浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是用来求解函数在某一区间上的定积分，但是它们的定义和性质有着很大的区别。
黎曼积分是一种传统的积分方法，它把定积分的计算问题转化
为一个求和问题，即将区间分成若干小段，然后对每一小段的函数
值乘以对应小段的长度求和来逼近定积分的值。
黎曼积分只适用于
满足黎曼可积条件的函数，也就是说，被积函数必须满足有界且在
有限区间上几乎处处连续。
勒贝格积分则是一种广义积分方法，它是将区间上的函数分解
成上下两个函数，然后利用这两个函数的极限逼近来计算定积分的值。
因为勒贝格积分的定义更加宽松，所以相比较于黎曼积分，它
能够处理诸如反常积分这样的更加复杂的积分问题。
此外，黎曼积分和勒贝格积分的性质也有所不同。
例如，黎曼
积分在加积分区间时是可交换的，而勒贝格积分则不具有这种性质。
此外，勒贝格积分对于不满足黎曼可积条件的函数，也有一定的处
理能力，而黎曼积分则无法计算这些函数的积分。
综上所述，黎曼积分和勒贝格积分都是求解定积分问题的方法，但是它们的定义和性质有很大的不同。
黎曼积分只适用于黎曼可积
的函数，而勒贝格积分则更加广泛适用于各种类型的函数。
黎曼积分与勒贝格积分
黎曼积分与勒贝格积分积分是微积分中重要的概念之一。
在实际问题中，我们常常需要求解一个区间内函数的面积或者体积。
这个过程就称为积分。
积分有很多种，今天我想和大家聊一聊黎曼积分和勒贝格积分。
一、黎曼积分黎曼积分最早是由德国的数学家黎曼提出的。
它是积分的一种基本形式，从历史上来看，黎曼积分是最早被人们所接受的一种积分形式。
黎曼积分的定义非常简单，假设有一个区间[a，b]，f(x)是[a，b]上的一个函数，我们将区间[a，b]进行分割，得到n个小区间[a1，b1]，[a2，b2]，……，[an-1，bn-1]，然后在每个小区间内分别取一点xi（ai≤xi≤bi），然后求出每个小区间上函数f(x)的取值和小区间长度之积的和，即∑f(xi)Δxi（i=1，2，……，n），当分割越来越细，n越来越大时，和式∑f(xi)Δxi的极限值就是函数f(x)在区间[a，b]上的黎曼积分。
黎曼积分的优点是在实际计算中比较简单，但它也有一些局限性，比如说不是所有的函数都可以积分，例如在非连续点处黎曼积分是没有定义的。
二、勒贝格积分勒贝格积分是20世纪初期法国的数学家勒贝格提出来的。
它是通过使用类似度量论的概念，对几乎处处连续的函数进行积分，从而将积分的适用范围扩展到了更广泛的函数上。
具体来说，假设有函数f（x），它在[a，b]上几乎处处连续，记E为f（x）在[a，b]上所有不连续点的集合。
我们可以在每个不连续点处定义一个容许误差，使得在这个误差以内f（x）可以任意变化，而在误差以外随着分割越来越细，误差的贡献趋近于0。
于是我们就得到了函数在[a，b]上的勒贝格积分。
勒贝格积分相对于黎曼积分而言，可以积分更多的函数，也避免了因非连续点而产生的积分误差。
但是它在实际计算上会稍稍麻烦一些。
三、总结黎曼积分和勒贝格积分是积分的两种基本形式。
黎曼积分在实际计算中比较简单，但不是所有函数都能够使用黎曼积分。
勒贝格积分是一种更加通用的积分形式，它可以积分更多的函数，但相对于黎曼积分而言，计算会有一些复杂。
黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是函数积分的一种。
它们的定义很相似，但在某些意义上有所不同。
首先，黎曼积分是指函数在某一闭区间上的积分，其公式如下：
$$\int _a^ b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^nf
\left(x_i\right)\Delta x_i$$
其中，$a、b$为积分的上下限，$x_i$为每个子区间的位置，$\Delta x_i$为每个子区间的长度。
而勒贝格积分可以看作是黎曼积分的一种特殊情况，其定义如下：
其中，$x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$。
从定义来看，黎曼积分是考虑分割区间的情况，其子区间不一定都相同，而勒贝格积分只考虑等分子区间的情况，所以勒贝格积分只是黎曼积分的特例。
此外，在实际应用中，由于勒贝格积分只考虑子区间的等分情况，进行计算时不需要考虑子区间的长度，即$\Delta x_k$可以直接取1，因此计算量相较于黎曼积分少。
但需要注意的是，如果子区间的宽度稍有不同，勒贝格积分可能会产生较大的误差。
黎曼积分与勒贝格积分的区别
黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分中的重要概念，用于求解曲线下面的面积、计算函数的平均值等。
