数列小题ok
6道数列经典解答题
1. 已知S n是数列{a n}的前n项和，且a1=1，na n+1=2S n(n∈N∗)，数列{b n}为等比数列，且满足b1=a2，2b3=b4．（1）求a2的值；（2）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（3）求数列{a n⋅b n}的前n项和T n．【解析】：（1）由a1=1，na n+1=2S n(n∈N∗)，得a2=2S1=2a1=2．（2）当n≥2时，由na n+1=2S n，得(n−1)a n=2S n−1，两式相减，得na n+1−(n−1)a n=2(S n−S n−1)，即：na n+1=(n+1)a n，所以a n+1a n =n+1n，所以a2=2，a3a2=32，a4a3=43，⋯，a na n−1=nn−1，以上(n−1)个式子相乘得a n=2×32×43×⋯×n−1n−2×nn−1=n(n≥3)，又a1=1，a2=2，所以a n=n(n∈N∗)，由已知b1=a2=2，设等比数列{b n}的公比为q，由2b3=b4，得b4b3=2，即q=2，故b n=2n．（3）设数列{a n⋅b n}的前n项和T n，则T n=1×2+2×22+3×23+⋯+n⋅2n，2T n=1×22+2×23+3×24+⋯+(n−1)⋅2n+n⋅2n+1，两式相减得−T n=2+22+23+⋯+2n−n⋅2n+1=2(1−2n)1−2−n⋅2n+1=−(n−1)⋅2n+1−2.故T n=(n−1)⋅2n+1+2．2. 已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n =3n 2+8n ，{b n } 是等差数列，且 a n =b n +b n+1．（1）求数列 {b n } 的通项公式； （2）令 c n =(a n +1)n+1(b n +2)n，求数列 {c n } 的前 n 项和 T n ．【解析】：（1） 当 n ≥2 时，a n =S n −S n−1=6n +5． 当 n =1 时，a 1=S 1=11，代入上式适合， 所以 a n =6n +5(n ∈N ∗)；设数列 {b n } 的公差为 d ，则 {a 1=b 1+b 2,a 2=b 2+b 3,即 {11=2b 1+d,17=2b 1+3d,解得 {b 1=4,d =3,所以 b n =3n +1．（2） 由 (1) 知 c n =(a n +1)n+1(b n+2)n=3(n +1)⋅2n+1．由 T =c 1+c 2+c 3+⋯+c n ，得T n =3[2×22+3×23+4×24+⋯+(n +1)2n+1]， 所以 2T n =3[2×23+3×24+4×25+⋯+(n +1)2n+2]． 以上两式两边相减，得−T n=3[2×22+23+24+⋯+2n+1−(n +1)2n+2]=3[4+4(2n −1)2−1−(n +1)2n+2]=−3n ⋅2n+2.所以 T n =3n ⋅2n+2．3. 已知数列 {a n } 是等差数列，满足 a 1=3，a 4=12，数列 {b n } 满足 b 1=4，b 4=20，且 {b n −a n } 为等比数列． （1）求数列 {a n } 和 {b n } 的通项公式； （2）求数列 {b n } 的前 n 项和．【解析】：（1） 设等差数列 {a n } 的公差为 d ，由题意，得 d =a 4−a 13=12−33=3，所以 a n =a 1+(n −1)d =3n （n =1,2,3,⋯）． 设等比数列 {b n −a n } 的公比为 q ，由题意，得 q 3=b 4−a 4b 1−a 1=20−124−3=8，解得 q =2．所以 b n −a n =(b 1−a 1)q n−1=2n−1， 所以 b n =3n +2n−1（n =1,2,⋯）．（2） 由（1）知 b n =3n +2n−1（n =1,2,⋯）．因为数列 {3n } 的前 n 项和为 32n (n +1)，数列 {2n−1} 的前 n 项和为1×1−2n 1−2=2n −1，所以数列 {b n } 的前 n 项和为 32n (n +1)+2n −1．4. 已知 {a n } 是公差为 3 的等差数列，数列 {b n } 满足 b 1=1，b 2=13，a n b n+1+b n+1=nb n ． （1）求 {a n } 的通项公式； （2）求 {b n } 的前 n 项和．【解析】：（1） 由 a n b n+1+b n+1=nb n ，b 1=1，b 2=13，当 n =1，有 a 1b 2+b 2=b 1，得 a 1=2． 因为 a n 是公差 d =3 的等差数列，所以 a n =a 1+(n −1)d =3n −1（n ∈N ∗）．（2） 因为 a n =3n −1 且 a n b n+1+b n+1=nb n ， 所以 (3n −1)b n+1+b n+1=nb n ． 