专题四 数列及其应用
数列：第4讲数列的应用
数列的应用1．数列求和方法 (1)公式法：(Ⅰ)等差数列、等比数列前n 项和公式． (Ⅱ)常见数列的前n 项和：①1＋2＋3＋…＋n ＝ ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝ ； ③1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝ ； ④12＋22＋32＋…＋n 2＝ ； ⑤13＋23＋33＋…＋n 3＝⎣⎡⎦⎤n （n ＋1）22.(2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列． (3)倒序相加：如等差数列前n 项和公式的推导方法．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和．等比数列{a n }前n 项和公式的推导方法就采用了错位相减法．(5)裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加消去中间项，只剩有限项再求和． 常见的裂项公式 ①1n （n ＋1）＝ －1n ＋1；②1（2n －1）（2n ＋1）＝ ⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1；③1n （n ＋1）（n ＋2）= ⎣⎡⎦⎤1n （n ＋1）－1（n ＋1）（n ＋2）；④1a ＋b＝ (a －b )； ⑤n （n ＋1）！＝ －1（n ＋1）！；⑥C m －1n＝ ； ⑦n ·n ！＝ ！－n ！； ⑧a n ＝S n －S n －1(n ≥2)． 2．数列应用题常见模型 (1)单利公式利息按单利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝ . (2)复利公式利息按复利计算，本金为a 元，每期利率为r ，存期为x ，则本利和y ＝ . (3)产值模型原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间x ，总产值y ＝ . (4)递推型递推型有a n ＋1＝f (a n )与S n ＋1＝f (S n )两类．(5)数列与其他知识综合，主要有数列与不等式、数列与三角、数列与解析几何等． 【答案】1．(1)(Ⅱ)①n （n ＋1）2 ②n 2＋n③n 2 ④n （n ＋1）（2n ＋1）6(5)①1n ②12 ③12 ④1a －b ⑤1n ！⑥C m n ＋1－C mn ⑦(n ＋1)2．(1)a (1＋xr ) (2)a (1＋r )x (3)N (1＋p )x 【基础自测】1 通项公式a n ＝2n ＋1(n ∈N *)的数列{a n }的前10项和S 10＝( ) A ．60B ．120C ．210D ．2402 设数列1，(1＋2)，…，(1＋2＋22＋…＋2n －1)，…的前n 项和为S n ，则S n 等于( )A ．2nB ．2n －nC ．2n ＋1－nD ．2n ＋1－n －2解法一：特殊值法，易知S 1＝1，S 2＝4，只有选项D 适合． 解法二：研究通项a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝2n －1，∴S n ＝(21－1)＋(22－1)＋…＋(2n －1) ＝(21＋22＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－n －2.故选D .3 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和为( )A.100101B.99101 C.99100 D.101100解：由a 5＝5，S 5＝15可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ＝5，5a 1＋5×42d ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝1. ∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n （n ＋1）＝1n －1n ＋1.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前100项和T 100＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1100－1101＝1－1101＝100101.故选A .4 记数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫n ⎝⎛⎭⎫23n －1的前n 项和为T n ，则T n ＝________.5 某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍．则需要的最少天数n (n ∈N *)等于________．解：设每天植树的棵数组成的数列为{a n }，由题意可知它是等比数列，且首项为2，公比为2，所以2＋22＋23＋ (2)＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2≥100，即2n ≥51，而25＝32，26＝64，n ∈N *.故n ≥6.故填6.典例类型一 基本求和问题 例一 数列求和：(1)求数列112，214，318，…，⎝⎛⎭⎫n ＋12n ，…的前n 项和S n ； (2)求和：1＋11＋2＋11＋2＋3＋…＋11＋2＋…＋n；(3)设f (x )＝x 21＋x 2，求：f ⎝⎛⎭⎫12014＋f ⎝⎛⎭⎫12013＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)；(4)求和：S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋nan .解：(1)S n ＝⎝⎛⎭⎫1＋12＋⎝⎛⎭⎫2＋14＋⎝⎛⎭⎫3＋18＋…＋(n ＋12n ) ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝⎛⎭⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝12n (n ＋1)＋12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝12n (n ＋1)＋1－12n.