西工大高三数学二模答案
陕西省西安市西工大附中高考数学二模试卷 理(含解析)
2016年陕西省西安市西工大附中高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y=3x2的焦点坐标是（）A． B． C． D．2．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A． B． C． D．3．下列命题中，假命题是（）A．“π是函数y=sinx的一个周期”或“2π是函数y=cosx的一个周期”B．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的充分不必要条件C．“若a≤b，则2a≤2b﹣1”的否命题D．“任意a∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内单调递增”的否定4．如图是一个有底的容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（）A． B． C． D．5．某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）A．30种 B．90种 C．150种 D．180种6．已知函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2015的值为（）A． B． C． D．7．设复数z=（x﹣1）+yi（x∈R，y≥0），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A． B． C． D．8．已知圆的方程为x2+（y﹣1）2=4，若过点的直线l与此圆交于A，B两点，圆心为C，则当∠ACB最小时，直线l的方程为（）A．4x﹣2y﹣3═0 B．x+2y﹣2═0 C．4x+2y﹣3═0 D．x﹣2y+2=09．对一名学生数学成绩统计了8次，第i次统计得到的数据为a i，具体如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8a i100 101 103 103 104 106 107 108在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）A．9 B．8 C．7 D．610．已知⊥，||=，||=t，t∈[，4]；若P是△ABC所在平面内一点，且=+，则的取值范围是（）A．B．C．[，12]D．[，13]11．已知定义在（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图象面积为S n，则S n=（）A．n B．2 C．2n D．12．已知数列{a n}满足a1=1，a2=，且a n+2﹣2a n+2=0，0∈N*，记T2n为数列{a n}的前2n项和，数列{b n}是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式（T2n+）•＜1成立的最小整数n 为（）A．7 B．6 C．5 D．4二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知b=c，sinA+sinC=2sinB，则cosA= ．14．已知集合，且（∁R B）∪A=R，则实数a的取值范围是．15．二项式的展开式中所有有理项的系数和等于（用数字作答）．16．已知点A（a，b）与点B（1，0）在直线3x﹣4y+10=0的两侧，给出下列说法：①3a﹣4b+10＞0；②当a＞0时，a+b有最小值，无最大值；③＞2；④当a＞0且a≠1，b＞0时，的取值范围为（﹣∞，﹣）∪（，+∞）．其中，所有正确说法的序号是．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣）﹣cos2x+a（a∈R，a为常数）．（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；（2）若函数f（x）的图象向左平移m（m＞0）个单位后，得到函数g（x）的图象关于y轴对称，求实数m的最小值．18．如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=CC1=2，AB=BC，D是BA1上一点，且AD⊥平面A1BC．（1）求证：BC⊥平面ABB1A1；（2）在棱BB1是否存在一点E，使平面AEC与平面ABB1A1的夹角等于60°，若存在，试确定E 点的位置，若不存在，请说明理由．19．第二届世界互联网大会将于2015年12月16日﹣18日在浙江乌镇进行，届时将有世界各国的互联网精英云集于此共商世界互联网的未来．现在人们的生活已经离不开互联网，网上购物已悄悄走进人们的生活，在刚刚过去的双十一，有4位好友相约：每个人通过执一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．（1）求这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率；（2）用ξ，η本别表示这4个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记X=ξη，求随机变量X分分布列与数学期望EX．20．设F1，F2是椭圆C：x2+2y2=2λ（λ＞0）的左、右焦点，P是椭圆上任意一点．（1）记∠F1PF2=θ，求证：cosθ≥0；（2）若F1（﹣1，0），点N（﹣2，0），已知椭圆C上的两个动点A，B满足=，当μ∈[，]时，求直线AB斜率的取值范围．21．已知函数f（x）=kxlnx（k≠0）有极小值﹣．（1）求实数k的值；（2）设实数a，b满足0＜a＜b．①计算： |lnx﹣ln|dx；②记①中计算结果G（a，b），求证： G（a，b）＜ln2．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以轴正半轴x为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．24．已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．2016年陕西省西安市西工大附中高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．抛物线y=3x2的焦点坐标是（）A． B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】先把方程化为标准方程，可知焦点在y轴上，进一步可以确定焦点坐标．【解答】解：化为标准方程为x，∴2p=，∴=，∴焦点坐标是（0，）．故选D2．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，问最小一份为（）A． B． C． D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d（d＞0），根据条件列出方程求出a和d的值，从而得最小一份的值．【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）；∵把100个面包分给5个人，∴（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，得a=20，∵使较大的三份之和的是较小的两份之和，∴（a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d），化简得24d=11a，∴d==，所以最小的1分为a﹣2d=20﹣2×=，故选：A．3．下列命题中，假命题是（）A．“π是函数y=sinx的一个周期”或“2π是函数y=cosx的一个周期”B．“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的充分不必要条件C．“若a≤b，则2a≤2b﹣1”的否命题D．“任意a∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内单调递增”的否定【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．根据复合命题的真假关系进行判断．B．根据函数单调性以及充分条件和必要条件的定义进行判断．C．求出命题的否命题，根据指数函数的单调性进行判断．D．根据含有量词的命题的否定进行判断．【解答】解：A．π是函数y=sinx的一个周期是假命题，2π是函数y=cosx的一个周期是真命题，则“π是函数y=sinx的一个周期”或“2π是函数y=cosx的一个周期”是真命题．B．当x≥1时，log2x≥0，则f（x）≥m，若函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点，则m＞0，则“m＞0”是“函数f（x）=m+log2x（x≥1）不存在零点”的充要条件，故B是假命题，C．“若a≤b，则2a≤2b﹣1”的否命题是，“若a＞b，则2a＞2b﹣1”为真命题．∵a＞b，∴2a＞2b＞2b﹣1，故C是真命题．D．“任意a∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内单调递增”是假命题，则“任意a∈（0，+∞），函数y=a x在定义域内单调递增”的否定是真命题，故选：B4．如图是一个有底的容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图象是（）A． B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】判断几何体的形状，根据几何体容器下面粗可得水面高度开始增加的慢，后来增加的快，上面细，然后上面先快后慢得出答案．【解答】解：由三视图，可知几何体是下部是已改圆台，上部是与下部相同倒放的圆台，因为圆台下面粗，上面细，水面高度开始增加的慢，后来增加的快，然后上面先快后慢．函数的图象是B．故选：B．5．某中学数学组来了5名即将毕业的大学生进行教学实习活动，现将他们分配到高一年级的1，2，3三个班实习，每班至少一名，最多两名，则不同的分配方案有（）A．30种 B．90种 C．150种 D．180种【考点】计数原理的应用．【分析】根据题意，先把5名大学生分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数，进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案．【解答】解：将5名大学生分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名大学生分成三组，一组1人，另两组都是2人，有=15种方法，再将3组分到3个班，共有15•A33=90种不同的分配方案，故选：B．6．已知函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，若数列的前n项和为S n，则S2015的值为（）A． B． C． D．【考点】数列的求和；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】f′（x）=2ax，由于函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，可得：f′（1）=2a=8，解得a=4．于是f（n）=4n2﹣1．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】解：f′（x）=2ax，∵函数f（x）=ax2﹣1的图象在点A（1，f（1））处的切线l与直线8x﹣y+2=0平行，∴f′（1）=2a=8，解得a=4．∴f（x）=4x2﹣1，f（n）=4n2﹣1．∴==．∴数列的前n项和S n=+…+==．则S2015==．故选：C．7．设复数z=（x﹣1）+yi（x∈R，y≥0），若|z|≤1，则y≥x的概率为（）A． B． C． D．【考点】复数求模；几何概型．【分析】由题意易得所求概率为弓形的面积与圆的面积之比，分别求面积可得．【解答】解：∵复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R）且|z|≤1，∴|z|=≤1，即（x﹣1）2+y2≤1，∴点（x，y）在（1，0）为圆心1为半径的圆及其内部，而y≥x表示直线y=x左上方的部分，（图中阴影弓形）∴所求概率为弓形的面积与圆的面积一般的之比，∴所求概率P==故选：B．8．已知圆的方程为x2+（y﹣1）2=4，若过点的直线l与此圆交于A，B 两点，圆心为C，则当∠ACB最小时，直线l的方程为（）A．4x﹣2y﹣3═0 B．x+2y﹣2═0 C．4x+2y﹣3═0 D．x﹣2y+2=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】利用当∠ACB最小时，CP和AB垂直，求出AB直线的斜率，用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：圆C：x2+（y﹣1）2=4的圆心为C（0，1），当∠ACB最小时，CP和AB垂直，∴AB直线的斜率等于=2，用点斜式写出直线l的方程为y﹣=2（x﹣1），∴当∠ACB最小时，直线l的方程为4x﹣2y﹣3=0，故选：A．9．对一名学生数学成绩统计了8次，第i次统计得到的数据为a i，具体如下表所示：i 1 2 3 4 5 6 7 8a i100 101 103 103 104 106 107 108在对上述统计数据的分析中，一部分计算见如图所示的算法流程图（其中是这8个数据的平均数），则输出的S的值是（）A．9 B．8 C．7 D．6【考点】程序框图．【分析】由题意及程序框图知，该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，由公式结合题设中的数据计算出方差，选出正确选项．【解答】解：该程序框图的功能是输出这8个数据的方差，因为这8个数据的平均数==104，故其方差 =7，输出的S的值为7．故选C10．已知⊥，||=，||=t，t∈[，4]；若P是△ABC所在平面内一点，且=+，则的取值范围是（）A．B．C．[，12]D．[，13]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算易得P的坐标，可化•为 17﹣（+4t），再利用基本不等式求得它的最大值，由端点处的函数值，可得最小值，进而得到所求范围．【解答】解：由题意建立如图所示的坐标系，可得A（0，0），B（，0），C（0，t），∵=+=（1，0）+（0，4）=（1，4），∴P（1，4），∴=（﹣1，﹣4），=（﹣1，t﹣4），∴•=﹣（﹣1）﹣4（t﹣4）=17﹣（+4t）≤17﹣2=13，当且仅当=4t，即t=∈[，4]，时，取等号，由t=4可得17﹣（16+）=，由t=可得17﹣（1+4）=12，∴•的最大值为13，最小值为．则的范围是[，13]．故选：D．11．已知定义在（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的图象面积为S n，则S n=（）A．n B．2 C．2n D．【考点】分段函数的应用．【分析】作出函数f（x）的图象，求出三角形的高，结合三角形的面积公式进行求解即可．【解答】解：作出函数f（x）在，此时三角形的高为f（）=4，则S1=×1×4=2，当n=2时，x∈，此时三角形的高为f（3）=f（）=4=2，则S2=×2×2=2，当n=3时，x∈，此时三角形的高为f（6）=f（3）=2=1，则S3=×4×1=2，综上当x∈（n∈N*）时，函数f（x）的最高点为23﹣n，与x轴围成的面积为S n=×23﹣n×2n ﹣1=2．故选：B．12．已知数列{a n}满足a1=1，a2=，且a n+2﹣2a n+2=0，0∈N*，记T2n为数列{a n}的前2n项和，数列{b n}是首项和公比都是2的等比数列，则使不等式（T2n+）•＜1成立的最小整数n为（）A．7 B．6 C．5 D．4【考点】数列与不等式的综合；等比数列的性质；数列递推式．【分析】根据数列的递推关系求出T2n以及数列{b n}的通项公式，然后根据不等式的性质进行求解即可．