2018年江苏高考数学复习：专题限时集训10 平面解析几何含答案

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2018版高考数学理江苏专用大一轮复习讲义教师版文档第

1.椭圆的概念平面内到两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆，两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合P＝{M|MF1＋MF2＝2a}，F1F2＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：(1)若a>c，则集合P为椭圆；(2)若a＝c，则集合P为线段；(3)若a<c，则集合P为空集.2.椭圆的标准方程和几何性质【知识拓展】点P (x 0，y 0)和椭圆的关系(1)点P (x 0，y 0)在椭圆内⇔x 20a 2＋y 20b 2<1.(2)点P (x 0，y 0)在椭圆上⇔x 20a 2＋y 20b 2＝1.(3)点P (x 0，y 0)在椭圆外⇔x 20a 2＋y 20b2>1.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.( × )(2)椭圆上一点P 与两焦点F 1，F 2构成△PF 1F 2的周长为2a ＋2c (其中a 为椭圆的长半轴长，c 为椭圆的半焦距).( √ )(3)椭圆的离心率e 越大，椭圆就越圆.( × )(4)方程mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )表示的曲线是椭圆.( √ ) (5)y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ≠b )表示焦点在y 轴上的椭圆.( × ) (6)x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)的焦距相等.( √ )1.(教材改编)椭圆x 210－m ＋y 2m －2＝1的焦距为4，则m ＝________.答案 4或8 解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ 10－m >m －2>0，(10－m )－(m －2)＝4或⎩⎪⎨⎪⎧m －2>10－m >0，(m －2)－(10－m )＝4，解得m ＝4或m ＝8.2.(2016·苏州检测)在平面直角坐标系xOy 内，动点P 到定点F (－1,0)的距离与P 到定直线x ＝－4的距离的比值为12.则动点P 的轨迹C 的方程为______________.答案 x 24＋y 23＝1解析设点P (x ，y )，由题意知(x ＋1)2＋y 2|x ＋4|＝12，化简得3x 2＋4y 2＝12，所以动点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.3.(2016·全国乙卷改编)直线l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的14，则该椭圆的离心率为________.答案 12解析如图，由题意得，BF ＝a ，OF ＝c ，OB ＝b ， OD ＝14·2b ＝12b .在Rt △FOB 中，OF ·OB ＝BF ·OD ，即cb ＝a ·12b ，解得a ＝2c ，故椭圆离心率e ＝c a ＝12.4.如果方程x 2＋ky 2＝2表示焦点在y 轴上的椭圆，那么实数k 的取值范围是________. 答案 (0,1)解析将椭圆方程化为x 22＋y 22k ＝1，因为焦点在y 轴上，则2k>2，即k <1，又k >0，所以0<k <1.5.(教材改编)已知点P 是椭圆x 25＋y 24＝1上y 轴右侧的一点，且以点P 及焦点F 1，F 2为顶点的三角形的面积等于1，则点P 的坐标为__________________. 答案 ⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1 解析设P (x ，y )，由题意知c 2＝a 2－b 2＝5－4＝1，所以c ＝1，则F 1(－1,0)，F 2(1,0)，由题意可得点P 到x 轴的距离为1，所以y ＝±1，把y ＝±1代入x 25＋y 24＝1，得x ＝±152，又x >0，所以x ＝152，所以P 点坐标为⎝⎛⎭⎫152，1或⎝⎛⎭⎫152，－1.题型一椭圆的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹例1 (2016·徐州模拟)如图所示，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使M 与F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是________.答案椭圆解析由条件知PM ＝PF ， ∴PO ＋PF ＝PO ＋PM ＝OM ＝R >OF . ∴P 点的轨迹是以O ，F 为焦点的椭圆. 命题点2 利用待定系数法求椭圆方程例2 (1)已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且过点P (3,0)，则椭圆的方程为_________________________________.(2)已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P 1(6，1)，P 2(－3，－2)，则椭圆的方程为________________________________________. 答案 (1)x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1(2)x 29＋y 23＝1 解析 (1)若焦点在x 轴上，设方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0).∵椭圆过P (3,0)，∴32a 2＋02b 2＝1，即a ＝3，又2a ＝3×2b ，∴b ＝1，∴椭圆方程为x 29＋y 2＝1.若焦点在y 轴上，设方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0).∵椭圆过点P (3,0)，∴02a 2＋32b 2＝1，即b ＝3.又2a ＝3×2b ，∴a ＝9，∴椭圆方程为y 281＋x 29＝1.∴所求椭圆的方程为x 29＋y 2＝1或y 281＋x 29＝1.(2)设椭圆方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0且m ≠n ). ∵椭圆经过点P 1，P 2，∴点P 1，P 2的坐标适合椭圆方程.即⎩⎪⎨⎪⎧6m ＋n ＝1，①3m ＋2n ＝1，② ①②两式联立，解得⎩⎨⎧m ＝19，n ＝13.∴所求椭圆方程为x 29＋y 23＝1.命题点3 利用定义解决“焦点三角形”问题例3 已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________. 答案 3解析设PF 1＝r 1，PF 2＝r 2，则⎩⎪⎨⎪⎧r 1＋r 2＝2a ，r 21＋r 22＝4c 2，因为2r 1r 2＝(r 1＋r 2)2－(r 21＋r 22)＝4a 2－4c 2＝4b 2，又因为1221219,2PF F S rr b ===△ 所以b ＝3. 引申探究1.在例3中，若增加条件“△PF 1F 2的周长为18”，其他条件不变，求该椭圆的方程. 解由原题得b 2＝a 2－c 2＝9，又2a ＋2c ＝18，所以a －c ＝1，解得a ＝5，故椭圆方程为x 225＋y 29＝1.2.在例3中，若将条件“PF 1→⊥PF 2→”“△PF 1F 2的面积为9”分别改为“∠F 1PF 2＝60°”“12PF F S =△，结果如何？解 PF 1＋PF 2＝2a ，又∠F 1PF 2＝60°，所以PF 21＋PF 22－2PF 1·PF 2cos 60°＝F 1F 22，即(PF 1＋PF 2)2－3PF 1·PF 2＝4c 2，所以3PF 1·PF 2＝4a 2－4c 2＝4b 2，所以PF 1·PF 2＝43b 2，又因为12121··sin 602PF F S PF PF =︒△ ＝12·43b 2·32 ＝33b 2＝33，所以b ＝3.思维升华 (1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义定形状时，一定要注意常数2a >F 1F 2这一条件.(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a ，b 的方程组.如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )的形式. (3)当P 在椭圆上时，与椭圆的两焦点F 1，F 2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求PF 1·PF 2；通过整体代入可求其面积等.(1)(2016·盐城模拟)已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________________. (2)(2016·镇江模拟)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P ，使(OP→＋OF 2→)·PF 2→＝0(O 为坐标原点)，则△F 1PF 2的面积是______. 答案 (1)x 264＋y 248＝1 (2)1解析 (1)设圆M 的半径为r ，则MC 1＋MC 2＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝C 1C 2，所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆，且 2a ＝16,2c ＝8，故所求的轨迹方程为x 264＋y 248＝1.(2)∵(OP →＋OF 2→)·PF 2→＝(OP →＋F 1O →)·PF 2→＝F 1P →·PF 2→＝0， ∴PF 1⊥PF 2，∠F 1PF 2＝90°. 设PF 1＝m ，PF 2＝n ，则m ＋n ＝4，m 2＋n 2＝12,2mn ＝4，121= 1.2F PF S mn ∴=△题型二椭圆的几何性质例4 (1)已知点F 1，F 2是椭圆x 2＋2y 2＝2的左，右焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么|PF 1→＋PF 2→|的最小值是________.(2)(2016·全国丙卷改编)已知O 为坐标原点，F 是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点，A ，B 分别为椭圆C 的左，右顶点.P 为C 上一点，且PF ⊥x 轴.过点A 的直线l 与线段PF 交于点M ，与y 轴交于点E .若直线BM 经过OE 的中点，则C 的离心率为________. 答案 (1)2 (2)13解析 (1)设P (x 0，y 0)，则PF 1→＝(－1－x 0，－y 0)， PF 2→＝(1－x 0，－y 0)，∴PF 1→＋PF 2→＝(－2x 0，－2y 0)， ∴|PF 1→＋PF 2→|＝4x 20＋4y 20＝22－2y 20＋y 20＝2－y 20＋2.∵点P 在椭圆上，∴0≤y 20≤1， ∴当y 20＝1时，|PF 1→＋PF 2→|取最小值2.(2)设M (－c ，m )，则E ⎝⎛⎭⎫0，am a －c ，OE 的中点为D ，则D ⎝⎛⎭⎫0，am2(a －c )，又B ，D ，M 三点共线，所以m 2(a －c )＝m a ＋c，a ＝3c ，e ＝13.思维升华 (1)利用椭圆几何性质的注意点及技巧 ①注意椭圆几何性质中的不等关系在求与椭圆有关的一些量的范围，或者最大值、最小值时，经常用到椭圆标准方程中x ，y 的范围，离心率的范围等不等关系. ②利用椭圆几何性质的技巧求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的内在联系. (2)求椭圆的离心率问题的一般思路求椭圆的离心率或其范围时，一般是依据题设得出一个关于a ，b ，c 的等式或不等式，利用a 2＝b 2＋c 2消去b ，即可求得离心率或离心率的范围.(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，直线y ＝b2与椭圆交于B ，C 两点，且∠BFC ＝90°，则该椭圆的离心率是________.答案63解析联立方程组⎩⎨⎧x 2a 2＋y 2b 2＝1，y ＝b2，解得B ，C 两点坐标为B ⎝⎛⎭⎫－32a ，b 2，C ⎝⎛⎫32a ，b 2，又F (c,0)，则FB →＝⎝⎛⎭⎫－32a －c ，b 2，FC →＝⎝⎛⎭⎫3a 2－c ，b 2，又由∠BFC ＝90°，可得FB →·FC →＝0，代入坐标可得 c 2－34a 2＋b 24＝0，①又因为b 2＝a 2－c 2.代入①式可化简为c 2a 2＝23，则椭圆离心率为e ＝c a ＝23＝63. 题型三直线与椭圆例5 (2016·天津)设椭圆x 2a 2＋y 23＝1(a >3)的右焦点为F ，右顶点为A .已知1OF ＋1OA ＝3eF A ，其中O 为原点，e 为椭圆的离心率. (1)求椭圆的方程；(2)设过点A 的直线l 与椭圆交于点B (B 不在x 轴上)，垂直于l 的直线与l 交于点M ，与y 轴交于点H .若BF ⊥HF ，且∠MOA ≤∠MAO ，求直线l 的斜率的取值范围. 解 (1)设F (c,0)，由1OF ＋1OA ＝3eF A ，即1c ＋1a ＝3c a (a －c )，可得a 2－c 2＝3c 2. 又a 2－c 2＝b 2＝3，所以c 2＝1，因此a 2＝4. 所以椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 的斜率为k (k ≠0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －2).设B (x B ，y B )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，y ＝k (x －2)消去y ，整理得(4k 2＋3)x 2－16k 2x ＋16k 2－12＝0，解得x ＝2或x ＝8k 2－64k 2＋3.由题意，得x B ＝8k 2－64k 2＋3，从而y B ＝－12k4k 2＋3.由(1)知，F (1,0)，设H (0，y H )，有FH →＝(－1，y H )，BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－4k24k 2＋3，12k 4k 2＋3.由BF ⊥HF ，得BF →·FH →＝0，所以4k 2－94k 2＋3＋12ky H 4k 2＋3＝0，解得y H ＝9－4k 212k .因此直线MH 的方程为y ＝－1k x ＋9－4k212k.设M (x M ，y M )，由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －2)，y ＝－1k x ＋9－4k 212k 消去y ，解得x M ＝20k 2＋912(k 2＋1).在△MAO 中，∠MOA ≤∠MAO ⇔MA ≤MO ，即(x M －2)2＋y 2M ≤x 2M ＋y 2M ，化简得x M ≥1，即20k 2＋912(k 2＋1)≥1，解得k ≤－64或k ≥64. 所以直线l 的斜率的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，－64∪⎣⎡⎭⎫64，＋∞. 思维升华 (1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题.涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单.(2)设直线与椭圆的交点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝(1＋1k2)[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2](k 为直线斜率).提醒：利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式.如图，已知椭圆O ：x 24＋y 2＝1的右焦点为F ，B ，C 分别为椭圆O 的上，下顶点，P 是直线l ：y ＝－2上的一个动点(与y 轴交点除外)，直线PC 交椭圆O 于另一点M.(1)当直线PM 过椭圆的右焦点F 时，求△FBM 的面积； (2)①记直线BM ，BP 的斜率分别为k 1，k 2，求证：k 1·k 2为定值； ②求PB →·PM →的取值范围.(1)解由题意知B (0,1)，C (0，－1)，焦点F (3，0)，当直线PM 过椭圆O 的右焦点F 时，直线PM 的方程为x 3＋y －1＝1，即y ＝33x －1.联立⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝33x －1，解得⎩⎨⎧x ＝837，y ＝17或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1(舍去)，即点M 的坐标为(837，17).连结BF ，则直线BF 的方程为x 3＋y1＝1，即x ＋3y －3＝0.又BF ＝a ＝2，点M 到直线BF 的距离为d ＝|837＋3×17－3|12＋(3)2＝2372＝37，故△FBM 的面积为S △MBF ＝12·BF ·d ＝12×2×37＝37.(2)方法一 ①证明设P (m ，－2)，且m ≠0，则直线PM 的斜率为k ＝－1－(－2)0－m ＝－1m ，则直线PM 的方程为y ＝－1mx －1.联立⎩⎨⎧y ＝－1mx －1，x24＋y 2＝1，消去y ，得(1＋4m 2)x 2＋8mx ＝0，解得点M 的坐标为(－8mm 2＋4，4－m 2m 2＋4)，所以k 1＝4－m 2m 2＋4－1－8m m 2＋4＝－2m 2－8m ＝14m ，k 2＝1－(－2)0－m＝－3m ，所以k 1·k 2＝－3m ·14m ＝－34为定值.