(3)∵f (x )＝x 21＋x2，∴f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1. 令S ＝f ⎝⎛⎭⎫12014＋f ⎝⎛⎭⎫12013＋…＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2014)，① 则S ＝f (2014)＋f (2013)＋…＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫12＋…＋f ⎝⎛⎭⎫12013＋f (12014)，② ①＋②得：2S ＝1×4027＝4027，所以S ＝40272.(4)(Ⅰ)当a ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2.(Ⅱ)当a ≠1时，S n ＝1a ＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ，①1a S n ＝1a 2＋2a 3＋…＋n －1a n ＋nan ＋1，② 由①－②得⎝⎛⎭⎫1－1a S n ＝1a ＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n －na n ＋1 ＝1a ⎝⎛⎭⎫1－1a n 1－1a－n a n ＋1，∴S n ＝a （a n －1）－n （a －1）a n （a －1）2.综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2（a ＝1），a （a n－1）－n （a －1）a n（a －1）2（a ≠1）.【评析】数列求和的常用方法有：公式法、分组求和法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法等，在选择方法前分析数列的通项公式的结构特征，避免盲目套用、错用求和方法．运用等比数列求和公式时，注意对公比是否等于1进行讨论．本例四道题分别主要使用了分组求和法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法． 变式 求和：(1)求数列9，99，999，…的前n 项和S n ； (2)求数列11×4，14×7，17×10，…的前n 项和；(3)求sin 21°＋sin 22°＋sin 23°＋…＋sin 289°的值．类型二 可用数列模型解决的实际问题例二 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业，根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游业收入估计400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增加14.(1)设n 年内(本年度为第一年)总投入为A n 万元，旅游业总收入为B n 万元，写出A n 和B n 的表达式； (2)至少经过几年，旅游业的总收入才能超过总投入？(lg2≈0.301)解：(1)第一年投入为800万元，第二年投入为800×⎝⎛⎫1－15万元，…，第n 年的投入为800⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元．所以n 年内的总投入为：A n ＝800＋800×⎝⎛⎭⎫1－15＋…＋800⎝⎛⎭⎫1－15n －1＝4000－4000×⎝⎛⎭⎫45n； 第一年旅游业收入为400万元，第二年旅游业收入为400×⎝⎛⎭⎫1＋14万元，…， 第n 年旅游业收入为400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元．所以，n 年内的旅游业总收入为B n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋400⎝⎛⎭⎫1＋14n －1＝1600⎝⎛⎭⎫54n－1600.(2)设至少经过n 年旅游业的总收入才能超过总投入，因此B n －A n ＞0，即1600⎝⎛⎭⎫54n －1600－4000＋4000⎝⎛⎭⎫45n＞0，化简得2⎝⎛⎭⎫54n＋5⎝⎛⎭⎫45n－7＞0，设⎝⎛⎭⎫54n＝x ，代入上式得，2x 2－7x ＋5＞0， 解此不等式，得x ＞52，或x ＜1(舍去)，即⎝⎛⎭⎫54n ＞52，两边取对数得n lg 54＞lg 52，n ＞1－2lg21－3lg2≈4.103，由此得n ≥5.答：至少经过5年，旅游业的总收入能超过总投入．【评析】将实际问题转化为数列问题的一般步骤是：①审题，②建模，③求解，④检验，⑤作答；增长率模型是比较典型的等比数列模型，实际生活中的银行利率、企业股金、产品利润、人口增长、工作效率、浓度问题等常常利用增长率模型加以解决．变式 某企业去年的纯利润为500万元，因设备老化的原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行设备改造，预测从今年起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行设备改造，预测在未扣除设备改造资金的情况下，第n 年(今年为第一年)的利润为500(1＋12n )万元(n 为正整数)．(1)设从今年起的后n 年，若该企业不进行设备改造的累计纯利润为A n 万元，进行设备改造后的累计纯利润为B n 万元(须扣除设备改造资金)，求A n ，B n 的表达式；(2)依上述预测，问从今年起该企业经过4年是否能实现B n ＞A n 的目标？名师点睛1．数列的通项公式及前n 项和公式都可以看作项数n 的函数，是函数思想在数列中的应用．数列以通项为纲，数列的问题，最终归结为对数列通项的研究，而数列的前n 项和S n 可视为数列{S n }的通项．通项及求和是数列中最基本也是最重要的问题之一．2．等差或等比数列的求和直接用公式计算，要注意求和的项数．3．数列的实际应用题要注意分析题意，将实际问题转化为常用的数列模型．4．数列的综合问题涉及到的数学思想：函数与方程思想(如：求最值或基本量)、转化与化归思想(如：求和或应用)、特殊到一般思想(如：求通项公式)、分类讨论思想(如：等比数列求和，q ＝1或q ≠1)等． 针对训练1．数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n ＝( )A ．25B ．