2019年高考数学一轮复习课时分层训练48直线的倾斜角与斜率直线的方程理北师大版
2019年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时达标46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 理
2019年高考数学一轮复习 第八章 解析几何 课时达标46 直线的倾斜角与斜率、直线的方程 理[解密考纲]考查直线的倾斜角与斜率、直线的方程常以选择题、填空题出现，或者在直线与圆锥曲线的位置关系中进行考查．一、选择题1．设直线l 的方程为x ＋y cos θ＋3＝0(θ∈R )，则直线l 的倾斜角α的范围是( C )A ．[0，π)B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2 C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4解析：当cos θ＝0时，方程变为x ＋3＝0，其倾斜角为π2；当cos θ≠0时，由直线方程可得斜率k ＝－1cos θ.∵cos θ∈[－1,1]且cos θ≠0， ∴k ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 即tan α∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)， 又α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，3π4.由上知，倾斜角的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4，故选C ． 2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的斜率角α1是钝角，故k 1＜0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角，且α2＞α3，所以0＜k 3＜k 2，因此k 1＜k 3＜k 2，故选D.3．若k ，－1，b 三个数成等差数列，则直线y ＝kx ＋b 必经过定点( A ) A ．(1，－2)B ．(1,2)C ．(－1,2)D ．(－1，－2)解析：因为k ，－1，b 三个数成等差数列，所以k ＋b ＝－2，即b ＝－2－k ，于是直线方程化为y ＝kx －k －2，即y ＋2＝k (x －1)，故直线必过定点(1，－2)．4．(2017·浙江嘉兴模拟)如果AC <0，且BC <0，那么直线 Ax ＋By ＋C ＝0不通过( C ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：直线Ax ＋By ＋C ＝0的斜率k ＝－A B ＜0，在y 轴上的截距为－C B＞0，所以，直线不通过第三象限．5．将直线l 沿y 轴的负方向平移a (a >0)个单位，再沿x 轴正方向平移a ＋1个单位得直线l ′，此时直线l ′与l 重合，则直线l ′的斜率为( B )A ．aa ＋1B ．－aa ＋1C ．a ＋1a D ．－a ＋1a解析：结合图形，若直线l 先沿y 轴的负方向平移，再沿x 轴正方向平移后，所得直线与l 重合，这说明直线l 和l ′的斜率均为负，倾斜角是钝角．设l ′的倾斜角为θ，则tanθ＝－aa ＋1.6．设点 A (－2,3)，B (3,2)，若直线 ax ＋ y ＋2 ＝ 0 与线段 AB 没有交点，则a 的取值范围是( B )A ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－52∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－52，43D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－43∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫52，＋∞ 解析：直线ax ＋y ＋2＝0恒过点M (0，－2)，且斜率为－a ，∵k MA ＝3－－2－2－0＝－52，k MB ＝2－－23－0＝－43，由图可知：－a ＞－52且－a ＜43，∴a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，52. 二、填空题7．(2017·哈尔滨模拟)一条直线经过点A (－2,2)，并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0.解析：设所求直线的方程为x a ＋y b ＝1， ∵A (－2,2)在直线上，∴－2a ＋2b＝1， ①又因直线与坐标轴围成的三角形面积为1， ∴12|a |·|b |＝1. ② 由①②可得(1)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝1，ab ＝2或(2)⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＝－1，ab ＝－2.由(1)解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，方程组(2)无解．故所求的直线方程为x 2＋y 1＝1或x －1＋y－2＝1， 即x ＋2y －2＝0或2x ＋y ＋2＝0为所求直线的方程．8．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是3. 解析：∵直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，易知x ＞0，y ＞0时xy 才最大， ∴1＝x 3＋y4≥2|xy |12， ∴|xy |≤3，∴(xy )max ＝3，当且仅当x 3＝y 4＝12，即当P 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2时，xy 取最大值3. 9．若 ab >0，且 A (a,0)，B (0，b )，C (－2，－2)三点共线，则ab 的最小值为16. 解析：根据A (a,0)，B (0，b )确定直线的方程为x a ＋y b＝1， 又C (－2，－2)在该直线上， 故－2a ＋－2b＝1，所以－2(a ＋b )＝ab .又ab ＞0，故a ＜0，b ＜0.根据基本不等式ab ＝－2(a ＋b )≥4ab ，从而ab ≤0(舍去)或ab ≥4，故ab ≥16， 当且仅当a ＝b ＝－4时取等号，即ab 的最小值为16. 三、解答题10．过点P (3,0)作一直线，使它夹在两直线l 1：2x －y －2＝0与l 2：x ＋y ＋3＝0之间的线段AB 恰被点P 平分，求此直线的方程．解析：设点A (x ，y )在l 1上，点B (x B ，y B )在l 2上．由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＋x B2＝3，y ＋yB2＝0，则点B (6－x ，－y )，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2＝0，6－x ＋－y＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝113，y ＝163则k ＝163－0113－3＝8.故所求的直线方程为y ＝8(x －3)，即8x －y －24＝0. 11．