②解由①知，PB →＝(－m,3)， PM →＝(－8m m 2＋4－m ，4－m 2m 2＋4＋2)＝(－m 3－12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4)，所以PB →·PM →＝(－m,3)·(－m 3＋12m m 2＋4，m 2＋12m 2＋4)＝(m 2＋12)(m 2＋3)m 2＋4.令m 2＋4＝t >4，则PB →·PM →＝(t ＋8)(t －1)t＝t 2＋7t －8t ＝t －8t＋7.因为y ＝t －8t ＋7在t ∈(4，＋∞)上单调递增，所以PB →·PM →＝t －8t ＋7>4－84＋7＝9，故PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞).方法二 ①证明设点M 的坐标为(x 0，y 0)(x 0≠0)，则直线PM 的方程为y ＝y 0＋1x 0x －1，令y ＝－2，得点P 的坐标为(－x 0y 0＋1，－2)，所以k 1＝y 0－1x 0，k 2＝－2－1－x 0y 0＋1＝3(y 0＋1)x 0，所以k 1·k 2＝y 0－1x 0·3(y 0＋1)x 0＝3(y 20－1)x 20＝3(y 20－1)4(1－y 20)＝－34为定值. ②解由①知，PB →＝(x 0y 0＋1，3)，PM →＝(x 0＋x 0y 0＋1，y 0＋2)，所以PB →·PM →＝x 0y 0＋1(x 0＋x 0y 0＋1)＋3(y 0＋2)＝x 20(y 0＋2)(y 0＋1)2＋3(y 0＋2) ＝4(1－y 20)(y 0＋2)(y 0＋1)2＋3(y 0＋2)＝(7－y 0)(y 0＋2)y 0＋1.令t ＝y 0＋1∈(0,2)，则PB →·PM →＝(8－t )(t ＋1)t ＝－t ＋8t ＋7.因为y ＝－t ＋8t ＋7在t ∈(0,2)上单调递减，所以PB →·PM →＝－t ＋8t ＋7>－2＋82＋7＝9，故PB →·PM →的取值范围为(9，＋∞).8.高考中求椭圆的离心率问题考点分析离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点，这类问题一般有两类：一类是根据一定的条件求椭圆的离心率；另一类是根据一定的条件求离心率的取值范围，无论是哪类问题，其难点都是建立关于a ，b ，c 的关系式(等式或不等式)，并且最后要把其中的b 用a ，c 表示，转化为关于离心率e 的关系式，这是化解有关椭圆的离心率问题难点的根本方法.典例1 (2015·福建改编)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F ，短轴的一个端点为M ，直线l ：3x －4y ＝0交椭圆E 于A ，B 两点.若AF ＋BF ＝4，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是__________.解析左焦点F 0，连结F 0A ，F 0B ，则四边形AFBF 0为平行四边形.∵AF ＋BF ＝4， ∴AF ＋AF 0＝4， ∴a ＝2.设M (0，b )，则4b 5≥45，∴1≤b ＜2.离心率e ＝ca ＝c 2a 2＝ a 2－b 2a 2＝ 4－b 24∈⎝⎛⎦⎤0，32. 答案 ⎝⎛⎦⎤0，32典例2 (14分)(2016·浙江)如图，设椭圆x 2a2＋y 2＝1(a ＞1).(1)求直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段长(用a ，k 表示)；(2)若任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围. 规范解答解 (1)设直线y ＝kx ＋1被椭圆截得的线段为AM ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 2a 2＋y 2＝1，得(1＋a 2k 2)x 2＋2a 2kx ＝0，故x 1＝0，x 2＝－2a 2k 1＋a 2k 2，因此AM ＝1＋k 2|x 1－x 2|＝2a 2|k |1＋a 2k2·1＋k 2. [6分](2)假设圆与椭圆的公共点有4个，由对称性可设y 轴左侧的椭圆上有两个不同的点P ，Q ，满足AP ＝AQ .记直线AP ，AQ 的斜率分别为k 1，k 2，且k 1，k 2＞0，k 1≠k 2.[8分]由(1)知AP ＝2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21，AQ ＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，故2a 2|k 1|1＋k 211＋a 2k 21＝2a 2|k 2|1＋k 221＋a 2k 22，所以(k 21－k 22)[1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22]＝0.由k 1≠k 2，k 1，k 2＞0，得1＋k 21＋k 22＋a 2(2－a 2)k 21k 22＝0，因此⎝⎛⎭⎫1k 21＋1⎝⎛⎭⎫1k 22＋1＝1＋a 2(a 2－2)， ①因为①式关于k 1，k 2的方程有解的充要条件是1＋a 2(a 2－2)＞1，所以a ＞ 2. [12分] 因此，任意以点A (0,1)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为1＜a ≤2，由e ＝c a ＝a 2－1a ，得0<e ≤22.所以离心率的取值范围是(0，22].[14分]1.(2016·苏北四市联考)已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为____________. 答案 x 24＋y 23＝1解析依题意，可设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，由已知可得抛物线的焦点为(－1,0)，所以c ＝1，又离心率e ＝c a ＝12，解得a ＝2，b 2＝a 2－c 2＝3，所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.2.(2016·苏北四市一模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点A 、B 1、B 2、F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点.若直线AB 2与直线B 1F 的交点恰在直线x ＝a 2c 上，则椭圆的离心率为________. 答案 12解析由题意知直线AB 2：－x a ＋y b ＝1，直线B 1F ：x c －y b ＝1，联立解得x ＝2aca －c ，若交点在椭圆的右准线上，则2ac a －c ＝a 2c，即2c 2＋ac －a 2＝0，所以2e 2＋e －1＝0，解得e ＝12.3.(2017·青岛月考)已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为________.答案53解析设P (x 0，y 0)，则y 0x 0＋a ·y 0x 0－a＝－49，化简得x 20a 2＋y 204a29＝1，则b 2a 2＝49，e ＝ 1－(b a )2＝1－49＝53. 4.(2016·南昌模拟)已知椭圆：y 29＋x 2＝1，过点P (12，12)的直线与椭圆相交于A ，B 两点，且弦AB 被点P 平分，则直线AB 的方程为________________. 答案 9x ＋y －5＝0解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，因为A ，B 在椭圆y 29＋x 2＝1上，所以⎩⎨⎧y 219＋x 21＝1，y 229＋x 22＝1，两式相减，得y 21－y 229＋x 21－x 22＝0，即(y 1－y 2)(y 1＋y 2)9＋(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝0，又弦AB 被点P (12，12)平分，所以x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1，将其代入上式，得y 1－y 29＋x 1－x 2＝0，得y 1－y 2x 1－x 2＝－9，即直线AB 的斜率为－9，所以直线AB 的方程为 y －12＝－9(x －12)，即9x ＋y －5＝0.5.(2016·宿迁模拟)已知F 1、F 2是椭圆x 24＋y 2＝1的两个焦点，P 为椭圆上一动点，则使PF 1·PF 2取得最大值的点P 为__________. 答案 (0,1)或(0，－1)解析由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ＝4， ∴PF 1·PF 2≤(PF 1＋PF 22)2＝4，当且仅当PF 1＝PF 2＝2，即P (0，－1)或(0,1)时，PF 1·PF 2取得最大值.*6.(2016·苏州质检)设A 1，A 2为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左，右顶点，若在椭圆上存在异于A 1，A 2的点P ，使得PO →·P A 2→＝0，其中O 为坐标原点，则椭圆的离心率e 的取值范围是____________. 答案 (22，1) 解析 A 1(－a,0)，A 2(a,0)，设P (x ，y )，则PO →＝(－x ，－y )，P A 2→＝(a －x ，－y )， ∵PO →·P A 2→＝0，∴(a －x )(－x )＋(－y )(－y )＝0， ∴y 2＝ax －x 2>0，∴0<x <a . 将y 2＝ax －x 2代入x 2a 2＋y 2b2＝1，整理得(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2＝0，其在(0，a )上有解，令f (x )＝(b 2－a 2)x 2＋a 3x －a 2b 2， ∵f (0)＝－a 2b 2<0，f (a )＝0，如图，Δ＝(a 3)2－4(b 2－a 2)·(－a 2b 2) ＝a 2(a 4－4a 2b 2＋4b 4) ＝a 2(a 2－2b 2)2≥0，∴对称轴满足0<－a 32(b 2－a 2)<a ，即0<a 32(a 2－b 2)<a ，∴a 22c 2<1，∴c 2a 2>12. 又0<c a <1，∴22<c a<1.7.若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >0，b >0)的焦点在x 轴上，过点(2,1)作圆x 2＋y 2＝4的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程为________________. 答案 x 220＋y 216＝1解析设切点坐标为(m ，n )，则n －1m －2·nm＝－1，即m 2＋n 2－n －2m ＝0.∵m 2＋n 2＝4，∴2m ＋n －4＝0，即直线AB 的方程为2x ＋y －4＝0.∵直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点， ∴2c －4＝0，b －4＝0，解得c ＝2，b ＝4， ∴a 2＝b 2＋c 2＝20， ∴椭圆方程为x 220＋y 216＝1.8.已知P 为椭圆x 225＋y 216＝1上的一点，M ，N 分别为圆(x ＋3)2＋y 2＝1和圆(x －3)2＋y 2＝4上的点，则PM ＋PN 的最小值为________. 答案 7解析由题意知椭圆的两个焦点F 1，F 2分别是两圆的圆心，且PF 1＋PF 2＝10，从而PM ＋PN 的最小值为PF 1＋PF 2－1－2＝7.9.(2017·连云港质检)椭圆x 24＋y 2＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上一动点，若∠F 1PF 2为钝角，则点P 的横坐标的取值范围是________________. 答案 (－263，263)解析设椭圆上一点P 的坐标为(x ，y )，则F 1P →＝(x ＋3，y )，F 2P →＝(x －3，y ). ∵∠F 1PF 2为钝角，∴F 1P →·F 2P →<0，即x 2－3＋y 2<0，①∵y 2＝1－x 24，代入①，得x 2－3＋1－x 24<0，34x 2<2，∴x 2<83. 解得－263<x <263，∴x ∈(－263，263).10.已知过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A (－a ，0)作直线l 交y 轴于点P ，交椭圆于点Q ，若△AOP 是等腰三角形，且PQ →＝2QA →，则椭圆的离心率为________. 答案255解析 ∵△AOP 是等腰三角形，A (－a,0)，∴P (0，a ). 设Q (x 0，y 0)，∵PQ →＝2QA →，∴(x 0，y 0－a )＝2(－a －x 0，－y 0).∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－2a －2x 0，y 0－a ＝－2y 0，解得⎩⎨⎧x 0＝－23a ，y 0＝a3，代入椭圆方程化简，可得b 2a 2＝15，∴e ＝1－b 2a 2＝255. 11.(2016·南京模拟)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，右顶点，上顶点分别为A ，B ，且AB ＝52BF . (1)求椭圆C 的离心率；(2)若斜率为2的直线l 过点(0,2)，且l 交椭圆C 于P ，Q 两点，OP ⊥OQ ，求直线l 的方程及椭圆C 的方程.解 (1)由已知AB ＝52BF ，即a 2＋b 2＝52a ， 4a 2＋4b 2＝5a 2,4a 2＋4(a 2－c 2)＝5a 2， ∴e ＝c a ＝32.(2)由(1)知a 2＝4b 2，∴椭圆C ：x 24b 2＋y 2b2＝1.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线l 的方程为y －2＝2(x －0)，即2x －y ＋2＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2＝0，x 24b 2＋y 2b 2＝1消去y ，得x 2＋4(2x ＋2)2－4b 2＝0，即17x 2＋32x ＋16－4b 2＝0.Δ＝322＋16×17(b 2－4)>0，解得b >21717.x 1＋x 2＝－3217，x 1x 2＝16－4b 217.∵OP ⊥OQ ，∴OP →·OQ →＝0，即x 1x 2＋y 1y 2＝0，x 1x 2＋(2x 1＋2)(2x 2＋2)＝0， 5x 1x 2＋4(x 1＋x 2)＋4＝0. 从而5(16－4b 2)17－12817＋4＝0，解得b ＝1，满足b >21717.∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1.12.(2015·安徽)设椭圆E 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，点O 为坐标原点，点A 的坐标为(a,0)，点B 的坐标为(0，b )，点M 在线段AB 上，满足BM ＝2MA ，直线OM 的斜率为510. (1)求E 的离心率e ；(2)设点C 的坐标为(0，－b )，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程.解 (1)由题设条件知，点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫23a ，13b ，又k OM ＝510，从而b 2a ＝510，进而得a ＝5b ，c ＝a 2－b 2＝2b ，故e ＝c a ＝255.(2)由题设条件和(1)的计算结果可得，直线AB 的方程为x 5b ＋yb＝1，点N 的坐标为⎝⎛⎭⎫52b ，－12b .设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为⎝⎛⎭⎫x 1，72，则线段NS 的中点T 的坐标为⎝⎛⎭⎫54b ＋x 12，－14b ＋74.又点T 在直线AB 上，且k NS ·k AB ＝－1，从而有⎩⎪⎨⎪⎧54b ＋x 125b＋－14b ＋74b ＝1，72＋12b x 1－52b ＝ 5.解得b ＝3.所以a ＝35，故椭圆E 的方程为x 245＋y 29＝1.13.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F ，右顶点为A ，上顶点为B ，O 为坐标原点，M 为椭圆上任意一点.过F ，B ，A 三点的圆的圆心坐标为(p ，q ). (1)当p ＋q ≤0时，求椭圆的离心率的取值范围；(2)若点D (b ＋1,0)，在(1)的条件下，当椭圆的离心率最小时，(MF →＋OD →)·MO →的最小值为72，求椭圆的方程.解 (1)设椭圆半焦距为c .由题意AF ，AB 的中垂线方程分别为x ＝a －c 2，y －b 2＝a b (x －a2)，于是圆心坐标为(a －c 2，b 2－ac2b ).所以p ＋q ＝a －c 2＋b 2－ac2b≤0，整理得ab －bc ＋b 2－ac ≤0，即(a ＋b )(b －c )≤0，所以b ≤c ，于是b 2≤c 2，即a 2＝b 2＋c 2≤2c 2. 所以e 2＝c 2a 2≥12，即22≤e <1.(2)当e ＝22时，a ＝2b ＝2c ，此时椭圆的方程为x 22c 2＋y 2c 2＝1，设M (x ，y )，则－2c ≤x ≤2c ，MF →＝(－c －x ，－y )，OD →＝(b ＋1,0)，MO →＝(－x ，－y )，所以(MF →＋OD →)·MO →＝12x 2－x ＋c 2＝12(x －1)2＋c 2－12.当c ≥22时，上式的最小值为c 2－12，即c 2－12＝72，得c ＝2；当0<c <22时，上式的最小值为12(2c )2－2c ＋c 2，即12(2c )2－2c ＋c 2＝72，解得c ＝2＋304，不合题意，舍去. 综上所述，椭圆的方程为x 28＋y 24＝1.。

