山东省济宁一中2017-2018学年高考数学模拟试卷 Word版含解析
济宁一中高三模拟数学试题数学答案
济宁一中2017级高三一轮复习质量检测数学试题答案1.A2.B3.C4.D5.A6.D7.A8.C9.ABD 10.BC 11.ABD 12.AC 13.3214.715.√6−√316.[25,23)17.解：(1)设{a n }是公差为d 的等差数列，{b n }是公比为q 的等比数列，由b 2=3，b 3=9，可得q =b3b 2=3，b n =b 2·q n−2=3·3n−2=3n−1； 即有a 1=b 1=1，a 14=b 4=27， 则d =a 14−a 113=2，则a n =a 1+(n −1)d =1+2(n −1)=2n −1； (2)c n =a n +b n =2n −1+3n−1， 则数列{c n }的前n 项和为：[1+3+⋯+(2n −1)]+(1+3+9+⋯+3n−1) =2n 2·n +1−3n1−3=n 2+3n −12．18.解：(1)函数f(x)=cos 2x −sin 2x +12=cos2x +12，x ∈(0,π)，由2kπ−π≤2x ≤2kπ，k ∈Z ， 解得kπ−12π≤x ≤kπ，k ∈Z ， 当k =1时，12π≤x ≤π， 可得f(x)的单调递增区间为[π2,π)； (2)设△ABC 为锐角三角形，角A 所对边a =√19，角B 所对边b =5， 若f(A)=0，即有cos2A +12=0， 解得2A =23π，即A =13π，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 化为c 2−5c +6=0， 解得c =2或3，若c =2，则cosB =2×√19×2<0， 即有B 为钝角， ∴c =2不成立， 则c =3，△ABC 的面积为S =12bcsinA =12×5×3×√32=15√34． 19.解：(Ⅰ)证明：∵四边形EDCF 为矩形，∴DE ⊥CD ，∵平面EDCF ⊥平面ABCD ， 平面EDCF ∩平面ABCD =CD ， DE ⊂平面EDCF ， ∴DE ⊥平面ABCD ．由题意，以D 为原点，DA 所在直线为x 轴，过D 作平行于AB 直线为y 轴， DE 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系， 如图所示：则A(1,0，0)，B(1,2，0)，E(0,0，√3)，F(−1,2，√3)， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,−2,√3)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，0)， 设平面ABE 的法向量为n⃗ =(x,y ，z)， ∴{−x −2y +√3z =02y =0, ∴y =0，令z =1，则x =√3，所以平面ABE 的法向量为n ⃗ =(√3,0，1)， 又DF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,2，√3)，∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =−√3+0+√3=0， ∴DF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥n ⃗ ；又∵DF ⊄平面ABE ， ∴DF//平面ABE ；(Ⅱ)∵BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1，−2，√3)，BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，√3)， 设平面BEF 的法向量为m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， ∴{−a −2b +√3c =0−2a +√3c =0,令c =4，则a =2√3,b =√3，则平面BEF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(2√3,√3,4)， 设平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角为θ， ∴cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=√31×2=5√3131， ∴平面ABE 与平面EFB 所成锐二面角的余弦值是5√3131； (Ⅲ)设DP⃗⃗⃗⃗⃗ =λDF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(−1,2，√3) =(−λ,2λ,√3λ)，λ∈[0,1]； ∴P(−λ,2λ,√3λ)，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−λ−1,2λ−2,√3λ)，又平面ABE 的法向量为n ⃗ =(√3,0，1)，设直线BP 与平面ABE 所成角为α， ∴sinα=|cos <BP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ >|=|BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||BP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |×|n ⃗⃗ |=√3(−λ√3λ|√(−λ−1)2+(2λ−2)2+(√3λ)2×2=√34， 化简得8λ2−6λ+1=0， 解得λ=12或λ=14；当λ=12时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32,−1,√32)，∴|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2；当λ=14时，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−54,−32,√34)，∴|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2；综上，|BP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2．20.解：(Ⅰ)设甲同学在A 处投中为事件A ，在B 处第i 次投中为事件B i (i =1,2)，由已知P(A)=14,P(B i )=45.X 的取值为0，2，3，4．则P(X =0)=1B 2)=P(A)P(B 1)P(B 2)=34×15×15=3100，P(X =2)=P(AB 1B 2)+P(AB 1B 2)=34×45×15+34×15×45=625，P(X =3)=P(A)=14，P(X =4)=P(AB 1B 2)=34×45×45=1225， X 的分布列为：X 的数学期望为：E(X)=0×3100+2×625+3×14+4×1225=315100=3.15． (Ⅱ)甲同学选择方案1通过测试的概率为P 1，选择方案2通过测试的概率为P 2，则P1=P(X=3)+P(X=4)=14+1225=73100=0.73，P2=P(B1B2)+P(B1B2B3)+P(B1B2B3)=45×45+15×45×45+45×15×45=112125=0.896，∵P2>P1，∴甲同学选择方案2通过测试的可能性更大．21.解：(Ⅰ)抛物线C：x2=−2py经过点(2,−1).可得4=2p，即p=2，可得抛物线C的方程为x2=−4y，准线方程为y=1；(Ⅱ)证明：抛物线x2=−4y的焦点为F(0,−1)，设直线方程为y=kx−1，联立抛物线方程，可得x2+4kx−4=0，设M(x1,y1)，N(x2,y2)，可得x1+x2=−4k，x1x2=−4，直线OM的方程为y=y1x1x，即y=−x14x，直线ON的方程为y=y2x2x，即y=−x24x，可得A(4x1,−1)，B(4x2,−1)，可得AB的中点的横坐标为2(1x1+1x2)=2⋅−4k−4=2k，即有AB为直径的圆心为(2k,−1)，半径为|AB|2=12|4x1−4x2|=2⋅√16k2+164=2√1+k2，可得圆的方程为(x−2k)2+(y+1)2=4(1+k2)，化为x2−4kx+(y+1)2=4，由x=0，可得y=1或−3．则以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点(0,1)，(0,−3)．22.解：(1)由f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，则，导函数中2e x+1>0恒成立，当a≤0时，ae x−1<0恒成立，所以在x∈R上有，所以f(x)在(−∞,+∞)上单调递减；当a>0时，令0'/>，，令，解得，∴在上，f(x)单调递减，在上，f(x)单调递增．综上可知：当a≤0时，f(x)在R单调递减，当a>0时，f(x)在(−∞,ln1a )是减函数，在(ln1a,+∞)是增函数；(2)若a≤0时，由(1)可知：f(x)最多有一个零点，所以a≤0不符合题意；当a>0时，f(x)=ae2x+(a−2)e x−x，函数有两个零点，f(x)的最小值必须小于0，由(1)知，，f(x)min<0，即，令，0'/>，所以ℎ(a)在(0,+∞)上单调递增，又因为ℎ(1)=0，此时解得0<a<1．接下来说明0<a<1时f(x)存在两个零点：当x<0时，ae2x>0，(a−2)e x>a−2，此时f(x)>a−2−x，故f(a−2)>0，又f(x)在上单调递减，，故存在，使得f(x1)=0，当时，易证−x>−e x，此时f(x)>ae2x+(a−3)e x=ae x[e x+(a−3)a]，故，且满足，又f(x)在上单调递增，，故存在使得f(x2)=0，所以当0<a<1时，f(x)存在两个零点．综上所述，a的取值范围是(0,1)．。
2017-2018学年山东省济宁市梁山一中高考数学模拟试卷(文科)(11月份) Word版含解析
2017-2018学年山东省济宁市梁山一中高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]2．已知复数z满足（2﹣i）2•z=1，则z的虚部为（）A．B．C．D．3．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假B．“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减4．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为2，则输出的i值为（）A．2 B． 3 C． 4 D． 55．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．6．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后得到g（x）=cos（2x+），则φ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．7．在区间[0，2π]上任取一个数x，则使得2sinx＞1的概率为（）A．B．C．D．8．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．3C．5D．59．已知函数f（x）=，则y=f（2﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．10．设函数f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，当x∈[﹣1，0]，f（x）=x2e﹣（x+1）．若g（x）=f（x）﹣log a x在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点，则a的取值范围为（）A．[3，5] B．[4，6] C．（3，5）D．（4，6）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．已知=（1，0），=（2，3），则（2﹣）•（+）=．12．设x，y满足约束条件，则x2+y2的最大值为．13．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为．14．直线截圆x2+y2=4得劣弧所对的圆心角为．15．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=x2+1}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}；其中是“垂直对点集”的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共75分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•漳州模拟）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若α是第一象限角，且f（α+）=，求tan（α﹣）的值．17．（12分）（2015•菏泽二模）某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有300ml 和500ml两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：型号甲样式乙样式丙样式300ml z 2500 3000500ml 3000 4500 5000按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个300ml的杯子的概率．18．（12分）（2015•菏泽二模）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P﹣ABFED，且PB=．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求四棱锥P﹣BFED的体积．19．（12分）（2015•菏泽二模）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m恒成立，求m的最大值．20．（13分）（2015•菏泽二模）已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，A、B是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于A、B的动点，且△ADB面积的最大值为12．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：当点P（x0，y0）在椭圆C上运动时，直线l：x0x+y0y=2与圆O：x2+y2=1恒有两个交点，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．21．（14分）（2015•菏泽二模）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．2015年山东省济宁市梁山一中高考数学模拟试卷（文科）（5月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1．已知集合，B={y|y=2x+1，x∈R}，则∁R（A∩B）=（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，1）C．（0，1] D．[0，1]考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，求出A与B的解集，进而确定交集的补角即可．解答：解：由A中不等式变形得：x（x﹣1）≥0，且x﹣1≠0，解得：x≤0或x＞1，即A=（﹣∞，0]∪（1，+∞），由B中y=2x+1＞1，即B=（1，+∞），∴A∩B=（1，+∞），则∁R（A∩B）=（﹣∞，1]，故选：A．点评：此题考查了交、并、补角的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．2．已知复数z满足（2﹣i）2•z=1，则z的虚部为（）A．B．C．D．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．解答：解：∵（2﹣i）2=3﹣4i，∴==，∴z的虚部为，故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，属于基础题．3．下列说法不正确的是（）A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假B．“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减考点：的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：分别根据复合真假之间的关系，含有量词的的否定，充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：A．若“p且q”为假，则p、q至少有一个是假，正确．B．“∃x0∈R，x02﹣x0﹣1＜0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x﹣1≥0”，正确，C．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充分不必要条件，故C错误．D．a＜0时，幂函数y=x a在（0，+∞）上单调递减，正确．故选：C点评：本题主要考查的真假判断，涉及的知识点较多，比较基础．4．执行如图所示的程序框图，若输入k的值为2，则输出的i值为（）A．2 B． 3 C． 4 D． 5考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当，S=时不满足条件S≤2，退出循环，输出i的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得k=2，i=1，S=1满足条件S≤2，i=2，S=满足条件S≤2，i=3，S=满足条件S≤2，i=4，S=＞2不满足条件S≤2，退出循环，输出i的值为4．故选：C．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确判断退出循环的条件是解题的关键，属于基础题．5．已知双曲线=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直，则双曲线的离心率等于（）A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：渐近线与直线x+3y+1=0垂直，得a、b关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出a、c的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与直线x+3y+1=0垂直．∴双曲线的渐近线方程为y=±3x∴=3，得b2=9a2，c2﹣a2=9a2，此时，离心率e==．故选：C．点评：本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．6．已知函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后得到g（x）=cos（2x+），则φ的值为（）A．﹣B．﹣C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：条件：“函数y=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后”可得y=sin[2（x+）+φ]）=cos（2x﹣+φ）=cos（2x+），从而可得﹣+φ=2kπ±，k∈Z，由|φ|＜π即可求出φ的值．解答：解：∵函数f（x）=sin（2x+φ）（|φ|＜π）的图象向左平移个单位后可得sin[2（x+）+φ]=sin（2x++φ）=cos（2x﹣+φ）=cos（2x+）=g（x），∴﹣+φ=2kπ±，k∈Z，∵|φ|＜π，∴可解得φ=．故选：C．点评：本题主要考查三角函数的平移以及三角函数的性质，解决此问题时要注意数形结合思想的运用，属于基础题．7．在区间[0，2π]上任取一个数x，则使得2sinx＞1的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：由于在区间[0，2π]内随机取一个数，故基本事件是无限的，而且是等可能的，属于几何概型，求出满足2sinx＞1的区间长度，即可求得概率．解答：解：∵2sinx＞1，x∈[0，2π]，∴，∴，故选：C．点评：本题考查了几何概型的运用；关键是找到2sinx＞1，x∈[0，2π]的x的范围，利用区间长度的比，得到所求概率．8．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A．2B．3C．5D．5考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是正三棱柱与一球体的组合体，结合数据求出它的体积．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是底部为正三棱柱，上部为一球体的组合体；且正三棱柱的底面三角形的边长为2，高为5，球的半径为×=；∴该组合体的体积为V=V三棱柱+V球=×2××5+π×=5+π．故选：D．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题时应根据三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．9．已知函数f（x）=，则y=f（2﹣x）的大致图象是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：先由f（x）的函数表达式得出函数f（2﹣x）的函数表达式，由函数表达式易得答案．解答：解：∵函数f（x）=，则y=f（2﹣x）=，故函数f（2﹣x）仍是分段函数，以x=1为界分段，只有A符合，故选：A．点评：本题主要考查分段函数的性质，对于分段函数求表达式，要在每一段上考虑．10．设函数f（x）是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，当x∈[﹣1，0]，f（x）=x2e﹣（x+1）．若g（x）=f（x）﹣log a x在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点，则a的取值范围为（）A．[3，5] B．[4，6] C．（3，5）D．（4，6）考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；作图题；函数的性质及应用．分析：由题意可判断出函数f（x）是周期为2的偶函数，从而作出函数的图象，结合图象求a的取值范围．解答：解：∵对任意的实数x，恒有f（x）﹣f（﹣x）=0，∴函数f（x）是周期为2的偶函数，又∵当x∈[﹣1，0]，f（x）=x2e﹣（x+1），而g（x）=f（x）﹣log a x在x∈（0，+∞）有且仅有三个零点可化为函数f（x）与y=log a x在x∈（0，+∞）上有三个不同的交点，故作函数f（x）与y=log a x在（0，+∞）上的图象可得，由图象可得，log a3＜1，log a5＞1；故3＜a＜5；故选C．点评：本题考查了函数的图象的作法与应用，属于基础题．