武汉理工大学概率论考试试题
武汉理工大学概率论与数理统计英文版试题
写 考
random sample showed an average of 23500km and a standard deviation of 3900km?
生 信
Use a 0.01 level of significance.
息
单个正态总体均值的假设检验，详见 exercise 15，参考答案已经上传在参考资源里
… …
…
…
…
…
试
卷
装
订
线
… … … …
4
5
with confidence
coefficient1− α. . 区间估计
1
得分
II. (10′) In a city, 50.2 percent of the people are men and 49.8 percent of the
people are women. Records show that the probability that a man has a certain disease is 0.05 and the
订 线
box is
；古典概率的计算
内 不
2. Suppose A and B are independent, and P(A) = 0.6 and P(A+B) = 0.8. Then P(B A ) = ；
要
由事件的关系和运算以及概率的性质等计算事件的概率
答 题
学 号 3. Suppose X has a Poisson distribution with λ = 1, then P{X = E( X )}=
f
(Байду номын сангаас,
经济数学-概率论与数理统计试卷
(C) n=20，p=0.1
(D) n=5，p=0.4
4、随机变量 X，Y 相互独立，且满足 E(X ) E(Y ) 0 ， D(X ) D(Y) 1，那么 E( X Y 1)2
；
(A) 2
(B)3
(C) 1/3
5、设 X1, X2, , Xn 是简单随机样本，则 X1, X2, , Xn
1
1/4
1/4
(1) 求 X 与 Y 的边缘分布律； (2) 问 X 与 Y 是否相互独立？ (3) 求 N=min {X，Y}的分布律。
六、(10 分) 设随机变量 X 服从（0，2）区间上的均匀分布，Y X X 2 。求随机变量 Y 的数学期望 E(Y)和
方差 D(Y)。 七、(8 分) 在次品率为 1/6 的一大批产品中任意抽取 300 件产品，利用中心极限定理计算抽取的产品中次品
X
的概率密度函数
f
(x)
cos
0
x
a
x 其它
b
，那么区间
[a,b]
可取
；
(A) [0, ] 2
(B) [ , ] 2
(C) [0, ]
(D) [3 , 7 ] 24
3、设随机变量 X 服从二项分布 X ~ B(n, p) ，且 E(X)=2，D(X)=1.6，则有
；
(A) n=10，p=0.2
(B) n=100，p=0.02
。
二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，每小题 3 分，总计 15 分）
1、设随机事件 A、B 满足 B A，则下式正确的是
；
(A) P(A B) P(A) (B) P(AB) P(A) (C) P(B | A) P(B) (D) P(B A) P(B) P(A)
概率论 武汉理工 期末考试试卷
武汉理工大学考试试题纸（ A 卷）课程名称 概率论与数理统计 专业班级 全校06级本科附表：,5793.0)2.0(,5.0)0(,7881.0)8.0(,975.0)96.1(,59.0)1.645(=Φ=Φ=Φ=Φ=Φ ,6883.1)36(05.0=t .0301.2)35(,6896.1)35(,0281.2)36(025.005.0025.0===t t t一．填空题：（每空3分，共18分）1. 将3个球随机地放入4个盒子中去，则每个盒子至多有一球的概率为 . 2．设事件A 与B 相互独立，6.0)(=A P ，7.0)(=B A P ，则 =)|(A B P .3．设随机变量)0(),(~2>σσμN X ，且二次方程042=++X y y 有实根的概率为0.5，则=μ .4．设随机变量X 与Y 相互独立，其中)3(~πX （泊松分布），)2,0(N ~2Y ，则=-)2(Y X D .5．设n X X X ,,,21 是总体 ),0(~θU X 的简单随机样本，a =θˆ是参数θ的无偏估计，则=a . 6. 某批钢球的重量)4,(~μN X ，从中抽取容量16=n 的简单随机样本测得5.22=x （单位：g ）.则μ的置信度为0.95的置信区间为 .二. 单项选择题：（每空3分，共12分）1. 设)(1x F 与)(2x F 分别是随机变量1X 与2X 的分布函数，为使)()()(21x bF x aF x F -= 是某一随机变量的分布函数，在下列给定的各组数值中应取 .A.;52,3-==b aB.;32,32==b aC.;23,21=-=b aD..23,21-==b a 2. 设二维随机变量),(Y X 在区域}1|),{(22≤+=y x y x G 上服从均匀分布，则下列答案正确的是 .A ．;1,0,),(22其他≤+⎩⎨⎧=y x y x f π B. .1||,0,12)(2其他≤⎪⎩⎪⎨⎧-=y y y f Y π C. X 与Y 相互独立; D. 以上答案都不对.3. 设随机变量X 与Y 的期望和方差存在，且),()()(Y D X D Y X D +=-则下列说法不正确的是 . A.);()()(Y D X D Y X D +=+ B.);()()(Y E X E XY E = C. X 与Y 不相关; D.X 与Y 独立.4. 若简单随机样本n X X X ,,,21 取自总体)1,0(N ，X 与2S 分别为样本均值和样本方差，则 . A.);1,0(~N X B.);1(~-n t S X C.);1,0(~N X D.).(~212n Xni iχ∑=三. (12分) 已知随机变量X 的概率密度为 ,)(xAex f -= .+∞<<∞-x 求：(1) 常数A ； (2)}10{<<X P ; (3) X Y =的概率密度.四. (12分) 某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10，10件.