福建福州市2015年中考数学试卷(解析版)

合集下载

2015福建福州中考数学解析

2015年福建省福州市中考数学试卷（全卷共4页，三大题，26小题；满分150分；考试时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分，满分30分；每小题只有一个正确选项．）1．（2015福建省福州市，1，3分）a的相反数是（）A．|a| B．1aC．－a D．a【答案】C【考点解剖】本题考查了相反数，解题的关键是正确理解相反数的概念．【解题思路】将a前面添加“－”，即可得到a的相反数．【解答过程】解：根据相反数的定义知，a的相反数是－a，故选择C.【易错点津】此类问题容易出错的地方是混淆绝对值、倒数和相反数的概念，造成错选．【思维模式】对于一个数，主要是由符号和绝对值构成的，符号相反绝对值相等的两个数是互为相反数．【点评】虽然相反数是一个简单的概念，但字母的相反数比具体数字的相反数要抽象一些，更能看出考生是否理解相反数的概念，不是简单无聊的送分题．【试题难度】★【关键词】相反数2．（2015福建省福州市，2，3分）下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB∥CD的是（）A．B．C．D．【答案】B【考点解剖】本题考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，解题的关键是掌握准确识别证明AB∥CD所需的内错角．【解题思路】根据平行线的判定，逐项判断，识别.【解答过程】解：A、D两项中，∠1和∠2是同旁内角，同旁内角相等，两直线不一定平行；B项正确；C项中，∠1和∠2是内错角，但由∠1＝∠2只能得到AD∥BC，不能得到AB∥CD．故选择B.【易错点津】此类问题容易出错的地方是错选C项，因为C项中∠1和∠2是内错角．【思维模式】逐项检查∠1和∠2是不是AB、CD的同位角、内错角．【试题难度】★【关键词】内错角；平行线的判定3．（2015福建省福州市，3，3分）不等式组12xx≥-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【答案】A【考点解剖】本题考查了不等式组的解法并在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是会寻找两个不等式解集的公共部分．【解题思路】先确定不等式组的解集，然后分别在数轴上表示x≥－1和x＜2．x≥－1实心x＜2空心．【解答过程】解：不等式组12xx≥-⎧⎨<⎩的解集是－1≤x＜2，解集在数轴上的表示为A，故选择A .【易错点津】此类问题容易出错的地方是不注意解集在数轴上表示的时候是空心点还是实心点．【方法规律】解决此类题的关键是能够将数、形结合起来，掌握在数轴上表示不等式解集的方法：“大于向右画，小于向左画，含有等号为实心圆点，不含等号为空心圆圈”.利用数轴表示不等式的解集通常有下列四种情况：x≥a x＞a x≤a x＜a 【试题难度】★★【关键词】不等式(组)的解集；不等式(组)的解集的表示方法4．（2015福建省福州市，4，3分）计算3.8×107－3.7×107，结果用科学记数法表示为（）A．0.1×107B．0.1×106C．1×107D．1×106【答案】D【考点解剖】本题考查了整式的运算和科学记数法，解题的关键是掌握整式的运算法则和科学记数法．【解题思路】先计算3.8×107－3.7×107，得0.1×107，然后表示成科学记数法的形式．【解答过程】解：3.8×107－3.7×107＝（3.8－3.7）×107＝0.1×107＝10-1×107＝106＝1×106，故选择D .【易错点津】此类问题容易出错的地方是以为0.1×107是最终结果导致错选A．【方法规律】把任何一个大于10的数表示成a×10n时，确定a和n有如下规律：其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这里的n可以用原数的整数数位减去1得到．【试题难度】★★【关键词】科学记数法；整式的运算法则5．（2015福建省福州市，5，3分）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（）A．扇形图B．条形图C．折线图D．直方图【答案】A【考点解剖】本题考查了扇形统计图，条形图，折线图，直方图，解题的关键是掌握各种统计图的基本特征．【解题思路】根据各种统计图的特征作出选择．【解答过程】解：A项是扇形统计图，它能够显示部分在总体中所占百分比，符合题意；B项是条形统计图，它能够清楚地显示每组数据具体数值是多少；C项是折线图，它能够反映一组数据的变化趋势；D项是直方图，它能够反映数据在各个小范围内的分布情况，故选择A.【方法规律】统计图的基本特征：条形统计图：①能够显示每组中的具体数据；②易于比较数据之间的差别．扇形统计图：①用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比；②易于显示每组数据相对于总数的大小．折线统计图：能够显示数据的变化趋势，反映事物的变化情况．直方图：①能清楚显示各组频数分布情况;②易于显示各组之间频数的差别.【试题难度】★★【关键词】扇形图；条形图；折线图；直方图6．（2015福建省福州市，6，3分）计算a·a－1的结果为（）A．－1 B．0 C．1 D．－a【答案】C【考点解剖】本题考查了同底数幂的乘法和零指数幂的意义，解题的关键是掌握同底数幂的乘法法则和零指数幂的意义．【解题思路】先算同底数幂的乘法，再根据零指数幂的意义得出结果.【解答过程】解：a·a－1＝a1－1＝a0＝1，故选择.C【易错点津】此类问题容易出错的地方是误认为a＝a0．误认为a－1＝－a，错将指数的负号当作前面的负号．【思维模式】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加计算即可．本题涉及的知识点有：①a0＝1（a≠0）；②a m·a n＝a m＋n；③a＝a1．【试题难度】★★【关键词】零指数幂；同底数幂的乘法7．（2015福建省福州市，7，3分）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A．A点B．B点C．C点D．D点【答案】B【考点解剖】本题考查了建立平面直角坐标表示轴对称，解题的关键是找到可以关于坐标轴对称的两个点．【解题思路】由于两个点关于一条坐标轴对称，坐标轴是网格线，可以发现点A、点C的对称轴经过点B，以B点为y轴，建立的平面直角坐标系，点A、点C必定关于y轴对称．【解答过程】解：观察正方形网格，得A、C两点的连线被过点B的网格线所在直线垂直平分，所以满足条件的原点是点B，故选择B.【易错点津】此类问题容易出错的地方不能准确理解题意，随意瞎做．【方法规律】本题解决问题的关键是找准成轴对称的两点，对称轴必定垂直平分对称点的所连的线段．【试题难度】★★【关键词】象限坐标特征；在坐标系或网格中求解几何图形中点的坐标；用坐标表示轴对称8．（2015福建省福州市，8，3分）如图，C，D分别是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量∠AMB的度数，结果为（）A．80°B．90°C．100°D．105°【答案】B【考点解剖】本题考查了垂直平分线的尺规作图作法，解题的关键是准确画出图形，找出图中线段间的数量关系．【解题思路】分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，实际上是线段CD的垂直平分线的作法．MA D C B由作法不难看出CA＝CM＝CB，因此∠A＝∠CMA，∠B＝∠BMC，由于∠A＋∠CMA＋∠B＋∠BMC＝180°，因此∠CMA＋∠BMC＝90°．【解答过程】解：如上图，测量∠AMB的度数为90°．故选择B .【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能准确画出图形，也就不能发现题中的数量关系．【思维模式】这是一个基本图形，CM＝CA＝CB时，∠AMB＝90°．【试题难度】★★★【关键词】中点；垂直平分线；尺规作图；等边对等角；直角三角形 9．（2015福建省福州市，9，3分）若一组数据1，2，3，4，x 的平均数与中位数相同，则实数x 的值不可能是（） A ．0 B ．2.5 C ．3 D ．5【答案】C【考点解剖】本题考查了平均数和中位数之间的关系，解题的关键是会用排除法解决问题．【解题思路】（1）当x ＝0时，平均数是2，中位数是2，符合题意；（2）当x ＝2.5时，平均数是2.5，中位数是2.5，符合题意；（3）当x ＝3时，平均数是2.6，中位数是3，不符合题意；（4）当x ＝5时，平均数是3，中位数是3，符合题意．【解答过程】解：由题意得中位数为2或x 或3. 由15（1＋2＋3＋4＋x ）＝2，得x ＝0. 由15（1＋2＋3＋4＋x ）＝x ，得x ＝2.5. 由15（1＋2＋3＋4＋x ）＝3，得x ＝5.故选择C . 【易错点津】此类问题容易出错的地方是计算错误或找中位数时没有排序．【方法规律】】将数据按由小到大的顺序重新排序后，最中间的数就是中位数，出现次数最多的就是众数．平均数公式121()n x x x x n=+++．【试题难度】★★★【关键词】平均数；中位数 10．（2015福建省福州市，10，3分）已知一个函数图象经过(1，－4)，(2，－2)两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（） A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．反比例函数 D ．二次函数【答案】D【考点解剖】本题考查了函数的增减性，解题的关键是用排除法解决问题．【解题思路】【解答过程】解：若正比例函数过(1，－4)，(2，－2)两点，则这个正比例函数不存在；若一次函数、反比例函数过(1，－4)，(2，－2)两点，那么这些函数的函数值y 随x 的增大而增大．若二次函数过(1，－4)，(2，－2)两点如下图：（2）（1）图（1）中，在对称轴的左侧，函数值y 随x 的增大而减小，图（2）中，在对称轴的右侧，函数值y 随x 的增大而减小，故选择D .【易错点津】此类问题容易不借助画图，仅凭记忆，容易记错．【方法规律】二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的性质主要从抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、函【关键词】二次函数增减性；函数图象二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．（2015福建省福州市，11，4分）分解因式a2－9的结果是______________．【答案】(a＋3)(a－3)【考点解剖】本题考查了分解因式，解题的关键是了解平方差公式特点．【解题思路】运用平方差公式分解即可.【解答过程】解：a2－9＝a2－32＝(a＋3)(a－3)【易错点津】此类问题容易出错的地方一是记错9是多少的平方；二是和完全平方公式相混淆．【思维模式】因式分解一般步骤为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四检验”，先考虑通过提公因式，套用公式法解决，不行再考虑用分组分解法进行，最后检验因式分解是否彻底正确．【试题难度】★★【关键词】分解因式；运用平方差公式12．（2015福建省福州市，12，4分）计算(x－1)(x＋2)的结果是_____________________．【答案】x2＋x－2【考点解剖】本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则．【解题思路】将第一个括号里面的每一项依次与第二个括号里面的每一项分别相乘．【解答过程】解：(x－1)(x＋2)＝x2＋2x－x－2＝x2＋x－2．【易错点津】此类问题容易出错的地方是漏乘其中一项．【方法规律】(x＋a)(x＋b)型多项式乘法：在进行计算含有一个相同字母的两个一次二项式相乘时，可借助下列公式进行快速计算：(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab．注意：（1）多项式的乘法法则，是两次运用单项式与多项式相乘的法则得到的；（2）多项式与多项式相乘，仍得多项式，在合并同类项之前，积的项数应等于两个多项式的项数之积，如(a＋b)(x＋y＋z)的项数在没合并前，应是2×3＝6项；（3）注意确定积中每一项的符号，多项式中每一项都包含它前面的符号；（4）多项式乘多项式的积中，有同类项要合并同类项．【试题难度】★★【关键词】多项式与多项式相乘13．（2015福建省福州市，13，4分）一个反比例函数图象过点A(－2，－3)，则这个反比例函数的解析式是______________．【答案】6 yx =【考点解剖】本题考查了反比例函数解析式的确定，解题的关键是会用待定系数法求反比例函数的解析式．【解题思路】先设出反比例函数的解析式，再将A (－2，－3)代入，求出解析式．【解答过程】解：设反比例函数的解析式为k y x=， ∵双曲线ky x=经过点A (－2，－3)， ∴32k-=-，解得k ＝6． ∴反比例函数的解析式为6y x=．【易错点津】此类问题容易出错的地方是混淆正比例函数和反比例函数．【方法规律】用待定系数法求反比例函数的关系式的步骤：（1）设出反比例函数的关系式ky x=(k ≠0)；（2）把已知条件(一组自变量与因变量的对应值)代入关系式，得到关于k 的方程；（3）解这个方程，求出待定系数k ；（4）将待定系数k 的值代入，得到反比例函数的关系式．确定反比例函数的关系式时，自变量的取值应使实际问题有意义．【试题难度】★★【关键词】反比例函数的表达式 14．（2015福建省福州市，14，4分）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是______________．【答案】0【考点解剖】本题考查了方差，解题的关键是熟记方差公式或掌握方差的性质．【解题思路】应用方差公式计算或应用“一列相等的数的方差为0”解题．【解答过程】解法1：121()n x x x x n=+++＝1(20152015201520152015)5++++＝2015.2222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-＝2221[(20152015)(20152015)(20152015)]5-+-++- ＝0.解法2：∵该组数据都相等，∴2s ＝0.【易错点津】此类问题容易出错的地方是错用公式或不掌握方差性质．【方法规律】（1）求方差2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-的一般步骤：①求平均数；②计算各偏差的平方；③求各偏差的平方和；④求各偏差平方的平均数．（2）方差的意义方差是度量数据波动情况的重要统计量，方差越大，数据的波动越大，即数据越不稳定；方差越小，数据的波动越小，即数据越稳定．我们需用样本方差来估计总体方差．