2018版高考数学文江苏专用大一轮复习讲义文档第九章

1.双曲线定义平面内到两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于F 1F 2的正数)的点的轨迹叫做双曲线，两个定点F 1，F 2叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合P ＝{M ||MF 1－MF 2|＝2a }，F 1F 2＝2c ，其中a ，c 为常数且a >0，c >0. (1)当2a <F 1F 2时，P 点的轨迹是双曲线； (2)当2a ＝F 1F 2时，P 点的轨迹是两条射线； (3)当2a >F 1F 2时，P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质【知识拓展】巧设双曲线方程(1)与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有共同渐近线的方程可表示为x 2a 2－y 2b 2＝t (t ≠0).(2)过已知两个点的双曲线方程可设为x 2m ＋y 2n ＝1(mn <0).【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F 1(0,4)，F 2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.( × ) (2)方程x 2m －y 2n＝1(mn >0)表示焦点在x 轴上的双曲线.( × )(3)双曲线方程x 2m 2－y 2n 2＝λ(m >0，n >0，λ≠0)的渐近线方程是x 2m 2－y 2n 2＝0，即x m ±yn ＝0.( √ )(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于 2.( √ )(5)若双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)与x 2b 2－y 2a 2＝1(a >0，b >0)的离心率分别是e 1，e 2，则1e 21＋1e 22＝1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )1.(教材改编)若双曲线x 2a 2－y2b 2＝1 (a >0，b >0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________. 答案5解析由题意得b ＝2a ，又a 2＋b 2＝c 2，∴5a 2＝c 2. ∴e 2＝c 2a2＝5，∴e ＝ 5.2.若方程x 22＋m －y 2m ＋1＝1表示双曲线，则m 的取值范围是____________.答案 (－∞，－2)∪(－1，＋∞) 解析由题意知(2＋m )(m ＋1)>0，解得m >－1或m <－2.3.(2016·无锡一模)已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程为y ＝±13x ，那么双曲线的离心率为________. 答案103解析根据题意，设双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1，则b a ＝13，所以ca ＝1＋(b a )2＝103，即双曲线的离心率为103. 4.(2016·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 27－y 23＝1的焦距是________.答案 210解析由已知，a 2＝7，b 2＝3，则c 2＝7＋3＝10，故焦距为2c ＝210. 5.双曲线x 24－y 2＝1的顶点到其渐近线的距离等于________.答案255解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，一条渐近线方程是y ＝12x ，即x －2y ＝0，则顶点到渐近线的距离d ＝|2－0|5＝255.题型一双曲线的定义及标准方程命题点1 利用定义求轨迹方程例1 已知圆C 1：(x ＋3)2＋y 2＝1和圆C 2：(x －3)2＋y 2＝9，动圆M 同时与圆C 1及圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为____________________. 答案 x 2－y 28＝1(x ≤－1)解析如图所示，设动圆M 与圆C 1及圆C 2分别外切于A 和B .根据两圆外切的条件，得MC 1－AC 1＝MA ，MC 2－BC 2＝MB ，因为MA ＝MB ，所以MC 1－AC 1＝MC 2－BC 2，即MC 2－MC 1＝BC 2－AC 1＝2，所以点M 到两定点C 1、C 2的距离的差是常数且小于C 1C 2＝6.又根据双曲线的定义，得动点M 的轨迹为双曲线的左支(点M 与C 2的距离大，与C 1的距离小)，其中a ＝1，c ＝3，则b 2＝8.故点M 的轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ≤－1).命题点2 利用待定系数法求双曲线方程例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)焦距为26，且经过点M (0,12)； (3)经过两点P (－3,27)和Q (－62，－7). 解 (1)设双曲线的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0). 由题意知，2b ＝12，e ＝c a ＝54.∴b ＝6，c ＝10，a ＝8.∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)∵双曲线经过点M (0,12)，∴M (0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y 轴上，且a ＝12. 又2c ＝26，∴c ＝13，∴b 2＝c 2－a 2＝25. ∴双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1.(3)设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0).∴⎩⎪⎨⎪⎧9m －28n ＝1，72m －49n ＝1，解得⎩⎨⎧m ＝－175，n ＝－125.∴双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.命题点3 利用定义解决焦点三角形问题例3 已知F 1，F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左，右焦点，点P 在C 上，PF 1＝2PF 2，则cos ∠F 1PF 2＝________. 答案 34解析 ∵由双曲线的定义有PF 1－PF 2＝PF 2＝2a ＝22， ∴PF 1＝2PF 2＝42，则cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝(42)2＋(22)2－422×42×22＝34.引申探究1.本例中，若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“∠F 1PF 2＝60°”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则PF 1－PF 2＝2a ＝22，在△F 1PF 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝PF 21＋PF 22－F 1F 222PF 1·PF 2＝12，所以PF 1·PF 2＝8，所以12F PF S △＝12PF 1·PF 2·sin 60°＝2 3.2.本例中，若将条件“PF 1＝2PF 2”改为“PF 1→·PF 2→＝0”，则△F 1PF 2的面积是多少？解不妨设点P 在双曲线的右支上，则PF 1－PF 2＝2a ＝22，由于PF 1→·PF 2→＝0，所以PF 1→⊥PF 2→，所以在△F 1PF 2中，有PF 21＋PF 22＝F 1F 22，即PF 21＋PF 22＝16，所以PF 1·PF 2＝4，所以12F PF S △＝12PF 1·PF 2＝2.思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程.(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF 1－PF 2|＝2a ，运用平方的方法，建立与PF 1·PF 2的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a ，b ，c ，e 及渐近线之间的关系，求出a ，b 的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ的值即可.(1)已知F 1，F 2为双曲线x 25－y 24＝1的左，右焦点，P (3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则AP ＋AF 2的最小值为__________.(2)(2015·课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4，3)，且渐近线方程为y ＝±12x ，则该双曲线的标准方程为________________.答案 (1)37－25 (2)x 24－y 2＝1解析 (1)由题意知，AP ＋AF 2＝AP ＋AF 1－2a ，要求AP ＋AF 2的最小值，只需求AP ＋AF 1的最小值，当A ，P ，F 1三点共线时，取得最小值，则AP ＋AF 1＝PF 1＝[3－(－3)]2＋(1－0)2＝37， ∴AP ＋AF 2的最小值为AP ＋AF 1－2a ＝37－2 5.(2)由双曲线的渐近线方程为y ＝±12x ，可设该双曲线的标准方程为x 24－y 2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，3)，所以424－(3)2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为x 24－y 2＝1.题型二双曲线的几何性质例4 (1)(2016·盐城三模)若圆x 2＋y 2＝r 2过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A ，B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为______. (2)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线C 2：x 2＝2py (p ＞0)交于点O ，A ，B .若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为________. 答案 (1)2 (2)32解析 (1)若四边形OAFB 为菱形，且点A 在圆x 2＋y 2＝r 2上，则点A 坐标为(c 2，32c )，此时r＝c .又点A 在渐近线上，所以32c ＝b a ·c 2，即ba＝3，所以e ＝1＋(ba)2＝2.(2)由题意，不妨设直线OA 的方程为y ＝ba x ，直线OB 的方程为y ＝－ba x .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝b a x ，x 2＝2py ，得x 2＝2p ·b ax ，∴x ＝2pb a ，y ＝2pb 2a2，∴A ⎝⎛⎭⎫2pb a ，2pb 2a 2.设抛物线C 2的焦点为F ，则F ⎝⎛⎭⎫0，p 2， ∴k AF ＝2pb 2a 2－p22pb a.∵△OAB 的垂心为F ，∴AF ⊥OB ，∴k AF ·k OB ＝－1，即2pb 2a 2－p22pb a·⎝⎛⎭⎫－b a ＝－1，∴b 2a 2＝54.设C 1的离心率为e ，则e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋54＝94.∴e ＝32.思维升华双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)中，离心率e 与双曲线的渐近线的斜率k ＝±ba满足关系式e 2＝1＋k 2.(2016·全国甲卷改编)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为________.答案2解析离心率e ＝F 1F 2MF 2－MF 1，由正弦定理得e ＝F 1F 2MF 2－MF 1＝sin ∠F 1MF 2sin ∠MF 1F 2－sin ∠MF 2F 1＝2231－13＝ 2.题型三直线与双曲线的综合问题例5 (2016·苏州模拟)已知椭圆C 1的方程为x 24＋y 2＝1，双曲线C 2的左，右焦点分别是C 1的左，右顶点，而C 2的左，右顶点分别是C 1的左，右焦点. (1)求双曲线C 2的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围.解 (1)设双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，则a 2＝4－1＝3，c 2＝4，再由a 2＋b 2＝c 2，得b 2＝1.故C 2的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1，得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线C 2有两个不同的交点，得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝(－62k )2＋36(1－3k 2)＝36(1－k 2)>0，∴k 2≠13且k 2<1.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝62k1－3k 2，x 1x 2＝－91－3k 2. ∴x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(k 2＋1)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋2＝3k 2＋73k 2－1.又∵OA →·OB →>2，得x 1x 2＋y 1y 2>2， ∴3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解得13<k 2<3，②由①②得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1). 思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x 或y 的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式Δ来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：x 24－y 23＝1.设过点M (0,1)的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点.若AM →＝2MB →，则直线l 的斜率为________. 答案 ±12解析设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 214－y 213＝1，x 224－y 223＝1. 又AM →＝2MB →，AM →＝(－x 1,1－y 1)，MB →＝(x 2，y 2－1).所以⎩⎪⎨⎪⎧ －x 1＝2x 2，1－y 1＝2y 2－2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2x 2，y 1＝3－2y 2，代入双曲线方程联立解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－2，y 2＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2，y 2＝0，所以A (4,3)，B (－2,0)或A (－4,3)，B (2,0)，故k ＝3－04＋2＝12或k ＝3－0－4－2＝－12，即直线l 的斜率为±12.10.直线与圆锥曲线的交点典例已知双曲线x 2－y 22＝1，过点P (1,1)能否作一条直线l ，与双曲线交于A ，B 两点，且点P 是线段AB 的中点？错解展示现场纠错解设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在双曲线上，且线段AB 的中点为(x 0，y 0)，若直线l 的斜率不存在，显然不符合题意. 设经过点P 的直线l 的方程为y －1＝k (x －1)，即y ＝kx ＋1－k . 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1，得(2－k 2)x 2－2k (1－k )x －(1－k )2－2＝0(2－k 2≠0).①∴x 0＝x 1＋x 22＝k (1－k )2－k 2.由题意，得k (1－k )2－k 2＝1，解得k ＝2.当k ＝2时，方程①可化为2x 2－4x ＋3＝0. Δ＝16－24＝－8<0，方程①没有实数解.∴不能作一条直线l 与双曲线交于A ，B 两点，且点P (1,1)是线段AB 的中点. 纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件. (2)“判别式Δ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.1.(2015·福建改编)若双曲线E ：x 29－y 216＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且PF 1＝3，则PF 2＝________. 答案 9解析由双曲线定义|PF 2－PF 1|＝2a ，∵PF 1＝3，∴P 在左支上，∵a ＝3，∴PF 2－PF 1＝6， ∴PF 2＝9.2.(2016·全国乙卷改编)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n ＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是________. 答案 (－1,3)解析 ∵方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，∴(m 2＋n )·(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，由双曲线性质，知c 2＝(m 2＋n )＋(3m 2－n )＝4m 2(其中c 是半焦距)，∴焦距2c ＝2×2|m |＝4，解得|m |＝1，∴－1<n <3.3.(2016·盐城模拟)已知双曲线x 216－y 29＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与该双曲线的右支交于A ，B 两点，若AB ＝5，则△ABF 1的周长为________. 答案 26解析由双曲线x 216－y 29＝1，知a ＝4.由双曲线定义AF 1－AF 2＝BF 1－BF 2＝2a ＝8， ∴AF 1＋BF 1＝AF 2＋BF 2＋16＝21，∴△ABF 1的周长为AF 1＋BF 1＋AB ＝21＋5＝26.4.(2016·常州模拟)已知双曲线x 29－y 2m＝1(m >0)的一个焦点在圆x 2＋y 2－4x －5＝0上，则双曲线的渐近线方程为____________.答案 y ＝±43x 解析由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，x 2＋y 2－4x －5＝0，得x 2－4x －5＝0，解得x ＝5或x ＝－1.又a ＝3，故c ＝5，所以b ＝4，双曲线的渐近线方程为y ＝±43x . 5.已知点F 是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是____________.答案 (1,2)解析由题意易知点F 的坐标为(－c,0)，A (－c ，b 2a )，B (－c ，－b 2a)，E (a,0)， ∵△ABE 是锐角三角形，∴EA →·EB →>0，即EA →·EB →＝(－c －a ，b 2a )·(－c －a ，－b 2a)>0，整理得3e 2＋2e >e 4，∴e (e 3－3e －3＋1)<0，∴e (e ＋1)2(e －2)<0，解得e ∈(0,2)，又e >1，∴e ∈(1,2).6.(2016·浙江)设双曲线x 2－y 23＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，若点P 在双曲线上，且△F 1PF 2为锐角三角形，则PF 1＋PF 2的取值范围是________.答案 (27，8)解析如图，由已知可得a ＝1，b ＝3，c ＝2，从而F 1F 2＝4，由对称性不妨设P 在右支上，设PF 2＝m ，则PF 1＝m ＋2a ＝m ＋2，由于△PF 1F 2为锐角三角形，结合实际意义需满足⎩⎪⎨⎪⎧(m ＋2)2＜m 2＋42，42＜(m ＋2)2＋m 2，解得－1＋7＜m ＜3，又PF 1＋PF 2＝2m ＋2，∴27＜2m ＋2＜8.7.(2016·南京三模)设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一个端点，则双曲线的离心率为________.答案 5解析不妨设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)，设F (－c,0)，线段PF 的中点为(0，b )，则P (c,2b ).由点P 在双曲线上，得c 2a 2－4＝1，所以e ＝ 5. 8.设双曲线x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 为双曲线上位于第一象限内的一点，且△PF 1F 2的面积为6，则点P 的坐标为____________.答案 (655，2) 解析由双曲线x 24－y 25＝1的左，右焦点分别为F 1，F 2，所以F 1F 2＝6，设P (x ，y ) (x >0，y >0)，因为△PF 1F 2的面积为6，所以12F 1F 2·y ＝12×6×y ＝6，解得y ＝2，将y ＝2代入x 24－y 25＝1得x ＝655.所以P (655，2). 9.(2016·扬州一模)已知F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1 (a >0，b >0)的左，右焦点，过点F 2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M ，若点M 在以线段F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为______.答案 2解析由题意知渐近线y ＝b a x 与直线y ＝－b a (x －c )交于点M ，解得M (c 2，bc 2a).因为点M 在圆x 2＋y 2＝c 2上，所以c 24＋b 2c 24a 2＝c 2，解得b 2a 2＝3，所以e ＝ 1＋b 2a2＝4＝2. 10.(2015·课标全国Ⅰ改编)已知M (x 0，y 0)是双曲线C ：x 22－y 2＝1上的一点，F 1，F 2是C 的两个焦点，若MF 1→·MF 2→<0，则y 0的取值范围是______________.答案 ⎝⎛⎭⎫－33，33 解析由题意知a ＝2，b ＝1，c ＝3，∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)，∴MF 1→＝(－3－x 0，－y 0)，MF 2→＝(3－x 0，－y 0).∵MF 1→·MF 2→<0，∴(－3－x 0)(3－x 0)＋y 20<0，即x 20－3＋y 20<0.∵点M (x 0，y 0)在双曲线上，∴x 202－y 20＝1，即x 20＝2＋2y 20， ∴2＋2y 20－3＋y 20<0，∴－33<y 0<33. 11.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线的右支上，且PF 1＝4PF 2，则此双曲线的离心率e 的最大值为________.答案 53解析由定义，知PF 1－PF 2＝2a .又PF 1＝4PF 2，∴PF 1＝83a ，PF 2＝23a . 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得cos ∠F 1PF 2＝649a 2＋49a 2－4c 22·83a ·23a ＝178－98e 2. 要求e 的最大值，即求cos ∠F 1PF 2的最小值，∴当cos ∠F 1PF 2＝－1时，得e ＝53，即e 的最大值为53. 12.设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O 且所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使A 1B 1＝A 2B 2，其中A 1、B 1和A 2、B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是____________.答案 ⎝⎛⎦⎤233，2 解析由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，∴13<b 2a 2≤3.又e 2＝(c a )2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，∴43<e 2≤4， ∴233<e ≤2. 13.(2016·泰州模拟)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，求双曲线E 的方程.解设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).则有⎩⎨⎧ x 21a 2－y 21b 2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差，得y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以4b 25a 2＝1. 将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9，得a 2＝4，b 2＝5.所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1. 14.已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一个焦点是F 2(2,0)，且b ＝3a . (1)求双曲线C 的方程；(2)设经过焦点F 2的直线l 的一个法向量为(m,1)，当直线l 与双曲线C 的右支交于不同的两点A ，B 时，求实数m 的取值范围，并证明AB 中点M 在曲线3(x －1)2－y 2＝3上；(3)设(2)中直线l 与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，问是否存在实数m ，使得∠AOB 为锐角？若存在，请求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.解 (1)由已知，得c ＝2，c 2＝a 2＋b 2，b ＝3a ，∴4＝a 2＋3a 2，∴a 2＝1，b 2＝3，∴双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1. (2)由题意，得直线l ：m (x －2)＋y ＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－mx ＋2m ，x 2－y 23＝1，得(3－m 2)x 2＋4m 2x －4m 2－3＝0.由Δ>0，得4m 4＋(3－m 2)(4m 2＋3)>0，12m 2＋9－3m 2>0，即m 2＋1>0恒成立.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝4m 2m 2－3，x 1x 2＝4m 2＋3m 2－3. 又⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2>0，x 1·x 2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4m 2m 2－3>0，4m 2＋3m 2－3>0，∴m 2>3，∴m ∈(－∞，－3)∪(3，＋∞).∵x 1＋x 22＝2m 2m 2－3，y 1＋y 22＝－2m 3m 2－3＋2m ＝－6m m 2－3， ∴AB 的中点M (2m 2m 2－3，－6m m 2－3)， ∵3(2m 2m 2－3－1)2－36m 2(m 2－3)2＝3×(m 2＋3)2(m 2－3)2－36m 2(m 2－3)2＝3×m 4＋6m 2＋9－12m 2(m 2－3)2＝3， ∴M 在曲线3(x －1)2－y 2＝3上.(3)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，假设存在实数m ，使∠AOB 为锐角，则OA →·OB →>0，∴x 1x 2＋y 1y 2>0.∵y 1y 2＝(－mx 1＋2m )(－mx 2＋2m )＝m 2x 1x 2－2m 2(x 1＋x 2)＋4m 2，∴(1＋m 2)x 1x 2－2m 2(x 1＋x 2)＋4m 2>0，∴(1＋m 2)(4m 2＋3)－8m 4＋4m 2(m 2－3)>0，即7m 2＋3－12m 2>0，∴m 2<35，与m 2>3矛盾，∴不存在实数m ，使得∠AOB 为锐角.。