现从中随机抽取一件，记,,,0,1其他等品抽到i X i ⎩⎨⎧= )3,2,1(=i . 求：(1) 随机变量1X 与2X 的联合分布律和边缘分布律; (2) 随机变量1X 与2X 的相关系数.五. 计算题：(共46分)1. (10分) 某人到武汉参加会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机去的概率分别为0.2，0.1，0.3和0.4.如果他乘火车、轮船、汽车前去，迟到的概率分别为1/3，1/12和1/4，乘飞机不会迟到.结果他迟到了，求他是乘汽车去的概率.2. (10分) 据以往经验，某种电子设备的寿命服从均值为100小时的指数分布. 现随机地取16台，设它们的寿命是相互独立的. 试用中心极限定理求这16台设备的寿命总和大于1920小时的概率.3.（10分） 设总体X 的概率密度为 ⎪⎩⎪⎨⎧<<=-其它,010,)(1x xx f θθ， ).0(>θn 21X X X ，，， 是来自总体X 的一个简单随机样本，求未知参数θ的矩估计量和极大似然估计量.4. (10分) 设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩5.66=x ,标准差为15=s (单位:分).问:在显著性水平05.0=α下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?5. (6分) 某产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地取10件进行检验. 如发现其中的次品数多于1，就去调整设备. 以X 表示一天中调整设备的次数，求).(2X E （结果保留三位小数）试题标准答案1. 3，2. 43，3. 4，4. 19，5. 2，6. （21.52, 23.48）. 二、 1.A 2.B 3.D 4.D 三、（1）由12)(0||⎰⎰⎰+∞∞-+∞∞-+∞--===dx e A dx Ae dx x f x x ,得 ,12=A 即 A =21.(2) )1(2121}10{110---==<<⎰e dx e X P x . （3） 由{}{}y X P y Y P y F Y ≤=≤=)(得 当0≤y 时：0)(0)(=⇒=y f y F Y Y当0>y 时：{})()()(y F y F y X y P y F X X Y --=≤≤-=y X X Y Y e y f y f y F y f -=-+='=⇒)()()()(即 ⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,)(y y e y f y Y四、（1）设)3,2,1}({==i i A i 等品抽到，则 1.0)(}0,0{321====A P X X P ，(}1,0{21===P X X P 0)(}1==φP .（2） 由（1）知： )1.0,1(~),8.0,1(~21B X B X ，则;1.0)(,8.0)(21==X E X E .09.0)(,16.0)(21==X D X D且 0)(21=X X E ，故 .08.0)()()(),(212121-=-=X E X E X X E X X Cov 因此3209.016.008.0)()(),(212121-=⨯-==X D X D X X Cov X X ρ.五、 1. 令=A {开会迟到}，1B 、2B 、3B 、4B 分别表示某人乘火车、轮船、汽车、飞机到武汉.. 则由全概率公式有15.004.0413.01211.0312.0)|()()(41=⨯+⨯+⨯+⨯==∑=ii iB A P B P A P由Bayes 公式得 5.015.0413.0)()|()()|(333=⨯==A PB A P B P A B P2. 令i X 表示第i 台电子设备的寿命，则由题意知：)01.0(~E X i , 故i X 相互独立，且100)(=i X E ，2100)(=i X D ，)16,,2,1( =i . 由中心极限定理有⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⨯⨯-≤⨯⨯--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-==⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑∑∑===221611611611001610016192010016100161192011920i i i i i i X P X P X P 2119.0)8.0(1=Φ-≈3. 由题有 1)(111+==⋅=⎰⎰-θθθθθθdx x dx xx X E令 X X n X E ni i ==∑=11)(得θ的矩估计量为 2)1(ˆXX -=θ似然函数为1212111)()()(--=====∏∏θθθθθn n ini n i ix x x x x f L ,∑=-+=ni i x nL 1ln )1(ln 2)(ln θθθ.似然方程为 021)ln (2)(ln 1=⋅+=∑=ni i x n d L d θθθθ,解得θ的极大似然估计量为21)ln (ˆ∑==ni iXnθ4. 要检验的假设为 70:0=μH 70:1≠μH ；检验统计量为 )1(~--=n t nSX T μ； 拒绝域为 )1(2-≥n t t α；计算统计值得 4.13615|705.66||70|||=-=-=nsx t ；查表知 0301.2)35()1(025.0==-t n t α；执行统计判决 )1(0301.24.1||-=<=n t t α， 故接受0H ，即认为这次考试的平均成绩为70分. 5. 令Y 表示每次检验中发现的次品件数，则 )1.0,10(~B Y . 设}{调整设备=A ，于是}1{}0{1}1{1}1{)(=-=-=≤-=>=Y P Y P Y P Y P A P264.0)1.01(1.0)1.01(1911010=-⨯⨯---=C故 ).264.0,4(~B X 从而,056.1264.04)(=⨯=X E .777.0)264.01(264.04)(=-⨯⨯=X D则 892.1056.1777.0)]([)()(222=+=+=X E X D X E。