576C ．624D ．625解：a n ＝n ＋1－n ，∴S n ＝(2－1)＋(3－2)＋…＋(n ＋1－n )＝n ＋1－1，令S n ＝24得n ＝624.故选C .2．化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n－1的结果是( )A ．2n ＋1－nB ．2n ＋1－n ＋2C ．2n －n －2D ．2n ＋1－n －2解：S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，① 2S n ＝n ×2＋(n －1)×22＋…＋3×2n －2＋2×2n －1＋2n ，②②－①得S n ＝－n ＋2＋22＋…＋2n －2＋2n －1＋2n＝－n ＋2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－n －2.故选D .3．已知等比数列{a n }满足a n ＞0，n ＝1，2，…，且a 5a 2n －5＝22n (n ≥3)，则当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝( ) A ．n (2n －1) B ．(n ＋1)2 C ．n 2D ．(n －1)2解：由等比数列性质有a 5a 2n －5＝a 2n ＝22n ，故a n ＝2n .所以log 2a n ＝log 22n＝n .∴当n ≥1时，log 2a 1＋log 2a 2＋…＋log 2a 2n －1＝1＋2＋3＋…＋(2n －1)＝n (2n －1)．故选A .4．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1f （n ）(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1C.n n －1D.n ＋1n5．已知数列{a n }满足a n ＋2＝－a n (n ∈N ＋)，且a 1＝1，a 2＝2，则数列{a n }的前2014项的和为( ) A ．0B ．－3C ．3D ．1解：∵a n ＋2＝－a n ＝－(－a n －2)，n ＞2，∴数列{a n }是以4为周期的周期数列．S 2014＝503(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋a 2013＋a 2014＝503(a 1＋a 2－a 1－a 2)＋a 503×4＋1＋a 503×4＋2＝a 1＋a 2＝3.故选C .6．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解：底层正方体的表面积为24；第2层正方体的棱长为2×22，每个面的面积为4×12；第3层正方体的棱长为2×⎝⎛⎭⎫222，每个面的面积为4×⎝⎛⎭⎫122；…；第n 层正方体的棱长为2×⎝⎛⎭⎫22n －1，每个面的面积为4×⎝⎛⎭⎫12n －1，因此塔形的表面积为24＋4[4×12＋4×⎝⎛⎭⎫122＋…＋4×⎝⎛⎭⎫12n －1]＝24＋16⎝⎛⎭⎫1－12n －1＝40－162n －1＝40－⎝⎛⎭⎫12n －5，∵该塔形的表面积超过39，∴⎝⎛⎭⎫12n －5＜1，即n －5＞0，故该塔形中正方体的个数至少是6.故选C .7设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________.8．数列{}a n 满足a n ＋1＋()－1n a n ＝2n －1，则{}a n 的前60项和为________．解：当n ＝2k 时，a 2k ＋1＋a 2k ＝4k －1，当n ＝2k －1时，a 2k －a 2k －1＝4k －3，a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，a 2k ＋3＋a 2k ＋1＝2，∴a 2k －1＝a 2k ＋3，a 1＝a 5＝…＝a 61.∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝()a 2＋a 3＋()a 4＋a 5＋…＋()a 60＋a 61 ＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30×()3＋1192＝30×61＝1830.故填1830.9．已知等比数列{a n }的各项均为正数，且2a 1＋3a 2＝1，a 23＝9a 2a 6. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和．解：(1)设数列{a n }的公比为q ，由a 23＝9a 2a 6得a 23＝9a 24，所以q 2＝19. 由条件可知q ＞0，故q ＝13.由2a 1＋3a 2＝1得2a 1＋3a 1q ＝1，所以a 1＝13.故数列{a n }的通项公式为a n ＝13n .(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n （n ＋1）2.故1b n ＝－2n （n ＋1）＝－2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1. 1b 1＋1b 2＋…＋1b n ＝－2[⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1]＝－2nn ＋1. 所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n 的前n 项和为－2nn ＋1.10．已知{}a n 是等差数列，其前n 项和为S n ，{}b n 是等比数列，且a 1＝b 1＝2，a 4＋b 4＝27，S 4－b 4＝10. (1)求数列{}a n 与{}b n 的通项公式；(2)记T n ＝a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ，n ∈N *，证明T n －8＝a n －1b n ＋1(n ∈N *，n ≥2)．(2)证法一：∵a k b k ＝()3k －1×2k ＝()3k －4×2k ＋1－()3k －7×2k ＝c k ＋1－c k ()k ∈N *，T n ＝()c 2－c 1＋()c 3－c 2＋…＋()c n ＋1－c n ＝c n ＋1－c 1＝()3n －4×2n ＋1＋8，当n ≥2时，T n －8＝a n －1b n ＋1.即结论成立．