2018年江苏省高三数学试题分类之解析几何

十三、直线与圆的方程（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·13）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(4,0)A -，(0,4)B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ，D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为 .【答案】2.（2018·无锡期末·10）过圆2216x y +=内一点(2,3)P -作两条相互垂直的弦AB 和CD ，且AB CD =，则四边形ACBD 的面积为．【答案】193.（2018·镇江期末·11）已知圆 C 与圆 x 2 ? y 2 ?10x ?10 y ? 0 相切于原点，且过点 A (0,?6) ，则圆 C 的标准方程为【答案】(x+3)2 ?( y+3) 2 ??? 4.（2018·南京盐城期末·12）.在平面直角坐标系xOy 中，若直线(y k x =-上存在一点P ，圆22(1)1x y +-=上存在一点Q ，满足3OP OQ =u u u r u u u r，则实数k 的最小值为．【答案】7.（2018·苏州期末·11）在平面直角坐标系xOy 中，已知过点(2,1)A -的圆C 和直线 x ? y ? 1相切，且圆心在直线 y ? ?2x 上，则圆C 的标准方程为．【答案】22(1)(2)2x y -++= 8.（2018·苏北四市期末·12）在平面直角坐标系xOy 中，若圆1C ：222(1)(0)x y r r +-=>上存在点P ，且点P 关于直线0x y -=的对称点Q 在圆2C ：22(2)(1)1x y -+-=上，则r 的取值范围是．【答案】1]+十四、圆锥曲线（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·7）在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为 .【答案】652.（2018·无锡期末·11）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>与椭圆2211612x y +=的焦点重合，离心率互为倒数，设12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点，P 为右支上任意一点，则212PF PF 的最小值为．【答案】83.（2018·镇江期末·5）已知双曲线1222=-y ax 左焦点与抛物线x y 122-=的焦点重合，则双曲线的右准线方程为【答案】83x =4.（2018·扬州期末·10）在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线22a x -22b y =1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与圆x 2+y 2-6y+5=0没有焦点，则双曲线离心率的取值范围是__________.【答案】3(1,)25.（2018·常州期末·9）在平面直角坐标系xOy 中，设直线:10l x y ++=与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线都相交且交点都在y 轴左侧，则双曲线C 的离心率e 的取值范围是．【答案】6.（2018·南京盐城期末·6）.若抛物线22y px =的焦点与双曲线22145x y -=的右焦点重合，则实数p 的值为．【答案】67.（2018·苏州期末·3）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =-的焦点坐标为．【答案】(2,0)-8.（2018·苏北四市期末·6）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为20x y -=，则该双曲线的离心率为．十五、解析几何综合题（一）试题细目表（二）试题解析1.（2018·南通泰州期末·17）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b +=(0)a b >>，两条准线之间的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）已知椭圆的左顶点为A ，点M 在圆2289x y +=上，直线AM 与椭圆相交于另一点B ，且AOB ∆的面积是AOM ∆的面积的2倍，求直线AB 的方程.【答案】【解】（1）设椭圆的焦距为2c ，由题意得，22c a =，2242a c =解得2a =，2c =2b =所以椭圆的方程为22142x y +=.（2）方法一：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点.因为椭圆的方程为22142x y +=，所以(2,0)A -.设00(,)M x y ，则00(22,2)B x y +.所以22089x y +=①，2200(22)(2)142x y ++=②，由①②得200918160x x --=，解得023x =-，083x =（舍去）.把023x =-代入①，得023y =±，所以12AB k =±，因此，直线AB 的方程为1(2)2y x =±+即220x y ++=，220x y -+=.方法二：因为2AOB AOM S S ∆∆=，所以2AB AM =，所以点M 为AB 的中点. 设直线AB 的方程为(2)y k x =+.由221,42(2),x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(12)8840k x k x k +++-=，所以22(2)[(12)42]0x k x k +++-=，解得222412B k x k -=+，所以22(2)4212B M x k x k +--==+，22(2)12M M k y k x k =+=+，代入2289x y +=得22222428()()12129k k k k -+=++，化简得422820k k +-=，即22(72)(41)0k k +-=，解得12k =±，所以，直线AB 的方程为1(2)2y x =±+即220x y ++=，220x y -+=.2.（2018·无锡期末·18）已知椭圆2222:1(0,0)x y E a b a b+=>>的离心率为22，12,F F 分别为左，右焦点，,A B 分别为左，右顶点，原点O 到直线BD 的距离为63设点P 在第一象限，且PB x ⊥轴，连接PA 交椭圆于点C .（1）求椭圆E 的方程；（2）若三角形ABC 的面积等于四边形OBPC 的面积，求直线PA 的方程；（3）求过点,,B C P 的圆方程（结果用t 表示）.【答案】解：（1）因为椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>2所以222a c =，b c =，所以直线DB 的方程为2y x b =+，又O 到直线BD 的距离为636112=+，所以1b =，2a =所以椭圆E 的方程为2212x y +=. （2）设2,)P t ，0t >，直线PA 的方程为2)22y x =，由2212xyy x⎧+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，整理得2222(4)280t x x t+++-=，解得：224Cxt=+，则点C的坐标是2224(,)44tt t++，因为三角形ABC的面积等于四边形OBPC的面积，所以三角形AOC的面积等于三角形BPC的面积，2214244AOCtSt t∆==++，23221)244PBCS tt t∆=⨯⨯=++，=t=.所以直线PA的方程为20x y-+=.（3）因为B，)P t，24)4tCt+，所以BP的垂直平分线2ty=，BC的垂直平分线为224ty xt=-+，所以过,,B C P三点的圆的圆心为2)2t，则过,,B C P三点的圆方程为222(()2tx y+-42222(4)4t tt=++，即所求圆方程为22224x x yt+-++284tyt-+=+.3.（2018·镇江期末·18）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的离心率为22，左焦点 F (?2,0) ，直线 l : y ? t 与椭圆交于A , B 两点，M 为椭圆上异于 A , B 的点.（1）求椭圆 E 的方程；（2）若()1,6--M ，以 AB 为直径的圆 P 过 M 点，求圆 P 的标准方程；（3）设直线 MA , MB 与 y 轴分别交于 C , D ，证明： OC ?OD 为定值.【答案】（1）因为22c e a ==，且2c =，所以2,2a b ==，所以椭圆 E 的方程为22184x y +=. (2)设(,)A s t ，则(,)B s t -，且2228s t +=①因为以 AB 为直径的圆 P 过 M 点，所以MA MB ⊥，所以0MA MB ⋅=u u u r u u u r又(6,1),(6,1)MA s t MB s t =+=-++u u u r u u u r ，所以226(1)0s t -++=②由①②解得：13t =，或1t =-（舍），所以2709s =. 又圆 P 的圆心为AB 的中点(0,)t ，半径为2ABs =，所以圆 P 的标准方程为22170()39x y +-=.(3)设M 00(,)x y ，则MA l 的方程为0000()t y y y x x s x --=--，若k 不存在，显然不符合条件. 令0x =得000c tx sy y s x -=-；同理00D tx sy y s x --=--所以222200000022000c D tx sy tx sy t x s y OC OD y y s x s x s x ----⋅=⋅=⋅=---- 222222000222200(82)(82)884(82)(82)22t y t y t y y t t y ----===----为定值.4.（2018·扬州期末·18）已知椭圆E 1：22a x +22b y =1（a ＞b ＞0），若椭圆E 2：22ma x +22mb y =1（a ＞b ＞0，m ＞1），则称椭圆E 2与椭圆E 1“相似”.(1) 求经过点(2,1)，且与椭圆E 1：22x +y 2=1“相似”的椭圆E 2的方程；(2) 若m=4，椭圆E 1的离心率为22，P 在椭圆E 2上，过P 的直线交椭圆E 1于A ,B 两点，且，①若B 的坐标为(0,2)，且，求直线l 的方程；②若直线OP ,OA 的斜率之积为21-，求实数的值.【答案】解：⑴设椭圆2E 的方程为2212x y m m +=，代入点2,1)得2m =，所以椭圆2E 的方程为22142x y += ………3分⑵因为椭圆1E的离心率为2，故222ab =，所以椭圆2221:22E x y b +=又椭圆2E 与椭圆1E “相似”，且4m =，所以椭圆2221:28E x y b +=，设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，①方法一：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，将直线:2l y kx =+，代入椭圆221:28E xy +=得22(12)80k x kx ++=，解得1228,012kx x k -==+，故212224,212k y y k -==+，所以222824(,)1212k k A k k--++ ………5分又2AP AB =u u u r u u u r ，即B 为AP 中点，所以2228212(,)1212k k P k k +++， ………6分代入椭圆222:232E x y +=得222228212()2()321212k k k k ++=++，即4220430kk +-=，即22(103)(21)0k k -+=，所以10k =±所以直线l的方程为210y x =±+ ………8分方法二：由题意得2b =，所以椭圆221:28E x y +=，222:232E x y +=设(,),(0,2)A x y B ，则(,4)P x y --，代入椭圆得2222282(4)32x y x y ⎧+=⎪⎨+-=⎪⎩，解得12y =，故2x =± ………6分所以k = 所以直线l的方程为210y x =±+ ………8分 ②方法一：由题意得22222222200112228,22,22x y b x y b x y b +=+=+=，010112y y x x ⋅=-，即010120x x y y +=， AP AB λ=u u u r u u u r ，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩………12分所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=所以222228(1)22bb b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52λ=.………16分方法二：不妨设点P 在第一象限，设直线:(0)OP y kx k =>，代入椭圆2222:28E x y b +=，解得0x =0y =，直线,OP OA 的斜率之积为12-，则直线1:2OA y x k =-，代入椭圆2221:22E x y b +=，解得1x =1y =AP AB λ=u u u r u u u r ，则01012121(,)(,)x x y y x x y y λ--=--，解得012012(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，所以2220101(1)(1)()2()2x x y y b λλλλ+-+-+=则22222222001100112(1)(1)24(1)2(1)2x x x x y y y y b λλλλλ+-+-++-+-=222222200010111(2)2(1)(2)(1)(2)2x y x x y y x y b λλλ++-++-+=所以2222282(((1)22b b b λλλ+-++-⋅=，即222228(1)22bb b λλ+-⋅=，即224(1)λλ+-=，所以52λ=5.（2018·常州期末·18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆)0(1:2222>>=+b a bya x C 的右焦点为F ，点A 是椭圆的左顶点，过原点的直线MN 与椭圆交于N M ,两点（M 在第三象限），与椭圆的右准线交于P 点．已知MN AM ⊥，且243OA OM b ⋅=u u u r u u u u r ．（1）求椭圆C 的离心率e ；（2）若103AMN POF S S a ∆∆+=，求椭圆C 的标准方程．【答案】解：（1）由题意22222221()()22x y a b a a x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，消去y 得22220c x ax b a ++=，解得2122ab x a x c=-=-，，所以22(,0)M ab x a c =-∈-，22243M A ab OA OM x x a b c ⋅===u u u r u u u u r ，2234c a =，所以e =；（2）由（1）2(,)3M b -，右准线方程为3x =，直线MN的方程为y，所以)P ，212POF P S OF y ∆=⋅=，222AMN AOM M S S OA y b ∆∆==⨯==，所以2210+33a =，22033b =，所以b a == 椭圆C 的标准方程为12822=+y x ． 6.（2018·南京盐城期末·18）.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的下顶点为B ，点,M N 是椭圆上异于点B 的动点，直线,BM BN 分别与x 轴交于点,P Q ，且点Q 是线段OP 的中点．当点N运动到点处时，点Q的坐标为．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设直线MN 交y 轴于点D ，当点,M N 均在y 轴右侧，且2DN NM =u u u r u u u u r时，求直线BM 的方程．【答案】解：（1）由2N Q ，得直线NQ的方程为第18题图32y x =…………………2分令0x =，得点B的坐标为(0,．所以椭圆的方程为22213x y a +=． …………………4分将点N的坐标2213+=，解得24a =．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=． …………………8分（2）方法一：设直线BM 的斜率为(0)k k >，则直线BM的方程为y kx =在y kx =令0y =，得P x k =，而点Q 是线段OP 的中点，所以2Q x k=．所以直线BN的斜率2BN BQ k k k ===． ………………10分联立22143y kx x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，消去y，得22(34)0k x +-=，解得234M x k =+．用2k 代k，得N x =． ………………12分又2DN NM =u u u r u u u u r，所以2()N M N x x x =-，得23M N x x =． ………………14分故23=0k >，解得k =．所以直线BM的方程为y x =． ………………16分方法二：设点,M N 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ．由(0,B ，得直线BN的方程为11y y x x =令0y =，得P x =．同理，得Q x =．而点Q 是线段OP 的中点，所以2P Q x x =，故=． …………………10分又2DN NM =u u u r u u u u r ，所以2122()x x x =-，得21203x x =>4=解得2143y y =+ …………………12分将21212343x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入到椭圆C的方程中，得2119x +=．又22114(1)3y x =-，所以21214(1)(431927y y -++=21120y +=，解得1y =13y =．又10x >，所以点M的坐标为M ．……………14分故直线BM的方程为y x =． …………………16分7.（2018·苏州期末·18）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>P到一个焦点的距离的最小值为1)．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知过点(0,1)M -的动直线l 与椭圆C 交于 A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．【答案】解（1）由题意c a =，故a =， ············································ 1分又椭圆上动点P到一个焦点的距离的最小值为1)，所以3a c -=-， ····································································································· 2分解得3c =，a =2229b a c =-=， ········································· 4分所以椭圆C 的标准方程为221189x y +=. ··················································· 6分（2）当直线l 的斜率为0时，令1y =-，则4x =±，此时以AB 为直径的圆的方程为2(1)16x y ++=． ··································· 7分当直线l 的斜率不存在时，以AB 为直径的圆的方程为229x y +=， ············ 8分联立222(1)16,9,x y x y ⎧++=⎪⎨+=⎪⎩解得0,3x y ==，即两圆过点(0,3)T ．猜想以AB 为直径的圆恒过定点(0,3)T ． ··············································· 9分对一般情况证明如下：设过点(0,1)M -的直线l 的方程为1y kx =-与椭圆C 交于1122(,),(,)A x y B x y ,则221,218,y kx x y =-⎧⎨+=⎩整理得22(12)4160k x kx +--=，所以121222416,1212k x x x x k k+==-++． ················································· 12分（注：如果不猜想，直接写出上面的联立方程、韦达定理，正确的给3分）因为1122121212(,3)(,3)3()9TA TB x y x y x x y y y y ⋅=-⋅-=+-++u u r u u r121212(1)(1)3(11)9x x kx kx kx kx =+----+-+21212(1)4()16k x x k x x =+-++ 22222216(1)1616(12)16160121212k k k k k k -+-+=-+=+=+++，所以TA TB ⊥．所以存在以AB 为直径的圆恒过定点T ，且定点T 的坐标为(0,3)． ············· 16分8.（2018·苏北四市期末·18）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且过点312(，).F 为椭圆的右焦点，,A B 为椭圆上关于原点对称的两点，连接,AF BF 分别交椭圆于,C D 两点.⑴求椭圆的标准方程；⑵若AF FC =，求BFFD的值；⑶设直线AB ，CD 的斜率分别为1k ，2k ，是否存在实数m ，使得21k mk =，若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）设椭圆方程为22221(0)x y a b a b +=>>，由题意知：22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ (2)分ACy DBOxF（第18题）解之得：23a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += ……………………………4分（2）若AF FC =，由椭圆对称性，知3(1,)2 A ，所以3(1,)2B --，此时直线BF 方程为3430x y --=， ……………………………………………6分由223430,1,43x y x y --=⎧⎪⎨+=⎪⎩，得276130x x --=，解得137x =（1x =-舍去），…………8分故1(1)713317BF FD --==-．…………………………………………………………………10分（3）设00,)A x y （，则00(,)B x y --，直线AF 的方程为00(1)1y y x x =--，代入椭圆方程22143x y +=，得 2220000(156)815240x x y x x ---+=，因为0x x =是该方程的一个解，所以C 点的横坐标08552C x x x -=-，…………………12分又(,)c C C x y 在直线00(1)1y y x x =--上，所以00003(1)152C c y y y x x x -=-=--，同理，D 点坐标为0085(52x x ++，3)52y x +， ……………………………………………14分所以000002100000335552528585335252y y y x x k k x x x x x --+-===+--+-，即存在53m =，使得2153k k =． ………………………………………………………16分。