（3）方差的变形公式如果一组数据x 1，x 2，…，x n 中，各数据的平均数是x ，那么它们的方差可用下面的公式计算：① S 2＝1n [(x 12＋x 22＋…＋x n 2)－n 2x ]，或写成S 2＝1n (x 12＋x 22＋…＋x n 2)－2x ； ②22222121[()]n S x x x nx n'''=+++-，其中'11x x a =-，'22x x a =-，…，'n n x x a =-，a 是接近这组数据的平均数的一个常数．（4）平均数、方差的运算性质①如果一组数据12,,,n x x x 的平均数是x ，方差是2S ，那么一组新数据12,,,n x b x b x b+++的平均数是x ＋b ，方差仍是2S ．②如果一组数据12,,,n x x x 的平均数是x ，方差是2S ，那么一组新数据12,,,n ax ax ax 的平均数是ax ，方差仍是22a S ，标准差是a s ．③如果一组数据12,,,n x x x 的平均数是x ，方差是2S ，那么一组新数据12,,,n ax b ax b ax b +++的平均数是ax b +，方差仍是22a S ，标准差是a s ，其中a 、b 是常数．【试题难度】★★【关键词】方差 15．（2015福建省福州市，15，4分）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示．其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm ，则正方体的体积为_______cm 3．【答案】【考点解剖】本题考查了圆内接正方形的边角关系，解题的关键是求出正方体的棱长．【解题思路】根据底面周长求出正方体的棱长，进而求出正方体的体积．【解答过程】解：设圆柱的底面半径为r ．∵圆柱底面周长为2π， ∴r ＝1．∴正方体的体积为【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能根据圆的半径，求出正方体的棱长．【方法规律】正多边形的性质（1）正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆．（2）正多边形的各边相等，各角相等．（3）正多边形都是轴对称图形，几边形就有几条对称轴，边数为偶数的正多边形也是中心对称图形．（4）正n 边形的半径和边心距把正n 边形分成2n 个全等的直角三角形．（5）正n 边形的边长为a ，半径为R ，边心距为r ，则有2222a R r ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．【试题难度】★★【关键词】圆内接四边形16．（2015福建省福州市，16，4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC △ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是______________．1【考点解剖】本题考查了等边三角形的判定、等腰直角三角形和轴对称，解题的关键是能够判断出△ACM 是等边三角形．【解题思路】连接AM ，设BM 与AC 相交于点D ，证明△ACM 是等边三角形，然后分别求出BD 和DM 的长．【解答过程】解：连接AM ，设BM 与AC 相交于点D ．∵Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC∴AC ＝2． ∵∠ACM ＝60°，AC ＝CM ＝2． ∴△ACM 是等边三角形． ∴MC ＝MA ． ∵AB ＝BC ，∴BM 垂直平分AC ． ∴DM ＝AM ×sin60°又∵BD ＝12AC ＝1， ∴BM ＝BD ＋DM1．【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能发现△ACM 是等边三角形．【方法规律】1．含60°角的等腰三角形是等边三角形；2．到线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；3. 连接AM ，构造等边三角形ACM ．【试题难度】★★★★【关键词】等腰直角三角形；等边三角形的判定；垂直平分线的判定．三、解答题（共10小题，满分96分） 17．（2015福建省福州市，17，7分）计算：20150(1)sin30(2-++．【考点解剖】本题考查了乘方、三角函数值以及二次根式的乘法，解题的关键是数量掌握这些基本运算法则．【解题思路】2015(1)1-=-，sin30°＝12，(2＝222431-=-=．【解答过程】解：原式＝11(43)2-++-12=．【易错点津】此类问题容易出错的地方是算错负数的奇次幂为正，记错特殊角的三角函数值等．【方法规律】实数的运算，需注意：（1）实数的运算顺序；（2）特殊角的三角函数值，绝对值、二次根式，乘方，零指数幂，负指数幂等知识的灵活应用；（3）运算律的灵活应用．【试题难度】★★【关键词】实数；负整数指数幂；特殊角三角形函数值；平方差；二次根式D18．（2015福建省福州市，18，7分）化简：22222 ()2a b aba b a b+-++．【考点解剖】本题考查了同分母分式的减法，解题的关键是正确运用分式运算的法则．【解题思路】同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，然后再化简约分．【解答过程】解：原式22222()2a b aba b a b+-++222222a ab b aba b++-=+2222a ba b+=+＝1．【易错点津】此类问题容易出错的地方是混淆分式本身的符号和分子的符号而运算错误．【方法规律】分式化简类题型运算的一般过程：（1）有括号先计算括号内的（加减法关键是通分）；（2）除法变为乘法；（3）分子、分母能因式分解一定要进行分解；（4）约分；（5）进行加减运算：①通分：关键是寻找公分母，②分子合并同类项．【试题难度】★★【关键词】分式的减法运算19．（2015福建省福州市，19，7分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC＝AD．【考点解剖】本题考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是找准判定全等的条件．【解题思路】要证AC＝AD，就要证△ABC≌△ABD，由于这两个三角形有公共边，设法用角边角来证明．【解答过程】证明：∵∠3＝∠4，∴∠ABC＝∠ABD．在△ABC和△ABD中，12AB ABABC ABD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC≌△ABD (ASA) ．∴AC＝AD．【易错点津】此类问题容易出错的地方是不能正确运用适当的方法来判定两个三角形全等，比如用边边角来证明两个三角形全等，这样就错了．【关键词】全等三角形；全等三角形的判定；全等三角形的性质；20．（2015福建省福州市，20，8分）已知关于x的方程x2＋(2m－1)x＋4＝0有两个相等的实数根，求m的值．【考点解剖】本题考查了利用一元二次方程根的判别式求方程中的参数，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式定理．【解题思路】根据一元二次方程有两个相等的实数根得出根的判别式等于零．【解答过程】解：∵关于x 的方程2(21)40x m x +-+=有两个相等的实数根，∴△2(21)4140m =--⨯⨯=． ∴214m -=±． ∴52m =或32m =-．【易错点津】此类问题容易出错的地方是弄错一元二次方程根的情况与根的判别式之间的关系．【归纳拓展】（1）一元二次方程根的判别式：在一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)中，代数式△＝b 2－4ac 叫做根的判别式．（2）一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的情况与根的判别式△＝b 2－4ac 之间的关系：①△＞0⇔该方程有两个不相等的实数根； ②△＝0⇔该方程有两个相等的实数根； ③△＜0⇔该方程没有实数根．【试题难度】★★【关键词】一元二次方程根的判别式21．（2015福建省福州市，21，9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球各有多少支参赛？【考点解剖】本题考查了一元一次方程或二元一次方程组的应用，解题的关键是找出能够反应题目全部含义的一个或两个相等关系．【解题思路】设参加篮球、排球各有x ，y 支参赛，根据共有48支队，以及共有520人这两个相等关系列出二元一次方程组，解方程组即可求解．【解答过程】解：方法一：设有x 支篮球队和y 支排球队参赛，由题意得481012520x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2820x y =⎧⎨=⎩．答：篮球、排球队各有28支与20支参赛．方法二：设有x 支篮球队，则有(48－x )支排球队参赛，由题意得10x ＋12(48－x )＝520，解得x ＝28．∴48－x ＝48－28＝20．答：篮球、排球队各有28支与20支参赛．【易错点津】此类问题容易出错的地方是找不出两个相等关系，也就是理解不了题目的意思．【方法规律】用方程或方程组解应用题的一般步骤如下：（1）审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及相等数量关系(这是关键)；（2）找：找出题中所有的等量关系，特别是隐含的数量关系；（3）设：设出未知数，既可设直接未知数（求什么就设什么），也可设间接未知数（一般是与所求问题有直接关系的量）；（4）列：列出方程或方程组；（5）解：解这个方程或方程组；（6）验：检验解是否符合实际意义或是否正确；（7）答：根据所得结果作出回答．【试题难度】★★【关键词】二元一次方程组的应用；一元一次方程的应用22．（2015福建省福州市，22，9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n 个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n ＝1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）（2）从袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．【考点解剖】本题考查了概率的有关计算，解题的关键是知晓如何计算简单事件的概率．【解题思路】弄清楚各种情形下的所有的等可能事件和满足一定条件的情形，然后根据概率的公式进行计算．【解答过程】解：（1）相同；（2）2；（3）由树状图可知：共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．其中两次摸出的球颜色不同（记为事件A）的结果共有10种，∴P(A)105 126 ==．【易错点津】此类问题容易出错的地方是不注意随机摸球后的放回和不放回的区别．【归纳拓展】求概率的方法．（1）直接公式法：P（A）＝mn，其中n为所有事件的总和，m为事件A发生的总次数；（2）列举（列表或画树状图）法：当一次试验涉及多个因素（对象）时，由于不能直观的得到事件A发生的次数m及总事件发生的结果数n，所以需要借助于列表或画树状图的方法来清晰的列举出来，再根据公式进行计算．一般步骤为：①判断使用列表或画树状图法：列表一般适用于两步计算概率；画树状图法适合于两步以上求概率；②不重不漏的列举出所有事件出现的可能结果，并判定每种事件发生的可能性是否相等；③确定所有可能出现的结果数n及所求事件A出现的结果m；④用公式()A mPn=求事件A发生的概率；（3）判断游戏的公平性：判断游戏的公平性是通过概率来判断的，在条件相等的前提下，如果对于参加游戏的每一个人获胜的概率相等，则游戏公平，否则不公平．【试题难度】★★【关键词】概率23．（2015福建省福州市，23，10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC tan B＝12．半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到弧DE．（1）求证：AB为⊙C的切线；（2）求图中阴影部分的面积．【考点解剖】本题考查了切线的判定以及与圆有关的阴影部分面积的计算，解题的关键是运用正确的方法判定圆的切线以及用割补法求不规则图形的面积．【解题思路】（1）用圆心到直线的距离等于圆的半径来证明直线AB是⊙C的切线；（2）用规则图形面积的代数和来表示阴影部分的面积．【解答过程】解：（1）如图所示，过点C作CF⊥AB于点F，在Rt △ABC 中，tan B 12AC BC ==，∴BC ＝2AC ＝∴5AB ===，∴25AC BC CF AB ⋅===．又∵⊙C 的半径为2，∴AB 为⊙C 的切线．（2）ABC CDE S S S ∆=-阴影扇形212360n r AC BC π=⋅- 219022360π⨯= 5π=-．【易错点津】此类问题容易出错的地方是用错扇形的面积公式．【思维模式】判定圆的切线常见思路：①若已知直线与圆的公共点，则采用判定定理法，其基本思路是：当已知点在圆上时，连接过这点的半径，证明这条半径与直线垂直即可，可简述为：有切点，连半径，证垂直；②若未知直线与圆的交点，则采用数量关系法，其基本思路是：过圆心作直线的垂线段，证明垂线段的长等于圆的半径，可简述为：无切点，作垂线，证相等．看到求不规则图形阴影部分的面积，就想到割补法，即用几个规则图形的面积相加相减可得不规则图形的面积．【试题难度】★★★【关键词】圆的切线的判定；扇形的面积；割补法求面积24．（2015福建省福州市，24，12（n操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为BH ．操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠，使点A ，点D 分别落在边AB ，CD 上，折痕为EF ．则四边形BCEF∴∠A ＝∠BFE ． ∴EF ∥AD ．∴BG BFBD AB =1BF=． ∴BF =．∴:BC BF ==．∴四边形BCEF阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH 相等的线段是，tan ∠HBC 的值是；（2）已知四边形BCEF BCMN ，如图②，求证：四边形BCMN（3BCMN 沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个”，则n 的值是．【考点解剖】以及每次折叠中图形中的数量关系和位置关系．【解题思路】矩形．【解答过程】解：（1）由轴对称的性质可知CH ＝GH ，∠BGH ＝∠C ＝90°，又由于四边形ABCD 为正方形， ∴∠BDC ＝45°．∴△DGH 为等腰直角三角形． ∴GD ＝GH ．因此第一处的答案应该是GH ，DG ．设CH ＝a ，则DH ，所以CD ＝1)a ，∴tan ∠HBC ＝1CH BC ==．1．（2）证明：∵BF =，BC ＝1，∴BD =．由折叠的性质可知：BP ＝BC ＝1，∠FNM ＝∠BNM ＝90°，则四边形BCEF 为矩形． ∴∠BNM ＝∠F ． ∴MN ∥EF ．∴BP BNBE BF =，即BP ·BF ＝BE ·BN ．2BN =． ∴BN =．。