【解答】解：∵a n+2﹣2a n+2=0，∴当n为偶数时，可得（3+1）a n+2﹣2a n+2（1﹣1）=0，即，∴a2，a4，a6，…是以为首项，以为公比的等比数列；当n为奇数时，可得（3﹣1）a n+2﹣2a n+2（﹣1﹣1）=0，即a n+2﹣a n=2，∴a1，a3，a5，…是以a1=1为首项，以2为公差的等差数列，∴T2n=（a1+a3+…+a2n﹣1）+（a2+a4+…+a2n）==，∵数列{b n}是首项和公比都是2的等比数列，∴b n=2•2n﹣1=2n，则（T2n+）•＜1等价为（+）•＜1，即（n2+1）•＜1，即n2+1＜2n，作出函数y=n2+1与y=2n，的图象如图：则当n=1时，2=2，当n=2时，5＜4不成立，当n=3时，10＜8不成立，当n=4时，17＜16不成立，当n=5时，26＜32成立，当n≥5时，n2+1＜2n恒成立，故使不等式（T2n+）•＜1成立的最小整数n为5，故选：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，已知b=c，sinA+sinC=2sinB，则cosA= ．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】已知第二个等式利用正弦定理化简，把第一个等式代入用c表示出a，利用余弦定理表示出cosA，将表示出的a与b代入求出cosA的值即可．【解答】解：把sinA+sinC=2sinB，利用正弦定理化简得：a+c=2b，把b=c代入得：a+c=2c，即a=c，∴cosA===，故答案为：．14．已知集合，且（∁R B）∪A=R，则实数a的取值范围是∪时，求直线AB斜率的取值范围．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用当点P是椭圆的短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，此时cos∠F1PF2可取得最小，计算即可得证；（2）求得椭圆方程，由题意先设直线的方程为y=k（x+2）（k≠0），把直线方程与椭圆方程进行联立，利用韦达定理整体代换，借助于与=λ，得到k，λ的关系式，用λ表示k，有λ的范围再求出k的范围．【解答】解：（1）证明：椭圆C：x2+2y2=2λ（λ＞0），即为+=1，可得a=，b=，c=，则F1（﹣，0），F2（，0），当P为短轴的一个端点时，|PF1|=|PF2|=a=，|F1F2|=2c=2，即有|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2，∠F1PF2=90°，由椭圆的性质可得，当P为短轴的端点时，∠F1PF2取得最大值，即0°≤∠F1PF2≤90°，则cosθ≥0；（2）由=，可得A，B，N三点共线，而N（﹣2，0），设直线的方程为y=k（x+2），（k≠0），由F1（﹣1，0），可得c=1，即λ=1，可得椭圆的方程为x2+2y2=2，由，消去x得： y2﹣y+2=0，由△=（）2﹣8•＞0，解得0＜k＜．设A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理得y1+y2=，y1y2=①，又由=λ得：（x1+2，y1）=λ（x2+2，y2），∴y1=λy2②．将②式代入①式得：，消去y2得： =．设ϕ（λ）==λ++2，当λ∈[，]时，ϕ（λ）是减函数，∴≤ϕ（λ）≤，∴≤≤，解得≤k2≤，又由0＜k＜得≤k≤，∴直线AB的斜率的取值范围是[，]．21．已知函数f（x）=kxlnx（k≠0）有极小值﹣．（1）求实数k的值；（2）设实数a，b满足0＜a＜b．①计算： |lnx﹣ln|dx；②记①中计算结果G（a，b），求证： G（a，b）＜ln2．【考点】利用导数研究函数的极值；定积分．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论k的符号，求出函数的单调区间，结合函数有极小值，求出k的值即可；（2）①表示出|lnx﹣ln|的分段形式，求出其在上的积分即可；②问题转化为证明ln+ln＜﹣2ln2成立，令t=＞1，构造函数，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（1）f′（x）=k（lnx+1），k＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，f（x）在（0，）递减，在（，+∞）递增，∴f（x）极小值=f（）=﹣=﹣，解得：k=1，k＜0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，∴x=是极大值点，不合题意，故k=1；（2）①∵（xlnx）′=1+lnx，∵0＜a＜b，∴|lnx﹣ln|=，∴：|lnx﹣ln|dx=（ln﹣lnx）dx+（lnx﹣ln）dx=（1+ln）﹣（xlnx）+（xlnx）﹣（1+ln）=blnb﹣ln﹣ln+alna=alna+blnb﹣（a+b）ln，②由①知：G（a，b）=alna+blnb﹣（a+b）ln，∵0＜a＜b，∴要证成立，只需证明alna+blnb﹣（a+b）ln＜（b﹣a）ln2成立，只需证明alna+blnb﹣（a+b）ln（a+b）＜﹣2aln2成立，只需证明ln+ln＜﹣2ln2成立，只需证明ln+ln＜﹣2ln2成立，令t=＞1，只需证明ln+tln＜﹣2ln2（t＞1）成立，设g（t）=ln+tln＜﹣2ln2（t＞1），则g′（t）=﹣=lnt﹣ln（1+t）+1﹣=lnt﹣ln（1+t）＜0在t＞1恒成立，∴g（t）在（1，+∞）递减，∴g（t）＜g（1）=ln+ln=﹣2ln2，即ln+tln＜﹣2ln2，故．请考生从第22、23、24三题中任选一题作答.注意：只能做所选的题目.如果多做，则按所做的第一个题计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边上的中点，连接OD交圆O与点M．（1）求证：DE是圆O的切线；（2）求证：DE•BC=DM•AC+DM•AB．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【分析】（1）连接BE，OE，由已知得∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，从而△AEB∽△ABC，进而∠ABE=∠C，进而∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，由此能证明DE是圆O的切线．（2）DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），从而DM•AC+DM•AB=（AC﹣AB）•（AC+AB）=BC2，由此能证明DE•BC=DM•AC+DM•AB．【解答】证明：（1）连接BE，OE，∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∵∠ABC=90°=∠AEB，∠A=∠A，∴△AEB∽△ABC，∴∠ABE=∠C，∵BE⊥AC，D为BC的中点，∴DE=BD=DC，∴∠DEC=∠DCE=∠ABE=∠BEO，∠DBE=∠DEB，∴∠BEO+∠DEB=∠DCE+∠CBE=90°，∴∠OED=90°，∴DE是圆O的切线．（2）证明：∵O、D分别为AB、BC的中点，∴DM=OD﹣OM=（AC﹣AB），∴DM•AC+DM•AB=DM•（AC+AB）=（AC﹣AB）•（AC+AB）=（AC2﹣AB2）=BC2=DE•BC．∴DE•BC=DM•AC+DM•AB．23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），以原点O为极点，以轴正半轴x为极轴，圆C的极坐标方程为（Ⅰ）将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l与圆C交于A，B两点，点P的坐标为（2，0），试求的值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），把代入即可得出．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，利用根与系数的关系可得|t1﹣t2|=．利用==即可得出．【解答】解：（I）由，展开化为ρ2=（ρcosθ﹣ρsinθ），化为x2+y2=4x﹣4y，即（x﹣2）2+（y+2）2=8．（II）把直线l的参数方程是（t为参数）代入圆的方程可得：，∴t1+t2=﹣2，t1t2=﹣4＜0．|t1﹣t2|===2．∴=== =．24．已知不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m﹣m2对任意t∈R恒成立．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若（Ⅰ）中实数m的最大值为λ，且3x+4y+5z=λ，其中x，y，z∈R，求x2+y2+z2的最小值．【考点】二维形式的柯西不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）由条件利用绝对值三角不等式求得|t+3|﹣|t﹣2|的最大值，可得6m﹣m2≥5，由此求得实数m的取值范围（Ⅱ）由题意可得λ=5，3x+4y+5z=5，再根据（x2+y2+z2）（32+42+52）≥25，求得x2+y2+z2的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵|t+3|﹣|t﹣2|≤|（t+3）﹣（t﹣2）|=5，不等式|t+3|﹣|t﹣2|≤6m ﹣m2对任意t∈R恒成立，可得6m﹣m2≥5，求得1≤m≤5，或m≥5，即实数m的取值范围为{m|1≤m≤5}．（Ⅱ）由题意可得λ=5，3x+4y+5z=5．∵（x2+y2+z2）（32+42+52）≥（3x+4y+5z）2=25，当期仅当==时，等号成立，即x=，y=，z=时，取等号．∴50（x2+y2+z2）≥25，∴x2+y2+z2≥，即x2+y2+z2的最小值为，。
西北工业大学附属中学届高三下学期二模数学试题及答案(文)
2015年陕西省西安市西北工业大学附中高考二模（文）一.选择题：（5′×12=60′）1．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C．1 D． 3【考点】复数的基本概念．【专题】计算题．【分析】利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．【解析】解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数，∴a﹣3=0，解得a=3．故选D．【点评】熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．2．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．（1，2]【考点】交集及其运算；其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．【解析】解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．【点评】此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2015•西安校级二模）“a=0”是“直线l1：x+ay﹣a=0与l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0”垂直的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】直线与圆；简易逻辑．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行判断即可．【解析】解：若两直线垂直，则a﹣a（2a﹣3）=0，即a（4﹣2a）=0，解得a=0或a=2，故“a=0”是“直线l1：x+ay﹣a=0与l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0”垂直充分不必要条件，故选：B【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．4．（5分）（2015•西安校级二模）已知向量，满足||=||=1，•=﹣，则|+2|=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】平面向量及应用．【分析】运用好∴|+2|2=（+2）2，运用完全平方公式展开，代入求解即可．【解析】解：∵||=||=1，•=﹣，∴|+2|2=（+2）2=2+42+4•=5﹣2=3，∴|+2|=，【点评】本题考查了向量的模数量积，向量的乘法运用算，属于中档题，关键是利用好模与向量的乘法公式．5．（5分）（2015•西安校级二模）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7815 6572 0802 6314 0702 4369 9728 08053204 9234 4935 8200 3623 4869 6936 7481A．08 B．07 C．05 D．02【考点】随机事件．【专题】计算题；概率与统计．【分析】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，05符合条件，故可得结论．【解析】解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，05故第5个数为05．故选C．【点评】本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）（2015•西安校级二模）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【专题】函数的性质及应用．【分析】∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解析】解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．7．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8 B．C．D．8，8【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】立体几何．【分析】由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．【解析】解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=．所以该四棱锥侧面积S=，体积V=．故选B．【点评】本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．8．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【专题】概率与统计．【分析】设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．【解析】解：设AC=x，则BC=12﹣x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12﹣x）＞20∴x2﹣12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==．故选C．【点评】本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题．9．（5分）（2015•西安校级二模）圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．（0，]【考点】直线与圆的位置关系．【专题】计算题；直线与圆．