在实际应用中，常常会遇到需要对不同类型的函数进行积分的情况。
而黎曼积分和勒贝格积分是两种常见的积分方法，它们在定义和适用范围上存在一些区别。
本文将详细介绍黎曼积分和勒贝格积分的区别。
一、黎曼积分黎曼积分是由德国数学家黎曼在19世纪提出的，是最早被广泛应用的积分方法之一。
黎曼积分的定义是通过将区间[a, b]分成若干小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，计算函数在这些样本点处的取值与小区间长度的乘积，再将这些乘积相加得到的极限值。
黎曼积分的计算公式如下：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，n是将区间[a, b]分成的小区间的个数，xi是每个小区间上的样本点，Δxi是每个小区间的长度。
黎曼积分的优点是定义简单，易于理解和计算。
但是，黎曼积分的适用范围有限，只能对一些特定类型的函数进行积分。
对于某些函数，黎曼积分可能不存在或者无法计算。
二、勒贝格积分勒贝格积分是由法国数学家勒贝格在20世纪初提出的，是对黎曼积分的一种推广。
勒贝格积分的定义是通过将函数的定义域分成若干个可测集，然后在每个可测集上计算函数的上积分和下积分，如果上积分和下积分相等，则称该函数是勒贝格可积的，其积分值即为上下积分的公共值。
勒贝格积分的计算公式如下：∫f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ = ∫[a, b] f(x) dμ+ -∫[a, b] f(x) dμ-其中，f(x)是被积函数，[a, b]是积分区间，dμ是勒贝格测度，∫[a, b] f(x) dμ+和∫[a, b] f(x) dμ-分别是函数f(x)在积分区间上的上积分和下积分。
勒贝格积分的优点是适用范围广泛，可以对几乎所有的函数进行积分。
勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更复杂的函数和测度空间。
黎曼积分与勒贝格积分的区别
黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
在实际应用中，人们常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的积分方式。
本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积分进行比较，以便更好地理解它们之间的区别。
1. 定义黎曼积分是通过将区间分割成若干小区间，然后在每个小区间上取样点，计算每个小区间上函数值与区间长度的乘积之和，然后取极限得到的积分。
黎曼积分的定义比较直观，适用于绝大多数函数。
而勒贝格积分则是通过将函数的定义域分解成可测集，然后在每个可测集上定义一个测度，最后将函数值与测度的乘积进行积分。
勒贝格积分的定义更加抽象，适用范围更广，可以处理更多类型的函数。
2. 性质黎曼积分的性质相对简单，满足线性性、可加性、保号性等基本性质。
但是对于某些特殊函数，比如间断函数或者无界函数，黎曼积分可能无法定义。
勒贝格积分的性质更加丰富，不仅满足线性性、可加性等基本性质，还具有单调收敛性、控制收敛性等重要性质。
勒贝格积分可以对几乎所有的可测函数进行积分，包括无界函数和几乎处处不连续的函数。
3. 应用在实际应用中，黎曼积分主要用于初等函数的积分计算，以及一些具有良好性质的函数的积分。
在物理、工程等领域，黎曼积分也有着广泛的应用。
而勒贝格积分则更多地应用于测度论、概率论、泛函分析等数学领域，对于研究函数空间的性质、广义函数的积分等问题有着重要作用。
勒贝格积分的广泛应用使得它成为现代数学中不可或缺的工具之一。
综上所述，黎曼积分与勒贝格积分在定义、性质和应用等方面存在着明显的区别。
黎曼积分更加直观简单，适用于绝大多数函数的积分计算；而勒贝格积分更加抽象丰富，适用范围更广，可以处理更多类型的函数。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的积分方式，将有助于更好地解决问题并推动数学理论的发展。
黎曼积分与勒贝格定理
黎曼积分与勒贝格定理积分是高中数学中常见的概念。
但是，高中所学习的积分仅限于定积分和不定积分。
定积分是将函数沿一个区间上的曲线围成的面积作为函数在该区间上的积分值；不定积分是给定函数，求出一个新的函数，它的导数就是原函数。
然而，这两种积分方式都是基于实数集上的，无法处理某些函数在所有实数点处都没有定义的情况。
因此，需要引入黎曼积分和勒贝格定理。
