陕西省咸阳市高三模拟考试(三模)数学理试题含答案

**咸阳市高考模拟考试试题（三）**理科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}|13A x x =-≤≤，|B x y ⎧==⎨⎩，则A B =（ ） A ．[]1,3- B ．[]1,3C ．(1,3]D ．(1,3]-2.复数21z i=-+，则（ ） A ．z 的虚部为1-B ．z 的实部为1C ．||2z =D ．z 的共轭复数为1i +3.在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上随机选取一个实数x ，则事件“sin x ≥ ） A ．1B ．14C ．13D ．164.已知双曲线C 的方程为22149y x -=，则下列说法正确的是（ ） A ．焦点在x 轴上B ．虚轴长为4C ．渐近线方程为230x y ±=D ．离心率为35.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x ≥时3()log (6)3f x x a a =++-，则()f a =（ ） A ．9B ．6C ．3D ．16.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积是（ ）A ．120B ．60C ．24D ．207.已知圆的半径为1，A ，B ，C ，D 为该圆上四个点，且AB AC AD +=，则ABC ∆面积的最大值为（ ）A ．1B C D ．28.三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，若2AB =，3BC =，4PA =，则该三棱锥的外接球的表面积为（ ） A ．13πB ．20πC ．25πD ．29π9.秦九昭算法是南宋时期数学家，秦九昭提出的一种多项式简化算法，即使在现代，它依然是利用计算机解决多项式问题的最优算法，其算法框图如图所示，若输入的0a ，1a ，2a ，…，n a 分别为0，1,2，…，n ，若4n =，根据算法计算当1x =时多项式的值，则输出的结果是（ ）A ．3B ．6C ．10D ．1510.已知实数x ，y 满足1,49,3,x y x y y -≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩给x ，y 中间插入5个数，这7个数构成以x 为首项，y为末项的等差数列，则这7个数和的最大值为（ ） A ．49B ．634C ．212D ．49211.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，||ϕπ<）的部分图象如图所示，则()f x 的图象向右平移2个单位后，得到()g x 的图象，则()g x 的解析式为（ ）A．()8xg x π= B．()8xg x π=-C．()8xg x π=D．()8xg x π=-12.已知函数ln ,2,()2,2,xx f x x x x ⎧>⎪=⎨⎪+≤⎩函数()()g x f x m =-恰有一个零点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．ln 21(0,)(,4]2eB ．1(,0)(,4)e-∞ C ．1(,0](,4]e-∞D ．1(,4]e第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在ABC ∆中，已知sin :sin :sin 2:3:4A B C =，则cos C = ．14.4名党员干部分配到3个贫困户家去精准扶贫，每户至少去一名，共有 种不同的分配方式（用数字作答）．15.设抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，过点F 且倾斜角为4π的直线l 与抛物线相交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆过点(,2)2p-，则该抛物线的方程为 ． 16.甲、乙、丙三人玩摸卡片游戏，现有标号为1到12的卡片共12张，每人摸4张． 甲说：我摸到卡片的标号是10和12； 乙说：我摸到卡片的标号是6和11；丙说：我们三人各自摸到卡片的标号之和相等． 据此可判断丙摸到的编号中必有的两个是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60B =︒，三边a ，b ，c 成等比数列，且面积为{}n a 中，14a =，公差为b ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）数列{}n c 满足116n n n c a a +=，设n T 为数列{}n c 的前n 项和，求n T ． 18.如图，已知四边形ABCD 是直角梯形，//AB DC ，AB AD ⊥，且P A A B ⊥，PAD ∆是等边三角形，22AB AD DC ===，M 为PB 的中点．