2020数学(理)总复习课件：巧用6招秒杀选择、填空题
2020版高三数学二轮复习(全国理)讲义：专题九 第六讲填空题的解题方法
.3sin＝4. ＝－4命题方向2 特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量.但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时.可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理.从而得出探求的结论．为保证答案的正确性.在利用此方法时.一般应多取几个特例．例2 抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F .其准线经过双曲线x2a2－y2b2＝1(a >0.b >0)的左顶点.点M 是这两条曲线的一个交点.且|MF |＝2p .则双曲线的渐近线方程为y ＝±62x . [解析] 由抛物线的定义可知.点M 到准线x ＝－p 2＝－a 的距离就是|MF |＝2p .不妨设点M 在第一象限.则点M 的横坐标为3p 2.代入y 2＝2px .得点M (3p 2.3p ).即M (3a,23a ).代入x2a2－y2b2＝1.得b2a2＝32.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±62x . 『规律总结』特例法的理论依据：若对所有值都成立.那么特殊值也成立．我们可以利用填空题不需要过程、只需要结果这一“弱点”.“以偏概全”来求解．G 跟踪训练en zong xun lian如图.在△ABC 中.点M 是BC 的中点.过点M 的直线与直线AB 、AC 分别交于不同的两点P 、Q .若AP →＝λAB →.AQ →＝μAC →.则1λ＋1μ＝2. [解析] 由题意可知.1λ＋1μ的值与点P 、Q 的位置无关.而当直线PQ 与直线BC 重合时.则有λ＝μ＝1.所以1λ＋1μ＝2. 命题方向3 图象分析法－1 x(上根的个数为4.数.即函数g(x)＝4cos2x2cos⎝⎛⎭⎪⎫π2－x－2sin x＝sin2x与h(x)＝|ln(x＋1)|的图象交点个数．分别画出其函数图象的草图如图所示.由图可知.函数g(x)与h(x)的图象有2个交点．命题方向4 构造法用构造法解填空题的关键是由条件和结论的特殊性构造出数学模型.从而简化推导与运算过程．构造法是建立在观察联想、分析综合的基础之上的.首先应观察题目.观察已知(例如代数式)形式上的特点.然后积极调动思维.联想、类比已学过的知识及各种数学结构、数学模型.深刻地了解问题及问题的背景(几何背景、代数背景).从而构造几何、函数、向量等具体的数学模型.达到快速解题的目的．例4 (1)如图.已知球O的球面上有四点A.B.C.D.DA⊥平面ABC.AB⊥BC.DA＝AB＝BC＝2.则球O的体积等于6π.[解析]如图.以DA.AB.BC为棱长构造正方体.设正方体的外接球球O的半径为R.则正方体的体对角线长即为球O的直径.所以CD＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R.所以R＝62.故球O的体积V＝4πR33＝6π.(2)已知f(x)为定义在(0.＋∞)上的可导函数.且f(x)>xf′(x)恒成立.则不等式x2f(1x)－f(x)>0的解集为( C )A．(0,1) B．(1,2)C．(1.＋∞) D．(2.＋∞)命题方向5 正反互推法多选型问题给出多个命题或结论.要求从中选出所有满足条件的命题或结论.这类问题要求较高.涉及图形、符号和文字语言.要准确阅读题目.读懂题意.通过推理证明.命题或结论之间正反互推.相互印证.也可举反例判断错误的命题或结论．例5 对于函数f (x )＝⎩⎨⎧ sinx ，sinx ≤cosx ，cosx ，sinx>cosx ，给出下列四个结论： ①该函数是以π为最小正周期的周期函数；②当且仅当x ＝π＋k π(k ∈Z )时.该函数取得最小值－1；③该函数的图象关于x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称； ④当且仅当2k π<x <π2＋2π(k ∈Z )时.0<f (x )≤22. 其中正确结论的序号是③④.(请将所有正确结论的序号都填上)[解析] 如图所示.作出f (x )在区间[0,2π]上的图象．由图象易知.函数f (x )的最小正周期为2π；在x ＝π＋2k π(k ∈Z )和x ＝3π2＋2k π(k ∈Z )时.该函数都取得最小值－1.故①②错误．由图象知.函数图象关于直线x ＝5π4＋2k π(k ∈Z )对称；当且仅当2k π<x <π2＋2k π(k ∈Z )时.0<f (x )≤22.故③④正确． 『规律总结』正反互推法适用于多选型问题.这类问题一般有两种形式.一是给出总的已知条件.判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查.主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同.前者需要扣住已知条件进行分析.后者需要独立利用知识逐项进行判断.利用正反互推结合可以快速解决这类问题．G 跟踪训练en zong xun lian 已知f (x )为定义在R 上的偶函数.当x ≥0时.有f (x ＋1)＝－f (x ).且当x ∈[0,1)时.f (x )＝log 2(x ＋1).给出下列命题：①f (2 017)＋f (－2 018)的值为0；②函数f (x )在定义域上是周期为2的周期函数；③＋4<2.1＋4＋9<3.1＋4＋9＋16<4.个不等式为1＋122＋132＋…＋1n2＋1(n ＋1)2<2n ＋1n ＋1.。
2020年高考数学(理)总复习：等差数列与等比数列(原卷版)
2020年高考数学（理）总复习：等差数列与等比数列题型一 等差、等比数列的基本运算 【题型要点】方程思想在等差(比)数列的基本运算中的运用等差(比)数列的通项公式、求和公式中一共包含a 1、d (或q )、n 、a n 与S n 这五个量，如果已知其中的三个，就可以求其余的两个．其中a 1和d (或q )是两个基本量，所以等差数列与等比数列的基本运算问题一般先设出这两个基本量，然后根据通项公式，求和公式构建这两者的方程组，通过解方程组求其值，这也是方程思想在数列问题中的体现．【例1】等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 2a 5＝2a 3，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5等于( )A ．29B ．31C ．33D ．36【例2】．{}a n 是公差不为0的等差数列，满足a 24＋a 25＝a 26＋a 27，则该数列的前10项和S 10等于( )A ．－10B ．－5C ．0D ．5【例3】．已知递增数列{a n }对任意n ∈N *均满足a n ∈N *，aa n ＝3n ，记b n ＝a 2·3n －1(n ∈N *)，则数列{b n }的前n 项和等于( )A ．2n ＋nB ．2n ＋1－1 C.3n ＋1－3n2D.3n ＋1－32题组训练一 等差、等比数列的基本运算1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 5＝4，S 15＝60则a 20等于( ) A ．4 B ．6 C ．10 D ．122．在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 8＋a 10)＝36，则a 6等于( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．33．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝30，S 4＝120，设b n ＝1＋log 3a n ，那么数列{b n }的前15项和为( )A ．152B ．135C ．80D ．16 题型二 等差、等比数列的性质及应用 【题型要点】(1)解决此类问题的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形．【例4】已知数列{a n }，{b n }满足b n ＝log 2a n ，n ∈N *，其中{b n }是等差数列，且a 8·a 2 008＝14，则b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2 015等于( ) A ．log 22 015B ．2 015C ．－2 015D ．1 0082．各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝10，S 12＝130，则S 8等于( ) A ．－30 B ．40 C ．40或－30D ．40或－503．等比数列{a n }的首项为32，公比为－12，前n 项和为S n ，则当n ∈N *时，S n －1S n的最大值与最小值之和为( )A ．－23B ．－712C.14D.56题组训练二 等差、等比数列的性质及应用1．