2015年福建省福州市中考数学试卷-答案

【考点】三角形全等的判定及其应用
20.【答案】 m 5 或 m 3
2
2
【解析】解：关于 x 的方程 x2 (2m 1)x 4=0 有两个相等的实数根，
=(2m 1)2 41 4 0 ，2m 1 4 ，
的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数（含整数位上的零）。 3.8107 3.7 107 0.1107 =1106 ，故选 D。【考点】科学记数法 5.【答案】A 【解析】扇形统计图是表示部分在总体中所占百分比的统计图，故选 A。【考点】扇形图、条形图、折线图和直方图统计数据的意义 6.【答案】C 【解析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加， a a-1 1 ，故选 C。
不等式组的解集在数轴上表示的方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来（，向右画；，向左
画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表示解集的线的条数与不等式的个数一样，那
么这段就是不等式组的解集，有几个就要几个。在表示解集时“ ”“ ”要用实心圆点表示，“ ”“ ”
福建省福州市 2015 年初中毕业会考、高级中等学校招生考试
数学答案解析
第Ⅰ卷
________________ _____________
一、选择题 1.【答案】C
【解析】 a 的相反数是 a ，故选 C。
【考点】相反数 2.【答案】B 【解析】B 选项中，由 1=2 得出 AB//CD ，故选 B。【考点】平行线的判定 3.【答案】A 【解析】先利用口诀（同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小解不了）求出这些解集的公共部分。
而 k 0 ，所以在每个象限内， y 随 x 增大而增大，所以 C 选项错误，故选 D。