【分析】由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的取值范围．【解析】解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当a=b=时取等号，故选：C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．10．（5分）（2015•西安校级二模）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x﹣[x]在R上为（）A．周期函数B．奇函数C．偶函数D．增函数【考点】函数单调性的判断与证明．【专题】函数的性质及应用．【分析】依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案【解析】解：∵f（x）=x﹣[x]，∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．故选：A【点评】本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题11．（5分）将函数y=f（x）cosx的图象向左移个单位后，再作关于x轴的对称变换得到的函数y=2cos2x﹣1的图象，则f（x）可以是（）A．﹣2cosx B．2cosx C．﹣2sinx D．2sinx【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦．【专题】常规题型．【分析】化简函数y=2cos2x﹣1，图象逆向平移到函数y=f（x）cosx的图象，求出函数f （x）的表达式即可．【解析】解：y=2cos2x﹣1=cos2x，其关于x轴的对称的函数为y=﹣cos2x，将其向右平移个单位后得到：y=﹣cos2（x﹣）=﹣sin2x=﹣2sinxcosx；所以f（x）=﹣2sinx．故选C【点评】本题是基础题，考查三角函数图象的平移，注意平移是顺序的逆运用的方向，以及自变量的系数，是容易出错的地方．12．（5分）（2015•西安校级二模）椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P 在C上且直线PA2的斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围．【解析】解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣2，0）、A2（2，0），设点P（a，b）（a≠±2），则=1…①，=，=；则==，将①式代入得=﹣，∵∈[﹣2，﹣1]，∴∈．故选：D．【点评】本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于中档题．二．填空题：（5′×4=20′）13．（5分）（2015•西安校级二模）定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则（2cos）⊗（2tan）的值为4．【考点】程序框图．【专题】图表型；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序框图可得其功能是求分段函数S=的值，从而由诱导公式化简已知后即可得解．【解析】解：模拟执行程序框图可得其功能是求分段函数S=的值，∵2cos=1＜2tan=2∴（2cos）⊗（2tan）=1⊗2=2（1+1）=4．故答案为：4．【点评】本题主要考查了分支结构的程序框图，考查了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．14．（5分）（2015•西安校级二模）已知不等式表示的平面区域为M，若直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点，则k的范围是[﹣，0]．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合．【分析】要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，再将其代入y=kx﹣3k中，求出y=kx﹣3k对应的k的端点值即可．【解析】解：满足约束条件的平面区域如图示：其中A（0，1），B（1，0），C（﹣1，0）．因为y=kx﹣3k过定点D（3，0）．所以当y=kx﹣3k过点A（0，1）时，得到k=﹣当y=kx﹣3k过点B（1，0）时，对应k=0．又因为直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点．所以﹣≤k≤0．故答案为：[﹣，0]．【点评】本题考查的知识点是简单线性规划的应用．我们在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15．（5分）△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2﹣c2=2b，且sinB=6cosA•sinC，则b的值为3．【考点】余弦定理；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】由条件利用正弦定理可得b=6c•cosA，再把余弦定理代入化简可得b=3×，再把a2﹣c2=2b代入化简可得b（b﹣3）=0，由此可得b的值．【解析】解：△ABC中，∵sinB=6cosA•sinC，∴由正弦定理可得b=6c•cosA=6c•=3×．∵a2﹣c2=2b，∴b=3•，化简可得b（b﹣3）=0，由此可得b=3，故答案为3．【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．16．（5分）（2015•西安校级二模）将数列{3n﹣1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第10组中的第一个数是345．【考点】归纳推理．【专题】规律型；归纳猜想型．【分析】根据前三个分组中的第一个数分别为1，3，27，可以归纳每一组的第一个数的规律，利用归纳推理进行归纳．【解析】解：根据分组的第一个数分别为1=30，3=31，27=33，可知指数的指数幂分别为0，1，3，6，设指数幂构成数列{a n}，则a1=0，a2=1，a3=3，满足a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…a10﹣a9=9，等式两边累加得，a10﹣a1=1+2+⋅⋅⋅+9=，即a10=45，所以第10组中的第一个数是345．故答案为：345．【点评】本题主要考查归纳推理的应用，观察数组第一个数的规律，是解决本题的关键．三.解答题：（12′×5+10′=70′）17．（12分）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．【考点】数列递推式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】计算题；综合题．【分析】（Ⅰ）根据x1=3，求得p，q的关系，进而根据通项x n=2n p+np（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．建立关于p的方求得p，进而求得q．（Ⅱ）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案．【解析】解：（Ⅰ）∵x1=3，∴2p+q=3，①又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，∴3+25p+5q=25p+8q，②联立①②求得p=1，q=1（Ⅱ）由（1）可知x n=2n+n∴S n=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=．【点评】本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．18．（12分）若函数f（x）=sin2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（1）求m的值．（2）若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的对称中心，且x0∈[0，]，求点A的坐标．【考点】正弦函数的定义域和值域；等差数列的通项公式；正弦函数的对称性．【专题】计算题．【分析】（1）利用二倍角公式将f（x）=sin2ax﹣sinaxcosax化为f（x）=﹣sin（2ax+）+，结合函数图象可得所以m为f（x）的最大值或最小值．（2）切点的横坐标依次成公差为的等差数列．得出f（x）的最小正周期为．从而a=2，确定出f（x）解析式．若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的对称中心则应有y0=0=f（x0），利用特殊角的三角函数值解此方程求出x0．【解析】解：（1）f（x）=（1﹣cos2ax）﹣sin2ax=﹣（sin2ax+cos2ax）+=﹣sin（2ax+）+因为y=f（x）的图象与y=m相切．所以m为f（x）的最大值或最小值．即m=或m=．（2）因为切点的横坐标依次成公差为的等差数列，所以f（x）的最小正周期为．由T==得a=2．∴f（x）=﹣sin（4x+）+．由sin（4x0+）=0得4x0+=kπ，即x0=﹣（k∈Z）．由0≤﹣≤得k=1或k=2，因此点A的坐标为（，）或（，）【点评】本题考查三角函数公式的应用（包括正用，逆用）、三角函数图象及性质（最值、周期、对称点）、特殊角的三角函数值．需有转化、计算、方程的思想和能力．19．（12分）（2015•西安校级二模）甲乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球，2个红球，由裁判有放回的摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．（Ⅰ）求游戏Ⅰ中甲赢的概率；（Ⅱ）求游戏Ⅱ中乙赢的概率；并比较这两种游戏哪种游戏更公平？试说明理由．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】概率与统计．【分析】（Ⅰ）列出甲赢包含基本事件总数，所有基本事件数目，即可求解游戏Ⅰ中甲赢的概率．（Ⅱ）设4个白球为a，b，c，d，2个红球为A，B，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球基本事件有6*6=36种，其中乙赢包含16种基本事件，求出概率，即可判断游戏的公平程度．【解析】解：（Ⅰ）∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球基本事件有5*5=25种，其中甲赢包含（1，1）（1，3）（1，5）（3，3）（3，5）（5，5）（3，1）（5，1）（5，3）（2，2）（2，4）（4，4）（4，2）13种基本事件，∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为：P=…..…..（5分）（Ⅱ）设4个白球为a，b，c，d，2个红球为A，B，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球基本事件有6*6=36种，其中乙赢包含（a，A），（b，A），（c，A）（d，A）（a，B）（b，B）（c，B）（d，B）（A，a）（A，b）（A，c）（A，d）（B，a）（B，b）（B，c）（B，d）16种基本事件，∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为：P’=…．（10分）∵．∴游戏Ⅰ更公平…（12分）【点评】本题考查古典概型概率的求法，基本知识的考查．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【考点】平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】计算题；证明题．【分析】（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解析】证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．21．（12分）（2015•西安校级二模）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（1）若b=﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【专题】综合题．【分析】（1）当b=﹣12时令由得x=2则可判断出当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增故f（x）在[1，3]的最小值在x=2时取得．（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即使在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x2+2x+b=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得解之求b的范围．【解析】解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+∞）b=﹣12时，由，得x=2（x=3舍去），当x∈[1，2）时f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（2）=4﹣12ln3（2）由题意在（﹣1，+∞）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x2+2x+b，则，解之得【点评】本题第一问较基础只需判断f（x）在定义域的单调性即可求出最小值．而第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题利用数形结合的思想转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x2+2x+b=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根此时可利用一元二次函数根的分布进行求解．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．【考点】弦切角；相似三角形的性质．【专题】证明题．【分析】（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC 中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．【解析】解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C．又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，∴∠ADE=∠AED．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，∵∠APC=∠BPA，∵AC=AP，∴∠APC=∠C∴∠APC=∠C=∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BPA中∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，∴△APC∽△BPA．∴．∴．…（10分）【点评】本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．【选修4-4：极坐标系与参数方程】23．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】计算题．【分析】（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．【解析】解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）【点评】本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．【选修4-5：不等式选讲】24．选修4﹣5：不等式选讲设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M．（Ⅰ）试比较ab+1与a+b的大小；（Ⅱ）设maxA表示数集A中的最大数，且，求h的范围．【考点】绝对值不等式的解法；不等式比较大小．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（1）先解不等式得出其解集M，再利用作差法比较大小即可；（2）不妨设0＜a≤b＜1，先找出其最大值，进而即可求出其范围．【解析】解：由不等式|2x﹣1|＜1化为﹣1＜2x﹣1＜1解得0＜x＜1，∴原不等式的解集M={x|0＜x＜1}，（Ⅰ）∵a，b∈M，∴0＜a＜1，0＜b＜1．∴（ab+1）﹣（a+b）=（1﹣a）（1﹣b）＞0，∴ab+1＞a+b．（Ⅱ）∵a，b∈M，∴0＜a＜1，0＜b＜1．不妨设0＜a≤b＜1，则，∴；．故最大，即＞2．∴h∈（2，+∞）．【点评】熟练掌握绝对值不等式的解法、作差法比较数的大小及不等式的基本性质是解题的关键．。
