中考数学专题复习_第十八讲30__等腰三角形与直角三角形(含详细参考答案)
中考数学复习 第18讲 等腰三角形与直角三角形
总
目
录
BD=CE,
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴AD=AE.
(2)解：∵AD=AE，
∴∠ADE=∠AED.
回
∵BF∥AC，∴∠FBD=∠C=45°.
首 页
∵∠ABC=∠C=∠DAE=45°，∠BDF=∠ADE，
总
目
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∴∠F=∠BDF，∠BEA=∠BAE，∠CDA=∠CAD.
∴满足条件的等腰三角形有：△ABE，△ACD，△DAE
角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A，D，E在同一
回 首
直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE，请判 页
断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系
总 目
录
，并说明理由.
［分析］(1)易证∠ACD=∠BCE，即可求证
△ACD≌△BCE，根据全等三角形对应边相等可求得
回 首
AD=BE，根据全等三角形对应角相等即可求得∠AEB 页
页
总 目 录
在△ACD和△BCE中，
CA=CB,
∠ACD=∠BCE,
CD=CE,
回 首
页
∴△ACD≌△BCE(SAS).∴AD=BE，∠ADC=∠BEC.
∵△DCE为等腰直角三角形，∴∠CDE=∠CED=45°.
总 目
录
∵点A、D、E在同一直线上，∴∠ADC=135°.
∴∠BEC=135°，∴∠AEB=∠BEC-∠CED=90°.
总
目
(1)等腰三角形中的已知边是腰还是底边；
录
(2)三角形的中线或高线已知，但未明确是哪一边上的中线或
高线，需对三条边上的中线或高线分别讨论.
方法指导
角不确定分两类讨论：
2024年中考数学复习课件 第18讲 等腰三角形与直角三角形
要点梳理
典题精析
备考练习
14
第18讲 等腰三角形与直角三角形
（2）如图②， △ 仍是等边三角形，
点 在 的延长线上，连接 ，判
断 ∠ 的度数及线段 ， ，
之间的数量关系，并说明理由．
图3
思路点拨 由等边三角形的性质,可将 转化为 .若能将 转化为 ,
（2）点 是否也在边 的垂直平分线上？请说明理由.
解：点 也在边 的垂直平分线上.
理由如下： ∵ = ， ∴ 点 在边 的垂直平分线上.
要点梳理
典题精析
备考练习
22
第18讲 等腰三角形与直角三角形
考点四 直角三角形的性质
名师指导 在直角三角形中求角度时，通常利用“直角三角形的两锐角互
上的中线， 为 的中点．若 = 8 ，
3
= 5 ，则 = ___．
20
第18讲 等腰三角形与直角三角形
（2）求 的长.
思路点拨 利用垂直平分线的性质,可将 转化为 .
因此根据勾股定理,求出 长就可以了.
解： ∵ ∠ = 90∘ ， = 12 = 5， ∴ =
，
图6
2 + 2 = 122 + 52 =13.