（1）求证：CM ⊥平面PAB ； （2）求二面角D PB A --的余弦值．19.某校为调查高一、高二学生周日在家学习用时情况，随机抽取了高一、高二各20人，对他们的学习时间进行了统计，分别得到了高一学生学习时间（单位：小时）的频数分布表和高二学生学习时间的频率分布直方图．高一学生学习时间的频数分布表（学习时间均在区间[]0,6内）：高二学生学习时间的频率分布直方图：（1）根据高二学生学习时间的频率分布直方图估计该校高二学生学习时间的中位数； （2）利用分层抽样的方法，从高一学生学习时间在[2,3)，[3,4)的两组里随机抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求学习时间在[3,4)这一组中至少有1人被抽中的概率； （3）若周日学习时间不少于4小时为学习投入时间较多，否则为学习投入时间较少，依据上述样本研究学习投入时间与学生所在年级是否有关，完成22⨯列联表，并判断是否有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20.已知圆22(16x y +=的圆心为M ，点P 是圆M 上的动点，点N ，线段PN 的垂直平分线交PM 于G 点． （1）求点G 的轨迹C 的方程；（2）过点(4,0)T 作斜率不为0的直线l 与（1）中的轨迹C 交于A ，B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，连接BD 交x 轴于点Q ，求||QT ．21.已知函数()ln f x x x =，2()()2a x x g x -=．（1）若()()f x g x <对(1,)x ∈+∞恒成立，求a 的取值范围；（2）证明：不等式22212111(1)(1)(1)n n n n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++<⎢⎥⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦⎣⎦…n 恒成立（其中 2.71828e =…为自然对数的底数）．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．（1）求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（2）直线l ：y x =与曲线1C 交于A ，B 两点，P 是曲线2C 上的动点，求PAB ∆的面积的最大值．23.选修4-5：不等式选讲（1）已知a ，b R ∈，且||1a <，||1b <，求证：22221a b a b +>+．（2）若关于x 的不等式|1|2|2|x x m -+-≤有解，求实数m 的取值范围．2018年咸阳市高考模拟考试试题（三）理科数学答案一、选择题1-5:CADCB 6-10:BADCD 11、12：BC 二、填空题 13.14-14.36 15.24y x = 16.8和9 三、解答题17.解：（1）由a ，b ，c 成等比数列得2b ac =，因为1sin 2ABC S ac B ∆==，所以4b =， 所以{}n a 是以4为首项，以4为公差的等差数列， 解得4n a n =． （2）由（1）可得111(1)1n c n n n n ==-++，111111(1)()()122311n T n n n =-+-++-=-++…．18.（1）证明：取PA 的中点为E ，连接EM ，ED ， 由题意知//EM 1//2AB DC ，可得四边形CDEM 为平行四边形，所以//CM DE ． 由题可知，BA DA ⊥，BA PA ⊥，且PA AD A =，AD ⊂平面PAD ，PA ⊂面PAD ，所以BA ⊥平面PAD ，又∵DE ⊂平面PAD ，∴BA DE ⊥， ∵PAD ∆为正三角形，∴DE PA ⊥， 又∵PAAB A =，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，∴DE ⊥平面PAB ， 又//DE CM ， ∴CM ⊥平面PAB ．（2）解：由（1）可知BA ⊥平面PAD ，又BA ⊂平面ABCD ，则平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD ∆为正三角形，因此取AD 的中点O 为坐标原点，以OD 为x 轴，在底面内过O 作AD的垂线为y 轴，OP 为z 轴，建立空间坐标系， ∵22AB AD CD ===，∴(1,0,0)A -，(1,2,0)B -，(1,1,0)C ，(1,0,0)D，P，1(,1,22M -，则3(,0,2MC =，(1,2,PB =-，(1,0,PD =， 设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0,n PB n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即20,0,x y x ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩可取(3,3,1)n =，cos ,||||7n MC n MC n MC ⋅<>===⋅设二面角D PB A --的大小为θ，则cos θ=．