在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2－7x ＋12＝0的两根，则a 1a 17a 9的值为( )A ．2 3B ．4C ．±2 2D ．±4 2．设公差为d 的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝1，－217<d <－19，则当S n 取最大值时n 的值为________．3．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 016＋a 2 017＞0，a 2 016·a 2 017＜0，则使前n 项和S n＞0成立的最大正整数n 是( )A ．2 016B ．2 017C ．4 032D ．4 033题型三 等差、等比数列的综合问题 【题型要点】关于等差、等比数列的综合问题多属于两者运算的综合题以及相互之间的转化，关键是求出两个数列的基本量：首项和公差(或公比)，灵活运用性质转化条件，简化运算，准确记忆相关的公式是解决此类问题的关键．【例3】已知等差数列{a n }的公差为－1，且a 2＋a 7＋a 12＝－6. (1)求数列{a n }的通项公式a n 与前n 项和S n ；(2)将数列{a n }的前4项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{b n }的前3项，记{b n }的前n 项和为T n ，若存在m ∈N *，使对任意n ∈N *，总有S n <T m ＋λ恒成立，求实数λ的取值范围．题组训练三 等差、等比数列的综合问题已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ·a n ＋1＝n⎪⎭⎫⎝⎛21，记T 2n 为{a n }的前2n 项的和，b n ＝a 2n ＋a 2n －1，n ∈N *.(1)判断数列{b n }是否为等比数列，并求出b n ； (2)求T 2n .题型四 数列与其他知识的交汇 【题型要点】数列在中学教材中既有相对独立性，又有较强的综合性，很多数列问题一般转化，特殊数列求解，一些题目常与函数、向量、三角函数、解析几何等知识交汇结合，考查数列的基本运算与应用．【例4】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB →＝a 1OA →＋a 2 016OC →，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 2 016等于( )A ．1 007B ．1 008C ．2 015D ．2 016题组训练四 数列与其他知识的交汇1．在由正数组成的等比数列{a n }中，若a 3a 4a 5＝3π，则sin(log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 7)的值为( )A.12B.32C ．1D ．－322．已知各项都为正数的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n的最小值为( )A.32B.53C.256D.433．艾萨克·牛顿(1643年1月4日－1727年3月31日)英国皇家学会会长，英国著名物理学家，同时在数学上也有许多杰出贡献，牛顿用“作切线”的方法求函数f (x )的零点时给出一个数列{}x n 满足x n ＋1＝x n －f (x n )f ′(x n )，我们把该数列称为牛顿数列．如果函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)有两个零点1,2，数列{}x n 为牛顿数列，设a n ＝ln x n －2x n －1，已知a 1＝2，x n >2，则{}a n 的通项公式a n ＝________.【专题训练】 一、选择题1．等比数列{a n }中，a 4＝2，a 7＝5，则数列{lg a n }的前10项和等于( ) A ．2 B ．lg 50 C ．10D ．52．在正项等比数列{a n }中，已知a 3a 5＝64，则a 1＋a 7的最小值为( ) A ．64B ．32C ．16D ．83．一个等比数列的前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列的项数是( )A ．13B ．12C ．11D ．104．在数列{a n }中，若a 1＝2，且对任意正整数m ，k ，总有a m ＋k ＝a m ＋a k ，则{a n }的前n 项和S n 等于( )A ．n (3n －1)B.n (n ＋3)2C ．n (n ＋1)D.n (3n ＋1)25．记S n 为正项等比数列{a n }的前n 项和，若S 12－S 6S 6－7·S 6－S 3S 3－8＝0，且正整数m ，n满足a 1a m a 2n ＝2a 35，则1m ＋8n的最小值是( ) A.157 B.95 C.53D.756．数列{}a n 是以a 为首项，b 为公比的等比数列，数列{}b n 满足b n ＝1＋a 1＋a 2＋…＋a n (n ＝1,2，…)，数列{}c n 满足c n ＝2＋b 1＋b 2＋…＋b n (n ＝1,2，…)，若{}c n 为等比数列，则a ＋b 等于( )A. 2 B ．3 C. 5 D ．6二、填空题7．数列{a n }的通项a n ＝n 2·⎪⎭⎫ ⎝⎛-3sin 3cos22ππn n ，其前n 项和为S n ，则S 30＝________. 8．已知数列{a n }满足a 1＝2，且a n ＝2na n －1a n －1＋n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝________.9．在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增一十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢．问：几日相逢？( )A ．8日B ．9日C ．12日D ．16日10．数列{log k a n }是首项为4，公差为2的等差数列，其中k >0，且k ≠1.设c n ＝a n lg a n ，若{c n }中的每一项恒小于它后面的项，则实数k 的取值范围为________．三、解答题11．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且S n ＝2a n －3n (n ∈N *)． (1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)是否存在常数λ，使得数列{a n ＋λ}为等比数列？若存在，求出λ的值和通项公式a n ；若不存在，请说明理由．12.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n －1＝3(a n －1)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足a n ＋1＝⎪⎭⎫⎝⎛23a n ·b n ，若b n ≤t 对于任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围．。
高考数学填空题蒙题技巧
高考数学填空题蒙题技巧
高考数学填空题蒙题技巧如下：
1. 排除法。
根据题设和有关知识，排除明显不正确选项。
2. 数形结合法。
根据数量关系的通常表现形式——表格、图像、曲线等，用形作为手段，数作为基础，其直观性一目了然，而且可以把冗长的文字表述简化。
3. 特殊值检验法。
对于具有一般性的数学问题，有时通过特殊值代入验证能快捷、简捷地得出答案。
4. 极限推理法。
有些题目，从一般条件出发不易推出结论，则可以考虑使用极限思维法。
5. 跳跃法。
比如有一道选择题，当中有很多项都是对的，只是其中的一项错了，而你又不知道是那一项错了，那么可以采用跳跃法来得到正确答案。
6. 特征法。
根据试题的特征，如形式、结构、比例、图形、排列、方法等，运用数形结合、数学运算、逻辑推理进行判断或选择。
7. 概率法。
有些题目可以通过计算可能性的大小来帮助判断选项，如计算事件A发生的概率P(A)，若P(A) > 1/2则选项A正确。
8. 直接法。
有些题目可以直接根据题目条件得出答案，不需要额外推理或计算。
9. 整体法。
有些题目可以将整个问题看作一个整体，通过整体观察或计算来得出答案。
以上是高考数学填空题蒙题技巧，但请注意，这些技巧不能完全依赖，还是要认真学习和掌握数学知识，提高自己的数学能力。
攻略二第1讲“六招”秒杀选择题
|2 3－0| ∴点 F 到渐近线的距离 d＝ ＝ 3. 3＋1 答案：A
[规律方法] 1.特例法具有简化运算和推理的功效， 比较适用于题目中含字母或具有一般性结论的选择题． 2．特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理．
第二， 若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结 论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求 解．