2018-江苏高考立体几何(含解析)

2018 年-2008 年江苏高考立体几何解答题（共 11 题）说明：三角向量解答题考在 15题或 16 题，是解答题的前两题之一，要求学生必须做对，而且书写规范，条理清楚1．在平行六面体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中， AA 1 AB , AB 1 B 1C 1．求证：（ 1） AB ∥平面A 1B 1C ；（2）平面ABB 1 A 1 平面A 1 BC ．2) BC 1 AB 1 .5．如图在三棱锥 P-ABC 中， D,E,F 分别为棱 PC,AC,AB 的中点，已知 PA AC,PA 6,BC 8,DF 5，2.如图 ,在三棱锥 A-BCD 中,AB ⊥AD, BC ⊥BD, 平面 ABD ⊥平面且 EF ⊥ AD. BCD, 点E,F （E 与A,D 不重合）分别在棱 AD,BD 上,求证：（1） EF ∥平面 ABC ； 2)AD ⊥AC.3. 如图，在直三棱柱 ABC-A 1B 1C 1 中，D ，E 分别为 AB ，BC 的中点，点 F 在侧棱 B 1B 上，且 B 1D A 1F， A 1C 1 A 1B 1.求证：（ 1）直线 DE ∥平面 A 1C 1F ；2)平面 B 1DE ⊥平面 A 1C 1F.4.如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，已知 AC BC ，BC CC 1，设 AB 1的中点为D ， B 1C BC 1E .求证：1) DE // 平面 AA 1C 1C ；求证（ 1）直线 PA 平面 DEF ； 2）平面 BDE 平面 ABC 。

6．如图，在三棱锥 S ABC 中，平面 SAB 平面SBC ， AB BC ，AS AB ，过A 作AF SB ，垂足为 F ，点 E ，G 分别是棱SA ，SC 的中点．求证：（1）平面 EFG //平面 ABC ；（2） BC SA ．7. 如图，在直三棱柱ABC A 1B 1C 1中， A 1B 1 A 1C 1 ，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点（点D 不同于点 C ），且AD DE ，F 为B 1C 1 的中点．求证：（ 1）直线 EF ‖平面 PCD ；（2）平面 BEF ⊥平面 PAD 9、如图，在四棱锥 P-ABCD 中， PD ⊥平面 ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。