证法二：由(1)得T n ＝2×2＋5×22＋8×23＋…＋()3n －1×2n ， ① 2T n ＝2×22＋5×23＋…＋()3n －4×2n ＋()3n －1×2n ＋1， ②由①－②，得－T n ＝2×2＋3×22＋3×23＋…＋3×2n －(3n －1)×2n ＋1＝6()1－2n1－2－()3n －1×2n ＋1－2＝－(3n －4)×2n ＋1－8，即T n －8＝()3n －4×2n ＋1.而当n ≥2时，a n －1b n ＋1＝()3n －4×2n ＋1.所以T n －8＝a n －1b n ＋1，n ∈N *，n ≥2.11．为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2012年底，将当地沙漠绿化了40%，从2013年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg2＝0.3，最后结果精确到整数)解：设该地区总面积为1，2012年底绿化面积为a 1＝25，经过n 年后绿洲面积为a n ＋1(0＜a n ＋1＜1)．依题意a n ＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲a n 减去被侵蚀的部分8%a n 的剩余面积92%a n ，另一部分是新绿化的12%(1－a n )，所以a n ＋1＝92%a n ＋12%(1－a n )＝45a n ＋325，即a n ＋1－35＝45⎝⎛⎭⎫a n －35(此处的－35可用待定系数法求)． ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －35是以－15为首项，45为公比的等比数列，则a n ＋1＝35－15×⎝⎛⎭⎫45n. ∵a n ＋1＞50%，∴35－15⎝⎛⎭⎫45n ＞12， 即⎝⎛⎭⎫45n ＜12，n ＞log 4512＝lg21－3lg2＝3. 则当n ≥4时，不等式⎝⎛⎭⎫45n＜12恒成立．所以至少需要4年才能使绿化面积超过50%.12. 数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝a n b n 4(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n . 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .(2)a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1(n ≥1)，① a n ＋1＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋13n ＋1＋1，② ②－①得，b n ＋13n ＋1＋1＝a n ＋1－a n ＝2， b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)， 故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *)．(3)∵c n ＝a n b n 4＝n (3n ＋1)＝n ·3n ＋n ， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n )＋(1＋2＋…＋n )， 令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，③则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1，④ ③－④得，－2H n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1＝3（1－3n ）1－3－n ×3n ＋1，H n ＝（2n －1）·3n ＋1＋34. ∴数列{c n }的前n 项和T n ＝（2n －1）×3n ＋1＋34＋n （n ＋1）2.。
数学应用数列和级数解决实际问题
数学应用数列和级数解决实际问题数学应用：数列和级数解决实际问题数列和级数在数学中具有广泛的应用领域，能够解决许多实际问题。
本文将介绍数列和级数的基本概念以及它们在实际中的应用。
一、数列的概念及应用数列是一组按特定规律排列的数的有序集合。
数列可以用来表示一系列相关的数值，而这些数值常常代表随时间或其他因素变化的量。
数列的应用十分广泛，例如在物理学中，用数列可以表示时间序列中的位置、速度、加速度等变化情况。
在金融学中，数列可以用来表示股票价格的变化，从而预测市场走势。
此外，数列还可以用来表示人口增长、疾病传播等一系列实际问题。
二、级数的概念及应用级数是数列的求和。
级数也是一种重要的数学工具，广泛应用于物理学、工程学等领域。
在物理学中，级数可以用来计算电路中的电阻、电容等参数；在工程学中，级数可以用来计算材料的强度、结构的稳定性等。
此外，级数还可以用于经济学中的财务分析，例如计算投资回报率、利润等。
三、数列和级数解决实际问题的例子1. 人口增长问题：假设某城市的总人口数以每年1%的速度增长，初始人口为100万人。
我们可以建立一个数列来表示每年的人口数量。
通过对这个数列求和，我们可以计算出未来10年、20年等的总人口数量，从而为城市的规划和社会发展提供依据。
2. 汽车行驶问题：一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，我们可以建立一个数列来表示汽车在每分钟的位置。
通过对这个数列求和，我们可以计算出汽车在一段时间内的行驶距离，从而帮助我们规划旅程或评估行车效率。
3. 货币投资问题：假设投资某项理财产品，年收益率为5%。
我们可以建立一个数列来表示每年的投资收益。
通过对这个数列求和，我们可以计算出在不同时间段内的累计收益，从而帮助我们做出更明智的投资决策。
四、总结数列和级数在解决实际问题中发挥着重要的作用。
通过对数列和级数的运算，我们可以得到一系列相关的数值，从而对实际问题进行分析和预测。
无论是人口增长、物体运动、投资回报等，数学中的数列和级数都能为我们提供有力的工具和方法，帮助我们更好地理解和解决实际问题。
专题四 数列及其应用
立， 求实数 λ 的取值范围. 解 析 （1） 将 3a na n - 1 + a n - a n - 1 = 0(n 2) 整 理 1 1 得， = 3(n 2)， 所以 { 1 } 是以首项为 1 ， 公差 an an+ 1 an 为 3 的等差数列.
