两直线平行和垂直的判定(优质课教案)

y
解： 直线BA的斜率kBA
直线PQ的斜率kPQ
Q P
A
kBA kPQ
x
30 1 2 (4) 2 1 2 1 1 (3) 2
又 k AP
B
O
3 1 2 1 2 (3) 5 2
直线AB // PQ
例2. 已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明. 1 解：k AB kCD 2 3 k AD kCB 2 因为k AB kCD , k AD kCB AB / / CD, AD / /CB 四边形ABCD是平行四边形。
解 : k AB k PQ
k AB kPQ
6 3 2 3 ( 6) 3 6 3 3 60 2
2 3 1, 直线AB PQ. 3 2
例2. 已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明.
(2)两直线垂直 k AB kPQ -1
k AB
m 0
练习:
3、已知直线 l1经过点A（3，a），B（a-2，3）,直线 l2 经过点C（2，3），D（-1，a-2），若 l1 l2 ，求 a 的值。 分析：
l1 l2 k1 k2 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 为0
l1 l2 k1 k2 1或l1, l2一斜率不存在另一斜率为0
例4、已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3）三 点，试判断△ABC的形状。
（分析:借助图形，通过观察猜想: 三角形ABC是直角 三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证。）
1 ( 1) 1 解 : k AB 1 5 2 31 k BC 2 21 k AB k BC 1 AB BC 即ABC 90 因此ABC 是直角三角形.
四边形ABCD是矩形吗？你能说明理由吗？
思考： l1 l2时，k1与k2满足什么关系？
y l2 l1
α1
O
α2
x
设两条直线l1、l2的倾斜角分别为α1、α2 （ α1、α2≠90°）.
y
a2 a1 90
o
o
l2
α1
O
1 tan a 2 tan a1 90 tan a 1 1 k 2 α2 k1
结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分 别为k1、k2，则有 l1⊥l2 k1k2=-1. 即 k1 与 k2互为负倒数。 注意: 等价的前提是两直线斜率都存在。 特殊情况下的两直线垂直: 一条直线的倾斜角为900,另一条直线的倾 斜角为0°，则 两直线互相垂直。
l1 l2 k1 k2 1或l1 , l2一斜率不存在另一斜率 为0
则：
k1 k2 l1 / /l2或l1与l2重合.
y
注意: 等价的前提是两直线斜率都存在 缺少这个前提，结论并不成立． 特殊情况下的两直线平行: 两直线斜率均不存在，两直线互相平行
l1 l 2
o
x
例题讲解
例1. 已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1),Q(-1,2),试判断直 线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论.
x
l1
k1k2 1
由上我们得到，如果两条直线都有斜率，且它 们互相垂直，那么它们的斜率之积等于－1； 反之，如果它们的斜率之积 等于－1，那么它们互相垂直.
结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分 别为k1、k2，则有 l1⊥l2 k1k2=-1. 即 k1 与 k2互为负倒数。
注意: 等价的前提是两直线斜率都存在。 缺少这个前提，结论并不成立．
3 四边形 ABCD 是矩形吗？你能说明理由吗？ k AB k AD 1 AB与AD不垂直 4
练习1：已知A（3，2），B（3，-1），P（1，1） Q（2，1），判断直线AB与PQ的位置关系。 解： x A xB 直线AB的斜率不存在，
k PQ
11 0 直线PQ的斜率为0， 21
课堂练习1: 1、判断下列各对直线是否平行 (1) l1经过两点 A(2,1), B(3,5)；l2经过C(3， - 3), D(8， - 7)
5 1 4 解： k1 3 2 5
73 4 k2 83 5
k1 k2
4 53 4 又 k BC 5 33 3 直线l1 // l2
四边形ABCD是矩形吗？ 请说明理由？
1 3 解：k AB kCD , k AD kCB 2 2 因为k AB kCD , k AD kCB AB / /CD, AD / /CB 四边形ABCD是平行四边形。
四边形ABCD是矩形吗？你 能说明理由吗？
1 3 解：k AB kCD , k AD kCB 2 2 因为k AB kCD , k AD kCB AB / / CD, AD / / CB 四边形ABCD是平行四边形。 3 k AB k AD 1 4 AB与AD不垂直
(2) l1经过两点 A(0,1), B(2,1)；l2经过C(3， 4), D(2， 3)
解： k1 1 k2 1
k1 k2
又 k BC
直线l1与l2重合
4 1 1 3 2
例题讲解
例3、已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3） Q（6，-6），判断直线AB与PQ的位置关系。
例2. 已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明. 1 解：k AB kCD 2 3 k AD kCB 2 因为k AB kCD , k AD kCB AB / / CD, AD / /CB 四边形ABCD是平行四边形。
y
即 AB x 轴 ，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱPQ y 轴。
直线AB PQ.