化简得 3b n+1=bn，即 b n+1b n=13，所以数列 {b n } 是以 b 1=1 为首项，公比 q =13的等比数列， 所以 b n =b 1qn−1=(13)n−1（n ∈N ∗），数列 {b n } 的前 n 项和 S n =a 1(1−q n )1−q=32−32(13)n(n ∈N ∗)． 5. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n =32n −n 2．（1）求 {a n } 的通项公式．（2）若 b n =∣a n ∣，求 {b n } 的前 n 项和 T n ． 【解析】：（1） 因为 n =1 时，a 1=S 1=31， n ≥2 时，a n =S n −S n−1=(32n −n 2)−[32(n −1)−(n −1)2]=−2n +33． 所以 a n =−2n +33(n ∈N ∗)．（2） 由 a n =−2n +33>0，得 n <332．因为 n ∈N ∗，所以 n =1,2,⋯,16 时，a n >0． 同理 n =17,18,⋯ 时，a n <0． 所以当 1≤n ≤16 时，T n =∣a 1∣+∣a 2∣+⋯+∣a n ∣=a 1+a 2+⋯+a n =32n −n 2． n ≥17 时，T n =∣a 1∣+∣a 2∣+⋯+∣a n ∣=a 1+a 2+⋯+a 16−a 17−a 18−⋯−a n=−(a 1+a 2+⋯+a n )+2S 16=−(32n −n 2)+2(32×16−162)=n 2−32n +512.所以 T n ={32n −n 2, 1≤n ≤16,n ∈N ∗,n 2−32n +512, n ≥17,n ∈N ∗.6. 已知数列 {a n } 的前 n 项之和为 S n (n ∈N ∗)，且满足 a n +S n =2n +1．（1）求证数列 {a n −2} 是等比数列，并求数列 {a n } 的通项公式； （2）求证：12a 1a 2+122a 2a 3+⋯+12n a n a n+1＜13．【解析】：（1） 由 a n +S n =2n +1，当 n =1 时，a 1+a 1=2+1，解得 a 1=32．当 n ≥2 时，a n−1+S n−1=2(n −1)+1，所以 a n −a n−1+a n =2，即 a n =12a n−1+1，变形 a n −2=12(a n−1−2)，所以数列 {a n −2} 是等比数列，首项为 a 1−2=−12，公比为 12的等比数列．所以 a n −2=−(12)n，a n =2−12n．（2） 12n a n a n+1=2n+1(2n+1−1)(2n+2−1)=12n+1−1−12n+2−1，所以12a 1a 2+122a 2a 3+⋯+12n a n a n+1=(122−1−123−1)+(123−1−124−1)+⋯+(12n+1−1−12n+2−1)=13−12n+2−1<13.。
数列练习题高中
数列练习题高中一、等差数列1. 已知等差数列的前三项分别为3，5，7，求第10项的值。
2. 在等差数列{an}中，若a1=1，公差d=2，求前10项的和。
3. 已知等差数列的通项公式为an=3n2，求前n项和的表达式。
4. 在等差数列{an}中，若a5+a8=34，a3+a6=26，求首项a1和公差d。
二、等比数列1. 已知等比数列的前三项分别为2，6，18，求第6项的值。
2. 在等比数列{bn}中，若b1=3，公比q=3，求前5项的和。
3. 已知等比数列的通项公式为bn=2^n，求前n项和的表达式。
4. 在等比数列{bn}中，若b3•b6=144，b4•b5=108，求首项b1和公比q。
三、数列的综合应用1. 已知数列{cn}的通项公式为cn=n^2+n，求前n项和。
2. 在数列{dn}中，若d1=1，d2=3，dn=dn1+dn2（n≥3），求第10项的值。
3. 已知数列{en}的前n项和为Sn=2^n1，求通项公式。
4. 设数列{fn}的通项公式为fn=3n+2，求证：数列{fn+1 fn}是等差数列。
四、数列的极限1. 求极限：lim(n→∞) (1+1/n)^n。
2. 求极限：lim(n→∞) (n^2 n) / (2n^2 + 3n + 1)。
3. 求极限：lim(n→∞) (sqrt(n^2+1) sqrt(n^21))。
五、数列的应用题1. 一等差数列的前5项和为35，前10项和为110，求前15项和。
2. 一等比数列的第3项为12，第6项为48，求首项和公比。
3. 一数列的前n项和为2^n 1，求第10项的值。
4. 一数列的通项公式为an=n^2+n，求证：该数列的前n项和为(n+1)(n+2)/2。
六、数列的性质与判定3. 已知数列{gn}的通项公式为gn=2n1，判断数列{gn+1 gn}是否为等差数列。
4. 已知数列{hn}的通项公式为hn=n^3，判断数列{hn+1 / hn}是否为等比数列。
数列练习题(附答案)