2
an +k ， al + k 显然成等差数列． 若 q ≠1 ， 由 S m ，S n ，S l 成 等 差 数 列 可 得 S m + Sl = 2Sn ， 即 a(qm - 1) a(ql - 1) 2a(q n - 1) + = ． q- 1 q- 1 q- 1
k- 1
整理得 q m + q l = 2q n ．因此， a m + k + a l + k = aq (q + q ) = 2a q
* *
（2） 由 （ 1） 得 cn = n + 1 a n = (n + 1)(1 )n ， 所以 n 2 1 + 3× Tn = 2 × (1 )2 + 4 × (1 )3 + … + (n + 1)( 1 )n 2 2 2 2 1 1 2 1 3 14 1 T =2× ( ) +3× ( ) +4× ( ) + … + (n + 1)( )n + 1 2 n 2 2 2 2 两式相减得 1 1 1 1 1 T = 1 + ( )2 + ( )3 + … + ( )n - (n + 1)( )n + 1 2 n 2 2 2 2 1 [1 - (1 )n - 1] 2 +3 = 1+ 4 - (n + 1)( 1 )n+ 1 = 3 - n n 2 2 2 +1 1- 1 2 n+ 3 ∴T n = 3 . 2n 点 拨 一般 数列 的求通 项问题 大多 通过常 见的 公 式、 累加、 累乘 、 构 造等方 法对递 推公式进 行变形 ， 最终转 化为我们熟知的等差 、 等比数 列的定义式进行 求解. 数列求和问题要掌握公式法、 分组法、 倒序相加 法、 错位相减法、 裂项相消法， 其余一般要求不高. 热 点三 数 列的综 合问题 （与三角 ， 函 数， 方程 ， 不等式等知识的综合 ） 例 3 在数 列 { a n} 中 ， a 1 = 1, 3a na n - 1 + a n - a n - 1 = 0(n 2) . （1） 证明: { 1 } 是等差数列; an （2） 求数列 { a n} 的通项； （3） 若λ an + 1 λ 对任意 n an+ 1 2 的整数恒成
数列及其应用知识点总结
数列及其应用知识点总结一、数列的概念数列是按照一定的规律依次排列的一组数，它是数学中的一个重要概念，也是数学分析和推理的基础之一。
数列的基本形式可以表示为{a1, a2, a3, …, an}，其中a1, a2, a3,…, an是数列的项，n是数列的项数。
数列可以是有限项的，也可以是无限项的。
数列中的每一项都有一个位置，这种位置是从1开始编号的。
第i项对应的数是ai ，其中i=1,2,3,…,n。
根据数列中项的规律性，我们可以把数列分成许多种类，比如等差数列、等比数列、递推数列等等。
下面我们来逐一介绍这些数列及其相关概念。
二、常见的数列1.等差数列等差数列是指数列中任意相邻两项的差都是同一个常数d。
因此，等差数列可以用公式an = a1 + (n-1)d表示，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
等差数列的前n项和Sn可以用公式Sn=n(a1+an)/2表示。
等差数列在实际中有许多应用，比如财务中的等额项支付、物理中的匀速直线运动、化学中的反应速率等等。
2.等比数列等比数列是指数列中任意相邻两项的比都是同一个常数q。
因此，等比数列可以用公式an= a1*q^(n-1)表示，其中a1是首项，q是公比，n是项数。
等比数列的前n项和Sn可以用公式Sn= a1*(q^n-1)/(q-1)表示。
等比数列在实际中也有许多应用，比如金融中的复利、生物中的细胞分裂、天文中的行星运动等等。
3.递推数列递推数列是指数列中的每一项都由前面的一项或若干项经过某种规律推算而得。
递推数列在实际中应用广泛，比如斐波那契数列、汉诺塔问题、帕斯卡三角等等。
4.等差数列的应用数列的应用在实际中非常广泛。
在日常生活中，我们可以看到许多数列的应用。
比如，等差数列可以用来描述一些周期性的现象。
比如，小明每天跑步的距离是每天递增的，这可以用等差数列来表示。
在金融中，等额付款、等额本金就使用了等差数列的概念。
在电子工程中，我们经常用到等差数列来描述电流、电压的变化规律。
数学数列与数列的应用
数学数列与数列的应用数学数列与数列的应用教案教学目标：1. 了解数列的定义和基本概念；2. 掌握数列的常见性质和运算规律；3. 掌握数列的应用，如求和、判断等；4. 能够运用数列解决实际问题。
教学重点：1. 数列的定义和基本概念；2. 数列的常见性质和运算规律；3. 数列的应用，如求和、判断等。
教学难点：1. 数列的应用，包括复合数列和数列推理等；2. 运用数学知识解决实际问题。
教学准备：1. 教师准备PPT课件；2. 学生准备教材、笔记和习题集；3. 确保教室内的教学设备正常运行。
教学过程：一、导入（10分钟）教师通过提问题或示例引入数列的概念，激发学生的学习兴趣。
二、数列的定义和基本概念（20分钟）1. 教师介绍数列的定义和常见概念，如通项、公差等；2. 教师通过实例演示如何确定数列的通项公式；3. 学生通过练习题巩固数列的定义和基本概念。
三、数列的常见性质和运算规律（25分钟）1. 教师讲解数列的常见性质和运算规律，如等差数列的性质和运算规律；2. 学生通过练习题巩固数列的常见性质和运算规律。
四、数列的应用（35分钟）1. 教师介绍数列的应用，如求和、判断等；2. 教师通过实例演示如何利用数列求和；3. 学生通过实际问题解决练习题，运用数列进行计算。
五、数列的推理和复合数列（25分钟）1. 教师介绍数列的推理和复合数列的概念；2. 学生通过实例演示如何利用数列推理解决问题；3. 学生通过练习题巩固数列的推理和复合数列的应用。
六、实际问题解决（20分钟）教师提供实际问题，让学生利用数列解决，培养学生的综合运用能力。
七、总结与反思（10分钟）教师对本节课内容进行总结，并邀请学生分享学习心得和困惑。
教学延伸：为了加深学生对数列的理解和应用，可以设计一些拓展性问题，如数列的推广和拓展应用等。
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高中数学专题复习课件：数列的应用共26页文档
56、书不仅是生活，而且是现在、过 去和未 来文化 生活的 源泉。 ——库 法耶夫 57、生命不可能有两次，但许多人连一 次也不 善于度 过。— —吕凯 特 58、问渠哪得清如许，为有源头活水来 。—— 朱熹 59、我的努力求学没有得到别的好处， 只不过 是愈来 愈发觉 自己的 无知。 ——笛 卡儿
拉
60、生活的道路一旦选定，就要勇敢地 走到底 ，决不 回头。 ——左
高中数学专题复习课件：数列的应用
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