一、黎曼积分黎曼积分的定义是：对于一个有界函数f(x)和定义域[a, b]的区间，将该区间分成n个小区间[a0, b0], [a1, b1], ..., [an-1, bn-1]，其中a=a0<b0<a1<b1<...<bn-1<b=n，将每个小区间分别乘以函数值的平均数，然后将所有小区间的积加起来，以这个和逼近该区间上的积分值。
当小区间数量趋近于无穷时，黎曼积分的定义域就变为实数集，可以处理实数集上的所有有界函数，且黎曼积分是线性的、可加的、对称的。
二、勒贝格定理然而，黎曼积分并不能处理某些非常规函数，如Dirichlet的函数。
为了解决这个问题，勒贝格定理被提出。
勒贝格定理的基本思想是在分割区间上进行划分，使得区间长度越来越小，同时令每个小区间上的函数差异越来越小。
这个过程被称为分割区间的细分。
在勒贝格定理中，将函数的可积性定义为上积分和下积分的差值不超过ε，ε为一个任意小的正数。
上积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最大的点相乘，下积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最小的点相乘。
勒贝格定理的唯一缺点是不能计算所有函数的积分值，但它可以保证对于所有可积函数，积分的解是唯一的。
三、黎曼积分和勒贝格定理的联系尽管黎曼积分和勒贝格定理的定义方式不同，但它们有很多相似之处。
首先，它们都可以处理有界函数；其次，都是线性、可加、对称的定理。
黎曼积分和勒贝格定理的区别在于它们如何处理不可数函数。
黎曼积分可以处理初等函数，但无法处理瑕积分。
黎曼积分和勒贝格积分的比较
黎曼积分和勒 贝格 积分 的 比较
顾 滕
３ ０ ０ ３ ８ ７ ）
文 章编 号 ： １ ６ ７ ２ — ７ ８ ９ ４ （ ２ ０ １ ５） １ ８ — ０ ０ ５ ７ — ０ ３
（ 天津师范大学数 学科学学院 天 津
中图分类号 ： Ｇ ６ ４ ２ 文 献标 识码 ： Ａ
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作Ｉ ＝ ｆ ． ） 对比 黎曼积分， 勒贝格积分的定义则是将给定
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摘 要 黎 曼积分和勒 贝格 积分 之间有一种相互依赖 、 相互 补充 、 相互帮助及在特定条件下相互转化 的关 系。本 文主要 通过对 两类积分存在条件 、 基本 性质、 可积 函数 类 以及相关
勒贝格积分与黎曼积分的比较
Lebesgue积分与Riemann积分的比较449 陈佳龙 908 王珏 194 杜腾飞关键词：黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示性函数，连续函数，测度论，几乎处处，零测集.正文一：黎曼积分与勒贝格积分定义比较 R积分创立于19世纪中叶，近半个世纪之后的1902年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分。
其初衷是试图寻找解决诸如量子物理中的物理量与一般随机量的数学期望值等课题。
事实上运用L 积分可以解决包括古典物理问题之外的更一般的问题。
基于勒贝格测度论定义的勒贝格积分对函数的限制更加宽泛，已经跳出了定义于R 上有界函数的范畴而上升到了广义可测实函数，因而其研究范围也由R 上有界闭区间延伸到了整个N R 的有界可测集E ，进而借助示性函数我们可以将L 积分定义在整个N R 空间。
这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。
为更好地说明L 积分与R 积分的异同，我们有必要将R 积分的定义在此描述。
R 积分是这样定义的： 定义 设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，用分点b x x x x a n =<<<<=K 210将区间[]b a ,分成n 个小区间。
令λ表示一切小区间长度()n k x x x k k k ≤≤-=∆-11中的最大者，即k nk x ∆=≤≤1max λ。
在每个小区间[]k k x x ,1-上任取一点()k k k k x x ≤≤-ξξ1，并且作和()k nk k x f ∆=∑=1ξσ.如果当0→λ时，和数σ不管分割如何取法，也不管k ξ如何取法，都有共同的极限I ，即 (),lim lim 1I x f k nk k =∆=∑=→→ξσλλ则称此极限I 为函数()x f 从a 到b 的黎曼积分，记作()dx x f I ba⎰=，关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如张喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L 积分的定义是先从有界函数的L 积分着手，即定义有限可测集E 的一个分划D ，进而定义于D 相关的小和数与大和数。