数列综合题一、填空题1． 各项都是正数的等比数列{a n }，公比q ≠1,a 5,a 7,a 8成等差数列，则公比q= 2． 已知等差数列{a n }，公差d ≠0,a 1,a 5,a 17成等比数列，则18621751a a a a a a ++++=3． 3已知数列{a n }满足S n =1+n a 41,则a n =4．已知二次函数f(x)=n(n+1)x 2-(2n+1)x+1,当n=1,2,…，12时，这些函数的图像在x 轴上截得的线段长度之和为5.已知数列{a n }的通项公式为a n =log (n+1)(n+2),则它的前n 项之积为6.数列{(-1)n-1n 2}的前n 项之和为7．一种堆垛方式，最高一层2个物品，第二层6个物品，第三层12个物品，第四层20个物品，第五层30个物品，…，当堆到第n 层时的物品的个数为8．已知数列1，1，2，…，它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到，则该数列前10项之和为9．在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为10．已知整数对的序列如下：（1，1），（1，2），（2，1），（1，3），（2，2），（3，1），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（1，5），（2，4），……，则第60个数对为 11．设等差数列｛a n ｝的前n 项和是S n ，若a 5=20－a 16，则S 20=___________． 12．若｛a n ｝是等比数列，a 4· a 7= －512，a 3+ a 8=124，且公比q 为整数，则a 10等于___________．13．在数列｛a n ｝中，a 1=1，当n ≥2时，a 1 a 2… a n =n 2恒成立，则a 3+ a 5=___________． 14．设｛a n ｝是首项为1的正项数列，且（n ＋1）21+n a －na 2n ＋a n +1 a n =0（n =1，2，3，…），则它的通项公式是a n =___________． 二.解答题1.已知数列{a n }的通项公式为a n =3n +2n +(2n-1),求前n 项和2．已知数列{a n }是公差d 不为零的等差数列，数列{a bn }是公比为q 的等比数列， b 1=1,b 2=10,b 3=46,，求公比q 及bn 。
数列题型练习题
数列题型练习题一、选择题1. 下列数列中，是等差数列的是：A. 1, 3, 5, 7, 9B. 2, 4, 8, 16, 32C. 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5D. 1, 2, 4, 7, 112. 已知等差数列的通项公式为an = 2n + 1，其中n是正整数，前5项的和Sn为：A. 5B. 10C. 15D. 253. 若数列的前n项和Sn等于n²，则这个数列的通项公式是：A. an = nB. an = n + 1C. an = n²D. an = 2n二、填空题1. 下列数列中，是等比数列的是：________2. 若等差数列的前n项和Sn = 2n² + n，则这个数列的公差d为：________3. 已知一等差数列的首项为5，公差为3，则数列的前20项的和S20为：________三、计算题1. 若等差数列的首项为2，公差为4，求前10项的和S10。
2. 某等差数列的前5项依次是5, 8, 11, 14, 17，求公差d以及数列的第50项a50。
3. 某等差数列的前n项和Sn等于n² + n，求该数列的通项公式以及前10项的和S10。
四、解答题1. 证明：如果一个数列既是等差数列又是等比数列，那么它必定是等差数列。
2. 某等差数列的前n项和Sn为n² + 3n，推导出该数列的通项公式以及公差d。
3. 等差数列的前n项和Sn等于n² + n，求证：数列的通项公式为an = n + 1。
以上是数列题型练习题的内容，请根据具体要求完成题目，保证解答的准确性和清晰性。
数列测试题及答案解析
数列测试题及答案解析一、选择题1. 已知数列{an}满足a1=2，an+1 = 2an，判断数列{an}是否为等比数列。
A. 是B. 不是C. 无法判断答案：A2. 若数列{bn}是等差数列，且b3=5，b5=9，求b7。
A. 11B. 13C. 无法确定答案：B二、填空题1. 给定数列{cn}，其中c1=1，cn+1 = cn + n，求c5的值。
答案：152. 已知等差数列{dn}的首项d1=3，公差d=2，求d20的值。
答案：43三、解答题1. 求等比数列{en}的前n项和Sn，若e1=1，公比q=3。
解：根据等比数列前n项和公式Sn = e1 * (1 - q^n) / (1 - q)，代入e1=1和q=3，得到Sn = (1 - 3^n) / (1 - 3)。
2. 已知等差数列{fn}的前n项和为Tn，若f1=2，d=3，求T10。