2015年福州数学卷

2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（全卷共4页，三大题，26小题；满分150分；考试时间：120分钟）毕业学校___________________ 姓名____________________ 考生号_________________一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确选项．） 1．a 的相反数是A ．aB ．a1C ．a -D ．a2．下列图形中，由21∠=∠能得到AB ∥CD 的是A B CD3．不等式组⎩⎨⎧-21x x 的解集在数轴上表示正确的是A B C D4．计算77107.3108.3⨯-⨯，结果用科学记数法表示为 A ．7101.0⨯ B ．6101.0⨯ C ．7101⨯D ．6101⨯ 5．下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是A ．扇形图B ．条形图C ．折线图D ．直方图 6．计算1-⋅a a 的结果为 A ．1- B ．0C ．1D ．a -7．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A ，B ，C ，D ，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是 A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点D ．D 点8．如图，C ，D 分别是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量∠AMB 的度数，结果为 A ．︒80 B ．︒90 C ．︒100 D ．︒105A B CD21A BC D12 A B C D21A B CD 12∙∙∙∙ABCD第7题≥＜友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！9．若一组数据1，2，3，4，x 的平均数与中位数相同，则实数x 的值不可能．．．是 A ．0 B ．2.5 C ．3 D ．5 10．已知一个函数图象经过（1，4-），（2，2-）两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是 A ．正比例函数 B ．一次函数 C ．反比例函数 D ．二次函数二、填空题(共6小题,每题4分，满分24分)11．分解因式92-a 的结果是___________． 12．计算)2)(1(+-x x 的结果是___________． 13．一个反比例函数图象过点A （2-，3-），则这个反比例函数的解析式是_________．14．一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是________． 15．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示．其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为cm π2，则正方体的体积为______3cm ．16．如图，在Rt △ABC 中，︒=∠90ABC ，2==BC AB ．将△ABC 绕点C 逆时针旋转︒60，得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是________．三、解答题(共10小题，满分96分) 17．（7分）计算：)32)(32(30sin )1(2015+-+︒+-． 18．（7分）化简：222222)(b a ab b a b a +-++．19．（8分）如图，21∠=∠，43∠=∠，求证：AD AC =．20．（8分）已知关于x 的方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根，求m 的值． 21．（9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？ 22．（9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n 个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当1=n 时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n 的值是________；（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．第一次第二次红绿白1 白2 绿 1 白2 红 1 白2 红白2 红白1 第19题AB CD12 3 4 A B CMN第16题第15题23．（10分）如图，Rt △ABC 中，︒=∠90C ，5=AC ，21tan =B ．半径为2的⊙C ，分别交AC ，BC 于点D ，E ，得到DE ︵．（1）求证：AB 为⊙C 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．24．（12分）定义：长宽比为1:n （n 为正整数）的矩形称为n 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为BH ．操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠，使点A ，点D 分别落在边AB ，CD 上，折痕为EF ．则四边形BCEF 为2矩形．证明：设正方形ABCD 的边长为1，则21122=+=BD .由折叠性质可知1==BC BG ，︒=∠=∠90BFE AFE ，则四边形BCEF 为矩形. ∴ BFE A ∠=∠．∴ EF ∥AD ．∴ AB BFBD BG =，即121BF =． ∴ 21=BF ．∴ 1:221:1:==BF BC . ∴ 四边形BCEF 为2矩形．阅读以上内容，回答下列问题：（1）在图①中，所有与CH 相等的线段是__________，HBC ∠tan 的值是______；（2）已知四边形BCEF 为2矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN ，如图②，求证：四边形BCMN 是3矩形；（3）将图②中的3矩形BCMN 沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“n 矩形”，则n 的值是_______．A BCD E FHG第24题图①第23题E F BCMNPQ第24题图②25．（13分）如图①，在锐角△ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 中点，F 为AC 上一点，且A AFE ∠=∠，DM ∥EF 交AC 于点M ．（1）求证：DA DM =；（2）点G 在BE 上，且C BDG ∠=∠，如图②，求证：△DEG ∽△ECF ；（3）在图②中，取CE 上一点H ，使B CFH ∠=∠，若1=BG ，求EH 的长．26．（13分）如图，抛物线x x y 42-=与x 轴交于O ，A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线m x y +=与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是______，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是_________；（2）若两个三角形面积满足PAQ POQ S S △△31=，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①DQ PD +的最大值；②DQ PD ⋅的最大值．2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试卷参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．C 2．B 3．A 4．D 5．A 6．C 7．B 8．B 9．C 10．D第25题图①第25题图②ABCDEFMABCD EFMG二、填空题（每小题4分，共24分） 11．)3)(3(-+a a 12．22-+x x 13．xy 6= 14．0 15．22 16．13+ 三、解答题(满分96分) 17．解：原式)34(211-++-= 21=． 18．解：原式2222)(b a abb a +-+=222222b a abab b a +-++=2222b a b a ++=1=． 19．证明：∵43∠=∠，∴ABD ABC ∠=∠．在△ABC 和△ABD 中 ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠.21ABD ABC AB AB ，， ∴△ABC ≌△ABD （ASA ）． ∴AD AC =．20．解：∵关于x 的方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根，∴0414)12(2=⨯⨯--=∆m ． ∴412±=-m ． ∴25=m 或23-=m ． 21．解法1：设有x 支篮球队和y 支排球队参赛，依题意得⎩⎨⎧=+=+.520121048y x y x ，AB CD12 3 4解得 ⎩⎨⎧==.2028y x ，答：篮球、排球队各有28支与20支．解法2：设有x 支篮球队，则排球队有)48(x -支，依题意得 520)48(1210=-+x x ．解得 28=x ． 20284848=-=-x ．答：篮球、排球队各有28支与20支． 22．解：（1）相同；（2）2；（3）由树状图可知：共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．其中两次摸出的球颜色不同（记为事件A ）的结果共有10种， ∴P （A ）651210==． 23．解：（1）过点C 作CF ⊥AB 于点F ，在Rt △ABC 中，21tan ==BC AC B ， ∴522==AC BC ．∴5)52()5(2222=+=+=BC AC AB ． ∴25525=⨯=⋅=AB BC AC CF ． ∴AB 为⊙C 的切线．（2）360π212r n BC AC S S S CDEABC -⋅=-=扇形△阴影 3602π90525212⨯-⨯⨯= π5-=．24．解：（1）GH ，DG ；12-；（2）证明：∵22=BF ，1=BC ， ∴2622=+=BC BF BE ．由折叠性质可知1==BC BP ，︒=∠=∠90BNM FNM ，则四边形BCEF 为矩形． ∴F BNM ∠=∠． ∴MN ∥EF ． ∴BFBNBE BP =，即BN BE BF BP ⋅=⋅． ∴2226=BN ． ∴31=BN ．∴1:331:1:==BN BC ． ∴四边形BCMN 是3矩形．（3）6．25．解：（1）证明：∵DM ∥EF ，∴AFE AMD ∠=∠． ∵A AFE ∠=∠， ∴A AMD ∠=∠． ∴DA DM =．（2）证明：∵D ，E 分别为AB ，BC 中点， ∴DE ∥AC ．∴C DEB ∠=∠，A BDE ∠=∠． ∴AFE BDE ∠=∠．∴FEC C GDE BDG ∠+∠=∠+∠． ∵C BDG ∠=∠， ∴FEC EDG ∠=∠．图①ABCD EFMAB CDFM∴△DEG ∽△ECF ．（3）如图③所示∵DEB C BDG ∠=∠=∠，B B ∠=∠， ∴△BDG ∽△BED ． ∴BDBGBE BD =，即BG BE BD ⋅=2． ∵AFE A ∠=∠，CFH B ∠=∠， ∴EFH CFH AFE C ∠=∠-∠-︒=∠180．又∵CEF FEH ∠=∠， ∴△EFH ∽△ECF ．∴EC EF EF EH =，即EC EH EF ⋅=2． ∵DE ∥AC ，DM ∥EF ， ∴四边形DEFM 是平行四边形． ∴BD AD DM EF ===． ∵EC BE =， ∴1==BG EH ．解法2：如图④，在DG 上取一点N ，使FH DN =．∵AFE A ∠=∠，CFH ABC ∠=∠，BDG C ∠=∠， ∴BDG C CFH AFE EFH ∠=∠=∠-∠-︒=∠180． ∵DE ∥AC ，DM ∥EF ， ∴四边形DEFM 是平行四边形． ∴BD AD DM EF ===． ∴△BDN ≌△EFH ．∴EH BN =，EHF BND ∠=∠． ∴FHC BNG ∠=∠．∵C BDG ∠=∠，CFH DBG ∠=∠，图②图③ABCDFGHMAB CDFHMN∴FHC BGD ∠=∠． ∴BGD BNG ∠=∠． ∴BG BN =． ∴1==BG EH ．解法3：如图⑤，取AC 中点P ，连接PD ，PE ，PH ，则PE ∥AB ．∴B PEC ∠=∠．又B CFH ∠=∠， ∴CFH PEC ∠=∠．又C C ∠=∠，∴△CEP ∽△CFH ． ∴CHCPCF CE =． ∴△CEF ∽△CPH ． ∴CHP CFE ∠=∠．由（2）可得DGE CFE ∠=∠． ∴DGE CHP ∠=∠． ∴PH ∥DG ．∵D ，P 分别为AB ，AC 的中点， ∴DP ∥GH ，BE BC DP ==21． ∴四边形DGHP 是平行四边形． ∴BE GH DP ==． ∴1==BG EH ．解法4：如图⑥，作△EHF 的外接圆交AC 于另一点P ，连接PE ，PH ．则HEF HPC ∠=∠，CPE FHC ∠=∠． ∵CFH B ∠=∠，C C ∠=∠， ∴CHF A ∠=∠．图⑤AB CDFG HMP ADFMP∴CPE A ∠=∠． ∴PE ∥AB ． ∵DE ∥AC ，∴四边形ADEP 是平行四边形． ∴AC AP DE 21==． ∴CP DE =．∵CEF GDE ∠=∠，C DEB ∠=∠， ∴CPH GDE ∠=∠． ∴△DEG ≌△PCH ． ∴HC GE =． ∴1==BG EH ．解法5：如图⑦，取AC 中点P ，连接PE ，PH ，则PE ∥AB ． ∴B PEC ∠=∠．又B CFH ∠=∠， ∴CFH PEC ∠=∠．又C C ∠=∠， ∴△CEP ∽△CFH ． ∴CHCPCF CE =． ∴△CEF ∽△CPH ． ∴CPH CEF ∠=∠．由（2）可得EDG CEF ∠=∠，DEG C ∠=∠． ∵D ，E 是AB ，AC 的中点， ∴PC AC DE ==21． ∴△DEG ≌△PCH ．图⑦AB CDFG HMP数学试题第 11 页（共 13 页）∴EG CH =． ∴1==BG EH ． 26．解：（1）2=x ；︒45；（2）设直线PQ 交x 轴于点B ，分别过点O ，A 作PQ 的垂线，垂足分别是E ，F . 显然当点B 在OA 延长线上时，PAQ POQ S S △△31=①当点B 落在线段OA 上时，如图①．31==AF OE S S PAQPOQ △△．由△OBE ∽△ABF 得31==AF OE AB OB ． ∴OB AB 3=． ∴OA OB 41=．由x x y 42-=得点A （4，0）． ∴1=OB ． ∴B （1，0）． ∴01=+m ． ∴1-=m ．②当点B 落在AO 的延长线上时，如图②．同理可得221==OA OB ． ∴B （2-，0）． ∴02=+-m ． ∴2=m ．综上所述，当1-=m 或2时，PAQ PO Q S S △△31=．（3）① 过点C 作CH ∥x 轴交直线PQ 于点H ，如图③．图②图①数学试题第 12 页（共 13 页）可得△CHQ 是等腰三角形． ∵︒=︒+︒=∠904545CDQ ， ∴AD ⊥PH ． ∴DH DQ =． ∴PH DQ PD =+．过点P 作PM ⊥CH 于点M ．则△PMH 是等腰直角三角形． ∴PM PH 2=．∴当PM 最大时，PH 最大．∵当点P 在抛物线顶点处时PM 取最大值，此时6=PM ． ∴PH 的最大值为26．即DQ PD +的最大值为26．解法2：如图④过点P 作PE ⊥x 轴，交AC 于点E ，作PF ⊥CQ 于点F ，则△PDE ，△CDQ ，△PFQ 是等腰直角三角形．设点P （x ，x x 42-），则E （x ，4+-x ），F （2，x x 42-）． ∴432++-=x x PE ，x FQ PF -==2． ∴点Q （2，252+-x x ）． ∴x x CQ 52+-=． ∴)(22CQ PE DQ PD +=+ )482(222++-=x x 26)2(22+--=x ．(0＜x ＜4)∴当2=x 时，DQ PD +的最大值为26．图④数学试题第 13 页（共 13 页）② 由①可知：DQ PD +≤26．设a PD =，则DQ ≤a -26．∴DQ PD ⋅≤18)23(26)26(22+--=+-=-a a a a a ． ∵当点P 在抛物线的顶点时，23=a ， ∴DQ PD ⋅≤18．∴DQ PD ⋅的最大值为18．附加说明：（对a 的取值范围的说明）设P 点坐标（n ，n n 42-），延长PM 交AC 于N ． PN a PD 22==)]4(4[222n n n ---=)43(222---=n n 2825)23(222+--=n ． ∵22-＜0，0＜n ＜4， ∴当23=n 时，有最大值为2825．∴0＜a ≤2825．备用图第26题图。

2015福州市中考数学试卷

年福州市初中毕业会考、髙级中等学校招生考试2015试题数学）3分，满分30分；每小题只有一个正确选项。

一、选择题（共10小题，每题的相反数是1.A B. C.-a DAB//C下列图形中，的能得2?的解集在数轴上表示正确的是3.不等式组77-3.7×10 ，结果用科学记数法表示为4.计算3.8×106776 1 C. 1 D. A.0.1 B. 0.1 10×10×××1010是分比的统计图示部分在总体中所占百5下列选项中，显图方D直 c.折线图扇形图 B.条形图 A.-1的结果为计算a·a6D-a C 1 B.0-1A线为在直原点，格线所一点为其中D，,以7如图，在3x3的正方形格中有四个格点A,B,C,角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐坐标轴，建立平面直标轴对称，则原点是点 D. D C. C点点 A.A点 B. BBC圆心，点C，D为D分別是线段AB，AC的中点，分别以图8如.，C，为数，结果度半径画弧，两弧交于点M，测量的长为AMB? 000005 1 D. C. 1009 A.80 B.09.若一组数据1,2,3,4，x的平均数与中位数相同，则实数x的値不可能是D.53C..52B. A.0．xy随都有函数值某个取值范围内，的，在自变量x (2.10.已知一个函数图像经过(1.-4)-2)两点的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是次D.二.正比例一 B.次反比例函数c.A函数函数函数分）分，满分24共(6小题.每题4二、境空题2_.9a 分解因式的结果是-11的结果是（x+2)(x-l）12计算函数的解析式例，3)则这个反比13一个反比例函数图象过点A(-2,-_201的差20114组数201201201201其部凹槽是方体，图所15个工件，部是圆柱体，方体的方体一面四都在圆柱底面的圆上，若圆柱底周23m_cAB=BC1如在02ABC?绕中，=90点0_的逆时针转60，,得到△MNC，则BM.长是C)分96三、解答题(共10小题，满分2015033.+）in30(2+(2-）（)17 (7分计算:-1)+s简:(187分)化AC=AD.=，=，求证：3?2??14?分）如图，19（82. 的值有两个相等的实数根，求的方程xm+(2m-1)+4=0)20(8分已知关于x每12人，10加篮球、排球比赛，其中每支篮球队人，每支排球队21(9分)有48支队520名运动员参一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛? 名运动员只能参加22(9分)一个不透明袋子中有1个红球,1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别.(1)当n=l时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是_(3)在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球额色不同的概率．105)如图,分23(10C?BC=90，，的AC=，tanB=，分别交。