概率论与数理统计_武汉理工
…………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线……………………试卷装订线………………装订线内不要答题，不要填写考生信息………………试卷装订线…………武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:《概率论与数理统计》 （ A 卷） 一、填空题：(每空5分,共25分)(1)、0.4 (2)、57 (3)、1/3 (4)、12e - (5)、-3(6)、(2)t (7)、12(1)n - (8)、(6.56， 10.48)二、(共10分) 解:设i A 表示“从甲箱中取了i 件次品放入乙箱”，0,1,2i =；B 表示“从乙箱中取到的是次品”。
由题意01()5P A =，13()5P A =，21()5P A =；01(|)5P B A =，12(|)5P B A =，23(|)5P B A =；………………………… (3分)显然i A ，0,1,2i =构成Ω的一个划分，由全概率公式得0011222()()(|)()(|)()(|)5P B P A P B A P A P B A P A P B A =++=…………………………… (8分)由Bayesian 公式P{该次品来不受甲箱次品影响的概率}=01(|)10P A B =……………… (10分)三、(共(8分)由上表易见，j i ij p p p ..≠，即Y X ,不是相互独立的. ……………………………… (10分)四、(共10分) 解: 由连续性知lim ()()1F x F e ==，即lim ln 1x eA x →=，故得 1A =……… (3分){0)00.5P X e <=-= ……………………………… (7分)1,1()()0,x ef x F x x⎧≤<⎪'==⎨⎪⎩其他. ……………………………… (10分) 五、（共10分）解:设Y 的分布函数为()Y F y ，即2()()()Y F y P Y y P X y =≤=≤，则1) 当0y <时，()0Y F y =； …………………………………… (1分)2) 当01y ≤<时，(2()()Y F y P X y P X =≤=≤≤3)1d x == ……………………………… (4分)4) 当14y ≤<时，(2()()1Y F y P X y P X =≤=-<≤1111d d 42x x -=+=⎰.……………………………………(7分)5) 当4y ≥，()1Y F y =. …………………………………………… (8分)所以0,0()041,4Y y F y y y <⎧=≤<≤⎪⎩. ………………………………(10分)六、(共10分) 解:设X 表示每天晚上到阅览室去自习的学生人数，则(10000,0.1)X b ，且()1000,()900E X D X == ………………………………………………(5分)1000{940}2(2)0.97730X P X P -⎧⎫>=>-=Φ=⎨⎬⎩⎭………………………………(10分)七、(共10分) 解: ˆ(),11X E X X θθθ==-- …………………………………… (5分) 似然函数为 11()n ni i L x θθθ--=⎛⎫= ⎪⎝⎭∏，则1l n ()l (1)l n ni i L n x θθθ==-+∑；………… (7分)于是 1ln ()ln n i i d L n x d θθθ==-∑令0)(ln =θθd L d ，得似然方程1ln 0ni i n x θ=-=∑， 解得 1ln n i i n x θ==∑，因此得θ的极大似然估计量为：1ˆln nii n X θ==∑ …………………………………… (10分) 八、(共10分)解: 0H ：1000μ= 1H ：1000μ≠ ……………………………………………(3分)拒绝域：2(15)T t α=> ……………………………………………(6分) T =2.447 ，0.025(8) 2.3060t = 0.025(8)T t > 故拒绝0H ……………………(8分)即认为技术革新改变了产品质量。
武汉理工大学概率统计期末试卷B
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称—概率论与数理统计——（B 卷）一. 选择题（每小题3分，共15分）1.C2.D3.B4.D5.A 二. 填空题（每小题3分，共15分）1.157 2. 41 3.20 4. 0.3 5.221σ+-n n三．解：（1）3.004.07.0)()()()(=+-=+-=AB P A P B A P B P ……5分（2）)()()()()(B P A P A P B A P B P +-= ，5.06.03.0)(1)()()(==--=A P A PB A P B P ……10分四．（1）),(Y X 的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧∈--=,,0),(,))((1),(其他D y x c d a b y x f … 5分 （2）⎰∞+∞-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==,,0,,1),()(其他b x a a b dy y x f x f X⎰∞+∞-⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-==,,0,,1),()(其他d y c cd dx y x f y f Y … 7分 （3）)()(),(y f x f y x f Y X = ，Y X 与∴ 独立。
……10分五、设A 为产品合格事件，则A A ,是产品的一个划分。
又设B 为产品检查合格事件。
则9.0)(=A P ，98.0)|(=A B P ，05.0)|(=A B P …… 4分 （1）由全概率公式，一个产品被认为合格的概率)|()()|()()(A B P A P A B P A P B P +=887.005.01.098.09.0=⨯+⨯=。