解：根据等差数列前n项和公式Tn = n/2 * (2a1 + (n - 1)d)，代入f1=2和d=3，得到T10 = 10/2 * (2*2 + (10 - 1)*3) = 5 * (4 + 27) = 5 * 31 = 155。
四、证明题1. 证明数列{gn}，其中gn = n^2，是一个单调递增数列。
证明：设n≥2，我们需要证明对于任意的n，有gn ≥ gn-1。
即证明n^2 ≥ (n-1)^2。
展开得n^2 - (n-1)^2 = 2n - 1 > 0，所以数列{gn}是单调递增的。
2. 证明等差数列{hn}的任意两项hn和hm（m > n）之和等于它们中间项的两倍。
证明：设等差数列{hn}的首项为h1，公差为d。
根据等差数列的定义，hn = h1 + (n - 1)d，hm = h1 + (m - 1)d。
将两项相加得hn + hm = 2h1 + (m + n - 2)d。
由于m > n，所以m + n - 2 = m - 1 + n - 1，即hn + hm = h1 + (m - 1)d + h1 + (n - 1)d = 2h1 + (m + n - 2)d = 2h((m + n - 1)/2)，这正是它们中间项的两倍。
数列考试题型及答案详解
数列考试题型及答案详解一、选择题1. 已知数列{a_n}是等差数列，且a_1 = 3，a_4 = 12，那么a_7的值为多少？A. 21B. 20C. 22D. 19答案：A解析：等差数列的通项公式为a_n = a_1 + (n-1)d，其中d为公差。
根据题目给出的信息，a_4 = a_1 + 3d，代入已知数值得到12 = 3 + 3d，解得d = 3。
因此，a_7 = a_1 + 6d = 3 + 6*3 = 21。
2. 已知数列{b_n}是等比数列，且b_1 = 2，b_3 = 16，那么b_5的值为多少？A. 32B. 64C. 8D. 128答案：B解析：等比数列的通项公式为b_n = b_1 * q^(n-1)，其中q为公比。
根据题目给出的信息，b_3 = b_1 * q^2，代入已知数值得到16 = 2 * q^2，解得q = 4。
因此，b_5 = b_1 * q^4 = 2 * 4^4 = 64。
二、填空题3. 已知数列{c_n}满足c_1 = 5，且c_(n+1) = 2c_n + 1，求c_3的值。
答案：17解析：根据递推关系，c_2 = 2c_1 + 1 = 2*5 + 1 = 11，然后c_3 =2c_2 + 1 = 2*11 + 1 = 23。
4. 已知数列{d_n}满足d_1 = 3，且d_(n+1) = 3d_n - 2，求d_4的值。
答案：65解析：根据递推关系，d_2 = 3d_1 - 2 = 3*3 - 2 = 7，d_3 = 3d_2- 2 = 3*7 - 2 = 19，然后d_4 = 3d_3 - 2 = 3*19 - 2 = 65。
三、解答题5. 已知数列{e_n}满足e_1 = 1，且e_(n+1) = e_n + n，求e_5的值，并证明数列{e_n}是递增的。
答案：e_5 = 15证明：首先计算e_5的值，e_2 = e_1 + 1 = 1 + 1 = 2，e_3 = e_2+ 2 = 2 + 2 = 4，e_4 = e_3 + 3 = 4 + 3 = 7，e_5 = e_4 + 4 = 7 + 4 = 15。
数列练习题经典例题及详细解答
数列练习题4．正项等比数列{a n }中a 1，a 49是2x 2－7x +6=0的两个根，则a 1·a 2·a 25·a 48·a 49的值为（ ）A ．221B ．93C ．±93D ．357、数列{}n a 满足首项*1114,323(),n n a a a n N +=+=∈那么使20n n a a +⋅<成立的n 值是（ ）A21 B20 C2和21 D21和225．已知数{}n a 的前n 项和142+-=n n S n ，则|||||||1021a a a ++++ 的值为（ ）A ．67B ．65C ．61D ．565．已知无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，所有项的和为S ，且1)2(lim =-∞→S S n n ，则其首项a 1的取值范围（ ）A ．(－1，0)B ．（－2,－1）C ．（－2,－1）∪（－1,0）D ．（－2,0） 9．若数列{}n a 成等差数列， a m ＝n ，a n ＝m(m ≠n)，则a m ＋n ＝ （ ）A ．0 B. 1 C. m ＋n D. －m －n10.若数列{}n a 成等差数列， ,()m n S n S m m n ==≠，则m n S +＝ （ ）A ．