∵ 是 的垂直平分线， ∴ = = 13
①有一个角是______的三角形是直角三角形
直角
②有两个角______的三角形是直角三角形
互余
判定
2+
③（勾股定理的逆定理）若三角形的三边长 ， ， 满足______
2 = 2
_______，则这个三角形是直角三角形
(全国通用)中考数学几何复习：等腰三角形与直角三角形(含答案)
中考数学 几何专练：等腰三角形与直角三角形（含答案）一、选择题1.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形 A 、B 、C 、D 的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E 的面 积是（ ）A ．13B ．26C ．47D ．94 2.如图，⊙O 的弦AB ＝6，M 是AB 上任意一点，且OM 最小值为4，则⊙O 的半径为（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 3.“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角 形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板 投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间 小正方形区域（含边线）的概率是（ ）A ．B ．C ．D ． 4.如图，等腰△ABC 中，底边，∠A ＝36°， ∠ABC 的平分线交AC 于D ，∠BCD 的平分线交BD 于E ，设， 则DE ＝（ ）A ．B ．C ．D ．5.如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点离点的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点，需要爬行的最短距离是（ ）A ．B ．25C ．D ． 6.等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°7.如图，AB ＝AC,BD ＝BC ，若∠A ＝40°，则∠ABD 的度数是（ ）121415110a BC =215-=k a k 2a k 32k a 3k a B C A B 5211055+35 AD CE B第4题图52015 10CBA ．B ．C ．D ．8.如图，已知直线且则等于（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.如图，已知Rt △ABC 中，AC ＝3，BC ＝ 4，过直角顶点C 作CA 1⊥AB ，垂足为A 1，再过A 1作A 1C 1⊥BC ，垂足为C 1，过C 1作C 1A 2⊥AB ，垂足为A 2，再过A 2作A 2C 2⊥BC ，垂足为C 2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA 1，A 1C 1，，…，则CA 1＝，2.已知Rt △ABC 的周长是，斜边上的中线长是2，则S △ABC ＝___.3.已知：如图，以Rt △ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB ＝3,则图中阴影部分的面积为．20o30o35o40o110AB CD DCF =︒∥，∠，AE AF =，A ∠30︒40︒50︒70︒12C A =5554C A AC 344+第12题图AF BCDEBADC4.如图，等腰中，，是底边上的高，若，则cm ．三、解答题1.如图所示，∠BAC ＝∠ABD ,AC ＝BD ，点O 是AD 、BC 的交点，点E 是AB 的中点．试判断OE 和AB 的位置关系,并给出证明．2.如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使． （1）求的度数；（2）求证：．ABC △AB AC =AD 5cm 6cm AB BC ==，AD=ABC △40AB AC BAC =∠=，°AB AC ，ABD ACE 90BAD CAE ∠=∠=°DBC ∠BD CE=AC DB3.恩施州自然风光无限，特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世．著名的恩施大峡谷和世界级自然保护区星斗山位于笔直的沪渝高速公路同侧，、到直线的距离分别为和，要在沪渝高速公路旁修建一服务区，向、两景区运送游客．小民设计了两种方案，图（1）是方案一的示意图（与直线垂直，垂足为），到、的距离之和，图（2）是方案二的示意图（点关于直线的对称点是，连接交直线于点），到、的距离之和． （1）求、，并比较它们的大小； （2）请你说明的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速公路与沪渝高速公路垂直，建立如图（3）所示的直角坐标系，到直线的距离为，请你在旁和旁各修建一服务区、，使、、、组成的四边形的周长最小．