2018年江苏高考数学二轮复习：专题限时集训10平面解析几何有答案

专题限时集训(十) 平面解析几何(对应学生用书第103页)(限时：120分钟)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案填写在题中横线上．)1．(广东省汕头市2017届高三上学期期末)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a ＝________.【导学号：56394076】－43 [由题意，知圆心为(1,4)，则有|a ＋4－1|a 2＋1＝1，解得a ＝－43.] 2．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)若直线x ＋ay －2＝0与以A (3,1)，B (1,2)为端点的线段没有公共点，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ [直线x ＋ay －2＝0过定点C (2,0)，所以－1a ∈(k CB ，k CA )＝(－2,1)⇒a ∈(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.]3．(中原名校豫南九校2017届第四次质量考评)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图10－13所示，“海宝”从圆心T 出发，先沿北偏西图10－13θ⎝⎛⎭⎪⎫sin θ＝1213方向行走13米至点A 处，再沿正南方向行走14米至点B 处，最后沿正东方向行走至点C处，点B ，C 都在圆T 上，则在以线段BC 中点为坐标原点O ，正东方向为x 轴正方向，正北方向为y 轴正方向的直角坐标系中，圆T 的标准方程为________．x 2＋(y －9)2＝225 [TB 2＝TA 2＋AB 2－2TA ·AB cos A ＝169＋196－2×13×14×513＝225，OT ＝14－13×cos θ＝9，∴圆T 方程为x 2＋(y －9)2＝225.]4．(江苏省南京市2017届高考三模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x ＋a ＋1)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)．若圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°，则a 的取值范围为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，35 [由题意，圆M ：(x ＋a ＋1)2＋(y －2a )2＝1(a 为实数)，圆心为M (－a －1,2a )，从圆M 上的点向圆上的点连线成角，当且仅当两条线均为切线时才是最大的角，OP ＝1.∵圆O 和圆M 上分别存在点P ，Q ，使得∠OQP ＝30°， ∴|OM |≤2， ∴(a ＋1)2＋4a 2≤4， ∴－1≤a ≤35.]5．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直线l ：mx ＋y －2m －1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0，当直线l 被圆C 所截得的弦长最短时，实数m ＝________. －1 [由C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0得(x －1)2＋(y －2)2＝5， ∴圆心坐标是C (1,2)，半径是5，∵直线l ：mx ＋y －2m －1＝0过定点P (2,1)，且在圆内， ∴当l ⊥PC 时，直线l 被圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0截得的弦长最短， ∴－m ·2－11－2＝－1，∴m ＝－1.]6．(2017·江苏省泰州市高考数学一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，则线段BC 的长的取值范围为________．[6－2，6＋2] [在平面直角坐标系xOy 中，已知B ，C 为圆x 2＋y 2＝4上两点，点A (1,1)，且AB ⊥AC ，如图所示，当BC ⊥OA 时，|BC |取得最小值或最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝1，x 2＋y 2＝4，可得B (－3，1)或(3，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 2＋y 2＝1，可得C (1，3)或(1，－3)，解得BC min ＝3－2＋－32＝6－ 2.BC max ＝－3－2＋＋32＝6＋ 2.]7．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．32 [∵直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0的斜率乘积为k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ＝－1(k ＝0时，两条直线也相互垂直)，并且两条直线分别经过定点：M (0,2)，N (2,0)．∴两条直线的交点在以MN 为直径的圆上．并且k MN ＝－1，可得MN 与直线x －y －4＝0垂直．∴点M 到直线x －y －4＝0的距离d ＝|0－2－4|2＝32为最大值．]8．(2017·江苏省苏、锡、常、镇四市高考数学二模)已知直线2x －3y ＝0为双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线，则该双曲线的离心率为________．213 [根据题意，双曲线的方程为：x 2a 2－y2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，其渐近线方程为：y ＝±bax ，又由其一条渐近线的方程为：2x －3y ＝0，即y ＝23x ，则有b a ＝23，则其离心率e 2＝c 2a 2＝a 2＋b 2a 2＝1＋b 2a 2＝73，则有e ＝213.]9．(河北省唐山市2017届高三年级期末)设F 1，F 2为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点，经过F 1的直线交椭圆C 于A ，B 两点，若△F 2AB 是面积为43的等边三角形，则椭圆C 的方程为________．【导学号：56394077】x 29＋y 26＝1 [由题意，知|AF 2|＝|BF 2|＝|AB |＝|AF 1|＋|BF 2|， ① 又由椭圆的定义知，|AF 2|＋|AF 1|＝|BF 2|＋|BF 1|＝2a ， ②联立①②，解得|AF 2|＝|BF 2|＝|AB |＝43a ，|AF 1|＝|BF 1|＝23a ，所以S △F 2AB ＝12|AB ||AF 2|sin 60°＝43，所以a ＝3，|F 1F 2|＝32|AB |＝23，所以c ＝3，所以b 2＝a 2－c 2＝6，所以椭圆C 的方程为x 29＋y 26＝1.]10．(江苏省南通市如东高中2017届高三上学期第二次调研)若双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，其渐近线与圆x 2＋y 2－6y ＋m ＝0相切，则m ＝________.8 [∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，∴c ＝3a ，∴b ＝22a ，取双曲线的渐近线y ＝22x .∵双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的渐近线与x 2＋y 2－6y ＋m ＝0相切，∴圆心(0,3)到渐近线的距离d ＝r ， ∴38＋1＝9－m ，∴m ＝8.] 11．(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)已知双曲线x 2－y 2＝1，点F 1，F 2为其两个焦点，点P 为双曲线上一点，若∠F 1PF 2＝60°，则三角形F 1PF 2的面积为________3 [S △F 1PF 2＝b 2tanθ2＝1tan 30°＝ 3.]12．(2017·江苏省盐城市高考数学二模)在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－3，则线段PF 的长为________． 6 [∵抛物线方程为y 2＝6x ，∴焦点F (1.5,0)，准线l 方程为x ＝－1.5， ∵直线AF 的斜率为－3，直线AF 的方程为y ＝－3(x －1.5)，当x ＝－1.5时，y ＝33，由可得A 点坐标为(－1.5,33)， ∵PA ⊥l ，A 为垂足，∴P 点纵坐标为33，代入抛物线方程，得P 点坐标为(4.5,33)， ∴|PF |＝|PA |＝4.5－(－1.5)＝6.]13．(广西南宁、梧州2017届高三毕业班摸底联考)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1且与x 轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，直线AF 2与椭圆的另一个交点为C ，若S △ABC ＝3S △BCF 2，则椭圆的离心率为________．55[设椭圆的左、右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，由x ＝－c ，代入椭圆方程可得y ＝±b 2a ，可设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c ，b 2a ，C (x ，y )，S △ABC ＝3S △BCF 2，可得AF 2→＝2F 2C →，即有⎝⎛⎭⎪⎫2c ，－b 2a ＝2(x －c ，y )，即2c ＝2x －2c ，－b 2a ＝2y ，可得x ＝2c ，y ＝－b 22a ，代入椭圆方程可得，4c 2a 2＋b24a 2＝1，由e ＝c a ，b 2＝a 2－c 2，即有4e 2＋1－e 24＝1，解得e ＝55.]14．(四川省2016年普通高考适应性测试)如图10－14，A 1，A 2为椭圆图10－14x 29＋y 25＝1的长轴的左、右端点，O 为坐标原点，S ，Q ，T 为椭圆上不同于A 1，A 2的三点，直线QA 1，QA 2，OS ，OT 围成一个平行四边形OPQR ，则|OS |2＋|OT |2＝________.14 [设Q (x ，y )，T (x 1，y 1)，S (x 2，y 2)，QA 1，QA 2斜率为k 1，k 2，则OT ，OS 斜率为k 1，k 2，且k 1k 2＝y x ＋3·yx －3＝y 2x 2－9＝－59，所以OT 2＝x 21＋y 21＝x 21＋k 21x 21＝＋k 215＋9k 21，同理OS 2＝＋k 225＋9k 22，因此|OT |2＋|OS |2＝＋k 215＋9k 21＋＋k 225＋9k 22＝＋k 215＋9k 21＋45⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2581k 215＋259k 21＝＋k 215＋9k 21＋81k 21＋255＋9k 21＝126k 21＋705＋9k 21＝14.]二、解答题(本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)15．(本小题满分14分)已知直线l ：4x ＋3y ＋10＝0，半径为2的圆C 与l 相切，圆心C 在x 轴上且在直线l 的右上方．(1)求圆C 的方程；(2)过点M (1,0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，问在x 轴正半轴上是否存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由.【导学号：56394078】[解] (1)设圆心C (a,0)⎝⎛⎭⎪⎫a ＞－52，则|4a ＋10|5＝2⇒a ＝0或a ＝－5(舍)．所以圆C ：x 2＋y 2＝4.6分(2)存在．当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB .当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －1)(k ≠0)，N (t,0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝4，y ＝k x －，得(k 2＋1)x 2－2k 2x ＋k 2－4＝0，8分所以x 1＋x 2＝2k 2k 2＋1，x 1x 2＝k 2－4k 2＋1.若x 轴平分∠ANB ，则k AN ＝－k BN ⇒y 1x 1－t ＋y 2x 2－t＝0⇒k x 1－x 1－t＋k x 2－x 2－t＝0⇒2x 1x 2－(t ＋1)(x 1＋x 2)＋2t ＝0⇒k 2－k 2＋1－2k 2t ＋k 2＋1＋2t ＝0⇒t ＝4，所以当点N 为(4,0)时，x 轴平分∠ANB .14分16．(本小题满分14分)(2017·江苏省淮安市高考数学二模)如图10－15，图10－15在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为23，C 为椭圆上位于第一象限内的一点．(1)若点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，求a ，b 的值；(2)设A 为椭圆的左顶点，B 为椭圆上一点，且AB →＝12OC →，求直线AB 的斜率．[解] (1)由题意可知：椭圆的离心率e ＝ca ＝1－b 2a 2＝23，则b 2a 2＝59，① 由点C 在椭圆上，将⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53代入椭圆方程，4a 2＋259b 2＝1，②解得：a 2＝9，b 2＝5， ∴a ＝3，b ＝5，6分(2)法一：由(1)可知：b 2a 2＝59，则椭圆方程：5x 2＋9y 2＝5a 2，设直线OC 的方程为x ＝my (m ＞0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ，5x 2＋9y 2＝5a 2，消去x 整理得5m 2y 2＋9y 2＝5a 2，∴y 2＝5a 25m 2＋9，由y 2＞0，则y 2＝5a 5m 2＋9，由AB →＝12OC →，则AB ∥OC ，设直线AB 的方程为x ＝my －a ，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my －a ，5x 2＋9y 2＝5a 2，整理得(5m 2＋9)y 2－10amy ＝0，由y 1＞0得y 1＝10am 5m 2＋9，10分由AB →＝12OC →，则(x 1＋a ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，12y 2，则y 2＝2y 1，则5a5m 2＋9＝2×10am5m 2＋9(m ＞0)，解得m ＝35，则直线AB 的斜率1m ＝533；14分法二：由(1)可知：椭圆方程5x 2＋9y 2＝5a 2，则A (－a,0)，B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，由AB →＝12OC →，则(x 1＋a ，y 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2，12y 2，则y 2＝2y 1，10分由B ，C 在椭圆上，∴⎩⎪⎨⎪⎧5x 22＋9y 22＝5a 2，5⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－a 2＋9⎝ ⎛⎭⎪⎫y 222＝5a 2，，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝a4，y 2＝5a43，则直线直线AB 的斜率k ＝y 2x 2＝533.直线AB 的斜率为533.14分17．(本小题满分14分)(河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛) 已知点P 是椭圆C 上任一点，点P到直线l 1：x ＝－2的距离为d 1，到点F (－1,0)的距离为d 2，且d 2d 1＝22.直线l 与椭圆C 交于不同两点A 、B (A ，B 都在x 轴上方)，且∠OFA ＋∠OFB ＝180°.图10－16(1)求椭圆C 的方程；(2)当A 为椭圆与y 轴正半轴的交点时，求直线l 方程；(3)对于动直线l ，是否存在一个定点，无论∠OFA 如何变化，直线l 总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由． [解] (1)设P (x ，y )，则d 1＝|x ＋2|，d 2＝x ＋2＋y 2，∴d 2d 1＝x ＋2＋y 2|x ＋2|＝22，化简，得x 22＋y 2＝1，∴椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1.3分(2)A (0,1)，F (－1,0)，∴k AF ＝1－00－－＝1，又∵∠OFA ＋∠OFB ＝180°，∴k BF ＝－1，BF ：y ＝－1(x ＋1)＝－x －1.代入x 22＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1 (舍)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－43，y ＝13，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43，13，6分k AB ＝1－130－⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝12，∴AB ：y ＝12x ＋1.即直线l 方程为y ＝12x ＋1.7分(3)∵∠OFA ＋∠OFB ＝180°，∴k AF ＋k BF ＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 方程为y ＝kx ＋b .代入x 22＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋12x 2＋2kbx ＋b 2－1＝0.9分∴x 1＋x 2＝－2kb k 2＋12，x 1x 2＝b 2－1k 2＋12，∴k AF ＋k BF ＝y 1x 1＋1＋y 2x 2＋1＝kx 1＋b x 1＋1＋kx 2＋b x 2＋1＝kx 1＋bx 2＋＋kx 2＋b x 1＋x 1＋x 2＋＝0，∴(kx 1＋b )(x 2＋1)＋(kx 2＋b )(x 1＋1) ＝2kx 1x 2＋(k ＋b )(x 1＋x 2)＋2b ＝2k ×b 2－1k 2＋12－(k ＋b )×2kb k 2＋12＋2b ＝0， ∴b －2k ＝0，12分∴直线AB 方程为y ＝k (x ＋2)， ∴直线l 总经过定点M (－2,0).14分18．(本小题满分16分)(江苏省南京市、盐城市2017届高三第一次模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E ：x 24＋y 2b2＝1(0＜b ＜2)的焦点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)设直线l ：y ＝kx ＋m 交椭圆E 于P ，Q 两点，T 为弦PQ 的中点，M (－1,0)，N (1,0)，记直线TM ，TN 的斜率分别为k 1，k 2，当2m 2－2k 2＝1时，求k 1·k 2的值．图10－17[解] (1)因0＜b ＜2，所以椭圆E 的焦点在x 轴上，又圆O ：x 2＋y 2＝b 2经过椭圆E 的焦点，所以椭圆的半焦距c ＝b ，所以2b 2＝4，即b 2＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 22＝1.6分(2)法一：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 22＝1，y ＝kx ＋m ，消去y ，得(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2m 2－4＝0，10分所以x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，又2m 2－2k 2＝1，所以x 1＋x 2＝－2k m ，所以x 0＝－k m ，y 0＝m －k ·k m ＝12m，则k 1·k 2＝12m－k m ＋1·12m－k m－1＝14k －4m ＝1－m －2k＝－12.16分法二：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，T (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 214＋y 212＝1，x 224＋y222＝1，两式作差，得x 1＋x 2x 1－x 24＋y 1＋y 2y 1－y 22＝0， 10分又x 1＋x 2＝2x 0，y 1＋y 2＝2y 0， ∴x 0x 1－x 22＋y 0(y 1－y 2)＝0，∴x 02＋y 0y 1－y 2x 1－x 2＝0，又P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)在直线y ＝kx ＋m 上， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝k ， ∴x 0＋2ky 0＝0，①又T (x 0，y 0)在直线y ＝kx ＋m 上，∴y 0＝kx 0＋m ，②由①②可得x 0＝－2km 1＋2k 2，y 0＝m1＋2k 2.16分以下同方法一．19．(本小题满分16分)(四川省凉山州2017届高中毕业班第一次诊断性检测)设椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的离心率为12，E 上一点P 到右焦点距离的最小值为1.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(0,2)的直线交椭圆E 于不同的两点A ，B ，求OA →·OB →的取值范围.【导学号：56394079】[解] (1)由题意得c a ＝12，且a －c ＝1，∴a ＝2，c ＝1，故b 2＝a 2－c 2＝3， ∴椭圆的方程为x 24＋y 23＝1.4分 (2)①当k 不存在时，A (0，－3)，B (0，3)， 6分∴OA →·OB →＝(0，－3)·(0，3)＝－3；②当k 存在时，设直线方程为y ＝kx ＋2，则有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y23＝1，整理得(3＋4k 2)x 2＋16kx ＋4＝0， ∴x 1＋x 2＝－16k 3＋4k 2，x 1x 2＝43＋4k 2，(i)10分又OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2 ＝x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2) ＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝1＋13＋4k 2－32k 2＋24－243＋4k 2＋4 ＝－3＋253＋4k2，(ⅱ)Δ＝256k 2－16(4k 2＋3)>0，从而k 2>14，(ⅲ)14分(ⅲ)代入(ⅱ)中OA →·OB →≤－3＋253＋1＝134，∴OA →·OB →∈⎝⎛⎦⎥⎤－∞，134.16分20．(本小题满分16分)(江苏省泰州中学2017届高三上学期第二次月考)已知平面直角坐标系xOy 内两个定点A (1,0)、B (4,0)，满足PB ＝2PA 的点P (x ，y )形成的曲线记为Γ.(1)求曲线Γ的方程；(2)过点B 的直线l 与曲线Γ相交于C 、D 两点，当△COD 的面积最大时，求直线l 的方程(O 为坐标原点)；(3)设曲线Γ分别交x 、y 轴的正半轴于M 、N 两点，点Q 是曲线Γ位于第三象限内一段上的任意一点，连接QN 交x 轴于点E 、连接QM 交y 轴于F .求证：四边形MNEF 的面积为定值．[解] (1)由题设知2x －2＋y 2＝x －2＋y 2，两边化简得x 2＋y 2＝4， ∴点P 的轨迹Γ的方程为x 2＋y 2＝4. 3分(2)由题意知OS ＝SD 2－OD 2＝3的斜率一定存在，设l ：y ＝k (x －4)，即kx －y －4k ＝0，∵原点到直线l 的距离d ＝|4k |1＋k 2，CD ＝24－d 2， ∴S △COD ＝12CD ·d ＝d 2－d 2≤⎝ ⎛⎭⎪⎫d 2＋－d 222＝2. 6分当且仅当d 2＝2时，取得“＝”，d 2＝2＜r 2＝4，∴当d 2＝2时，此时，16k 2k 2＋1＝2⇒k 2＝17⇒k ＝±77. ∴直线l 的方程为y ＝±77(x －4)． (3)设S MNEF ＝S △MNE ＋S △MEF ＝12ME ·NF ，设Q (x 0，y 0)，E (e,0)，F (0，f )(其中x 0＜0，y 0＜0，x 20＋y 20＝4)，8分则QM ：y ＝y 0x 0－2(x －2)，令x ＝0得f ＝－2y 0x 0－2， ∴NF ＝2－－2y 0x 0－2＝x 0＋y 0－4x 0－2. QN ：y ＝y 0－2x 0x ＋2，令y ＝0得e ＝2x 02－y 0， 12分 ∴ME ＝2－2x 02－y 0＝4－x 0＋y 02－y 0. ∴S MNEF ＝12ME ·NF ＝12·x 0＋y 0－4x 0－2·x 0＋y 0－4y 0－2＝2·x 0＋y 0－2x 0－y 0－＝2·x 0＋y 0－2x 0－y 0－＝2·8－x 0＋y 0＋2x 0y 04－x 0＋y 0＋x 0y 0＝4(定值). 16分。