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中相应题的横线上．11．已知=（1，0），=（2，3），则（2﹣）•（+）=﹣9．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据平面向量的数量积的坐标公式进行运算即可．解答：解：∵=（1，0），=（2，3），∴2﹣=（0，﹣3），+=（3，3），则（2﹣）•（+）=﹣3×3=﹣9，故答案为：﹣9点评：本题主要考查平面向量数量积的坐标运算，比较基础．12．设x，y满足约束条件，则x2+y2的最大值为29．考点：简单线性规划的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=x2+y2表示（0，0）到可行域的距离的平方，只需求出（0，0）到可行域的距离的最大值即可．解答：解：根据约束条件画出可行域z=x2+y2表示（0，0）到可行域的距离的平方，当在区域内点A时，距离最大，，可得A（2，5）最大距离为，x2+y2的最大值为：29．故答案为：29．点评：本题主要考查了简单的线性规划的应用，以及利用几何意义求最值，属于中档题．13．对大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：23，33，43，…仿此，若m3的“分裂”数中有一个是73，则m的值为9．考点：等差数列的通项公式；数列的函数特性．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…a m﹣a m﹣1=2（m﹣1），累加由等差数列的求和公式可得a m，验证可得．解答：解：由题意可得m3的“分裂”数为m个连续奇数，设m3的“分裂”数中第一个数为a m，则由题意可得a3﹣a2=7﹣3=4=2×2，a4﹣a3=13﹣7=6=2×3，…a m﹣a m﹣1=2（m﹣1），以上m﹣2个式子相加可得a m﹣a2==（m+1）（m﹣2），∴a m=a2+（m+1）（m﹣2）=m2﹣m+1，∴当m=9时，a m=73，即73是93的“分裂”数中的第一个故答案为：9点评：本题考查等差数列的通项公式和求和公式，涉及累加法求数列的通项公式，属中档题．14．直线截圆x2+y2=4得劣弧所对的圆心角为．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：运用垂径定理求出弦心距，通过直角三角形得出所求圆心角一半的余弦，得出圆心角的一半，从而得出圆心角是．解答：解：设圆心为C，可得C到直线的距离为，Rt△AMC中，半径AC=2，可得cos∠ACM=所以∠ACM=，由垂径定理得，圆心角∠ACB=2∠ACM=，故答案为．点评：本题考查了运用垂径定理解决直线与圆相交所成的圆心角大小问题，属于基础题．15．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①M={（x，y）|y=x2+1}；②M={（x，y）|y=log2x}；③M={（x，y）|y=2x﹣2}；④M={（x，y）|y=sinx+1}；其中是“垂直对点集”的序号是③④．考点：元素与集合关系的判断．专题：集合．分析：对于①利用渐近线互相垂直，判断其正误即可．对于②、③、④通过函数的定义域与函数的值域的范围，画出函数的图象，利用“垂直对点集”的定义，即可判断正误；解答：解：对于①M={（x，y）|y=x2+1}，取点（0，1），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，不是“垂直对点集”．对于②M={（x，y）|y=log2x}，取点（1，0），曲线上不存在另外的点，使得两点与原点的连线互相垂直，所以不是“垂直对点集”．对于③M={（x，y）|y=2x﹣2}，如下图红线的直角始终存在，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，满足“垂直对点集”的定义，所以是“垂直对点集”；正确．对于④M={（x，y）|y=sinx+1}，对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，满足“垂直对点集”的定义，所以M是“垂直对点集”；正确．所以③④正确．故答案为：③④点评：本题考查“垂直对点集”的定义，利用对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，是本题解答的关键，函数的基本性质的考查，注意存在与任意的区别．三、解答题：本大题共6小题，共75分．把解答写在答题卡中．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（12分）（2015•漳州模拟）已知函数f（x）=sin（x﹣）+cosx．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）若α是第一象限角，且f（α+）=，求tan（α﹣）的值．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）首先对三角函数关系式进行恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用（1）求出的函数关系式，进一步求出函数的正弦值和余弦值，进一步求出函数的正切值，最后求出结果．解答：解：（1）f（x）=sin（x﹣）+cosx===所以：函数f（x）的最小正周期为：（2）由于f（x）=则：f（）=sin（）=cosα=由于α是第一象限角所以：sinα=则：则：tan（α﹣）=点评：本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的周期的应用，三角函数的求值问题，属于基础题型．17．（12分）（2015•菏泽二模）某厂家生产甲、乙、丙三种样式的杯子，每种杯子均有300ml 和500ml两种型号，某月的产量（单位：个）如下表所示：型号甲样式乙样式丙样式300ml z 2500 3000500ml 3000 4500 5000按样式用分层抽样的方法在这个月生产的杯子中随机的抽取100个，其中有乙样式的杯子35个．（Ⅰ）求z的值；（Ⅱ）用分层抽样的方法在甲样式的杯子中抽取一个容量为5的样本，从这个样本中任取2个杯子，求至少有1个300ml的杯子的概率．考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）设在丙样式的杯子中抽取了x个，利用抽样比直接求解即可．（Ⅱ）设所抽样本中有m个300ml的杯子，求出从中任取2个300ml的杯子的所有基本事件个数，求出至少有1个300ml的杯子的基本事件个数，然后求解概率．解答：解：（Ⅰ）设在丙样式的杯子中抽取了x个，由题意，∴x=40．∴在甲样式的杯子中抽取了100﹣40﹣35=25个，∴，解得z=2000．（Ⅱ）设所抽样本中有m个300ml的杯子，∴△=4k2b2﹣4（k2+3）（b2﹣6）=12（k2﹣b2+6）＞0，∴m=2．也就是抽取的5个样本中有2个300ml的杯子，分别记作A1，A2；3个500ml的杯子，分别记作B1，B2，B3．则从中任取2个300ml的杯子的所有基本事件为（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），（B1，B2），（B1，B3），（B2，B3），共10个．其中至少有1个300ml的杯子的基本事件有（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A1，A2），共7个∴至少有1个300ml的杯子的概率为．点评：本题考查古典概型的概率的求法，分层抽样的应用，基本知识的考查．18．（12分）（2015•菏泽二模）如图1，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，AC∩EF=O．沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到如图2的五棱锥P﹣ABFED，且PB=．（1）求证：BD⊥平面POA；（2）求四棱锥P﹣BFED的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（1）由三角形的中位线定理可证BD∥EF，再由菱形的对角线互相垂直证得BD⊥AC．即可得到EF⊥AO，再由已知可得EF⊥PO，然后利用线面垂直的判定得答案；（2）设AO∩BD=H，连接BO，结合已知可得HO=PO=，通过解直角三角形求得PO⊥平面BFED．然后求出梯形BFED的面积，代入棱锥的体积公式得答案．解答：（1）证明：如图，∵点E，F分别是边CD，CB的中点，∴BD∥EF．∵菱形ABCD的对角线互相垂直，∴BD⊥AC．∴EF⊥AC．∴EF⊥AO，EF⊥PO．∵AO⊂平面POA，PO⊂平面POA，AO∩PO=O，∴EF⊥平面POA．∴BD⊥平面POA．（2）解：设AO∩BD=H，连接BO，∵∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形．∴BD=4，BH=2，HA=，HO=PO=．在Rt△BHO中，，在△PBO中，BO2+PO2=10=PB2，∴PO⊥BO．∵PO⊥EF，EF∩BO=O，EF⊂平面BFED，BO⊂平面BFED，∴PO⊥平面BFED．梯形BFED的面积为，∴四棱锥P﹣BFED的体积=3．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，是中档题．19．（12分）（2015•菏泽二模）已知数列{a n}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为S n，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}满足a n+1=（），T n为数列{b n}的前n项和，若T n≥m恒成立，求m的最大值．考点：数列递推式；等差数列的通项公式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）法一：由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，推出4a3=a1，求出公比，然后求解通项公式．（Ⅰ）法二：由S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列，结合等比数列的和，求出公比，然后求解通项公式．（Ⅱ）求出，利用错位相减法求出，转化T n≥m恒成立，为（T n）min≥m，通过{T n}为递增数列，求解m的最大值即可．解答：解：（Ⅰ）法一：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）∴S3﹣S1+S3﹣S2=a1+a2﹣2a3，即4a3=a1，于是，∵q＞0，∴；∵a1=1，∴．（Ⅰ）法二：由题意可知：2（S3+a3）=（S1+a1）+（S2+a2）当q=1时，不符合题意；当q≠1时，，∴2（1+q+q2+q2）=2+1+q+q，∴4q2=1，∴，∵q＞0，∴，∵a1=1，∴．（Ⅱ）∵，∴，∴，∴（1）∴（2）∴（1）﹣（2）得：=∴∵T n≥m恒成立，只需（T n）min≥m∵∴{T n}为递增数列，∴当n=1时，（T n）min=1，∴m≤1，∴m的最大值为1．点评：本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，数列的通项公式的求法以及数列求和的方法的应用，数列的函数的性质，考查计算能力．20．（13分）（2015•菏泽二模）已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为，A、B是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于A、B的动点，且△ADB面积的最大值为12．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：当点P（x0，y0）在椭圆C上运动时，直线l：x0x+y0y=2与圆O：x2+y2=1恒有两个交点，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆的标准方程为，由△ADB面积的最大值为12，可得，联立，解得即可．（2）由于点P（x0，y0）在椭圆C上运动，可得．圆心O到直线l：x0x+y0y=2的距离d=（），即可证明直线l：x0x+y0y=2与圆O：x2+y2=1恒有两个交点．利用弦长公式可得，即可得出．解答：（1）解：设椭圆的标准方程为，∵△ADB面积的最大值为12，∴，即ab=12．联立，解得a=4，b=3，∴椭圆C的标准方程为．（2）证明：∵点P（x0，y0）在椭圆C上运动，∴，∴．∴圆心O到直线l：x0x+y0y=2的距离=（），∴直线l：x0x+y0y=2与圆O：x2+y2=1恒有两个交点．，∵，∴，∴．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与圆相交问题转化为圆心到直线的距离与圆的半径大小比较、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了分析问题与解决问题的能力，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（14分）（2015•菏泽二模）已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+，求函数h（x）的单调区间；（Ⅲ）若g（x）=﹣，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，求a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出切点（1，1），求出，然后求解斜率k，即可求解曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程．（Ⅱ）求出函数的定义域，函数的导函数，①a＞﹣1时，②a≤﹣1时，分别求解函数的单调区间即可．（Ⅲ）转化已知条件为函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0，利用第（Ⅱ）问的结果，通过①a≥e﹣1时，②a≤0时，③0＜a＜e﹣1时，分别求解函数的最小值，推出所求a的范围．解答：解：（Ⅰ）当a=2时，f（x）=x﹣2lnx，f（1）=1，切点（1，1），∴，∴k=f′（1）=1﹣2=﹣1，∴曲线f（x）在点（1，1）处的切线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），即x+y﹣2=0．（Ⅱ），定义域为（0，+∞），，①当a+1＞0，即a＞﹣1时，令h′（x）＞0，∵x＞0，∴x＞1+a令h′（x）＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1+a．②当a+1≤0，即a≤﹣1时，h′（x）＞0恒成立，综上：当a＞﹣1时，h（x）在（0，a+1）上单调递减，在（a+1，+∞）上单调递增．当a≤﹣1时，h（x）在（0，+∞）上单调递增．（Ⅲ）由题意可知，在[1，e]上存在一点x0，使得f（x0）≤g（x0）成立，即在[1，e]上存在一点x0，使得h（x0）≤0，即函数在[1，e]上的最小值[h（x）]min≤0．由第（Ⅱ）问，①当a+1≥e，即a≥e﹣1时，h（x）在[1，e]上单调递减，∴，∴，∵，∴；②当a+1≤1，即a≤0时，h（x）在[1，e]上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1+1+a≤0，∴a≤﹣2，③当1＜a+1＜e，即0＜a＜e﹣1时，∴[h（x）]min=h（1+a）=2+a﹣aln（1+a）≤0，∵0＜ln（1+a）＜1，∴0＜aln（1+a）＜a，∴h（1+a）＞2此时不存在x0使h（x0）≤0成立．综上可得所求a的范围是：或a≤﹣2．点评：本题考查函数的导数的综合应用，曲线的切线方程函数的单调性以及函数的最值的应用，考查分析问题解决问题得到能力．。
2018年山东省济宁市高考一模数学试卷(文科)【解析版】
2018年山东省济宁市高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（）A．2B．3C．4D．82．（5分）已知复数的实部与虚部的和为1，则实数a的值为（）A．0B．1C．2D．33．（5分）在区间[0，2]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．4．（5分）已知函数f（x）是定义R在上周期为4的奇函数，且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣x2，则f（﹣5）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．35．（5分）执行下列程序框图，若输入的n等于5，则输出的结果是（）A．﹣3B．C．D．26．（5分）已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）（O为坐标原点）的焦点，倾斜角为的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A，当|AF|＝2时，抛物线方程为（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x7．（5分）将函数的图象向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则图象y＝g（x）的一个对称中心为（）A．B．C．D．8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A．B．4C．5D．69．（5分）某底面为正方形的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．2B．C．D．10．（5分）已知函数，则函数f（x）的值域为（）A．（0，e+1]B．（0，e+1）C．D．11．（5分）设数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且2na n＝（n﹣1）a n﹣1+（n+1）a n+1（n≥2且n∈N*），则a18＝（）A．B．C．3D．12．（5分）已知F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若直线与双曲线C在第一象限交于点P，过P向x轴作垂线，垂足为D，且D为OF2（O为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，，若向量与垂直，则m的值是．14．（5分）等比数列{a n}的公比为，若a1+a2＝3，则S5＝．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，P A＝3，则该三棱锥的内切球的体积为．16．（5分）已知函数（e为自然对数的底数），若f（3a2）+f（2a﹣1）≥0，则实数a的取值范围是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B ＝sin C．（1）求角A的大小；（2）若，角B的平分线交AC于点D，求线段BD的长度．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，M 是棱AB的中点．（1）证明：平面C1CM⊥平面ABB1A1；（2）若MC1与平面ACC1A1所成角的正弦值为，求四棱锥M﹣ACC1A1的体积．19．（12分）某快餐代卖店代售多种类型的快餐，深受广大消费者喜爱．其中，A种类型的快餐每份进价为8元，并以每份12元的价格销售．如果当天20：00之前卖不完，剩余的该种快餐每份以5元的价格作特价处理，且全部售完．（1）若该代卖店每天定制15份A种类型快餐，求A种类型快餐当天的利润y （单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x∈N）的函数解析式；（2）该代卖店记录了一个月30天的A种类型快餐日需求量（每天20：00之前销售数量）（i）假设代卖店在这一个月内每天定制15份A种类型快餐，求这一个月A种类型快餐的日利润（单位：元）的平均数（精确到0.1）；（ii）若代卖店每天定制15份A种类型快餐，以30天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求A种类型快餐当天的利润不少于52元的概率．20．（12分）已知椭圆C：，直线l：y＝kx+1（k≠0）与椭圆C 相交于A，B两点，D为AB的中点．（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO ＝∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣2y﹣3＝0，求实数a 的值；（2）当a＞0时，证明函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x恰有一个零点．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）在极坐标系下，设曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|MN|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范围．2018年山东省济宁市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}，则满足条件B⊆A的集合B的个数为（）A．2B．3C．4D．8【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|x2+3x＜0}＝{x∈Z|﹣3＜x＜0}＝{﹣2，﹣1}，∴满足条件B⊆A的集合B的个数为22＝4．故选：C．2．（5分）已知复数的实部与虚部的和为1，则实数a的值为（）A．0B．1C．2D．3【解答】解：∵＝的实部与虚部的和为1，∴，即a＝2．故选：C．3．（5分）在区间[0，2]上随机取一个数x，使的概率为（）A．B．C．D．【解答】解：∵0≤x≤2，∴0≤≤π，∵sin≥，∴≤≤，即≤x≤，∴P＝＝．故选：A．4．（5分）已知函数f（x）是定义R在上周期为4的奇函数，且当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣x2，则f（﹣5）的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．3【解答】解：根据条件：f（﹣5）＝﹣f（5）＝﹣f（1+4）＝﹣f（1）＝﹣（2×1﹣12）＝﹣1．故选：B．5．（5分）执行下列程序框图，若输入的n等于5，则输出的结果是（）A．﹣3B．C．D．2【解答】解：若输入的n等于5，则当i＝1时，满足继续循环的条件，S＝﹣3，i＝2；当i＝2时，满足继续循环的条件，S＝﹣，i＝3；当i＝3时，满足继续循环的条件，S＝，i＝4；当i＝4时，满足继续循环的条件，S＝2，i＝5；当i＝5时，不满足继续循环的条件，故输出的S＝2，故选：D．6．（5分）已知点F是抛物线y2＝2px（p＞0）（O为坐标原点）的焦点，倾斜角为的直线l过焦点F且与抛物线在第一象限交于点A，当|AF|＝2时，抛物线方程为（）A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x【解答】解：过A作AB⊥x轴于B点，则在Rt△ABF中，∠AFB＝，|AF|＝2，∴|BF|＝|AF|＝1，则，∴|AF|＝，得p＝1．