No.12利用平方差公式分解因式
运用平方差公式分解因式 (优质)
在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维的意识，同时让学生了 解换元的思想方法.
掌握运用平方差公式分解因式.
教 学 难 点 灵活运用平方差公式，解决实际问题．
教学过程设计
教学程序及教学内容
师生行为Βιβλιοθήκη 设计意 图一、 复习旧知 1． 提问：1、（a+b）(a-b)=
用语言叙述为
教师引导学生回顾， 学生积极回答.
分解中的平方差公式是：
.
（4）运用平方差公式分解因式的多项式特征
是：
．
2.把乘法公式(a+b)(a－b)=a2－b2 反过来得：a2－b2=(a+b)(a
学生总结平方差公 式的结构特征： 口诀：平方差，有 两项；首平方，末 平方；符号相反要 记清；分解化为和 与差．
让学生在与 同伴交流中思考、 感悟，使学生内心 产生解决问题的 欲望，从而进一步
多少？不使用计算器，你能计算出来吗？
我是这样解的： 12.752 7.252 ………… ①
学生思考回答问题． 弄懂整式乘法中的 平方差公式与因式 分解中的平方差公 式的联系与区别．
通过情境， 引出新知 识，激发学 生学习兴 趣，学生理
12.75 7.2512.75 7.25 ………… ②
观察和心算，而后是进行变形。这一点在这儿尤为重要。 1.左边特征是：二项
解： (x+p)2－(x+q)2
式，每项都是平方
=[(x+p)+(x+q)][(x+p)－(x+q)]
的形式，两项的符
教学程序及教学内容
号相反。 2.右边特征是：两个
点。 说明： (1)对于多 项式中的两部分 不是明显的平方 形式,应先变形为 平方形式,再运用 公式分解,以免出 现 16a2 － 9b2=(16a+9b)(16a －9b)的错误。
运用平方差公式进行因式分解
运用平方差公式进行因式分解教学内容：运用平方差公式进行分解因式教学目标：1、使学生进一步理解因式分解的意义。
2、使学生理解平方差公式的意义，弄清公式的形式和特征。
3、会运用平方差公式分解因式。
4、通过对比整式乘法和分解因式的关系，进一步发展学生的逆向思维能力。
教学重难点：1、弄清公式的形式和特征。
2、会运用平方差公式分解因式。
3、整式乘法和分解因式的关系。
学习过程：一、预习检测1.自学课本P39——40上部分内容。
2.平方差公式反过来是：相等吗？3.填空。
（1）4=（）2 64=（）2 b6=（）2 9a2b8=（）2（2）a2－16=a2－（）2=（a＋）（a－）（3）64－b2=（）2－（）2=（＋b）（－b）二、尝试探究1.小组讨论：992－1是100的整数倍吗？你是怎样想的？(1).判断某个数是否是另一个数的整数倍可以怎么判断？如：12是3的整数倍吗？(2).992－1可以写成（99+1）（99－1）吗？为什么可以这么写？9992－1 可以吗？(3).a2－1可以写成（a+1）(a－1)吗？(4).a2－4可以写成乘积形式吗？你认为可以写成什么样子呢？(5).a2－b2呢？2. 比一比，看谁算的又快又准确：572－562962－952 ( )2－( )23.平方差公式的特征辨析：把乘法公式(a+b)(a－b)=a2－b2反过来得：a2－b2=(a+b)(a－b)我们可以运用这个公式对某些多项式进行分解因式。
这种方法叫运用平方差公式法。
(注意:能运用平方差公式分解因式的多项式有两个特点：一是它的两项的差；二是这两项都可以写成一个整式的平方。
4.[议一议]：下列多项式可以用平方差公式分解吗？（1）x2－y2（2）x2+y2（3）－x2－y2（4）－x2+y2（5）64－a2（64)x2_9y2三、典型例题讲解例1 把下列多项式分解因式：’(1) 36－25x2 (2) 16a2－9b2 (x+p)2－(x+q)2 9(a+b)2－4(a－b)2四、课堂检测1.把下列各式因式分解36－x2 a2－9b2 x2y2－z2 （x＋2）2－81 （x＋a）2－（y－b）22.指出下列因式分解中的错误，并给以改正：① x2–4y2=（4x+y）（4x–y）.② –m2+n2=（m+n）（m–n）.3.把下列各式因式分解：（1）16a2–25b2x2；（2） 0.49 a2–49 b2。
运用平方差公式分解因式
运用平方差公式分解因式平方差公式是一种常用的因式分解方法，可以将一个二次方程的平方项和常数项分解成两个平方差的形式。
下面我们将通过数学推导和实例来详细解释平方差公式的运用。
首先，设一个二次方程为x^2 + 2ax + a^2，我们可以观察到这个二次方程的平方项和常数项都是两个平方的形式。
根据平方差公式，我们可以将它分解为(x + a)^2 的形式。
证明过程如下：(x + a)^2 = x^2 + 2ax + a^2由此可见，我们通过平方差公式，成功将x^2 + 2ax + a^2这个二次方程分解为了(x + a)^2的形式。
接下来我们通过一个具体的例子来演示平方差公式的运用。
例子：将x^2+6x+9进行因式分解。
解答：根据平方差公式，我们可以将x^2+6x+9分解为(x+3)^2的形式。
因为二次项的系数是1，常数项是9，并且常数项的开方是3、所以我们可以得到：x^2+6x+9=(x+3)^2通过这个实例，我们可以看到平方差公式的运用非常简单。
我们只需要找到平方项和常数项，并求出常数项的开方，就能分解出一个平方差的形式。
除了基本形式的平方差公式，还存在其他一些特殊形式的平方差公式。
下面我们来介绍其中两个特殊形式。
1.差的平方公式：差的平方公式是指形如a^2-b^2的表达式，可以分解为(a+b)(a-b)的形式。
例如：将x^2-9分解为因式。
