3[1][1].6导数在经济学中的简单应用
导数在经济学中的简单应用(课堂PPT)
C 10 C 10 140 14万元 万件 14元 件
10 10
即在产量Q 10万件时，每件产品的成本为14元.
根据边际成本理论得 CQ 0.06Q2 0.8Q 6，于是生产10万件产品
时的边际成本是 C10 0.06 102 0.810 6 4元 件
从这里可以看出，在生产水平为10万件的基础上，再多生产1件产品， 总成本将增加4元，比14元/件的成本要低.因此，单纯从降低平均成本的 角度来看，应该提高产品的生产产量.
新 的 生 产 资 源 原 材 料 、 燃 料 、 劳 动 力 等 .使 生 产 资 源 得 到 最 充 分
的 利 用 ， 也 就 是 产 品 的 平 均 成 本 最 低 ?
2
解
:
由
1的
讨
论
可
知
，
若
C
Q
0
C
Q
0
，
则
在
产
量
为
Q
万
0
件
的
基 础 上 ， 再 多 生 产 1件 产 品 ， 总 成 本 增 加 C Q0 元 ， 比 当 前 每 件
(2) 边际成本、边际收益、边际利润是经济学中最常见的几个 重要边际经济量，常用于分析生产状况、制定生产计划。
3
一、边际与边际分析
3、边际分析
对 于 经 济 函 数 f ( x ) ， 设 经 济 变 量 x 在 点 x 0 有 一 个 改 变 量 x ， 则 经 济 变 量 y 在 y 0 f ( x 0 ) 处 有 相 应 的 改 变 量
16
2解：由RQ 102Q知，当Q25吨时，边际收益大于零，
5
总收益随着销售量的增加，说明市场还有需求；当Q25吨时， 边际收益等于零，说明市场上该产品已经饱和.当Q25吨时，
毕业论文 导数在经济学中的应用
1 引言对经济学家来说，对其经济环节进行定量分析是非常必要的，而将数学作为分析工具，不仅可以给企业经营者提供客观、精确的数据，而且在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角，也是数学应用性的具体体现[1]。
因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化。
导数的概念是从良多现实的科学问题抽象而发生的,在经济剖析、经济抉择妄想、经济打点中,有着普遍的应用意义[2]。
其作为数学剖析课程中最主要的根基概念之一,反映了一个变量对另一个变量的转变率。
在经济学中，也存在转变率问题，如：边际问题和弹性问题。
运用导数可以对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者科学决策提供量化依据。
导数在经济领域中的应用非常之泛，其中“边际”和“弹性”是导数在经济分析应用中的两个重要概念。
随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，而导数是高等数学中的重要概念，是经济分析的重要工具。
把经济活动中一些现象归纳到数学领域中，用数学知识进行解答，对很多经营决策起了非常重要的作用。
数学在现代经济学中的作用越来越重要，导数作为高等数学中的一个重要概念，是经济学应用的一个重要工具[3]。
导数在经济学中有许多应用，其中边际分析、弹性分析是导数在经济学中的两个重要应用。
如今许多企业在判断一项经济活动对企业的利弊时，仅仅依据它的全部成本。
而我认为还应当依据它所引起的边际收益与边际成本的比较。
在讨论经济问题时绝对数分析问题常常被作为首要因素考虑。
我认为应当进一步研究相对变化率。
总而言之，当代研究文学中分别研究了弹性和边际函数对经济的影响，缺乏从总体上深入研究经济过程中每个环节中导数的应用情况。
在商品经济活动中进行编辑分析和弹性分析是非常重要的，导数作为边际分析与弹性分析的工具，可以为企业决策者做出合理的决策。
在此我想用导数作为分析工具，对每个经济环节进行定量分析。
经济数学微积分导数在经济学中的简单应用
总成本函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称 为边际收益（函数）.
3.边际利润
总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为 边际收益（函数）.
由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以
即边际利润为边际收益与边际成本之差.