∴抛物线的方程为y2＝2x．故选：B．7．（5分）将函数的图象向右平移个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）的图象，则图象y＝g（x）的一个对称中心为（）A．B．C．D．【解答】解：将函数的图象向右平移个单位，得到：y＝2sin（x﹣）﹣1的图象，再把所有的点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数y＝g（x）＝2sin（2x﹣）﹣1的图象，令：（k∈Z），解得：x＝（k∈Z），当k＝0时，x＝，所以：函数的对称中心为：（），故选：C．8．（5分）已知实数x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值为（）A．B．4C．5D．6【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，﹣），化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过A时，z有最小值为．故选：A．9．（5分）某底面为正方形的四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的表面积为（）A．2B．C．D．【解答】解：由三视图可知三棱锥的底面ABCD是正方形，对角线AC＝BD＝，侧棱PB⊥平面ABCD，PB＝1，则四棱锥的底面边长AB＝1，则底面面积为1，S△P AB＝S△PBC＝×1×1＝，∵PD＝＝，P A＝＝，∵AD＝1，∴PD2＝P A2+AD2，∴S＝1×，△P AD＝，同理可得S△PDC故四棱锥的表面积为为+1++＝2+，故选：B．10．（5分）已知函数，则函数f（x）的值域为（）A．（0，e+1]B．（0，e+1）C．D．【解答】解：当x＞1时，由f（x）＝，得f′（x）＝，∴当x∈（1，e）时，f′（x）＞0，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0．∴f（x）在（1，e）上为增函数，在（e，+∞）上为减函数，∵当x→1+时，f（x）→0，当x→+∞时，f（x）→0，且f（e）＝，∴f（x）在（1，+∞）上的值域为（0，]；当x≤1时，f（x）＝e x+1为增函数，∴1＜e x+1≤e+1，即f（x）在（﹣∞，1]上的值域为（1，e+1]．综上，函数f（x）的值域为．故选：D．11．（5分）设数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且2na n＝（n﹣1）a n﹣1+（n+1）a n+1（n≥2且n∈N*），则a18＝（）A．B．C．3D．【解答】解：∵数列{a n}满足a1＝1，a2＝2，且2na n＝（n﹣1）a n﹣1+（n+1）a n+1（n≥2且n∈N*），∴令b n＝na n，则由2na n＝（n﹣1）a n+（n+1）a n+1，得2b n＝b n﹣1+b n+1，﹣1∴数列{b n}构成以1为首项，以2a2﹣a1＝3为公差的等差数列，则b n＝1+3（n﹣1）＝3n﹣2，即na n＝3n﹣2，∴a n＝，∴＝．故选：B．12．（5分）已知F1、F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，若直线与双曲线C在第一象限交于点P，过P向x轴作垂线，垂足为D，且D为OF2（O为坐标原点）的中点，则该双曲线离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：把y＝x代入双曲线方程：得：x2＝，∵D为OF2（O为坐标原点）的中点，∴＝，又b2＝c2﹣a2，∴4a2（c2﹣a2）＝c2（c2﹣4a2），4a4﹣8a2c2+c4＝0，∴4﹣8e2+e4＝0，解得e2＝4+2或e2＝4﹣2，又e＞1，∴e＝+1．故选：D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．（5分）已知，，若向量与垂直，则m的值是．【解答】解：根据题意，，，则﹣＝（﹣1，m﹣3），若向量与垂直，则有（﹣）•＝（﹣1）×（﹣1）+（m﹣3）×3＝0，解可得：m＝；故答案为：．14．（5分）等比数列{a n}的公比为，若a1+a2＝3，则S5＝．【解答】解：∵等比数列{a n}的公比为，a1+a2＝3，∴，解得a1＝2，∴S5＝＝．故答案为：．15．（5分）已知三棱锥P﹣ABC中，P A⊥底面ABC，AC＝4，BC＝3，AB＝5，P A＝3，则该三棱锥的内切球的体积为．【解答】解：∵P A⊥底面ABC，∴P A是三棱锥P﹣ABC的高，∵AC＝4，BC＝3，AB＝5，∴AC⊥BC，∴PC2＝P A2+AC2＝9+16＝25，PB2＝P A2+AB2＝9+25＝34，∴PB2＝PC2+BC2，∴S△ABC＝×AC×BC＝×4×3＝6，S△P AC＝×AC×P A＝×4×3＝6，S△P AB＝×AB×P A＝×5×3＝，S△PCB＝×PC×BC＝×5×3＝，∴V P﹣ABC ＝×P A•S△ABC＝×3×6＝6，设内切球半径为r，则V P﹣ABC ＝r（S△ABC+S△P AC+S△P AB+S△PCB）＝r×（6+6++）＝9r，∴9r＝6，∴r＝∴V＝×π×（）3＝，内切球故答案为：16．（5分）已知函数（e为自然对数的底数），若f（3a2）+f（2a﹣1）≥0，则实数a的取值范围是．【解答】解：根据题意，函数，其定义域为R，有f（﹣x）＝﹣e﹣x+2（﹣x）﹣（﹣x）3＝﹣（﹣e x+2x﹣x3）＝﹣f（x），则函数f（x）为奇函数，又由f′（x）＝﹣﹣e x+2﹣x2＝﹣[（+e x﹣2）+x2]，又由+e x≥2，则有f′（x）＜0，函数在R上为减函数，f（3a2）+f（2a﹣1）≥0⇒f（3a2）≥﹣f（2a﹣1）⇒f（3a2）≥f（1﹣2a）⇒3a2≤1﹣2a，解可得：﹣1≤a≤，则a的取值范围为；故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin B ＝sin C．（1）求角A的大小；（2）若，角B的平分线交AC于点D，求线段BD的长度．【解答】解：（1）由sin B＝sin C及正弦定理知b＝c，又，由余弦定理得＝．由A∈（0，π），可得；（2）由（1）知，在△BCD中知，，又，在△BCD中，由正弦定理得．即有BD＝，可得BD＝．18．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，M 是棱AB的中点．（1）证明：平面C1CM⊥平面ABB1A1；（2）若MC1与平面ACC1A1所成角的正弦值为，求四棱锥M﹣ACC1A1的体积．【解答】证明：（1）在△ABC中，∵AC＝BC，M是棱AB的中点，∴CM⊥AB．由直三棱柱的性质知：BB1⊥平面ABC，CM⊂平面ABC，∴BB1⊥CM．又AB∩BB1＝B，∴CM⊥平面ABB1A1，∵CM⊂平面C1CM，∴平面C1CM⊥平面ABB1A1．解：（2）取AC的中点O，连接OM，OC1，则OM∥BC，由直三棱柱的性质知：CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥BC，又BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴MO⊥平面ACC1A1，∴∠MC1O为直线MC1与平面ACC1A1所成的角，∴，又∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴OM＝1，，∴，即．∴，∴四棱锥M﹣ACC1A1的体积：＝．19．（12分）某快餐代卖店代售多种类型的快餐，深受广大消费者喜爱．其中，A种类型的快餐每份进价为8元，并以每份12元的价格销售．如果当天20：00之前卖不完，剩余的该种快餐每份以5元的价格作特价处理，且全部售完．（1）若该代卖店每天定制15份A种类型快餐，求A种类型快餐当天的利润y （单位：元）关于当天需求量x（单位：份，x∈N）的函数解析式；（2）该代卖店记录了一个月30天的A种类型快餐日需求量（每天20：00之前销售数量）（i）假设代卖店在这一个月内每天定制15份A种类型快餐，求这一个月A种类型快餐的日利润（单位：元）的平均数（精确到0.1）；（ii）若代卖店每天定制15份A种类型快餐，以30天记录的日需求量的频率作为日需求量发生的概率，求A种类型快餐当天的利润不少于52元的概率．【解答】解：（1）当日需求量x≥15时，利润y＝60．当日需求量x＜15时，利润y＝4x﹣3（15﹣x）＝7x﹣45．所以y关于x的函数解析式为（x∈N）．（2）（i）这30天中有4天的日利润为39元，5天的日利润为46元，6天的日利润为53元，15天的日利润为60元，所以这30天的日利润的平均数为+53×6+60×15）＝53.5．（ii）利润不低于52元当且仅当日需求量不少于14份的概率为．20．（12分）已知椭圆C：，直线l：y＝kx+1（k≠0）与椭圆C 相交于A，B两点，D为AB的中点．（1）若直线l与直线OD（O为坐标原点）的斜率之积为，求椭圆C的方程；（2）在（1）的条件下，y轴上是否存在定点M使得当k变化时，总有∠AMO ＝∠BMO（O为坐标原点）．若存在，求出定点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由得（4+a2k2）x2+2a2kx﹣3a2＝0，显然△＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），则，，∴，．∴＝．∴a2＝8．所以椭圆C的方程为．（2）假设存在定点M，且设M（0，m），由∠AMO＝∠BMO得k AM+k BM＝0．∴．即y1x2+y2x1﹣m（x1+x2）＝0，∴2kx1x2+x1+x2﹣m（x1+x2）＝0．由（1）知，，∴．∴m＝4．所以存在定点M（0，4）使得∠AMO＝∠BMO．21．（12分）已知函数．（1）若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为4x﹣2y﹣3＝0，求实数a 的值；（2）当a＞0时，证明函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x恰有一个零点．【解答】解：（1）函数的导数为，由切线的斜率为2得f′（1）＝a+1＝2．∴a＝1；（2）证明：﹣（a+1）x，x＞0，∴，①当0＜a＜1时，由g'（x）＞0得0＜x＜a或x＞1，g'（x）＜0得a＜x＜1，∴g（x）在（0，a）上递增，在（a，1）上递减，在（1，+∞）上递增．又＜0，g（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，∴当0＜a＜1时函数g（x）恰有一个零点；②当a＝1时，g'（x）≥0恒成立，g（x）在（0，+∞）上递增．又，g（4）＝ln4＞0，所以当a＝1时函数g（x）恰有一个零点；③当a＞1时，由g'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a，g'（x）＜0得1＜x＜a，∴g（x）在（0，1）上递增，在（1，a）上递减，在（a，+∞）上递增．又，g（2a+2）＝aln（2a+2）＞0，∴当a＞1时函数g（x）恰有一个零点．综上，当a＞0时，函数g（x）＝f（x）﹣（a+1）x恰有一个零点．（二）选考题：共10分.请考生在22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）在极坐标系下，设曲线C与射线和射线分别交于A，B两点，求△AOB的面积；（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|MN|的值．【解答】解：（1）直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（φ为参数），转换为直角坐标方程为：，转化为极坐标方程为：．则：曲线C与射线组成方程组得：，解得：．同理：曲线C与射线组成方程组得：，解得：，则：sin＝．（2）在直角坐标系下，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C相交于M，N两点，则：把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得：（t1和t2为M、N对应的参数）．故：，．则：|MN|＝|t1﹣t2|＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+a|+|x﹣2|（其中a∈R）．（1）当a＝﹣1时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若关于x的不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|恒成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）当a＝﹣1时，函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣2|；则不等式为|2x﹣1|+|x﹣2|≥6；①当x≥2时，原不等式为2x﹣1+x﹣2≥6，解得：x≥3；②当时，原不等式为2x﹣1+2﹣x≥6，解得：x≥5．此时不等式无解；③当时，原不等式为1﹣2x+2﹣x≥6，解得：x≤﹣1；∴原不等式的解集为{x|x≤﹣1或x≥3}；（2）不等式f（x）≥3a2﹣|2﹣x|即为|2x+a|+|x﹣2|≥3a2﹣|2﹣x|；即关于x的不等式|2x+a|+2|x﹣2|≥3a2恒成立；而|2x+a|+2|x﹣2|＝|2x+a|+|2x﹣4|≥|（2x+a）﹣（2x﹣4）|＝|a+4|；∴|a+4|≥3a2；∴a+4≥3a2或a+4≤﹣3a2；解得或a∈∅；所以a 的取值范围是．第21页（共21页）。
山东省济宁市梁山一中2017-2018学年高三下学期9月高考模拟数学(文)试卷 Word版含解析
山东省济宁市梁山一中2017-2018学年高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=( )A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=( )A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的( ) A．充分而不必要的条件B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．等差数列{a n}中，a4+a8=10，a10=6，则a18等于( )A．7 B．7.5 C．8 D．8.55．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．6．按如图程序框图来计算，若输入x=10，则运算的次数为( )A．6 B．5 C．4 D．37．若x，y满足，则x+2y的最大值为( )A．B．6 C．11 D．108．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )A．B．C．D．9．将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是( )A．B．C．D．10．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．9 B．10 C．11 D．11．已知曲线f（x）=x3﹣x2﹣（x＞1），则在该曲线上点（x0，f（x0））处切线斜率的最小值为( )A．7 B．8 C．9 D．1012．已知函数f（x）=x2+2a1og2（x2+2）+a2﹣3有且只有一个零点，则实数a的值为( ) A．1 B．﹣3 C．2 D．1或﹣3二、填室题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{a n}的前n项的和为S n=3n﹣1﹣r，则r=__________．14．已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=__________．15．在△ABC中，BC=1，∠B=，△ABC的面积S=，则sinC=__________．16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为__________．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且∠ACB=π．（I）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．18．甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数，如下表：零件尺寸x 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05零件个数y 甲 3 7 8 9 3乙7 4 4 4 a 由表中数据得y关于x的线性回归方程为y=﹣91+l00x（1.01≤x≤1.05），其中合格零件尺寸为1.03±0.0l（cm）．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关；合格零件数不合格零件数合计甲乙合计（Ⅱ）从甲、乙加工后尺寸大于1.03cm的零件中各取1个，求恰好取到2个都是不合格零件的概率．附：参考公式及临界值表．K2=，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19．如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；（2）求四棱锥P﹣BEFC的体积．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．21．已知圆心为F1的圆的方程为（x+2）2+y2=32，F2（2，0），C是圆F1上的动点，F2C的垂直平分线交F1C于M．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设N（0，2），过点P（﹣1，﹣2）作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．选修4-1：几何证明选讲22．选修4一1：几何证明选讲如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．山东省济宁市梁山一中2015届高考数学模拟试卷（文科）（4月份）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，则A∩B=( )A．{x|x＞2} B．{x|x＞1} C．{x|2＜x＜3} D．{x|1＜x＜3}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：直接利用交集运算求得答案．解答：解：∵A={x|x＞2}，B={x|1＜x＜3}，∴A∩B={x|x＞2}∩{x|1＜x＜3}={x|2＜x＜3}．故选：C．点评：本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=( )A．﹣5 B．5 C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的( ) A．充分而不必要的条件 B．必要而不充分的条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：充要条件；集合的包含关系判断及应用．专题：集合；简易逻辑．分析：通过集合的包含关系，以及充分条件和必要条件的判断，推出结果．解答：解：由题意A⊆C，则∁U C⊆∁U A，当B⊆∁U C，可得“A∩B=∅”；若“A∩B=∅”能推出存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C，∴U为全集，A，B是集合，则“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充分必要的条件．故选：C．点评：本题考查集合与集合的关系，充分条件与必要条件的判断，是基础题．4．等差数列{a n}中，a4+a8=10，a10=6，则a18等于( )A．7 B．7.5 C．8 D．8.5考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：由等差数列的性质可得a4+a8=2a6=10，可解得a6=5，可得数列的公差d，由通项公式可得．解答：解：由等差数列的性质可得a4+a8=2a6=10，解得a6=5，又a10=6，∴a10﹣a6=4d=1，其中d为数列的公差，∴a18=a10+8d=6+2×1=8．故选：C点评：本题考查等差数列的性质和通项公式，属基础题．5．已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，则该双曲线的离心率是( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，可得a=2b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为x﹣2y=0，∴a=2b，∴c=b，∴双曲线的离心率是e==．故选：D．点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．6．按如图程序框图来计算，若输入x=10，则运算的次数为( )A．6 B．5 C．4 D．3考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据题意，模拟程序框图的运行过程，即可求出运行结果，得出循环的次数．解答：解：模拟程序框图运行过程，如下；第一次循环，x=3x﹣2=28，不满足条件x＞2014，再次循环；第二次循环，x=3x﹣2=82，不满足条件x＞2014，再次循环；第三次循环，x=3x﹣2=244，不满足条件x＞2014，再次循环；第四次循环，x=3x﹣2=730，不满足条件x＞2014，再次循环；第五次循环，x=3x﹣2=2188，满足条件x＞2014，结束循环，因此循环次数为5次．故选：B．点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，求出运行结果即可，是基础题．7．若x，y满足，则x+2y的最大值为( )A．B．6 C．11 D．10考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，令z=x+2y，化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，由几何意义可得．解答：解：由题意作出其平面区域，令z=x+2y，化为y=﹣x+z，z相当于直线y=﹣x+z的纵截距，联立x﹣y+1=0与2x﹣y﹣2=0解得，x=3，y=4；则x+2y的最大值为3+2×4=11，故选C．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．8．已知P是△ABC所在平面内一点，，现将一粒黄豆随机撒在△ABC内，则黄豆落在△PBC内的概率是( )A．B．C．D．考点：向量的线性运算性质及几何意义；几何概型．专题：计算题；概率与统计．分析：根据向量加法的平行四边形法则，结合共线向量充要条件，得点P是△ABC边BC 上的中线AO的中点．再根据几何概型公式，将△PBC的面积与△ABC的面积相除可得本题的答案．