…… 8分（2）由贝叶斯定理，“合格品”确实合格的概率)(/)|()()|(B P A B P A P B A P =994.0887.0/98.09.0=⨯=。
…… 10分六．12411218381=+++++B A (1) ……3分若x 与y 独立, 应有:()()()212,1=⋅====y P x P y x P⎪⎭⎫⎝⎛+⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⇒A 12124112181121 (2) ……6分综合(1)(2)有:41=A 81=B ……10分 七．0>y 时，dx x f y F yyX Y ⎰-=)()( ……4分 221)()(yY Y e y y F y f -='=π ……6分0≤y 时，0)(=y F Y ⎪⎩⎪⎨⎧≥>=-0021)(2y y e yy f y Y π …… 10分八、（1）1)()(+==⎰+∞--θθθdx xe X E x X =+1θ ， θ的矩估计为：.1-X ……… 5分 （2）∑-=⋅=ni ix n n e e x x x L 1),,,(21θθ0ln >θd L d ， L 为θ的单调增函数，故 }{min 1i n i x ≤≤=θ … 10分九(0,1)X N ………3分{1.4 5.4}}2(163P X P <<=<=Φ- ………7分解2(10.953Φ-≥ 得34.6n ≥ n 至少取35 (10)()1{0,1}()()()8P AB P X Y P AB P AB P A B ====-= ………………8分|1115{0,0}18888P X Y ===---= ………………10分| 五. （10分）（1）由(,)1f x yd x d y +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，得A ＝1 ………………2分 |（2）10()0xxDE XY xydxdy dx xydy -===⎰⎰⎰⎰2()3DE X xdxdy ==⎰⎰ …………6分 ()0DE Y ydxdy ==⎰⎰ cov ,)()()()0X Y E XY E X E Y (＝－＝ (9)分（3）0XY ρ= X 与Y 不相关 ………………10分六.（10分）设同时开着的灯数为X ，(10000,0.7)X b ………………2分(0,1)N （近似） (5)分{69007100}210.971P X ≤≤=Φ-= ………………10分七.（10分）1101()(2E X dx θθθθ++==+⎰+1)x ………………3分 解12X θθ+=+，得θ的矩估计量为211X X-- ………………5分1()1()ni i L x θθθ=+∏n＝（） 1ln ln 1ln nii L n xθθ==+∑（）+ (7)分令1ln ln 01ni i d L nx d θθ==+=+∑ 得θ的极大似然估计量为11ln nii nX=--∑ …………10分八.（10(0,1)X N ………………3分{1.4 5.4}21P X P <<=<=Φ- ………………7分解2(10.953Φ-≥ 得34.6n ≥ n 至少取35 ………………10分九.（10分）T =(1)X t n - 0.005{(1)}0.99P T t n <-= ……………4分0.0050.005{(1)(1)}0.99P X n X X n -<<-= ..................8分 所求为（1485.61，1514.39） (10)分。
经济数学-概率论与数理统计试卷与答案(2006年12月)范文
武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称 概率论与数理统计 （ A 卷） 一、填空题（每空3分，共18分） 1. 0.49 2.215- 3.32 4. 0.3 5.12 6.20072006二、选择题（每小题3分，共12分） 1. A 2. A 3. B 4. C三、解：}{这件产品是正品=B , }{1取的是甲厂的产品=A , }{2取的是乙厂的产品=A , }{3取的是丙厂的产品=A ,易见的一个划分是Ω321,,A A A 。
2.0)(3.0)(,5.0)(321===A P A P A P ，7.0)|(8.0)|(,9.0)|(321===A B P A B P A B P ，------------------------4分 由全概率公式，得83.0)|()()(31==∑=i i i A B P A P B P -------------3分542.0834583.09.05.0)()()|()()()|(1111≈=⨯===B P A P A B P B P B A P B A P ----------3分 四、解：①1510)(005==+=⎰⎰⎰+∞∞-∞-+∞-M dx Me dx dx x f x ,故M =5 ---------------- 3分 ②.3679.05)2.0(12.05≈==>-+∞-⎰e dx e X P x ------------- 3分③当x<0时,F(x)=0; 当0≥x 时，xx xx e dx e dx dx x f x F 500515)()(-∞-∞---=+==⎰⎰⎰故⎩⎨⎧<≥-=-00,,01)(5x x ex F x--------------------------------------- 4分五、解：先求Y 的分布函数()()()()33)1(1y X y X y Y y F Y -≥P =≤-P =≤P =()()()33)1(111y F y X X --=-<P -=----------------------5分再求Y 的密度函数()()()()()()113123----==y y f dyy dF y f X Y Y ()()()()()()62321113113y y y f y X -+-=--=π------------------------5分六、解：),(Y X 联合分布律和边缘分布律见下表：------------------------8分X 和Y 不相互独立。
武汉理工大学第一学期期末考试线性代数与概率统计(新)