陕西省西北工业大学附属中学高三数学下学期二模考试 文(A卷)(含解析)新人教A版
2015年陕西省西安市西北工业大学附中高考数学二模试卷（文科）一.选择题：（5′×12=60′）1．（5分）设i是虚数单位，若复数a﹣（a∈R）是纯虚数，则a的值为（）A．﹣3 B．﹣1 C． 1 D．3【考点】：复数的基本概念．【专题】：计算题．【分析】：利用复数的运算法则把a﹣（a∈R）可以化为（a﹣3）﹣i，再利用纯虚数的定义即可得到a．【解析】：解：∵=（a﹣3）﹣i是纯虚数，∴a﹣3=0，解得a=3．故选D．【点评】：熟练掌握复数的运算法则和纯虚数的定义是解题的关键．2．（5分）已知集合A={x|0＜log4x＜1}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）A．（0，1）B．（0，2] C．（1，2）D．（1，2]【考点】：交集及其运算；其他不等式的解法．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：求出集合A中其他不等式的解集，确定出A，找出A与B的公共部分即可求出交集．【解析】：解：由A中的不等式变形得：log41＜log4x＜log44，解得：1＜x＜4，即A=（1，4），∵B=（﹣∞，2]，∴A∩B=（1，2]．故选D【点评】：此题考查了交集及其运算，以及其他不等式的解法，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（5分）（2015•西安校级二模）“a=0”是“直线l1：x+ay﹣a=0与l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0”垂直的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】：必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】：直线与圆；简易逻辑．【分析】：根据充分条件和必要条件的定义结合直线垂直的等价条件进行判断即可．【解析】：解：若两直线垂直，则a﹣a（2a﹣3）=0，即a（4﹣2a）=0，解得a=0或a=2，故“a=0”是“直线l1：x+ay﹣a=0与l2：ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0”垂直充分不必要条件，故选：B【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．4．（5分）（2015•西安校级二模）已知向量，满足||=||=1，•=﹣，则|+2|=（）A．B．C．D．【考点】：平面向量数量积的运算．【专题】：平面向量及应用．【分析】：运用好∴|+2|2=（+2）2，运用完全平方公式展开，代入求解即可．【解析】：解：∵||=||=1，•=﹣，∴|+2|2=（+2）2=2+42+4•=5﹣2=3，∴|+2|=，故选：A【点评】：本题考查了向量的模数量积，向量的乘法运用算，属于中档题，关键是利用好模与向量的乘法公式．5．（5分）（2015•西安校级二模）总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为（）7815 6572 0802 6314 0702 4369 9728 08053204 9234 4935 8200 3623 4869 6936 7481A．08 B．07 C．05 D．02【考点】：随机事件．【专题】：计算题；概率与统计．【分析】：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，依次为65，72，08，02，63，14，07，02，43，69，97，28，01，98，…，其中08，02，14，07，05符合条件，故可得结论．【解析】：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，05故第5个数为05．故选C．【点评】：本题主要考查简单随机抽样．在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的．6．（5分）（2015•西安校级二模）函数f（x）=ln（x2+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】：函数的图象．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，函数的图象应在x轴的上方，在令x取特殊值，选出答案．【解析】：解：∵x2+1≥1，又y=lnx在（0，+∞）单调递增，∴y=ln（x2+1）≥ln1=0，∴函数的图象应在x轴的上方，又f（0）=ln（0+1）=ln1=0，∴图象过原点，综上只有A符合．故选：A【点评】：对于函数的选择题，从特殊值、函数的性质入手，往往事半功倍，本题属于低档题．7．（5分）一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（）A．4，8 B．C．D．8，8【考点】：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：立体几何．【分析】：由题意可知原四棱锥为正四棱锥，由四棱锥的主视图得到四棱锥的底面边长和高，则其侧面积和体积可求．【解析】：解：因为四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，所以该四棱锥为正四棱锥，其主视图为原图形中的三角形PEF，如图，由该四棱锥的主视图可知四棱锥的底面边长AB=2，高PO=2，则四棱锥的斜高PE=．所以该四棱锥侧面积S=，体积V=．故选B．【点评】：本题考查了棱锥的体积，考查了三视图，解答的关键是能够由三视图得到原图形，是基础题．8．（5分）在长为12cm的线段AB上任取一点C．现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB 的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为（）A．B．C．D．【考点】：几何概型．【专题】：概率与统计．【分析】：设AC=x，则BC=12﹣x，由矩形的面积S=x（12﹣x）＞20可求x的范围，利用几何概率的求解公式可求．【解析】：解：设AC=x，则BC=12﹣x（0＜x＜12）矩形的面积S=x（12﹣x）＞20∴x2﹣12x+20＜0∴2＜x＜10由几何概率的求解公式可得，矩形面积大于20cm2的概率P==．故选C．【点评】：本题主要考查了二次不等式的解法，与区间长度有关的几何概率的求解公式的应用，属于基础试题．9．（5分）（2015•西安校级二模）圆x2+y2+2x﹣4y+1=0关于直线2ax﹣by+2=0（a，b∈R）对称，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．（0，]【考点】：直线与圆的位置关系．【专题】：计算题；直线与圆．【分析】：由题意知，直线2ax﹣by+2=0经过圆的圆心（﹣1，2），可得a+b=1，再利用基本不等式求得ab的取值范围．【解析】：解：由题意可得，直线2ax﹣by+2=0经过圆x2+y2+2x﹣4y+1=0的圆心（﹣1，2），故有﹣2a﹣2b+2=0，即a+b=1，故1=a+b≥2，求得ab≤，当且仅当a=b=时取等号，故选：C．【点评】：本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．10．（5分）（2015•西安校级二模）x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，则函数f（x）=x ﹣[x]在R上为（）A．周期函数B．奇函数C．偶函数D．增函数【考点】：函数单调性的判断与证明．【专题】：函数的性质及应用．【分析】：依题意，可求得f（x+1）=f（x），由函数的周期性可得答案【解析】：解：∵f（x）=x﹣[x]，∴f（x+1）=（x+1）﹣[x+1]=x+1﹣[x]﹣1=x﹣[x]=f（x），∴f（x）=x﹣[x]在R上为周期是1的函数．故选：A【点评】：本题考查函数的周期性，理解题意，得到f（x+1）=f（x）是关键，属于基础题11．（5分）将函数y=f（x）cosx的图象向左移个单位后，再作关于x轴的对称变换得到的函数y=2cos2x﹣1的图象，则f（x）可以是（）A．﹣2cosx B．2cosx C．﹣2sinx D．2sinx【考点】：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；二倍角的余弦．【专题】：常规题型．【分析】：化简函数y=2cos2x﹣1，图象逆向平移到函数y=f（x）cosx的图象，求出函数f（x）的表达式即可．【解析】：解：y=2cos2x﹣1=cos2x，其关于x轴的对称的函数为y=﹣cos2x，将其向右平移个单位后得到：y=﹣cos2（x﹣）=﹣sin2x=﹣2sinxcosx；所以f（x）=﹣2sinx．故选C【点评】：本题是基础题，考查三角函数图象的平移，注意平移是顺序的逆运用的方向，以及自变量的系数，是容易出错的地方．12．（5分）（2015•西安校级二模）椭圆C：=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P在C 上且直线PA2的斜率的取值范围是[﹣2，﹣1]，那么直线PA1斜率的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】：椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的关系．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：由题意求A1、A2的坐标，设出点P的坐标，代入求斜率，进而求PA1斜率的取值范围．【解析】：解：由椭圆的标准方程可知，左右顶点分别为A1（﹣2，0）、A2（2，0），设点P（a，b）（a≠±2），则=1…①，=，=；则==，将①式代入得=﹣，∵∈[﹣2，﹣1]，∴∈．故选：D．【点评】：本题考查了圆锥曲线的简单性质应用，同时考查了直线的斜率公式及学生的化简能力，属于中档题．二．填空题：（5′×4=20′）13．（5分）（2015•西安校级二模）定义运算a⊗b为执行如图所示的程序框图输出的S值，则（2cos）⊗（2tan）的值为4．【考点】：程序框图．【专题】：图表型；算法和程序框图．【分析】：模拟执行程序框图可得其功能是求分段函数S=的值，从而由诱导公式化简已知后即可得解．【解析】：解：模拟执行程序框图可得其功能是求分段函数S=的值，∵2cos=1＜2tan=2∴（2cos）⊗（2tan）=1⊗2=2（1+1）=4．故答案为：4．【点评】：本题主要考查了分支结构的程序框图，考查了诱导公式的应用，属于基本知识的考查．14．（5分）（2015•西安校级二模）已知不等式表示的平面区域为M，若直线y=kx ﹣3k与平面区域M有公共点，则k的范围是[﹣，0]．【考点】：简单线性规划．【专题】：数形结合．【分析】：要先画出满足约束条件的平面区域，然后分析平面区域里各个角点，再将其代入y=kx﹣3k中，求出y=kx﹣3k对应的k的端点值即可．【解析】：解：满足约束条件的平面区域如图示：其中A（0，1），B（1，0），C（﹣1，0）．因为y=kx﹣3k过定点D（3，0）．所以当y=kx﹣3k过点A（0，1）时，得到k=﹣当y=kx﹣3k过点B（1，0）时，对应k=0．又因为直线y=kx﹣3k与平面区域M有公共点．所以﹣≤k≤0．故答案为：[﹣，0]．【点评】：本题考查的知识点是简单线性规划的应用．我们在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．15．（5分）△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若a2﹣c2=2b，且sinB=6cosA•sinC，则b的值为3．【考点】：余弦定理；正弦定理．【专题】：解三角形．【分析】：由条件利用正弦定理可得b=6c•cosA，再把余弦定理代入化简可得b=3×，再把a2﹣c2=2b代入化简可得b（b﹣3）=0，由此可得b的值．【解析】：解：△ABC中，∵sinB=6cosA•sinC，∴由正弦定理可得b=6c•cosA=6c•=3×．∵a2﹣c2=2b，∴b=3•，化简可得b（b﹣3）=0，由此可得b=3，故答案为3．【点评】：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于中档题．16．（5分）（2015•西安校级二模）将数列{3n﹣1}按“第n组有n个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第10组中的第一个数是345．【考点】：归纳推理．【专题】：规律型；归纳猜想型．【分析】：根据前三个分组中的第一个数分别为1，3，27，可以归纳每一组的第一个数的规律，利用归纳推理进行归纳．【解析】：解：根据分组的第一个数分别为1=30，3=31，27=33，可知指数的指数幂分别为0，1，3，6，设指数幂构成数列{an}，则a1=0，a2=1，a3=3，满足a2﹣a1=1，a3﹣a2=2，a4﹣a3=3，…a10﹣a9=9，等式两边累加得，a10﹣a1=1+2+⋅⋅⋅+9=，即a10=45，所以第10组中的第一个数是345．故答案为：345．【点评】：本题主要考查归纳推理的应用，观察数组第一个数的规律，是解决本题的关键．三.解答题：（12′×5+10′=70′）17．（12分）已知数列{xn}的首项x1=3，通项xn=2np+nq（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{xn}前n项和Sn的公式．【考点】：数列递推式；等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等差数列的性质．【专题】：计算题；综合题．【分析】：（Ⅰ）根据x1=3，求得p，q的关系，进而根据通项xn=2np+np（n∈N*，p，q为常数），且x1，x4，x5成等差数列．建立关于p的方求得p，进而求得q．（Ⅱ）进而根据（1）中求得数列的首项和公差，利用等差数列的求和公式求得答案．【解析】：解：（Ⅰ）∵x1=3，∴2p+q=3，①又x4=24p+4q，x5=25p+5q，且x1+x5=2x4，∴3+25p+5q=25p+8q，②联立①②求得p=1，q=1（Ⅱ）由（1）可知xn=2n+n∴Sn=（2+22+…+2n）+（1+2+…+n）=．【点评】：本题主要考查等差数列和等比数列的基本知识，考查运算及推理能力．18．（12分）若函数f（x）=sin2ax﹣sinaxcosax（a＞0）的图象与直线y=m相切，并且切点的横坐标依次成公差为的等差数列．（1）求m的值．