2019年6月高考全国1卷文科数学及答案

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男顾客
40
10
女顾客
30
20
（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；
（2）能否有 95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？
附： K 2
n(ad bc)2
．
(a b)(c d)(a c)(b d)
P （K2≥k）
k
0.0 50
3.8 41
0.0 10
4
b 则=
c
A．6
B．5
C．4
D．3
12 ． 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 F1(1, 0), F2 (1, 0) ， 过 F2 的 直 线 与 C 交 于 A ， B 两 点 . 若
| AF2 | 2 | F2B | ，| AB || BF1 | ，则 C 的方程为
A． x2 y2 1 2
笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；
在草稿纸、试题卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮
纸刀。
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为

x

1 1

t t
2 2
，
（t
为参数），以坐标原点
O

y

4t 1 t2
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
2 cos 3 sin 11 0 ．
（1）求 C 和 l 的直角坐标方程； （2）求 C 上的点到 l 距离的最小值．
23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分） 已知 a，b，c 为正数，且满足 abc=1．证明：
（1） 1 1 1 a2 b2 c2 ； abc
（2） (a b)3 (b c)3 (c a)3 24 ．
文科数学试题 第 4 页（共 8 页）
2019 年普通高等学校招生全国统一考试
女顾客中对该商场服务满意的比率为 30 0.6 ，因此女顾客对该商场服务满意的概率 50
的估计值为0.6．
（2） K 2 100 (40 20 30 10) 2 4.762 ． 50 50 70 30
由于 4.762 3.841，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.
上，且 A, B 关于坐标原点 O 对称，所以 M 在直线 y x 上，故可设 M (a, a) .
因为 M 与直线x+2=0相切，所以 M 的半径为 r | a 2 | .
由已知得 |AO|=2 ，又 MO AO ，故可得 2a2 4 (a 2)2 ，解得 a=0 或 a=4 . 故 M 的半径 r=2 或 r=6 . （2）存在定点 P(1, 0) ，使得 | MA | | MP | 为定值.
18．解：
（1）设an 的公差为d．
由 S9 a5 得 a1 4d 0 ．
由a3=4得 a1 2d 4 ．
于是 a1 8, d 2 ．
因此an 的通项公式为 an 10 2n ．
（2）由（1）得 a1

4d
，故 an

(n 5)d , Sn

n(n 9)d 2
14．记
Sn
为等比数列{an}的前
n
项和.若
a1

1，S3

3 4
，则
S4=___________．
15．函数 f (x) sin(2x 3π ) 3cos x 的最小值为___________． 2
16．已知∠ACB=90°，P 为平面 ABC 外一点，PC=2，点 P 到∠ACB 两边 AC，BC 的距离
AB=2，∠BAD=60°，E，M，N 分别是 BC，BB1，A1D 的中 点.
（1）证明：MN∥平面 C1DE； （2）求点 C 到平面 C1DE 的距离．
20．（12 分） 已知函数 f（x）=2sinx－xcosx－x，f ′（x）为 f（x）的导数． （1）证明：f ′（x）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若 x∈[0，π]时，f（x）≥ax，求 a 的取值范围．
理由如下：
设 M (x, y) ，由已知得 M 的半径为 r=|x+2|,|AO|=2 .
由于 MO AO ，故可得 x2 y2 4 (x 2)2 ，化简得M的轨迹方程为 y2 4x .
因为曲线 C : y2 4x 是以点 P(1, 0) 为焦点，以直线 x 1 为准线的抛物线，所以
均为 3 ，那么 P 到平面 ABC 的距离为___________．
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17~21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60 分。 17．（12 分）
某商场为提高服务质量，随机调查了 50 名男顾客和 50 名女顾客，每位顾客对该商场的 服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：
文科数学·参考答案
一、选择题 1．C2．C 3．B4．B5．D6．C 7．D8．B9．A10．D11．A12．B 二、填空题
13．y=3x 14． 5 15．−416． 2 8
三、解答题 17．解：
（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为 40 0.8 ，因此男顾客对该商 50
场服务满意的概率的估计值为0.8．
ME

1 2
B1C
.又因为N为
A1D
的中点，所以
ND

1 2
A1D
.
文科数学试题 第 5 页（共 8 页）
由题设知 A1B1∥= DC ，可得 B1C∥= A1D ，故 ME∥= ND ，因此四边形MNDE为平行四 边形， MN∥ED .又 MN 平面 C1DE ，所以MN∥平面
C1DE .
（2）过C作C1E的垂线，垂足为H.
由已知可得 DE BC ， DE C1C ，所以DE⊥平面Βιβλιοθήκη C1CE ，故DE⊥CH.
从而CH⊥平面 C1DE ，故CH的长即为C到平面 C1DE 的
距离，
由 已 知 可 得 CE=1 ， C1C=4 ， 所 以 C1E 17 ， 故
CH 4
17
.
17
从而点C到平面 C1DE
的距离为
4 17 17
D． {1，6, 7}
3．已知 a log2 0.2, b 20.2 , c 0.20.3 ，则
A． a b c
B． a c b
C． c a b
D． b c a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度
之比是 5 1 （ 5 1 ≈0.618，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳
A
1 C．A= 1 2A D．A=1 1
2A
10．双曲线
C：
x2 a2

y2 b2
1(a

0, b

0) 的一条渐近线的倾斜角为
130°，则
C
的离心率为
A．2sin40°
B．2cos40°
1 C． sin50
1 D． cos50
1 11．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 asinA－bsinB=4csinC，cosA=－ ，
.
20．解：
（1）设 g(x) f (x) ，则 g(x) cos x x sin x 1, g(x) x cos x .
当
x

(0,
π 2
)
时，
g(
x)

0
；当
x


π 2
,
π

时，
g(
x)

0
，所以
g
(
x)
在
(0,
π 2
)
单调递
增，在

π 2
,
π

B． x2 y2 1 32
C． x2 y2 1 43
D． x2 y2 1 54
文科数学试题 第 2 页（共 8 页）
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．曲线 y 3(x2 x)ex 在点 (0, 0) 处的切线方程为___________．
项是符合题目要求的。
1．设
z

3i 1 2i
，则
|
z
|
=
A．2
B． 3
C． 2
D．1
2．已知集合U {1, 2,3, 4,5,6,7} ， A {2, 3, 4, 5} ， B {2, 3, 6, 7} ，则 B ðU A
A． {1, 6}
B． {1, 7}
C． {6, 7}
D．815 号学生
7．tan255°=
A．－2－ 3
B．－2+ 3
C．2－ 3
D．2+ 3
8．已知非零向量 a，b 满足 a =2 b ，且（a–b） b，则 a 与 b 的夹角为
π
A．
6
π
B．
3
2π
C．
3
5π
D．
6