已知点A (3,4)，求满足下列条件的直线方程． (1)经过点A 且在两坐标轴上截距相等；(2)经过点A 且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形． 解析：(1)设直线在x ，y 轴上的截距均为a . ①若a ＝0，即直线过点(0,0)及(3,4)． ∴直线的方程为y ＝43x ，即4x －3y ＝0.②若a ≠0，设所求直线的方程为x a ＋y a＝1， 又点(3,4)在直线上， ∴3a ＋4a＝1，∴a ＝7.∴直线的方程为x ＋y －7＝0.综合①②可知所求直线的方程为4x －3y ＝0或x ＋y －7＝0. (2)由题意可知，所求直线的斜率为±1. 又过点(3,4)，由点斜式得y －4＝±(x －3)． 所求直线的方程为x －y ＋1＝0或x ＋y －7＝0. 12．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解析：(1)证明：直线l 的方程是k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1，故无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)．(2)由方程知，当k ≠0时直线在x 轴上的截距为－1＋2kk，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解之得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k ≥0.即k 的取值范围是[0，＋∞)．(3)由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎪⎫－1＋2k k，0，B (0,1＋2k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0.∵S ＝12·|OA |·|OB |＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k |＝12·1＋2k2k＝12⎝⎛⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，等号成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12，∴S min ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
高考数学一轮总复习 课时作业48 直线的倾斜角与斜率、直线方程(含解析)苏教版-苏教版高三全册数学试
课时作业48 直线的倾斜角与斜率、直线方程一、选择题1．直线x ＝π4的倾斜角等于( C )A ．0B ．π4C ．π2D ．π解析：由直线x ＝π4，知倾斜角为π2.2.如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( D )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2解析：直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2.3．若三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线，则( B ) A ．x ＝－1 B ．x ＝3 C ．x ＝92D ．x ＝1解析：三点P (1,1)，A (2，－4)，B (x ，－9)共线⇒P A →∥PB →，P A →＝(1，－5)，PB →＝(x －1，－10)，得1×(－10)＝－5(x －1)⇒x ＝3.故选B ．4．过点(2,1)且倾斜角比直线y ＝－x －1的倾斜角小π4的直线方程是( A )A ．x ＝2B ．y ＝1C ．x ＝1D ．y ＝2解析：∵直线y ＝－x －1的斜率为－1，则倾斜角为3π4，依题意，所求直线的倾斜角为3π4－π4＝π2，∴斜率不存在，∴过点(2,1)的直线方程为x ＝2.5．(2020·某某某某月考)已知直线l 的倾斜角为θ且过点(3，1)，其中sin(θ－π2)＝12，则直线l 的方程为( B )A ．3x －y －2＝0B ．3x ＋y －4＝0C ．x －3y ＝0D ．3x ＋3y －6＝0解析：∵sin(θ－π2)＝12，∴cos θ＝－12，θ＝2π3，则tan θ＝－3，直线的方程为y －1＝－3(x －3)，即3x ＋y －4＝0，故选B ．6．(2020·某某四校联考)直线l 经过点(1,3)且与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积为6，则直线l 的方程是( A )A ．3x ＋y －6＝0B ．3x －y ＝0C ．x ＋3y －10＝0D ．x －3y ＋8＝0解析：解法1：设直线l 的斜率为k (k <0)，则直线l 的方程为y －3＝k (x －1)．x ＝0时，y ＝3－k ；y ＝0时，x ＝1－3k .所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积S ＝12×(3－k )(1－3k )＝6，整理得k 2＋6k ＋9＝0，解得k ＝－3，所以直线l 的方程为y －3＝－3(x －1)，即3x ＋y －6＝0，故选A ．解法2：依题意，设直线方程为x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)，则可得1a ＋3b ＝1且ab ＝12，解得a＝2，b ＝6，则直线l 的方程为x 2＋y6＝1，即3x ＋y －6＝0，故选A ．7．(2020·某某模拟)已知直线l 的斜率为3，在y 轴上的截距为另一条直线x －2y －4＝0的斜率的倒数，则直线l 的方程为( A )A ．y ＝3x ＋2B ．y ＝3x －2C ．y ＝3x ＋12D ．y ＝－3x ＋2解析：∵直线x －2y －4＝0的斜率为12，∴直线l 在y 轴上的截距为2，∴直线l 的方程为y ＝3x ＋2，故选A ．8．若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1，－1)，则直线l 的斜率为( B )A ．13B ．－13C ．－32D ．23解析：依题意，设点P (a,1)，Q (7，b )，则有⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋7＝2，b ＋1＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5，b ＝－3，从而可知直线l 的斜率为－3－17＋5＝－13.9．已知点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，则x 2＋y 2的最小值是( A ) A ．8 B ．2 2 C ． 2D ．16解析：∵点P (x ，y )在直线x ＋y －4＝0上，∴y ＝4－x ，∴x 2＋y 2＝x 2＋(4－x )2＝2(x －2)2＋8，当x ＝2时，x 2＋y 2取得最小值8.10．(2020·某某模拟)过点A (3，－1)且在两坐标轴上截距相等的直线有( B ) A ．1条 B ．2条 C ．3条D ．4条解析：①当所求的直线与两坐标轴的截距都不为0时， 设该直线的方程为x ＋y ＝a ， 把(3，－1)代入所设的方程得a ＝2，则所求直线的方程为x ＋y ＝2，即x ＋y －2＝0；②当所求的直线与两坐标轴的截距为0时， 设该直线的方程为y ＝kx ，把(3，－1)代入所设的方程得k ＝－13，则所求直线的方程为y ＝－13x ，即x ＋3y ＝0.