解答：解：以PB、PC为邻边作平行四边形PBDC，则∵，∴，得=﹣2由此可得，P是△ABC边BC上的中线AO的中点，点P到BC的距离等于A到BC的距离的．∴S△PBC=S△ABC．将一粒黄豆随机撒在△ABC内，黄豆落在△PBC内的概率为P==故选C点评：本题给出点P满足的条件，求P点落在△PBC内的概率，着重考查了平面向量加法法则、向量共线的充要条件和几何概型等知识，属于基础题．9．将函数的图象向左平移m个单位（m＞0），若所得图象对应的函数为偶函数，则m的最小值是( )A．B．C．D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；正弦函数的奇偶性．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：先根据左加右减的原则进行平移得到平移后的解析式，再由其关于y轴对称得到2sin（x+m﹣）=2sin（﹣x+m﹣），再由两角和与差的正弦公式展开后由三角函数的性质可求得m的值，从而得到最小值．解答：解：y=sinx﹣cosx=2sin（x﹣）然后向左平移m（m＞0）个单位后得到y=2sin（x+m﹣）的图象为偶函数，关于y轴对称∴2sin（x+m﹣）=2sin（﹣x+m）∴sinxcos（m）+cosxsin（m）=﹣sinxcos（m）+cosxsin（m）∴sinxcos（m）=0∴cos（m）=0∴m=2kπ+，m=．∴m的最小值为．故选A．点评：本题主要考查三角函数的平移和两角和与差的正弦公式．注意平移时要根据左加右减上加下减的原则进行平移．10．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．9 B．10 C．11 D．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据得出该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案．解答：解：．由三视图可知该几何体是在底面为边长是2的正方形、高是3的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为×2×1=1、高为3的三棱锥形成的，V三棱锥==1，所以V=4×3﹣1=11．故选：C点评：本题考查了空间几何体的性质，求解体积，属于计算题，关键是求解底面积，高，运用体积公式．11．已知曲线f（x）=x3﹣x2﹣（x＞1），则在该曲线上点（x0，f（x0））处切线斜率的最小值为( )A．7 B．8 C．9 D．10考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：先求出曲线对应函数的导数，由基本不等式求出导数的最小值，即得到曲线斜率的最小值．解答：解：f（x）=x3﹣x2﹣（x＞1）的导数f′（x）=x2﹣2x+，∴在该曲线上点（x0，f（x0））处切线斜率k=x02﹣2x0+，即k=（x0﹣1）2+﹣1，由函数的定义域知x0＞1，即x0﹣1＞0，∴k≥2﹣1=7，当且仅当（x0﹣1）2=，即x0=3时，等号成立．∴k的最小值为7．故选A．点评：本题考查曲线的切线斜率与对应的函数的导数的关系，以及基本不等式的应用，体现了转化的数学思想．12．已知函数f（x）=x2+2a1og2（x2+2）+a2﹣3有且只有一个零点，则实数a的值为( ) A．1 B．﹣3 C．2 D．1或﹣3考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：先确定函数f（x）是偶函数，再由函数f（x）的零点个数有且只有一个故只能是f （0）=0，从而得到答案．解答：解：∵函数f（x）=x2+2a1og2（x2+2）+a2﹣3，f（﹣x）=f（x），∴f（x）为偶函数，∴y=f（x）的图象关于y轴对称，由题意知f（x）=0只有x=0这一个零点，把（0，0）代入函数表达式得：a2+2a﹣3=0，解得：a=﹣3（舍），或a=1，令t=x2，则f（x）=g（t）=t+2alog2（t+2）+a2﹣3．当a=1时，g（t）=t+2log2（t+2）﹣2，由于g（t）≥g（0）=0，当且仅当x=0时取等号，符合条件；当a=﹣3时，g（t）=t﹣6log2（t+2）+6，由g（30）=30﹣6×5+6＞0，g（14）=14﹣6×4+6＜0，知f（x）至少有三个根，不符合．所以，符合条件的实数a的值为1．故答案选：A．点评：本题主要考查函数零点的概念，要注意函数的零点不是点，而是函数f（x）=0时的x的值，属于中档题．二、填室题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．等比数列{a n}的前n项的和为S n=3n﹣1﹣r，则r=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：根据数列{a n}是等比数列可得a1=S1=1﹣r适合a n=S n﹣S n﹣1的通项公式，从而求出所求．解答：解：由S n=3n﹣1﹣rn≥2，a n=S n﹣S n﹣1=3n﹣1﹣r﹣3n﹣2+r=2•3n﹣2，由数列{a n}是等比数列可得a1=S1=1﹣r适合上式∴1﹣r=，∴r=．故答案为：．点评：本题主要考查了由数列的和求数列的项，解题的关键是灵活利用等比数列的定义．14．已知向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=，则||=．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用数量积的性质即可得出．解答：解：∵向量，夹角为45°，且||=1，|2﹣|=．∴=，化为=10，化为，∵，解得||=．故答案为：．点评：本题考查了数量积的性质，属于基础题．15．在△ABC中，BC=1，∠B=，△ABC的面积S=，则sinC=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：利用面积公式和已知条件求得BA，然后利用余弦定理求得AC，最后根据正弦定理求得sinC．解答：解：∵S=BC•BA•sinB=•1•BA•=，∴BA=4，∴AC===∵=，∴sinC=•sinB=×=．故答案为：．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．正弦定理和余弦定理主要解决问题三角形问题中边角问题的转化．16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，E为AA1的中点，OA⊥平面BDE，则球O的表面积为16π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：根据已知结合长方体锥的几何特征和球的几何特征，求出球的半径，代入可得球的表面积．解答：解：∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1内接于球O，底面ABCD是边长为2的正方形，设AA1=2a，E为AA1的中点，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x，y，z轴建立空间坐标系，则A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），E（0，0，a），C1（2，2，2a），O（1，1，a），则=（﹣2，2，0），=（﹣2，0，a），=（1，1，a），若OA⊥平面BDE，则，即，即a2﹣2=0，解得a=，∴球O的半径R满足：2R==4，故球O的表面积S=4πR2=16π，故答案为：16π．点评：本题考查的知识点是球的表面积，其中根据已知求出半径是解答的关键．三、解答题（本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且∠ACB=π．（I）若a、b、c依次成等差数列，且公差为2，求c的值；（Ⅱ）若c=，∠ABC=θ，试用θ表示△ABC的周长，并求周长的最大值．考点：正弦定理；等差数列的性质．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用a，b，c的等差关系，用c分别表示出a和b，利用余弦定理建立等式求得c．（Ⅱ）利用正弦定理用θ的三角函数来表示出AC，BC，表示出三角形ABC的周长，化简整理后利用三角函数的性质求得周长的最大值．解答：解（Ⅰ）∵a、b、c成等差数列，且公差为2，∴a=c﹣4、b=c﹣2．又∵，∴，∴，∴，恒等变形得c2﹣9c+14=0，解得c=7或c=2．又∵c＞4，∴c=7．（Ⅱ）在△ABC中，，∴，AC=2sinθ，．∴△ABC的周长f（θ）=|AC|+|BC|+|AB|===，又∵，∴，∴当即时，f（θ）取得最大值．点评：本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．学生熟练应用正弦和余弦定理的公式及变形公式是解题的基础．18．甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数，如下表：零件尺寸x 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05零件个数y 甲 3 7 8 9 3乙7 4 4 4 a 由表中数据得y关于x的线性回归方程为y=﹣91+l00x（1.01≤x≤1.05），其中合格零件尺寸为1.03±0.0l（cm）．（Ⅰ）完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关；合格零件数不合格零件数合计甲乙合计（Ⅱ）从甲、乙加工后尺寸大于1.03cm的零件中各取1个，求恰好取到2个都是不合格零件的概率．附：参考公式及临界值表．K2=，其中n=a+b+c+d．P（K2≥k）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828考点：独立性检验的应用．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）确定a=11，根据合格零件尺寸为1.03±0.0l（cm），可得列联表，计算K2，与临界值比较，即可判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关；（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，利用概率公式可得结论．解答：解：（Ⅰ），，由y=﹣91+l00x，得=﹣91+100×1.03，解之得a=11．由于合格零件尺寸为1.03±0.0l（cm），故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：合格零件数不合格零件数合计甲24 6 30乙12 18 30合计36 24 60…所以，因K2=10＞6.635，故有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关…（Ⅱ）尺寸大于1.03的零件中，甲有合格零件9个，不合格零件3个；乙有合格零件4个，不合格零件11个，设甲加工的合格零件为A1，A2，…，A9，甲加工的不合格零件为A10，A11，A12；乙加工的合格零件为B1，B2，B3，B4，乙加工的不合格零件为B5，B6，…，B15．因此，“从甲、乙中各取1个”的所有基本事件是：（A1，B1）、（A1，B2），…，（A1，B15）；（A2，B1），（A2，B2），…，（A2，B15）；…，（A12，B1）、（A12，B2），…，（A12，B15），共12×15=180种情况…其中，“取到的2个都是不合格零件”的基本事件是：（A10，B5）、（A10，B6），…，（A10，B15），…，（A12，B5）、（A12，B6），…，（A12，B15），共3×11=33种情况…故所求概率为…点评：根据列联表，计算K2，与临界值比较，是解决独立性检验的应用问题的方法，列举法是确定基本事件个数的基本方法．19．如图，E是矩形ABCD中AD边上的点，F为CD边的中点，，现将△ABE沿BE边折至△PBE位置，且平面PBE⊥平面BCDE．（1）求证：平面PBE⊥平面PEF；（2）求四棱锥P﹣BEFC的体积．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用折叠前的图形可判断BE⊥EF，由面面垂直的性质可得EF⊥平面PBE，再由线面垂直得面面垂直；（2）取BE的中点O，连接OP，可证PO为棱锥的高，求出棱锥的底面四边形BCFE的面积与高PO，代入公式计算．解答：解：（1）证明：∵，∴DE=AD=AB=2，∵F为CD边的中点，∴DE=DF，又DE⊥DF，∴∠DEF=45°，同理∠AEB=45°，∴∠BEF=45°，即EF⊥BE，又平面ABE⊥平面BCDE，平面ABE∩平面BCDE=BE，∴EF⊥平面PBE，EF⊂平面PEF，∴平面PBE⊥平面PEF；（2）取BE的中点O，连接OP，∵PB=PE，∴PO⊥BE，又平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE=BE，∴PO⊥平面BCDE，即PO为棱锥P﹣BEFC的高，PO=2，则．点评：本题利用折叠问题考查了面面垂直的证明，考查了棱锥的体积计算，解答折叠性问题要利用好折叠前图形的性质与数量关系．20．已知函数f（x）=lnx﹣ax2﹣2x（a＜0）（1）若函数f（x）在定义域内单调递增，求a的取值范围；（2）若a=﹣且关于x的方程f（x）=﹣x+b在[1，4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．考点：函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）对函数f（x）进行求导，令导数大于等于0在x＞0上恒成立即可．（2）将a的值代入整理成方程的形式，然后转化为函数考虑其图象与x轴的交点的问题．解答：解：（1）f'（x）=﹣（x＞0）依题意f'（x）≥0 在x＞0时恒成立，即ax2+2x﹣1≤0在x＞0恒成立．则a≤=在x＞0恒成立，即a≤[﹣1]min x＞0当x=1时，﹣1取最小值﹣1∴a的取值范围是（﹣∝，﹣1]（2）a=﹣，f（x）=﹣x+b∴设g（x）=则g'（x）=列表：X （0，1） 1 （1，2） 2 （2，4）g′（x）+ 0 ﹣0 +g（x）↑极大值↓极小值↑∴g（x）极小值=g（2）=ln2﹣b﹣2，g（x）极大值=g（1）=﹣b﹣，又g（4）=2ln2﹣b﹣2∵方程g（x）=0在[1，4]上恰有两个不相等的实数根．则，得ln2﹣2＜b≤﹣．点评：本题主要考查函数单调性与其导函数正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．21．已知圆心为F1的圆的方程为（x+2）2+y2=32，F2（2，0），C是圆F1上的动点，F2C的垂直平分线交F1C于M．（1）求动点M的轨迹方程；（2）设N（0，2），过点P（﹣1，﹣2）作直线l，交M的轨迹于不同于N的A，B两点，直线NA，NB的斜率分别为k1，k2，证明：k1+k2为定值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由椭圆的定义，得点M的轨迹是以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆，即可求得轨迹方程；（2）分直线l的斜率存在和不存在两种情况讨论，斜率不存在时，直接求出A，B的坐标，则k1、k2可求，求出k l+k2=4，当斜率存在时，设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于x的一元二次方程，利用根与系数关系得到A，B两点横坐标的和与积，写出斜率的和后代入A，B两点的横坐标的和与积，整理后得到k l+k2=4．从而证得答案．解答：（1）解：∵F2C的垂直平分线交F1C于M，∴|MF1|=|MC|．∵|F1C|=4，∴|MF1|+|MC|=4，∴|MF1|+|MF2|=4，∴点M的轨迹是以F1、F2为焦点，以4为长轴长的椭圆．由c=2，a=2，得b2=a2﹣c2=8﹣4=4．故曲线C的方程为；（2）证明：当直线l的斜率存在时，设其方程为y+2=k（x+1），与椭圆方程联立，可得（1+2k2）x2+4k（k﹣2）x+2k2﹣8k=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=．从而k l+k2==2k﹣（k﹣4）•=4．当直线l的斜率不存在时，得A（﹣1，），B（﹣1，﹣），得k l+k2═4．综上，恒有k l+k2=4，为定值．点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查了分类讨论的数学思想方法，此类问题常用直线方程和圆锥曲线方程联立，利用一元二次方程的根与系数关系求解，考查了学生的计算能力，属难题．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．选修4-1：几何证明选讲22．选修4一1：几何证明选讲如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．（Ⅰ）求证：DE是圆O的切线；（Ⅱ）如果AD=AB=2，求EB．考点：与圆有关的比例线段．专题：证明题．分析：（Ⅰ）要证DE是圆O的切线，连接AC，只需证出∠DAO=90°，由BC∥OD⇒OD⊥AC，则OD是AC的中垂线．通过△AOC，△BOC均为等腰三角形，即可证得∠DAO=90°．（Ⅱ）由BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，结合∠BCA=∠DAO，得出△ABC∽△AOD，利用比例线段求出EB．解答：（Ⅰ）证：连接AC，AB是直径，则BC⊥AC由BC∥OD⇒OD⊥AC则OD是AC的中垂线⇒∠OCA=∠OAC，∠DCA=∠DAC，⇒∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=∠DAO=90°．⇒OC⊥DE，所以DE是圆O的切线．（Ⅱ）BC∥OD⇒∠CBA=∠DOA，∠BCA=∠DAO⇒△ABC∽△AOD⇒⇒BC===⇒⇒⇒⇒BE=点评：本题考查圆的切线的证明，与圆有关的比例线段．准确掌握与圆有关的线、角的性质是解决此类问题的基础和关键．选修4-4：坐标系与参数方程23．在极坐标系中，已知圆C的圆心C（，），半径r=．（Ⅰ）求圆C的极坐标方程；（Ⅱ）若α∈[0，），直线l的参数方程为（t为参数），直线l交圆C于A、B两点，求弦长|AB|的取值范围．考点：简单曲线的极坐标方程；直线与圆的位置关系；参数方程化成普通方程．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）先利用圆心坐标与半径求得圆的直角坐标方程，再利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即得圆C的极坐标方程．（Ⅱ）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则|AB|=|t1﹣t2|，化为关于α的三角函数求解．解答：解：（Ⅰ）∵C（，）的直角坐标为（1，1），∴圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 …（Ⅱ）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．∴|AB|=|t1﹣t2|==2．∵α∈[0，），∴2α∈[0，），∴2≤|AB|＜2．即弦长|AB|的取值范围是[2，2）…点评：本题考查极坐标和直角坐标的互化，直线与圆的位置关系．利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，进行代换即可．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+k．（Ⅰ）若f（x）≥3恒成立，求后的取值范围；（Ⅱ）当k=1时，解不等式：f（x）＜3x．考点：绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）根据f（x）≥3恒成立，得到|x﹣3|+|x﹣2|的最小值大于等于3﹣k，求出|x﹣3|+|x ﹣2|的最小值即可确定出k的取值范围；（Ⅱ）把k=1代入不等式，分情况讨论x的范围，利用绝对值的代数意义化简，求出不等式的解集即可．解答：解：（Ⅰ）由题意，得|x﹣3|+|x﹣2|+k≥3，对∀x∈R恒成立，即（|x﹣3|+|x﹣2|）min≥3﹣k，又|x﹣3|+|x﹣2|≥|x﹣3﹣x+2|=1，∴（|x﹣3|+|x﹣2|）min=1≥3﹣k，解得：k≥2；（Ⅱ）当k=1时，不等式可化为f（x）=|x﹣3|+|x﹣2|+1＜3x，当x≤2时，变形为5x＞6，解得：x＞，此时不等式解集为＜x≤2；当2＜x＜3时，变形为3x＞2，解得：x＞，此时不等式解集为2＜x＜3；当x≥3时，不等式解得：x＞﹣4，此时不等式解集为x≥3，综上，原不等式的解集为（，+∞）．点评：此题考查了绝对值三角不等式，以及绝对值不等式的解法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。
山东省济宁市邹城一中2017-2018学年高三数学模拟试卷(理科)(8月份) Word版含解析