边际利润的情形分析 >0,表示再销售1个单位 产品，总利润的增加量.
=0,表示再销售1个单位 产品，总利润不再增加.
很小时）的关
即 当需求价格弹性大于1时，应降价增加收益.
当需求价格弹性小于1时，应提价增加收益.
当需求价格弹性等于1时，当价格变化时， 总收益不变．
例9 某商品的需求量Q关于价格P的函数为 Q=50-5P
求P=2,5,6时的需求的价格弹性，并说明其 经济意义以及相应增加销售收益的策略.
解
经济意义： P=2时，价格上涨1%，需求量将下降0.25% P=5时，价格上涨1%，需求量将下降1% P=6时，价格上涨1%，需求量将下降1.5%
销售策略： 当0<P<5时，宜采取提高价格，增加收益
当5<P<10时，宜采取降低价格，增加收益
3. 供给弹性
例10 设某产品的供给函数
，求供给
弹性函数及
的供给弹性.
解
4. 收益弹性
三、小结
边际的基本概念
1、边际成本 3、边际利润
边际函数的计算
2、边际收益 4、边际需求
弹性的基本概念
1、需求弹性 3、收益弹性
弹性函数的计算
2、供给弹性
<0,表示再销售1个单位 产品,总利润的减少量.
例3 设某产品生产单位的总成本为，
求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本； (2)生产900个单位到1000个单位时的总成
导数的基本概念和意义
导数的基本概念和意义尽管导数在我们的日常生活中并不常见，但它在数学和物理学等学科中却扮演着重要的角色。
导数是微积分的一个基本概念，它描述了函数在某一点上的变化率。
本文将探讨导数的基本概念和意义，并讨论它在实际应用中的重要性。
一、导数的定义导数可以被定义为函数在某一点上的变化率。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果在某一点x上，函数的值发生微小的变化Δx，那么相应的函数值的变化量为Δf。
导数可以用以下公式表示：f'(x) = lim(Δx→0) [Δf/Δx]这个公式可以被解释为：当Δx趋近于0时，函数f(x)在x点上的变化率接近于Δf/Δx。
导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
二、导数的几何意义导数在几何上有着重要的意义。
对于一个函数f(x)，它的导数f'(x)可以被理解为函数曲线在某一点上的切线的斜率。
切线是曲线在该点附近的近似直线，而导数正是切线的斜率。
通过计算导数，我们可以了解函数在不同点上的斜率情况，从而揭示函数曲线的变化趋势。
三、导数的物理意义导数在物理学中也有着重要的应用。
例如，对于一个物体在某一时刻的位置函数x(t)，它的导数x'(t)可以表示物体在该时刻的速度。
速度是位置随时间变化的导数，它描述了物体在单位时间内移动的距离。
同样地，加速度可以被定义为速度随时间的导数。
导数的物理意义不仅限于运动学，它还可以应用于其他物理量的研究。
例如，对于一个物体的质量函数m(t)，它的导数m'(t)可以表示物体在该时刻的质量变化率。
导数可以帮助我们理解物体在不同时刻的质量变化情况，从而揭示物体的增长或减少趋势。
四、导数的计算方法计算导数是微积分中的重要内容。
对于简单的函数，我们可以通过求导法则来计算导数。
例如，对于多项式函数f(x) = ax^n，其中a和n为常数，它的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = anx^(n-1)对于更复杂的函数，我们可以使用链式法则、乘积法则和商法则等来计算导数。
导数在经济学中的应用