并求出这个最小值．4.如图所示，是等边三角形，点是的中点，延长到，使， （1）用尺规作图的方法，过点作，垂足是（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：．()A ()B X 50km AB A =，B X 10km 40km P A B AP X P P A B 1S PA PB =+A X A 'BA 'X P P A B 2S PA PB =+1S 2S 2S PA PB =+Y B Y 30km X Y P Q P A B Q ABC △D AC BC E CE CD =D DM BE ⊥M BM EM=P图（1）图（3）图（2）【参考答案】选择题 1. C 2. A 3. C 4. A 5. B 6. B 7. B 8. B 填空题 1.， 2. 83. 4. 4 解答题1. OE ⊥AB ．证明：在△BAC 和△ABD 中，∴△BAC ≌△ABD ．∴∠OBA =∠OAB , ∴OA =OB ． 又∵AE =BE , ∴OE ⊥AB ．2. 解：（1）ΔABD 是等腰直角三角形，， ∴∠ABD ＝45°,AB ＝AC, ∴∠ABC ＝70°,∴∠CBD ＝70°+45°＝115°．5124529AC BD BAC ABD AB BA =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩90∠=°BAD证明：(2)AB ＝AC,,AD ＝AE, ∴ΔBAD ≌ΔCAE, ∴BD ＝CE ．3. 解:⑴图（1）中过B 作BC ⊥AP,垂足为C,则PC ＝40,又AP ＝10,∴AC ＝30在Rt △ABC 中，AB ＝50 AC ＝30 ∴BC ＝40 ∴ BP ＝ S 1＝⑵图10（2）中，过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ，则A ′C ＝50， 又BC ＝40∴BA'＝ 由轴对称知：PA ＝PA' ∴S 2＝BA'＝ ∴﹥(2)如 图10（2），在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA'，由轴对称知MA ＝MA' ∴MB+MA ＝MB+MA'﹥A'B ∴S 2＝BA'为最小（3）过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B'， 连接A'B',交X 轴于点P, 交Y轴于点Q,则P,Q 即为所求 过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G, A'B'＝∴所求四边形的周长为90BAD CAE ∠=∠=°24022=+BC CP 10240+4110504022=+41101S 2S 5505010022=+55050+4. 解：（1）作图见下图，（2）是等边三角形，是的中点，平分（三线合一）， ． ， ．又，．又，， ，．又，．Q ABC △D AC BD ∴ABC ∠2ABC DBE ∴∠=∠CE CD =Q CED CDE ∴∠=∠ACB CED CDE ∠=∠+∠Q 2ACB E ∴∠=∠ABC ACB ∠=∠Q 22DBC E ∴∠=∠DBC E ∴∠=∠BD DE ∴=DM BE ⊥Q BM EM ∴=ACBD EM。
中考总复习之等腰三角形与直角三角形
中考总复习之等腰三角形与直角三角形中考的脚步越来越近啦，同学们是不是都在紧张地进行总复习呢？今天咱们就来好好聊聊等腰三角形和直角三角形这两个重要的“小伙伴”。
先来说说等腰三角形吧。
还记得有一次我在课堂上做实验，用三根长度不一样的小木棍，想拼成一个等腰三角形。
结果呢，怎么拼都拼不出来，同学们在下面笑得前仰后合。
这让我深刻地意识到，等腰三角形的两条腰长度必须相等，不然可就闹笑话啦！等腰三角形有很多有趣的性质。
比如说，它的两个底角相等。
这就像一对双胞胎，长得一模一样。
而且等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合，这叫“三线合一”，可厉害啦！再来讲讲直角三角形。
有一次我去公园散步，看到一个滑梯，突然就想到了直角三角形。
这个滑梯的滑道和地面就构成了一个直角三角形。
直角三角形有个特别重要的定理，那就是勾股定理。
就是说两条直角边的平方和等于斜边的平方。
如果直角三角形的两条直角边长分别为 a 和 b，斜边长为 c，那么 a²＋ b²＝ c²。
这个定理在解决很多几何问题的时候，就像是一把万能钥匙，一用就灵。
直角三角形还有很多特殊的性质。
比如 30°角所对的直角边等于斜边的一半。
这在计算边长的时候特别有用。
在中考中，等腰三角形和直角三角形经常会一起出现，给我们出难题。
比如说，给你一个等腰三角形，其中一个角是直角，让你求其他角的度数或者边长。
这时候可别慌，咱们就一步步来，先根据等腰三角形的性质确定角的关系，再结合直角三角形的定理来计算边长。