2017-2018学年山东省济宁市邹城一中高考数学模拟试卷（理科）一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={1，2，3，4，5}，集合B={x|x（4﹣x）＜0}，则图中阴影部分表示（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{4，5}D．{1，4}2．设i为虚数单位且z的共轭复数是，若z+=4，z=8，则z的虚部为（）A．±2B．±2iC．2D．﹣23．已知ξ服从正态分布N（1，σ2），a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件D．充要条件4．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1B．1C．﹣5D．55．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为（）A．3B．4C．5D．66．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（）A．[0，2]B．[1，2]C．[0，1]D．[﹣1，5]7．若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣58．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A．24种B．28种C．32种D．16种9．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．2C．D．10．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.11．（x2+）6的展开式中x3的系数是．（用数字作答）12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是（单位：cm2）．13．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足，则=．14．已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为．15．已知函数f（x）=，存在x1＜x2＜x3，f（x1）=f（x2）=f （x3），则的最大值为．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间[0，]内的最大值为．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若g（B）=l，且a+c=2，求△ABC的周长l的取值范围．17．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．18．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如右图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）图中a的值为；（2）用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时长；（3）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．19．已知正项数列{a n}，若前n项和S n满足8S n=a n2+4a n+3，且a2是a1和a7的等比中项（1）求数列{a n}的通项公式；（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b n=[log2（）]，求b1+b2+b3+…．20．已知椭圆C1：的离心率为，焦距为，抛物线C2：x2=2py（p＞0）的焦点F是椭圆C1的顶点．（Ⅰ）求C1与C2的标准方程；（Ⅱ）C1上不同于F的两点P，Q满足，且直线PQ与C2相切，求△FPQ的面积．21．已知函数（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式恒成立，求λ的范围．2016年山东省济宁市邹城一中高考数学模拟试卷（理科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合A={1，2，3，4，5}，集合B={x|x（4﹣x）＜0}，则图中阴影部分表示（）A．{1，2，3，4}B．{1，2，3}C．{4，5}D．{1，4}【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】化简B={x|x（4﹣x）＜0}={x＜0或x＞4}，而图中阴影部分表示的集合是A∩∁R B，从而解得．【解答】解：由图中阴影部分表示的集合是A∩∁R B∵B={x|x（4﹣x）＜0}={x＜0或x＞4}，∴∁R B={x|0≤x≤4}，∵集合A={1，2，3，4，5}，∴A∩∁R B={1，2，3，4}故选：A2．设i为虚数单位且z的共轭复数是，若z+=4，z=8，则z的虚部为（）A．±2B．±2iC．2D．﹣2【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】设z=a+bi，a、b∈R；利用z的共轭复数是=a﹣bi，列出方程组求出a、b的值即可．【解答】解：设z=a+bi，a、b∈R；∴z的共轭复数是=a﹣bi，又z+=2a=4，∴a=2；z=a2+b2=4+b2=8，∴b=±2；∴z的虚部为±2．故选：A．3．已知ξ服从正态分布N（1，σ2），a∈R，则“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分又不必要条件D．充要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合正态分布已经二项式定理的内容进行判断即可．【解答】解：若P（ξ＞a）=0.5，则a=1，若关于x的二项式的展开式的常数项为3，则通项公式T k+1==•a3﹣k•x3﹣3k，由3﹣3k=0，得k=1，即常数项为=3a2=3，解得a=1或a=﹣1，即“P（ξ＞a）=0.5”是“关于x的二项式的展开式的常数项为3”的充分不必要条件，故选：A4．已知函数y=f（x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（﹣2）=（）A．﹣1B．1C．﹣5D．5【考点】函数奇偶性的性质；抽象函数及其应用．【分析】根据函数y=f（x）+x是偶函数，可知f（﹣2）+（﹣2）=f（2）+2，而f（2）=1，从而可求出f（﹣2）的值．【解答】解：令y=g（x）=f（x）+x，∵f（2）=1，∴g（2）=f（2）+2=1+2=3，∵函数g（x）=f（x）+x是偶函数，∴g（﹣2）=3=f（﹣2）+（﹣2），解得f（﹣2）=5．故选D．5．若正数a，b满足+=1，则+的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【考点】基本不等式在最值问题中的应用．【分析】首先判断＞0，＞0；再由基本不等式确定最小值即可．【解答】解：∵a＞0，b＞0，+=1；∴a＞1，b＞1，a+b=ab；∴＞0，＞0，∴+≥2=2=4；（当且仅当=，即a=，b=3时，等号成立）．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，如果输入的x∈[﹣1，3]，则输出的y属于（）A．[0，2]B．[1，2]C．[0，1]D．[﹣1，5]【考点】程序框图．【分析】根据程序框图，分析程序的功能，结合输出自变量的范围条件，利用函数的性质即可得到结论．【解答】解：模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出y=的值．若﹣1≤x＜0，则不满足条件输出y=2﹣x﹣1∈（0，1]，若0≤x≤3，则满足条件，此时y=log2（x+1）∈[0，2]，输出y∈[0，2]，故选：A．7．若实数x，y满足，则z=的最小值为（）A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣5【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域．，利用分式函数的意义以及直线的斜率进行求解即可【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：z===1+，设k=，则k的几何意义为区域内的点到定点D（2，﹣2）的斜率，由图象知AD的斜率最小，由得，即A（1，2），此时AD的斜率k=，则z=1+k=1﹣4=﹣3，即z=的最小值为﹣3，故选：B8．将4本完全相同的小说，1本诗集全部分给4名同学，每名同学至少1本书，则不同分法有（）A．24种B．28种C．32种D．16种【考点】计数原理的应用．【分析】分二类，有一个人分到一本小说和一本诗集，有一个人分到两本小说，根据分类计数原理可得【解答】解：第一类，每位同学各分1本小说，再把1本诗集全部分给4名同学任意一个，共有4种方法，第二类，这本诗集单独分给其中一位同学，4相同的小说，分给另外3个同学，共有C41C31=12种，根据分类计数原理，共有4+12=16种，故选：D．9．如图，将绘有函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，＜φ＜π）部分图象的纸片沿x轴折成直二面角，若AB之间的空间距离为，则f（﹣1）=（）A．﹣2B．2C．D．【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】根据图象过点（0，1），结合φ的范围求得φ的值，再根据A、B两点之间的距离为=，求得T的值，可得ω的值，从而求得函数的解析式，从而求得f（﹣1）的值．【解答】解：由函数的图象可得2sinφ=1，可得sinφ=，再根据＜φ＜π，可得φ=．再根据A、B两点之间的距离为=，求得T=6，再根据T==6，求得ω=．∴f（x）=2sin（x+），f（﹣1）=2sin（﹣+）=2，故选：B．10．如图，F1、F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A、B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）A．4B．C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】由双曲线的定义，可得F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，再在△F1BF2中应用余弦定理得，a，c的关系，由离心率公式，计算即可得到所求．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由，则，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则．故选：B．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卷的横线上．.11．（x2+）6的展开式中x3的系数是20．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为T r+1=•x12﹣3r，令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，故答案为：20．12．已知某几何体的三视图如图，正（主）视图中的弧线是半圆，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的表面积是3π+4（单位：cm2）．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知几何体是半个圆柱，由三视图求出几何元素的长度，由圆柱的表面积公式求出几何体的表面积．【解答】解：根据三视图可知几何体是半个圆柱，且正视图是底面，∴底面圆的半径是1cm，母线长是2cm，∴几何体的表面积S=π×12+π×1×2+2×2=3π+4（cm2），故答案为：3π+4．13．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=2，点D为AC中点，点E满足，则=﹣2．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知画出图形，结合向量的加法与减法法则把用表示，展开后代值得答案．【解答】解：如图，∵，∴=，又D为AC中点，∴，则===．故答案为：﹣2．14．已知P、A、B、C是球O球面上的四点，△ABC是正三角形，三棱锥P﹣ABC的体积为，且∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，则球O的表面积为16π．【考点】球的体积和表面积．【分析】设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，由已知条件推导出a=R，再由三棱锥P﹣ABC的体积为，求出R=2，由此能求出球O的表面积．【解答】解：如图，P，A，B，C是球O球面上四点，△ABC是正三角形，设△ABC的中心为S，球O的半径为R，△ABC的边长为2a，∵∠APO=∠BPO=∠CPO=30°，OB=OP=R，∴OS=，BS=，∴=，解得a=R，2a=R，∵三棱锥P﹣ABC的体积为，∴=，解得R=2，∴球O的表面积S=4πR2=16π．故答案为：16π．15．已知函数f（x）=，存在x1＜x2＜x3，f（x1）=f（x2）=f（x3），则的最大值为．【考点】分段函数的应用．【分析】先确定1＜x2＜e3，再令y=，求出函数的最大值，即可得出结论．【解答】解：由题意，0＜lnx2＜3，∴1＜x2＜e3，又=，故令y=，则y′=，∴x∈（1，e），y′＞0，x∈（e，e3），y′＜0，∴函数在（1，e）上单调递增，在（e，e3）上单调递减，∴x=e时，函数取得最大值，∴的最大值为．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤16．已知函数f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+m（m∈R），将y=f（x）的图象向左平移个单位后得到y=g（x）的图象，且y=g（x）在区间[0，]内的最大值为．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若g（B）=l，且a+c=2，求△ABC的周长l的取值范围．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（Ⅰ）利用三角函数的倍角公式进行化简，结合三角函数的单调性进行求解即可求实数m的值；（Ⅱ）根据余弦定理结合基本不等式的关系进行求解．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=2cosx（sinx﹣cosx）+m=sin2x﹣cos2x﹣1+m=sin（2x﹣）﹣1+m，∴g（x）=sin[2（x+）﹣]﹣1+m=sin（2x+）﹣1+m，∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，∴当2x+=时，即x=时，函数g（x）取得最大值+m﹣1=，则m=1．（Ⅱ）∵g（x）=sin（2x+），且g（B）=sin（B+）=l，即sin（B+）=，∵0＜B＜，∴＜B+＜，∴当B+=，即B=，∵a+c=2，∴由余弦定理得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac≥（a+c）2﹣，当且仅当a=c=1时等号成立，又b＜a+c=2，∴1≤b＜2，∴△ABC的周长l=a+b+c∈[3，4），故△ABC的周长l的取值范围是[3，4）．17．如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=1．（1）证明：EM⊥BF；（2）求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．【分析】（1）根据线面垂直得到线与线垂直，根据直径所对的圆周角是直角，得到两个三角形是等腰直角三角形，有线面垂直得到结果．（2）做出辅助线，延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．，做出∠FHC 为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角，求出平面角．【解答】解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM⊂平面ABC，∴EA⊥BM．又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，∴BM⊥平面ACFE，而EM⊂平面ACFE，∴BM⊥EM．∵AC是圆O的直径，∴∠ABC=90°．又∵∠BAC=30°，AC=4，∴，AM=3，CM=1．∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，∴FC⊥平面ABC．∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．∴∠EMA=∠FMC=45°．∴∠EMF=90°，即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．∵MF∩BM=M，∴EM⊥平面MBF．而BF⊂平面MBF，∴EM⊥BF．（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．由（1）知FC⊥平面ABC，BG⊂平面ABC，∴FC⊥BG．而FC∩CH=C，∴BG⊥平面FCH．∵FH⊂平面FCH，∴FH⊥BG，∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．在Rt△ABC中，∵∠BAC=30°，AC=4，∴，由，得GC=2．∵，又∵△GCH∽△GBM，∴，则．∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°，∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为．18．某学校为了解高三年级学生寒假期间的学习情况，抽取甲、乙两班，调查这两个班的学生在寒假期间每天平均学习的时间（单位：小时），统计结果绘成频率分布直方图（如右图）．已知甲、乙两班学生人数相同，甲班学生每天平均学习时间在区间[2，4]的有8人．（1）图中a的值为0.0375；（2）用各组时间的组中值代替各组平均值，估算乙班学生每天学习的平均时长；（3）从甲、乙两个班每天平均学习时间大于10个小时的学生中任取4人参加测试，设4人中甲班学生的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；频率分布直方图；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）由频率分布直方图的性质得能求出a．（2）由频率分布直方图能估算乙班学生每天学习的平均时长．（3）由甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，甲、乙两班学生人数相同，求出甲、乙两班学生人数都为40人，从而得在两班中学习埋单大于10小时的同学共有7人，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．【解答】解：（1）由频率分布直方图的性质得：（a+0.0875+0.1+0.125+0.15）×2=1，解得a=0.0375．（2）由频率分布直方图估算乙班学生每天学习的平均时长为：=3×0.05+5×0.15+7×0.35+9×0.35+11×0.1=7.6．（3）∵甲班学习时间在区间[2，4]的有8人，∴甲班的学生人数为=40，∵甲、乙两班学生人数相同，∴甲、乙两班学生人数都为40人，∴甲班学习时间在区间（10，12]的有40×0.0375×2=3人，乙班学习时间在区间（10，12]的有40×0.05×2=4人，∴在两班中学习埋单大于10小时的同学共有7人，∴ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P（ξ=0）==，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）==，Eξ==．19．已知正项数列{a n}，若前n项和S n满足8S n=a n2+4a n+3，且a2是a1和a7的等比中项（1）求数列{a n}的通项公式；（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b n=[log2（）]，求b1+b2+b3+…．【考点】数列的求和；数列递推式．=4，（n≥2，【分析】（1）由8S n=a n+4a n+3，得，从而得到a n﹣a n﹣1n∈N），由此利用a2是a1和a3的等比中项，能求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n =[log 2（）]=[log 2n ]，令S=b 1+b 2+b 3+…，得到S=1×2+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n ﹣1+n ，由此利用错位相减法能求出b 1+b 2+b 3+…．【解答】解：（1）∵正项数列{a n }，前n 项和S n 满足8S n =a n +4a n +3，①∴，（n ≥2，n ∈N ），②由①﹣②，得8a n =（a n ﹣a n ﹣1）（a n +a n ﹣1）+4a n ﹣4a n ﹣1， 整理，得（a n ﹣a n ﹣1﹣4）•2a n =0，（n ≥2，n ∈N ）， ∵{a n }是正数数列，∴a n +a n ﹣1＞0，∴a n ﹣a n ﹣1=4，（n ≥2，n ∈N ）， ∴{a n }是公差为4的等差数列，由8a 1=，得a 1=3或a 1=1，当a 1=3时，a 2=7，a 7=27，不满足a 2是a 1和a 3的等比中项， 当a 1=1时，a 2=5，a 7=25，满足a 2是a 1和a 3的等比中项， ∴a n =1+（n ﹣1）×4=4n ﹣3． （2）∵a n =4n ﹣3，∴b n =[log 2（）]=[log 2n ]，由符号[]表示不超过实数x 的最大整数，知当2m ≤n ≤2m+1时，[loh 2n ]=m ，∴令S=b 1+b 2+b 3+…=[log 21]+[log 22]+[log 23]+…+[]=0+1+1+2+…+3+…+4+…+n ﹣1+…+n∴S=1×2+2×22+3×23+…+（n ﹣1）×2n ﹣1+n ，③2S=1×22+2×22+3×23+…+（n ﹣1）×2n +2n ，④③﹣④，得﹣S=2+22+23+24+…+2n ﹣1﹣（n ﹣1）•2n ﹣1 =﹣（n ﹣1）•2n ﹣n=（2﹣n ）•2n ﹣n ﹣2， ∴S=（n ﹣2）•2n +n+2．20．已知椭圆C 1：的离心率为，焦距为，抛物线C 2：x 2=2py（p ＞0）的焦点F 是椭圆C 1的顶点． （Ⅰ）求C 1与C 2的标准方程；（Ⅱ）C 1上不同于F 的两点P ，Q 满足，且直线PQ 与C 2相切，求△FPQ 的面积．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I ）设椭圆C 1的焦距为2c ，依题意有，，由此能求出椭圆C 1的标准方程；又抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）开口向上，故F 是椭圆C 1的上顶点，由此能求出抛物线C 2的标准方程．（II）设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，联立，得（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式，结合已知条件能求出△FPQ的面积．【解答】解：（I）设椭圆C1的焦距为2c，依题意有，，解得，b=2，故椭圆C1的标准方程为．…又抛物线C2：x2=2py（p＞0）开口向上，故F是椭圆C1的上顶点，∴F（0，2），∴p=4，故抛物线C2的标准方程为x2=8y．…（II）由题意得直线PQ的斜率存在．设直线PQ的方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，∴，…即（*）联立，消去y整理得，（3k2+1）x2+6kmx+3m2﹣12=0（**）．依题意，x1，x2是方程（**）的两根，△=144k2﹣12m2+48＞0，∴，，…将x1+x2和x1•x2代入（*）得m2﹣m﹣2=0，解得m=﹣1，（m=2不合题意，应舍去）．…联立，消去y整理得，x2﹣8kx+8=0，令△'=64k2﹣32=0，解得．…经检验，，m=﹣1符合要求．此时，，∴．…21．已知函数（a∈R）在其定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点分别为x1，x2，且x1＜x2．已知λ＞0，若不等式恒成立，求λ的范围．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由导数与极值的关系知可转化为方程f′（x）=lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；再转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，或转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点；或转化为g（x）=lnx﹣ax有两个不同零点，从而讨论求解；（Ⅱ）可化为1+λ＜lnx1+λlnx2，结合方程的根知1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），从而可得；而，从而化简可得，从而可得恒成立；再令，t∈（0，1），从而可得不等式在t∈（0，1）上恒成立，再令，从而利用导数化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），方程f′（x）=0在（0，+∞）有两个不同根；即方程lnx﹣ax=0在（0，+∞）有两个不同根；（解法一）转化为函数y=lnx与函数y=ax的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，如右图．可见，若令过原点且切于函数y=lnx图象的直线斜率为k，只须0＜a＜k．令切点A（x0，lnx0），故，又，故，解得，x0=e，故，故．（解法二）转化为函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点．又，即0＜x＜e时，g′（x）＞0，x＞e时，g′（x）＜0，故g（x）在（0，e）上单调增，在（e，+∞）上单调减．=g（e）=；故g（x）极大又g（x）有且只有一个零点是1，且在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→0，故g（x）的草图如右图，可见，要想函数与函数y=a的图象在（0，+∞）上有两个不同交点，只须．（解法三）令g（x）=lnx﹣ax，从而转化为函数g（x）有两个不同零点，而（x＞0），若a≤0，可见g′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，所以g（x）在（0，+∞）单调增，此时g（x）不可能有两个不同零点．若a＞0，在时，g′（x）＞0，在时，g′（x）＜0，所以g（x）在上单调增，在上单调减，从而=，又因为在x→0时，g（x）→﹣∞，在在x→+∞时，g（x）→﹣∞，＞0，即，所以．于是只须：g（x）极大综上所述，．（Ⅱ）因为等价于1+λ＜lnx1+λlnx2．由（Ⅰ）可知x1，x2分别是方程lnx﹣ax=0的两个根，即lnx1=ax1，lnx2=ax2所以原式等价于1+λ＜ax1+λax2=a（x1+λx2），因为λ＞0，0＜x1＜x2，所以原式等价于．又由lnx1=ax1，lnx2=ax2作差得，，即．所以原式等价于，因为0＜x1＜x2，原式恒成立，即恒成立．令，t∈（0，1），则不等式在t∈（0，1）上恒成立．令，又=，当λ2≥1时，可见t∈（0，1）时，h′（t）＞0，所以h（t）在t∈（0，1）上单调增，又h（1）=0，h（t）＜0在t∈（0，1）恒成立，符合题意．当λ2＜1时，可见t∈（0，λ2）时，h′（t）＞0，t∈（λ2，1）时h′（t）＜0，所以h（t）在t∈（0，λ2）时单调增，在t∈（λ2，1）时单调减，又h（1）=0，所以h（t）在t∈（0，1）上不能恒小于0，不符合题意，舍去．综上所述，若不等式恒成立，只须λ2≥1，又λ＞0，所以λ≥1．2016年7月19日。