（2）若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的对称中心，且x0∈[0，]，求点A的坐标．【考点】：正弦函数的定义域和值域；等差数列的通项公式；正弦函数的对称性．【专题】：计算题．【分析】：（1）利用二倍角公式将f（x）=sin2ax﹣sinaxcosax化为f（x）=﹣sin（2ax+）+，结合函数图象可得所以m为f（x）的最大值或最小值．（2）切点的横坐标依次成公差为的等差数列．得出f（x）的最小正周期为．从而a=2，确定出f（x）解析式．若点A（x0，y0）是y=f（x）图象的对称中心则应有y0=0=f（x0），利用特殊角的三角函数值解此方程求出x0．【解析】：解：（1）f（x）=（1﹣cos2ax）﹣sin2ax=﹣（sin2ax+cos2ax）+=﹣sin（2ax+）+因为y=f（x）的图象与y=m相切．所以m为f（x）的最大值或最小值．即m=或m=．（2）因为切点的横坐标依次成公差为的等差数列，所以f（x）的最小正周期为．由T==得a=2．∴f（x）=﹣sin（4x+）+．由sin（4x0+）=0得4x0+=kπ，即x0=﹣（k∈Z）．由0≤﹣≤得k=1或k=2，因此点A的坐标为（，）或（，）【点评】：本题考查三角函数公式的应用（包括正用，逆用）、三角函数图象及性质（最值、周期、对称点）、特殊角的三角函数值．需有转化、计算、方程的思想和能力．19．（12分）（2015•西安校级二模）甲乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球，编号分别为1，2，3，4，5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢．游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球，2个红球，由裁判有放回的摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢．（Ⅰ）求游戏Ⅰ中甲赢的概率；（Ⅱ）求游戏Ⅱ中乙赢的概率；并比较这两种游戏哪种游戏更公平？试说明理由．【考点】：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【专题】：概率与统计．【分析】：（Ⅰ）列出甲赢包含基本事件总数，所有基本事件数目，即可求解游戏Ⅰ中甲赢的概率．（Ⅱ）设4个白球为a，b，c，d，2个红球为A，B，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球基本事件有6*6=36种，其中乙赢包含16种基本事件，求出概率，即可判断游戏的公平程度．【解析】：解：（Ⅰ）∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球基本事件有5*5=25种，其中甲赢包含（1，1）（1，3）（1，5）（3，3）（3，5）（5，5）（3，1）（5，1）（5，3）（2，2）（2，4）（4，4）（4，2）13种基本事件，∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为：P=…..…..（5分）（Ⅱ）设4个白球为a，b，c，d，2个红球为A，B，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球基本事件有6*6=36种，其中乙赢包含（a，A），（b，A），（c，A）（d，A）（a，B）（b，B）（c，B）（d，B）（A，a）（A，b）（A，c）（A，d）（B，a）（B，b）（B，c）（B，d）16种基本事件，∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为：P’=…．（10分）∵．∴游戏Ⅰ更公平…（12分）【点评】：本题考查古典概型概率的求法，基本知识的考查．20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB=90°，AC=BC=AA1，D 是棱AA1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC1⊥平面BDC（Ⅱ）平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．【考点】：平面与平面垂直的判定；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】：计算题；证明题．【分析】：（Ⅰ）由题意易证DC1⊥平面BDC，再由面面垂直的判定定理即可证得平面BDC1⊥平面BDC；（Ⅱ）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，易求V1=××1×1=，三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，于是可得（V﹣V1）：V1=1：1，从而可得答案．【解析】：证明：（1）由题设知BC⊥CC1，BC⊥AC，CC1∩AC=C，∴BC⊥平面ACC1A1，又DC1⊂平面ACC1A1，∴DC1⊥BC．由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°，∴∠CDC1=90°，即DC1⊥DC，又DC∩BC=C，∴DC1⊥平面BDC，又DC1⊂平面BDC1，∴平面BDC1⊥平面BDC；（2）设棱锥B﹣DACC1的体积为V1，AC=1，由题意得V1=××1×1=，又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1，∴（V﹣V1）：V1=1：1，∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1：1．【点评】：本题考查平面与平面垂直的判定，着重考查线面垂直的判定定理的应用与棱柱、棱锥的体积，考查分析，表达与运算能力，属于中档题．21．（12分）（2015•西安校级二模）设函数f（x）=x2+bln（x+1），其中b≠0．（1）若b=﹣12，求f（x）在[1，3]的最小值；（2）如果f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b的取值范围．【考点】：利用导数求闭区间上函数的最值；函数在某点取得极值的条件．【专题】：综合题．【分析】：（1）当b=﹣12时令由得x=2则可判断出当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增故f（x）在[1，3]的最小值在x=2时取得．（2）要使f（x）在定义域内既有极大值又有极小值即f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即使在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x2+2x+b=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根这可以利用一元二次函数根的分布可得解之求b的范围．【解析】：解：（1）由题意知，f（x）的定义域为（1，+∞）b=﹣12时，由，得x=2（x=3舍去），当x∈[1，2）时f′（x）＜0，当x∈（2，3]时，f′（x）＞0，所以当x∈[1，2）时，f（x）单调递减；当x∈（2，3]时，f（x）单调递增，所以f（x）min=f（2）=4﹣12ln3（2）由题意在（﹣1，+∞）有两个不等实根，即2x2+2x+b=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根，设g（x）=2x2+2x+b，则，解之得【点评】：本题第一问较基础只需判断f（x）在定义域的单调性即可求出最小值．而第二问将f（x）在定义域内既有极大值又有极小值问题利用数形结合的思想转化为f（x）在定义域内与X轴有三个不同的交点即在（﹣1，+∞）有两个不等实根即2x2+2x+b=0在（﹣1，+∞）有两个不等实根此时可利用一元二次函数根的分布进行求解．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分．【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；（Ⅱ）若AC=AP，求的值．【考点】：弦切角；相似三角形的性质．【专题】：证明题．【分析】：（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得．利用直角三角形中正切的定义，得到，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而．【解析】：解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，∴∠BAP=∠C．又∵∠APD=∠CPE，∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，∴∠ADE=∠AED．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，∵∠APC=∠BPA，∵AC=AP，∴∠APC=∠C∴∠APC=∠C=∠BAP．由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．∵BC是圆O的直径，∴∠BAC=90°．∴∠APC+∠C+∠BAP=180°﹣90°=90°．∴．在Rt△ABC中，，即，∴．∵在△APC与△BPA中∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，∴△APC∽△BPA．∴．∴．…（10分）【点评】：本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．【选修4-4：极坐标系与参数方程】23．已知直线l的参数方程是（t为参数），圆C的极坐标方程为ρ=2cos（θ+）．（Ⅰ）求圆心C的直角坐标；（Ⅱ）由直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．【考点】：简单曲线的极坐标方程．【专题】：计算题．【分析】：（I）先利用三角函数的和角公式展开圆C的极坐标方程的右式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的直角坐标方程，从而得到圆心C的直角坐标．（II）欲求切线长的最小值，转化为求直线l上的点到圆心的距离的最小值，故先在直角坐标系中算出直线l上的点到圆心的距离的最小值，再利用直角三角形中边的关系求出切线长的最小值即可．【解析】：解：（I）∵，∴，∴圆C的直角坐标方程为，即，∴圆心直角坐标为．（5分）（II）∵直线l的普通方程为，圆心C到直线l距离是，∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是（10分）【点评】：本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化．【选修4-5：不等式选讲】24．选修4﹣5：不等式选讲设不等式|2x﹣1|＜1的解集为M，且a∈M，b∈M．（Ⅰ）试比较ab+1与a+b的大小；（Ⅱ）设maxA表示数集A中的最大数，且，求h的范围．【考点】：绝对值不等式的解法；不等式比较大小．【专题】：不等式的解法及应用．【分析】：（1）先解不等式得出其解集M，再利用作差法比较大小即可；（2）不妨设0＜a≤b＜1，先找出其最大值，进而即可求出其范围．【解析】：解：由不等式|2x﹣1|＜1化为﹣1＜2x﹣1＜1解得0＜x＜1，∴原不等式的解集M={x|0＜x＜1}，（Ⅰ）∵a，b∈M，∴0＜a＜1，0＜b＜1．∴（ab+1）﹣（a+b）=（1﹣a）（1﹣b）＞0，∴ab+1＞a+b．（Ⅱ）∵a，b∈M，∴0＜a＜1，0＜b＜1．不妨设0＜a≤b＜1，则，∴；．故最大，即＞2．∴h∈（2，+∞）．【点评】：熟练掌握绝对值不等式的解法、作差法比较数的大小及不等式的基本性质是解题的关键．。
2018届陕西省西北工业大学附属中学高三下学期二模考试
2018届第二次模拟考试 ------文科数学试题（A 卷） 命题 武老师 审题 史老师 （满分150分，考试时间120分钟）第Ⅰ卷（共60分）一.选择题：(5′×12=60′)1.设i 是虚数单位，若复数10()3a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（ ）A.-3B. -1 C ．3 D ．1 2.已知集合A ={x|0<log 4x <1}，B ={x|x ≤2}，则A∩B=( )A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12， 3.“a =0”是“直线l 1：x+ay -a=0与l 2：ax -(2a -3)y -1=0”垂直的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知向量b a ,满足21,1||||-=⋅==b a b a ，则=+|2|b a （ ）A ．2B ．3C ．5D ．75.总体编号为01，02，…19，20的20个个体组成．利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为( )A.08B.07C.02D.016.函数)1ln()(2+=x x f 的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ． 7.一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正（主）视图如右图所示该四棱锥侧面积和体积分别是（ ） A ．B ． 83C ． 81),3+ D ． 8,88.在长为12cm 的线段AB 上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB 的长，则该矩形面积大于20cm 2的概率为（ ）A ． 16B ．13C ． 23D ． 459.圆()R b a by ax y x y x ∈=+-=+-++,022014222关于直线对称， 则ab 的取值范围是（ ）A.⎥⎦⎤ ⎝⎛∞-41, B. ⎥⎦⎤ ⎝⎛41,0 C.⎪⎭⎫⎝⎛-0,41 D. ⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,10.x 为实数，[]x 表示不超过x 的最大整数，则函数()[]f x x x =-在R 上为 ( )A ．奇函数B ．偶函数 C．增函数D ． 周期函数11.将函数()x x f y cos =的图像向左平移4π个单位后，再做关于x轴的对称变换得到函数1cos 22-=x y 的图像，则()x f 可以是( )A.x cos 2-B. x sin 2-C. x cos 2D. x sin 212. 椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是( )A ．1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， D ．314⎡⎤⎢⎥⎣⎦，第Ⅱ卷（共90分）二．填空题：(5′×4=20′)13.定义运算a b ⊗为执行如图所示的程序框图输出的S 值，则552cos 2tan 34ππ⎛⎫⎛⎫⊗ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为14.已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+0,1,1y y x y x 所表示的平面区域为D,若直线y=kx -3k与平面区域D 有公共点，则k 的取值范围为 15.ABC∆中，a,b,c 分别是角A 、B 、C 的对边，若C A B b c a sin cos 6sin ,222⋅==-且,则b=16. 将数列{}13n -按“第n 组有n 个数”的规则分组如下：（1），（3，9），（27，81，243），…，则第10组中的第一个数是_____________三.