二面角求法

二面角求法
求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是这几年高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.
总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.
二面角的分值一般在6分，主要解题方法有以下几种： 1 定义法
即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.
例1 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角A-BD-C 1的正切值为 . 分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为 二面角C-BD-C 1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角” 这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉 思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC 1 是二面角C-BD-C 1的平面角，且tan ∠COC 1=2。

将题目略作变化，二面角A 1-BD-C 1的余弦值为 .
在图1中，∠A 1OC 1是二面角A 1-BD-C 1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得 cos ∠A 1OC 1=
3
1
例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC 中，E 、F 、P 分别是AB 、AC 、BC 上的点，满足AE ： EB=CF ：FA=CP ：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF 折起 到△A 1EF 的位置，使二面角A 1-EF-B 成直二面角，连 接A 1B 、A 1P.
(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A 1P-F 的余弦值。

分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP 的中点Q ，连接EQ ，则在正三角形ABC 中，很容易证得△BEQ ≌△ PEQ ≌△PEF ≌△AEF ，那么在图2(2)中，有A 1Q=A 1F.作FM ⊥A 1P 于M ，连接QH 、QF ，则易得△A 1QP ≌△A 1FP ，△QMP ≌△FMP ，所以∠PMQ=∠PMF=90o ，∠QMF 为二面角B-A 1P-F 的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A 1P=5，QM=FM=5
5
2，在△QMF 中，由余弦定理得cos ∠QMF=8
7 。

2 垂面法
事实上，图1中的平面COC 1、图2(2)中的平面QMF 、图3中的平面PAB 、图4中的平面A 1FE
D
B 1
图1
A
O
A 1
C
B
D 1
C 1
O 1
M A
F
A 1
Q
P
E
C
P
E
F 图2(2)
图2(1)
Q
都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.
例4空间的点P 到二面角βα--l 的面α、β及棱l 的距离分别
为4、3、3
39
2，求二面角βα--l 的大小.
分析与略解：如图5，分别作PA ⊥α于A ，PB ⊥β于B ，则易知 l ⊥平面PAB ，设l ∩平面PAB=C ，连接PC ，则l ⊥PC.
分别在Rt △PAC 、Rt △PBC 中，PC=
3392，PA=4，PB=3，则AC=332，BC=3
3
5. 因为P 、A 、C 、B 四点共圆，且PC 为直径，设PC=2R ，二面角βα--l 的大小为θ. 分别在△PAB 、△ABC 中，由余弦定理得
AB 2=AC 2+BC 2-2·AC ·BCcos θ=PA 2+PB 2-2·PA ·PBcos(θπ-)， 则可解得cos θ=2
1
-，θ=120o ，二面角βα--l 的大小为120o . 3 面积法
如图1，设二面角C-BD-C 1的大小为θ，则在Rt △COC 1中，cos BD
C CB
D S S BD O C BD
CO O C CO
1112
121
∆∆=⋅⋅==θ，
在某些情况下用此法特别方便.
例5 如图6，平面α外的△A 1B 1C 1在α内的射影是边长为1的正三角形ABC ，且AA 1=2，BB 1=3，CC 1=4，求△A 1B 1C 1所在的平面与平面α所成锐二面角的余弦值
分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB 1、CC 1取BD=CE=AA 1， 则△A 1B 1C 1≌△A 1DE ，可求得A 1B=2，A 1C 1=5，B 1C 1=
2，所以等腰△A 1B 1C 1的面积为
415，又正△ABC 的面积为4
3
. 设所求二面角的大小为θ，则cos θ=5
5
.
4延伸法
例4. 如图10，设正三棱柱ABC-A'B'C'各棱长均为α，D
为CC 1中点，求平面A'BD 与平面ABC 所成二面角的度数。

P
图5
β
α
l
C
B
A
α
D A
M 图6
E C
B C 1
A 1
B 1
H G
分析与解 由图，平面A'BD 与平面ABC 只出现一个交点，故延长A'D 交AC 延长线于F 点，连BF ，则BF 为所求二面角的棱。

因CD=C'D ，则A'C'=CF=BC=AC ，所以∠ABF=90°，取BF 中点E ，连DE ，则CE⊥BF，又DC⊥平面ABF ，即DE⊥BF，从而∠DEC 为所求二面角的平面角。

说明 本题也可用射影法求二面角的度数。

5 变式二面角的求法
以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略. 5.1 “无棱”二面角的求法
严格地说，任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有两种处理办法：
(1)用面积法，见例5；
(2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”.
在例5中，延长C 1B 1和C 1A 1分别交CB 和CA 的延长线于G 、H ，连GH. 作CM ⊥GH 于M ，连C 1M ，C 1M ⊥GH ，则∠CMC 1是所求二面角的平面角. 由平几知识得CG=4，CH=2，则△CGH 的面积为32，又△CGH 的面积为
2
1
CH ·CM. 又由余弦定理得GH=32，所以CM=2，则在Rt △CMC 1中，cos θ=
5
5. 在原图中，面A 1B 1C 1与α的公共点都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了.
面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化，例5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法. 5.2 有关二面角的最值问题
求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题. 例6 二面角α-l -β的大小是变量)2
0(π
θθ<
<，点B 、C 在l
上，A 、D 分别在面α、β内，且AD ⊥BC ，AD 与面β成6
π
角，若
△ABC 的面积为定值S ，求△BCD 面积Q 的最大值.
α
E
D
C
B
A l
β
分析与略解：如图9，作AE ⊥BC 于E ，连DE ，则由AD ⊥BC 得 BC ⊥平面ADE ，则DE ⊥BC ，∠AED=θ，∠ADE=
6
π. 在△AED 中，由正弦定理得6
sin )
6sin(ππ
θ+
=
AE
DE
，所以)6sin(2,6
sin )
6sin(πθπ
θ+=+
=S Q S Q ， 则当3
π
θ=
时，有Q max =2S.
△BCD 和△ABC 有公共的底边BC ，则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识，但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力.
例1 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，a.求二面角A-BD-C 1的正切值为 .
b 求二面角B 1—A 1C 1—B 的正弦值，c.O 1—AC —B 1的正切值。

D B 1
图1
A
O
A 1
C
B
D 1
C 1
O 1。