综上，所求直线的方程为x ＋y －2＝0或x ＋3y ＝0， 故选B ．11．已知函数f (x )＝a sin x －b cos x (a ≠0，b ≠0)，若f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x ，则直线ax －by ＋c ＝0的倾斜角为( C )A ．π4B ．π3C ．2π3D ．3π4解析：由f ⎝⎛⎭⎫π3－x ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＋x 知函数f (x )的图象关于x ＝π3对称，所以f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，所以a ＝－3b ，由直线ax －by ＋c ＝0知其斜率k ＝a b ＝－3，所以直线的倾斜角为2π3，故选C ．二、填空题12．已知三角形的三个顶点A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，则BC 边上中线所在的直线方程为x ＋13y ＋5＝0.解析：BC 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫32，－12，∴BC 边上的中线所在直线方程为y －0－12－0＝x ＋532＋5，即x ＋13y ＋5＝0.13．过点(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.解析：若直线过原点，则直线方程为3x ＋2y ＝0；若直线不过原点，则斜率为1，方程为y ＋3＝x －2，即为x －y －5＝0，故所求直线方程为3x ＋2y ＝0或x －y －5＝0.14．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值X 围是[－2,2]．解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值X 围是[－2,2]．15．曲线y ＝x 3－x ＋5上各点处的切线的倾斜角的取值X 围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为θ(θ∈[0，π))，因为y ′＝3x 2－1≥－1，所以tan θ≥－1，结合正切函数的图象可知，θ的取值X 围为⎣⎡⎭⎫0，π2∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 16．已知在△ABC 中，∠ACB ＝90°，BC ＝3，AC ＝4，P 是线段AB 上的点，则P 到AC ，BC 的距离的乘积的最大值为3.解析：以C 为坐标原点，CB 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)，则A (0,4)，B (3,0)，直线AB 的方程为x 3＋y4＝1.设P (x ，y )(0≤x ≤3)，所以P 到AC ，BC 的距离的乘积为xy ，因为x 3＋y4≥2x 3·y4，当且仅当x 3＝y 4＝12时取等号，所以xy ≤3，所以xy 的最大值为3.17．(2020·某某市调研测试)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A (8,0)，以OA 为直径的圆与直线y ＝2x 在第一象限的交点为B ，则直线AB 的方程为( A )A ．x ＋2y －8＝0B ．x －2y －8＝0C ．2x ＋y －16＝0D ．2x －y －16＝0解析：如图，由题意知OB ⊥AB ，因为直线OB 的方程为y ＝2x ，所以直线AB 的斜率为－12，因为A (8,0)，所以直线AB 的方程为y －0＝－12(x －8)，即x ＋2y －8＝0， 故选A ．18．(2020·某某某某模拟)数学家欧拉在1765年提出定理，三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点，重心是三角形三条中线的交点，垂心是三角形三条高线的交点)依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点B (－1,0)，C (0,2)，AB ＝AC ，则△ABC 的欧拉线方程为( D )A ．2x －4y －3＝0B ．2x ＋4y ＋3＝0C ．4x －2y －3＝0D ．2x ＋4y －3＝0解析：∵B (－1,0)，C (0,2)，∴线段BC 中点的坐标为⎝⎛⎭⎫－12，1，线段BC 所在直线的斜率k BC ＝2，则线段BC 的垂直平分线的方程为y －1＝－12×⎝⎛⎭⎫x ＋12，即2x ＋4y －3＝0.∵AB ＝AC ，∴△ABC 的外心、重心、垂心都在线段BC 的垂直平分线上，∴△ABC 的欧拉线方程为2x ＋4y －3＝0.故选D ．。
高考数学一轮复习课后限时集训49直线的倾斜角与斜率、直线的方程理北师大版
课后限时集训 49直线的倾斜角与斜率、直线的方程建议用时： 45 分钟一、选择题1．(2019 ·合肥模拟 ) 直线 l ： x sin 30 °＋ y cos 150 °＋ 1＝ 0 的斜率是 ( )A ．3B ． 333C ．－ 3D ．－ 3sin 30 °3A [ 设直线 l 的斜率为 k ，则 k ＝－ cos 150 ° ＝ 3 .]2. 如图中的直线 l 1， l 2， l 3 的斜率分别为 k 1， k 2， k 3，则()A ． k 1<k 2<k 3B ． k 3<k 1<k 2C ． k 3<k 2<k 1D ． k 1<k 3<k 2D [ 直线 l 1 的倾斜角 α1 是钝角，故 k 1<0，直线 l 2与 l 3 的倾斜角 α 2 与 α 3 均为锐角且α2 >α3，所以 0<k 3<k 2，所以 k 1<k 3<k 2.]3. 若 ( －2,3) ， (3，－2) ，1的值为C ， m 三点在同一条直线上，则 AB 2m()A ．－ 2B ． 211 C ．－ 2D ． 2－2－ 3＝ 1m －3D [ 由于 A ，B ，C 三点在同一条直线上，所以k AB ＝k AC ，所以 3－ － 2 ，2－ － 21解得 m ＝ 2. 应选 D.]4．直线 l 沿 x 轴负方向平移 3 个单位，再沿 y 轴正方向平移 1 个单位后，又回到本来地点，那么 l 的斜率为 ()1 B ．－ 3A ．－31C ． 3D ． 3[答案] A5．过点 A (4,1) 且在两坐标轴上的截距相等的直线方程是()A ． x ＋y ＝ 5B ． x －y ＝ 5C ． x ＋y ＝ 5 或 x － 4y ＝ 0D ． x －y ＝ 5 或 x ＋ 4y ＝ 0C [ 若直线在两坐标轴上的截距相等且为0，即直线过原点，则直线方程为 x － 4y ＝0；x y若直线在两坐标轴上的截距不为0 ，设为 a ( a ≠0) ，则直线的方程为 a ＋ a ＝ 1.又直线过点(4,1) ，则 a ＝ 5，故直线的方程为x ＋ ＝ 5. 综上所述，应选 C.]Ay二、填空题6．直线 kx ＋ y ＋ 2＝－ k ，当 k 变化时，全部的直线都过定点 ________．( －1，－ 2) [ kx ＋y ＋ 2＝－ k 可化为 y ＋ 2＝－ k ( x ＋ 1) ，依据直线方程的点斜式可知， 此类直线恒过定点 (－1，－ 2) ．]7．已知 A (3,4) ， B ( － 1,0) ，则过 AB 的中点且倾斜角为 120°的直线方程是 ________． 3 x ＋ y － 2－ 3＝ 0 [ 设 AB 的中点为 M ，则 M (1,2) ，又斜率 k ＝－ 3，直线的方程为y － 2＝－ 3( x － 1) ．