技法 3：淘汰(排除)法 排除法 ( 淘汰法 ) 是充分利用选择题有且只有一个正 确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排 除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．
[例 3] (1)(2016· 全国Ⅰ卷)函数 y＝2x2－e|x|在[－2， 2]的图象大致为( )
(2)(2015· 湖北卷)设 x∈R，定义符号函数
攻略二
解题技法
招招致胜
第 1 讲 “六招”秒杀选择题
选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道 理”，其基本解答策略是：充分利用题干和选项所提供 的信息作出判断，先定性后定量，先特殊后推理，先间 接后直接，先排除后求解．
解答选择题的常用方法主要分直接法和间接法两大 类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高 考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但 时间不允许，甚至有些题目根本无法解答．因此，我们 还要研究解答选择题的一些间接法的应用技巧．总的来 说，选择题属于小题，尽量避免“小题大做”．在考场 上，提高了选择题的解题速度，也是一种得分．
解析：(1)复数 z1，z2 在复平面内对应的点关于虚轴对 称，且 z1＝1－2i， ∴z2＝－1－2i， z2 －1－2i （－1－2i）（1＋2i） 3－4i 则 ＝ ＝ ＝ ， z1 1－2i 5 （1－2i）（1＋2i） z2 4 因此 的虚部为－ . z1 5
高考数学二轮专题复习与策略课件第2部分 专题讲座2 一、填空题求解的6种妙招精选ppt版本
类型六 等价转化法 等价转化是把未知解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要 的思想方法，通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规 范甚至模式化、简单的问题．
设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的 夹角为π6，则||bx||的最大值等于 ________.
解决这类问题的关键是找准归纳对象．如m的位置在最高次幂的系数位置， 因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行归纳；p是cos2 α的系数，所以从 cos2 α的系数入手进行归纳．n却不能从cos4 α的系数入手进行归纳，因为第①个式 子中没有cos4 α，缺少归纳的特征项．
[变式训练5] 已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝ f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，
64 [∵a1，a2，a5成等比数列，∴a22＝a1a5， ∴(1＋d)2＝1×(4d＋1)，∴d2－2d＝0. ∵d≠0，∴d＝2. ∴S8＝8×1＋8×2 7×2＝64.]
直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目 的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用， 将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
观察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测，m－n＋p＝________.
填空题的解法技巧
填空题的解法技巧第2讲填空题的解法技巧题型概述填空题是一种只要求写出结论，不要求解答过程的客观性试题，有小巧灵活、覆盖面广、跨度大等特点，突出考查准确、严谨、灵活运用知识的能力．由于填空题不像选择题那样有备选提示，不像解答题那样有步骤得分，所填结果必须准确、规范，因此得分率较低，解答填空题的第一要求是“准”，然后才是“快”、“巧”，要合理灵活地运用恰当的方法，不可“小题大做”．方法一直接法直接法就是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的方法解决问题．直接法是求解填空题的基本方法．例1(1)(2015·湖南)在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示∴sin 2A sin C ＝2×34×74378＝1. 答案 (1)4 (2)1 思维升华 利用直接法求解填空题要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．跟踪演练1 (1)(2015·韶关联考)已知椭圆x 28＋y 2＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点P 在椭圆上，则|PF 1|·|PF 2|的最大值是________．(2)已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根tan α，tan β，且α，β∈(－π2，π2)，则α＋β＝________. 方法二 特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(特殊函数，特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程． 例2 (1)如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝_____________________________________.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，若方程f (x )＝m (m >0)在区间[－8,8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________.解析 (1)把平行四边形ABCD 看成正方形，则点P 为对角线的交点，AC ＝6，则AP →·AC→＝18. (2)此题考查抽象函数的奇偶性，周期性，单调性和对称轴方程，条件多，将各种特殊条件结合的最有效方法是把抽象函数具体化．根据函数特点取f (x )＝sin π4x ， 再由图象可得(x 1＋x 2)＋(x 3＋x 4)＝(－6×2)＋(2×2)＝－8.答案 (1)18 (2)－8思维升华 求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．跟踪演练2 (2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 方法三 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．例3 (1)已知点P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≥0，|x |－y －1≤0，则x 2＋y 2－6x ＋9的取值范围是________________________________________________________________________．(2)已知函数f(x)＝x|x－2|，则不等式f(2－x)≤f(1)的解集为________．解析(1)画出可行域如图，所求的x2＋y2－6x＋9＝(x－3)2＋y2是点Q(3,0)到可行域上的点的距离的平方，由图形知最小值为Q到射线x－y－1＝0(x≥0)的距离d的平方，∴d2min＝(|3－0－1|12＋(－1)2)2＝(2)2＝2.最大值为点Q到点A的距离的平方，∴d2max＝16. ∴取值范围是[2,16]．(2)函数y＝f(x)的图象如图，由不等式f(2－x)≤f(1)知，2－x≤2＋1，从而得到不等式f(2－x)≤f(1)的解集为[－1，＋∞)．答案(1)[2,16](2)[－1，＋∞)思维升华数形结合法可直观快捷得到问题的结论，充分应用了图形的直观性，数中思形，以形助数．数形结合法是高考的热点，应用时要准确把握各种数式和几何图形中变量之间的关系．跟踪演练3(1)(2015·山西大学附中月考)若方程x 3－3x ＝k 有3个不等的实根，则常数k 的取值范围是_________________________________________________________．(2)(2015·兰州一中期中)设函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0.若f (－4)＝f (0)，f (－2)＝－2，则函数y ＝g (x )＝f (x )－x 的零点个数为________．方法四 构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例4 (1)如图，已知球O 的球面上有四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝AB ＝BC ＝2，则球O 的体积等于________．(2)e416，e525，e636(其中e为自然对数的底数)的大小关系是________________．