一、单选( 每题参考分值2.5分)1、设总体服从泊松分布：，其中为未知参数，为样本，记，则下面几种说法错误的是（）A. 是的无偏估计B. 是的矩估计C. 是的矩估计D. 是的矩估计错误:【D】2、设随机变量的分布函数为，则（）A.B.C.D.错误:【B】3、A.-1B. 1C.D.错误:【B】4、在下列结果中，构成概率分布的是（）A.B.C.D.错误:【B】5、A.B.C.D.错误:【D】6、设是的特征值且，则是（）特征值A.B.C.D.错误:【D】7、已知，则为（）A.B.C.D.错误:【C】8、设三阶方阵的特征值为，对应的特征向量为，若，则A.B.C.D.错误:【D】9、已知向量，若可由线性表出那么（）A. ，B. ，C. ，D. ，错误:【A】10、实二次型，则负惯性指数为（）A.B.C.D.错误:【B】11、与的相关系数，表示与（）A. 相互独立B. 不线性相关C. 存在常数使D. 满足错误:【B】12、设总体为参数的动态分布，今测得的样本观测值为0.1,0.2,0.3,0.4，则参数的矩估计值为（）A. 0.2B. 0.25C. 1D. 4错误:【B】13、设是来自正态总体的样本，则服从的分布为（）A.B.C.D.错误:【A】14、若是矩阵，是的导出组，则（）A. 若有无穷多个解，则仅有零解B. 仅有零解，则有唯一解C. 若有无穷多个解，则有非零解D. 有非零解，则有无穷多个解错误:【C】15、以下结论中不正确的是（）A. 若存在可逆矩阵，使，则是正定矩阵B. 二次型是正定二次型C. 元实二次型正定的充分必要条件是的正惯性指数为D. 阶实对称矩阵正定的充分必要条件是的特征值全为正数错误:【B】16、设随机事件A与B相互独立，A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，且，则（）B.C.D.错误:【B】17、对于正态分布，抽取容量为10的样本，算得样本均值，样本方差，给定显著水平，检验假设.则正确的方法和结论是（）A. 用检验法，查临界值表知，拒绝B. 用检验法，查临界值表知，拒绝C. 用检验法，查临界值表知，拒绝D. 用检验法，查临界值表知，拒绝错误:【C】18、设随机变量和的密度函数分别为若与相互独立，则（）B.C.D.错误:【D】19、设二维随机变量，则（）A.B. 3C. 18D. 36错误:【B】20、A.B.C.D.错误:【B】21、已知为阶方阵，以下说法错误的是（）A.B. 的全部特征向量为的全部解C. 若有个互不相同的特征值，则必有个线性无关的特征向量D. 若可逆，而矩阵的属于特征值的特征向量也是矩阵属于特征值的特征向量错误:【B】22、设离散的随机变量X的分布为则（）A.B. 任意正实数C.D.错误:【C】23、称是来自总体的一个简单随机样本（简称样本），即满足（）A. 相互独立，不一定同分布B. 相互独立同分布，但与总体分布不一定相同C. 相互独立且均与总体同分布D. 与总体同分布，但不一定相互独立错误:【C】24、设是次重复试验中事件出现的次数，是事件在每次试验中出现的概率，则对任意均有（）A. =0B. =1C. >0D. 不存在错误:【A】25、设随机变量为独立同分布序列，且服从参数为的指数分布，则下面式子中正确的是（）A.B.C.D.错误:【A】26、设4个3维列向量组成的矩阵经初等行变换后变为，则可表示为（）A.B.C.D.错误:【A】27、A.B.C.D.错误:【C】28、设是二阶矩阵的两个特征，那么它的特征方程是（）A.B.C.D.错误:【D】29、已知线性无关则（）A. 必线性无关B. 若为奇数，则必有线性无关C. 若为偶数，则线性无关D. 以上都不对错误:【C】30、设是一非齐次线性方程组，是其任意2个解，则下列结论错误的是（）A. 是的一个解B. 是的一个解C. 是的一个解D. 是的一个解错误:【A】31、设总体的分布函数为,则总体均值和方差的矩估计分别为（）A.B.C.D.错误:【B】32、设一批产品有1000件，其中有50件次品，从中随机地、有放回地抽取500件产品，表示抽到次品的件数，则（）A.B.C.D.错误:【C】33、两个独立事件A和B发生的概率分别为和，则其中之一发生的概率为（）A.B.C.D.错误:【D】34、设A、B、C是三个事件，且，，，则A、B、C至少有1个发生的概率为（）A.B.C.D.错误:【C】35、A.B.C.D.错误:【D】36、设二维随机变量，且与相互独立，则（）A.B.C.D.错误:【D】37、下列结论正确的是（）A.正交向量组一定线性无关B.线性无关向量组一定是正交向量组C.正交向量组不含零向量D.线性无关向量组不含零向量错误:【D】38、向量空间的维数等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3错误:【C】39、下列说法正确的是（）A.B.C.D.错误:【D】40、若阶可逆矩阵与相似，且则（）A.B.C.D.错误:【C】41、设总体的分布中带有未知参数，为样本，和是参数的两个无偏估计，若对任意的样本容量，若为比有效的估计量，则必有（）A.B.C.D.错误:【B 】42、若二次型 为正定二次型，则的取值范围为（ ）A.B.C.D.错误:【C 】43、已知方阵相似于对角阵，则常数（ ）A.B.C.D.错误:【A】44、实二次型为正定的充要条件是（）A.的秩为B.的正惯性指数为C.的正惯性指数等于的秩D.的负惯性指数为错误:【B】45、A.B.C.D.错误:【C】46、A.B.C.D.以上都不对错误:【C】47、二次型的标准型为（）A.B.C.D.错误:【D】48、若，则的特征值为（）A.或B.或C.D.错误:【B】49、设与都是来自于总体的两独立样本，，与分别是两样本的均值和方差，，则有（）A.对于任意的常数是的无偏估计，且，，达到最小B.对于任意的常数是的无偏估计，且，，达到最小C.对于任意常数，都是的无偏估计，并且当时，达到最小D.对于任意常数，都是的无偏估计错误:【D】50、已知是正定矩阵，则（）A.B.C.D.错误:【B】。
武汉理工大学线性代数与概率统计(新)在线作业及期末考试复习题
线性代数与数理统计在线作业及期末考试复习题注：找到所考试题直接看该试题所有题目和答案即可。