即 3x ＋ y － 2－ 3＝ 0.]8．若直线l 过点 ( －3,2) ，且与以 ( － 2，－ 3) ， (3,0) 为端点的线段订交，则直线PA Bl 的斜率的取值范围是 ________．－ 5，－ 1[ 由于 P ( － 3,2) ， A ( －2，－ 3) ， B (3,0) ，3－ 3－ 2则 k PA ＝－ 2－ －3 ＝－ 5，0－21k PB ＝ 3－ － 3 ＝－ 3.如下图，当直线l 与线段 AB 订交时，直线 l 的斜率的取值范围为1－ 5，－ 3 .]三、解答题9．已知直线 l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求知足以下条件的直线 l 的方程：(1) 过定点 A ( －3,4) ；1(2) 斜率为 6.[ 解 ] (1) 由题意知，直线 l 存在斜率．设直线 l 的方程为 y ＝ k ( x ＋ 3) ＋ 4，它在 x 轴， y4k ＋ 4，轴上的截距分别是－ － 3,3k4由已知，得 (3 k ＋ 4) k ＋ 3 ＝± 6，2 8解得 k 1＝－或 k 2＝－ .3 3故直线 l 的方程为 2x ＋ 3y － 6＝ 0 或 8x ＋ 3y ＋ 12＝ 0.(2) 设直线 l 在 y 轴上的截距为 b ，1则直线 l 的方程为 y ＝ 6x ＋ b ，它在 x 轴上的截距是－ 6b ， 由已知，得 | － 6b | ·|b | ＝ 6，∴ b ＝± 1.∴直线 l 的方程为 x － 6y ＋ 6＝ 0 或 x － 6y － 6＝ 0.10．过点 P (3,0) 作一条直线，使它夹在两直线l 1： 2x － y － 2＝0 与 l 2：x ＋ y ＋3＝ 0 之间的线段 AB 恰巧被点 P 均分，求此直线的方程．[ 解 ] 设点 A ( x ， y ) 在 l 1上，点 B ( x ，y ) 在 l 2上．BBx ＋ x B＝ 3由题意知2则点 B (6 － x ，－ y ) ，y ＋ y B＝ 022x －y － 2＝ 0，x ＝11，解方程组 得3166－ x ＋ － y ＋ 3＝ 0，y ＝ 3 ，163 － 0则所求直线的斜率k ＝ 11＝ 8，3 － 3故所求的直线方程为y ＝8( x － 3) ，即 8x －y － 24＝ 0.1．在等腰三角形 AOB 中， AO ＝ AB ，点 O (0,0) ，A (1,3) ，点 B 在 x 轴的正半轴上，则直 线 AB 的方程为 ()A ． y －1＝ 3( x －3)C ． y －3＝ 3( x －1)B ． y －1＝－ 3( x － 3)D ． y －3＝－ 3( x － 1)D [ 由于 AO ＝ AB ，所以直线 AB 的斜率与直线 AO 的斜率互为相反数，所以 k AB ＝－ k OA ＝－3，所以直线 AB 的点斜式方程为y － 3＝－ 3( x －1). ]2．若直线x－ 2 ＋ ＝ 0 与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于 1，那么b 的取值范y b围是 ()A ． [ －2,2]B ． ( －∞，－ 2] ∪ [2 ，＋∞)C ． [ －2,0) ∪ (0,2]D ． ( －∞，＋∞)b1 b1 2C [ 令 x ＝ 0，得 y ＝ 2，令 y ＝ 0，得 x ＝－ b ，所以所求三角形面积为2 2 | －b | ＝ 4b ，1 且 b ≠0，由于 4b 2≤1，所以 b 2≤4，所以 b 的取值范围是 [ － 2,0) ∪ (0,2] ． ]3．已知直线 l 过点 (1,0) ，且倾斜角为直线l 0： x －2y － 2＝0 的倾斜角的 2 倍，则直线l 的方程为 ________．4x － 3y － 4＝ 0 [ 由题意可设直线 l 0， l 的倾斜角分别为 α， 2α，1 1由于直线 l： x － 2y － 2＝ 0 的斜率为 2，则 tan α＝ 2，12tan α2×4所以直线 l 的斜率 k ＝ tan 2 α 2＝2＝1 ＝ ，1－ tan α2 31－ 24所以由点斜式可得直线 l 的方程为 y － 0＝ 3( x － 1) ，即 4x － 3y － 4＝0.]4．已知直线 l ： kx － y ＋1＋ 2k ＝ 0( k ∈ R) ．(1) 证明：直线 l 过定点；(2) 若直线 l 不经过第四象限，求k 的取值范围．[ 解 ] (1) 证明：直线 l 的方程可化为 y ＝ k ( x ＋ 2) ＋1，故不论 k 取何值，直线 l 总过定点 ( － 2,1) ．(2) 直线 l 的方程可化为 y ＝ kx ＋ 2k ＋ 1，则直线 l 在 y 轴上的截距为 2k ＋ 1，k ≥0，要使直线 l 不经过第四象限，则解得 k ≥0，1＋ 2k ≥0，故 k 的取值范围是 [0 ，＋∞ ) ．ππ1．已知函数 f ( x ) ＝ a sin x －b cos x ( a ≠0， b ≠0) ，若 f 3－x ＝ f 3 ＋ x ，则直线 ax－by ＋ c ＝0 的倾斜角为 ()ππ A. 4 B. 32π3π C. 3D. 4π－x ＝ f π＋x 知函数 f ( x ) 的图像对于π2π C [ 由 f33 x ＝ 3 对称，所以 f (0) ＝ f 3 ，a2π 所以 a ＝－ 3b ，由直线 ax － by ＋ c ＝ 0 知其斜率 k ＝ b ＝－ 3，所以直线的倾斜角为 3 ，应选 C.]2．设P 为曲线 ： ＝ x 2＋ 2 x ＋ 3 上的点，且曲线C 在点 P 处的切线倾斜角的范围为C yπ，则点 P 的横坐标的取值范围为0，()41B.[ － 1,0]A. － 1，－21C ． [0,1]D. 2， 1A [ 由题意知 y ′＝ 2x ＋ 2，设 P ( x 0， y 0) ，则 k ＝ 2x 0＋ 2.由于曲线 C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为0，π ，所以 0≤ k ≤1，4即 0≤2x ＋2≤1.1≤－ 2. 应选 A.]所以－ 1≤ x。
高考数学一轮总复习课时规范练38直线的倾斜角斜率与直线的方程北师大版
课时规范练38直线的倾斜角、斜率与直线的方程基础巩固组1.直线l过原点和(1，-1)，则它的倾斜角是()A.45°B.60°C.120°D.135°2.(2021北京八中月考)如图所示，下列四条直线中，斜率最大的是()A.l1B.l2C.l3D.l43.直线l1过两点A(0，0)，B(√3，1)，直线l2的倾斜角是直线l1的倾斜角的2倍，则直线l2的斜率为()A.√33B.2√33C.1D.√34.直线方程为kx-y+1=3k，当k变动时，直线恒过定点的坐标为()A.(0，0)B.(0，1)C.(3，1)D.(2，1)5.已知直线l过点A(1，2)，且不经过第四象限，则直线l的斜率的取值范围为()A.[0,12] B.[0，1]C.[0，2]D.(0,12)6.若直线ax+by=ab(a>0，b>0)过点(1，1)，则该直线在x轴、y轴上的截距之和的最小值为()A.1B.2C.4D.87.已知直线l的方程为ax+by-2=0，下列判断错误的是()A.若ab>0，则l的斜率小于0B.若b=0，a≠0，则l的倾斜角为90°C.l可能经过坐标原点D.若a=0，b≠0，则l的倾斜角为0°8.(2021河南洛阳月考)已知点A(-2，1)，B(4，-2)，C(1，1+2a)，若A，B，C三点共线，则实数a的值为.9.过点(1,14)，且在两坐标轴上的截距互为倒数的直线方程为.综合提升组10.过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程为()A.x-y+1=0或x+y-7=0B.x+y+7=0C.2x-y-2=0D.2x+y-10=011.