历年中考数学试卷3.福建福州

2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（全卷共4页，三大题，26小题；满分150分；考试时间：120分钟）一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分，满分30分；每小题只有一个正确选项．）1.C 解析：将a前面添加“－”，即可得到a的相反数．点评：本题考查了相反数，解题的关键是相反数的概念．2.B 解析：如图所示：∵∠1=∠2（已知），∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行），故选B点评:此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．3.A 解析：分别在数轴上表示x≥－1和x＜2．x≥－1实心向右，x＜2空心向左．点评：本题考查了不等式组的解法并在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是会寻找两个不等式解集的公共部分．4.D 解析：计算3.8×107－3.7×107时，将10看作字母a，计算这个问题相当于解3.8a7－3.7a7，合并同类项得0.1×107，然后表示成科学记数法的形式．点评：本题考查了合并同类项和科学记数法，解题的关键是掌握合并同类项法则和科学记数法．5.A解析：A项扇形统计图能够显示部分在总体中所占百分比；B项条形统计图能够看出每组数据具体数值的多少；C项折线图能够看出一组数据的变化趋势；D项能够看出数据在每个范围内的分布情况．点评：本题考查了扇形统计图，解题的关键是掌握扇形统计图的特征．6.C 解析：a·a－1＝a1－1＝a0＝1．点评：本题考查了同底数幂的乘法，解题的关键是会运用同底数幂乘法公式解决问题．7.B 解析：由于两个点关于一条坐标轴对称，坐标轴是网格线，可以发现点A、点C的对称轴经过点B，以B点为原点，建立的平面直角坐标系，点A、点C必定关于经过点B的y 轴对称．点评：本题考查了建立平面直角坐标表示轴对称，解题的关键是找到可以关于坐标轴对称的两个点．8.B 解析：分别为点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，实际上是线段CD 的垂直平分线的作法．MA D C B由作法不难看出CA ＝CM ＝CB ，因此∠A ＝∠CMA ，∠B ＝∠BMC ，由于∠A ＋∠CMA ＋∠B ＋∠BMC ＝180°，因此∠CMA ＋∠BMC ＝90°点评：本题考查了垂直平分线的尺规作图作法，解题的关键是准确画出图形，找出图中线段间的数量关系．9.C 解析：（1）当x ＝0时，平均数是2，中位数是2，符合题意；（2）当x ＝2.5时，平均数是2.5，中位数是2.5，符合题意；（3）当x ＝3时，平均数是2.6，中位数是3，不符合题意；（4）当x ＝5时，平均数是3，中位数是3，符合题意．点评：本题考查了平均数和中位数之间的关系，解题的关键是会用排除法解决问题．10.D 解析：若正比例函数过(1，－4)，(2，－2)两点，则这个正比例函数不存在；若一次函数、反比例函数过(1，－4)，(2，－2)两点，那么这些函数的函数值y 随x 的增大而增大．若二次函数过(1，－4)，(2，－2)点评：本题考查的是正比例函数、一次函数、反比例函数和二次函数的性质，掌握各个函数的增减性是解题的关键．二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分） 11.(a ＋3)(a －3)解析：a 2－9＝a 2－32＝(a ＋3)(a －3)点评：本题考查了分解因式，解题的关键是了解平方差公式特点． 12.x 2＋x －2解析：将第一个括号里面的每一项依次与第二个括号里面的每一项分别相乘．解：(x －1)(x ＋2)＝x 2＋2x －x －2＝x 2＋x －2．点评：本题考查了多项式乘以多项式，解题的关键是掌握多项式的乘法法则． 13.6y x =解析：设反比例函数的解析式为k y x =，∵双曲线ky x=经过点A (－2，－3)， ∴32k -=-，解得k ＝6．∴反比例函数的解析式为6y x =．点评：本题考查了反比例函数解析式的确定，解题的关键是会用待定系数法求反比例函数的解析式．14.0 解析：应用方差公式计算或应用“一列相等的数的方差为0”解题．点评：本题考查了方差，解题的关键是熟记方差公式或掌握方程的性质．15.解析：设圆柱的底面半径为r ．∵圆柱底面周长为2π，∴r ＝1．∴正方体的体积为．点评：本题考查了圆内接正方形的边角关系，解题的关键是求出正方体的棱长． 16.31+解析：连接AM ，设BM 与AC 相交于点D ．∵Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，∴AC ＝2．∵∠ACM ＝60°，AC ＝CM ＝2．∴△ACM 是等边三角形．∴MC ＝MA ． ∵AB ＝BC ，∴BM 垂直平分AC ．∴DM ＝AM ×sin60°＝3．又∵BD ＝12AC ＝1，∴BM ＝BD ＋DM ＝31+．点评：本题考查了等边三角形的判定、等腰直角三角形和轴对称，解题的关键是能够判断出△ACM 是等边三角形三、解答题（共10小题，满分96分） 17.解析：2015(1)1-=-，sin30°＝12，(23)(23)-+＝222(3)431-=-=．解：原式＝11(43)2=-++-12=．点评：本题考查了乘方、三角函数值以及二次根式的乘法，解题的关键是数量掌握这些基本运算法则．18.解析：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，然后再化简约分．解：原式22222()2a b ab a b a b +-++222222a ab b ab a b ++-=+2222a b a b +=+＝1．点评：本题考查了同分母分式的减法，解题的关键是正确运用分式运算的法则．19.解析：要证AC ＝AD ，就要证△ABC ≌△ABD ，由于这两个三角形有公共边，设法用角边角来证明．证明：∵∠3＝∠4， ∴∠ABC ＝∠ABD ．在△ABC 和△ABD 中，AB AB ABC ABD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩12，∴△ABC ≌△ABD (ASA) ． ∴AC ＝AD ．点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，解题的关键是找准判定全等的条件．D20.解析：根据一元二次方程有两个相等的实数根得出根的判别式等于零．解：∵关于x 的方程2(21)40x m x +-+=有两个相等的实数根，∴△2(21)4140m =--⨯⨯=． ∴214m -=±． ∴52m =或32m =-．点评：本题考查了利用一元二次方程根的判别式求方程中的参数，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式定理．21.解析：设参加篮球、排球各有x ，y 支参赛，根据共有48支队，以及共有520人这两个相等关系列出二元一次方程组，解方程组即可求解．解：方法一：设有x 支篮球队和y 支排球队参赛，由题意得481012520x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2820x y =⎧⎨=⎩．答：篮球、排球队各有28支与20支参赛．方法二：设有x 支篮球队，则有(48－x )支排球队参赛，由题意得10x ＋12(48－x )＝520，解得x ＝28．∴48－x ＝48－28＝20．答：篮球、排球队各有28支与20支参赛．点评：本题考查了一元一次方程或二元一次方程组的应用，解题的关键是找出题目能够反应题目全部含义的一个或两个相等关系．22.解析：弄清楚各种情形下的所有的等可能事件和满足一定条件的情形，然后根据概率的公式进行计算．解：（1）相同；（2）2；（3）由树状图可知：共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同．其中两次摸出的球颜色不同（记为事件A ）的结果共有10种， ∴P (A ) 105126==．点评：本题考查了概率的有关计算，解题的关键是知晓如何计算简单事件的概率．23.解析：（1）用圆心到直线的距离等于圆的半径来证明直线AB 是⊙C 的切线；（2）用规则图形面积的代数和来表示阴影部分的面积．解：（1）如图所示，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，在Rt △ABC 中，tan B 12AC BC ==， ∴BC ＝2AC ＝25 ∴2222(5)(25)5AB AC BC =+=+=，∴5252AC BC CF AB ⋅⨯===．又∵⊙C 的半径为2，∴AB 为⊙C 的切线．（2）ABC CDE S S S ∆=-阴影扇形212360n r AC BC π=⋅- 219025252360π⨯=5π=-．