O
PQ
A
x
B
结论2：如果两条直线l1、l2都有斜率，且分 别为k1、k2，则有 l ⊥l k k =-1
1 2 1 2 .
特殊情况下的两直线垂直: 一条直线的斜率不存在, 另一条直线的斜率为0， 则 两直线互相垂直。
l2
y
l1
O
x
1 、 必做题：课本 P89 A组 6，7，8
选做题1：已知A(2, 3)，B(－4, 0)，C(0, 2)， 证明A、B、C三点共线. 选做题2：已知矩形ABCD的三个顶点的坐 标为A(0, 1)，B(1, 0)，C(3, 2)，求第四个 顶点的坐标.
2、预习 3.2.1直线的点斜式方程
练习1： ①两条平行直线的倾斜角相等；②两条平行直线 的斜率相等；③互相垂直的两条直线的倾斜角互 补；④互相垂直的两条直线的斜率互为负倒数。 其中正确的命题是 ①
1、两直线平行的判定
两条直线不重合，且斜率都存在，则：
L1// L2 k1=k2
2、两直线垂直的判定
两直线斜率都存在，则：
L1⊥ L2 k1k2= -1
1－1 (4)l1的斜率不存在，k2＝ ＝0，画出图形，如下图所 2－1 示，
则l1⊥x轴，l2⊥y轴，∴l1⊥l2.
思考: 不重合两直线 L1//L 2， 则k1与k2有什么关系？
解：由题意知 l2 的斜率一定存在，但l1 的斜率可能 不存在。故有两种情况：
3 a 2 即 a 5; 当 l1 的斜率不存在时，
当l1的斜率存在时，k1 k2 1 即 a 0 综上所述，a的值为0或5。
l1
小结
一、知识内容上
结论1：对于两条不重合的直线 l1和l2 : l1 / / l2 k1 k2 或k1 , k 2都不存在. l ∥l k ＝k 条件：不重合、都有斜率
0
4.直线的斜率公式
经过两点P1 (x1 , y1 )，P2 (x2 , y2 )(x1 ≠x2 )的直线的斜率： y2 y1
y2 y1 k ( x1 x2 ) x2 x1
k
x2 x1
如果两条直线互相平行，它们的倾斜 角满足什么关系？ 它们的斜率呢？ y
L1 L2
o
x
对于不重合的两条直线，斜率都存在
y
授课人：苏聪滨 龙岩高级中学
a1
O
a2
a3
x
复习回顾
1.直线倾斜角的定义：
x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.
2.直线倾斜角a的取值范围 0 a 180 3.直线的斜率 0 若直线的倾斜角 a (a 90 ) ，则这条直线的斜率
为
k tan a (a 90 )
解：若l1 // l2 , 则a1 a2
y
l1
l2
tan a1 tan a2 k1 k2
反之，若k1 k2 a1 a 2
a1
a2
o
x
又 两直线不重合
l1 // l2
结论1：（1）两条直线不重合，斜率都存在 ， 则： l1 // l2 k1 k2
（2）两条直线可能重合，斜率都存在 ，
0
y
C B
O x
A
练习:
2、试确定m的值，使过点A（m，1），B（-1，2m） 的直线与倾斜角为1350的一条直线PQ （1）平行； （2）垂直。
解： kPQ tan135 1 k AB
0
2m 1 1 m
(1)两直线平行 k AB kPQ
k AB 2m 1 1 m 2 1 m 2m 1 1 1 m