山东济宁2018届高三第一次模拟考试数学试题答案解析汇编
学习-----好资料山东省济宁市2018届高三第一次模拟考试数学试题（理）一、选择题：（本大题共个小题，每小题分，共分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）5.60.12????1xlogx?N?x?1?x?1?M NM? 1. ）（设集合，，则2{x?1?x?0}{x0?x?1}{x1?x?2}{x?1?x?2}DB C A.．．．2018iz i）（的共轭复数为虚数单位），则（?z 2.若复数?z2(1?i)11ii?i1?i CBD.A ．．．22x?0??z?x?2y y x0?9?2x?3y）满足约束条件，则目标函数的取值范围是（，3.设变量??x?2y?1?0?[6,??)[5,??)[0,6][0,5] DB A C ．．．．?????sinsin(sin??)?qp?log2?loga?2：，存在实数命题，；：a?2a?1.4.）且已知命题（2a）则下列命题为真命题的是（p?qp?q(?p)?q(?p)?q DC. BA ．．．7n）等于，则输出的结果是（5.执行下列程序框图，若输入的更多精品文档．学习-----好资料11?3?2 C. AD B ．．．23ππ1倍（纵个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的1?2sin(x?)?f(x)6.的图象向右平移将函数233)xy?g(?g(x)y）的图象，则的图象的一个对称中心为（坐标不变），得到函数ππππ,-1)(,0)(,-1)(,0)( D B C.A ．．．1212337. ）如图所示，圆柱形玻璃杯中的水液面呈椭圆形状，则该椭圆的离心率为（1332 C.D A B ．．．2232x[0,1]x)x?f)f(x(??,??)(12?(fx)?1x?8.，是的图象关于当且上的奇函数，时，对称，已知函数(2018)?ff(2017)）则的值为（01?2?1 C. A B D．．．更多精品文档．-----好资料学习2?ABAC?4ABC?AO?(AB?AC)?9.O ）的外心，已知是，，则（10986 D B C. A ．．．?π.的值：我们可以通过设计下面的实验来估计表示10.圆周率是圆的周长与直径的比值，一般用希腊字母)(x,y,[0,1](xy)562001.则构成钝角三角形三边的数对个个实数对共有从区间，其中两数能与随机抽取?）用随机模拟的方法估计的近似值为（22257278 D C.AB ．．．257257，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积111.网格纸上小正方形的边长为如图，）为（ππ64328π16π B C. AD ．．．2bC ca B B)tan(A?，且所对的边分别为，，，，cA??bcosacosBABC?A12.，则在的中，内角3）最大值为（3525D B C.A ．．．3355二、填空题：）分分共小题（本大题共每小题,204.,52x21y??13. ．双曲线的渐近线方程为2更多精品文档．学习-----好资料14. 观察下列各式：3211?3323?1?133326?13?2???????n．照此规律，第个等式可为24（用数字作答）项的系数为．23)?(x2?x15.的展开式中，含有在xAD?CD?2?ABCAB面，则是线段上的一点，满足BCABC?AB?RtD16.，中，如图所示，已知．积的最大值为更多精品文档．学习-----好资料三、解答题：（本大题共小题，共分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）7.70.17.(12)分本小题满分{}{b}aa?2aa?2a知已足满差，满足数列，且，，数列，成等列是等比数n43n12111*n?b2?b?????bb?)?N(n n21323n{}{b}a1）求（的通项公式；和nn(1)()n{c}S2）设（b?a?c?n2.项和，求数列的前nn2nnn更多精品文档．学习-----好资料CACDEEBD为，，面，为顶点的多面体中，，，?A)1218. (如图，在以本小题满分分90?ACB?DE//ACAC?2DE?3BC?2DC?1B?AC?E的大小，二面角直角梯形，，，，，?90?ACD?为?.60ACDE?BD 1；）求证：平面（BCDABE 2所成二面角（锐角）的大小；）求平面与平面（更多精品文档．学习-----好资料19. (12)分本小题满分4.为此搜集并整理了过去为缓解某地区的用电问题，计划在该地区水库建一座至:亿立方米）在以上四段的频率作为相（年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位X将年入流量.应段的概率，并假设各年得年入流量相互独立31201 1的概率；）求在未来（年的年入流量不低于年中，至多X2的限制，并有如下水电站希望安装的发电机尽可能运行，（但每年发电机最多50001500万则该台发电机年亏损万元；某台发电机未运行，已知某台发电机运行，则该台发电机年利润为3322. 台发电机？请说明理由台发电机，你认为应安装台还是元，若水电站计划在该水库安装台或更多精品文档．学习-----好资料20. (12)分本小题满分y?xEEM22)?(p在第一象限内的交点，且：是直线，点与抛物线已知抛物线py?x2F 焦点为的MF?5.E 1的方程；（）求抛物线Q ylEABEAB2的，（）不过原点的直线过点与抛物线相交于两点，，，与轴相交于点分别作抛物线QDQC C x D QC是否垂直？，是否平行？直线切线，与轴分别相交于两点与直线BD.与直线判断直线. 并说明理由更多精品文档．学习-----好资料21. (12) 分本小题满分a2ln()(a?R)已知函数?fxx??x. xf(x) 1的单调区间；（）求函数a2xxx?x2）若函数（x??(2)xx)g(x?xf()?，在其定义域内有两个不同的极值点，记作，且，2112223e. 为自然对数的底数）证明：e?xx?（21更多精品文档．学习-----好资料选考题：共分请考生在、题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分10.2322.22. [4-4] (10)分选修本小题满分：坐标系与参数方程?2cosx???xOy OC x轴正半轴的参数方程为（在直角坐标系为极点，中，曲线为参数），以坐标原点??siny??. 为极轴建立极坐标系π2π?AOBCB?? 1的面积；）在极坐标系下，设曲线与射线，两点，求（??A分别交于和射线33?2t?x?1??2t CNllM2两（，直线）在直角坐标系下，直线与曲线，的参数方程为（相交于为参数）?2?ty???2MN. 的值点，求23.[4-5] (10) 分选修：不等式选讲本小题满分f(x)?2x?a?x?2a?R）已知函数（其中更多精品文档．学习-----好资料f(x)?61?a? 1的解集；（时，求不等式）当2ax x?3?a?2)(fx. 2的取值范围的不等式）若关于（恒成立，求更多精品文档．学习-----好资料山东省济宁市2018届高三第一次模拟考试数学试题（理）【参考答案】更多精品文档．学习-----好资料更多精品文档．学习-----好资料更多精品文档．学习-----好资料更多精品文档．学习-----好资料更多精品文档．学习-----好资料更多精品文档．。
山东省济宁市2017-2018学年高三8月模拟考试理数试题 Word版含解析
2017-2018学年第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的.1.设集合()(){}13,1202A x xB x x x 禳镲=<<=+-<睚镲铪 ,则A B =（ ）A ．122x x 禳镲<<睚镲铪 B ．{}13x x -<< C ．112x x 禳镲<<睚镲铪 D ．{}12x x << 【答案】A考点：集合的运算 2.已知i 是虚数单位，则12i z i=-在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 【答案】B 【解析】 试题分析：()()()12221121212555i i i i z i i i i ?-+====-+--+，故12i z i =-在复平面内对应的点位于第二象限，选B 考点：复数及其运算 3.函数()31log f x x的定义域为（ ） A ． {}1x x < B ．{}01x x << C ．{}01x x <? D ．{}1x x > 【答案】B 【解析】试题分析：函数()31log f x x 的定义域为{}3220log 0010x x x x x ì-?ïï罐<<íï>ïî考点：函数的定义域4.某产品在某零售摊位的零售价x （单位：元）与每天的销售量y （单位：个）的统计资料如下表所示，由表可得回归直线方程ˆˆˆybx a =+中的ˆ4b =-，据此模型预测零售价为20元时，每天的销售量为（ ）A ．26个B ．27个C ．28个D ．29个 【答案】D考点：回归直线方程 5.有下列三个结论：①命题“,ln 0x R x x "?>”的否定是“000,ln 0x R x x $??”；②“1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件； ③随机变量x 服从正态分布()21,N s ，且()20.8P x <=，则()010.2P x <<=其中正确结论的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】B 【解析】试题分析：①命题“,ln 0x R x x "?>”的否定是“000,ln 0x R x x $??”；由命题的否定知正确；② “1a =”是“直线10x ay -+=与直线20x ay +-=互相垂直”的充要条件；错误，1a =-时直线10x ay -+=与直线20x ay +-=也互相垂直；③随机变量x 服从正态分布()21,N s ，且()20.8P x <=，()20.2P x >=，()010.50.20.3P x <<=-=，错误.故选B考点：命题真假的判断6.执行如图所示的程序框图，如果输入的,x y R Î，那么输出的S 的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C考点：程序框图，简单的线性规划7.已知函数()222cos f x x x -，下列结论中错误的是（ ） A ．函数()f x 的最小正周期为p B ．函数()f x 的图象关于直线3x p=对称 C ．函数()f x 的图象可由()2sin21g x x =-的图象向右平移6p个单位得到 D ．函数()f x 在区间04p轾犏犏臌，上是增函数 【答案】C考点：()()sin f x A x b w j=++的图像和性质8.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．2+4pB ．2+43p C ．+2p D ．+4p 【答案】D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为半个圆柱加一个长方体的组合体，故其体积为211221242V p p =创+创=+考点：三视图，几何体的体积9.将4名大学生分配到,,A B C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人，若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案共有（ ）A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种 【答案】C考点：排列组合应用题10.已知0a b >>，椭圆1C 的方程为2222+1x y a b =，双曲线2C 的方程为22221x y a b-=，1C 与2C2C 的渐近线方程为（ ）A 0y ?B ．0x ?C ．20x y ?D ．20x y ?【答案】A 【解析】试题分析：0a b >>，椭圆1C 的方程为2222+1x y a b =，1C 的离心率为：a，双曲线2C 的方程为22221x y a b -=，2C ，∵1C 与2C 的离心率之积为2，∴21,222b b a aa a 骣琪?==琪桫2C 的渐近线方程为：y x =?0y ?.故选A ．考点：椭圆、双曲线的离心率.双曲线的渐近线第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11.如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率依次成等差数列，第2个小组的频数为10，则抽取的学生人数为 ．【答案】40考点：频率分布直方图12.在ABC D 中，若,2,1,,AB AC AB AC AB AC E F +=-==为BC 边的三等分点，则AE AF? ．【答案】109【解析】 试题分析：,0AB AC AB AC AB AC +=-\?即AB AC ^,如图建立平面直角坐标系，2,1,,AB AC E F ==为BC 边的三等分点，2241,,,3333E F 骣骣琪琪\琪琪桫桫109AE AF?考点：向量的数量积13.若2nx x骣琪+琪桫的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a ，则直线6ay x =与曲线2y x =所围成的封闭区域面积为 ． 【答案】323考点：二项式定理，定积分14.已知,0,2pa b 骣琪Î琪桫，满足()tan 9tan a b b +=，则tan a 的最大值为 ． 【答案】43【解析】 试题分析：()tan 9tan a b b +=，299801tan tan tan tan tan tan tan tan tan ，①，a bb a b b a a b+=?+=\-又,0,2p a b 骣琪Î琪桫，∴方程①有两正根，2406436003tan tan tan ＞，，＜a a a \=-砛?． tan a \的最大值是43． 考点：二角和的正切公式15.若函数()()2ln f x x x a =++与()()2102xg x x e x =+-<的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是 ．【答案】a （??考点：函数的图像【名师点睛】本题考查函数与方程的应用，属难题.解题时根据函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，进行转化是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．三、解答题 （本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.某同学用“五点法”画函数()()sin 0,0,2f x A x A pw j w j 骣琪=+>><琪桫在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表（1）根据上表求出函数()f x 的解析式；（2）设ABC D的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且()3,f A a S ==为ABC D 的面积，求cos S B C +的最大值【答案】（1）()23x f x p骣琪=+琪桫;（2）cos S B C +有最大值（2）()23A f A p 骣琪=+琪桫sin 123A p骣琪+=琪桫考点：函数()()sin f x A x w j=+的图像和性质17.甲、乙两人进行定点投篮比赛，在距篮筐3米线内设一点A ，在点A 处投中一球得2分，不中得0分；在距篮筐3米线外设一点B ，在点B 处投中一球得3分，不中得0分，已知甲、乙两人在A 点投中的概率都是12，在B 点投中的概率都是13，且在,A B 两点处投中与否的相互独立，设定甲、乙两人先在A 处各投篮一次，然后在B 处各投篮一次，总得分高者获胜 （1）求甲投篮总得分x 的分布列和数学期望； （2）求甲获胜的概率 【答案】（1）x 的分布列为()2E x =（2）甲获胜的概率1336P = 【解析】所以x 的分布列为()1111023523366E x =???? （2）同理，乙的总得分h 的分布列为甲获胜包括：甲得2分、3分、5分三种情形，这三种情形之间彼此互斥 因此，所求事件的概率P 为()()()()()()203355P P P P P P P x h x h x h ==?+=?+=?111111113+1336336636骣骣琪琪=???=琪琪桫桫 考点：离散型随机变量的分布列及其期望18.如图甲，圆O 的直径2AB =，圆上两点,C D 在直径AB 的两侧，使,43CABDAB pp??，沿直径AB 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F 为BC 的中点，根据图乙解答下列各题：（1）若点G 是弧BD 的中点，证明：FG 平面ACD ； （2）求平面ACD 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值【答案】（1）见解析；（2）平面ACD 与平面BCD 所成的锐二面角的余弦值为35（2）如图，取弧DG 中点H ，以O 为原点，以,,OH AB OC 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系则()()()110,1,0,0,1,0,0,0,1,,0,,022A B C D G --桫桫，设平面ACD 的法向量为()()131,y,z 0,1,1,,,02n x AC AD 骣琪===桫，，由1100AC n AD n ì?ïíï?î可得0102y z x y ì+=ïíï+=ïî，即z y x y ì=-ïïíï=-ïî，取y =-(11,n =- 同理可得平面BCD 的法向量为()23,1,1n =12cos ,n n \=12127n n n n ×=´× 即平面ACD 与平面BCD 考点：直线与平面平行的判定，二面角的计算19.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且152,30a S ==，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21n n T =-（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）设()()1ln nn n nn c a bS =-+，求数列{}n c 的前n 项和【答案】（1）2n a n =，12n n b -=；（2）()()()12311ln 1299nn n n ++-+--?当1n =时也满足上式12n n b -\=考点：数列通项公式的求法，错位相减法和裂项相消法20.已知曲线E 上的任意点到点()1,0F 的距离比它到直线2x =-的距离小1， （1）求曲线E 的方程；（2）点D 的坐标为()2,0，若P 为曲线E 上的动点，求PD PF ×的最小值（3）设点A 为y 轴上异于原点的任意一点，过点A 作曲线E 的切线l ，直线3x =分别与直线l 及x 轴交于,M N ，以MN 为直径作圆C ，过点A 作圆C 的切线，切点为B ，试探究：当点A 在y 轴上运动（点A 与原点不重合）时，线段AB 的长度是否发生变化？请证明你的结论【答案】（1）24y x =；（2）PD PF ×的最小值为2；（3）线段AB（3）当点A 在y 轴上运动（A 与原点不重合）时，线段AB 的长度不变，证明如下： 依题意，直线l 的斜率存在且不为0，设:l y kx b =+，代入24y x =得()222240k x kb x b +-+=，由()22224416160kb k b kb D=--=-=得1kb =将3x =代入直线l 的方程得()3,3M k b +，又()3,0N ，故圆心33,2k bC 骣+琪琪桫所以圆C 的半径为32k br +=()222222333093622k b k bAB AC r b kb 骣骣++琪琪\=-=-+--=-=琪琪桫桫AB \当点A 在y 轴上运动（点A 与原点不重合）时，线段AB 考点：抛物线的定义及其标准方程，向量的数量积运算，直线与圆锥曲线的关系 21.定义在R 上的函数()f x 满足()22xf x ex ax =+-，函数()()21124x g x f x b x b 骣琪=-+-+琪桫（其中,a b 为常数），若函数()f x 在0x =处的切线与y 轴垂直（1）求函数()f x 的解析式； （2）求函数()g x 的单调区间；（3）若,,s t r 满足s r t r -<-恒成立，则称s 比t 更靠近r ，在函数()g x 有极值的前提下，当1x ³时，e x比1x e b -+更靠近ln x ，试求b 的取值范围 【答案】（1）()222xf x ex x =+-；（2）()g x 在(),ln b -?上单调递减，在()ln ,b +?上单调递增；（3）1b e >-（2）()()()()2111,24x x x g x f x b x b e b x g x e b 骣¢琪=-+-+=--\=-琪桫①当0b £时，()0g x ¢>，()g x \在(),-??上单调递增 ②当0b >时，令()0g x ¢=，得ln x b = ，()g x \在(),ln b -?上单调递减，在()ln ,b +?上单调递增②当x e >时，（*）即1ln ln ,x ex e b x x--<+-亦即12ln x e b x e x ->-+-设()()12ln x en x x x e e x -=-+-> ()()122,x e n x e n x x x-ⅱ\=+-\在(),e +?上为减函数()()130e n x n e e e-ⅱ\<=-<()n x \在(),e +?上为减函数，()()11e n x n e e-\<=-11e b e -\?综上可知1b e >- 考点：利用导数研究函数的性质【名师点睛】本题主要考查不等式恒成立，属难题.解题时利用函数单调性最值和导数之间的关系，是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，难度比较大．。