查找按键：Ctrl+F 超越高度一、单选(每题参考分值2.5分)1、在假设检验中，设服从正态分布，未知，假设检验问题为，则在显著水平下，的拒绝域为（）A.B.C.D.正确答案：【B】2、设，如果方程组无解，则（）A.B.C. 或D. 任意实数正确答案：【A】3、设连续随机变量X的概率密度函数为则（）A.B.C.D.正确答案：【D】4、设总体，则的矩估计和极大似然估计分别为（）A. 矩估计极大似然估计B. 矩估计极大似然估计C. 矩估计极大似然估计D. 矩估计极大似然估计正确答案：【C】5、A.B.C.D.正确答案：【C】6、设是来自总体的样本，其中已知，但未知，则下面的随机变量中，不是统计量的是（）A.B.C.D.正确答案：【D】7、设随机变量相互独立，概率密度分别为则二维随机变量的联合密度函数为（）A.B.C.D.正确答案：【A】6、设，则（）A. A和B不相容B. A和B相互独立C. 或D.正确答案：【A】12、A. 2B. 3C. 4D. 1正确答案：【D】8、设同阶方阵与相似，即存在可逆矩阵使，已知为的对应与特征值的特征向量，则的对应于特征值的特征向量是（）A.B.C.D.正确答案：【C】9、设4维向量组中的线性相关，则（）A. 可由线性表出B. 是的线性组合C. 线性相关D. 线性无关正确答案：【C】10、设总体，未知，是来自的样本，为样本均值，为样本标准差。
是检验问题为则检验的统计量为（）A.B.C.D.正确答案：【C】11、设为随机变量，且则（）A. 1B. 2C. 3D. 4正确答案：【A】12、设随机变量服从参数为0.5的指数分布，则下列各项中正确的是（）A.B.C.D.正确答案：【B】13、在下列函数中，可以做某随机变量X的分布函数的是（）A.B.C.D.正确答案：【C】14、设总体，其中已知，为来自总体的样本，为样本均值，为样本方差，则下列统计量中服从分布的是（）A.B.C.D.正确答案：【D】15、在下列结论中，不正确的是（）A. 若都服从正态分布，且与相互独立，则B. 若，且与相互独立，则C. 设与都是来自于总体的样本，并且相互独立，与分别是两样本均值，则D. 设与都是来自于总体的样本，并且相互独立，与分别是两样本均值，则正确答案：【C】16、设是连续型随机变量的分布函数，则下列结论中不正确的是（）A. 不是不减函数B. 是不减函数C. 是右连续的D.正确答案：【A】17、设随机变量的，用切比雪夫不等式估计（）A. 1B.C.D.正确答案：【D】18、二次型正定的一个充要条件是（）A. 的主对角线元素都大于零B. 的行列式大于零C. 存在可逆矩阵，使D. 的特征值均非负正确答案：【C】19、阶实对称矩阵的个行向量是一组正交单位向量组，则是（）A.对称矩阵B.正交矩阵C.反对称矩阵D.正确答案：【B】20、若方阵与等价，则（）A.B.C.D. 存在可逆矩阵，使正确答案：【A】4、设三阶方阵的特征值为，对应的特征向量为，若，则A.B.C.D.正确答案：【D】9、下列命题正确的是（）A.B.C.D.正确答案：【D】21、设、为同阶方阵，且，当（）时，A.B.C.D. 且正确答案：【D】23、已知随机变量，则随机变量的概率密度（）A.B.C.D.正确答案：【A】21、阶方阵与相似的充分必要条件是（）A.B. 存在可逆矩阵与使得C. 存在可逆矩阵使得D. 存在可逆矩阵使得正确答案：【D】22、阶方阵与对角矩阵相似的充要条件是（）A. 有个互不相同的特征值B. 有个互不相同的特征向量C. 有个线性无关的特征向量D. 有个两两正交的特征向量正确答案：【C】23、实二次型为正定的充要条件是（）A.的秩为B.的正惯性指数为C.的正惯性指数等于的秩D.的负惯性指数为正确答案：【B】24、设总体则的矩估计为（）A.B.C.D.正确答案：【D】25、设二维随机变量，则（）A.1B.C.D.0正确答案：【B】26、矩阵，则基础解系所含向量个数为（）A.B.C.D. 都不对正确答案：【A】27、设有向量，则向量空间的维数为（）A.B.C.D.正确答案：【B】28、设A与B互为对立事件，且，，则下列各式中错误的是（）A.B.C.D.正确答案：【A】29、设是一个阶阶方阵，下列陈述中正确的是（）A. 如存在数和向量使，则是的属于特征值的特征向量B. 如存在数和非零向量，使，则是的特征值C. 的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 是的3个互不相同的特征值，依次是的属于的特征向量，则有可能线性相关正确答案：【B】30、A.B.C.D.正确答案：【B】31、若、之积为不可能事件，则称与（）A. 相互独立B. 互不相容C. 对立D. 构成完备事件组正确答案：【B】32、设为二维连续随机变量，则与不相关的充分必要条件是（）A. 与相互独立B.C.D.正确答案：【C】33、，则（）A.B.C.D.正确答案：【D】34、A.B.C.D.正确答案：【D】35、A.B.C.D.正确答案：【B】36、A.B.C.D.正确答案：【A】37、A. 全都非负B. 不全为零C. 全不为零D. 全为正数正确答案：【C】38、设是来自正态总体的样本，则统计量服从（）A. 正态分布B. 分布C. 分布D. 分布正确答案：【D】39、对掷一粒骰子的试验，概率论中将“出现偶数”称为（）A. 样本空间B. 必然事件C. 不可能事件D. 随机事件正确答案：【D】40、设为两个随机变量，且，则（）A. 一定独立B. 一定不独立C. 不一定独立D. 以上结论都不对正确答案：【C】41、A. 0B. 1C. 2D. 3正确答案：【C】42、A.B.C.D.正确答案：【C】43、二次型的秩为2，则（）A.B.C.D.正确答案：【D】44、随机变量X在下面区间上取值，使函数成为它的概率密度的是（）A.B.C.D.正确答案：【A】45、若存在一可逆阵使得为对角阵，其中，则为（）A.B.C.D.正确答案：【C】46、A.B.C.D.正确答案：【A】47、设是从正态总体中抽取的一个样本，记则服从（）分布A.B.C.D.正确答案：【C】48、假设随机变量的分布未知.但已知则落在内的概率不小于（）A.B.C.D.正确答案：【D】49、设矩阵其中均为4维列向量，且已知行列式，则行列式（）A. 25B. 40C. 41D. 50正确答案：【B】50、设向量组可由向量组线性表示，则（）A. 当时，必线性相关B. 当时，必线性相关C. 