．【答案】(1)-6(2)1【分析】本题考查完全平方公式，无理数的估算：(1)先根据完全平方公式变形得出a+1a =8，求出a-1a2=6，再估算出0<4-15<1，即0<a<1，最后求出答案即可；(2)将式子变形，再将a2-8a+1=0代入，进而可得出答案．【详解】(1)解：a=4-15，∴a-42=15，∴a2-8a+1=0．∴a+1a=8，∴a-1a2=a+1a-2=8-2=6，∵3<15<4，∴-4<-15<-3，∴0<4-15<1，即0<a<1，∴a-1a<0，∴a-1a=-6．(2)解：∵a5-6a4-16a3+7a2+23a-4=a3a2-8a+1+2a2a2-8a+1-a a2-8a+1 -3a2-8a+1-1=0+0-0-0-1=-1，∴a5-6a4-16a3+7a2+23a-42008=-12008=1．30(2024·全国·八年级竞赛)已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a-2+b2-10b+25=0．(1)求△ABC第三边c的取值范围；(2)求△ABC的周长l的取值范围；(3)若△ABC为等腰三角形，你能求出△ABC的周长吗？【答案】(1)3<c<7(2)10<l<14(3)12【分析】本题考查二次根式的非负性，等腰三角形的定义，三角形的三边关系：(1)先根据非负性得出∴a=2,b=5，再根据三角形第三边的取值范围即可得出答案；(2)根据周长三边之和，即可得出答案；(3)当c=2时，可知不能构成三角形，当c=5时，求出三边之和即可．【详解】(1)解：a-2+(b-5)2=0，∴a=2,b=5，∵b-a<c<a+b，∴3<c<7．(2)l=a+b+c=7+c，∴10<l<14．(3)c=2时，三边长(2,2,5)不能构成三角形，舍去．∴c=5，l=2+5+5=12．11。
中学数学竞赛题 二次根式专项 (含答案)
竞赛训练题（一） 二次根式 1．31231131144++-++的值是（ ）（A ）1（B ）－1（C ）2（D ）－22、已知82121=+-xx ，则xx 12+=3．设等式y a a x a y a a x a ---=-+-)()(在实数范围内成立，其中a ，x ，y 是两两不同的实数，则22223yxy x y xy x +--+的值是（ ）（A ）3（B)31（C ）2（D ）35 4．已知：)19911991(2111n n x --=（n 是自然数）．那么n x x )1(2+-，的值是（ ）（Ａ）11991-；（Ｂ）11991--； （Ｃ）1991)1(n -；（Ｄ）11991)1(--n ．5．若01132=+-x x ,则44-+xx 的个位数字是( )(A)1(B)3(C)5(D)7.6．若0≠x ,则xx x x 44211+-++的最大值是__________.7．13333)919294(3-+-可以化简成( ) (A))12(333+ (B))12(333- (C)123- (D)123+ 8．若0<a<1，则a a a a +⨯+÷-+11)11(2122可化简为( )（A ）a a +-11 （B ）11+-a a （C ）21a - （D ）12-a 9．当219941+=x 时，多项式20013)199419974(--x x 的值为( ) （A ）1； （B ）-1； （C ）22001（D ）-2200110．已知α是方程0412=-+x x 的根，则234521ααααα--+-的值等于________。
11．设正整数n m a ,,满足n m a -=-242，则这样的n m a ,,的取值（ ） （A ）有一组； （B ）有两组； （C ）多于二组； （D ）不存在 12。
15+=m ，那么mm 1+的整数部分是________。
九年级数学竞赛专题二次根式_(含解答)
九年级数学竞赛专题二次根式一、选择题1若x < -3，化简|1 - 2)2(x +|的结果是（ ）A ．3+x;B ．-3 – x;C ．x;D ．-x2．化简xx x 13---，得（ ） A ．(x – 1 )x -; B ．(1 – x )x -C ．- (x + 1 )x ;D ．(x – 1 ) x3．01273=--+-x y x x ，则y x -1的值是（ ） A ．无意义; B ．61; C ．331+; D ．633+ 4．已知最简根式b a b a a -+72与是同类二次根式，则满足条件的a,b 的值（ ）A ．不存在;B ．有一组;nC ．有二组;D ．多于二组5．化简：5322-+=（ ）A ．61062-+;B ．61062++;C ．61063++; D ．不同于A~C 的答案 二、填空题1．当x ________时，式子4||35--x x 有意义。