山东省2017-2018学年高考数学模拟试卷(文科) Word版含解析
2017-2018学年山东省高考数学模拟试卷（文科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}2．已知z（2﹣i）=1+i，则=（）A．B．C．D．3．已知，p：已知m≠0，若2a＞2b，则am2＞bm2，则其否为（）A．已知m=0，若2a＞2b，则am2＞bm2B．已知m≠0，若2a≤2b，则am2＞bm2C．已知m≠0，若2a＞2b，则am2≤bm2D．已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm24．已知向量，|，则＜等于（）A． B．C．D．5．函数f（x）=cosx•log2|x|的图象大致为（）A．B．C．D．6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A．B．C．D．7．已知变量x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．2 B．10 C．1 D．128．2016年2月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，则的最小值为（）A．9 B．C．8 D．49．过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的交点分别为B，C，若x C是x B与x F的等比中项，则双曲线的离心率等于（）A．B． C． D．10．设函数y=f（x）是定义在R上的可导函数，当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），则函数g（x）=f（x）﹣的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或2二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．函数f（x）=的定义域为_______．12．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a=b，A=2B，则sinB=_______．13．如图是某算法的程序框图，若实数x∈（﹣1，4），则输出的数值不小于30的概率为_______．14．已知直线y=﹣2x+a与圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0相交于A，B两点，且△ABC的面积S=2，则实数a=_______．15．设互不相等的平面向量组（i=1，2，…，n）满足：①||=2；②=0（1≤i，j≤n）．若，记b n=|，则数列{b n}的前n项和S n为_______．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数（ω＞0）的两条对称轴之间的最小距离为．（Ⅰ）求ω的值以及f（x）的最大值；（Ⅱ）已知△ABC中，cosA＜0，若f（A）≥m恒成立，求实数m的取值范围．17．2015年山东省东部地区土豆种植形成初步规模，出口商在各地设置了大量的代收点．已现从该代售点随机抽取了袋土豆，其中二级品为恰有袋．（Ⅰ）求m、n的值；（Ⅱ）利用分层抽样的方法从这n袋土豆中抽取10袋，剔除特级品后，再从剩余土豆中任意抽取两袋，求抽取的两袋都是一等品的概率．18．如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n（n，S n）在函数f（x）=x2﹣x的图象上．等比数列{b n}单调递减，且b1b2b3=8，b1+b2+b3=．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n是a n、b n的等比中项，求数列{c n2}的前n项和T n．20．已知f（x）=a+lnx，记g（x）=f′（x）．（Ⅰ）已知函数h（x）=f（x）•g（x）在[1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求证：当a=1时，f（x）≤x；（ⅱ）当a=2时，若不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立，求实数t的取值范围．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，O为坐标原点，且k OM•k ON=﹣．（ⅰ）求证：△OMN的面积为定值；（ⅱ）求的最值．2016年山东省高考数学模拟试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知A={1，2，4，8，16}，B={y|y=log2x，x∈A}，则A∩B=（）A．{1，2}B．{2，4，8}C．{1，2，4}D．{1，2，4，8}【考点】交集及其运算．【分析】先求出集合B，再由交集的定义求A∩B．【解答】解：∵A={1，2，4，8，16}，∴B={y|y=log2x，x∈A}={0，1，2，3，4}，∴A∩B={1，2，4}．故选：C．2．已知z（2﹣i）=1+i，则=（）A．B．C．D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由z（2﹣i）=1+i，得，∴．故选：D．3．已知，p：已知m≠0，若2a＞2b，则am2＞bm2，则其否为（）A．已知m=0，若2a＞2b，则am2＞bm2B．已知m≠0，若2a≤2b，则am2＞bm2C．已知m≠0，若2a＞2b，则am2≤bm2D．已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm2【考点】四种间的逆否关系．【分析】由否的定义直接写出结果盆选项即可．【解答】解：p：已知m≠0，若2a＞2b，则am2＞bm2，则其否为：已知m≠0，若2a≤2b，则am2≤bm2故选：D．4．已知向量，|，则＜等于（）A． B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出，代入向量的夹角公式计算．【解答】解：||=，=2，∵（）（）=1，∴∴=﹣1．∴cos＜=．∴＜=．故选D．5．函数f（x）=cosx•log2|x|的图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由条件判断函数为偶函数，且在（0，1）上单调递增，从而得出结论．【解答】解：由函数f（x）=cosx•log2|x|为偶函数，可得它的图象关于y轴对称，故排除A、D．在区间（0，1）上，f（x）=cosx•log2x，f′（x）=﹣sinx•log2x+＞0，故函数f（x）在（0，1）上单调递增，故排除C，故选：B．6．如图为某几何体的三视图，则该几何体的体积等于（）A ．B ．C ．D ．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为长方体和两个半球的组合体．【解答】解：由三视图可知几何体为长方体和两个半球的组合体， 长方体的棱长分别为2，2，1，半球的半径为1．∴几何体的体积V=2×2×1+=4+．故选：C ．7．已知变量x ，y 满足，则z=2x ﹣y 的最大值为（ ）A ．2B ．10C ．1D ．12【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，进行求最值即可． 【解答】解：由z=2x ﹣y 得y=2x ﹣z作出不等式组，对应的平面区域如图（阴影部分）：平移直线y=2x ﹣z由图象可知当直线y=2x ﹣z 过点A 时，直线y=2x ﹣z 的截距最小，此时z 最大，由，解得，即A （4，﹣2）．代入目标函数z=2x ﹣y ，得z=2×4+2=10，∴目标函数z=2x ﹣y 的最大值是10． 故选：B ．8．2016年2月，为保障春节期间的食品安全，某市质量监督局对超市进行食品检查，如图所示是某品牌食品中微量元素含量数据的茎叶图，已知该组数据的平均数为11.5，则的最小值为（）A．9 B．C．8 D．4【考点】众数、中位数、平均数；茎叶图．【分析】根据平均数的定义求出a+b=2，再利用基本不等式求出的最小值即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据，该组数据的平均数为=（a+11+13+20+b）=11.5，∴a+b=2；∴=+=2+++≥2+=，当且仅当a=2b，即a=，b=时取“=”；∴+的最小值为．故选：B．9．过抛物线y2=4ax（a＞0）的焦点F作斜率为﹣1的直线，该直线与双曲线=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线的交点分别为B，C，若x C是x B与x F的等比中项，则双曲线的离心率等于（）A．B． C． D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出直线的方程和双曲线的渐近线方程，通过解方程组得出x C，x B，根据等比中项的性质列方程化简得出a，b的关系．代入离心率公式计算．【解答】解：抛物线的焦点为F（a，0），∴直线方程为y=﹣x+a．∵双曲线=1的渐近线为y=±，∴直线y=﹣x+a与渐近线的交点横坐标分别为，．∵x C是x B与x F的等比中项，∴（）2=a•或（）2=a，∴3ab+b2=0（舍）或3ab﹣b2=0，∴b=3a．∴c==，∴双曲线的离心率e==．故选：D．10．设函数y=f（x）是定义在R上的可导函数，当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），则函数g（x）=f（x）﹣的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．0或2【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】令m（x）=x2f（x），根据当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），求出m（x）的单调性，令h（x）=x2g（x）=x2f（x）﹣1，求出h（x）的单调性，从而求出函数的零点的个数．【解答】解：∵满足当x≠0时，f（x）＜﹣f′（x），∴2f（x）+xf′（x）＜0，令m（x）=x2f（x），则g′（x）=x[2f（x）+xf′（x）]，∴当x＞0时，g′（x）＜0；当x＜0时，g′（x）＞0，∴g（x）在（0，+∞）递减，在（﹣∞，0）递增，令h（x）=x2g（x）=x2f（x）﹣1，则h′（x）=m′（x），∴当x＞0时，函数h（x）单调递减；当x＜0时，函数h（x）单调递增，∴h（x）的最大值是h（0）=0，显然g（x）的定义域是x≠0，∴关于x的函数g（x）=f（x）﹣的零点个数是0个．故选：A．二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11．函数f（x）=的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【解答】解：函数f（x）=，∴，解得，∴f（x）的定义域为{x|0＜x≤2且x≠1}．故答案为：{x|0＜x≤2且x≠1}．12．△ABC的三内角A、B、C的对边边长分别为a、b、c，若a=b，A=2B，则sinB=．【考点】正弦定理．【分析】a=b，利用正弦定理可得：sinA=sinB．由A=2B，利用倍角公式可得：sinA=sin2B=2sinBcosB，化为cosB=，再利用同角三角函数基本关系式即可得出．【解答】解：∵a=b，∴sinA=sinB，∵A=2B，∴sinA=sin2B=2sinBcosB，∴sinB=2sinBcosB，∴cosB=，∵B∈（0，π），∴sinB==．故答案为：．13．如图是某算法的程序框图，若实数x∈（﹣1，4），则输出的数值不小于30的概率为．【考点】程序框图．【分析】由程序框图的流程，写出前三次循环得到的结果，得到输出的值与输入的值的关系，令输出值大于等于30得到输入值的范围，利用几何概型的概率公式求出输出的x不小于30的概率．【解答】解：设实数x∈（﹣1，4），经过第一次循环得到x=2x+2，n=3，经过第二循环得到x=2（2x+2）+2，n=5，经过第三循环得到x=2[2（2x+2）+2]+2，n=7，此时输出x，输出的值为8x+14，令8x+14≥30，得x≥2，由几何概型得到输出的x不小于30的概率为P==．故答案为：．14．已知直线y=﹣2x+a与圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0相交于A，B两点，且△ABC的面积S=2，则实数a=2±．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，利用△ABC的面积S=2，可得圆心C到直线AB的距离d=，根据点到直线的距离公式即可得到结论．【解答】解：圆C：x2+y2﹣4x+4y+4=0可化为（x﹣2）2+（y+2）2=4∴圆心C（2，﹣2），半径r=2，∵△ABC的面积S=2∴AC⊥BC，∴圆心C到直线AB的距离d=，即d==，解得a=2±，故答案为：2±．15．设互不相等的平面向量组（i=1，2，…，n）满足：①||=2；②=0（1≤i，j≤n）．若，记b n=|，则数列{b n}的前n项和S n为S n=2n2+2n（n=1，2）．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据向量两两垂直可知平面向量组只有两个向量，代入计算即可．【解答】解：∵=0，∴，，∵，∴．∴=﹣，与矛盾．∴n最大值为2．∴=，．∴b1=，b2=||2==8．∴S1=4，S2=12．∴S n=2n2+2n．故答案为2n2+2n．三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16．已知函数（ω＞0）的两条对称轴之间的最小距离为．（Ⅰ）求ω的值以及f（x）的最大值；（Ⅱ）已知△ABC中，cosA＜0，若f（A）≥m恒成立，求实数m的取值范围．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sin（2ωx﹣）﹣，由函数图象和周期公式可得ω=1，易得最大值；（Ⅱ）可得＜A＜π，由三角函数最终可得sin（2A﹣）﹣的最小值，由恒成立可得．【解答】解：（Ⅰ）由三角函数公式化简可得f（x）=sinωxcosωx﹣cos2ωx=sin2ωx﹣=sin（2ωx﹣）﹣，∵函数f（x）图象两条对称轴之间的最小距离为，∴周期T==2×，解得ω=1，∴f（x）=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最大值为1﹣=；（Ⅱ）∵△ABC中，cosA＜0，∴＜A＜π，∴＜2A﹣＜，∴﹣1≤sin（2A﹣）＜，∴﹣≤sin（2A﹣）﹣＜0，要使f（A）≥m恒成立，则m≤f（A）=sin（2A﹣）﹣的最小值，故实数m的取值范围为（﹣∞，﹣]17．2015年山东省东部地区土豆种植形成初步规模，出口商在各地设置了大量的代收点．已（Ⅰ）求m、n的值；（Ⅱ）利用分层抽样的方法从这n袋土豆中抽取10袋，剔除特级品后，再从剩余土豆中任意抽取两袋，求抽取的两袋都是一等品的概率．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法．【分析】（Ⅰ）由已知得0.30+2m+m+0.10=1，由此能求出m，n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知利用分层抽样方法从这n袋土豆中抽取10袋土豆，由特级品有3袋，一等品有4袋，二等品有2袋，三等品有1袋，由此利用等可能事件概率计算公式能求出抽取的两袋都是一等品的概率．【解答】解：（Ⅰ）由已知得0.30+2m+m+0.10=1，解得m=0.20，∴n===200．（Ⅱ）由（Ⅰ）知利用分层抽样方法从这n袋土豆中抽取10袋土豆，由特级品有3袋，一等品有4袋，二等品有2袋，三等品有1袋，记一等品的四袋分别为A、B、C、D，二等品的两袋为a，b，三等品的一袋为c，则从中抽取两袋，不同的结果为：n==21，抽取的两袋都是一等品包含的基本事件个数m==6，∴抽取的两袋都是一等品的概率p==．18．如图几何体中，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M为AB的中点．．（Ⅰ）证明：EM∥平面ACDF；（Ⅱ）证明：BD⊥平面ACDF．【考点】直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，推导出平面EMN∥平面ACDF，由此能证明EM∥平面ACDF．（2）由已知AC⊥平面BCDE，从而AC⊥BD，再由BD⊥AD，AC∩AD=A，能证明BD⊥平面ACDF．【解答】证明：（Ⅰ）取BC中点N，连结EN、MN，∵长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，且BC=2DE，DE∥BC，BD⊥AD，M 为AB的中点，∴EN∥CD，MN∥AC，∵EN∩MN=N，CD∩AC=C，EN，MN⊂平面EMN，CD，AC⊂平面ACDF，∴平面EMN∥平面ACDF，∵EM⊂平面EMN，∴EM∥平面ACDF．（2）∵长方形ACDF中，AC⊥CD，长方形ACDF所在平面与梯形BCDE所在平面垂直，∴AC⊥平面BCDE，∵BD⊂平面BCDE，∴AC⊥BD，∵BD⊥AD，AC∩AD=A，∴BD⊥平面ACDF．19．已知数列{a n}的前n项和为S n，对一切正整数n，点P n（n，S n）在函数f（x）=x2﹣x的图象上．等比数列{b n}单调递减，且b1b2b3=8，b1+b2+b3=．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n是a n、b n的等比中项，求数列{c n2}的前n项和T n．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I）点P n（n，S n）在函数f（x）=x2﹣x的图象上，可得S n=n2﹣n，利用递推关系即可得出a n．设等比数列{b n}的公比为q，由b1b2b3=8，b1+b2+b3=．可得=8，+b2q=，解出即可得出．（II）利用等比数列的通项公式、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：（I）点P n（n，S n）在函数f（x）=x2﹣x的图象上，∴S n=n2﹣n，=（n2﹣n）﹣[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=2n﹣2．∴当n=1时，a1=0；当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1当n=1时上式也成立，∴a n=2n﹣2．设等比数列{b n}的公比为q，∵b1b2b3=8，b1+b2+b3=．∴=8， +b2q=，解得b2=2，q=或3，∵数列{b n}单调递减，∴q=，∴b n==2×．（II）∵c n是a n、b n的等比中项，∴=a n b n=（2n﹣2）×=．∴数列{c n2}的前n项和T n=+…+，=4+…+，∴==4=4，解得T n=9﹣．20．已知f（x）=a+lnx，记g（x）=f′（x）．（Ⅰ）已知函数h（x）=f（x）•g（x）在[1，+∞）上单调递减，求实数a的取值范围；（Ⅱ）（ⅰ）求证：当a=1时，f（x）≤x；（ⅱ）当a=2时，若不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立，求实数t的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出导数，由题意可得h′（x）≤0恒成立．即有1﹣a≤lnx在x≥1恒成立，求得右边函数的最小值即可；（Ⅱ）（i）令函数y=1+lnx﹣x，求出导数，判断单调性，即可得证；（ii）当a=2时，不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立即为t≤（1+）（2+lnx）在x∈[1，+∞）恒成立．令函数y=（1+）（2+lnx），求得导数，判断单调性，可得最小值，即可得到所求范围．【解答】解：（Ⅰ）g（x）=f′（x）=，h（x）=f（x）•g（x）=（a+lnx）•，h′（x）=﹣（a+lnx）•，由题意可得h′（x）≤0恒成立．即有1﹣a≤lnx在x≥1恒成立，由lnx≥0，则1﹣a≤0，即为a≥1；（Ⅱ（i）证明：令函数y=1+lnx﹣x，y′=﹣1=，当x＞1时，y′＜0，函数y递减；当0＜x＜1时，y′＞0，函数y递增．即有x=1处取得极大值，也为最大值，且为0，则1+lnx﹣x≤0，则f（x）≤x；（ii）当a=2时，不等式h（x）≥tg（x+1）（x∈[1，+∞））恒成立即为t≤（1+）（2+lnx）在x∈[1，+∞）恒成立．令函数y=（1+）（2+lnx），则y′=，由x≥1时，x﹣1≥lnx成立，可得y′≥0，函数y递增．则函数y的最小值为4．则t≤4．21．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）直线l与椭圆C交于不同的两点M、N，O为坐标原点，且k OM•k ON=﹣．（ⅰ）求证：△OMN的面积为定值；（ⅱ）求的最值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）椭圆C的离心率为，在椭圆C上．可得，=1，a2=b2+c2，联立解得即可得出．（II））（i）证明：当l⊥x轴时，设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），则+=1，由k OM•k ON=﹣，可得=﹣，联立解得即可得出．当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△＞0，可得1+4k2＞m2．利用根与系数的关系可得|MN|=．由k OM•k ON=﹣，可得=﹣，化为4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2=0，把根与系数的关系代入可得：2m2=1+4k2．把m2=代入|MN|，可得|MN|=，原点O到直线l的距离d=．即可得出．S△MON=|MN|d=1为定值．（ii）当l⊥x轴时，由（i）可得：=．当l与x轴不垂直时，可得：=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk（x1+x2）+m2=．把m2=代入，化简整理即可得出．【解答】解：（I）∵椭圆C的离心率为，在椭圆C上．∴，=1，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=1，c=，∴椭圆C的标准方程为+y2=1．（II）（i）证明：当l⊥x轴时，设M（x0，y0），N（x0，﹣y0），则+=1，由k OM•k ON=﹣，可得=﹣，联立解得：，，∴S△MON==1．当l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+m，M（x1，y1），N（x2，y2），联立，化为：（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△＞0，可得1+4k2＞m2．∴x1+x2=，x1x2=，则|MN|===．由k OM•k ON=﹣，可得=﹣，化为4（kx1+m）（kx2+m）+x1x2=0，即（1+4k2）x1x2+4mk （x1+x2）+4m2=0，∴﹣+4m2=0，化为：2m2=1+4k2．把m2=代入|MN|，可得|MN|=，原点O到直线l的距离d=．∴S△MON=|MN|d=×|m|==1．综上可得S△MON=1为定值．（ii）当l⊥x轴时，由（i）可得：==．当l与x轴不垂直时，可得：=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=（1+k2）x1x2+mk （x1+x2）+m2=﹣+m2=．把m2=代入可得：==﹣．由△＞0，可得1+4k2＞恒成立，∴k∈R．∴∈．综上可得：∈．∴的最小值为，最大值为．2016年9月8日。