解析(1)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以|CD|＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R，所以R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.(2)由于e416＝e442，e525＝e552，e636＝e662，故可构造函数f(x)＝e xx2，于是f(4)＝e416，f(5)＝e525，f(6)＝e636.而f′(x)＝(e xx2)′＝e x·x2－e x·2xx4＝e x(x2－2x)x4，令f′(x)>0得x<0或x>2，即函数f(x)在(2，＋∞)上单调递增，因此有f(4)<f(5)<f(6)，即e416<e525<e636.答案(1)6π(2)e416<e525<e636思维升华构造法解题的关键是由条件和结论的特征构造数学模型．在立体几何中，补形构造是常用的解题技巧，构造法实质上是转化与化归思想在解题中的应用．跟踪演练4已知三个互不重合的平面α、β、γ，α∩β＝m，n⊂γ，且直线m、n不重合，由下列三个条件：①m∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③m ⊂γ，n∥β.能推得m∥n的条件是________．方法五归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例5(1)(2014·陕西)观察分析下表中的数据：多面体面数(F)顶点数(V)棱数(E)三棱柱569 五棱6610锥立方6812体猜想一般凸多面体中F，V，E所满足的等式是_____________________________．(2)用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：按照上面的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．解析(1)观察F，V，E的变化得F＋V－E＝2.(2)观察题图①，共有8根火柴，以后依次增加6根火柴，即构成首项为8，公差为6的等差数列，所以，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n ＋2.答案(1)F＋V－E＝2(2)6n＋2思维升华归纳推理法主要用于与自然数有关的结论，这类问题是近几年高考的热点，解题的关键在于找准归纳对象及其规律，如数列中项与项数之间的对应关系．跟踪演练5观察下列各个等式：13＝1；23＝3＋5；33＝7＋9＋11；43＝13＋15＋17＋19；…若某数m3按上述规律展开后，发现等式右边含有“2 016”这个数，则m＝________.方法六正反互推法多选型问题给出多个命题或结论，要求从中选出所有满足条件的命题或结论．这类问题要求较高，涉及图形、符号和文字语言，要准确阅读题目，读懂题意，通过推理证明，命题或结论之间互反互推，相互印证，也可举反例判断错误的命题或结论．例6已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x＋1)＝－f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)＝log2(x＋1)，给出下列命题：①f(2 013)＋f(－2 014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y＝x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(－1,1)．其中正确的命题序号有________．解析根据题意，可在同一坐标系中画出直线y ＝x和函数f(x)的图象如下：根据图象可知①f(2 013)＋f(－2 014)＝0正确，②函数f(x)在定义域上不是周期函数，所以②不正确，③根据图象确实只有一个交点，所以正确，④根据图象，函数f(x)的值域是(－1,1)，正确．答案①③④思维升华正反互推法适用于多选型问题，这类问题一般有两种形式，一是给出总的已知条件，判断多种结论的真假；二是多种知识点的汇总考查，主要覆盖考点功能．两种多选题在处理上不同，前者需要扣住已知条件进行分析，后者需要独立利用知识逐项进行判断．利用正反互推结合可以快速解决这类问题．跟踪演练6给出以下命题：①双曲线y22－x2＝1的渐近线方程为y＝±2x；②命题p：“∀x∈R＋，sin x＋1sin x≥2”是真命题；③已知线性回归方程为y^＝3＋2x，当变量x增加2个单位，其预报值平均增加4个单位；④设随机变量ξ服从正态分布N(0,1)，若P(ξ>1)＝0.2，则P(－1<ξ<0)＝0.6；⑤已知22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋1 1－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式的规律，得到一般性的等式为nn－4＋8－n(8－n)－4＝2(n≠4)．则正确命题的序号为________(写出所有正确命题的序号)．知识方法总结六招拿下填空题：(一)直接法(二)特例法(三)数形结合法(四)构造法(五)归纳推理法(六)正反互推法填空题突破练A组专题通关1．已知集合A＝{x，xy，lg(xy)}，B＝{0，|x|，y}，若A＝B，则x＝________，y＝________.2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≤1，x 2－2x ＋2，x >1，若关于x 的函数g (x )＝f (x )－m 有两个零点，则实数m 的取值范围是________．3．已知函数f (x )＝sin(π3x ＋π3)(x >0)的图象与x 轴的交点从左到右依次为(x 1,0)，(x 2,0)，(x 3,0)，…，则数列{x n }的前4项和为________．4．(2015·杭州外国语学校期中)设a ＞0，在二项式(a －x )10的展开式中，含x 的项的系数与含x 4的项的系数相等，则a 的值为________．5．已知P 为抛物线y 2＝4x 上一个动点，Q 为圆x 2＋(y －4)2＝1上一个动点，那么点P 到点Q 的距离与点P 到抛物线的准线距离之和的最小值是________．6．已知a ＝ln 12 013－12 013，b ＝ln 12 014－12 014，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为________．7．观察下列不等式：1＋122＜321＋122＋132＜531＋122＋132＋142＜74……照此规律，第五个不等式为_____________________________________________．8．若函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意的x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集是________．9．(2015·珠海模拟)已知函数f (x )＝(12)x －sin x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数为________．10．整数数列{a n }满足a n ＋2＝a n ＋1－a n (n ∈N *)，若此数列的前800项的和是2 013，前813项的和是2 000，则其前2 014项的和为________．11．设命题p ：2x －1x －1≤0，命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)<0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．12．(2015·山东)执行下边的程序框图，输出的T 的值为________.B 组 能力提高13．已知函数f (x )是定义在实数集R 上的不恒为零的偶函数，且对任意实数x 都有xf (x ＋1)＝(1＋x )f (x )，则f (52)＝________. 14．已知O 是坐标原点，点M 的坐标为(2,1)，若点N (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≤2，x ≥12，y ≥x 上的一个动点，则OM →·ON→的最大值是________． 15．设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x >0，4x ，x ≤0，则f [f (－1)]＝________.若函数g(x)＝f(x)－k存在两个零点，则实数k的取值范围是________．16．已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的投影有可能是：①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．在上面的结论中，正确结论的序号是________．