还有一种常见的题型是让你证明一个三角形是等腰直角三角形。
这就需要我们综合运用两个三角形的知识，先证明它是等腰三角形，再证明它是直角三角形。
复习这部分知识的时候，同学们一定要多做练习题，把定理和性质都熟练掌握。
遇到难题不要怕，多想想我们讲过的例子和方法，就一定能攻克难关。
最后，希望同学们都能在中考中取得好成绩，加油！就像我们成功拼出一个完美的等腰三角形或者准确算出直角三角形的边长一样，战胜中考的难题！。
中考数学 专题18 等腰三角形与直角三角形(解析版)
3 1 3
3 3
，∴S△OBC
1 2
BC•ON
3
．
3
∵∠EOF=∠AOB=120°，∴∠EOF﹣∠BOF=∠AOB﹣∠BOF，即∠EOB=∠FOC．
OBE OCF 30
在△EOB 和△FOC 中，∵ OB OC EOB FOC
，∴△EOB≌△FOC（ASA），∴S 阴影=S△OBC
【例 2】（2019 四川省宜宾市，第 7 题，3 分）如图，∠EOF 的顶点 O 是边长为 2 的等边△ABC 的重心，
∠EOF 的两边与△ABC 的边交于 E，F，∠EOF=120°，则∠EOF 与△ABC 的边所围成阴影部分的面积是 （ ）
3
23
3
3
A． B． C． D．
中考数学复习资料
（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半； （3）在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半． 基本方法归纳：（1）两个内角互余的三角形是直角三角形． （2）三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形． 注意问题归纳：注意区分直角三角形的性质与直角三角形的判定，在直角三角形中，如果一 个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，它的逆命题不能直接使用．
【详解】连接 OB、OC，过点 O 作 ON⊥BC，垂足为 N．
∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°．
∵点 O 为△ABC 的内心，∴∠OBC=∠OBA 1 ∠ABC，∠OCB 1 ∠ACB，∴∠OBA=∠OBC=∠OCB=30
2
2
°，∴OB=OC．∠BOC=120°．
∵ON⊥BC，BC=2，∴BN=NC=1，∴ON=tan∠OBC•BN
2023年河北省中考数学复习全方位第18讲 等腰三角形直角三角形 课件
(1)∠EBC的度数;
(2)△BEC的周长.
解:(1)∵AB=AC,∠A=50°,∴∠C=∠ABC=65°.
∵DE是AB的垂直平分线,∴AE=BE,∴∠ABE=∠A=50°,
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=15°.
(2)∵AE=BE,AB=AC=8cm,BC=6cm,∴ △ BEC 的 周 长
D. 北偏西35°
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3. (2013·河北,8)如图,一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处,它
以每小时40海里的速度向正北方向航行,2小时后到达位于灯塔P的北偏东
40°的N处,则N处与灯塔P的距离为(
A. 40海里
B. 60海里
D
)
C. 70海里
D. 80海里
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命题点3
等边三角形角的性质与判定
上一点,且AB=BD,AD=DC,则∠C=
36
°.
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5. (2021 · 河 北 预 测 ) 如 图 , 在 等 腰 △ ABC 中 ,AB=AC, ∠ A=36°, 将
△ABC中的∠A沿DE向下翻折,使点A落在点C处.若AE= ,则BC的长
是
.
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6. 如图,在△ABC中,AB=AC=8cm,∠A=50°,AB的垂直3)勾股定理:如果直角三角形两直
+
=
角边分别为a,b,斜边为c,那么⑩
;
(4)在直角三角形中,如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜
边的一半;在直角三角形中,如果一条直角边等于斜边的一半,那么这条直
30°
云南省2022年中考数学总复习课件：第18讲等腰三角形和直角三角形
A．8 B．11 C．16 D．17
【变式】如图，∠AOB 内一点 P，P1，P2 分别是 P 关于 OA，OB 的对称点，P1P2 交
OA 于 M，交 OB 于 N，若 P1P2＝5 cm，则△ PMN 的周长是__5__cm.