解答题: （12′×5+10′=70′）17. 已知数列{}n x 的首项31=x ，通项()2,,n n x p qn n N p q *=+∈为常数， 且541,,x x x 成等差数列，求： (Ⅰ)p,q 的值；(Ⅱ)数列{}n x 前n 项和n S 的公式.18. 若函数()()2sin sin cos 0f x ax ax ax a =->的图像与直线y=m (m 为常数)相切，并且切点的横坐标依次成等差数列，且公差为2π.(Ⅰ)求m 的值；(Ⅱ)若点A ()00,y x 是y=f(x)图像的对称中心，且⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,00πx ，求点A 的坐标.19. 甲乙两人进行两种游戏，两种游戏规则如下：游戏Ⅰ：口袋中有质地、大小完全相同的5个球， 编号分别为1,2,3,4,5，甲先摸出一个球，记下编号，放回后乙再摸一个球，记下编号，如果两个编号的和为偶数算甲赢，否则算乙赢.游戏Ⅱ：口袋中有质地、大小完全相同的6个球，其中4个白球，2个红球，由裁判有放回的摸两次球，即第一次摸出记下颜色后放回再摸第二次，摸出两球同色算甲赢，摸出两球不同色算乙赢.（Ⅰ）求游戏Ⅰ中甲赢的概率；（Ⅱ）求游戏Ⅱ中乙赢的概率；并比较这两种游戏哪种游戏更公平？试说明理由. 20. 18．如图:三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC=121AA ，D 是侧棱AA 1的中点．（Ⅰ）证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．21. 设函数)1ln()(2++=x b x x f ，其中0≠b . （Ⅰ）若12b =-，求)(x f 在[]3,1的最小值；（Ⅱ）如果()f x 在定义域内既有极大值又有极小值，求实数b 的取值范围；请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答. 注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分.22．选修4—1：几何证明选讲如图，已知PA 与圆O 相切于点A ，经过点O 的割线PBC 交圆O于点B 、C ，∠APC 的平分线分别交AB 、AC 于P点D 、E ，（Ⅰ）证明：∠ADE =∠AED ；（Ⅱ）若AC=AP ，求PCPA的值．23．选修4－4：极坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程是x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩(t 是参数)，圆C 的极坐标方程为ρ=2cos(θ+4)．（Ⅰ）求圆心C 的直角坐标；（Ⅱ）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．24．选修4－5：不等式选讲设不等式112<-x 的解集为M , 且M b M a ∈∈,. (Ⅰ) 试比较1+ab 与b a +的大小;(Ⅱ) 设A max 表示数集A 中的最大数, 且⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=b abb a ah 2,,2max , 求h 的范围.2018届第二次模拟考试数学（文）参考答案一、选择题：(5′×12=60′) （A 卷） CDABD ABCAD BB （B 卷） DCBAC ADBCA CD 二、填空题：(5′×4=20′) 13.4； 14.031≤≤-k ； 15.3；16. 345；三、解答题：（12′×5+10′=70′） 17.解：(Ⅰ)由31=x 得2p+q=3,又∵45155442,52,42x x x q p x q p x =++=+=且 ∴qp q p 8252355+=++，解得p=1,q=1 ………..………………………….…..6分(Ⅱ)由(Ⅰ)得n x n n+=2∴()2122...3212...222132++-=+++++++++=+n n n S n n n……….……….12分18.解：(Ⅰ)∵()⎪⎭⎫⎝⎛+-=42sin 2221πax x f …………….………………………….……3分 ∴2221±=m ……………………………………………………………………..5分(Ⅱ) ∵切点的横坐标依次成等差数列，且公差为2π，∴a a T πππ===2222=⇒a ()⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=44sin 2221πx x f ……………………………....7分 ∵ 点A ()00,y x 是y=f(x)图像的对称中心 ∴1644400ππππ-=⇒=+k x k x ….9分∵⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,00πx∴1671630ππ或=x⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛2116721163，或，ππA ……………………….12分19.解：（Ⅰ）∵游戏Ⅰ中有放回地依次摸出两球基本事件有5*5=25种，其中甲赢包含（1,1）（1,3）（1,5）（3,3）（3,5）（5,5）（3,1）（5,1）（5,3）（2,2）（2,4）（4,4）（4, 2）13种基本事件， ∴游戏Ⅰ中甲赢的概率为P=2513 …………………………..……………..5分 （Ⅱ）设4个白球为a,b,c,d, 2个红球为A,B ，则游戏Ⅱ中有放回地依次摸出两球基本事件有6*6=36种，其中乙赢包含（a,A ）, （b,A ）,（c,A ）（d,A ）（a,B ）（b, B ）（c, B ）（d, B ）（A,a ）（A,b ）（A,c ）（A,d ）（B,a ）（B,b ）（B,c ）（B,d ）16种基本事件， ∴游戏Ⅱ中乙赢的概率为P’=1583016= ………………………………...……………….10分 ∵21158212513-<- ∴游戏Ⅰ更公平 ………………………………....12分 20.解：解：（1）证明：由题设可知1111,,A ACC BC C AC CC AC BC CC BC 平面⊥⇒=⊥⊥1111DC ACC A DC BC ≠⊂∴⊥又平面…………………………………………2分DC DC CDC ADC DC A ⊥=∠∴=∠=∠1010119045即又 …………4分BDC DC C BC DC 平面又⊥∴=1,111DC BDC BDC BDC ≠⊂⊥又平面，故平面平面 (6)分（2）设棱锥1DACC B -的体积为/V ,21122113131,11/=⨯+⨯⨯=⋅=∴=DACC S BC V AC 设 ……………………………………9分又三棱柱的体积为V=1,故平面1BDC 分棱柱所得两部分的体积比为1:1 ……………12分 21.解：其中第一问6分，第二问6分，共12分.四、选考题（本题满分10分）：请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
陕西省西安市西北工业大学附中2023届高三下学期二模理科数学试题(2)
一、单选题二、多选题1. 已知a ，b ，c 均为负实数，且，，，则（ ）．A．B．C．D．2. 已知，设，，，则（ ）A．B．C．D．3. 若今天（第一天）是星期二，则第天是（ ）A ．星期三B ．星期日C ．星期二D ．星期五4. 在中，，E ，F 分别在边上．若线段平分的面积，则的最小值为（ ）A．B．C．D．5. 已知复数满足，则的虚部为（ ）A．B．C ．2D．6.已知函数满足，且，则（ ）A ．3B ．3或7C ．5D ．77. 若复数，则（ ）A ．1B．C．D ．28. 2021年神舟十二号、十三号载人飞船发射任务都取得圆满成功，这意味着我国的科学技术和航天事业取得重大进步．现有航天员甲、乙、丙三个人，进入太空空间站后需要派出一人走出太空站外完成某项试验任务，工作时间不超过10分钟，如果10分钟内完成任务则试验成功结束任务，10分钟内不能完成任务则撤回再派下一个人，每个人只派出一次．已知甲、乙、丙10分钟内试验成功的概率分别为，，，每个人能否完成任务相互独立，该项试验任务按照甲、乙、丙顺序派出，则试验任务成功的概率为（ ）A．B．C．D．9.某校举行劳动技能大赛，统计了名学生的比赛成绩，得到如图所示的频率分布直方图，已知成绩均在区间内，不低于分的视为优秀，低于分的视为不及格.若同一组中数据用该组区间中间值做代表值，则下列说法中正确的是（）A．B．优秀学生人数比不及格学生人数少人C．该次比赛成绩的平均分约为D．这次比赛成绩的分位数为陕西省西安市西北工业大学附中2023届高三下学期二模理科数学试题(2)陕西省西安市西北工业大学附中2023届高三下学期二模理科数学试题(2)三、填空题四、解答题10. 祖暅是我国南北朝时期数学家，天文学家，他提出了体积计算原理：“幂势既同，则积不容异．”这就是祖暅原理，比西方发现早一千一百多年．即：夹在两个平行平面之间的两几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．如图，曲线C ：，过点作曲线C 的切线l （l 的斜率不为0），将曲线C 、直线l 、直线y =1及x 轴所围成的阴影部分绕y轴旋转一周所得的几何体记为，过点作的水平截面，所得截面面积为S，利用祖暅原理，可得出的体积为V ，则（）A．B．C．D．11.设函数，其中，若对任意的，在上有且仅有4个零点，则下列的值中不满足条件的是（ ）A．B．C．D．12. 下列说法正确的是（ ）A ．数据7，8，9，11，10，14，18的平均数为11B ．数据7，8，8，9，11，13，15，17，20，22的第80百分位数为16C ．随机变量，则标准差为2D．设随机事件和，已知，，，则13. 若，则关于的方程的解的个数是______．14. 以抛物线y2=8x 的焦点为圆心，且与直线y =x 相切的圆的方程为______．15.已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是直线上一动点，当点的纵坐标为时，最大，则椭圆的离心率为________．16.如图在四棱锥中，底面为菱形，为正三角形，平面平面分别是的中点.（1）证明：；（2）若M是棱上一点，三棱锥与三棱锥的体积相等，求M 点的位置.17. 已知函数，．（1）若，求函数的图象在处的切线方程；（2）若，试讨论方程的实数解的个数；（3）当时，若对于任意的，都存在，使得，求满足条件的正整数的取值的集合．18. 如图，在直角梯形中，，，且，点是中点，现将沿折起，使点到达点的位置.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.19. 为进一步保护环境，加强治理空气污染，某市环保监测部门对市区空气质量进行调研，随机抽查了市区100天的空气质量等级与当天空气中的浓度(单位：)，整理数据得到下表：的浓度空气质量等级1(优)28622(良)5783(轻度污染)3894(中度污染)11211若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”，根据上述数据，回答以下问题.（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）完成下面的列联表，的浓度空气质量空气质量好空气质量不好（3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天的空气质量与当天的浓度有关？附：0.0500.0100.0013.841 6.63510.82820. 设定义在(0,+∞)上的函数f(x)=ax++b(a>0).(1)求f(x)的最小值;(2)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=x,求a,b的值.21. 记为数列的前n项和．(1)从下面三个条件中选一个，证明：数列是等差数列；①；②数列是等差数列；③数列是等比数列．(2)若数列为等差数列，且，，求数列的前n项和．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．。
2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科数学试卷-学生用卷
2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科数学试卷-学生用卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第1题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第1题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第1题5分已知平面向量a→=(1,−2)，b→=(2,m)，且a→//b→，则m=（）．A. 4B. 1C. −1D. −42、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第2题5分已知集合A={x|−1<x<3}，B={x∈Z|x2−4x<0}，则A∩B=（）．A. {x|0<x<3}B. {1,2,3}C. {1,2}D. {2,3,4}3、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第3题5分2019~2020学年2月广东深圳宝安区深圳市宝安中学高中部高三下学期月考理科第2题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第3题5分，f(x)=x2−x+1，则f(z)=（）．设z=3−4i4+3iA. iB. −iC. −1+iD. 1+i4、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第4题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第4题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第4题5分下列四个命题中，正确命题的个数是（）个．①若平面α⊥平面γ，且平面β⊥平面γ，则α//β；②若平面α//平面β，直线m//平面α，则m//β；③平面α⊥平面β，且α∩β=l ，点A ∈α，若直线AB ⊥l ，则AB ⊥β；④直线m 、n 为异面直线，且m ⊥平面α，n ⊥平面β，若m ⊥n ，则α⊥β．A. 1B. 2C. 3D. 45、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第5题5分 求值：1−√3tan10°=（ ）． A. 14B. 12C. 1D. −√336、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第6题5分2019~2020学年5月重庆沙坪坝区重庆市南开中学高二下学期周测C 卷第5题5分有5个同学从左到右排成一排照相，其中最左边只能排成甲或乙，最右边不能排甲，则不同的排法共有（ ）．A. 36种B. 42种C. 48种D. 60种7、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第7题5分二项式(mx −1)3(m >0)展开式的第二项的系数为−3，则∫x 2dx m −2的值为（ ）． A. 3 B. 73 C. 83 D. 28、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第8题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第9题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第9题5分若f(x)是R上的偶函数，若将f(x)的图象向右平移一个单位，则得到一个奇函数的图象，若f(2)=−1，则f(1)+f(2)+f(3)+⋯+f(2019)=（）．