(写出所有正确结论的序号)学生用书答案精析第2讲 填空题的解法技巧跟踪演练1 (1)8 (2)－34π或π4解析 (1)由椭圆的定义知|PF 1|＋|PF 2|＝42，∴|PF 1|·|PF 2|≤(|PF 1|＋|PF 2|2)2＝8，(当且仅当|PF 1|＝|PF 2|时取等号)∴|PF 1|·|PF 2|的最大值是8.(2)由已知可得tan α＋tan β＝－3a ，tan αtan β＝3a ＋1，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝－3a 1－(3a ＋1)＝1， 因为α，β∈(－π2，π2)， 所以－π<α＋β<π，所以α＋β＝－34π或π4. 跟踪演练2 1解析 ∵f (1)＝f (－1)，∴ln(1＋a ＋1)＋ln(－1＋a ＋1)＝0，∴ln a ＝0，∴a ＝1.经验证a ＝1符合题意．跟踪演练3 (1)(－2,2) (2)3解析 (1)设f (x )＝x 3－3x ，令f ′(x )＝3x 2－3＝0，得x ＝±1，当x <－1时，函数f (x )单调递增，当－1<x <1时，函数f (x )单调递减，当x >1时，函数f (x )单调递增，f (－1)＝2，f (1)＝－2，要有三个不等实根，则直线y ＝k 与y ＝f (x )的图象有三个交点，∴－2<k <2.(2)由f (－4)＝f (0)，得16－4b ＋c ＝c .由f (－2)＝－2，得4－2b ＋c ＝－2.联立两方程解得b ＝4，c ＝2.于是，f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋4x ＋2，x ≤0，2，x >0. 在同一直角坐标系内，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝x 的图象，知它们有3个交点，即函数g (x )有3个零点．跟踪演练4①③解析构建长方体模型，如图，观察选项特点，可优先判断条件②：取平面α为平面ADD′A′，平面β为平面ABCD，则直线m为直线AD.因为m∥γ，故可取平面γ为平面A′B′C′D′，因为n⊂γ且n∥β，故可取直线n为直线A′B′. 则直线AD与直线A′B′为异面直线，故m与n不平行．对于①：α、β取②中平面，取平面γ为平面BCC′B′，可取直线n为直线BC，故可推得m∥n；对于③：α，β取②中平面，取γ为平面AB′C′D，取直线n为直线B′C′，故可推得结论．跟踪演练545解析某数m3按上述规律展开后，等式右边为m 个连续奇数的和，由于前4行的最后一个数分别为1＝12＋0,5＝22＋1,11＝32＋2,19＝42＋3，所以m3的最后一个数为m2＋(m－1)，因为当m＝44时，m2＋(m－1)＝1 979，当m＝45时，m2＋(m －1)＝2 069，所以要使等式右边含有“2 016”这个数，则m＝45.跟踪演练6①③⑤解析①由y22－x2＝0可以解得双曲线的渐近线方程为y＝±2x，正确．②命题不能保证sin x，1sin x为正，故错误；③根据线性回归方程的含义正确；④P(ξ>1)＝0.2，可得P(ξ<－1)＝0.2，所以P(－1<ξ<0)＝12P(－1<ξ<1)＝0.3，故错误；⑤根据验证可知得到一般性的等式是正确的．填空题突破练1．－1－1解析由A＝B知需分多种情况进行讨论，由lg(xy)有意义，则xy>0.又0∈B＝A，则必有lg(xy)＝0，即xy＝1.此时，A＝B，即{0,1，x}＝{0，|x|，y}．∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝|x |，xy ＝1，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，xy ＝1，|x |＝1，解得x ＝y ＝1或x ＝y ＝－1.当x ＝y ＝1时，A ＝B ＝{0,1,1}与集合元素的互异性矛盾，应舍去；当x ＝y ＝－1时，A ＝B ＝{0，－1,1}满足题意，故x ＝y ＝－1.2．(1,2]解析 g (x )＝f (x )－m 有两个零点等价于函数f (x )与函数y ＝m 的图象有两个交点，作出函数的图象如图，由图可知m 的取值范围是(1,2]．3．26解析 令f (x )＝sin(π3x ＋π3)＝0， 则π3x ＋π3＝k π(k ∈N *)， ∴x ＝3k －1(k ∈N *)，∴x1＋x2＋x3＋x4＝3(1＋2＋3＋4)－4＝26. 4．1解析T k＋1＝C k10(－x)k a10－k，令k＝2时，x的系数为C210a8，令k＝8时，x4的系数为C810a2，∴C210a8＝C810a2，即a＝1，故答案为1.5.17－1解析点P到抛物线的准线距离等于点P到抛物线焦点F(1,0)的距离．圆心坐标是(0,4)，圆心到抛物线焦点的距离为17，即圆上的点Q到抛物线焦点的距离的最小值是17－1，这个值即为所求．6．a＞b＞c解析令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝1x－1＝1－xx.当0＜x＜1时，f′(x)＞0，即函数f(x)在(0,1)上是增函数．∵1＞12 013＞12 014＞12 015＞0，∴a＞b＞c.7．1＋122＋132＋142＋152＋162<1168．{x |x >0}解析 构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x －1，求导得到g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )－1]．由已知f (x )＋f ′(x )>1，可得g ′(x )>0，所以g (x )为R 上的增函数．又g (0)＝e 0·f (0)－e 0－1＝0，所以e x ·f (x )>e x ＋1，即g (x )>0的解集为{x |x >0}．9．2解析 因为函数f (x )＝(12)x －sin x ，则 f (x )在[0,2π]上的零点个数等于函数y ＝(12)x 与函数y ＝sin x 在区间[0,2π]内的交点的个数，在同一坐标系中画出上述两个函数的图象如图所示，由图象可知，两函数在区间[0,2π]内有两个不同的交点，所以函数f (x )在[0,2π]上的零点个数为2.10．987解析 a 3＝a 2－a 1，a 4＝a 3－a 2，a 5＝a 4－a 3，a 6＝a 5－a 4，a 7＝a 6－a 5，…，∴a 1＝a 7，a 2＝a 8，a 3＝a 9，a 4＝a 10，a 5＝a 11，…，{a n }是以6为周期的数列，且有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝0，S 800＝a 1＋a 2＝2 013，S 813＝a 1＋a 2＋a 3＝2 000，a 3＝－13， ∴⎩⎨⎧a 1－a 2＝13，a 1＋a 2＝2 013， ∴a 2＝1 000，S 2 014＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 2＋a 3＝1 000＋(－13)＝987.11．[0，12) 解析 由2x －1x －1≤0，得12≤x <1； 由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)<0，得a <x <a ＋1.因为p 是q 的充分不必要条件，所以⎩⎨⎧ 12>a ，1≤a ＋1，解得0≤a <12. 12.116解析 当n ＝1时，T ＝1＋⎠⎜⎛01x 1d x ＝1＋⎪⎪⎪⎪12x 210＝1＋12＝32；当n ＝2时，T ＝32＋⎠⎜⎛01x 2d x ＝32＋⎪⎪⎪⎪13x 310＝32＋13＝116；当n ＝3时，结束循环，输出T ＝116. 13．0解析 由题意知f (－12)＝f (12)． 令x ＝－12可得－12f (12)＝12f (－12)，∴f (12)＝－f (－12)， 故f (12)＝0， 又令x ＝12可得12f (32)＝32f (12)， ∴f (32)＝0，同理可得f (52)＝0. 14．3解析 OM →·ON→＝2x ＋y ，如图：当直线2x ＋y ＝z 经过点(1,1)时，达到最大值，z max ＝3.15．－2 (0,1]解析 f [f (－1)]＝f (4－1)＝f (14)＝log 214＝－2. 令f (x )－k ＝0，即f (x )＝k ，设y ＝f (x )，y ＝k ，画出图象，如图所示，函数g (x )＝f (x )－k 存在两个零点，即y ＝f (x )与y ＝k 的图象有两个交点，由图象可得实数k 的取值范围为(0,1]．16．①②④解析 用正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1实例说明A 1D 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相平行，AB 1与BC 1在平面ABCD 上的投影互相垂直，BC 1与DD 1在平面ABCD 上的投影是一条直线及其外一点，故①②④正确．。
高考数学策略五：巧用6招秒杀选择、填空题