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7、心急吃不了热汤圆。源自•8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。
专题四 数列文科数学
专题四 文科数学 数列1．（2011·朝阳期末）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，246a a +=，则5S 等于 ( C )（A ）10 （B ）12 （C ）15 (D) 302．（2011·朝阳期末）（本小题满分14分）已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）满足11n n n a a b ++=，1214nn nb b a +=-，且点1P 的坐标为(1, 1)-.(Ⅰ)求经过点1P ，2P 的直线l 的方程；(Ⅱ) 已知点(, )n n n P a b （n *∈N ）在1P ，2P 两点确定的直线l 上，求证：数列1{}na 是等差数列.（Ⅲ）在(Ⅱ)的条件下，求对于所有n *∈N ，能使不等式12(1)(1)(1)n a a a +++ ≥k 的值.解：(Ⅰ)因为12211314b b a ==-，所以21213a a b ==. 所以211(, )33P . ……… 1分 所以过点1P ，2P 的直线l 的方程为21x y +=. ………………………… 2分 (Ⅱ)因为(, )n n n P a b 在直线l 上，所以21n n a b +=. 所以1112n n b a ++=-. …… 3分由11n n n a a b ++=，得11(12)n n n a a a ++=-. 即112n n n n a a a a ++=-. 所以1112n n a a +-=. 所以1{}na 是公差为2的等差数列. ………………… 5分 （Ⅲ）由(Ⅱ)得1112(1)n n a a =+-.所以112(1)21nn n a =+-=-. 所以121n a n =-. …………………………………………………………… 7分 所以231221n n n b a n -=-=-. ……………………………………………… 8分依题意12(1)(1)(1n k a a a +++ ≤恒成立.设12()(1)(1)(1n F n a a a =+++ ，所以只需求满足()k F n ≤的()F n 的最小值. ………………………………… 10分因为(1)()F n F n +==1(1n a ++=1>， 所以()F n （x *∈N ）为增函数. ……………………………………… 12分所以min ()(1)3F n F ===.所以k所以max k = ……………………………………… 14分 3．(2011·丰台期末) 已知等比数列{}n a 的公比为12，并且a 1+a 3 + a 5 +…+a 99=60，那么a 1+a 2 +a 3+…+a 99 +a 100的值是( B )A ．30B ．90C ．100D ．1204．(2011·丰台期末) （本小题满分13分）已知函数2()(0)f x ax bx a =+≠的导函数()422f x x '=-+，数列}{n a 的前n 项和为n S ，点(,)n n P n S （*n ∈N ）均在函数)(x f y =的图象上．（Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式n a 及前n 项和n S ；（Ⅱ）存在*k ∈N ，使得k nS S S n <+++ 2121对任意*n ∈N 恒成立，求出k 的最小值；（Ⅲ）是否存在*m ∈N ，使得12m m m a a a ++⋅为数列{}n a 中的项？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）因为 2()(0)f x ax bx a =+≠，所以 ()2f x ax b '=+．因为 ()422f x x '=-+， 所以2a =-，22b =．所以2()222f x x x =-+． 因为 点(,)n n P n S （*n ∈N ）均在函数)(x f y =的图象上， 所以 2222n S n n =-+． 当1n =时，1120a S ==，当2n ≥时，1424n n n a S S n -=-=-+， 所以424n a n =-+（*n ∈N ）． ………………………4分（Ⅱ）存在*k ∈N ，使得k nS S S n <+++ 2121对任意*n ∈N 恒成立． 只要12max ()12n S S S k n>+++ 由（Ⅰ）知2222n S n n =-+， 所以2222(11)nS n n n=-+=-． 当11n <时，0n S n >； 当11n =时，0n S n =； 当11n >时，0n Sn<；所以 当10n =或11n =时，1212n S S Sn+++ 有最大值是110．所以 110k >，又因为 *k ∈N ， 所以k 的最小值为111． ………………………8分（Ⅲ）存在*m ∈N ，使得12m m m a a a ++⋅为数列{}n a 中的项．由（Ⅰ）知 244n a n =-，所以 244m a m =-，1204m a m +=-，2164m a m +=-， 所以12(244)(204)4(6)(5)1644m m m a a m m m m a m m++⋅-⋅---==--． 令4(3)t m t t =-≤∈Z ，， 所以124(6)(5)4(2)(1)24(3)4m m m a a m m t t t a m t t ++⋅--++===++-，如果12m m m a a a ++⋅是数列}{n a 中的项，那么23t t ++为小于等于5的整数，所以 {2,1,1,2}t ∈--．当1t =或2t =时，236t t ++=，不合题意； 当1t =-或2t =-时，230t t++=，符合题意．所以，当1t =-或2t =-时，即5m =或6m =时，12m m m a a a ++⋅为数列{}n a 中的项．5. (2011·东莞期末)在等比数列{}n a 中，如果,8,44231=+=+a a a a 那么该数列的前8项和为( D )A ．12B ．24C ．48D ．2046. (2011·东莞期末)将正方形ABCD 分割成2n ),2(N n n ∈≥个全等的小正方形（图1，图2分别给出了3,2=n 的情形），在每个小正方形的顶点各放置一个数，使位于正方形ABCD 的四边及平行于某边的任一直线上的数都分别依次成等差数列，若顶点D C B A ,,,处的四个数互不相同且和为1，记所有顶点上的数之和为()f n ，则=)4(f ( C )A BC DABC 图1图2A ．4B ．6C ．425 ．213 7．