【提分要点】 线段垂直平分线的性质与判定的应用 线段垂直平分线的性质与判定在几何证明中应用广泛．利用尺规作出线段垂直平分线 可用来作一条直线的垂线或找线段的中点等．
1.等腰三角形的两个底角_相__等__(简称：_等__边__对__等__角__) 定理 2.等腰三角形顶角_平__分__线__、底边上的中线和底边上的_高__相
互重合(简称“三线合一”) 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也_相__等__(简 写为“等__角__对__等__边___”)
问题 2 若 AD⊥BC，当 BC＝4，AB＝2 时，AD＝___3___．
【提分要点】直角三角形的面积公式 (1)面积：S＝12 ab＝12 ch，其中 a，b 为两条直角边，c 为斜边，h 为斜边上的高； (2)公式应用：一般已知直角三角形的三边，求斜边上的高时，常用等面积法，利用公 式 h＝acb 进行求解．
【提分要点】等边三角形判定 的三种思路 (1)证三角形的三条边相等； (2)证三角形的三个角相等； (3)先证三角形的一个角为 60°， 再证有两条边相等．
与直角三角形性质有关的计算 一题多问·多题归一
在 Rt△ ABC 中，∠BAC＝90°.点 D 为 BC 上的点．
问题 1 若 AD⊥BC，当∠B＝55°时，∠CAD＝__5_5_°__．
问题 5 如图，若 D 在 BC 的延长线上，连接 AD，AC＝DC，∠BAC＝40°，求∠D 的度数．
中考数学专题复习第18讲等腰三角形和直角三角形考点知识精讲
(2)C 当40°为底角时，顶角为100°；40°也可以为顶角．故选C.
中考数学专题复习第18讲 等腰三角形与直角三角形
(3)C 由勾股定理的逆定理可判定 A、B、D 三项均能构成直角三角
形．∵( 3)2＋22≠( 5)2，故选 C.
(4)D 因为 tan∠AEC＝AECC，由△ABC∽△EDC 可得AECC＝BCCD，故①正
中考数学专题复习第18讲 等腰三角形与直角三角形
考点四 直角三角形的性质、判定 1．性质 (1)直角三角形的两个锐角 互余 ； (2)勾股定理：a2＋b2＝c2(在Rt△ABC中，∠C＝90°)； (3)在直角三角形中，如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边 等于斜边的 一半； (4)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直 角边所对的锐角为 30° ； (5)直角三角形 斜边 上的中线等于斜边的一半．
在一条直线上，点 M 是 AE 的中点，下列结论：①tan∠AEC＝CD；②S△ABC
＋S△CDE≥S△ACE；③BM⊥DM；④BM＝DM.正确结论的个数是( )
A．1 个
B．2 个
C．3 个
D．4 个
【点拨】本组题主要考查等腰三角形,直角三角形的有关性质和判定.
【解答】(1)D ∵3＋3＝6，∴等腰三角形的底边长和腰长分别为3 cm和6 cm，∴它的周长是6×2＋3＝15(cm)．
中考数学专题复习第18讲 等腰三角形与直角三角形
2011·芜湖 如图，在梯形ABCD中，DC∥AB， AD＝BC，BD平分∠ABC，∠A＝60°，过点D作DE⊥AB， 过点C作CF⊥BD，垂足分别为E，F，连接EF，求证：△DEF为等边三角 形． 【点拨】先证F为BD的中点，从而得到DF＝EF＝BF.再由∠BDE＝60°， 可得△DEF为等边三角形． 【解答】∵CD∥AB，AD＝BC，∠A＝60°， ∴∠ABC＝∠A＝60°. 又∵BD 平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD＝12∠ABC＝30°.