高考数学策略五：巧用6招秒杀选择、填空题选择题、填空题是高考必考的题型，共占80分，因此，探讨选择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的．选择题的特点是灵活多变、覆盖面广，且答案就在给出的选项中．而填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间分，所以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的特点决定选择题及填空题会有一些独到的解法.解法1 直接法【典例1】(1)设复数z 满足z (1＋i)＝i －3，则复数z i 的实部为( )A ．－2B ．2C ．－1D ．1(2)将函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是( )A ．y ＝2cos 2xB ．y ＝2sin 2xC ．y ＝1＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 D ．y ＝cos 2x (1)A (2)A [(1)由z (1＋i)＝i －3，得z ＝i －31＋i ＝－1＋2i ，所以z i ＝－1－2i i ＝－2＋i.故z i 的实部为－2，选A.(2)函数y ＝sin 2x 的图象向左平移π4个单位得y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2，再向上平移1个单位得y ＝sin2x ＋π2＋1＝1＋cos 2x ＝2cos 2x .]1．直接法是解答客观题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运算正确必须得出正确的答案，解题时要多角度思考问题，善于简化计算过程，快速准确得到结果．2．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．【链接高考1】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－2)，c ＝(1，λ)．若c ∥(2a ＋b )，则λ＝________.(2)(2019·全国卷Ⅱ)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝____________. (1)12 (2)－3 [(1)由题意得2a ＋b ＝(4,2)，因为c ∥(2a ＋b )，c ＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝12.(2)当x >0时，－x ＜0，f (－x )＝－e －ax .因为函数f (x )为奇函数，所以当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝e －ax ，所以f (ln 2)＝e －a ln 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＝8，所以a ＝－3.] 解法2 特值法【典例2】 (1)如图，在三棱柱的侧棱A 1A 和B 1B 上各有一动点P ，Q 满足A 1P ＝BQ ，过P ，Q ，C 三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( )A ．3∶1B ．2∶1C ．4∶1 D.3∶1(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等差数列，则cos A ＋cos C 1＋cos A cos C＝________. (1)B (2) 45 [(1)将P ，Q 置于特殊位置：P →A 1，Q →B ，此时仍满足条件A 1P ＝BQ ，则有V CAA 1B ＝V A 1ABC ＝13V ABCA 1B 1C 1，V A 1C 1CBB 1＝23V ABCA 1B 1C 1，所以截后两部分的体积比为2∶1.(2)取特殊值a ＝3，b ＝4，c ＝5，则cos A ＝45，cos C ＝0，从而cos A ＋cos C1＋cos A cos C ＝45.]特值法应注意的问题特值法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特值法解选择题时，要注意以下两点：第一，取特值尽可能简单，有利于计算和推理；第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.【链接高考2】(2015·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝e x (2x －1)－ax ＋a ，其中a ＜1，若存在唯一的整数x 0使得f (x 0)＜0，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，1B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－32e ，34 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，34 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32e ，1 D [设g (x )＝e x (2x －1)，h (x )＝ax －a .∵g ′(x )＝e x (2x ＋1)，∴当x ＜－12时，g ′(x )＜0；当x ＞－12时，g ′(x )＞0，∴当x ＝－12时，[g (x )]min ＝－2e －12.∵g (1)＝e ，g (0)＝－1，g (－1)＝－3e －1，h (1)＝0，h (0)＝－a ，h (－1)＝－2a ， 又∵a ＜1，∴－a ＞－1.∴当x ＝0时，g (0)＜h (0)．由题意存在唯一整数x 0，使得g (x 0)＜h (x 0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥h (1)，g (－1)≥h (－1)，∴－3e －1≥－2a ，∴a ≥32e .又∵a ＜1，∴32e ≤a ＜1.经检验a ＝34符合题意．故选D.]解法3 排除法(淘汰法)【典例3】 如图，半径为1的圆O 中，A ，B 为直径的两个端点，点P 在圆上运动，设∠BOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0,2π]上的图象大致为( )A [以角度为变量的三角函数图象是弯曲的，排除C ，D ；当∠BOP ＝π2时，y ＝f (x )＝22＜3，排除B.选A.]对于以选择题出现的函数图象问题，宜用排除法处理，排除法的主要依据有函数的定义域、单调性、奇偶性、图象的变换，特殊值，图象趋势等.一般先考虑奇偶性，再考虑特殊值或者图象趋势.【链接高考3】(2018·全国卷Ⅲ)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )D [当x ＝0时，y ＝2，排除A ，B.由y ′＝－4x 3＋2x ＝0，得x ＝0或x ＝±22，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1,1)上有三个极值点，所以排除C ，故选D.]解法4 图解法(数形结合法)【典例4】(1)若函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，且当x ∈[1,3]时，f (x )＝－x 2＋4x －3，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ log 8x ，x ＞0，－1x，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－3,3]上的零点的个数为( )A ．2B ．4C ．6D ．8(2)已知△ABC 的三个顶点的坐标满足如下条件：向量＝(2,0)，＝(2,2)，＝(2cos α，2sin α)，则∠AOB 的取值范围为________．(1)B (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12 [(1)因为f (x ＋1)＝－f (x )，所以f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，所以函数f (x )是以2为最小正周期的周期函数．在区间[－3,3]上，函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数，就是方程f (x )＝g (x )的根的个数，即函数f (x )和g (x )的图象的交点的个数．于是，在同一平面直角坐标系内分别画出函数f (x )和g (x )的图象(如图)，则由图可知：在区间[－3,3]上两个函数的图象共有4个交点，故选B.(2)由||＝(2cos α)2＋(2sin α)2＝2，可知点A 的轨迹是以C (2,2)为圆心，2为半径的圆．过原点O 作圆的切线，切点分别为M ，N ，如图所示， 连接CM ，CN ，则向量与的夹角θ的取值范围是[∠MOB ，∠NOB ]．由图可知∠COB ＝π4，因为||＝22，由||＝||＝12||，知∠COM ＝∠CON ＝π6，所以∠BOM ＝π4－π6＝π12，∠BON ＝π4＋π6＝5π12，所以π12≤θ≤5π12，故∠AOB 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，5π12.] 