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山东省济宁一中2017-2018学年高考数学模拟试卷一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）集合A满足：若a∈A，则∈A，则满足条件的元素最少的集合A中的元素个数有（）A．1B．2C．3D．42．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.53．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+B．C．D．44．（5分）设扇形的圆心角为60°，面积是6π，将它围成一个圆锥，则该圆锥的表面积是（）A．πB．7πC．D．8π5．（5分）若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．6．（5分）设方程log4x=（）x，log x=（）x的根分别为x1、x2，则（）A．0＜x1x2＜1 B．x1x2=1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2≥27．（5分）某届足球赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队参赛15场，积33分．若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情形有（）种．A．15 B．11 C．9D．38．（5分）已知函数f（x）=g（x）=x2﹣4x﹣4．设b为实数，若存在实数a，使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1]C．二、填空题（每小题5分，共20分）9．（5分）已知x∈R，则函数f（x）=的值域是．10．（5分）已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f=4，则f（2）=．11．（5分）设A k={x|x=kt+，≤t≤1}，其中k=2，3…，2015，则所有A k的交集是．12．（5分）如图1所示，记正方体ABCD﹣A1B1C1D1的中心为O，面B1BCC1的中心为E，B1C1的中点为F．则空间四边形D1OEF在该正方体各个面的上投影如图2可能是．（把你认为正确命题的序号填写在答题纸上）三、解答题（第13题满分40分，第14满分40分、第15题满分40分，共40分）13．（12分）已知二次函数f（x）的二次系数为a，且不等式f（x）＞﹣2x的解集为{x|1＜x ＜3}．（1）若函数y=f（x）+6a有且只有一个零点，求f（x）的解析式；（2）记f（x）的最大值为h（a），求h（a）的最小值．14．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，M是AA1上的一点，AA1=4，A1M=1．P是棱BC上的一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短距离为3．设此最短距离的折线与CC1交于点N．（1）求证：A1B∥平面MNP；（2）求平面MNP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值．15．（15分）已知定义域为的函数f（x）同时满足下列三个条件：①对任意的x∈，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立则称函数f（x）为“友谊函数”．（1）已知f（x）是“友谊函数”，求f（0）的值；（2）函数g（x）=2x﹣1在区间上是否是“友谊函数”？说明你的理由．（3）已知f（x）是“友谊函数”，假定存在x0∈，使得f（x0）∈，且f=x0．求证：f（x0）=x0．四、解答题（共3小题，满分50分）16．（15分）自锐角△ABC的顶点A向边BC引垂线，垂足为D．在AD上任取一点H，直线BH交AC于点E，CH交AB于点F．证明：∠EDH=∠FDH．（即AD平分ED与DF所成的角）17．（15分）四个半径为1的球彼此相切，三个在水平面上，第四个在它们的上面．其中，给出一个边长为a的正四面体，使得任一球与该正四面体的三个面相切，求实数a的值．18．已知a、b、c、d为非负实数，f（x）=（x∈R），且f（19）=19，f（97）=97，若x≠﹣，对任意的实数x均有f（f（x））=x成立，试求出f（x）值域外的唯一数．山东省济宁一中2015届高考数学模拟试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题5分，共40分）1．（5分）集合A满足：若a∈A，则∈A，则满足条件的元素最少的集合A中的元素个数有（）A．1B．2C．3D．4考点：元素与集合关系的判断．专题：计算题；集合．分析：由题意知，a∈A，∈A，﹣∈A，至少有3个元素．解答：解：∵a∈A，∈A；a﹣=≠0；故=﹣，a+=≠0；故=a；故集合A最至少有三个元素，故选C．点评：本题考查了集合与元素的关系应用，属于基础题．2．（5分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，并满足：，当2≤x≤3，f（x）=x，则f（5.5）=（）A．5.5 B．﹣5.5 C．﹣2.5 D．2.5考点：函数的周期性；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：先由，证明函数为周期为4的周期函数，再利用周期性和对称性，将f（5.5）转化到2≤x≤3时的函数值，具体是f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（2.5）解答：解：∵，∴==f（x）∴f（x+4）=f（x），即函数f（x）的一个周期为4∴f（5.5）=f（1.5+4）=f（1.5）∵f（x）是定义在R上的偶函数∴f（5.5）=f（1.5）=f（﹣1.5）=f（﹣1.5+4）=f（2.5）∵当2≤x≤3，f（x）=x∴f（2.5）=2.5∴f（5.5）=2.5故选D点评：本题考察了函数的周期性和函数的奇偶性，能由已知抽象表达式推证函数的周期性，是解决本题的关键，函数值的转化要有较强的观察力3．（5分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2π+B．C．D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由三视图可以看出，此几何体是一个上部为圆锥、下部为圆柱的几何体，故可以分部分求出圆锥与圆柱的体积再相加求出此简单组合体的体积．解答：解：所求几何体为一个圆柱体和圆锥体构成．其中圆锥的高为．其体积为=圆柱的体积为π•12•2=2π故此简单组合体的体积V=+2π故选C．点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是简单组合体的体积．三视图的投影规则是：“主视、俯视长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视宽相等”．三视图是2015届高考的新增考点，不时出现在2015届高考试题中，应予以重视．4．（5分）设扇形的圆心角为60°，面积是6π，将它围成一个圆锥，则该圆锥的表面积是（）A．πB．7πC．D．8π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：设扇形的半径即圆锥的母线为l，圆锥的底面半径为r，利用扇形的面积公式与弧长公式求得l，r；再利用勾股定理求圆锥的高，代入面积公式和体积公式计算可得答案．解答：解：设扇形的半径即圆锥的母线为l，圆锥的底面半径为r，则由，得r=6．∵扇形的圆心角为60°，∴扇形的弧长为．即圆锥的底面周长为2π，其半径r=1．所以底面面积为π×12=π，所以圆锥的表面积是S=6π+π=7π．故选：B点评：本题考查了圆锥的侧面展开图及侧面积公式，考查了扇形的弧长公式及圆的周长公式，关键是结合图形求底面圆的半径，属于基础题．5．（5分）若直线ax﹣by+1=0平分圆C：x2+y2+2x﹣4y+1=0的周长，则ab的取值范围是（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+2b=1，再利用基本不等式求得ab的取值范围．解答：解：依题意知直线ax﹣by+1=0过圆C的圆心（﹣1，2），故有a+2b=1，∴a2+4b2+4ab=1≥8ab，当且仅当|a|=|2b|时，取等号，故ab的取值范围为（﹣∞，]，故选：B．点评：本题主要考查直线和圆的位置关系，基本不等式的应用，属于基础题．6．（5分）设方程log4x=（）x，log x=（）x的根分别为x1、x2，则（）A．0＜x1x2＜1 B．x1x2=1 C．1＜x1x2＜2 D．x1x2≥2考点：函数的零点与方程根的关系．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数图象判断x1＞1，0＜x2＜1，利用对数的基本运算以及指数函数的性质即可得到结论．解答：解：方程log4x=（）x，log x=（）x的根分别为x1、x2，则由图象可知x1＞1，0＜x2＜1，即x1＞x2，则=（）＜（），则log4x1=（）x1，log x2=（）=﹣log4x2，两式相减得log4x1x2=（）﹣（）＜0，即0＜x1x2＜1，故选：A．点评：本题主要考查函数的指数函数和对数函数的应用，根据数形结合是解决本题的关键．7．（5分）某届足球赛的计分规则是：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．某球队参赛15场，积33分．若不考虑比赛顺序，则该队胜、平、负的情形有（）种．A．15 B．11 C．9D．3考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题；排列组合．分析：本题设出该球队的胜、平、负的场次分别为x、y、z，以积分作为等量关系列出方程，即可得出结论．解答：解：设该球队的胜、平、负的场次分别为x、y、z，则解得，所以，，共3种情形．故选：D．点评：本题考查积分问题，考查学生的计算能力，设出不同的情况，然后根据题目所给的条件限制求出解是解题的关键．8．（5分）已知函数f（x）=g（x）=x2﹣4x﹣4．设b为实数，若存在实数a，使得f（a）+g（b）=0，则实数b的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1]C．考点：分段函数的应用．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由分段函数的定义分别求各部分的函数值的取值范围，从而得到函数f（x）的值域，从而化为最值问题即可．解答：解：当时，，当时，f（x）=ln（x+1）∈即可，即（b﹣2）2﹣8∈（﹣∞，1]，解得b∈．故选A．点评：本题考查了分段函数的应用及配方法求最值的应用，同时考查了恒成立问题，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）9．（5分）已知x∈R，则函数f（x）=的值域是（﹣1，1）．考点：函数的值域．专题：函数的性质及应用．分析：配方由两点间的距离公式可得f（x）的值域表示|PA|﹣|PB|的取值范围，由三角形的三边关系可得．解答：解：配方可得=，构造点P（x，0），，，函数f（x）的值域表示|PA|﹣|PB|的取值范围．由于三角形的两边之差小于第三边，∴||PA|﹣|PB||＜|AB|=1，故函数f（x）的值域为：（﹣1，1）．故答案为：（﹣1，1）点评：本题考查函数的值域，考虑几何意义是解决问题的关键，属中档题．10．（5分）已知f（x）为R上增函数，且对任意x∈R，都有f=4，则f（2）=10．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：因为f（x）是R上的增函数，所以若f（x）﹣3x不是常数，则f便不是常数．而已知f=4，所以f（x）﹣3x是常数，设f（x）﹣3x=m，所以f（m）=4，f（x）=3x+m，所以f（m）=3m+m=4，容易知道该方程有唯一解，m=1，所以f（x）=3x+1，所以便可求出f （2）．解答：解：根据题意得，f（x）﹣3x为常数，设f（x）﹣3x=m，则f（m）=4，f（x）=3x+m；∴3m+m=4，易知该方程有唯一解，m=1；∴f（x）=3x+1；∴f（2）=10；故答案为：10．点评：考查对于单调函数，当自变量的值是变量时，函数值也是变量，单调函数零点的情况．11．（5分）设A k={x|x=kt+，≤t≤1}，其中k=2，3…，2015，则所有A k的交集是．考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算进行求解即可．解答：解：由知，∴，且在2﹣4a×9a=0，即5a2﹣4a﹣1=0，解得或a=1（舍），将代入①式，得．（2）由①及a＜0知，f（x）的最大值．又因为﹣a＞0，由对勾函数的性质，得，当且仅当a=﹣1时，等号成立．故h（a）的最小值为﹣2．点评：本题主要考查二次函数的图象和性质、对勾函数的图象和性质的应用，属于基础题．14．（13分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知侧棱AA1⊥平面ABC，△ABC是边长为2的等边三角形，M是AA1上的一点，AA1=4，A1M=1．P是棱BC上的一点，且由点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短距离为3．设此最短距离的折线与CC1交于点N．（1）求证：A1B∥平面MNP；（2）求平面MNP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，知侧面均为全等的矩形，将侧面旋转120°，使其与侧面ACC1A1在同一个平面上，点P运动到P1位置，联结MP1，设A1C 与MN交于点Q，则A1B∥PQ，由此能证明A1B∥平面MNP．（2）连接PP1，则PP1为平面MNP与平面ABC的交线．作MH⊥PP1于点H，连接CH，则∠NHC即为平面ABC与平面MNP所成二面角的平面角，由此能求出平面MNP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值．解答：（1）证明：∵AA1⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，∴三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面均为全等的矩形．如图所示，将侧面旋转120°，使其与侧面ACC1A1在同一个平面上．在同一个平面内，点P运动到P1位置，联结MP1，则MP1即为点P沿棱柱侧面经过棱CC1到点M的最短路径．…（3分）设PC=x，则P1C=x，在Rt△MAP1，注意到（2+x）2+x2=18，得x=1．故P为BC的中点，于是NC=1．设A1C与MN交于点Q，则Q为A1C的中点，所以A1B∥PQ，所以A1B∥平面MNP．…（6分）（2）解：如图，连接PP1，则PP1即为平面MNP与平面ABC的交线．作MH⊥PP1于点H，连接CH．又因为CC1⊥平面ABC，从而CH⊥PP1．故∠NHC即为平面ABC与平面MNP所成二面角的平面角．…（10分）在Rt△PHC中，由，则．在Rt△NHC中，．故平面MNP和平面ABC所成二面角（锐角）的正切值为2．…（13分）点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的正切值的求法，涉及到线线、线面、面面的平行与垂直的性质，考查旋转问题的应用，是中档题．15．（15分）已知定义域为的函数f（x）同时满足下列三个条件：①对任意的x∈，总有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，则有f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2）成立则称函数f（x）为“友谊函数”．（1）已知f（x）是“友谊函数”，求f（0）的值；（2）函数g（x）=2x﹣1在区间上是否是“友谊函数”？说明你的理由．（3）已知f（x）是“友谊函数”，假定存在x0∈，使得f（x0）∈，且f=x0．求证：f（x0）=x0．考点：抽象函数及其应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）赋值可考虑取x1=x2=0，代入f（x1+x2）≥f（x1）+f（x2），结合已知f（0）≥0，可求f（0）（2）要判断函数g（x）=2x﹣1在区间上是否为“友谊函数，只要检验函数g（x）=2x﹣1在上是否满足①g（x）＞0；②g（1）=1；③x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，有g（x1+x2）≥g（x1）+g（x2）即可．（3）利用反正法，先假设f（x0）≠x0，然后分f（x0）＞x0，f（x0）＜x0，两种情况分别进行论证即可解答：解：（1）令x1=1，x2=0，则x1+x2=1∈．由③，得f（1）≥f（0）+f（1），即f（0）≤0．又由①，得f（0）≥0，所以f（0）=0．（2）g（x）=2x﹣1是友谊函数．显然g（x）=2x﹣1在上满足①g（x）≥0；②g（1）=1；下面证明也满足③：若x1≥0，x2≥0，且x1+x2≤1，即x1，x2∈，x1+x2∈，有2x1≥1，2x2≥1．则（2x1﹣1）（2x2﹣1）≥0．即g（x1+x2）﹣=﹣1﹣=（﹣1）（﹣1）≥0，故g（x）=2x﹣1满足条件①﹑②﹑③故g（x）在上为友谊函数．（3）取0≤x1＜x2≤1，则0＜x2﹣x1≤1．所以f（x2）=f（x2﹣x1+x1）≥f（x2﹣x1）+f（x1）≥f（x1）故有f（x1）≤f（x2）．假设f（x0）≠x0，若f（x0）＞x0，则f≥f（x0）＞x0．若f（x0）＜x0，则f≤f（x0）＜x0．都与题设矛盾，因此f（x0）=x0．点评：本题主要是在新定义下对抽象函数进行考查，在做关于新定义的题目时，一定要先研究定义，在理解定义的基础上再做题．四、解答题（共3小题，满分50分）16．（15分）自锐角△ABC的顶点A向边BC引垂线，垂足为D．在AD上任取一点H，直线BH交AC于点E，CH交AB于点F．证明：∠EDH=∠FDH．（即AD平分ED与DF所成的角）考点：相似三角形的性质．专题：选作题；立体几何．分析：过A作直线l∥BC，延长DF、DE分别交l于P、Q，证明Rt△ADP≌Rt△ADQ，即可得出结论．解答：证明：过A作直线l∥BC，延长DF、DE分别交l于P、Q．于是有，．…（5分）又，所以，所以AP=AQ．所以Rt△ADP≌Rt△ADQ，从而∠EDH=∠FDH．…（15分）点评：本题考查三角形全等的证明，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．17．（15分）四个半径为1的球彼此相切，三个在水平面上，第四个在它们的上面．其中，给出一个边长为a的正四面体，使得任一球与该正四面体的三个面相切，求实数a的值．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：四个球的球心是边长为2的正四面体的顶点，过点A的高交底面BCD于点G，则G为△ABC的重心．与球都外切的四面体的各面到球心四面体ABCD相应各面的距离都是1，仍然是一个正四面体，于是将△AEG扩展为该四面体中相应的△A1E1G1，进而求出相应四面体的棱长，可得答案．解答：解：四个球的球心是边长为2的正四面体的顶点，设该四面体为ABCD．过点A的高交底面BCD于点G，则G为△ABC的重心．取BC的中点E，画出平面图形△AEG，如图所示．与球都外切的四面体的各面到球心四面体ABCD相应各面的距离都是1，仍然是一个正四面体，…（5分）于是将△AEG扩展为该四面体中相应的△A1E1G1，只须分别作A1E1∥AE，E1G1∥EG，平行线间距均为1，即可得到△A1E1G1，通过△AEG求出△A1E1G1的边，进而可求出a的值．…（5分）事实上，易知，，，，所以．所以．又因为，得．…（15分）点评：本题考查的知识点是球的几何特征，球与平面相切的几何特征，考查空间想像能力和计算能力，难度较大，属于难题．18．已知a、b、c、d为非负实数，f（x）=（x∈R），且f（19）=19，f（97）=97，若x≠﹣，对任意的实数x均有f（f（x））=x成立，试求出f（x）值域外的唯一数．考点：函数的值．专题：计算题．分析：由题意先化简f（f（x））=x得：（a+d）cx2+（d2﹣a2）x﹣b（a+d）=0，由恒成立可得a+d=0，且d2﹣a2=0，即d=﹣a，再把f（19）=19，f（97）=97代入化简求出a、b、c、d的关系，从而求出f（x）的解析式，利用分裂常数法化简解析式后，即可得到答案．解答：解：由题设，对任意实数有f（f（x））=x，即，化简，得（a+d）cx2+（d2﹣a2）x﹣b（a+d）=0，由于上述方程对恒成立，故a+d=0，且d2﹣a2=0，所以d=﹣a．…（10分）又f（19）=19，f（97）=97，即19、97是方程的两个根，即方程是cx2+（d﹣a）x﹣b=0的两个根，故由韦达定理，得，，结合d=﹣a，得a=58c，b=﹣1843c，d=﹣58c，所以．于是f（x）取不到58这个数，即58是f（x）值域外的唯一的数．…点评：本题考查待定系数法求函数的解析式，函数恒成立问题，以及分裂常数法化简解析式，考查化简计算能力和逻辑思维能力，属于难题．。