0 B. 1 C. m ＋n D. －m －n(1) 解法一： 1m n a a d m n-==--，∴0m n m a a nd n n +=+=-= 解法二：设n a an b =+，则a n b m a m b n +=⎧⎨+=⎩解之1a b m n=-⎧⎨=+⎩，∴()0m n a m n m n +=-+++= 解法三：设首项和公差列方程组（略）(2) 解法一：1m n n s s a +-=+…＋1111()()()()22m n m m n a m n a a m n a a n m ++=-+=-+=- ∴1112,()()2m n m n m n a a s m n a a m n ++++=-=++=-- 解法二： 设2n s an bn =+，则22an bn m am bm n⎧+=⎨+=⎩相减得()1a m n b ++=- ∴s m+n ＝a(m ＋n)2＋b(m ＋n)＝(m+n)[a(m ＋n)＋b]＝－m －n 解法三：由已知点(,),(,),(,)m n m n s s s m n m n m n m n+++共线， ∴m n m n s m n m m n n m n s m n m m n++--+=⇒=---4．若数列{}n a 的前n 项和12+=n n S ，则=+++22221n a a a （ ）A ．2)12(+nB ．1(41)3n - C ．)264(311+-n D ．)234(31+n例10．设｛a n ｝（n ∈N *）是公差为d 的等差数列，前n 项和为S n ，且S 5＜S 6，S 6=S 7＞S 8，则下列结论错误的是 （ ）A ．d ＜0B ．a 7=0C ．S 9＞S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值14．已知等比数列}{n a 公比为q ，且q>1，其前n 项和为S n ，则nn n S a 1lim +∞→= q －1 . 9．以()f n 表示下图中第（n ）个图形的相应点数,根拒其规律()f n = ()2n n + ．……15.在数列}{n a 中)(22+∈++-=N n kn n a n ,已知此数列是递减数列且恰从第三项起开始小于3,则实数k 的取值范围是_15 .,25[3)_________.例19．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝(n －1)2n ＋1，是否存在等差数列{b n }，使 a n ＝b 1C n 1＋b 2C n 2＋…＋b n C n n 对一切正整数n 均成立？解：n ≥2时，a n ＝S n －S n-1＝n2n-1，n ＝1时也成立，假设存在等差数列b n ＝an ＋b 满足条件 解法一： 则n2n-1＝(a ＋b)C n 1＋(2a ＋b)C n 2＋…＋(na ＋b)C n n＝a(C n 1＋2C n 2＋…＋nC n n )＋b(C n 1＋C n 2＋…＋C n n )＝an2n-1＋b(2n －1)＝(an ＋2b)2n-1－b比较两边对应项系数可得b ＝0，a ＝1，所以存在等差数列b n ＝n 满足条件 解法二：a n ＝ (a ＋b)C n 1＋(2a ＋b)C n 2＋…＋(na ＋b)C n n倒序 a n ＝(na ＋b)C n n ＋(na-a+b)C n n-1＋…＋(a ＋b)C n 1相加2a n ＝(na ＋b)( C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n )即 n ×2n ＝b n ×2n 所以b n ＝n 故存在等差数列b n ＝n 满足条件。
数列综合练习题(含答案)精选全文
3月6日数列综合练习题一、单选题1．已知数列为等比数列，是它的前n项和．若,且与的等差中项为，则（）A ．35B ．33C ．31D ．29【答案】C 【解析】试题分析：∵等比数列{}n a ，∴21a a q =⋅，∴13134222a q a a q a a ⋅⋅=⇒⋅=⇒=，又∵与的等差中项为54，∴477512244a a a ⋅=+⇒=，∴3741182a q q a ==⇒=，∴41316a a q ==，515116(1)(1)32311112a q S q--===--.2．等差数列{}n a 中，19173150a a a ++=则10112a a -的值是（）A．30B．32C．34D．25【答案】A 【解析】试题分析：本题考查等差数列的性质，难度中等．由条件知930a =，所以10112a a -=930a =，故选A．3．数列满足且，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】由有解知数列1n x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为211112x x -=的等差数列；所以11121(1),221n n n n x x n +=+-=∴=+.故选D 4．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列21{}n a -的前n 项和为n T ，下列说法错误．．