若直线l过点A(1，2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l的方程不可能为()A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.2x-y=0D.x-y-1=012.已知直线kx-y+2k-1=0恒过定点A，点A在直线mx+ny+2=0上，其中m，n均为正数，则1m +2n的最小值为()A.2B.4C.8D.613.已知直线l过点P(2，-1)，在x轴、y轴上的截距分别为a，b，且满足a=3b，则直线l的方程为.14.若直线ax-y+1=0与线段AB 相交，其中A (2，3)，B (3，2)，则实数a 的取值范围是 .创新应用组15.已知点A (-2，0)，点P (x ，y )满足x+y=√2sin θ+π4，x-y=√2sin (θ-π4)，则直线AP 的斜率的取值范围为( ) A.[-√33,√33]B.[-√3,√3]C.[-12,12]D.[-2，2]16.已知数列{a n }的通项公式为a n =1n(n+1)(n ∈N *)，其前n 项和S n =910，则直线x n+1+yn =1与坐标轴所围成的三角形的面积为 .课时规范练38 直线的倾斜角、斜率与直线的方程1.D 解析:设倾斜角为α，则tan α=-1-01−0=-1.因为0°≤α<180°，所以α=135°.故选D .2.D 解析:由图可知，直线l 3斜率为负，直线l 2斜率为0，直线l 1，直线l 4的斜率为正.又直线l 4的倾斜程度大于直线l 1，所以直线l 4的斜率最大.故选D .3.D 解析:因为直线l 1的斜率为√3-0=√33， 所以直线l 1的倾斜角为π6.又因为直线l 2的倾斜角是直线l 1的倾斜角的2倍， 所以直线l 2的倾斜角为π3， 所以l 2的斜率为tan π3=√3. 故选D .4.C 解析:把直线方程整理为k (x-3)-y+1=0，令{x -3=0,-y +1=0,得{x =3,y =1,所以定点坐标为(3，1).故选C .5.C 解析:如图所示，当直线l 位于阴影区域内(含边界)时满足条件，由图可知，当直线l 过点A 且平行于x 轴时，直线l 的斜率k 取最小值k min =0;当直线l 过A (1，2)，O (0，0)时，直线l 的斜率k 取最大值k max =2.故直线l 的斜率的取值范围是[0，2].故选C .6.C 解析:由ax+by=ab ，得xb +ya =1，故直线在x 轴、y 轴上的截距分别为b ，a. 因为直线过点(1，1)，所以1a +1b =1.又a>0，b>0，所以a+b=(a+b )1a+1b =2+b a +a b ≥2+2√b a ·ab =4，当且仅当a=b=2时，等号成立，所以直线在x 轴、y 轴上的截距之和的最小值为4.故选C . 7.C 解析:若ab>0，则l 的斜率-ab <0，故A 正确;若b=0，a ≠0，则l 的方程为x=2a ，其倾斜角为90°，故B 正确;若l可能经过坐标原点，则-2=0，这显然不成立，故C错误;若a=0，b≠0，则l的方程为y=2b，其倾斜角为0°，故D正确.故选C.8.-34解析:因为A，B，C三点共线，所以-2-14−(−2)=1+2a-11−(−2)，解得a=-34.9.x+4y-2=0解析:因为直线在两坐标轴上的截距互为倒数，所以可设直线方程为xa+ay=1(a≠0).又直线过点(1,14)，所以1a+14a=1，解得a=2，所以所求直线方程为12x+2y=1，即x+4y-2=0.10.A解析:由题意可知，所求直线的斜率为±1，且过点(3，4).由点斜式得y-4=±(x-3)，故所求直线的方程为x-y+1=0或x+y-7=0.故选A.11.D解析:当直线l过原点时，直线l的方程为y=2x，即2x-y=0.当直线l不过原点时，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则设直线l的方程为xa +ya=1(a≠0).因为直线l过点A(1，2)，所以1a +2a=1，解得a=3，所以直线l的方程为x3+y3=1，即x+y-3=0.若直线l在两坐标轴上的截距互为相反数，则设直线l的方程为xb +y-b=1(b≠0).因为直线l过点A(1，2)，所以1b +2-b=1，解得b=-1，所以直线l的方程为x-y+1=0.综上可知，直线l的方程为2x-y=0或x+y-3=0或x-y+1=0.故选D.12.B解析:已知直线kx-y+2k-1=0，整理得y+1=k(x+2)，故直线恒过定点A(-2，-1).因为点A在直线mx+ny+2=0上，所以2m+n=2，整理得m+n2=1.由于m，n均为正数，则1m +2n=m+n21m+2n=1+n2m+2mn+1≥2+2√n2m·2mn=4，当且仅当m=12，n=1时，等号成立.故选B.13.x+2y=0或x+3y+1=0解析:若a=0，则直线l过原点(0，0)，此时直线l的斜率k=-12，故直线l的方程为x+2y=0.若a ≠0，设直线l 的方程为x a+y b=1，即x3b+y b=1.因为点P (2，-1)在直线l 上，所以23b+-1b=1，解得b=-13，所以直线l 的方程为x+3y+1=0.综上可知，直线l 的方程为x+2y=0或x+3y+1=0.14.[13,1] 解析:易知直线ax-y+1=0过定点P (0，1).连接PA ，PB ，则k PA =3−12−0=1，k PB =2−13−0=13.因为直线ax-y+1=0与线段AB 相交，所以13≤a ≤1，即a 的取值范围是[13,1].15.A 解析:由{x +y =√2sin (θ+π4),x -y =√2sin (θ-π4)得{x =sinθ,y =cosθ,所以x 2+y 2=1，所以点P (x ，y )的轨迹是以原点为圆心，1为半径的圆，如图所示.过点A 向该圆作切线，易知两切线的斜率分别为√33，-√33.由图可知，直线AP 的斜率k ∈[-√33,√33].故选A . 16.45 解析:由a n =1n(n+1)可知a n =1n −1n+1，所以S n =1-12+12−13+13−14+ (1)−1n+1=1-1n+1.又S n =910，所以1-1n+1=910，所以n=9，所以直线方程为x10+y9=1，且与坐标轴的交点为(10，0)和(0，9)，所以直线与坐标轴所围成的三角形的面积为12×10×9=45.。
2019版高考数学一轮复习第8章平面解析几何81直线的倾斜角、斜率与直线的方程课后作业理.doc
8. 1直线的倾斜角、斜率与直线的方程E 课后作业孕谀［基础送分提速狂刷练］一、选择题1. （2018・朝阳模拟）直线 卄书y+l=0的倾斜角为（D. 140°答案B解析 将直线 嵐osl40° +ysin40° +1=0 化成 %cos40° —ysin40° —1=0,其斜率为 cos40 °*=sin40° =Zn50°，倾斜角为 50° .故选 B.3. （2018 •哈尔滨模拟）函数y=asinx —bcosx 的一条对称轴为/=专，则直线厶$x — by+c=0的倾斜角为（）答案D解析 由函数y=A%） =^sin%—Acosx 的一条对称轴为知，f （0）=,即一力=臼，・・・直线/的斜率为一1,・・・倾斜角为〒.故选D.4. （2018 •衡阳期末）已知直线〃的斜率为一书，将直线绕点“顺时针旋转60°所得 的直线的斜率为（）答案A答案D解析直线斜率为一专，即tan a=—专，0Wa 〈n,5 ji・・・a =—^故选+ 1=0的倾斜角是（50°解析直线図的斜率为一书，则直线阂的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60° , tan60°=yfi.