引言近年来，随着市场经济的不断发展、经济的不断繁荣，经济活动中的实际问题也愈加复杂，简单的分析已经不足以满足企业管理者对经济分析的需求。
因此，有必要将高等数学应用于简单的数学函数所不能解决的实际经济问题中，对其进行定量分析，这使得高等数学在解决经济问题中占据重要地位。
而导数作为高等数学中的重要概念，同样也是解决经济问题的一个有力工具。
在高等数学中，导数通常被用于判断函数的单调性，求函数的最值、极值等。
在实际经济问题中，导数可作为经济分析的工具，广泛地应用到经济研究和企业管理之中，促进经济理论朝着更加精确的方向发展。
本文从边际分析，弹性分析，优化分析三个方面论述导数在经济分析方面的应用。
1、导数的概念2、经济分析中常用的函数由于导数主要应用于探究经济领域中出现的一些函数关系问题，所以，我们必需对经济分析中的一些常用的函数具有一定的了解，以便更好的理解和使用它们。
经济分析中常用的函数主要有以下四类：2.1需求函数需求函数指在特定的时间内，各种可能的价格条件下，消费者愿意并且能够购买该商品的数量。
（出处？）为了使问题简单化，我们一般假设需求函数的诸多自变量中除价格外其他均为常量，则函数表示为()P f Qd =，其中，P 为商品的价格，Q d 为商品的需求量。
这个函数表示一种商品的需求量与价格之间存在一一对应的关系，并且通过观察可以知道商品（除某些抵挡商品、某些炫耀性商品、某些投资性商品除外）的需求量与价格成反方向变动关系，即商品本身价格上升，需求量随之减少，反之亦然。
例1：服装店销售某种衬衫的件数Q 与价格P 是线性关系，当价格为100元一件时，可销售120件，当价格为80元时，可销售200件，求需求函数。
解:设衬衫的件数与价格的函数关系为：b aP Q +=则b a +=100120；b a +=80200解得4-=a ；520=b所以需求函数为5204+-=P Q 。
2.2供给函数一种商品的供给函数，是指单个生产者在一定时期内在各种可能的价格下，愿意且能够提供出售的该种商品数量。
3.6__导数与微分在经济学中的简单应用
益均无明显影响;
当p 3时, p 3, 为高弹性, 降价总收益将增加.
, 总利润无增加.
二、弹性
弹性是反映一种变量 y 对于另一种变量 x 的微 小百分比变动所作反应的概念，
y y
x x
y 或 lim x 0 y
x x
例4 ( 需求价格弹性) 设人们对某商品的需求量为 Q , 其价格为 p, 则人们对该商品的需求价格弹性 p dQ Ep Q dp
边际利润.
且L( x ) R( x ) C ( x )
边际利润L x0 表示了 在生产量x0基础上, 经济含义：
多卖出一单位 产品所近似增加的利润 .
注： 特殊地, 若R x0 0, 则 在x0基础上多卖出一单位产品, 总收入无增加.
若L x0 0, 则
§3.6 导数与微分在经济学中 的简单应用
一、边际分析
二、弹 性
本节要点提示：
10 深刻理解经济函数的边 际与弹性的经济意义及 数学定义. 2 （） 2 0 熟练求解常见的边际并合理解释其经济含义熟练求解需求 , ;
价格弹性, 正确判定其弹性类型对其结果进行合理经济 （） , 解释. 3
30 了解弹性分析在经济问 题中的一些实际应用 2 （） .
因此
由上例知，
1 p Q . R 1 Ep
当 E p 1时, 提价意味着 p 0 , Q 0 ,
这时 R 0， 说明提价会降低收益 ; 降价意味着 p 0 , Q＞0 , 这时 R 0， 说明降价会增加收益.
例7 设某种商品的需求函数 400 100 p, 求p 1, 2, Q 3时的需求弹性.并给以适当的经济解释 .