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第十八讲等腰三角形与直角三角形【基础知识回顾】一、等腰三角形1、定义：有两边的三角形叫做等腰三角形，其中的三角形叫做等边三角形2、等腰三角形的性质：⑴等腰三角形的两腰等腰三角形的两个底角简称为⑵等腰三角形的顶角平分线、互相重合，简称为⑶等腰三角形是轴对称图形，它有条对称轴，是3、等腰三角形的判定：⑴定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形⑵有两相等的三角形是等腰三角形，简称【名师提醒：1、等腰三角形的性质还有：等腰三角形两腰上的相等，两腰上的相等，两底角的平分线也相等。
2、因为等腰三角形腰和底角的特殊性，所以在题目中往常出现对边和角的讨论问题，讨论边时应注意保证，讨论角时应主要底角只被为角】4、等边三角形的性质：⑴等边三角形的每个内角都都等于⑵等边三角形也是对称图形，它有条对称轴1、等边三角形的判定：⑴有三个角相等的三角形是等边三角形⑵有一个角是度的三角形是等边三角形【名师提醒：1、等边三角形具备等腰三角形的所有性质2、有一个角是直角的等腰三角形是三角形】二、线段的垂直平分线和角的平分线1、线段垂直平分线定义：一条线段且这条线段的直线叫做线段的垂直平分线2、性质：线段垂直平分线上的点到得距离相等3、判定：到一条线段两端点距离相等的点在4、角的平分线性质：角平分线上的点到的距离相等5、角的平分线判定：到角两边距离相等的点在【名师提醒：1、线段的垂直平分可以看作是的点的集合，角平分线可以看作是的点的集合。
2、要能够用尺规作一条已知线段的垂直平分线和已知角的角平分线】三、直角三角形：1、勾股定理和它的逆定理：勾股定理：若一个直角三角形的两直角边为a、b斜边为c则a、b、c满足逆定理：若一个三角形的三边a、b、c满足则这个三角形是直角三角形【名师提醒：1、勾股定理在几何证明和计算中应用非常广泛，要注意和二次根式的结合2、勾股定理的逆定理是判断一个三角形是直角三角形或证明线段垂直的主要依据，3、勾股数，列举常见的勾股数三组、、】2、直角三角形的性质：除勾股定理外，直角三角形还有如下性质：⑴直角三角形两锐角⑵直角三角形斜边的中线等于⑶在直角三角形中如果有一个锐角是300，那么它所对边是边的一半3、直角三角形的判定：除勾股定理的逆定理外，直角三角形还有如下判定方法：⑴定义法有一个角是的三角形是直角三角形⑵有两个角的三角形是直角三角形⑶如果一个三角形一边上的中线等于这边的这个三角形是直角三角形【名师提醒：直角三角形的有关性质在四边形、相似图形、圆中均有广泛应用，要注意这几条性质的熟练掌握和灵活运用】【重点考点例析】考点一：角的平分线解：如图，过D作DE⊥BC于E，对应训练1．（2013•泉州）如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．考点二：线段垂直平分线例2 （2013•义乌市）如图，AD⊥BC于点D，D为BC的中点，连接AB，∠ABC的平分线交AD于点O，连结OC，若∠AOC=125°，则∠ABC= ．思路分析：先根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式求出∠C，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得OB=OC，根据等边对等角的性质求出∠OBC=∠C，然后根据角平分线的定义解答即可．解：∵AD⊥BC，∠AOC=125°，∴∠C=∠AOC-∠ADC=125°-90°=35°，∵D为BC的中点，AD⊥BC，∴OB=OC，∴∠OBC=∠C=35°，∵OB平分∠ABC，∴∠A∠=2∠OBC=2×35°=70°．故答案为：70°．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的性质，角平分线的定义，是基础题，准确识图并熟记各性质是解题的关键．对应训练2．（2013•天门）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，BC=6cm，AB的垂直平分线交BC 于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为（）A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm2．C考点三：等腰三角形性质的运用例3 （2013•武汉）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（）A．18°B．24°C．30°D．36°思路分析：根据已知可求得两底角的度数，再根据三角形内角和定理不难求得∠DBC的度数．解：∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠ACB=7，2°∵BD是AC边上的高，∴BD⊥AC，∴∠DBC=90°-72°=18°．点评：本题主要考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是会综合运用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行答题，此题难度一般．对应训练3．44°考点四：等边三角形的判定与性质例4 （2013•黔西南州）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG=CD，DF=DE，则∠E= 度．