当时，必线性相关D. 当时，必线性相关正确答案：【D】一、单选(每题参考分值2.5分)1、在假设检验中，设服从正态分布，未知，假设检验问题为，则在显著水平下，的拒绝域为（）A.B.C.D.正确答案：【B】2、设，如果方程组无解，则（）A.B.C. 或D. 任意实数正确答案：【A】3、设连续随机变量X的概率密度函数为则（）A.B.C.D.正确答案：【D】4、设总体，则的矩估计和极大似然估计分别为（）A. 矩估计极大似然估计B. 矩估计极大似然估计C. 矩估计极大似然估计D. 矩估计极大似然估计正确答案：【C】5、A.B.C.D.正确答案：【C】6、设是来自总体的样本，其中已知，但未知，则下面的随机变量中，不是统计量的是（）A.B.C.D.正确答案：【D】7、设随机变量相互独立，概率密度分别为则二维随机变量的联合密度函数为（）A.B.C.D.正确答案：【A】8、设同阶方阵与相似，即存在可逆矩阵使，已知为的对应与特征值的特征向量，则的对应于特征值的特征向量是（）A.B.C.D.正确答案：【C】9、设4维向量组中的线性相关，则（）A. 可由线性表出B. 是的线性组合C. 线性相关D. 线性无关正确答案：【C】10、设总体，未知，是来自的样本，为样本均值，为样本标准差。
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武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称概率统计（A 卷）1．（15分）（1）4/7；（2）04()0Y y f y ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他;（3）112 (4)上限为(1)X n α-;（5）)1(-n n Z X2．（10分）解：设事件A 表示：“取到的产品是次品”；事件i A 表示：“取到的产品是第i 家工厂生产的”（i =123，，）。
则A A A 123 =Ω，且P A i ()>0，A A A 123、、两两互不相容，（1） 由全概率公式得∑=⋅=31)|()()(i i i A A P A P A P 40013100541100441100221=⨯+⨯+⨯=（2）由贝叶斯公式得P A A (|)1=∑=3111)|()()|()(j j j A A P A P A A P A P 13440013100221=⨯=3. （10分）解：由归一性⎰⎰∞+∞-===2)(110AAxdx dx x f 所以A =2。
即⎩⎨⎧<<=其它，，0102)(x x x f 412)()21(}21{21021====≤⎰⎰∞-xdx dx x f F X P所以)413(~，B Y ，从而}2{=Y P =64943)41(223=⨯C4. （15分）解：（1）x ≤0时，f x X ()=0；x >0时，f x X ()=f x y dy e dy e y x x(,)==--+∞-∞+∞⎰⎰故随机变量X 的密度函数f x X ()=e xx x -<≤⎧⎨⎩，，000（2）P X Y {}+≤1==--+≤⎰⎰⎰⎰f x y dxdy dx e dy y xxX Y (,)10121=+---e e 112125. （10分）解：（1）由数学期望、方差的性质及相关系数的定义得EZ 1221031)2()3()23(=⨯+⨯=+=+=Y E X E Y X E DZ =+=++D X Y D X D Y X Y ()()()()3232232Cov ， DY DX DY DX XY ρ21312213122⨯⨯++=324143)21(213124213312222=-+=⨯⨯-⨯⨯⨯+⨯+⨯=（2）Cov Cov Cov Cov ()()(,)(,)X Z X X Y X X X Y ，，=+=+13121312=+=13120DX DX DY XY ρ 从而有X 与Z 的相关系数ρXZ X Z DX DZ==Cov(,)6. （10分）证明：)(1)1(),(1)1(12111∑∑∑∑======nk k n k k n k k n k k X D n X n D X E n X n E ，由切贝雪夫不等式，得22111)(1)(11lim εεn X D X E n X n P nk k nk k n k k n ∑∑∑===∞→-≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-，根据题设条件，当∞→n 时, 1)(11lim 11≥⎭⎬⎫⎩⎨⎧<-∑∑==∞→εnk k n k k n X E n X n P ，但概率小于等于1，故马尔科夫定理成立. 7. （15分）解：（1）由于)1(~)1(222--n S n χσ，又有21221)(1S nn X X n S n i i n-=-=∑= 22)1(S n nS n-=，因此)1(~222-n nS nχσ；（2）由于)1(~/--n t nS X μ，又有1-=n S nS n ，因此)1(~1/---n t n S X n μ；（3）由),,2,1)(,(~2n i N X i =σμ得：),,2,1)(1,0(~n i N X i =-σμ，由2χ分布的定义得：)(~)(2212n Xni iχσμ∑=-.8．（15分）解：（1）2EX θ=，令2X θ=，得θ的矩估计量1ˆ2X θ=； 似然函数为：()12121,0,,,(,,,;)0n n n x x x L x x x θθθ⎧<<⎪=⎨⎪⎩，其它其为θ的单调递减函数，因此θ的极大似然估计为{}212()ˆmax ,,,n n X X X X θ==。
（2） 因为1ˆ2E EX θθ==，所以1ˆθ为θ的无偏估计量。
又因为()n X 的概率密度函数为：1()1,0()0,n n x n x f x θθθ-⎧⎛⎫<<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩其它 所以1()011n n x n EX xn dx n θθθθ-⎛⎫==⎪+⎝⎭⎰因此2ˆθ为θ的有偏估计量，而3()1ˆn n X nθ+=为θ的无偏估计量。