的是（）A ．若n S 有最大值，则n T 也有最大值B ．若n T 有最大值，则n S 也有最大值C ．若数列{}n S 不单调，则数列{}n T 也不单调D ．若数列{}n T 不单调，则数列{}n S 也不单调【答案】C 【解析】【详解】解：数列{a 2n ﹣1}的首项是a 1，公差为2d ，A ．若S n 有最大值，则满足a 1＞0，d ＜0，则2d ＜0，即T n 也有最大值，故A 正确，B ．若T n 有最大值，则满足a 1＞0，2d ＜0，则d ＜0，即S n 也有最大值，故B 正确，C ．S n ＝na 1()12n n -+•d 2d =n 2+（a 12d -）n ，对称轴为n 111122222d da a a d d d --=-==--⨯，T n ＝na 1()12n n -+•2d ＝dn 2+（a 1﹣d ）n ，对称轴为n 111222a d d -=-=-•1a d，不妨假设d ＞0，若数列{S n }不单调，此时对称轴n 11322a d =-≥，即1a d-≥1，此时T n 的对称轴n 1122=-•111122a d ≥+⨯=1，则对称轴1122-•132a d ＜有可能成立，此时数列{T n }有可能单调递增，故C 错误，D ．不妨假设d ＞0，若数列{T n }不单调，此时对称轴n 1122=-•132a d ≥，即1a d-≥2，此时{S n }的对称轴n 11122a d =-≥+25322＞=，即此时{S n }不单调，故D 正确则错误是C ，故选C ．5．设n=（）A ．333n 个B ．21333n - 个C ．21333n- 个D ．2333n 个【答案】A【解析】1013333n n -====⋅⋅⋅ 个.故选A.6．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2124n n a S n +=++，且21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，则4a =（）．A ．1B ．3C ．5D ．7【答案】C 【详解】∵2124n n a S n +=++，当2n ≥，()21214n n a S n -=+-+，两式相减，化简得()2211n n a a +=+，∵0n a >，∴11n n a a +=+，数列{}n a 是公差1的等差数列．又21a -，3a ，7a 恰好构成等比数列的前三项，∴()()211126a a a +=+，∴12a =，∴45a =．故选：C第II 卷（非选择题)二、填空题7．已知数列{}n a 的首项11a =，且1(1)12nn na a n a +=+ ，则5a =____．【答案】198．等差数列{}n a 中，39||||a a =，公差0d <，则使前n 项和n S 取得最大值的自然数n 是________．【答案】5或6【解析】试题分析：因为0d <，且39||||a a =，所以39a a =-，所以1128a d a d +=--，所以150a d +=，所以60a =，所以0n a >()15n ≤≤，所以n S 取得最大值时的自然数n 是5或6．9．数列{}n a 满足：11a =，121n n a a +=+，且{}n a 的前n 项和为n S ，则n S =__.【答案】122n n +--【详解】由121n n a a +=+得()1+121n n a a +=+所以1112+n n a a +=+，且112a +=所以数列{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列，且11=222n nn a -+⨯=所以21nn a =-前n 项和()123121222222212n nn nS n n n +-=++++-==--- 10．已知数列{}n a 中,132a =前n 项和为n S ，且满足()*123n n a S n N ++=∈，则满足2348337n n S S ＜＜所有正整数n 的和是___________.【答案】12【详解】由()*123n n a S n N++=∈得()123n n n SS S +-+=，即()11332n n S S +-=-，所以数列{}3n S -是首项为113332S a -=-=-，公比为12的等比数列，故31322n nS -=-⋅，所以332n n S =-，所以22332n n S =-.由2348337n n S S <<得2332334833732n n -<-<，化简得1113327n <<，故3,4,5n =.满足2348337n nS S ＜＜所有正整数n 的和为34512++=.故答案为：12三、解答题11．已知数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n 1na =，求数列{b n }的前n 项和S n ．