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Ｊ＝ Ｒ
别
．
１ ． 勒贝格 积 分的定 义 ２ 设 Ｅ是 一个 勒 贝格 可测集 ， （ ＜ｃ ， （ ｅ ｒ Ｅ） ｘ 厂 ） 。 是 定义 在 Ｅ上 的勒 贝格 可测 函数 ， 又设 厂（ 是 ）
积 分 既有密 切的联 系 ， 又有本 质 的 区别 ． 函数 厂 若
（ 在 ［ ，］ 黎曼可 积 ， 它必 在 ［ ，］ 勒贝格 ） ｎ ６ 上 则 口 ６上 可 积 ， 有相 同 的积分值 ， 勒贝格 可 积不一 定 黎 且 但
如果对 任意 的分法 与 的任 意取 法 ， ３ Ｄ） ￣ 当 （ －０ － 时 ， （ 趋 于有 限的极 限 ， Ｓ Ｄ） 则称 它为 厂 ） Ｅ上 （ 在 关 于勒 贝格测 度 的积分 ， 记作
１ 积 分 的定 义
１ ． 黎曼 积分 的定义 １
Ｊ＝ Ｉ厂（ ｄ ． ）ｘ
从这 两种 积分 的定 义 可 以 看 出 ， 们 的 主要 它 区别 是 ： 黎曼 积分 是 将 给定 函数 的定 义 域 分 小而
数 的连续 性 ， 积分 的 可加性 ， 分极 限定理 ， 顿 一 积 牛 莱 布尼兹 公式 五个 方 面进 行 分 析 比较 ， 出黎 曼 指 积分 与勒 贝格积分 的区别 ． 为便 于叙 述 ， 我们 只考 虑［ ，］ 口 ６ 上有界 函数 厂 ） （ 的积分 ．
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Ｚ＝ Ｚ ＜ Ｚ ０ ｉ＜ … ＜ Ｚ 一 Ｕ，
曼 可积． 在教 材及参 考书 中 ， 有关 黎曼 积分与 勒贝
格 积分 的区别 的 内容 讲 的 很 少 ， 缺 乏条 理 性 和 也 系统 性 ， 由黎曼积分 过渡 到 勒贝格 积分 ， 而 理解 起
Ｖｏ． ｏ １ ２ｌ Ｎ ．５ Ｓｅ ． ２ ７ ｐｔ ００
文章 编 号 ：１ ７ —９ Ｘ（ ０ ７ ０ —０ ９０ ６ ２６ １ ２ ０ ） ５０ ９ —４
浅谈 黎 曼 积 分 与 勒 贝格 积 分 的 区别
潘 学锋
（ 河 子 大 学 数 学 系 ， 疆 石 河 子 ８ ２０ ） 石 新 ３０ ３ 摘 要 ： 积 分 的 定 义 ， 积 函 数 的连 续 性 ， 分 的 可 加性 ， 分 极 限 定 理 ， 顿 布 尼兹 公 式 五 个 方 面 阐 述 了 从 可 积 积 牛 莱
作 者 简 介 ： 学 锋 （９ ９）男 ， 夏 中卫 人 ， 河 子 大 学 助 教 ， 要 从 事 函数 论 的教 学 与 研 究 ． 潘 １ ７一 ， 宁 石 主
维普资讯
பைடு நூலகம்
１０ Ｏ
甘 肃 联合 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
第 ２ 卷 １
在 △ 的振 幅 ｄ ＝ ｓ ｐ ） ｉｆ ） 可 能 上 ｕ ｆ（ 一 ｎ ｆ（ 仍
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黎 曼 积 分 与勒 贝格 积 分 的 区别 ． 关 键 词 ： 曼 积 分 ； 贝 格 积 分 ； 别 黎 勒 区
中 图分 类 号 ： ７ ． Ｏ１ ２ ２ 文 献 标 识 码 ： Ｂ
Ｏ 引 言
黎曼 积分是 数 学分 析 中 的重 要 内容 ， 贝 格 勒 积分 是实 变 函数论 中的 主要 内容 ． 可积 函数 的 就 范 围来 看 ， 勒贝格 积分 比黎曼 积分 更广 泛． 两种 这
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收 稿 日期 ：０ ７０ —７ ２０ —４０ ．
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第 ２ 卷第 ５ ｌ 期
２０ ０ ７年 ９月
甘 肃 联 合 大 学 学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＧａ ｓ ａ ｈ ｉｅｓｔ Ｎａｕ ａ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｎ ｕＬｉｎ ｅＵｎｖ ｒｉｙ（ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅ ） ｏ
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