点评：本题考查了切线的判定以及与圆有关的阴影部分面积的计算，解题的关键是运用正确的方法判定圆的切线以及用割补法求不规则图形的面积． 24.236 解：（1）由轴对称的性质可知CH ＝GH ，∠BGH ＝∠C ＝90°，又由于四边形ABCD 为正方形， ∴∠BDC ＝45°．∴△DGH 为等腰直角三角形． ∴GD ＝GH ．因此第一处的答案应该是GH ，DG ．设CH ＝a ，则DH 2a ，所以CD ＝21)a ，∴tan ∠HBC ＝21(21)CH BC a ==+．21．（2）证明：∵22BF =，BC ＝1，∴BD222226==()122BF BC ++=．由折叠的性质可知：BP ＝BC ＝1，∠FNM ＝∠BNM ＝90°，则四边形BCEF 为矩形． ∴∠BNM ＝∠F ． ∴MN ∥EF ．∴BP BNBE BF =，即BP·BF ＝BE·BN ．∴62BN =． ∴3BN =．∴:1:3:13BC BN ==．∴四边形BCMN 为3矩形．（3）仿照（1）（2）的操作，可得第1次操作后得到4矩形；第2次操作后得到5矩形；第3次操作后得到6矩形．故此处填6．点评：本题考查了矩形的折叠以及新概念n 矩形，解题的关键是掌握矩形折叠的步骤以及每次折叠中图形中的数量关系和位置关系．25.解析：（1）DA 和DM 是△ADM 的两边，可考虑利用“等角对等边”来给出证明过程；（2）要证明△DGE ∽△EFC ，可通过证明两对相等的角，其中∠C ＝∠DEG 可由DE ∥AC 证得．接着证明∠EDG ＝∠FEC ，可通过证明∠BDG ＋∠ADE ＝∠BEF 完成证明．（3）思路1：可通过证明相似三角形分别证得BD2＝BE·BG 和EF2＝EH·EC ，然后利用BD ＝EF 和BE ＝EF 证明得到EH ＝BG ＝1．思路2：由于BD ＝EF ，∠BDG ＝∠FEH ，可借助这两个条件构造全等三角形，即在DG 上取一点N ，使得DN ＝FH ．可证明△BDN ≌△FEH ，最后证明BN ＝EH 和BN ＝BG ．思路3：取AC 的中点P ，设法证明四边形DGHP 是平行四边形，即可证明EG 和BE 都等于BC 的一半，即可证明EH ＝BG ＝1．思路4：利用∠C ＝∠DEB ，BE ＝CE 构造全等三角形，可考虑作△EHF 的外接圆交AC 于另一点P ，连接PE 、PH ．证明：（1）∵DM∥EF，∴∠AMD＝∠AFE．∵∠AFE＝∠A．∴∠AMD＝∠A．∴DM＝DA．（2）∵D、E分别是AB、BC的中点，∴DE∥AC．∴∠DEG＝∠C，∠BDE＝∠A，∴∠BDE＝∠AFE．∴∠BDG＋∠GDE＝∠C＋∠FEC．∵∠BDG＝∠C，∴∠EDG＝∠FEC．∴△DEG∽△ECF．BE CFDM AG（3）如图所示，∵∠BDG＝∠C＝∠DEB，∠B＝∠B，∴△BDG∽△BED．∴BD BGBE BD=，即BD2＝BE·BG．∵∠A＝∠AFE，∠B＝∠CFH，∴∠C＝180°－∠AFE－∠CFH＝∠EFH．又∵∠FEH＝∠CEF，∴△EFH∽△ECF．∴EH EFEF EC=，即EF2＝EH·EC．∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形．∴EF＝DM＝AD＝BD．∵BE＝EC，∴EH＝BG＝1．解法2：如图所示，在DG上取一点N，使得DN＝FH．∵∠A＝∠AFE，∠ABC＝∠CFH，∠C＝∠BDG，∴∠EFH＝180°－∠AFE－∠CFH＝∠C＝∠BDG．∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形．∴EF＝DM＝AD＝BD．∴△BDN≌△EFH．∴BN＝EH，∠BND＝∠EHF．∴∠BNG＝∠FHC．∵∠BDG＝∠C，∠DBG＝∠CFH，∴∠BGD＝∠FHC．∴∠BNG＝∠BGD．∴BN＝BG．∴EH＝BG＝1．解法3：如图所示，取AC的中点P，连接PD、PE、PH，则PE∥AB．∴∠PEC＝∠B．∵∠CFH＝∠B，∴∠PEC＝∠CFH．又∵∠C＝∠C，∴△CEP∽△CFH．∴CE CP CF CH．∴△CEF∽△CPH．∴∠CFE＝∠CHP．由（2）可得∠CFE＝∠DGE，∴∠CHP＝∠DGE．∴PH∥DG．∵D、P分别为AB、AC的中点，∴DP∥GH，DP＝12BC＝BE．∴四边形DGHP是平行四边形．∴DP＝GH＝BE．∴EH＝BG＝1．解法4：如图所示，作△EHF的外接圆交AC于另一点P，连接PE、PH，则∠HPC＝∠HEF，∠FHC＝∠CPE．∵∠B＝∠CFH，∠C＝∠C，∴∠A＝∠CHF．∴∠A＝∠CPE．∴PE∥AB．∵DE∥AC，∴四边形ADEP是平行四边形．∴DE＝AP＝12AC．∴DE＝CP．∵∠GDE＝∠CEF，∠DEB＝∠C，∴∠GDE＝∠CPH．∴△DEG≌△PCH．∴GE＝HC．∴EH＝BG＝1．解法5：如图所示，取AC的中点P，连接PD、PE、PH，则PE∥AB．∴∠PEC＝∠B．又∵∠CFH＝∠B，∴∠PEC＝∠CFH．又∵∠C＝∠C，∴△CEP∽△CFH．∴CE CP CF CH．∴△CEF∽△CPH．∴∠CEF＝∠CPH．由（2）可得∠CEF＝∠EDG，∠C＝∠DEG．∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE ＝12AC ＝PC ．∴△DEG ≌△PCH ．∴GE ＝HC ． ∴EH ＝BG ＝1．点评：本题考查了等腰三角形的判定、相似三角形的判定，解题的关键是准确找出图中角度大小之间的关系．26.解析：（1）把a ＝1，b ＝－4代入2bx b =-，直线PQ 就是直线y ＝x ＋m ，与x 轴所夹锐角的度数为45°；（2）△POQ 与△PAQ 具有公共边PQ ，这两个三角形的面积之比是1∶3，就意味着这两个三角形的高的比为1∶3，即点O 、点A 到直线的距离之比为1∶3，利用相似的性质列出等式求m 的值；（3）①易得AC ⊥PQ ，可设法构造点Q 关于直线AC 的对称点H （过点C 作x 轴的平行线，与PQ 的交点即为Q 点），就将求PD ＋QD 的最大值转化为求线段PH 的最大值，过点P 作CH 的垂线段PM ，则△PMH 始终是一个等腰直角三角形，当PM 最大时，PH 也最大，因此当点P 为抛物线顶点时，PM 最大．②易证CD ＝QD ，因此PD·QD 的值等于△PCD 面积的2倍，设P 坐标为(p ，p2－4p)，所以PD·QD ＝2S △PCA＝CQ·|xA －xP|＝12m2－(2＋p)m ，其最大值为2(2)2p +，因此当p ＝4时，PD·QD 有最大值18．解：（1）（1）把a ＝1，b ＝－4代入2bx b =-，可得对称轴为x ＝2；直线PQ 就是直线y＝x ＋m ，与x 轴所夹锐角的度数为45°．（2）设直线PQ 交x 轴于点B ，分别过点O 、A 作PQ 的垂线，垂足分别为E 、F ．显然，当点B 在OA 的延长线上时，13OQP PAQS S ∆∆=不成立．①如图所示，当点B 落在线段OA 上时，1==3POQPAQS OE S AF ∆∆，由△OBE ∽△ABF 得1==3OB OE AB AF ，从而AB ＝3OB ．∴OB＝1 4OA．由24y x x=-得点A（4，0），从而OB＝1．∴B(1，0)．∴1＋m＝0．∴m＝－1．②如图所示，当点B落在线段AO的延长线上时，1==3POQPAQS OES AF∆∆，由△OBE∽△ABF得1==3OB OEAB AF，∴AB＝3OB．∴1=2OB OA．由24y x x=-得点A（4，0），∴OB＝2．∴B(－2，0)．∴－2＋m＝0．∴m＝2．综上所述，当m＝－1或2时，13OQP PAQS S∆∆=．（3）①如图所示，过点C作CH∥x轴交直线PQ于点H，则△CHQ是等腰三角形．∵∠CDQ＝45°＋45°＝90°，∴AD⊥PH．∴DQ＝DH．∴PD＋DQ＝PH．过点P作PM⊥CH于点M，则△PMH是等腰直角三角形．∴2PH PM=．∴当PM最大时，PH最大．∴当点P在抛物线的顶点处时，PM取得最大值，此时PM＝6．∴PH的最大值为62，即PD＋DQ的最大值为62．解法2：如图所示，过点P作PE⊥x轴，交AC于点E，作PF⊥CQ于点F，则△PDE、△CDQ、△PFQ是等腰直角三角形．设点P(2,4x x x-)，则E(,4x x-+)，F(22,4x x-)．∴234PE x x=-++，PF＝PQ＝|2－x|．∴点Q(22,52x x-+)．∴25CQ x x =-+． ∴PD ＋DQ＝2 (PE ＋CQ)＝2(－2x2＋8x ＋4)22)x =-+0＜x ＜4）． ∴当x ＝2时，PD ＋DQ的最大值为．②由①可知：PD ＋DQ≤．设PD ＝a ，则DQ≤a ．∴PD·DQ≤22)(18a a a a =-+=--+． ∵当点P在抛物线的顶点时，a =∴PD·DQ≤18．∴PD·DQ 的最大值为18．附加说明：（对a 的取值范围的说明）设点P 的坐标为(n ，n2－4n)，延长PM 交AC 于N ．PD ＝a 2(4)]22PN n n n ==---2(34)2n n =---23()22n =--．∵2-＜0，0＜n ＜4， ∴当32n =∴0＜．点评：本题考查了二次函数的综合题，解题的关键是能够综合运用二次函数知识和几何知识解决问题．。