A. 2019B. 1C. −1D. −20199、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第9题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第11题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第11题5分已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n+S n=1，则S1a1+S2a2+S3a3+⋯+S9a9=（）．A. 1013B. 1035C. 2037D. 205910、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第10题5分已知点N在圆x2+y2=4上，A(−2,0)，B(2,0)，M为NB中点，则sin∠BAM的最大值为（）．A. 12B. 13C. √1010D. √5511、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第11题5分抛物线y2=2px（p>0）的焦点为F，O为坐标原点，设A为抛物线上的动点，则|AO||AF|的最大值为（）．A. √3B. √2C. 4√25D. 2√3312、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第12题5分2020年山东济南历下区山东师范大学附属中学高三下学期高考模拟（6月）第7题已知△ABC中，A=60°，AB=6，AC=4，O为△ABC所在平面上一点，且满足OA=OB= OC．设AO→=λAB→+μAC→，则λ+μ的值为（）．A. 2B. 1C. 1118D. 711二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第13题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第13题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第13题5分抛物线x=−2y2的准线方程是．14、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第14题5分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第14题5分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第14题5分若x，y，z∈R，且2x+y+2z=6，则x2+y2+z2的最小值为．15、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第15题5分在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a,a)(a>0)，P是函数y=1x(x>0)图象上一动点，若点P，A之间的最短距离为√7，则满足条件的正实数a的值为．16、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第16题5分函数f(x)=2ax3+(3a−32)x2，a∈R，当x∈[0,1]时，函数f(x)仅在x=1处取得最大值，则a 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第17题12分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第17题12分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第17题12分设函数f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2−1，x∈R．(1) 求f(x)的值域．(2) 记△ABC的内角A、B、C的对边长分别为a、b、c(a>b)，若f(B)=0，b=1，c=√3，求a的值．18、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第18题12分2015年高考真题安徽卷理科第17题2019~2020学年天津和平区天津市第一中学高二下学期期末第17题11分2019~2020学年4月山东济南章丘区济南市章丘区第四中学高二下学期月考第20题12分2019~2020学年3月陕西西安碑林区西安交通大学附属中学高二下学期月考理科第18题10分已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．(1) 求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2) 已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）．19、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第19题12分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第19题12分2020年陕西汉中高三下学期高考模拟文科（六模）第19题12分已知抛物线:y2=4x的焦点为F，直线l:y=k(x−2)(k>0)与抛物线交于A，B两点，AF，BF 的延长线与抛物线交于C，D两点．(1) 若△AFB的面积等于3，求k的值．(2) 记直线CD的斜率为k CD，证明：k CD为定值，并求出该定值．k20、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第20题12分如图所示，四棱锥P−ABCD的底面为直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E为AB的中点．(1) 求证：平面PDE⊥平面PAC．(2) 求直线PC与平面PDE所成的角的正弦值．21、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第21题12分2018~2019学年12月山东枣庄薛城区枣庄市第八中学高三上学期月考理科第22题12分2018~2019学年12月湖南长沙天心区长郡中学高三上学期月考理科第21题12分已知函数f(x)=lnx−ax2在x=1处的切线与直线x−y+1=0垂直．(1) 求函数y=f(x)+xf′(x)（f′(x)为f(x)的导函数）的单调递增区间 .x2−(1+b)x，设x1，x2(x1<x2)是函数g(x)的两个极值点，若b⩾(2) 记函数g(x)=f(x)+32e2+1−1，且g(x1)−g(x2)⩾k恒成立，求实数k的最大值．e22、【来源】 2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模理科第22题10分2020年陕西西安碑林区西北工业大学附属中学高三二模文科第22题10分2016~2017学年12月湖南长沙天心区长郡中学高三上学期月考文科第23题10分2019~2020学年四川泸州泸县泸县第一中学高三上学期开学考试理科第23题10分2020年广东广州天河区高三三模文科第23题10分已知函数f(x)=|x−a|+|2x−1|(a∈R)．(1) 当a=1时，求f(x)⩽2的解集．,1]，求实数a的取值范围．(2) 若f(x)⩽|2x+1|的解集包含集合[121 、【答案】 D;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 A;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 A;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;10 、【答案】 B;11 、【答案】 D;12 、【答案】 C;;13 、【答案】x=1814 、【答案】4;15 、【答案】3;,+∞);16 、【答案】(31017 、【答案】 (1) [−1,1]．;(2) 2．;18 、【答案】 (1) 310;(2) X的分布列为：均值为350．;19 、【答案】 (1) k=2．;(2) 证明见解析．;20 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) √53．;21 、【答案】 (1) (0,√66) .;(2) k max=e22−12e2−2．;22 、【答案】 (1) {x|0⩽x⩽43}．;(2) [−1,52]．;。
【最新资料】陕西西工大附中高三第二次适应性训练理科数学试卷(含答案)
高考数学最新资料陕西西工大附中20xx 届高三第二次适应性训练数 学（理科）第Ⅰ卷 选择题（共50分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．已知集合P={}22,y y x x R =-+∈,{}2,Q y y x x R ==-+∈,则P Q ⋂=( ) A ．(0,2),(1,1) B ．{1,2} C ．{(0,2),(1,1)} D ．{}2x x ≤2．已知方程()2(4)40x i x ai a R ++++=∈有实根b ，且z a bi =+，则复数z 等于（ ） A ．22i - B ．22i + C ．22i -+ D ．22i --3．若向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且()a a b ⊥+，则a 与b 的夹角为（ ）A ．2πB ．23πC ．34πD ．56π4．若一个三棱柱的底面是正三角形，其正（主）视图如图所示，则它的体积为（ ）A B ．2C ．D ．45.已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m ⊥β的是（ ）A．⊥αβ，且mα B ．m ∥n ，且n ⊥β C ．⊥αβ，且m ∥α D ．m ⊥n ，且n ∥β6.若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线221y x m+=的离心率为（ ） ABCD7．右图是两组各7名同学体重（单位：kg ）数据的茎叶图．设1，2两组数据的平均数依次为1x 和2x ，标准差依次为1s 和2s ，那么（ ） （注：标准差s =其中x为12,,,n x x x 的平均数）A ．12x x >，12s s >B ．12x x >，12s s <C ．12x x <，12s s <D ．12x x <，12s s >8．已知函数2()21f x x x =-++的定义域为(2,3)-，则函数(||)y f x =的单调递增区间是（ ）A ．(,1)-∞-和(0,1)B ．(2,1)--和(0,1)C ．(3,1)--和(0,1)D ．(1,0)-和(1,3)9．若整数．．,x y 满足3211x y x y y ìï-?ïïï+?íïïï£ïî，则2x y +的最大值是（ ） A ．1 B ．2 C ．5 D ．6.510．为了得到函数2log y =2log y x =的图象上所有的点的（ ）A ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向右平移1个单位长度B ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变，再向左平移1个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移1个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移1个单位长度第Ⅱ卷 非选择题（共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）11．已知1021012311(1)x a a x a x a x +=++++.且数列123,,,,k a a a a 是一个单调递增数列，则k 的最大值是 ；12．在面积为9的正方形ABCD 内部随机取一点P ，则能使PAB ∆的面积大于32的概率是 ；13．在△ABC中，BC =，AC =，π3A =，则B =__ __；14．若(3)2f '=，则1(3)(12)lim1x f f x x →-+=- ；15．(考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分) A （不等式选做题）若存在实数x 使12x m x -++≤成立，则实数m 的取值范围是 ；B （坐标系与参数方程）曲线3cos ρθ=与11x t t y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩交点的个数为： ；C ．如图，直线PC 与圆O 相切于点C ，割线PAB 经过圆心O ，弦CD ⊥AB 于点E ，4PC =，8PB =，则CE = ．三．解答题（共6个小题，共75分）16（本小题满分12分)已知函数22π()cos ()sin 6f x x x =--．（Ⅰ）求π()12f 的值；（Ⅱ）若对于任意的π[0,]2x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围．17．（本小题满分12分)如图,矩形AMND 所在的平面与直角梯形MBCN 所在的平面互相垂直，MB ∥NC ,MN MB ⊥，且MC CB ⊥，2BC =，4MB =，3DN =．（Ⅰ）求证：//AB 平面DNC ；（Ⅱ）求二面角D BC N --的余弦值．18．（本小题满分12分)甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是53，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（Ⅰ）求乙得分的分布列和数学期望；（Ⅱ）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．19．（本小题满分12分)已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，346S a =+，且1413,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列1{}nS 的前n 项和公式.20．（本小题满分13分)已知抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点．（Ⅰ）若2AF FB =，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设点M 在线段AB 上运动，原点O 关于点M 的对称点为C ，求四边形OACB 面积的最小值．21．（本小题满分14分)已知函数()ln f x ax x =+，其中a 为常数，e 为自然对数的底数．（Ⅰ）当1a =-时，求()f x 的最大值；（Ⅱ）若()f x 在区间(]0,e 上的最大值为3-，求a 的值；（Ⅲ）当1a =-时，判断方程ln 1|()|2x f x x =+是否有实根？若无实根请说明理由，若有实根请给出根的个数．20xx 年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练数学（理科）参考答案与评分标准一、选择题：1A二、填空题: 11．6； 12．23； 13．45°； 14．―4． 15．A [3,1]-； B ．1； C．125． 三、解答题16．（本小题满分12分）【解】：（Ⅰ）22ππππ()cos ()sin cos 12121262f =--==．……………………(5分)（Ⅱ）1π1()[1cos(2)](1cos 2)232f x x x =+---1π13[cos(2)cos 2]2cos 2)2322x x x x =-+=+ π)3x =+．……………………………………………………(9分) ∵π[0,]2x ∈，∴ππ4π2[,]333x +∈， ∴当 ππ232x +=，即π12x =时，()f x 取得最大值2．