图解法就是根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，借助几何图形的直观性作出正确的判断，习惯上也叫数形结合法，常用于函数、向量、解析几何等问题中，有些选择题可通过命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，借助于图象或图形的作法、形状、位置、性质等，得出结论.【链接高考4】(1)(2016·全国卷Ⅱ)从区间[0,1]随机抽取2n 个数x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n ，构成n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近似值为( )A.4n mB.2n mC.4m nD.2m n(2)(2017·全国卷Ⅲ)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ 3x ＋2y －6≤0，x ≥0，y ≥0，则z ＝x －y 的取值范围是( )A ．[－3,0]B ．[－3,2]C ．[0,2]D ．[0,3] (1)C (2)B [(1)因为x 1，x 2，…，x n ，y 1，y 2，…，y n 都在区间[0,1]内随机抽取，所以构成的n 个数对(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )都在正方形OABC 内(包括边界)，如图所示．若两数的平方和小于1，则对应的数对在扇形OAC内(不包括扇形圆弧上的点所对应的数对)，故在扇形OAC内的数对有m个．用随机模拟的方法可得S扇形S正方形＝mn，即π4＝mn，所以π＝4mn.(2)画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示．由题意可知，当直线y＝x－z过点A(2,0)时，z取得最大值，即z max＝2－0＝2；当直线y＝x－z过点B(0,3)时，z取得最小值，即z min＝0－3＝－3.所以z＝x－y的取值范围是[－3,2]．故选B.]解法5 构造法【典例5】(1)在数列{a n}中，a1＝1，且a n＋1＝2a n＋1，则数列{a n}的通项公式是________．(2)如图，已知球O的球面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积为________．(1)a n＝2n－1(n∈N*) (2)6π[(1)由a n＋1＝2a n＋1，得a n＋1＋1＝2(a n＋1)，又a1＝1，得a1＋1＝2≠0，∴数列{a n＋1}是首项为2，公比q＝2的等比数列，因此a n＋1＝2·2n－1＝2n，故a n＝2n－1(n∈N*)．(2)如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径.∴CD＝(2)2＋(2)2＋(2)2＝2R，因此R＝62，故球O的体积V＝4πR33＝6π.]构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.【链接高考5】(2015·全国卷Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0)D．(0,1)∪(1，＋∞)A[设y＝g(x)＝f(x)x(x≠0)，则g′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0.∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数，∴g(x)的图象的示意图如图所示．当x>0，g(x)>0时，f(x)>0,0<x<1，当x<0，g(x)<0时，f(x)>0，x<－1，∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.]解法6 估算法【典例6】已知球O的直径FC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠AFC＝∠BFC＝30°，则棱锥F ABC的体积为( )A．3 3 B．2 3C. 3 D．1C [观察此题选项，发现大小差距较大，我们可以直接采用估算法，算出棱锥F ABC的体积的近似值，然后直接选取与近似值最接近的选项．作FD⊥AB，则计算S△F AB＝12AB×FD＝3154后，我们将棱锥CF AB的高h近似认为是AC，则V棱锥F ABC＝V棱锥CF AB≈13S△F AB ×AC＝13×3154×2＝152，再与选项比较，可以发现与选项C接近，所以直接选C.]若有些问题不易(有时也没有必要)进行精确的运算和判断，则可以进行估算.估算是一种数学意识，它通过合理的观察比较、猜想推理或验证，做出正确的选择.当选项差距较大且没有合适的解题思路时，我们可以通过适当的放大或者缩小部分数据估算出答案的大概范围或者近似值，然后选取与估算值最接近的选项.【链接高考6】(2019·全国卷Ⅰ)古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5－125－12≈0.618，称为黄金分割比例，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是5－12.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是( )A．165 cm B．175 cmC．185 cm D．190 cmB[设某人身高为m cm，脖子下端至肚脐的长度为n cm，则由腿长为105 cm，可得m－105105＞5－12≈0.618，解得m>169.890.由头顶至脖子下端的长度为26 cm，可得26n ＞5－12≈0.618，得n<42.071.所以头顶到肚脐的长度小于26＋42.071＝68.071.所以肚脐到足底的长度小于68.0715－12≈68.0710.618≈110.147.所以此人身高m<68.071＋110.147＝178.218.综上，此人身高m满足169.890<m<178.218.所以其身高可能为175 cm.故选B。
秒杀高考数学选择和填空的口诀和技巧
秒杀⾼考数学选择和填空的⼝诀和技巧数学在⾼中也是⾮常的难的，有很多的同学在⾼考中都是数学成绩拉分，那么秒杀⾼考数学需选择和填空的⼝诀和技巧是什么呢，请跟随⼩编来看⼀下！怎么秒杀⾼考数学需选择和填空题⽐如说，解⼀元⼆次不等式时，⼝诀“⼤于取两边，⼩于取中间”的使⽤前提是，⼆项式系数必须为正；⽐如说，椭圆的焦点三⾓形⾯积公式使⽤时，⼀定是在已知条件或者结论中出现那个特殊⾓、椭圆的标准⽅程以及⾯积；⽐如说，⾼考数学必考的⼤题之空间向量求法向量问题，⼝诀“向量上下写两遍，掐头去尾留中间，交叉相乘再相减”使⽤前⼀定需要先把平⾯⾥的两个向量的坐标计算出来；⽐如说，⾼考⽂科数学压轴题导数⾥也有⼀个“新的求根公式”，就是对三次函数的，将3进⾏到底；再⽐如说，我们数列求和时的“⼩n上吊”公式，三⾓函数诱导公式应⽤时判断正负的“全是天才”坐标系，等等。
数学作为⼀门套路最深的学科，选择东⽅优播⽼师持续给你学习技巧和⽅法，⼀定是必要且不可少的，这样才能真正事半功倍，让学习更轻松，收获更多进步。
⾼考数学秒杀公式1、向量。
做向量运算时可以利⽤物理上⽮量法的正交分解做，对解⼀些向量难题有好处。
2、四⾯体。
在三条棱两两垂直的四⾯体中，设三条棱长为abc底⾯的⾼为h，则有，1/h∧2＝1/a∧2+1/b∧2+1/c∧23、平⾯⽅程。
空间直⾓坐标系中的平⾯⽅程，先求平⾯的⼀个法向量n=（a，b，c）再取平⾯内任意⼀点A（e，f，g），则平⾯的⽅程为a（x-e）+b（y-f）+c（z-g）=0，化成⼀般式Ax+By+Cz+D=0，之后就可以解很多东西，⽐如求点M（o，p，q）到⾯距离，⽤公式d=⼁Ao+Bp+Cq+D⼁/√（A∧2+B∧2+C∧2）（类似点到直线距离公式）4、正弦、余弦的和差化积公式sinα+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]sinα-sinβ=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]cosα+cosβ=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]cosα-cosβ=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]【注意右式前的负号】以上四组公式可以由积化和差公式推导得到5、函数的周期性问题(记忆三个)：1）若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;2）若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;3）若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
V ＝V ＝13V ，V ＝23 C-AA1B
A1-ABC
ABC-A1B1C1
A1-C1CBB1
V
，所以截后两部分的体积比为 2∶1.