(2011·东莞期末)(本小题满分14分)已知数列{}n a 的各项满足：k a 311-=)(R k ∈，1143n n n a a --=-.(1) 判断数列}74{nn a -是否成等比数列；（2）求数列{}n a 的通项公式；(3) 若数列{}n a 为递增数列，求k 的取值范围.解：（1）n n n n nn n a a a 4733743474111⨯+-=--=-+++ )74(3nn a --=， k k a 3737431741-=--=-．当17k =时，0741=-a ，则数列}74{nn a -不是等比数列；当17k ≠时，0741≠-a ，则数列}74{nn a -是公比为3-的等比数列．（2）由（1）可知当17k ≠时，1)3()373(74--⋅-=-n n n k a ， 74)3()373(1n n n k a +-⋅-=-．当17k =时，74nn a =，也符合上式，所以，数列{}n a 的通项公式为74)3()373(1n n n k a +-⋅-=-．(3) ()()111434333337777n n n n n n a a k k +-+⎛⎫⎛⎫-=+------ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()111233412377n n n k --⨯-⨯=-+⨯-．∵ {}n a 为递增数列，∴()()1112334123077n n n k --⨯-⨯-+⨯->恒成立．①当n 为奇数时，有1134123123077n n n k --⨯⨯-+⨯>，即114173n k -⎡⎤⎛⎫>-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦恒成立，由1114411033n --⎛⎫⎛⎫-≤-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭得0k >．②当n 为偶数时，有1134123123077n n n k --⨯⨯+-⨯>，即114173n k -⎡⎤⎛⎫<+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦恒成立，由12144711333n --⎛⎫⎛⎫+≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得13k <．故k 的取值范围是103,⎛⎫⎪⎝⎭．8．(2011·佛山一检)在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++ ，则k =( B )A ．21B ．22C ．23D ．249．(2011·佛山一检)（本题满分14分）已知正项等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若312S =，且1232,,1a a a +成等比数列. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）记3nn na b =的前n 项和为n T ，求n T . 解：（Ⅰ）∵312S =，即12312a a a ++=，∴2312a =，所以24a =，--------------------------------2 又∵12a ，2a ，31a +成等比数列， ∴22132(1)a a a =⋅+，即22222()(1a a d a d =-⋅++，--------------------------------4分解得，3d =或4d =-（舍去）， ∴121a a d =-=，故32n a n =-；---------------------------------------7分（Ⅱ）法1：321(32)333n n n n n a n b n -===-⋅， ∴231111147(32)3333n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯ ， ①①13⨯得，2341111111147(35)(32)333333n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ② ①-②得，234121111113333(32)3333333n n n T n +=+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯11111(1)115111333(32)(32)133623313n n n n n +-+-=+⨯--⨯=-⨯--⨯-∴2511321565144323443n n n n n n T --+=-⨯-⨯=-⨯． ---------------------------------------14分法2：1321123333n n n n n na nb n --===⋅-⨯， 设231111112343333n n A n -=+⨯+⨯+⨯++⨯ ， ①则234111111234333333n n A n =+⨯+⨯+⨯++⨯ ， ② ①-②得，2312111111333333n n n A n -=+++++-⨯1113313()322313nn n n n -=-⨯=-+⨯- ∴9931()4423n n A n =-+⨯，∴11(1)993115651332()(1)14423344313n n n n n n T A n ⨯-+=-⨯=-+⨯--=-⨯-． 10．（2011·广东四校一月联考）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（ B ）A ．3B ．4C ．5D ．611．（2011·广东四校一月联考）（本小题满分14分）设函数()(2)x f x a x =+，方程()x f x =有唯一解，其中实数a 为常数，12()2013f x =，*1()()n n f x x n N +=∈（1）求()f x 的表达式；（2）求2011x 的值；（3）若44023n n a x =-且22*11()2n nn n na ab n a a +++=∈N ，求证：121n b b b n +++<+解：（1）由(2)xx a x =+，可化简为(2)ax x x +=2(21)0ax a x ∴+-= -------2分∴当且仅当12a =时，方程()x f x =有唯一解． ---3分 从而2()2xf x x =+ -------4分 （2）由已知*1()()n n f x x n N +=∈，得122nn n x x x +=+ -------5分 11112n n x x +∴=+，即*1111()2n n n N x x +-=∈ ∴数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以11x 