导数知识点归纳总结
导数知识点归纳总结一、导数的定义1. 导数的几何意义导数描述了函数在某一点的切线斜率，即函数曲线在该点的瞬时变化率。
在几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点的切线斜率，它表示了函数在该点的瞬时变化情况。
2. 导数的代数定义设函数y=f(x)，在x=a处可导的充分必要条件是改点的柯西收敛序列极限为相同的值。
这个值就是在点a处的导数。
它是一个数值，常常用f'(a)表示。
3. 导数的表示导数通常用f'(x)、dy/dx或y'表示。
4. 导数的图形意义导数的图形意义是函数在某点处的导数等于该点处的切线的斜率，即在该点函数的线性增长率。
二、导数的性质1. 导数存在性函数在某点可导的充分必要条件是函数在该点连续，连续函数一定可以导。
2. 导数的基本性质导数满足加法性、乘法性、常数法则、幂法则、反函数法则、复合函数法则、分段函数法则等性质。
三、求导法则1. 基本函数的导数包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数的导数。
2. 导数的四则运算导数的四则运算包括两个导数相加、导数与常数相乘、导数的乘积法则、导数的商法则。
3. 高阶导数函数的二阶导数为对其一阶导数进行求导，即f''(x)=(f'(x))'，依次类推，得到高阶导数。
四、导数的应用1. 导数在最值问题中的应用y=f(x)在[a,b]上可导，且在[a,b]的端点不可导，则y=f(x)在[a,b]上有最大值和最小值，它们一般在驻点或者在区间的端点。
2. 导数在凹凸性与拐点判别中的应用y=f(x)的凹凸性和拐点以及弯曲率的研究，主要利用f''(x)的正负性和零点。
3. 导数在函数图形的创作中的应用利用导数的计算公式，可以绘制函数的图形，描绘函数的特点，掌握图形的整体特征。
4. 导数在微分中的应用微分可以看作函数的变化量，它与导数之间有着密切的联系。
微分和导数的关系可以帮助我们求解函数的变化率、近似值、极限值等问题。
导数的基本运算与应用
导数的基本运算与应用导数是微积分中的重要概念，通过研究函数在某点附近的变化率，可以帮助我们了解函数的性质和行为。
导数的基本运算包括求导法则，而导数的应用则广泛涉及到各个领域，例如物理、经济学和工程学等。
本文将探讨导数的基本运算和应用，帮助读者更好地理解和运用导数。
一、导数的定义和求导法则导数的定义是函数在某一点处的变化率，可以用极限的方式来表示。
对于函数f(x)，它在点x处的导数可以表示为f'(x)或者dy/dx。
求导法则是求导数的一些基本规则，下面是几个常用的求导法则：1. 常数法则：如果f(x) = c，其中c是一个常数，那么f'(x) = 0。
2. 幂函数法则：如果f(x) = x^n，其中n是正整数，那么f'(x) =nx^(n-1)。
3. 和差法则：如果f(x) = g(x) ± h(x)，那么f'(x) = g'(x) ± h'(x)。
4. 乘积法则：如果f(x) = g(x)h(x)，那么f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)。
5. 商法则：如果f(x) = g(x)/h(x)，那么f'(x) = [g'(x)h(x) -g(x)h'(x)]/h(x)^2。
6. 链式法则：如果f(x) = g(h(x))，那么f'(x) = g'(h(x))h'(x)。
通过使用求导法则，我们可以计算更复杂函数的导数。
然而，在应用导数之前，我们需要了解导数的物理意义和实际应用。
二、导数的物理意义导数不仅是函数的变化率，还可以表示函数的斜率。
对于函数y=f(x)，导数f'(x)可以表示曲线在某一点的切线斜率。
在物理学中，速度和加速度的概念可以通过导数来描述。
例如，我们考虑一个物体的位移函数x(t)，其中t表示时间。
物体的速度可以表示为x'(t)，即位移函数的导数。
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2.5
1,
若价格上涨1%, 其需求量的减少将高于1%,因而总收益将减少
【3-6-12】
作业：
设某商品的需求量q对价格p的函数为q 25e3p ,
试求当p 4时的边际需求及需求价格弹性
结束
【3-6-13】
个人收集整理，仅供交流学习！
个人收集整理，仅供交流学习！
y x
x y
y