∴π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤ 等价于 2c ≤． 故当 π[0,]2x ∀∈，()f x c ≤时，c 的取值范围是)2+∞．…………………(12分)17. （本小题满分12分） 【解】：（Ⅰ）证明：因为MB //NC ，MB ⊄平面DNC ，NC ⊂平面DNC ，所以MB //平面DNC ．因为AMND 为矩形，所以MA //DN ．又MA ⊄平面DNC ，DN ⊂平面DNC ，所以MA //平面DNC ． 又MA MB M =，且MA ，MB ⊂平面AMB ， 所以平面AMB //平面DNC ．又AB ⊂平面AMB ，所以//AB 平面DNC ． ………………………………(5分) （Ⅱ）解：由已知平面AMND ⊥平面MBCN ，且平面AMND 平面MBCN MN =，DN MN ⊥， 所以DN ⊥平面MBCN ，又MN NC ⊥，故以点N 为坐标原点，建立空间直角坐标系N xyz -.由已知得30MC MCN =∠=，易得MN =，3NC =． 则(0,0,3)D ，(0,3,0)C ，4,0)B ．(0,3,3)DC =-，(3,1,0)CB =．设平面DBC 的法向量1(,,)x y z =n ，则110,0.DC CB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n即330,0.y z y -=⎧⎪+=令1x =-，则y =z =1(1=-n ． 又2n (0,0,1)=是平面NBC 的一个法向量，所以122112cos ,7⋅===n n n n n n ． 故所求二面角D BC N --的余弦值为7．……………………………………(12分)18．（本小题满分12分）【解】：（Ⅰ）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．35310C 1(15)C 12P X =-==； 2155310C C 5(0)C 12P X ===；1255310C C 5(15)C 12P X ===； 35310C 1(30)C 12P X ===．乙得分的分布列如下：X 15- 0 15 30P………………(6分)155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（Ⅱ）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()C ()()()555125P A =+=，511()12122P B =+=．故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()11252125P P A B =-⋅=-⨯=．………………………………………………(12分)19.（本小题满分12分）【解】：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为0d ¹.因为346S a =+，所以11323362da a d 创+=++. ①因为1413,,a a a 成等比数列， 所以2111(12)(3)a a d a d +=+. ②由①，②可得：13,2a d ==.所以21n a n =+.…………………………………………………………(6分)（Ⅱ）由21n a n =+可知：2(321)22n n nS n n ++?==+所以11111()(2)22n S n n n n ==-++ 所以123111111n n S S S S S -+++++11111111111()2132435112n n n n =-+-+-++-+--++ 21111135()212124(1)(2)n n n n n n +=+--=++++.所以数列1{}nS 的前n 项和为2354(1)(2)n n n n +++. ……………………（12分）20.（本小题满分13分）【解】：（Ⅰ）依题意(1,0)F ，设直线AB 方程为1x my =+．将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得2440y my --=．设11(,)A x y ，22(,)B x y ，所以 124y y m +=，124y y =-． ①因为 2AF FB =，所以122y y =-．②联立①和②，消去12,y y ，得m =． 所以直线AB 的斜率是±．………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：由点C 与原点O 关于点M 对称，得M 是线段OC 的中点，从而点O 与点C 到直线AB 的距离相等，所以四边形OACB的面积等于2AOB S ∆．因为12122||||2AOB S OF y y ∆=⨯⋅⋅-==所以0m =时，四边形OACB 的面积最小，最小值是4，………………………（13分）21．（本小题满分14分）【解】：（Ⅰ）当1a =-时，()ln f x x x =-+，11()1xf x x x-'=-+=当0<x<1时，()f x '>0；当x>1时。
陕西省西安市西北工业大学附中2023届高三下学期二模理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 已知等差数列的首项，公差，数列满足若也是等差数列，则（ ）A．B．C ．1D ．22. 若是虚数单位，则（ ）A．B．C．D．3. 在中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且，，则（ ）A．B．C．D．4. 已知函数在有且仅有两个零点，且，则图象的一条对称轴是（ ）A．B．C．D．5.如图，在矩形中，，，为边的中点，为的中点，则（）A．B．C．D．6.已知函数满足对任意恒成立，又函数的图象关于点对称，且 则（ ）A．B．C．D．7. 已知双曲线：，点是的左焦点，若点为右支上的动点，设点到的一条渐近线的距离为，则的最小值为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．98. 函数的最小正周期为（ ）A．B ．C．D．9.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列说法正确的是（ ）A ．当时，为偶函数B．当时，在上单调递减C ．当时，在上的值域为D ．当时，点是的图象的一个对称中心10. 已知抛物线C ：的焦点为F ，过F 作直线l 与抛物线C 交于A 、B 两点，分别以A 、B 为切点作抛物线C 的切线，两切线交于点T ，设线段的中点为M ．若点T 的坐标为，则（ ）A ．点M 的横坐标为2B ．点M 的纵坐标为3C ．直线l 的斜率等于2D．11. 设为抛物线的焦点，直线与的准线，交于点．已知与相切，切点为，直线与的一贵州省2023届高三3+3+3高考备考诊断性联考（二）数学（文）试题(3)贵州省2023届高三3+3+3高考备考诊断性联考（二）数学（文）试题(3)三、填空题四、解答题个交点为，则（ ）A ．点在上B．C ．以为直径的圆与相离D ．直线与相切12. 某地认真贯彻落实中央十九大精神和各项宏观调控政策，经济运行平稳增长，民生保障持续加强，惠民富民成效显著，城镇居民收入稳步增长，收入结构稳中趋优，据当地统计局发布的数据，现将8月份至12月份当地的人均月收入增长率如图（一）与人均月收入绘制成如图（二）所示的不完整的条形统计图，现给出如下信息，其中正确的信息为（）A ．10月份人均月收入增长率为2%B ．11月份人均月收入约为1442元C ．12月份人均月收入有所下降D ．从图中可知该地9月份至12月份这四个月与8月份相比人均月收入均得到提高13. 若、、是棱长为的正四面体棱上互不相同的三点，则的取值范围是_______.14. 的展开式中各项系数之和为64，则该展开式中含的项的系数为______.15.过抛物线的焦点且垂直于轴的直线与在第一象限内交于点A ，点，若，则________.16.已知图甲为直角梯形，其中为的中点，把沿着折起到,使折起后的与面成120°的二面角，（图乙），为上靠近的三等分点(1)求证:;(2) 为的中点，求与面所成角的正切值;(3)求与所成二面角（锐角）的余弦值17.已知数列的前项和满足：（为常数，且，）.（1）证明：成等比数列；（2）设，若数列为等比数列，求的通项公式.18. 已知函数．(1)讨论函数的单调性：(2)若是方程的两不等实根，求证：（i）；（ii）．19. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，且椭圆E截抛物线的准线得到的弦长为3．(1)求椭圆E的标准方程；(2)设两条不同的直线m与直线l交于E的右焦点F，且互相垂直，直线l交椭圆E于点A，B，直线m交椭圆E于点C，D，探究：A、B、C、D四个点是否可以在同一个圆上？若可以，请求出所有这样的直线m与直线l；否则请说明理由．20. 《九章算术》中将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑，在如图所示的四面体中，平面，平面平面.（1）试判断该四面体是否为鳖臑，并说明理由；（2）若点是棱的中点.，求二面角的余弦值.21.已知函数和有相同的最小值.(1)求的值；(2)设，方程有两个不相等的实根，，求证:。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第二次适应性训练
数学（文科）参考答案
11．94-
12. 4416543213
33333=+++++ 13. 1554-
14.
15.A. 8 B. 6 C. (1,
三、解答题：
16．解：（1）法1:22()2sin cos 3cos sin f x x x x x =--sin 2cos22x x =-- 当3
π
=
x 时，()2
3
322123232cos 32sin
-=-+=--=ππx f
法2:直接代入3
π
=
x ,算出()3
2
f x =
.
（2）22()2sin cos 3cos sin f x x x x x =--sin 2cos22)24
x x x π
=--=--
由2()4x k k Z ππ-=∈得()28
k x k Z ππ=+∈
所以()f x 对称中心为(,2)()28
k k Z ππ
+-∈
当3()8x k k Z π
π=+∈时，()f x 2.
17．解：（1）当1n =时，2122a S == 当2n ≥时，1122
n n
n n n a a a S S +-=-=-，得13n n a a += 所以23,,
,,
n a a a 为等比数列，2
23
(2)n n a n -=⨯≥. 故2
1,
123,2n n n a n -=⎧=⎨⨯≥⎩
（2）29n n b na =29n n =⨯ 22[19299]n n T n =⨯+⨯+
+⨯ 23192[19299]n n T n +=⨯+⨯+
+⨯
2
1
82[(999)9]n
n n T n +-=++
+-⨯11
992[9]19
n n n ++-=-⨯-1(18)994n n +--=
故1(81)99
32
n n n T +-+=
18．解：（Ⅰ）茎叶图：略 ………………………… 5分
（Ⅱ）分别从甲、乙两组中随机选取一名学生的成绩，所有可能的结果有16种，它们是：
()()()()78,86,78,95,78,82,78,96,()()()()92,86,92,95,92,82,92,96,
()()()()98,86,98,95,98,82,98,96,()()()()88,86,88,95,88,82,88,96,
设“选取的这两名学生中，至少有一名学生的成绩在90以上”为事件A ，则A 中包含的基本事件有12个，它们是：
()()78,95,78,96,()()()()92,86,92,95,92,82,92,96, ()()()()98,86,98,95,98,82,98,96,()()88,95,88,96,
所以所求概率为()123
.164
P A =
= ………………………… 12分
19．（1）证明:
平面SAD ⊥平面ABCD ,平面SAD 平面ABCD AD =,
SM ⊂平面SAD ，SM AD ⊥，SM ∴⊥平面ABCD ,…………………1分
BM ⊂平面,ABCD .SM BM ∴⊥ ………………………………2分 四边形ABCD 是直角梯形，AB //CD ,,AM AB =,DM DC =
,MAB MDC ∴∆∆都是等腰直角三角形,
45,90,.AMB CMF BMC BM CM ∴∠=∠=︒∠=︒⊥…………………………4分
SM ⊂平面SMC ，CM ⊂平面SMC ，SM CM M =,
BM ∴⊥平面SMC …………………………………………………………………6分
（2）解: 三棱锥C SBM -与三棱锥S CBM -的体积相等, 由（ 1 ） 知SM ⊥平面ABCD ,
得111
3211()32SM BM CM
V V SM AB CD AD ⨯⨯=⨯+⨯,……………………………………………9分
设,AB a =由3CD AB =,,AM AB =,DM DC =
得3,,,4,CD a BM CM AD a ====
从而
13.8
V V == …………………………………………………………12分
20．解：（1）离心率3
e =
，椭圆T ：2223(0)x y a a +=> 设1122(,),(,),A x y B x y 直线AB 的方程为222(3)1,3y k x x y a =-++=代入，
整理得 2222(31)6(31)3(31)0.k x k k x k a +--+--= ① 2224[(31)3(31)]0,a k k ∆=+--> ② 1226(31)
,31
k k x x k -+=+由(3,1)N 是线段AB 的中点，得
12
3.2
x x += 解得1k =-，代入②得，212,a > 直线AB 的方程为1(3),40.y x x y -=--+-=即
（2）∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为13y x -=-，即20x y --=，
代入椭圆方程，整理得 22412120.x x a -+-= 又设),,(),,(4433y x D y x C
∴2
3434123,4a x x x x -+==
2
34344(2)(2)4
a y y x x -=--=
假设存在这样的椭圆，使得以CD 为直径的圆过原点O ，则34340x x y y += 得28a =，又212,a >故不存在这样的椭圆.
21．解：（1）'()1x f x e =-，由()0f x '=得0x = 当0,'()0,()x f x f x >>时在(0,)+∞内递增； 当0x <时，'()0,()(,0)f x f x <-∞在内递减； 故函数()0f x x =在处取得最小值(1)0.f = （2）'()(02)x f x e a x =-<≤
①当1a ≤时，'()0,f x >()f x 在(0,2]内递增；
()(0)0f x f >=，方程()0f x =在(0,2]上无实数解；
②当2a e ≥时，'()0,f x ≤()f x 在(0,2]内递减；
()(0)0f x f <=，方程()0f x =在(0,2]上无实数解；
③当21a e <<时，由'()0,f x =得ln x a =， 当0ln ,'()0,()x a f x f x <<<时递减； 当ln 2a x <<时，'()0,()f x f x >递增； 又(0)0f =，2(2)21f e a =--
由2
(2)210f e a =--≥得21
12
e a -<≤
故a 的取值范围为211,2e ⎛⎤
- ⎥⎝
⎦ （3）由（1）知，当(0,)x ∈+∞时，1x e x >+，ln(1).x x +<即 ,0k k a b >，从而有ln 1k k a a <-， 得ln (1,2,
,)k k k k k b a a b b k n <-=，
求和得1
1
1
1
ln 0.n
n
n
b k
k k k k k k a a b b ===<-≤∑∑∑
即12
12
ln()0,n k k k n a a a <故1212
1.n
k k k n a a a <。