为首项，12为公差的等差数列． -------6分111(1)2111(1)22n n x n x x x -+=+-⨯=，112(1)2n x x n x ∴=-+12()2013f x =，112222013x x ∴=+，即111006x = 122100612011(1)21006n x n n ⨯∴==+-⨯+ -------7分 故201121201120112011x ==+ -------8分 （3）证明：22011n x n =+ ，201144023212n n a n +∴=⨯-=- -------10分22222121(21)(21)412111=122(21)(21)41(21)(21)2121n nn n n a a n n n b a a n n n n n n n +++++-+∴====++-+---+-+---12分12111111(11)(1)(1)11335212121n b b b n n n n n ∴++-=+-++-+++--=-<-++ ,故121n b b b n +++<+ -------14分12．(2011·广州期末)已知等比数列{}n a 的公比是2，33a =，则5a 的值是12 .13．(2011·广州期末)（本小题满分14分） 已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足1(n n S a n =-∈N *).各项为正数的数列}{n b 中，对于一切n ∈N *,有nk ==且1231,2,3b b b ===.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,求证:2n T <.（1）解：∵1n n S a =-，当1n =时,1111a S a ==-, 解得112a =. ……1分当2n ≥时,1n n n a S S -=-()()111n n a a -=---,得12nn a a -=, 即112n n a a -=. …… 3分 ∴数列}{n a 是首项为12, 公比为12的等比数列.∴1111222n n n a -⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭. …… 4分∵ 对于一切n ∈N *,有1nk == ①当2n ≥时, 有1n k -==， ②1- ②=化简得:11(1)0n n n b nb b +--+=, ③用1n +替换③式中的n ，得：211(1)0n n nb n b b ++-++=, ④ ……6分③－④ 整理得：211n n n n b b b b +++-=-，∴当2n ≥时, 数列{}n b 为等差数列.∵32211b b b b -=-=,∴ 数列{}n b 为等差数列. …… 8分∵121,2b b ==∴数列{}n b 的公差1d =.∴()11n b n n=+-=. …… 10分(2)证明:∵数列{}n n a b 的前n 项和为n T ,∴231232222n n n T =++++ , ⑤∴2211122222n n n T +=+++ , ⑥ ⑤－⑥得：21111122222n n n n T +=+++- …… 12分1111221212nn n +⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=--1212n n ++=-.∴2222n n n T +=-<. ……14分14．（2011·哈九中高三期末）若两个等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别是n S 和n T ，已知73n n S nT n =+，则55a b =（ ）A ．7B ．23C ．278 D ．214【答案】D【分析】根据等差数列的性质，把55a b 转化为99S T .【解析】195519919551999()22122()242a a a a a a Sb b b b b b T ++=====++. 【考点】数列。
专题四：数列(知识点梳理)
高考数学必记知识点归纳总结第六章 数列一、数列的概念与简单表示法：1、基本概念：数列：按照一定顺序排列着的一列数。
数列是有序的。
数列是定义在自然数N*或它的有限子集{1,2,3,…,n}上的函数。
通项公式：数列{}n a 的第n 项n a 与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，这个公式叫做这个数列的通项公式。
如: 221na n =-。
递推公式：已知数列{}n a 的第1项（或前几项），且任一项n a 与他的前一项1n a -（或前几项）可以用一个公式来表示，这个公式叫做数列的递推公式。
2、数列中n a 与n S 之间的关系：11,(1),(2).n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ 二、等差数列：1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。
定义式：()*+112,n n n n a a d a a d n n N --=-=≥∈或2、等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a b A +⇔=3、通项公式： 1(1)n a a n d =+-4、前n 项和公式：()()11122n n n n n n a a S na d S -+=+=或5、常用性质：① ()n m a a n m d =+-② 若 2m n p q r +=+= ，则 2m n p q r a a a a a +=+=；③ ()*1122,n n n a a a n n N +-=+≥∈；三、等比数列：1、定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列。
定义式：()*112,n n n n a a q q n n N a a +-==≥∈或 2、等比中项：若三数a b 、G 、成等比数列2,G ab ⇒=（ab 同号）。
3、通项公式：11n n a a q -=4、前n 项和公式：()()()1111111n n n n a q a a q S q S q q q--=≠=≠--或 5、常用性质 ① n m n m a a q -=⋅② 若2m n p q r +=+= ，则2m n p q r a a a a a ⋅=⋅=；③ ()2*112,n n n a a a n n N +-=⋅≥∈四、非等差、等比数列通项公式的求法：观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。