2．已知0 < x < 1，化简2212x x +-=______________。
3．在实数范围内分解因式：2520424+-a a =______________。
4．计算：)235)(235)(235)(235(++-+--+++=__________。
5．比较大小：10113_______10310--三、解答题1．设x =33,253,253y x y +-=+求.2．解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=+526732y x y3．化简：2115141075++++4．已知：x a x a x a x a b a b ab x -++--+>>+=:),0,0(122化简;5．若5的整数部分为a ，小数部分为b ，求a -b1的值。
答案一、1．B2．B3．D4．B5．D提示：1．∵x < -3∴x + 2 < 0, x + 3 < 0∴原式=|1 - |2 + x || = |1 + 2 + x | = |x + 3 | = - 3 – x2．要使式子有意义，则⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-0103xx 解得x < 0 ∴x x x x x --=-=-||3x xx x x -=-⋅-=--)1()(12 ∴原式=x x x x x --=-+--)1( 3．根据非负数的性质可得：⎪⎩⎪⎨⎧=--=-010273x y x x 即 ⎪⎩⎪⎨⎧=--=-010273x y x x ∴x = 3, y = 3代入化简得：原式=633+ 4．根据同类二次根式定义可知：⎩⎨⎧=+=-722b a b a 解之得⎩⎨⎧==13b a 5．)532)(532()532(25322++-+++=-+615366)532(362)532(25)32()532(22++=++=++=-+++=二、1．x ≤35且x ≠-4； 2．;1x x- 3．22)52()52(+⋅-a a ；4．24；5．>提示：1．要使4||35--x x 有意义，则必须⎩⎨⎧≠-≥-04||035x x 即⎪⎩⎪⎨⎧±≠≤435x x ∴x ≤35且x ≠-4 2．∵0 < x < 1 ∴x x>>11 ∴原式=x x x x -=-1|1| 3．2224)52(25204-=+-a a a 222222)52()52()]52)(52[(])5()2[(+-=+-=-=a a a a a4．1526)2()35()235)(235(22+=-+=-+++ 6152)35()2()]35(2[)]35(2[)235)(235(22-=--=--⋅-+=++-+-∴原式=2435606)152()6152)(1526(22=-=-=-+5．∵10=99113,100=∴1139910010=>= ∴10113011310->>-三、1．x + y 3253253=-++= x ·y = 1459253253=-=-⋅+ ∴))((2233y xy x y x y x +-+=+18)33(3]3)[()(]3)2[()(22222=-⋅=-+⋅+=-++⋅+=xy y x y x xy y xy x y x2．⎪⎩⎪⎨⎧=+=+)2(526)1(732 y x y x （1）×3得：2136=+y x （3） （3）-（2）得：521-=y 将521-=y 代入（1）得：7)521(32=-⋅+x715732=-+x72152-=x214230-=x 3．原式=7353722575⋅+⋅+⋅+⋅+23321)32)(75(75-=+=+++=4．