【详解】（1）数列{a n }满足a 1＝3，a n ﹣a n ﹣1﹣3n ＝0，n ≥2，即a n ﹣a n ﹣1＝3n ，可得a n ＝a 1+（a 2﹣a 1）+（a 3﹣a 2）+…+（a n ﹣a n ﹣1）＝3+6+9+…+3n 12=n （3+3n ）32=n 232+n ；（2）b n 123n a ==•2123n n =+（111n n -+），前n 项和S n 23=（1111112231n n -+-++-+ ）23=（111n -+）()231n n =+．12．在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，满足2(,*)n n S ka n n k R n N =+-∈∈．（I ）若1k =，求数列{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}21n a n --为公比不为1的等比数列，求n S ．【答案】解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为．……………6分（II ）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；……………8分若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．……10分当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；…12分当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．………………………14分【解析】试题分析：解：（1）当1k =时，2,n n S a n n =+-所以21,(2)n S n n n -=-≥,即22(1)(1),(1)n S n n n n n =+-+=+≥……3分所以当1n =时，112a S ==；当2n ≥时，221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=所以数列{}n a 的通项公式为…6分（2）当时，1122n n n n n a S S ka ka n --=-=-+-，1(1)22n n k a ka n --=-+，111a S ka ==，若1k =，则211n a n --=-，从而{}21n a n --为公比为1的等比数列，不合题意；若1k ≠，则10a =，221a k=-，3246(1)k a k -=-212325378333,5,71(1)k k k a a a k k --+--=--=-=--由题意得，2213(5)(3)(7)0a a a -=--≠，所以0k =或32k =．当0k =时,2n S n n =-，得22n a n =-,213n a n --=-,不合题意；当32k =时，1344n n a a n -=-+，从而1213[2(1)1]n n a n a n ---=---因为121130,a -⨯-=-≠210n a n --≠，{}21n a n --为公比为3的等比数列,213nn a n --=-，所以231nn a n =-+，从而1233222n n S n n +=+-+．13．设数列{}n a 的通项公式63n a n =-+，{}n b 为单调递增的等比数列，123512b b b =，1133a b a b +=+．()1求数列{}n b 的通项公式．()2若3nn na cb -=，求数列{}n c 的前n 项和n T ．【详解】()1由题意，数列{}n a 的通项公式n a 6n 3=-+，{}n b 为单调递增的等比数列，设公比为q ，123b b b 512=，1133a b a b +=+．可得331b q 512=，2113b 15b q -+=-+，解得1b 4=，或1q 2(2=-舍去)，则n 1n 1n b 422-+=⋅=。
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选择题
1. （广东卷）已知数列{}n x 满足122x x =，()1212n n n x x x --=+，3,4,n =…．若lim 2n n x →∞=，则1x =( ) （Ａ）32
（Ｂ）３（Ｃ）４（Ｄ）５ 2. （福建卷）3．已知等差数列}{n a 中，12497,1,16a a a a 则==+的值是（ ）
A ．15
B ．30
C ．31
D ．64
3. （湖南卷）已知数列}{n a 满足)(133
,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a = ( )
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．