ABC-A1B1C1
返 首 页
(2)取特殊值a＝3，b＝4，c＝5， 则cos A＝45，cos C＝0， 从而1c＋oscoAs＋AccoossCC＝45.]
返 首 页
【典例4】(1)若函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝－f(x)，且当
log8x，x＞0， x∈[1,3]时，f(x)＝－x2＋4x－3，函数g(x)＝ －1x，x＜0，
返 首 页
∵g(1)＝e，g(0)＝－1，g(－1)＝－3e－1，h(1)＝0，h(0)＝－a，
h(－1)＝－2a，
又∵a＜1，∴－a＞－1.
∴当x＝0时，g(0)＜h(0)．
由题意存在唯一整数x0，使得g(x0)＜h(x0)，
∴gg1－≥1h≥1h，－1，
∴－3e－1≥－2a，∴a≥23e.
返
首
页
1．直接法是解答客观题最常用的基本方法．直接法适用的范围 很广，只要运算正确必须得出正确的答案，解题时要多角度思考问 题，善于简化计算过程，快速准确得到结果．
2．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基 础上的，否则一味求快则会快中出错．
返 首 页
【链接高考1】(1)(2018·全国卷Ⅲ)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－ 2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，则λ＝________.
以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，所以f(ln 2)＝e－aln 2＝12a＝8，所以 a＝－3.]
返 首 页
解法2 特值法
【典例2】 (1)如图，在三棱柱的侧棱A1A和 B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q， C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比
返 首 页
返 首 页
A [以角度为变量的三角函数图象是弯曲的，排除C，D；当 ∠BOP＝π2时，y＝f(x)＝2 2＜3，排除B.选A.]
返 首 页
对于以选择题出现的函数图象问题，宜用排除法处理，排除法 的主要依据有函数的定义域、单调性、奇偶性、图象的变换，特殊 值，图象趋势等.一般先考虑奇偶性，再考虑特殊值或者图象趋势.
返
首
页
又∵a＜1，∴23e≤a＜1. 经检验a＝34符合题意．故选D.]
返 首 页
解法3 排除法(淘汰法) 【典例3】 如图，半径为1的圆O中，A， B为直径的两个端点，点P在圆上运动，设 ∠BOP＝x，将动点P到A，B两点的距离之和表 示为x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0,2π]上的图象大 致为( )
为( )
A．3∶1
B．2∶1
C．4∶1
D. 3∶1
返 首 页
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a，b，
c成等差数列，则1c＋oscAo＋s AccoossCC＝________.
(1)B
4 (2) 5
[(1)将 P，Q 置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时
仍满足条件
A1P＝BQ，则有
D．y＝cos 2x
返 首 页
(1)A
(2)A
[(1)由z(1＋i)＝i－3，得z＝
i－3 1＋i
＝－1＋2i，所以
z i
＝－1－ i 2i＝－2＋i.
故
z i
的实部为－2，选A.
(2)函数y＝sin 2x的图象向左平移π4个单位得y＝sin2x＋π2，再向
上平移1个单位得y＝sin2x＋π2＋1＝1＋cos 2x＝2cos2x.]
(2)(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)是奇函数，且当x＜0时，f(x)＝－ eax，若f(ln 2)＝8，则a＝____________.
返 首 页
(1)
1 2
(2)－3
[(1)由题意得2a＋b＝(4,2)，因为c∥(2a＋b)，c＝
(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝12. (2)当x>0时，－x＜0，f(－x)＝－e－ax.因为函数f(x)为奇函数，所
返 首 页
【链接高考3】(2018·全国卷Ⅲ)函数y＝－x4＋x2＋2的图象大致 为( )
返 首 页
D [当x＝0时，y＝2，排除A，B.由y′＝－4x3＋2x＝0，得x＝0
或x＝±
2 2
，结合三次函数的图象特征，知原函数在(－1,1)上有三个
极值点，所以排除C，故选D.]
返 首 页
解法4 图解法(数形结合法)
返 首 页
解法1 直接法
【典例1】(1)设复数z满足z(1＋i)＝i－3，则复数
z i
的实部为(
)
A．－2
B．2
C．－1
D．1
返 首 页
(2)将函数y＝sin
2x的图象向左平移
π 4
个单位，再向上平移1个单
位，所得图象的函数解析式是( )
A．y＝2cos2x
B．y＝2sin2x
C．y＝1＋sin2x＋4π
【链接高考2】(2015·全国卷Ⅰ)设函数f(x)＝ex(2x－1)－ax＋a，其
中a＜1，若存在唯一的整数x0使得f(x0)＜0，则a的取值范围是( )
A.－23e，1
B.－23e，43
C.23e，34
D.23e，1
返 首 页
D [设g(x)＝ex(2x－1)，h(x)＝ax－a. ∵g′(x)＝ex(2x＋1)， ∴当x＜－12时，g′(x)＜0；当x＞－12时，g′(x)＞0， ∴当x＝－12时，[g(x)]min＝－2e－12.
特值法应注意的问题 特值法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或 具有一般性结论的选择题，但用特值法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特值尽可能简单，有利于计算和推理； 第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应 选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解.
返 首 页
巧用6招秒杀选择、填空题
选择题、填空题是高考必考的题型，共占80分，因此，探讨选 择题、填空题的特点及解法是非常重要和必要的．选择题的特点是 灵活多变、覆盖面广，且答案就在给出的选项中．而填空题是一种 只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，不设中间 分，所以要求所填的是最简最完整的结果．解答选择题、填空题 时，对正确性的要求比解答题更高、更严格．它们自身的特点决定 选择题及填空题会有一些独到的解法.