解法一：原式=))(()(2x a x a x a x a x a x a --+-++--+ xxa a x a x a x a x a x a 222)(22222--=--+---++= 将122+=b ab x 代入得： 原式=122)12(222222+⨯+--b ab b ab a a ab b a b a abb b a a b 4|1|||2)1(24))1()1(22()1(22222222-⋅-+=+--⋅+= ∵a > 0 ∴原式=bb b 2|1|122--+ 当b ≥1时，原式=;12)1(122bb b b =--+ 当0<b<1时，原式=;2)1(122b bb b =-++ 解法二：1|1|1)1(12)1(22222+⋅+=++=+++=+b a b b b a b ab b a x a 同理1|1|2+⋅-==-b a b x a∴原式=|1||1||1||1||)1||1(|1|)1||1(|122-++--+=-+++--++b b b b b b b a b b b a 当b ≥1时，原式=;1)1(1)1(1bb b b b =-++--+ 当0< b < 1时，原式=;)1(1)1(1b b b b b =--+-++ 5．∵22352<< ∴352<<∴a = 2 , b 25-=∴5)25(225121-=+-=--=-b a .。
二次根式竞赛题
二次根式竞赛题引言二次根式是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和物理等领域都有广泛的应用。
二次根式竞赛题是一种常见的数学竞赛题型，旨在考察学生对于二次根式的理解和运用能力。
本文将从基本概念、性质、解题技巧等方面详细介绍二次根式竞赛题。
一、基本概念1.1 二次根式的定义二次根式是形如√a的表达式，其中a是一个非负实数。
当a是一个完全平方数时，√a可以化简为有理数；当a不是完全平方数时，√a是无理数。
1.2 二次根式的运算加法与减法对于两个二次根式√a和√b，可以进行加法和减法运算。
若a=b，则√a±√b=2√a(或−2√b)；若a≠b，则√a±√b无法化简。
乘法与除法对于两个二次根式√a和√b，可以进行乘法和除法运算。
乘法运算的结果为√a⋅√b=√ab；除法运算的结果为√a√b =√ab。
1.3 二次根式的化简与展开对于形如√n⋅√k的二次根式，可以化简为√nk。
对于形如√n√k 的二次根式，可以化简为√n√k=√n⋅√k√k⋅√k=√nkk=1k⋅√nk。
二、性质2.1 二次根式的大小关系对于任意非负实数a和b，若a<b，则有√a<√b。
2.2 平方与开方的互逆性平方运算与开方运算是互逆的。
即(√x)2=x对于任意非负实数x成立；而(x2)12=|x|对于任意实数x成立。
2.3 二次根式的最简形式一个二次根式若不能再进行化简，则称其为最简形式。
例如，√4是最简形式，而√8可以化简为2√2。
2.4 二次根式的合并对于形如√a+√b的二次根式，若a和b不是完全平方数，则无法进行合并。
对于形如√a−√b的二次根式，若a和b不是完全平方数，则无法进行合并。
三、解题技巧3.1 利用性质化简在解题过程中，可以利用性质来化简二次根式。
例如，可以利用乘法公式将一个复杂的二次根式转化为更简单的形式。
3.2 倍角公式在一些特殊情况下，可以利用倍角公式来解决二次根式竞赛题。
倍角公式表示为sin(2θ)=2sin(θ)cos(θ)和cos(2θ)=cos2(θ)−sin2(θ)。
初二数学竞赛题-二次根式(含答案)
6． 3 2
7．（D）
原式
1
33
(
1
)
1 3
(2
2 3
9
1
23
1)1
1
1
3
(23 )3 1
1
2 3 1
1
23
1 3
2
1
8 ．（ A ） ∵ ， ∴ (a 1)2 (1 a) 1 a2 原 式
aa
a
. 1 a2 a 1 1 a a a 1 1 a 1 a
29．函数
的自变量 x 的取值范围是_____。
30．正实数 a，b，c，d 满足 a + b + c + d =
1 ， 设 p = 3a + 1+ 3b + 1+
3c + 1+
3d + 1，
则
( )(A) p > 5
(B) p = 5
(C) p < 5 答案：
(D) p 与 5 的大小关系不确定
2
2 1991 n
)
4
4．（D）
1
1
(1991n
1 2 1991 n ) ，
2
所以 原式
（
1991
1 n
)
n
(1) n 19911．
5.(D)
由 知 . x2 13x 1 0
x0
所 以 , x x1 13
. x 2 x 2 132 2 167
x4 x4 1672 2 ,从而 x2 x4 的个位数字为 9-2=7.