思路分析：根据等边三角形三个角相等，可知∠ACB=60°，根据等腰三角形底角相等即可得出∠E的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∠ACD=120°，∵CG=CD，∴∠CDG=30°，∠FDE=150°，∵DF=DE，∴∠E=15°．故答案为：15．点评：本题考查了等边三角形的性质，互补两角和为180°以及等腰三角形的性质，难度适中．对应训练A．50°B．60°C．70°D．80°思路分析：在△ADE中利用内角和定理求出∠AED，然后判断DE∥BC，利用平行线的性质可得出∠C．解：由题意得，∠AED=180°-∠A-∠ADE=70°，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠C=∠AED=70°．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是掌握三角形中位线定理的内容：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．对应训练5．（2013•厦门）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD=24厘米，△OAB的周长是18厘米，则EF= 厘米．5．3考点六：直角三角形例6 （2013•衢州）将一个有45°角的三角板的直角顶点放在一张宽为3cm的纸带边沿上．另一个顶点在纸带的另一边沿上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，如图，则三角板的最大边的长为（）A．3cm B．6cm C．cm D．cm思路分析：过另一个顶点C作垂线CD如图，可得直角三角形，根据直角三角形中30°角所对的边等于斜边的一半，可求出有45°角的三角板的直角直角边，再由等腰直角三角形求出最大边．解：如图，过点C作CD⊥AD，∴CD=3，+1 D +1 A．2 B．C．36．D考点七：勾股定理7．10【聚焦山东中考】1．（2013•临沂）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC1．C2．（2013•枣庄）如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC 的中点，连接DE，则△CDE的周长为（）A．20 B．12 C．14 D．132．C3．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．32B．52C．3 D．43．C4．（2013•威海）如图，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，AB的垂直平分线OD交AB于点O，交AC于点D，连接BD，下列结论错误的是（）A．∠C=2∠AB．BD平分∠ABCC．S△BCD=S△BODD．点D为线段AC的黄金分割点【备考真题过关】一、选择题1．（2013•成都）如图，在△ABC中，∠B=∠C，AB=5，则AC的长为（）A．2 B．3 C．4 D．51．D2．（2013•南充）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50°D．40°2．D3．（2013•淮安）若等腰三角形有两条边的长度为3和1，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．7 C．5或7 D．63．B4．（2013•长沙）下列各图中，∠1大于∠2的是（）A．B．C．D．4．D5．（2013•宜昌）如图，在矩形ABCD中，AB＜BC，AC，BD相交于点O，则图中等腰三角形的个数是（）A．8 B．6 C．4 D．25．C6．（2013•南平）如图，在△ABC中，AB=AC，DE∥BC，∠ADE=48°，则下列结论中不正确的是（）A．∠B=48°B．∠AED=66°C．∠A=84°D．∠B+∠C=96°7．D8．（2013•铁岭）如果三角形的两边长分别是方程x2-8x+15=0的两个根，那么连接这个三角形三边的中点，得到的三角形的周长可能是（）A．5.5 B．5 C．4.5 D．48．A9．（2013•柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD 的长为（）A．157B．125C．207D．2159．A10．（2013•德宏州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以点C为圆心，CB为半径的圆恰好经过AB的中点D，则AC=（）A．5 B．C．D．610．C11．（2013•大庆）正三角形△ABC 的边长为3，依次在边AB 、BC 、CA 上取点A 1、B 1、C 1，使AA 1=BB 1=CC 1=1，则△A 1B 1C 1的面积是（ ）A ．4B ．4C ．94D ． 411．BA ．6B ．8C ．10D ．1212．B二、填空题13．（2013•徐州）若等腰三角形的顶角为80°，则它的底角度数为（ ）A ．80°B ．50°C ．40°D ．20° 13．B14．（2013•白银）等腰三角形的周长为16，其一边长为6，则另两边为 ． 14．6，4或5，515．（2013•广州）点P 在线段AB 的垂直平分线上，PA=7，则PB= ．15．716．（2013•长沙）如图，BD 是∠ABC 的平分线，P 为BD 上的一点，PE ⊥BA 于点E ，PE=4cm ，则点P 到边BC 的距离为 cm ．16．426．10三、解答题27．（2013•湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．。