故选A.5. 在等腰三角形应矽中，AO=AB,点0(0,0),水1,3)，点〃在站由的正半轴上，则直 线弭〃的方程为()A. y —1 = 3(/—3)B. y —1 = —3(A ~3)C. y —3 = 3Cv —l)D. y-3 = —3匕一1)答案D解析 因为AO=AB,所以直线力〃的斜率与直线/O 的斜率互为相反数，所以騙=_也 =-3,所以直线的点斜式方程为y-3 = -3(%-l).故选D.6. (2017 •河南新乡一中周考)若刃，/?满足刃+2/?—1 = 0,则直线财+3$+/?=0过定点解析 Vzzz+2/7—1 = 0, .*.>77+2/7=1. V^+3y+/7=0, /. (mx+n) +3y=0,当 ”=£时， mx+ /?=*〃?+ /?=*,・；3y=—7. 若经过点P(l,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的，且截距之和最小，则直线的 方程为()A. x+2y —6 = 0B. 2x+ y —6 = 0C. x —2y+7=0D. x —2y —7=0答案B解析 解法一：直线过户(1,4),代入，排除A 、D ；又在两坐标轴上的截距为正，排除C, 故选B.解法二：设方程炉+三=1，a b1 4将(1,4)代入得一+7=1.a ba+b=3+毗+沪5+(彳+罟卜9,当且仅当b=2a,即臼=3, b=6时，截距Z 和最小.X V所以直线方程为^+3=1，B I J 2x+y-6 = 0.故选B.8. 若直线ax+by=ab^1方>0)过点(1,1),则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为(）A. 1B. 2扌，・•・/=—£,故直线过定点(*，一£)故选B.C. 4D. 8答案C解析T 直线ax+by= <gZ?（<3>0,方>0）过点（1, 1）, /. a+ b=ab,即TP…“+力"+ 〃）£+沪2+#+斧+ 2寸彳・彳=4,当且仅当a= b=2时上式等号成立•・・・直线在x 轴，y轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9.（2017 •烟台期末）直线〃圧+彳尸一1=0在y轴上的截距是一1,且它的倾斜角是直线萌y—3书=0的倾斜角的2倍，贝】J（）答案A解析根据题意，设直线mx+^y-1 = 0为直线/,另一直线的方程为羽x—y—3羽=0,变形可得y=£（x—3）,其斜率k=书,则其倾斜角为60°,而直线/的倾斜角是直线7^—尸一3羽=0的倾斜角的2倍，则直线/的倾斜角为120。
2019届高考数学一轮复习 配餐作业50 直线的倾斜角与斜率、直线方程(含解析)理
2019届高考数学一轮复习 配餐作业50 直线的倾斜角与斜率、直线方程（含解析）理一、选择题1．直线x ＋3y ＋1＝0的倾斜角是( ) A.π6 B.π3 C.2π3D.5π6解析 由直线的方程得直线的斜率为k ＝－33，设倾斜角为α，则tan α＝－33，所以α＝5π6。
故选D 。
答案 D2．若方程(2m 2＋m －3)x ＋(m 2－m )y －4m ＋1＝0表示一条直线，则参数m 满足的条件是( )A ．m ≠－32B ．m ≠0C ．m ≠0且m ≠1D ．m ≠1解析 由⎩⎪⎨⎪⎧2m 2＋m －3＝0，m 2－m ＝0，解得m ＝1，故m ≠1时方程表示一条直线。
故选D 。
答案 D3．(2016·德州一模)已知p ：“直线l 的倾斜角α>π4”；q ：“直线l 的斜率k >1”，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 当π2<α<π时，tan α<0，即k <0，而当k >1时，即tan α>1，则π4<α<π2，所以p 是q 的必要不充分条件，故选B 。
答案 B4．直线ax ＋by ＋c ＝0同时要经过第一、第二、第四象限，则a ，b ，c 应满足( ) A ．ab >0，bc <0 B ．ab >0，bc >0 C ．ab <0，bc >0D ．ab <0，bc <0解析 由于直线ax ＋by ＋c ＝0经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为y ＝－a b x －c b 。
易知－a b <0且－c b>0，故ab >0，bc <0。
故选A 。
答案 A5．两直线x m －y n ＝a 与x n －y m＝a (其中a 为不为零的常数)的图象可能是( )解析 直线方程x m －yn ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝m nx －ma ，由此可知两条直线的斜率同号。
北师大附属中学高三数学一轮复习学案：《直线的倾斜角与斜率_直线的方程》A
直线倾斜角与斜率，直线方程(教案)A一、知识梳理：（阅读必修2第82-99页内容）1．倾斜角：一条直线l 向上的方向与x 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。
规定：当直线与l 轴平行或重合时，它的倾斜角为。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
注：直线的倾斜角与斜率的关系可以利用正切函数的图象帮助解决；3、过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
4、直线的方向向量：=（1，k ），k 是直线的斜率；5、直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
确定直线方程的形式直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
二、题型探究[探究一] 直线的倾斜角与斜率例1：．直线3y x =绕原点逆时针旋转090，再向右平移１个单位，所得到的直线为( A )（Ａ）1133y x =-+ （Ｂ）113y x =-+ （Ｃ）33y x =- （Ｄ）113y x =+【解】：∵直线3y x =绕原点逆时针旋转090的直线为13y x =-，从而淘汰（Ｃ），（D ）又∵将13y x =-向右平移１个单位得()113y x =--，即1133y x =-+ 【点评】：此题重点考察互相垂直的直线关系，以及直线平移问题；【突破】：熟悉互相垂直的直线斜率互为负倒数，过原点的直线无常数项；重视平移方法：“左加右减”；点评：本题重点考查直线的倾斜角、斜率的关系，考查数形结合的能力。
例2：（全国Ⅰ文16）若直线m 被两平行线12:10:30l x y l x y -+=-+=与所截得的线段的长为22，则m 的倾斜角可以是（ ）①15 ②30 ③45 ④60 ⑤75其中正确答案的序号是 .（写出所有正确答案的序号） 【解析】解：两平行线间的距离为211|13|=+-=d ，由图知直线m 与1l 的夹角为o 30，1l 的倾斜角为o 45，所以直线m 的倾斜角等于00754530=+o 或00153045=-o 。
高考数学一轮复习第八章平面解析几何8.1直线的倾斜角与斜率、直线的方程课时提升作业理