2018年数学真题及解析_2018年江苏省高考数学试卷

2018年江苏省高考数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B=．2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为．6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为．7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为．13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，成立的n的最小值为．则使得S n＞12a n+1二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D 均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．20．（16.00分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10.00分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．26．设n∈N*，对1，2，……，n的一个排列i1i2……i n，如果当s＜t时，有i s＞i t，则称（i s，i t）是排列i1i2……i n的一个逆序，排列i1i2……i n的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n（k）为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数．（1）求f3（2），f4（2）的值；（2）求f n（2）（n≥5）的表达式（用n表示）．2018年江苏省高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.1．（5.00分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B={1，8} ．【分析】直接利用交集运算得答案．【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}，故答案为：{1，8}．【点评】本题考查交集及其运算，是基础的计算题．2．（5.00分）若复数z满足i•z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由i•z=1+2i，得z=，∴z的实部为2．故答案为：2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3．（5.00分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为90．【分析】根据茎叶图中的数据计算它们的平均数即可．【解答】解：根据茎叶图中的数据知，这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91，它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90．故答案为：90．【点评】本题考查了利用茎叶图计算平均数的问题，是基础题．4．（5.00分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8．【分析】模拟程序的运行过程，即可得出程序运行后输出的S值．【解答】解：模拟程序的运行过程如下；I=1，S=1，I=3，S=2，I=5，S=4，I=7，S=8，此时不满足循环条件，则输出S=8．故答案为：8．【点评】本题考查了程序语言的应用问题，模拟程序的运行过程是解题的常用方法．5．（5.00分）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）．【分析】解关于对数函数的不等式，求出x的范围即可．【解答】解：由题意得：≥1，解得：x≥2，∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）．故答案为：[2，+∞）．【点评】本题考查了对数函数的性质，考查求函数的定义域问题，是一道基础题．6．（5.00分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3．【分析】（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，根据概率公式计算即可，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，根据概率公式计算即可【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，（适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C，则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，其中全是女生为AB，AC，BC共3种，故选中的2人都是女同学的概率P==0.3，故答案为：0.3【点评】本题考查了古典概率的问题，采用排列组合或一一列举法，属于基础题．7．（5.00分）已知函数y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，则φ的值为．【分析】根据正弦函数的对称性建立方程关系进行求解即可．【解答】解：∵y=sin（2x+φ）（﹣φ＜）的图象关于直线x=对称，∴2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ﹣，∵﹣φ＜，∴当k=0时，φ=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用正弦函数的对称性建立方程关系是解决本题的关键．8．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值为2．【分析】利用双曲线的简单性质，以及点到直线的距离列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点F（c，0）到一条渐近线y=x的距离为c，可得：=b=，可得，即c=2a，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力．9．（5.00分）函数f（x）满足f（x+4）=f（x）（x∈R），且在区间（﹣2，2]上，f（x）=，则f（f（15））的值为．【分析】根据函数的周期性，进行转化求解即可．【解答】解：由f（x+4）=f（x）得函数是周期为4的周期函数，则f（15）=f（16﹣1）=f（﹣1）=|﹣1+|=，f（）=cos（）=cos=，即f（f（15））=，故答案为：【点评】本题主要考查函数值的计算，根据函数的周期性结合分段函数的表达式利用转化法是解决本题的关键．10．（5.00分）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．【分析】求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可．【解答】解：正方体的棱长为2，中间四边形的边长为：，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2×=．故答案为：．【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．11．（5.00分）若函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，则f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为﹣3．【分析】推导出f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），当a≤0时，f′（x）=2x（3x ﹣a）＞0，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点；当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x ∈[﹣1，1]，利用导数性质能求出f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和．【解答】解：∵函数f（x）=2x3﹣ax2+1（a∈R）在（0，+∞）内有且只有一个零点，∴f′（x）=2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①当a≤0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+∞）上没有零点，舍去；②当a＞0时，f′（x）=2x（3x﹣a）＞0的解为x＞，∴f（x）在（0，）上递减，在（，+∞）递增，又f（x）只有一个零点，∴f（）=﹣+1=0，解得a=3，f（x）=2x3﹣3x2+1，f′（x）=6x（x﹣1），x∈[﹣1，1]，f′（x）＞0的解集为（﹣1，0），f（x）在（﹣1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（﹣1）=﹣4，f（0）=1，f（1）=0，∴f（x）min=f（﹣1）=﹣4，f（x）max=f（0）=1，∴f（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=﹣4+1=﹣3．【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题．12．（5.00分）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l：y=2x上在第一象限内的点，B（5，0），以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若=0，则点A的横坐标为3．【分析】设A（a，2a），a＞0，求出C的坐标，得到圆C的方程，联立直线方程与圆的方程，求得D的坐标，结合=0求得a值得答案．【解答】解：设A（a，2a），a＞0，∵B（5，0），∴C（，a），则圆C的方程为（x﹣5）（x﹣a）+y（y﹣2a）=0．联立，解得D（1，2）．∴=．解得：a=3或a=﹣1．又a＞0，∴a=3．即A的横坐标为3．故答案为：3．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查圆的方程的求法，是中档题．13．（5.00分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a+c的最小值为9．【分析】根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．【解答】解：由题意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，当且仅当=，即c=2a时，取等号，故答案为：9．【点评】本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．14．（5.00分）已知集合A={x|x=2n﹣1，n∈N*}，B={x|x=2n，n∈N*}．将A∪B 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{a n}，记S n为数列{a n}的前n项和，则使得S n＞12a n成立的n的最小值为27．+1【分析】采用列举法，验证n=26，n=27即可．【解答】解：利用列举法可得：当n=26时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，2，4，8，16，32．S26=，a27=43，⇒12a27=516，不符合题意．当n=27时，A∪B中的所有元素从小到大依次排列，构成一个数列{a n}，所以数列{a n}的前26项分别1，3，5，7，9，11，13，15，17，19，21，23.25，…41，43，2，4，8，16，32．S27==546，a28=45⇒12a28=540，符合题意，故答案为：27．【点评】本题考查了集合、数列的求和，属于中档题．二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（14.00分）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1．求证：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．【分析】（1）由⇒AB∥平面A1B1C；（2）可得四边形ABB1A1是菱形，AB1⊥A1B，由AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC⇒AB1⊥面A1BC，⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【解答】证明：（1）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，AB∥A1B1，AB⊄平面A1B1C，A1B1⊂∥平面A1B1C⇒AB∥平面A1B1C；（2）在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，⇒四边形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1⇒AB1⊥BC．∴⇒AB1⊥面A1BC，且AB1⊂平面ABB1A1⇒平面ABB1A1⊥平面A1BC．【点评】本题考查了平行六面体的性质，及空间线面平行、面面垂直的判定，属于中档题．16．（14.00分）已知α，β为锐角，tanα=，cos（α+β）=﹣．（1）求cos2α的值；（2）求tan（α﹣β）的值．【分析】（1）由已知结合平方关系求得sinα，cosα的值，再由倍角公式得cos2α的值；（2）由（1）求得tan2α，再由cos（α+β）=﹣求得tan（α+β），利用tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]，展开两角差的正切求解．【解答】解：（1）由，解得，∴cos2α=；（2）由（1）得，sin2，则tan2α=．∵α，β∈（0，），∴α+β∈（0，π），∴sin（α+β）==．则tan（α+β）=．∴tan（α﹣β）=tan[2α﹣（α+β）]==．【点评】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是中档题．17．（14.00分）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆O的一段圆弧（P为此圆弧的中点）和线段MN构成．已知圆O的半径为40米，点P到MN 的距离为50米．现规划在此农田上修建两个温室大棚，大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD，大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP，要求A，B均在线段MN上，C，D 均在圆弧上．设OC与MN所成的角为θ．（1）用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积，并确定sinθ的取值范围；（2）若大棚I内种植甲种蔬菜，大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4：3．求当θ为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大．【分析】（1）根据图形计算矩形ABCD和△CDP的面积，求出sinθ的取值范围；（2）根据题意求出年总产值y的解析式，构造函数f（θ），利用导数求f（θ）的最大值，即可得出θ为何值时年总产值最大．【解答】解：（1）S=（40sinθ+10）•80cosθ矩形ABCD=800（4sinθcosθ+cosθ），S△CDP=•80cosθ（40﹣40sinθ）=1600（cosθ﹣cosθsinθ），当B、N重合时，θ最小，此时sinθ=；当C、P重合时，θ最大，此时sinθ=1，∴sinθ的取值范围是[，1）；（2）设年总产值为y，甲种蔬菜单位面积年产值为4t，乙种蔬菜单位面积年产值为3t，则y=3200t（4sinθcosθ+cosθ）+4800t（cosθ﹣cosθsinθ）=8000t（sinθcosθ+cosθ），其中sinθ∈[，1）；设f（θ）=sinθcosθ+cosθ，则f′（θ）=cos2θ﹣sin2θ﹣sinθ=﹣2sin2θ﹣sinθ+1；令f′（θ）=0，解得sinθ=，此时θ=，cosθ=；当sinθ∈[，）时，f′（θ）＞0，f（θ）单调递增；当sinθ∈[，1）时，f′（θ）＜0，f（θ）单调递减；∴θ=时，f（θ）取得最大值，即总产值y最大．=800（4sinθcosθ+cosθ），答：（1）S矩形ABCDS△CDP=1600（cosθ﹣cosθsinθ），sinθ∈[，1）；θ=时总产值y最大．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了构造函数以及利用导数求函数的最值问题，是中档题．18．（16.00分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C过点（），焦点F1（﹣，0），F2（，0），圆O的直径为F1F2．（1）求椭圆C及圆O的方程；（2）设直线l与圆O相切于第一象限内的点P．①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点，求点P的坐标；②直线l与椭圆C交于A，B两点．若△OAB的面积为，求直线l的方程．【分析】（1）由题意可得．，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1即可．（2）①可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，解得k=﹣，m=3．即可②设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．即可【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，∵焦点F1（﹣，0），F2（，0），∴．∵∴，又a2﹣b2=c2=3，解得a=2，b=1．∴椭圆C的方程为：，圆O的方程为：x2+y2=3．（2）①可知直线l与圆O相切，也与椭圆C，且切点在第一象限，∴可设直线l的方程为y=kx+m，（k＜0，m＞0）．由圆心（0，0）到直线l的距离等于圆半径，可得．由，可得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，△=（8km）2﹣4（4k2+1）（4m2﹣4）=0，可得m2=4k2+1，∴3k2+3=4k2+1，结合k＜0，m＞0，解得k=﹣，m=3．将k=﹣，m=3代入可得，解得x=，y=1，故点P的坐标为（．②设A（x1，y1），B（x2，y2），由⇒k＜﹣．联立直线与椭圆方程得（4k2+1）x2+8kmx+4m2﹣4=0，|x2﹣x1|==，O到直线l的距离d=，|AB|=|x2﹣x1|=，△OAB的面积为S===，解得k=﹣，（正值舍去），m=3．∴y=﹣为所求．【点评】本题考查了椭圆的方程，直线与圆、椭圆的位置关系，属于中档题．19．（16.00分）记f′（x），g′（x）分别为函数f（x），g（x）的导函数．若存在x0∈R，满足f（x0）=g（x0）且f′（x0）=g′（x0），则称x0为函数f（x）与g（x）的一个“S点”．（1）证明：函数f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S点”；（2）若函数f（x）=ax2﹣1与g（x）=lnx存在“S点”，求实数a的值；（3）已知函数f（x）=﹣x2+a，g（x）=．对任意a＞0，判断是否存在b＞0，使函数f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S点”，并说明理由．【分析】（1）根据“S点”的定义解两个方程，判断方程是否有解即可；（2）根据“S点”的定义解两个方程即可；（3）分别求出两个函数的导数，结合两个方程之间的关系进行求解判断即可．【解答】解：（1）证明：f′（x）=1，g′（x）=2x+2，则由定义得，得方程无解，则f（x）=x与g（x）=x2+2x﹣2不存在“S 点”；（2）f′（x）=2ax，g′（x）=，x＞0，由f′（x）=g′（x）得=2ax，得x=，f（）=﹣=g（）=﹣lna2，得a=；（3）f′（x）=﹣2x，g′（x）=，（x≠0），由f′（x0）=g′（x0），假设b＞0，得b=﹣＞0，得0＜x0＜1，由f（x0）=g（x0），得﹣x02+a==﹣，得a=x02﹣，令h（x）=x2﹣﹣a=，（a＞0，0＜x＜1），设m（x）=﹣x3+3x2+ax﹣a，（a＞0，0＜x＜1），则m（0）=﹣a＜0，m（1）=2＞0，得m（0）m（1）＜0，又m（x）的图象在（0，1）上连续不断，则m（x）在（0，1）上有零点，则h（x）在（0，1）上有零点，则存在b＞0，使f（x）与g（x）在区间（0，+∞）内存在“S”点．【点评】本题主要考查导数的应用，根据条件建立两个方程组，判断方程组是否有解是解决本题的关键．20．（16.00分）设{a n}是首项为a1，公差为d的等差数列，{b n}是首项为b1，公比为q的等比数列．（1）设a1=0，b1=1，q=2，若|a n﹣b n|≤b1对n=1，2，3，4均成立，求d的取值范围；（2）若a1=b1＞0，m∈N*，q∈（1，]，证明：存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，并求d的取值范围（用b1，m，q表示）．【分析】（1）根据等比数列和等差数列的通项公式，解不等式组即可；（2）根据数列和不等式的关系，利用不等式的关系构造新数列和函数，判断数列和函数的单调性和性质进行求解即可．【解答】解：（1）由题意可知|a n﹣b n|≤1对任意n=1，2，3，4均成立，∵a1=0，q=2，∴，解得．即≤d≤．证明：（2）∵a n=a1+（n﹣1）d，b n=b1•q n﹣1，若存在d∈R，使得|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，则|b1+（n﹣1）d﹣b1•q n﹣1|≤b1，（n=2，3，…，m+1），即b1≤d≤，（n=2，3，…，m+1），∵q∈（1，]，∴则1＜q n﹣1≤q m≤2，（n=2，3，…，m+1），∴b1≤0，＞0，因此取d=0时，|a n﹣b n|≤b1对n=2，3，…，m+1均成立，下面讨论数列{}的最大值和数列{}的最小值，①当2≤n≤m时，﹣==，当1＜q≤时，有q n≤q m≤2，从而n（q n﹣q n﹣1）﹣q n+2＞0，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递增，故数列{}的最大值为．②设f（x）=2x（1﹣x），当x＞0时，f′（x）=（ln2﹣1﹣xln2）2x＜0，∴f（x）单调递减，从而f（x）＜f（0）=1，当2≤n≤m时，=≤（1﹣）=f（）＜1，因此当2≤n≤m+1时，数列{}单调递递减，故数列{}的最小值为，∴d的取值范围是d∈[，]．【点评】本题主要考查等比数列和等差数列以及不等式的综合应用，考查学生的运算能力，综合性较强，难度较大．数学Ⅱ（附加题）【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答.若多做，则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.[选修4-1：几何证明选讲]（本小题满分10分）21．（10.00分）如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C．若PC=2，求BC的长．【分析】连接OC，由题意，CP为圆O的切线，得到垂直关系，由线段长度及勾股定理，可以得到PO的长，即可判断△COB是等边三角形，BC的长．【解答】解：连接OC，因为PC为切线且切点为C，所以OC⊥CP．因为圆O的半径为2，，所以BO=OC=2，，所以，所以∠COP=60°，所以△COB为等边三角形，所以BC=BO=2．【点评】本题主要考查圆与直线的位置关系，切线的应用，考查发现问题解决问题的能力．B.[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分10分）22．（10.00分）已知矩阵A=．（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′（3，1），求点P的坐标．【分析】（1）矩阵A=，求出det（A）=1≠0，A可逆，然后求解A的逆矩阵A﹣1．（2）设P（x，y），通过•=，求出=，即可得到点P的坐标．【解答】解：（1）矩阵A=，det（A）=2×2﹣1×3=1≠0，所以A可逆，从而：A的逆矩阵A﹣1=．（2）设P（x，y），则•=，所以=A﹣1=，因此点P的坐标为（3，﹣1）．【点评】本题矩阵与逆矩阵的关系，逆矩阵的求法，考查转化思想的应用，是基本知识的考查．C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）23．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，曲线C的方程为ρ=4cosθ，求直线l被曲线C截得的弦长．【分析】将直线l、曲线C的极坐标方程利用互化公式可得直角坐标方程，利用直线与圆的相交弦长公式即可求解．【解答】解：∵曲线C的方程为ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，⇒x2+y2=4x，∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为r=2得圆．∵直线l的方程为ρsin（﹣θ）=2，∴﹣=2，∴直线l的普通方程为：x﹣y=4．圆心C到直线l的距离为d=，∴直线l被曲线C截得的弦长为2．【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交弦长关系、点到直线的距离公式，属于中档题．D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）24．若x，y，z为实数，且x+2y+2z=6，求x2+y2+z2的最小值．【分析】根据柯西不等式进行证明即可．【解答】解：由柯西不等式得（x2+y2+z2）（12+22+22）≥（x+2y+2z）2，∵x+2y+2z=6，∴x2+y2+z2≥4是当且仅当时，不等式取等号，此时x=，y=，z=，∴x2+y2+z2的最小值为4【点评】本题主要考查不等式的证明，利用柯西不等式是解决本题的关键．，【必做题】第25题、第26题，每题10分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.25．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点．（1）求异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【分析】设AC，A1C1的中点分别为O，O1，以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，（1）由|cos|=可得异面直线BP与AC1所成角的余弦值；（2）求得平面AQC1的一个法向量为，设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，可得sinθ=|cos|=，即可得直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值．【解答】解：如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，设AC，A1C1的中点分别为O，O1，则，OB⊥OC，OO1⊥OC，OO1⊥OB，故以{}为基底，建立空间直角坐标系O﹣xyz，∵AB=AA1=2，A（0，﹣1，0），B（，0，0），C（0，1，0），A1（0，﹣1，2），B1（，0，2），C1（0，1，2）．（1）点P为A1B1的中点．∴，∴，．|cos|===．∴异面直线BP与AC1所成角的余弦值为：；（2）∵Q为BC的中点．∴Q（）∴，，设平面AQC1的一个法向量为=（x，y，z），由，可取=（，﹣1，1），设直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为θ，sinθ=|cos|==，∴直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为．【点评】本题考查了向量法求空间角，属于中档题．26．设n ∈N *，对1，2，……，n 的一个排列i 1i 2……i n ，如果当s ＜t 时，有i s ＞i t ，则称（i s ，i t ）是排列i 1i 2……i n 的一个逆序，排列i 1i 2……i n 的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序（2，1），（3，1），则排列231的逆序数为2．记f n （k ）为1，2，…，n 的所有排列中逆序数为k 的全部排列的个数．（1）求f 3（2），f 4（2）的值；（2）求f n （2）（n ≥5）的表达式（用n 表示）．【分析】（1）由题意直接求得f 3（2）的值，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置，由此可得f 4（2）的值；（2）对一般的n （n ≥4）的情形，可知逆序数为0的排列只有一个，逆序数为1的排列只能是将排列12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n （1）=n ﹣1．为计算f n +1（2），当1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将n +1添加进原排列，n +1在新排列中的位置只能是最后三个位置，可得f n +1（2）=f n （2）+f n （1）+f n （0）=f n （2）+n ，则当n ≥5时，f n （2）=[f n （2）﹣f n ﹣1（2）]+[f n ﹣1（2）﹣f n ﹣2（2）]+…+[f 5（2）﹣f 4（2）]+f 4（2），则f n （2）（n ≥5）的表达式可求．【解答】解：（1）记μ（abc ）为排列abc 得逆序数，对1，2，3的所有排列，有μ（123）=0，μ（132）=1，μ（231）=2，μ（321）=3，∴f3（0）=1，f3（1）=f3（2）=2，对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f4（2）=f3（2）+f3（1）+f3（0）=5；（2）对一般的n（n≥4）的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，∴f n（0）=1．逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，f n（1）=n﹣1．为计算f n+1（2），当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n+1添加进原排列，n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置．因此，f n+1（2）=f n（2）+f n（1）+f n（0）=f n（2）+n．当n≥5时，f n（2）=[f n（2）﹣f n﹣1（2）]+[f n﹣1（2）﹣f n﹣2（2）]+…+[f5（2）﹣f4（2）]+f4（2）=（n﹣1）+（n﹣2）+…+4+f4（2）=．因此，当n≥5时，f n（2）=．【点评】本题主要考查计数原理、排列等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力，是中档题．。