x y 26
的解是
_________________。
27．方程 2x2＋7x＋21＝5 的有所实根 2x2＋7x＋15
初中数学竞赛二次根式竞赛训练题
初中数学竞赛二次根式竞赛训练题二次根式竞赛训练题一、填空题：1、化简：$\frac{6-2}{6-3-2+1}$= $\frac{4}{2}$= 2.2、已知$\frac{1}{1}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+a$=$ 5-\frac{1}{a}$，则a= 2.3、若$x^3+8x^2=-x^2+x+8$，则x的取值范围是 $x \in \{-4,-2,1\}$。
4、$3633\times 3635\times 3639\times 3641+36-3636\times 3638$= $133\times 10^8$。
5、设$m,x,y$均为正整数，且$m-28=\frac{22}{x-y}$，则$x+y+m=50$。
6、设关于x的方程$4x-4(a+2)x+a+11=0$的两根为$x_1,x_2$，若$x_1-x_2=3$，则$a$的值为 $a=-\frac{7}{2}$。
7、若$u,v$满足$v=\frac{2u-v}{3v+4u^2}$，那么$u^2-uv+v^2= \frac{5}{9}$。
8、若$x,y,a$都是实数且$x=1-a$，$y=(1-a)(a-1-a^2)$，则$x+y+a=1$。
二、选择题：9、若实数$a,b,c$满足$a+a^2=b+b^2=c-c^2$，那么代数式$b^2-a+b-c^2-2bc+b^2$化简后结果等于（B）$2c-2a$。
10、下列各数中，最小的正数是（A）$10^{-3}-11$。
11、把$(a-1)^{-\frac{1}{2}}$的根号外面的因式移到根号内,则原式等于（C）$-a^{-\frac{1}{2}}$。
12、设$x=2+2^2+2^3+\cdots$，$y=2^2+2^4+2^6+\cdots$，则（D）不能确定。
13、已知$(x+5)^2+(x-4)^2=9$，则$x$的取值范围是(。
二次根式测试题及答案
二次根式测试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 计算下列二次根式的结果：\(\sqrt{4}\) 的值是（）A. 2B. -2C. 4D. 02. 对于二次根式 \(\sqrt{9+x}\)，若 \(x\) 的值为负数，则下列哪个选项是正确的？A. \(x\) 必须小于 -9B. \(x\) 必须大于 -9C. \(x\) 可以是任何实数D. \(x\) 必须等于 -93. 将下列二次根式化简为最简形式：\(\sqrt{64x^2}\) 可以化简为（）A. \(8x\)B. \(8|x|\)C. \(-8x\)D. \(16x\)4. 若 \(\sqrt{a}\) 是有理数，那么 \(a\) 必须满足的条件是（）A. \(a\) 必须大于0B. \(a\) 必须等于0C. \(a\) 必须小于0D. \(a\) 可以是任何实数5. 计算下列二次根式的加法：\(\sqrt{7} + \sqrt{7}\) 的结果是（）A. \(2\sqrt{7}\)B. \(7\)C. \(14\)D. \(\sqrt{14}\)二、填空题（每题2分，共10分）1. 计算 \(\sqrt{25}\) 的结果是______。
2. 若 \(\sqrt{x} = 5\)，则 \(x\) 的值是______。
3. 化简 \(\sqrt{121}\) 的结果是______。
4. 若 \(\sqrt{y} = -4\)，那么 \(y\) 是______（填“有理数”或“无理数”）。
5. 计算 \(\sqrt{8} - \sqrt{18}\) 的结果是______。
三、解答题（每题7分，共28分）1. 计算并化简下列二次根式：\(\sqrt{50} - \sqrt{32}\)2. 解下列方程：\(2\sqrt{x} + 5 = 13\)3. 证明：\(\sqrt{2}\) 是无理数。
四、综合题（每题8分，共16分）1. 若 \(\sqrt{3a+1} + 4 = 9\)，求 \(a\) 的值。