⾼考数学⼀轮复习第⼋章平⾯解析⼏何8.1直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程课时提升作业理直线的倾斜⾓与斜率、直线的⽅程(25分钟50分)⼀、选择题(每⼩题5分,共35分)1.直线x+y+1=0的倾斜⾓是( )A. B. C. D.【解析】选D.由直线的⽅程得直线的斜率为k=-,设倾斜⾓为α,则tanα=-,⼜α∈[0,π),所以α=.2.设直线ax+by+c=0的倾斜⾓为α,且sinα+cosα=0,则a,b满⾜( )A.a+b=1B.a-b=1C.a+b=0D.a-b=0【解析】选D.由题意得sinα=-cosα,显然cosα≠0,则tanα=-1,所以-=-1,a=b,a-b=0.3.下列命题中,正确的是( )A.直线的斜率为tanα,则直线的倾斜⾓是αB.直线的倾斜⾓为α,则直线的斜率为tanαC.直线的倾斜⾓越⼤,则直线的斜率就越⼤D.直线的倾斜⾓α∈∪时,直线的斜率分别在这两个区间上单调递增【解析】选D.因为直线的斜率k=tanα,且α∈∪时,α才是直线的倾斜⾓,所以A不对; 因为任⼀直线的倾斜⾓α∈[0,π),⽽当α=时,直线的斜率不存在,所以B不对;当α∈时,斜率⼤于0;当α∈时,斜率⼩于0,C不对.4.倾斜⾓为120°,在x轴上的截距为-1的直线的⽅程是( )A.x-y+1=0B.x-y-=0C.x+y-=0D.x+y+=0【解析】选 D.由于倾斜⾓为120°,故斜率k=-.⼜直线过点(-1,0),所以⽅程为y=-(x+1),即x+y+=0.5.已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是( )A.1B.-1C.-2或-1D.-2或1【解析】选D.显然a≠0,由题意得a+2=,解得a=-2或1.6.(2016·西安模拟)点A(1,1)到直线xcosθ+ysinθ-2=0的距离的最⼤值是( )A.2B.2-C.2+D.4【解析】选C.由点到直线的距离公式,得d==2-sin,⼜θ∈R,所以d max=2+.7.已知a,b均为正数,且直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,则2a+3b的最⼩值为( )A.5B.25C.13D.15【解析】选B.因为直线ax+by-6=0与直线2x+(b-3)y+5=0互相平⾏,所以a(b-3)-2b=0,且5a+12≠0,所以3a+2b=ab,即+=1,⼜a,b均为正数,则2a+3b=(2a+3b)=4+9++≥13+2=25.当且仅当a=b=5时上式等号成⽴.⼆、填空题(每⼩题5分,共15分)8.已知直线的倾斜⾓是60°,在y轴上的截距是5,则该直线的⽅程为.【解析】因为直线的倾斜⾓是60°,所以直线的斜率为k=tan60°=.⼜因为直线在y轴上的截距是5,由斜截式得直线的⽅程为y=x+5.即x-y+5=0.答案:x-y+5=0【加固训练】过点A(-1,-3),斜率是直线y=3x的斜率的-的直线的⽅程为. 【解析】设所求直线的斜率为k,依题意k=-×3=-.⼜直线经过点A(-1,-3),因此所求直线⽅程为y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.答案:3x+4y+15=09.已知A(3,5),B(4,7),C(-1,x)三点共线,则x= .【解析】因为k AB==2,k AC==-.⼜A,B,C三点共线,所以k AB=k AC,即-=2,解得x=-3.答案:-310.(2016·平顶⼭模拟)与直线x+y-1=0垂直的直线的倾斜⾓为.【解析】因为直线x+y-1=0的斜率为k1=-,所以与直线x+y-1=0垂直的直线的斜率为k2=-=.所以它的倾斜⾓为.答案:(20分钟40分)1.(5分)(2016·保定模拟)直线y=tan的倾斜⾓等于( )A. B. C. D.0【解析】选D.因为tan=,所以y=tan即y=,表⽰⼀条与x轴平⾏的直线,因此直线y=tan的倾斜⾓等于0.2.(5分)已知点A(-1,0),B(cosα,sinα),且|AB|=,则直线AB的⽅程为( )A.y=x+或y=-x-B.y=x+或y=-x-C.y=x+1或y=-x-1D.y=x+或y=-x-【解析】选B.|AB|===,所以cosα=,sinα=±,所以k AB=±,即直线AB的⽅程为y=±(x+1),所以直线AB的⽅程为y=x+或y=-x-.【加固训练】已知直线l过点(0,2),且其倾斜⾓的余弦值为,则直线l的⽅程为( )A.3x-4y-8=0B.3x+4y-8=0C.3x+4y+8=0D.3x-4y+8=0【解析】选D.因为cosα=,α∈[0,π),所以sinα=,k=tanα=,所以直线l的⽅程为y-2=x,即3x-4y+8=0.3.(5分)过点(1,3)作直线l,若经过点(a,0)和(0,b),且a∈N*,b∈N*,则可作出的直线l的条数为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.由题意得+=1?(a-1)(b-3)=3.⼜a∈N*,b∈N*,故有两个解或4.(12分)已知直线l过点P(0,1),且与直线l1:x-3y+10=0和l2:2x+y-8=0分别交于点A,B(如图).若线段AB被点P平分,求直线l的⽅程.【解析】因为点B在直线l2:2x+y-8=0上,故可设点B的坐标为(a,8-2a).因为点P(0,1)是线段AB的中点,得点A的坐标为(-a,2a-6).⼜因为点A在直线l1:x-3y+10=0上,故将A(-a,2a-6)代⼊直线l1的⽅程,得-a-3(2a-6)+10=0,解得a=4.所以点B的坐标是(4,0).因此,过P(0,1),B(4,0)的直线l的⽅程为+=1,即x+4y-4=0.【加固训练】已知直线l经过A(cosθ,sin2θ)和B(0,1)不同的两点,求直线l倾斜⾓的取值范围.【解析】当cosθ=0时,sin2θ=1-cos2θ=1,此时A,B重合.所以cosθ≠0.所以k==-cosθ∈[-1,0)∪(0,1].因此倾斜⾓的取值范围是∪.5.(13分)已知直线l:kx-y+1+2k=0(k∈R).(1)证明:直线l过定点.(2)若直线l不经过第四象限,求k的取值范围.(3)若直线l交x轴负半轴于点A,交y轴正半轴于点B,O为坐标原点,设△AOB的⾯积为S,求S的最⼩值及此时直线l的⽅程.【解析】(1)⽅法⼀:直线l的⽅程可化为y=k(x+2)+1,故⽆论k取何值,直线l总过定点(-2,1). ⽅法⼆:设直线l过定点(x0,y0),则kx0-y0+1+2k=0对任意k∈R恒成⽴,即(x0+2)k-y0+1=0恒成⽴,所以x0+2=0,-y0+1=0,解得x0=-2,y0=1,故直线l总过定点(-2,1).(2)直线l的⽅程为y=kx+2k+1,则直线l在y轴上的截距为2k+1,要使直线l不经过第四象限,则解得k的取值范围是[0,+∞).(3)依题意,直线l在x轴上的截距为-,在y轴上的截距为1+2k,所以A,B(0,1+2k).⼜-<0且1+2k>0,所以k>0.故S=|OA||OB|=×(1+2k)=≥(4+4)=4,当且仅当4k=,即k=时,取等号.故S的最⼩值为4,此时直线l的⽅程为x-2y+4=0.。
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课时分层训练(四十八) 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
A 组 基础达标
一、选择题
1．倾斜角为135°，在y 轴上的截距为－1的直线方程是( )
A ．x －y ＋1＝0
B ．x －y －1＝0
C ．x ＋y －1＝0
D ．x ＋y ＋1＝0
D [直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1，所以直线方程为y ＝－x －1，即x ＋y ＋1＝0.] 2．设直线ax ＋by ＋c ＝0的倾斜角为α，且sin α＋cos α＝0，则a ，b 满足( )
A ．a ＋b ＝1
B ．a －b ＝1
C ．a ＋b ＝0
D ．a －b ＝0
D [由sin α＋cos α＝0，得sin α
cos α＝－1，即tan α＝－1.