2015年福州中考数学试卷含答案(word版)

2015年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试数学试题（全卷共4页，三大题，26小题；满分150分；考试时间：120分钟）友情提示：请把所有答案填写（涂）在答题卡上，请不要错位、越界答题！毕业学校_______________________姓名_______________考生号__________ 一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分；每小题只有一个正确选项．） 1．a 的相反数是（ C ） A ．|a| B ．a1C ．－aD ．a 2．下列图形中，由∠1＝∠2能得到AB ∥CD 的是（ B ）3．不等式组⎩⎨⎧<-≥21x x ，的解集在数轴上表示正确的是（ A ）4．计算77107.3108.3⨯-⨯，结果用科学记数法表示为（ D ） A ．7101.0⨯ B ．6101.0⨯ C ．7101⨯ D ．6101⨯ 5．下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（ A ） A ．扇形图 B ．条形图 C ．折线图 D ．直方图 6．计算1-⋅a a 的结果为（ C ）A ．－1B ．0C ．1D ．－a 7．如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A ，B ，C ，D ，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ B ）A ．A 点B ．B 点C ．C 点D ．D 点 8．如图，C ，D 分别是线段AB ，AC 的中点，分别以点C ，D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量∠AMB 的度数，结果为（ B ）A ．80ºB ．90ºC ．100ºD ．105º 9．若一组数据1，2，3，4，x 的平均数与中位数相同，则实数x 的值不可能是（ C ）A ．0B ．2．5C ．3D ．5B A ． A 1 2CDB B ．A 12DCBC ． A12DCBD ．ADC12A ．2B ．2D ．2C ．2DCBA第7题· · · ·C A B第8题· D· · ·10．已知一个函数图象经过（1，－4），（2，－2）两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（ D ）A ．正比例函数B ．一次函数C ．反比例函数D ．二次函数二、填空题（共6小题，每题4分，满分24分）11．分解因式92-a 的结果是___（a ＋3）（a －3）_______． 12．计算（x －1）（x ＋2）的结果是_____22-+x x _____．13．一个反比例函数图象过点A （－2，－3），则这个反比例函数的解析式是____xy 6=____． 14．一组数据：2015，2015，2015，2015，2015的方差是____0____． 15．一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示．其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm ，则正方体的体积为__22__cm 3．15．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90º，AB ＝BC ＝2．将△ABC 绕点C 逆时针旋转60º，得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是___13+___．三、解答题（共10题，满分96分） 17．（7分）计算：2015)1(-＋sin30º＋)32)(32(+-．解：原式＝－1＋21＋1＝21． 18．（7分）化简：222222)(b a abb a b a +-++ ．解：原式＝222222b a ab b ab a +-++＝2222b a b a ++＝1．19．（8分）如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AC ＝AD ．证明：∵∠3＝∠4， ∴∠ABC ＝∠ABD ． ∵∠1＝∠2，AB ＝AB ， ∴△ABC ≌△ABD ． ∴AC ＝AD ．20．（8分）已知关于x 的方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根，求m 的值．解：∵方程04)12(2=+-+x m x 有两个相等的实数根， ∴△＝016)12(2=--m ．解得m ＝25，或m ＝23-．21．（9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？解：设有x 支篮球队参赛，则有（48－x ）支排球队参赛．依题意列方程10x ＋12（48－x ）＝520．解得x ＝28．第15题CAB第16题MNAB CD123 4第19题所以48－x ＝20．答：篮球、排球队各有28、20支参赛．22．（9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n 个白球，这些球除颜色外无其他差别．（1）当n ＝1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球和摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）；（2）从袋中随机摸出一个球，记录其颜色，然后放回．大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0．25，则n 的值是________;（3）在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率．解：（1）相同（2）2（3）由树状图得一次试验中一共有12种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件“两次摸出的球颜色不同”包含其中的10种结果，所以所求概率为1210＝65． 23．（10分）如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90º，AC ＝5，tan B ＝1．半径为2的⊙C 分别交AC 、BC 于点D 、E ，得到DE ⌒．（1）求证：AB为⊙C 的切线；（2）求图中阴影部分的面积．解：（1）过点C 作CF ⊥AB ，F 为垂足． ∵AC ＝5，tan B ＝BC AC ＝21， ∴BC ＝52．∴AB ＝22BC AC +＝5．∵ABC S ∆＝21AC ·BC ＝21AB ·CF ． ∴CF ＝5525⋅＝2．∴点C 到AB 的距离等于⊙C 的半径． ∴AB 为⊙C 的切线．绿红红红绿第一次绿白1 第二次红绿白2 白2白2 白1白1 白2 白1第23题B第23题答图B（2）由（1）得ABC S ∆＝21AC ·BC ＝5，而C DE S 扇形＝π，阴影部分的面积＝5－π．24．（12分）定义：长宽比为n ∶1（n 为正整数）的矩形称为n 矩形．下面，我们通过折叠的方式折出一个2矩形，如图①所示．操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为BH ．操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠，使点A ，点D 分别落在边AB ，CD 上，折痕为EF ．则四边形BCEF 为2矩形．证明：设正方形ABCD 的边长为1，则BD ＝21122=+．由折叠性质可知BG ＝BC ＝1，∠AFE ＝∠BFE ＝90º，则四边形BCEF 为矩形． ∴∠A ＝∠BFE ． ∴EF ∥AD ．∴AB BFBD BG =，即121BF =． ∴21=BF ．∴BC ∶BF ＝1∶21＝2∶1．∴四边形BCEF 为2矩形．阅读以上内容，回答下面问题：（1）在①中，所有与CH 相等的线段是___GH ，GD ____，tan ∠HBC 的值是____12-____;（2）已知四边形BCEF 为2矩形，模仿上述操作，得到四边形BCMN ，如图②，求证：四边形BCMN 是3矩形．（3）将图②中的3矩形BCMN 沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“n 矩形”，则n 的值是____6_____．第24题图①E H第24题图② E Q解：（2）证明：设2矩形BCEF 的边长BF ＝1，则BC ＝2，则BE ＝31)2(22=+．由折叠性质可知BP ＝BC ＝2，∠FNM ＝∠BNM ＝90º，则四边形BCMN 为矩形． ∴∠F ＝∠BNM ． ∴MN ∥FE ． ∴BF BNBE BP =，即132BN =． ∴32=BN ． ∴BC ∶BN ＝2∶32＝3∶1． ∴四边形BCMN 为3矩形．（3）附录：证明n 矩形经过上述操作后得到1+n 矩形．如附录图，设n 矩形BCEF 的边长BF ＝1，则BC ＝n ，则BE ＝11)(22+=+n n ．由折叠性质可知BP ＝BC ＝n ，∠FNM ＝∠BNM ＝90º，则四边形BCMN 为矩形．∴∠F ＝∠BNM ． ∴MN ∥FE ． ∴BF BNBE BP =，即11BN n n =+． ∴1+=n nBN ． ∴BC ∶BN ＝n ∶1+n n＝1+n ∶1． ∴四边形BCMN 为1+n 矩形．第24题附录图E Q25．（13分）如图①，在锐角△ABC 中，D 、E 分别为AB 、BC 中点，F 为AC 上一点，且∠AFE ＝∠A ，DM ∥EF 交AC 于点M ．（1）求证：DM ＝DA ；（2）点G 在BE 上，且∠BDG ＝∠C ，如图②，求证：△DEG ∽△ECF ; （3）在图②中，取CE 上一点H ，使∠CFH ＝∠B ，若BG ＝1，求EH 的长．解：（1）证明：∵DM ∥EF ， ∴∠AMD ＝∠AFE ．∵∠AFE ＝∠A ，∴∠AMD ＝∠A ． ∴DM ＝DA ．（2）证明：∵∠DGB ＝180º－∠B －∠BDG ， ∠A ＝180º－∠B －∠C ， ∠BDG ＝∠C ， ∴∠DGB ＝∠A ． ∵∠A ＝∠AFE ， ∴∠DGB ＝∠AFE ． ∵∠DGE ＝180º－∠DGB ， ∠EFC ＝180º－∠AFE ， ∴∠DGE ＝∠EFC ．又∵DE 是中位线，∴DE ∥AC ．∴∠DEB ＝∠C ． ∴△DEG ∽△ECF ．（3）提示：如答图，由△BDG ∽△BED ，得BE BG BD ⋅=2，由△EFH ∽△ECF ，得EC EH EF ⋅=2．由BD ＝DA ＝DM ＝EF ，且BE ＝EC ，得EH ＝BG ＝1．ABCD第25题答图ＭFEG ACD第25题图②ＭF EG ACD第25题图① ＭF E26．（13分）如图，抛物线x x y 42-=与x 轴交于O 、A 两点，P 为抛物线上一点，过点P 的直线y ＝x ＋m 与对称轴交于点Q ．（1）这条抛物线的对称轴是___ __，直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是______; （2）若两个三角形面积满足POQ S ∆＝PAQ S ∆31，求m 的值；（3）当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C （2，2）的直线AC 与直线PQ 交于点D ，求：①PD ＋DQ 的最大值；②PD ·DQ 的最大值．解：（1）x ＝2 45º（2）设直线PQ 交x 轴于点B ，分别在△POQ 和△P AQ 中作PQ 边上的高OE 和AF ．按点B 的不同位置分三种情况讨论如下：①如答图①，若点B 在线段OA 的延长线上，OE >AF ， POQ S ∆＝PAQ S ∆31不成立． ②如答图②，若点B 在线段OA 上， ∵POQ S ∆＝PAQ S ∆31，∴31=AF OE ． ∵OB ＝OE 2，AB ＝AF 2． ∴AB ＝3OB ．∵A （4，0），∴OA ＝4． ∴OB ＝1． ∴B （1，0）．∵点B 在直线y ＝x ＋m 上， ∴m ＝－1．③若点B 在线段AO 的延长线上，与②类似，可得OB ＝OA 21＝2．∴B （－2，0）． ∴m ＝2．第26题图备用图综上所述，当m ＝－1或2时，POQ S ∆＝PAQ S ∆31．（3）①如答图④，过点C 作CH ∥x 轴交直线PQ 于点H ．则△CHQ 是等腰直角三角形．由C （2，2），A （4，0）得直线AC 与x 轴所夹锐角的度数为45º．∴CD 是等腰直角三角形CHQ 斜边上的高． ∴DQ ＝DH ． ∴PD ＋DQ ＝PH ．过点P 作PM ⊥CH 于点M ，则△PMH 也是等腰直角三角形．∴PH ＝PM 2．∵点P 在抛物线x x y 42-=上，设它的横坐标为n ，则它的纵坐标为n n 42-． ∴点M 的纵坐标为2，∴PM ＝242++-n n ．配方，得242++-n n ＝6)2(2+--n ． ∵0＜n ＜4，∴当n ＝2时，PM 取得最大值是6．∵PD ＋DQ ＝ PH ＝PM 2，∴PD ＋DQ 的最大值为26． ②由①可得PD ＋DQ ≤26．设PD ＝a ，则DQ ≤26－a ．∴PD ·DQ ≤)26(a a -＝a a 262+-＝18)23(2+--a ． ∵a 的取值范围是0＜a ≤2825，第26题答图①第26题答图②第26题答图④第26题答图③∴当a ＝23时，PD ·DQ 的最大值为18．附加说明：（对a 的取值范围的说明）设点P 的坐标为（n ，n n 42-），延长PM 交AC 于点N ．PD ＝a ＝PN 22＝)]4(4[222n n n ---＝)43(222---n n ＝2825)23(222+--n ． ∵22-＜0，0＜n ＜4，∴当n ＝23时，a 有最大值为2825．∴0＜a ≤2825．说明：本卷解答由张越初中数学提供，仅供参考！如有疏漏或谬误之处，尚祈专家、同行不吝指教!。

2015年福建省福州市中考数学试卷

2015福州市中考数学试卷

2015年福州市初中毕业会考、髙级中等学校招生考试数学试题3.不等式组的解集在数轴上表示正确的是4.计算3.8×107-3.7×107，结果用科学记数法表示为A.0.1×107B. 0.1×106C. 1×107D. 1×1065下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是A.扇形图B.条形图 c.折线图D直方图6计算a·a-1的结果为A -1 B.0 C 1D-a7如图，在3x3的正方形网格中有四个格点A,B,C,D，,以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是A.A点B. B点C. C点D. D点8如图.，C，D分別是线段AB，AC的中点，分别以点C，D为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点M，测量AMB∠的度数，结果为A.800B. 900C. 1000D. 10509.若一组数据1,2,3,4，x 的平均数与中位数相同，则实数x 的値不可能是A.0B.2.5C. 3D.510.已知一个函数图像经过(1. -4) (2. -2)两点，在自变量x 的某个取值范围内，都有函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是A . 正比例函数 B. 一次函数 c. 反比例函数 D.二次函数二、境空题(共6小题.每题4分，满分24分）11 分解因式a 2-9的结果是_.12 计算(x - l ）（x+2)的结果是13一个反比例函数图象过点A(-2, -3)，则这个反比例函数的解析式2c 中，三、解答题(共10小题，满分96分)18(7分)化简:19（8分）如图，1∠=2∠，3∠=4∠，求证：AC=AD.20(8分)已知关于x 的方程x 2+(2m -1)+4=0有两个相等的实数根，求m 的值.21(9分)有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛?22 (9分) 一个不透明袋子中有 1个红球, 1个绿球和n 个白球，这些球除颜色外无其他差别.(1)当n =l 时,从袋中随机摸出1个球,摸到红球和摸到白球的可能性是否相同?(2)从袋中随机摸出一个球,记录其颜色,然后放回.大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n 的值是_(3)在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球额色不同的概率23 (10分)如图,中，C ∠=900，AC=5，tanB=21。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