x
【3-6-6】
2 需求价格弹性
若需求量为q，价格为p，则需求价格弹性为：
q
Ep
lim
p0
q p
p q
dq dp
p
dq q
dp p
Ep,或
q q
p p
Ep
由于需求量q是价格p的单减函数，Ep一般为负数
含义为:当价格上升一个百分点时， 需求量将下降Ep 个百分点
x) 2
x10
11
【3-6-2】
2 边际收益 （1）概念：在某一销售量时多销售一件产品增加的收益。
（2）解析式：设需求函数为：p=p(q),(q为销量,p为单价）则收益函数为：
R R(q) q p(q)
边际收益为： MR R(q) dR dq
（3）分析： R(q 1) R(q) R(q)
§3.6 导数与微分在经济学中的简单应用
一、边际分析 1 边际成本 （1）概念：在某一产量时多生产一件产品的成本。 （2）解析式：设成本关于产量的函数为：C=C(q),则边际成本为：
MC C(q) dC dq
（3）分析： C(q q) C(q) C(q)q
C(q 1) C(q) C(q)
而E p
p q
dq ,qdp dp
pdq Ep
dR pdq pdq Ep
边际收益MR dR (1 1 ) p (1 1 )P
dq
Ep
Ep
R (1 1 ) pq Ep
【3-6-9】
（2）分析：
当 E p 1时 :
有1 1 0 Ep
若提价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益下降
（3）分析：
L(q 1) L(q) L(q)
【3-6-5】
二 弹性
1 概念：一种变量y对于另一种变量x的微小百分比变动所作的反应，即当x 有某一百分比的变动，则y有什么趋势的多大跨度的变动，称为y对x的弹性。 记为：
y
y x
x
或
y
Ex
lim
x0
y x
lim
x0
x y
（4）举例
设某商品的价格p关于需求量q的函数为p 10 q , 5
求当p 6时的总收益,平均收益和边际收益.
【3-6-3】
解：
p 10 q q 50 5 p,当p 6时, q 20, 5
总收益R(q) pq 10q q2 , R(20) 120, 5
【3-6-7】
3 需求收入弹性
设人们的收入为M，对某商品的需求量为q，则一般来说q随M单调递增， 需求收入弹性为：
EM
M q
dq dM
dq q
dM M
EM
,
或
q q
M M
EM
含义为 :当收入增加一个百分点 时， 需求量将上升 EM 个百分点
【3-6-8】
4 边际与弹性的关系
（1）关系： R pq( p),dR pdq qdp,
【3-6-1】
（4）举例
设生产某商品x个单位的成本函数为C(x) 100 6x x2 , 4
求当x 10时的总成本,平均成本和边际成本
解： 总成本为C(10) 185,
平均成本为C(10) C(10) 18.5, 10
边际成本为C(10)
(C(x))
x10
(6
【3-6-10】
5 弹性举例
例1 已知某商品的需求价格函数为q 1400(1)p ,求该商品的 4
需求价格弹性函数及当p 10时的需求价格弹性
解：
Ep
p q( p) q
1400(ln 4) p(1) p 4
1400(1) p
p ln 4
4
Ep p10 10ln 4 20ln 2
平均收益R(20) R(20) 6 20
边际收益R(20)
(10
2q ) 5
q20
2
【3-6-4】
3 边际利润 （1）概念：在某一销售量时多销售一件产品增加的利润。
（2）解析式：利润函数为：
L L(q) R(q) C(q) qp(q) C(q)
边际利润为：
ML L(q) dL dq
【3-6-11】
例2 设某商品的需求价格函数为q=42-5p，求（1）边际需求函数 和需求价格弹性，（2）当p=6时，若价格上涨1%，总收益是增加还是 减少？
解： (1)边际需求函数为q 5,
需求价格弹性为Ep
p q
q5Biblioteka p 42 5 p(2)Ep
p6
5 6 42 5 6
若降价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益上升
当 E p 1时 : 有1 1 0 Ep
若提价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益上升 若降价，则有： p 0, q 0,此时R 0,收益下降
从而企业可以根据具体情况采用降价或提价来增加收益。