23 4. （湖南卷）已知数列{log 2(a n －1)}（n∈N *）为等差数列，且a 1＝3，a 2＝5，则 n
n n a a a a a a -++-+-+∞→12312l i m
111( )=（ ）A ．2 B ．23 C ．1 D ．21 5. （湖南卷）设f 0(x )＝sinx ，f 1(x )＝f 0′(x )，f 2(x )＝f 1′(x )，…，f n ＋1(x )＝f n ′(x )，n ∈N ，则f 2005(x )＝（ ）A ．sinx B ．－sinx C ．cos x D ．－cosx
6. （江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5=( ) ( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189
7. (全国卷II ) 如果数列{}n a 是等差数列，则( )
(A)1845a a a a +<+ (B) 1845a a a a +=+ (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =
8. (全国卷II ) 11如果128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则( )
(A)1845a a a a > (B) 1845a a a a < (C) 1845a a a a +>+ (D) 1845a a a a =
9. （山东卷）{}n a 是首项1a =1，
公差为d =3的等差数列，如果n a =2005，则序号n 等于( ) （A ）667 （B ）668 （C ）669 （D ）670
10. （上海）
16．用n 个不同的实数a 1,a 2,┄a n 可得n!个不同的排列,每个排列为一行写成 1 2 3 一个n!行的数阵.对第i 行a i1,a i2,┄a in ,记b i =- a i1+2a i2-3 a i3+┄+(-1)n na in , 1 3 2 i=1,2,3, ┄,n!.用1,2,3可你数阵如右,由于此数阵中每一列各数之和都 2 1 3 是12,所以,b 1+b 2+┄+b 6=-12+2⨯12-3⨯12=-24.那么,在用1,2,3,4,5形成 2 3 1 的数阵中, b 1+b 2+┄+b 120等于( ) 3 1 2
3 2 1
(A)-3600 (B) 1800 (C)-1080 (D)-720
11. （浙江卷）lim n →∞2123n n ++++＝( )
(A) 2 (B) 4 (C) 2
1 (D)0
12. (重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。
已知最底层正方体的棱长为2，且改塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( )
(A) 4；
(B) 5；
(C) 6；
(D) 7。
填空题
1. （广东卷）
设平面内有ｎ条直线(3)n ≥，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三角形不过同一点．若用()f n 表示这ｎ条直线交点的个数，则(4)f __________；当ｎ＞４时，()f n ＝____________．
2. （北京卷）已知n 次多项式1011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++,
如果在一种算法中，计算0k x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要 21n (n ＋3) 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0， 1，2，…，n －1）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的 值共需要 次运算．
3. （湖北卷）设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，
则q 的值为 .
4. (全国卷II ) 在83和272
之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为______．
5. （山东卷）=++-∞→2
22)1(2lim n C C n n n n ____________. 6、计算：1
12323lim -+∞→+-n n n
n n =________。
7. （天津卷）在数列{a n }中, a 1=1, a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n ，
则100S =_ ___.
8. (重庆卷)321
3223lim 23n n n n
n +→∞-+= .。