19.解：（1）由图可知，学生学习时间在区间[]0,3内的频率为0.10.20.3+=，设中位数为x ，则(3)0.250.2x -⨯=，解得 3.8x =，即该校高二学生学习时间的中位数为3.8．（2）根据分层抽样，从高一学生学习时间在[2,3)中抽取4人，从高一学生学习时间在[3,4)中抽取2人，设在[3,4)这一组中至少有1人被抽中的事件为A ，则24263()1()15C P A P A C =-=-=．（3）2240(411169) 2.849 6.63520201327K ⨯-⨯=≈<⨯⨯⨯，所以没有99%的把握认为学习投入时间多少与学生所在年级有关．20.解：（1）由题意知，线段PN 的垂直平分线交PM 于G 点，所以||||GN GP =，∴||||||||||4||GM GN GM GP MP MN +=+==>=， ∴点G 在以M 、N 为焦点，长轴长为4的椭圆上，24a =，2c =，2222b a c =-=，∴点G 的轨迹C 的方程为22142x y +=． （2）依题意可设直线l 方程为4x my =+，将直线方程代入22142x y +=， 化简得22(2)8120m y my +++=，设直线l 与椭圆C 的两交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2264412(2)0m m ∆=-⨯+>，得26m >，①且12282m y y m +=-+，122122y y m =+，② 因为点A 关于x 轴的对称点为D ，则11(,)D x y -，可设0(,0)Q x ， 所以21122121()BD y y y y k x x m y y ++==--， 所以BD 所在直线方程为122221(4)()y y y y x my m y y +-=---，令0y =，得121201224()my y y y x y y ++=+，③把②代入③，得01x =， ∴Q 点的坐标为(1,0)，∴||3QT =．21.解：（1）()()f x g x <等价于2()ln 02a x x x x --<，即(1)ln 02a x x x -⎡⎤-<⎢⎥⎣⎦， 记(1)()ln 2a x h x x -=-，即()0xh x <，12'()22a axh x x x-=-=， 当0a ≤时，'()0h x >，()h x 在(1,)x ∈+∞单调递增，又(1)0h =， 所以()(1)0h x h >=，所以()0xh x >，即()()f x g x <不成立； 当02a <<时，21a >，2(1,)x a∈时，'()0h x >，()h x 单调递增， 所以()(1)0h x h >=，所以()0xh x >，()()f x g x <不成立；当2a ≥时，(1,)x ∈+∞，20ax -<，'()0h x <，()h x 在(1,)x ∈+∞单调递减， 所以()(1)0h x h <=，所以()0xh x <，()()f x g x <恒成立． 综上所述，当()()f x g x <对(1,)x ∈+∞恒成立时[2,)a ∈+∞． （2）由（1）知当2a =对(1,)x ∈+∞有ln 1x x <-恒成立． 令21(1)k x n =++，1,2,3,k =…,n,有22ln(1)(1)(1)k kn n +<++成立， 22212ln(1)ln(1)ln(1)(1)(1)(1)nn n n +++++++++… 22212ln (1)(1)(1)(1)(1)(1)nn n n ⎡⎤=+++⎢⎥+++⎣⎦… 22212(1)(1)(1)n n n n <++++++ (2)(1)12(1)2(1)2n n n n n +==<++，所以22212(1)(1)(1)(1)(1)(1)nn n n +⋅++<+++…22.解：（1）因为曲线1C 的极坐标方程为1ρ=，则直角坐标方程为221x y +=；曲线2C 的参数方程为2cos ,sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），则普通方程为2214x y +=． （2）由题意知||2AB =，设(2cos ,sin )P ϕϕ，点P 到直线y x =所以11||2|sin()|2222PAB S AB d ϕθ∆=⨯=⨯=+≤． 23.（1）证明：∵2222222221(1)(1)(1)(1)a b a b a b b b a +--=-+-=--， 又a ，b R ∈，且||1a <，||1b <，∴210a -<，210b -<，∴22(1)(1)0b a -->，即22221a b a b +>+．（2）解：|1|2|2|x x m -+-≤有解等价于min (|1|2|2|)m x x ≥-+-，53,1,|1|2|2|3,12,35,2,x x x x x x x x -<⎧⎪-+-=-≤<⎨⎪-≥⎩由单调性知:|1|2|2|1x x -+-≥，所以1m ≥．。