（3）221/12ˆ443D DX nnθθθ==⨯=，23(2)212202211ˆ11111ˆ(2)(2)3n n D DX n n x n x n dx n n D n n n nθθθθθθθθ-+⎛⎫= ⎪⎝⎭⎛⎫+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=>=≥+⎰ 于是3()1ˆn n X nθ+=比1ˆ2X θ=更有效。
二、计算题（满分10分）某厂有三条流水线A ，B ，C 生产同一产品，其产品分别占总量的40％，35％， 25％，又这三条流水线的次品率分别为0.02, 0.04，0.05。
现从出厂的产品中任取一件，问（1）恰好取到次品的概率是多少？（2）若取得次品，则该次品是流水线A 生产的概率是多少？三、计算题（满分10分）一箱子有100件产品，其中一、二、三等品分别为80件，10件，10件. 现从中随机抽取一件，记：1, 0,X ⎧=⎨⎩若抽到一等品其它 1, 0,Y ⎧=⎨⎩若抽到二等品其它求二维随机变量（X ，Y ）的联合分布律.四、计算题（满分10分）设二维随机变量（,X Y ）在由2,y x y x ==所围成的区域上服从均匀分布，求关于x 和关于y 的边缘密度函数。
五、计算题(满分10分)由100个相互独立起作用的部件组成的一个系统在运行过程中，每个部件能正常工作 的概率都为0.9.为了使整个系统能正常运行，至少必须有85%的部件在正常工作，求整 个系统能正常运行的概率。
六、计算题（满分10分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧∉∈+=)1,0(,0)1,0(,)1(),(x x x x f θθθ1θ>-为未知参数.已知12,,,n X X X 是取自总体X 的一个样本。
求：(1) 未知参数θ的矩估计量；(2) 未知参数θ的极大似然估计量；.七、计算题（满分10分）设总体X 服从N(μ, 2σ)分布，相互独立地从X 抽出容量分别为n 1与n 2的两个样本，1X 和2X 是两个样本的均值，试证明对于常数a 和b 只要a+b=1，则Y=a 1X +b 2X 就都是μ的无偏估计量，再确定a 和b 的值使a 1X +b 2X 在这一类无偏估计量中是有效估计量。
八、计算题（满分10分）有一大批糖果，现从中随机地抽取16袋，称得重量的平均值503.75x =克，样本方差 6.2022S =。
求总体均值μ的置信度为0.95的置信区间。
（0.05α=，查表附表： (1.667)0.9515Φ=，(1.645)0.95Φ=，(1.96)0.975Φ=，()0.02515 2.1315t =0.025(16) 2.120t = 0.05(15) 1.753t =，0.05(16) 1.746t =武汉理工大学教务处试题标准答案及评分标准用纸一、单项选择与填空题（每题3分 3×10=30分）1、A2、D3、B4、B5、A6、C7、198、0.79、12 10、45二、(10分) 设{}D =取得的是次品……2分:(2)()(|)()(|)()(|)()P D P D A P A P D B P B P D C P C =++0.020.40.040.350.050.250.0345=⨯+⨯+⨯=…………6分()0.008(3)(|)0.0232()0.0345P A D P A D P D ⋂===……10分三。
(10分)100.1,100=(X,Y)的可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)P{X=0,Y=0}=P{X=0,Y=1}=0.1P{X=1,Y=0}=0.8,P{X=1,Y=1}=0 …………………6分故所求的联合分布律为…………10分四、(10分) 21016xx S dydx ==⎰⎰，，2601(,)0x y x x f x y ⎧<<<<=⎨⎩，其它………4分2226()01()(,)66(),()0xX X x x x x f x f x y dy dy x x f x +∞-∞⎧-<<===-=⎨⎩⎰⎰其它…7分6(01()(,)6(()0Y Y yy y f y f x y dy dy y f y +∞-∞⎧<<⎪===-=⎨⎪⎩⎰其它 ……………10分五．设10i i X ⎧=⎨⎩１１００第个系统正常工作 Ｘ＝Ｘ＋Ｘ第ｉ个系统不正常工作………3分()1000.990,()1000.90.199085905{85}{}()0.9515333E X np D X npq X P X P ==⨯===⨯⨯=-->=>=Φ=…………… 10分六、12121ˆ()()11X X E X xf x dx x dx X X Xθθθθ+∞-∞--===∴=∴=--⎰⎰ 为所求的矩估计…………………………4分为所求的极大似然估计量 ………………10分七12()()E aX bX a b a b μμμμ+=+=+=121a b Y aX bX μ+==+故当时，为的无偏估计量..３分22222121212()()a b D aX bX a DX b DX n n σ+=+=+设22221212121212(1)()()()0,1a b a a f a n n n n n n dfa b a da n n n n -=+=+==∴=-=++可得所以，当121212,n n a b n n n n ==++时12Y aX bX =+是这类无偏估计量中的有效估计量……… 10分/20.025~(1),||(15)0.952.1315500.445507.055X X t n P t αμ⎧⎫-<=⎨⎬⎭⎩∴<∴<<………7分为所求的置信区间。
………10分1111ln (,,,)(1)(),ln()011ln()n n n n n L nL X X X X X X nX X θθθθθθ∂=+=+=∂+=--四, 计算题（满分15分）设随机变量（Y X ,）的联合密度函数为(做表打)⎩⎨⎧≤≤≤≤=.)(0,)0,10(3),(他其x y x x y x f （1）求边缘密度函数)()(y f x f Y X 与； （2）Y X 与是否相互独立？为什么？ （3）计算)1(>+Y X P 五．计算题（满分10分）盒中有7个球，其中4个白球，3个黑球，从中任抽3个球，求抽到白球数X 的数学期望()E X 和方差()D X 。