又因为tan α＝－a b ，所以－a b
＝－1，则a ＝b .]
3．直线l 沿x 轴负方向平移3个单位，再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么l 的斜率为( ) A ．－13
B ．－3 C.13
D ．3
A [结合图形(图略)可知选A.]
4．(2017·豫南九校联考)若θ是直线l 的倾斜角，且sin θ＋cos θ＝5
5
，则l 的斜率为( )
【导学号：79140264】
A ．－12
B ．－1
2或－2
C.1
2
或2 D ．－2
D [∵sin θ＋cos θ＝
55
① ∴(sin θ＋cos θ)2
＝1＋sin 2θ＝15
，
∴2sin θcos θ＝－45，∴(sin θ－cos θ)2
＝95，
易知sin θ＞0，cos θ＜0，
∴sin θ－cos θ＝35
5，②
由①②解得⎩⎪⎨
⎪⎧
sin θ＝25
5
，cos θ＝－5
5
，∴tan θ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.]
5．直线x －2y ＋b ＝0与两坐标轴围成的三角形的面积不大于1，那么b 的取值范围是( )
A ．[－2,2]
B ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
C ．[－2,0)∪(0,2]
D ．(－∞，＋∞)
C [令x ＝0，得y ＝b 2，令y ＝0，得x ＝－b ，所以所围三角形的面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪b 2|－b |＝14
b 2
，
所以14b 2≤1，所以b 2
≤4，又由题意知b ≠0，所以b ∈[－2,0)∪(0,2]．]
二、填空题
6．直线l 与两直线y ＝1，x －y －7＝0分别交于P ，Q 两点，线段PQ 中点是(1，－1)，则l 的斜率是________．
－2
3 [设P (m,1)，则Q (2－m ，－3)， ∴(2－m )＋3－7＝0，∴m ＝－2， ∴P (－2,1)， ∴k ＝1＋1－2－1＝－23
.]
7．已知直线l 过圆x 2
＋(y －3)2
＝4的圆心，且与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则l 的方程是________．
x －y ＋3＝0 [圆x 2＋(y －3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l 与直线x ＋y ＋1＝0
垂直，所以直线l 的斜率k ＝1.由点斜式得直线l ：y －3＝x －0，化简得x －y ＋3＝0.] 8．若直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3,3)，则其斜率的取值范围是________.
【导学号：79140265】
(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ [设直线l 的斜率为k ，则k ≠0，直线方程为y －2＝k (x －1)，
在x 轴上的截距为1－2k .令－3＜1－2k ＜3，解得k ＜－1或k ＞1
2.]
三、解答题
9．已知△ABC 的三个顶点分别为A (－3,0)，B (2,1)，C (－2,3)，求：
(1)BC 边所在直线的方程；
(2)BC 边上中线AD 所在直线的方程； (3)BC 边的垂直平分线DE 的方程．
[解] (1)直线BC 经过B (2,1)和C (－2,3)两点，由两点式得直线BC 的方程为y －1
3－1
＝
x －2
－2－2
，即x ＋2y －4＝0. (2)设BC 边的中点D 的坐标为(m ，n )， 则m ＝2－22＝0，n ＝1＋32
＝2.
BC 边的中线AD 所在直线过A (－3,0)，D (0,2)两点，由截距式得AD 所在直线的方程为
x
－3
＋y
2
＝1，即2x －3y ＋6＝0.
(3)由(1)知，直线BC 的斜率k 1＝－1
2，
则BC 边的垂直平分线DE 的斜率k 2＝2. 由(2)知，点D 的坐标为(0,2)． 由点斜式得直线DE 的方程为y －2＝2(x －0) 即2x －y ＋2＝0.
10．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R )．
(1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围.
【导学号：79140266】
[解] (1)当直线过原点时，在x 轴和y 轴上的截距为零， ∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0.
当直线不过原点时，截距存在且均不为0， ∴
a －2
a ＋1
＝a －2，即a ＋1＝1， ∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.
因此直线l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，
∴⎩
⎪⎨
⎪⎧
－(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
－(a ＋1)＝0，
a －2≤0，∴a ≤－1.
综上可知，a 的取值范围是a ≤－1.
B 组 能力提升
11．设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2且|PA |＝|PB |，若直线PA 的方程为x －y
＋1＝0，则直线PB 的方程为( ) A ．2x ＋y －7＝0 B ．x ＋y －5＝0 C ．2y －x －4＝0
D ．2x －y －1＝0
B [由条件得点A 的坐标为(－1,0)，点P 的坐标为(2,3)，因为|PA |＝|PB |，根据对称性可知，点B 的坐标为(5,0)，从而直线PB 的方程为
y －3－3
＝
x －2
5－2
，整理得x ＋y －5＝0.] 12．已知A (3,0)，B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.
【导学号：79140267】
3 [直线AB 的方程为x 3＋y
4
＝1.
∵动点P (x ，y )在直线AB 上，则x ＝3－3
4y ，
∴xy ＝3y －34y 2＝34(－y 2
＋4y )
＝
3
4
[]－(y －2)2＋4≤3， 即当P 点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫32，2时，xy 取最大值3.] 13．(2017·四川德阳中学期中)已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R )．
(1)证明：直线l 过定点；
(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；
(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S (O 为坐标原点)，求S 的最小值，并求此时直线l 的方程．
[解] (1)证明：直线l 的方程可化为k (x ＋2)＋(1－y )＝0，令⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋2＝0，
1－y ＝0，解得
⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝－2，
y ＝1，
∴无论k 取何值，直线l 必经过定点(－2,1)． (2)直线方程可化为y ＝kx ＋1＋2k ，当k ≠0时，
要使直线不经过第四象限，则必有⎩
⎪⎨
⎪⎧
k ＞0，1＋2k ≥0，
解得k ＞0；
当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意． 综上，k 的取值范围是k ≥0.
(3)依题意得A ⎝
⎛⎭
⎪
⎫－1＋2k k
，0，B (0,1＋2k )，
且⎩⎪⎨⎪⎧
－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，
解得k ＞0.
∴S ＝1
2·|OA |·|OB |
＝12·⎪⎪⎪⎪
⎪⎪－1＋2k k ·|1＋2k |
＝12·(1＋2k )2
k ＝12⎝
⎛
⎭⎪⎫4k ＋1k ＋4
≥1
2
×(2×2＋4)＝4， “＝”成立的条件是4k ＝1k ，此时k ＝1
2，∴S min ＝4，
此时l 的方程为x －2y ＋4＝0.。