江苏专用2018版高考数学专题复习专题9平面解析几何第62练椭圆的几何性质练习理

（江苏专用）2018版高考数学专题复习专题9 平面解析几何第62练椭圆的几何性质练习理训练目标熟练掌握椭圆的几何性质并会应用．训练题型(1)求离心率的值或范围；(2)应用几何性质求参数值或范围；(3)椭圆方程与几何性质综合应用．解题策略(1)利用定义PF 1＋PF 2＝2a 找等量关系；(2)利用a 2＝b 2＋c 2及离心率e ＝ca找等量关系；(3)利用焦点三角形的特殊性找等量关系.1．设椭圆C ：a 2＋b2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1，F 2，P 是C 上的点，PF 2⊥F 1F 2，∠PF 1F 2＝30°，则C 的离心率为________．2．(2016·衡水模拟)已知椭圆C 的中心为O ，两焦点为F 1，F 2，M 是椭圆C 上的一点，且满足|MF 1→|＝2|MO →|＝2|MF 2→|，则椭圆C 的离心率e ＝________.3．椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点为A ，左，右焦点分别是F 1，F 2，B 是短轴的一个端点，若3BF 1→＝BA →＋2BF 2→，则椭圆的离心率为________．4．已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的短轴的两个端点分别为A ，B ，点C 为椭圆上异于A ，B 的一点，直线AC 与直线BC 的斜率之积为－14，则椭圆的离心率为________．5．(2016·镇江模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 在椭圆x 225＋y 29＝1上，点P 满足AP→＝(λ－1)OA →(λ∈R )，且OA →·OP →＝72，则线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为________． 6．(2016·济南3月模拟)在椭圆x 216＋y 29＝1内，过点M (1,1)且被该点平分的弦所在的直线方程为____________________．7．设F 1，F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点，离心率为12，M 是椭圆上一点且MF 2与x 轴垂直，则直线MF 1的斜率为________．8．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，椭圆C 与过原点的直线相交于A ，B 两点，连结AF ，BF ，若AB ＝10，AF ＝6，cos∠ABF ＝45，则椭圆C 的离心率e ＝________.9．(2017·上海六校3月联考)已知点F 为椭圆C ：x 22＋y 2＝1的左焦点，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为(4,3)，则PQ ＋PF 取最大值时，点P 的坐标为________．10．(2016·镇江模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，过右焦点F 且斜率为k (k ＞0)的直线与C 相交于A ，B 两点，若AF →＝3FB →，则k ＝________.11．(2016·连云港二模)已知P 是以F 1，F 2为焦点的椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)上的任意一点，若∠PF 1F 2＝α，∠PF 2F 1＝β，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则此椭圆的离心率为________．12．设椭圆中心在坐标原点，A (2,0)，B (0,1)是它的两个顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与AB 相交于点D ，与椭圆相交于E ，F 两点，若ED →＝6DF →，则k 的值为________．13．(2017·黑龙江哈六中上学期期末)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P ，使asin∠PF 1F 2＝csin∠PF 2F 1，则该椭圆的离心率的取值范围为____________．14．椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右顶点分别为A 1、A 2，点P 在C 上且直线PA 2的斜率的取值范围是[－2，－1]，那么直线PA 1的斜率的取值范围是________．答案精析解析由题意知sin 30°＝PF2PF1＝12，∴PF1＝2PF2.又∵PF1＋PF2＝2a，∴PF2＝2a3.∴tan 30°＝PF2F1F2＝2a32c＝33.∴ca＝33.解析不妨设椭圆方程为x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)．由椭圆定义，得|MF1→|＋|MF2→|＝2a，再结合条件可知|MO→|＝|MF2→|＝2a3.如图，过M作MN⊥OF2于N，则|ON→|＝c2，|MN→|2＝|MO→|2－c24.设|MF2→|＝x，则|MF1→|＝2x.在Rt△MF1N中，4x2＝94c2＋x2－c24，即3x2＝2c2，而x2＝4a29，所以43a2＝2c2，即e2＝c2a2＝23，所以e＝63.解析不妨设B (0，b )，则BF 1→＝(－c ，－b )，BA →＝(－a ，－b )，BF 2→＝(c ，－b )，由条件可得－3c ＝－a ＋2c ， ∴a ＝5c ，故e ＝15.解析设C (x 0，y 0)，A (0，b )，B (0，－b )，则x 20a 2＋y 20b 2＝1.故x 20＝a 2×(1－y 20b 2)＝a 2×b 2－y 20b2，又k AC ·k BC ＝y 0－b x 0×y 0＋b x 0＝y 20－b 2x 20＝－14，故a 2＝4b 2，c 2＝a 2－b 2＝3b 2，因此e ＝c 2a 2＝ 3b 24b2＝32. 5．15解析 AP →＝OP →－OA →＝(λ－1)OA →，即OP →＝λOA →，则O ，P ，A 三点共线．又OA →·OP →＝72，所以OA →与OP →同向，所以|OA →||OP →|＝72.设OP 与x 轴的夹角为θ，点A 的坐标为(x ，y )，点B 为点A 在x 轴上的投影，则OP 在x 轴上的投影长度为|OP →|·cos θ＝|OP →|·|OB →||OA →|＝72|OB →||OA →|2＝72×|x |x 2＋y 2＝72·|x |1625x 2＋9＝72·11625|x |＋9|x |≤72·12× 16×925＝15，当且仅当|x |＝154时，等号成立．故线段OP 在x 轴上的投影长度的最大值为15. 6．9x ＋16y －25＝0解析设弦的两个端点的坐标分别是(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则有x 2116＋y 219＝1，x 2216＋y 229＝1，两式相减得x 1－x 2x 1＋x 216＋y 1－y 2y 1＋y 29＝0.又x 1＋x 2＝y 1＋y 2＝2，因此x 1－x 216＋y 1－y 29＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－916，所求直线的斜率是－916，弦所在的直线方程是y －1＝－916(x －1)，即9x ＋16y －25＝0. 7．±34解析由离心率为12可得c 2a 2＝14，可得a 2－b 2a 2＝14，即b ＝32a ，因为MF 2与x 轴垂直，故点M的横坐标为c ，故c 2a 2＋y 2b 2＝1，解得y ＝±b 2a ＝±34a ，则M (c ，±34a )，直线MF 1的斜率为kMF 1＝±3a 8c ＝±38×2＝±34.解析设椭圆的右焦点为F 1，在△ABF 中，由余弦定理可解得BF ＝8，所以△ABF 为直角三角形，且∠AFB ＝90°，又因为斜边AB 的中点为O ，所以OF ＝c ＝5，连结AF 1，因为A ，B 关于原点对称，所以BF ＝AF 1＝8，所以2a ＝14，a ＝7，所以离心率e ＝57.9．(0，－1)解析设椭圆的右焦点为E ，PQ ＋PF ＝PQ ＋2a －PE ＝PQ －PE ＋2 2. 当P 为线段QE 的延长线与椭圆的交点时，PQ ＋PF 取最大值，此时，直线PQ 的方程为y ＝x －1， QE 的延长线与椭圆交于点(0，－1)，即点P 的坐标为(0，－1)．解析由椭圆C 的离心率为32，得c ＝32a ，b 2＝a 24，∴椭圆C ：x 2a 2＋4y 2a 2＝1，F (32a,0)．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )， ∵AF →＝3FB →， ∴(32a －x A ，－y A )＝3(x B －32a ，y B )． ∴32a －x A ＝3(x B －32a )，－y A ＝3y B ，即x A ＋3x B ＝23a ，y A ＋3y B ＝0. 将A ，B 的坐标代入椭圆C 的方程相减得 9x 2B －x 2A a 2＝8，3x B ＋x A3x B －x Aa2＝8，∴3x B －x A ＝433a ，∴x A ＝33a ，x B ＝539a ， ∴y A ＝－66a ，y B ＝618a ， ∴k ＝y B －y A x B －x A ＝618a ＋66a 539a －33a＝ 2.解析cos α＝55⇒sinα＝255，所以sin β＝sin[(α＋β)－α]＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α＝35·55±45·255＝11525或－55(舍去)．设PF1＝r1，PF2＝r2，由正弦定理得r111525＝r2255＝2c35⇒r1＋r221525＝2c35⇒e＝ca＝57.或38解析依题设，得椭圆的方程为x24＋y2＝1，直线AB，EF的方程分别为x＋2y＝2，y＝kx(k＞0)．如图，设D(x0，kx0)，E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1＜x2.则x1，x2满足方程(1＋4k2)x2＝4，故x2＝－x1＝21＋4k2.由ED→＝6DF→，知x0－x1＝6(x2－x0)，可得x0＝17(6x2＋x1)＝57x2＝1071＋4k2.由D在AB上，知x0＋2kx0＝2，得x0＝21＋2k，所以21＋2k＝1071＋4k2，化简，得24k2－25k＋6＝0，解得k＝23或k＝38.13．(2－1,1)解析由asin∠PF1F2＝csin∠PF2F1，得ca＝sin∠PF2F1sin∠PF1F2.又由正弦定理得sin∠PF 2F 1sin∠PF 1F 2＝PF 1PF 2，所以PF 1PF 2＝c a ，即PF 1＝c aPF 2.又由椭圆定义得PF 1＋PF 2＝2a ，所以PF 2＝2a 2a ＋c ，PF 1＝2aca ＋c ，因为PF 2是△PF 1F 2的一边，所以有2c －2ac a ＋c ＜2a 2a ＋c ＜2c ＋2aca ＋c ，即c 2＋2ac －a 2＞0，所以e 2＋2e －1＞0(0＜e ＜1)，解得椭圆离心率的取值范围为(2－1,1)． 14．[38，34]解析由题意可得，A 1(－2,0)，A 2(2,0)，当PA 2的斜率为－2时，直线PA 2的方程为y ＝－2(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得19x 2－64x ＋52＝0，解得x ＝2或x ＝2619.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝⎛⎭⎪⎫2619，2419，此时直线PA 1的斜率k ＝38.同理，当直线PA 2的斜率为－1时，直线PA 2的方程为y ＝－(x －2)，代入椭圆方程，消去y 化简得 7x 2－16x ＋4＝0，解得x ＝2或x ＝27.由PA 2的斜率存在可得点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫27，127，此时直线PA 1的斜率k ＝34.数形结合可知，直线PA 1的斜率的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，34.。

(江苏专版)2018年高考数学三轮冲刺专题平面解析几何点对点试卷(无答案)

平面解析几何1．在平面直角坐标系中，曲线上任意一点P 到直线的距离的最小值为__________．【答案】2．在平面直角坐标系中，若圆上存在点P ，且点P 关于直线的对称点Q 在圆上，则r 的取值范围是____．【答案】3．在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 为抛物线28y x =的焦点，则点F 到双曲线221169x y -=的渐近线的距离为________. 【答案】654．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()4,0A -， ()0,4B ，从直线AB 上一点P 向圆224x y +=引两条切线PC ，PD ，切点分别为C ， D .设线段CD 的中点为M ，则线段AM 长的最大值为_________.【答案】5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22:1(0)4x y C m m-=>的一条渐近线与直线210x y +-=垂直，则实数m 的值为__________．【答案】166．已知圆22:5,,O x y A B +=为圆O 上的两个动点，且2,AB M =为弦AB 的中点， ()(),2C a D a +.当,A B 在圆O 上运动时，始终有CMD ∠为锐角，则实数a 的取值范围为__________．【答案】()(),20,-∞-⋃+∞7．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆()(22:11C x y -+-=和两点()(),2,,2A a a B a a ---，且1a >，若圆C 上存在两个不同的点,P Q ，使得90APB AQB ∠=∠=︒，则实数a 的取值范围为__________．【答案】11a ≤≤+8．经过点()20，且圆心是直线2x =与直线4x y +=的交点的圆的标准方程为________．【答案】()()22224x y -+-=9．在平面直角坐标系中，若直线l 与圆221:1C x y +=和圆((222:49C x y -+-=都相切，且两个圆的圆心均在直线l 的下方，则直线l 的斜率为__________．【答案】710．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：kx －y ＋2＝0与直线l 2：x ＋ky －2＝0相交于点P ，则当实数k 变化时，点P 到直线x －y －4＝0的距离的最大值为________．【答案】311．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y 2＝6x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂足．若直线AF 的斜率k ＝－，则线段PF 的长为________．【答案】612．在平面直角坐标系中,已知过点的直线l 与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】1/213在平面直角坐标系中,双曲线的离心率为__________．【答案】 14．【2016-2017学年苏锡常镇四市高三教学情况调研（一）】在平面直角坐标系中，过点的直线l 与圆交于两点，其中A 点在第一象限，且，则直线l 的方程为______________．【答案】 15．在平面直角坐标系中，已知抛物线的焦点恰好是双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为______________．【答案】2 16．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB +的最大值是．【答案】【解析】17．已知抛物线22y px =的准线方程为1x =-，焦点为,,,F A B C 为抛物线上不同的三点，,,FA FB FC 成等差数列，且点B 在x 轴下方，若0FA FB FC ++=，则直线AC 的方程为．【答案】012=--y x18．已知双曲线22:x 13y C -=的右焦点为,F P 是双曲线C 的左支上一点，()0,2M ，则PFM ∆周长最小值为____________．【答案】2+ 19．直线与双曲线的左支、右支分别交于两点，A 为右顶点，O 为坐标原点，若，则该双曲线的离心率为__________．【答案】20．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线2221(0)y x b b-=>的焦点到其渐近线的距离等于抛物线22y px =上的点(1,2)M 到其焦点的距离，则实数b = _ 【答案】221．已知O 为原点，双曲线上有一点P ，过P 作两条渐近线的平行线，且与两渐近线的交点分别为，平行四边形的面积为1，则双曲线的离心率为__________．【答案】22．抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点A 关于y 轴的对称点为B ，O 为坐标原点，的内切圆与切于点E ，点F 为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．【答案】23.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，点12,,,A B B F 依次为其左顶点、下顶点、上顶点和右焦点，若直线 2AB 与直线 1B F 的交点恰在椭圆的右准线上，则椭圆的离心率为______.【答案】1224．已知双曲线2241ax y -=a 的值为．【答案】825. 在平面直角坐标系xOy 中，若圆22(1)4x y +-=上存在A ，B 两点关于点(1,2)P 成中心对称，则直线AB 的方程为 .【答案】30x y +-=26．已知方程2x +θtan x －θsin 1=0有两个不等实根a 和b ，那么过点),(),,(22b b B a a A 的直线与圆122=+y x 的位置关系是【答案】相切27. 在直角坐标系xOy 中，已知A （1，0），B （0，1），则满足224PA PB -=且在圆224x y +=上的点P 的个数为．【答案】228. 在平面直角坐标系xOy 中，若动点(,)P a b 到两直线1:l y x =和2:1l y x =-+的距离之和为，则22a b +的最大值是________.【答案】18本文档仅供文库使用。

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