2015年福建省福州市中考数学试卷（满分150分，考试时间120分钟）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1.（2015福建省福州市，1，3分）a 的相反数是（） A .|a| B . 1aC . –a D. 【答案】C2. （2015福建省福州市，2，3分）下列图形中，由∠1=∠2能得到AB ∥CD 的是（）【答案】B3. （2015福建省福州市，3，3分）不等式组12x x -⎧⎨⎩≥＜的解集在数轴上表示正确的是（）【答案】A4. （2015福建省福州市，4，3分）计算773.810 3.710⨯-⨯，结果用科学记数法表示为（） A . 70.110⨯ B . 60.110⨯ C . 7110⨯ D . 6110⨯ 【答案】D5. （2015福建省福州市，5，3分）下列选项中，显示部分在总体中所占百分比的统计图是（）A .扇形图B .条形图C .折线图D .直方图【答案】A6. （2015福建省福州市，6，3分）计算1a a -⋅的结果为（） A .-1 B .0 C .0 D .-a【答案】C7. （2015福建省福州市，7，3分）如图，在3×3的正方形网格中有四个格点A 、B 、C 、D ，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（）A .A 点B .B 点C .C 点D .D 点【答案】B8.（2015福建省福州市，8，3分）如图，C 、D 分别是线段AB 、AC 的中点，分别以点C 、D 为圆心，BC 长为半径画弧，两弧交于点M ，测量∠AMB 的度数，结果为（） A .80° B .90° C . 100° D .105°【答案】B9.（2015福建省福州市，9，3分）若一组数据1、2、3、4、x 的平均数与中位数相同，则实数x 的值不可能是（）A .0B .2.5C .3D .5 【答案】C10.（2015福建省福州市，10，3分）已知一个函数图象经过（1，-4），（2，-2）两点，在自变量x 的某个取值范围内，都要函数值y 随x 的增大而减小，则符合上述条件的函数可能是（）A . 正比例函数B .一次函数C .反比例函数D .二次函数【答案】D二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分.）11.（2015福建省福州市，11，4分）分解因式29a -的结果是 . 【答案】(a+3)(a-3)12. （2015福建省福州市，12，4分）计算（x-1）（x+2）的结果是 . 【答案】22x x +-13. （2015福建省福州市，13，4分）一个反比例函数图象过点A （-2，-3），则这个反比例函数的解析式是 . 【答案】6y x=14. （2015福建省福州市，14，4分）一组数据：2015，2015，2015，2015，2015，2015的方差是 . 【答案】015. （2015福建省福州市，15，4分）一个工件，外部是圆柱体，内部凹槽是正方体，如图所示.其中，正方体一个面的四个顶点都在圆柱底面的圆周上，若圆柱底面周长为2πcm ，则正方体的体积为 cm 3.【答案】16. （2015福建省福州市，16，4分）如图，在Rt △ABC 中，∠ABC=90°，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°，得到△MNC ，连接BM ，则BM 的长是 .1三、解答题（本大题共10小题，满分96分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（2015福建省福州市，17，7分）计算：20150(1)sin30+(2-+.【答案】解：20150(1)sin30+(2-+11(43)2=-++-12=.18.（2015福建省福州市，18，7分）化简：22222()2a b ab a b a b +-++. 【答案】解： 22222()2a b ab a b a b +-++222222a ab b ab a b ++-=+2222a b a b+=+=1.19. （2015福建省福州市，19，8分）如图，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：AC=AD.【答案】证明：∵∠3=∠4， ∴∠ABC=∠ABD. 在△ABC 和△ABD 中AB ABABC ABD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩12， ∴△ABC ≌△ABD (ASA ) ∴AC=AD .20. （2015福建省福州市，20，8分）已知关于x 的方程2(21)40x m x +-+=有两个相等的实数根，求m 的值.【答案】解：∵关于x 的方程2(21)40x m x +-+=有两个相等的实数根， ∴△2(21)4140m =--⨯⨯=， ∴214m -=±， ∴52m =或32m =-.21.（2015福建省福州市，21，9分）有48支队520名运动员参加篮球、排球比赛，其中每支篮球队10人，每支排球队12人，每名运动员只能参加一项比赛，篮球、排球队各有多少支参赛？【答案】解：方法一：设有x 支篮球队和y 支排球队参赛，由题意得481012520x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得2820 xy=⎧⎨=⎩.答：篮球、排球队各有28支与20支参赛.方法二：设有x支篮球队，则有（48-x）支排球队参赛，由题意得10x+12（48-x）=520，解得x=28.∴48-x=48-28=20.答：篮球、排球队各有28支与20支参赛.22.（2015福建省福州市，22，9分）一个不透明袋子中有1个红球，1个绿球和n个白球，这些球除颜色外无其他差别.(1)当n=1时，从袋中随机摸出1个球，摸到红球互为摸到白球的可能性是否相同？（在答题卡相应位置填“相同”或“不相同”）(2) 从袋中随机摸出1个球，记录其颜色，然后放回.大量重复该实验，发现摸到绿球的频率稳定于0.25，则n的值是；(3)在一个摸球游戏中，所有可能出现的结果如下：根据树状图呈现的结果，求两次摸出的球颜色不同的概率.【答案】解：(1)相同；(2)2；(3)由树状图可知：共有12种结果，且每种结果出现的可能性相同.其中两次摸出的球颜色不同（记为事件A）的结果共有10种，∴P(A)105 126 ==.23. （2015福建省福州市，23，10分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，tanB= 1 2 .半径为2的⊙C，分别交AC、BC于点D、E，得到 DE.(1)求证：AB 为⊙C 的切线； (2)求图中阴影部分的面积.【答案】解：(1)如图所示，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，在Rt △ABC 中，tanB 12AC BC ==，∴BC=2AC=∴5AB ===，∴2AC BC CF AB ⋅===. ∴AB 为⊙C 的切线.(2) ABC CDE S S S ∆=-阴影扇形212360n r AC BC π=⋅-219022360π⨯=5π=-.24. （2015福建省福州市，24，12分）定义：（n 为正整数）矩形..操作1：将正方形ABCD 沿过点B 的直线折叠，使折叠后的点C 落在对角线BD 上的点G 处，折痕为BH .操作2：将AD 沿过点G 的直线折叠，使点A ，点D 分别落在边AB ，CD 上，折痕为EF .则四边形BCEF.证明：设正方形ABCD的边长为1，则BD=由折叠性质可知BG=BC=1，∠AFE=∠BFE=90°，则四边形BCEF为矩形. ∴∠A=∠BFE.∴EF∥AD.∴BG BF BD AB=,1BF=，∴BF=.∴:BC BF==.∴四边形BCEF.阅读以上内容，回答下列问题：(1)在图①中，所有与CH相等的线段是，tan∠HBC的值是；(2)已知四边形BCEF BCMN，如图②，求证：四边形BCMN(3)BCMN沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个”，则n 的值是.【答案】解：(1)GH，DG1；(2)证明：∵2BF=，BC=1，∴BD=2=.由折叠的性质可知：BP=BC=1，∠FNM=∠BNM=90°，则四边形BCEF为矩形. ∴∠BNM=∠F，∴∴MN∥EF.∴BP BN BE BF=,即∴BP·BF=BE·BN，BN=∴BN=∴:BC BN==.∴四边形BCMN.(3)6.25.（2015福建省福州市，25，13分）如图①，在锐角△ABC中，D、E分别是AB、BC的中点，点F在AC上，且满足∠AFE=∠A，DM∥EF交AC于点M.(1)证明：DM=DA；(2)点G在BE上，且∠BDG=∠C，如图②，求证：△DEG∽△ECF；(3)在图②中，取CE上一点H，使得∠CFH=∠B，若BG=1，求EH的长.【答案】证明：(1)∵DM∥EF，∴∠AMD=∠AFE.∵∠AFE=∠A ， ∴∠AMD=∠A ， ∴DM=DA.(2) ∵D 、E 分别是AB 、BC 的中点， ∴DE ∥AC ，∴∠DEG=∠C ，∠BDE=∠A ， ∴∠BDE=∠AFE .∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC . ∵∠BDG=∠C ， ∴∠EDG=∠FEC , ∴△DEG ∽△ECF . (3)如图所示，∵∠BDG=∠C=∠DEB ，∠B=∠B ， ∴△BDG ∽△BED. ∴BD BGBE BD=，即2BD BE BG =⋅.∵∠A=∠AFE ，∠B=∠CFH ， ∴∠C=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH . 又∵∠FEH=∠CEF ， ∴△EFH ∽△ECF . ∴EH EFEF EC=，即2EF EH EC =⋅. ∵DE ∥AC ， DM ∥EF ，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=AD=BD.∵BE=EC,∴EH=BG=1.解法2：如图所示，在DG上取一点N，使得DN=FH.∵∠A=∠AFE，∠ABC=∠CFH，∠ C=∠BDG，∴∠EFH=180°-∠AFE-∠CFH=∠ C=∠BDG.∵DE∥AC，DM∥EF，∴四边形DEFM是平行四边形，∴EF=DM=AD=BD.∴△BDN∽△EFH，∴BE=EH，∠BND=∠EHF，∴∠BNG=∠FHC.∵∠BDG=∠C，∠DBG=∠CFH，∴∠BGD=∠FHC，∴∠BNG=∠BGD，∴BN=BG.∴EH=BG=1.解法:3：如图所示，取AC的中点P，连接PD、PE、PH，则PE∥AB. ∴∠PEC=∠B，∵∠CFH=∠B，∴∠PEC=∠CFH.又∵∠C=∠C，∴△CEP∽△CFH，∴CE CP CF CH.∴△CEF∽△CPH，∴∠CFE=∠CHP.由（2）可得∠CFE=∠DGE，∴∠CHP=∠DGE，∴PH∥DG.∵D、P分别为AB、AC的中点，∴DP∥GH，DP=12BC=BE，∴四边形DGHP是平行四边形，∴DP=GH=BE.∴EH=BG=1.解法4：如图所示，作△EHF的外接圆交AC于另一点P，连接PE、PH. 则∵∠HPC=∠HEF，∠FHC=∠CPE，∵∠B=∠CFH，∠C=∠C，∴∠A=∠CHF，∴∠A=∠CPE.∴PE∥AB.∵DE∥AC，∴四边形ADEP是平行四边形，∴DE=AP=12 AC，∴DE=CP.∵∠GDE=∠CEF，∠DEB=∠C，∴∠GDE=∠CPH，∴△DEG≌△PCH，∴GE=HC，∴EH=BG=1.解法5：如图所示，取AC的中点P，连接PD、PE、PH. 则PE∥AB.∴∠PEC=∠B.又∵∠CFH=∠B，∴∠PEC=∠CFH，又∵∠C=∠C，∴△CEP∽△CFH，∴CE CP CF CH=. ∴△CEF ∽△CPH ，∴∠CEF=∠CPH .由（2）可得∠CEF=∠EDG ，∠C=∠DEG .∵D 、E 分别为AB 、AC 的中点，∴DE=12AC =PC ， ∴△DEG ≌△PCH ，∴GE=HC ，∴EH=BG=1.26. （2015福建省福州市，26，13分）如图，抛物线24y x x =-与x 轴交于O 、A 两点， P 为抛物线上一点，过点P 的直线y=x+m 与对称轴交于点Q .(1)这条抛物线的对称轴是；直线PQ 与x 轴所夹锐角的度数是；(2)若两个三角形面积满足13POQ PAQ S S ∆∆=，求m 的值； (3)当点P 在x 轴下方的抛物线上时，过点C (2，2)的直线AC 与直线PQ 交于点D ， ①求PD+DQ 的最大值；②求PD ·DQ 的最大值.【答案】解：(1) x=2；45°.(2) 设直线PQ 交x 轴于点B ，分别过点O 、A 作PQ 的垂线，垂足分别为E 、F .(显然，当点B 在OA 的延长线上时，13OQP PAQ S S ∆∆=不成立. ①如图所示，当点B 落在线段OA 上时，1==3POQPAQ S OE S AF ∆∆，由△OBE ∽△ABF 得1==3OB OE AB AF ， ∴AB=3OB . ∴1=4OB OA . 由24y x x =-得点A （4,0），∴OB=1，∴B (1，0).∴1+m=0，∴m=-1.②如图所示，当点B 落在线段AO 的延长线上时，1==3POQPAQ S OE S AF ∆∆，由△OBE ∽△ABF 得1==3OB OE AB AF ， ∴AB=3OB . ∴1=2OB OA . 由24y x x =-得点A （4,0），∴OB=2，∴B (-2，0).∴-2+m=0，∴m=2.综上所述，当m=-1或2时，13OQP PAQ S S ∆∆=. (3)①如图所示，过点C 作CH ∥x 轴交直线PQ 于点H ，则△CHQ 是等腰三角形.∵∠CDQ=45°+45°=90°，∴AD ⊥PH ，∴DQ=DH ，∴PD+DQ=PH .过点P 作PM ⊥CH 于点M ，则△PMH 是等腰直角三角形.∴PH =.∴当PM 最大时，PH 最大.∴当点P 在抛物线的顶点处时，PM 取得最大值，此时PM=6.∴PH 的最大值为.即PD+DQ 的最大值为解法2：如图所示，过点P 作PE ⊥x 轴，交AC 于点E ，作DF ⊥CQ 于点F ，则△PDE 、△CDQ 、△PFQ 是等腰直角三角形.设点P (2,4x x x -)，则E (,4x x -+)，F (22,4x x -).∴234PE x x =-++，PF=PQ=|2-x|，∴点Q (22,52x x -+)，∴25CQ x x =-+，∴)2PD DQ PE CQ +=+2284)2x x =-++22)x =-+0＜x ＜ 4）.∴当x=2时，PD+DQ 的最大值为②由①可知：PD+DQ ≤.设PD=a ，则DQ ≤a .∴PD·DQ ≤22)(18a a a a =-+=--+.∵当点P 在抛物线的顶点时，a =∴PD·DQ ≤18.∴PD·DQ 的最大值为18.附加说明：（对a 的取值范围的说明）设点P 的坐标为(2,4n n n -)，延长PM 交AC 于N .PD=a 2(4)]22PN n n n ==---2(34)2n n =---23)22n =-+∵2-＜0，0＜n ＜4，∴当32n =∴0＜a。