因为表达式的形式是差的平方形式，即a^2-b^2，其中a是x，b是3、所以我们可以得到：x^2-9=(x+3)(x-3)2.和的平方公式：和的平方公式是指形如a^2 + 2ab + b^2的表达式，可以分解为(a + b)^2的形式。
例如：将x^2+4x+4分解为因式。
因为表达式的形式是和的平方形式，即 a^2 + 2ab + b^2，其中a是x，b是2、所以我们可以得到：x^2 + 4x + 4 = (x + 2)^2通过这两个特殊形式的平方差公式，我们可以在因式分解过程中更灵活地运用平方差公式。
北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》教学设计
北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》教学设计一. 教材分析北师大版数学八年级下册《利用平方差公式进行因式分解》这一节，是在学生已经掌握了有理数的乘法、完全平方公式的基础上进行学习的。
平方差公式的引入，既是对前面所学知识的巩固，又是进一步学习因式分解的重要工具。
本节课的内容主要包括平方差公式的推导、理解和应用。
通过本节课的学习，学生能够掌握平方差公式的结构特征，学会运用平方差公式进行因式分解，提高解决问题的能力。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了有理数的乘法和完全平方公式，对因式分解有一定的了解。
但学生在运用平方差公式进行因式分解时，可能会对公式的结构特征和运用方法产生困惑。
因此，在教学过程中，需要关注学生的认知基础，引导学生理解平方差公式的本质，并通过大量的练习，让学生熟练运用平方差公式进行因式分解。
三. 教学目标1.理解平方差公式的结构特征和推导过程。
2.学会运用平方差公式进行因式分解。
3.提高解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重难点：平方差公式的推导和运用。
2.重点：引导学生理解平方差公式的结构特征，学会运用平方差公式进行因式分解。
3.难点：对平方差公式的灵活运用，解决实际问题。
五. 教学方法1.讲授法：讲解平方差公式的推导过程，解释公式的作用。
2.引导法：引导学生通过观察、思考，发现平方差公式的结构特征。
3.练习法：布置适量的练习题，让学生在实践中掌握平方差公式的运用。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT，展示平方差公式的推导过程和应用实例。
2.准备一些练习题，用于课堂练习和巩固知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的数学问题，引入平方差公式的概念。
例如：已知一个正方形的面积是36，求这个正方形的边长。
让学生尝试解决这个问题，从而引出平方差公式。
2.呈现（10分钟）讲解平方差公式的推导过程，解释公式的作用。
通过PPT展示平方差公式的推导过程，让学生直观地理解平方差公式的来源。
利用平方差公式进行因式分解
3)两项的符号相反
关键：找准公式中的a和b
注意:
1.有公因式要先提取公因式 2.再应用平方差公式分解 3.每个因式要化简，并且分解彻底
7.两个连续偶数的平方差 能被4整除吗？
请与你的同伴交流。
Good bye !
(4)
2 2 9(x+y) -(x-y)
5.把下列各式分解因式:
(1) 3ax2-3ay4
(22y
动脑筋
6、已知:a+b=3,a-b=2,
求a2 - b2 的值
解: a2 - b2 =(a+b)(a-b) =3×2
=6
谈谈你有何收获
条件:1) 是一个二项式（或可看成一个二项式）
2
将下列各式分解因式的正确答案用线连接起来
9a2 –25b2
(6a+7)(6a-7)
16x2 –4y2
36a2 –49
(8x+9)(8x-9)
(3a+5b)(3a-5b)
64x2 –81
(4x+2y)(4x-2y)
3.选择题：
1)下列各式能用平方差公式分解因式
的是 （ D ）
A. x² +y²
C. x² +(-y)2
分解因式—运用公式法(一)
康杰初中
董明军
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
两个数的平 方差，等于 这两个数的
整式乘法
和与这两个
数的差的积
a²- b² = (a+b)(a-b) 分解因式
1 熟练运用平方差公 式分解因式
1.能用平方差公式 2.运用平方差公
分解因式的多项式
12.2因式分解的方法(第2课时 运用平方差公式因式分解)(课件)七年级数学上册(沪教版2024)
解：不能.
课堂练习
2. 因式分解：
1
2
2
− 16;
解： − 16 = − 4
= +4 −4 .
2
2
2
4 2
2 − ;
25
4 2
2
2
解： − = −
25
5
2
2
= + − .
5
5
2
2
课堂练习
2. 因式分解：
3
9
2 2
− 812 ;
4
解：9 − 81 = 9 − 9
− 81
2
2
2
−9
=
= 2 + 9 2 − 9
= 2 + 9 + 3 − 3 .
(x+3)(x-3).
课堂练习
课堂练习12.2 2
1. 口答
下列整式能用平方差公式因式分解吗？为什么？
1
4
+ 2 ;
2
4 − 2 ;
解：不能.
解：能.
3
4
−4 + 2 ;
解：能.
−4 − 2 .
课本例题
例4
因式分解：
1
3 3 − 12;
解 1
3 − 12
=3 2 − 4
= 3 + 2 − 2 .
3
当整式的各项含有公因式时，通常
先提取公因式，然后再考虑是否统
进一步因式分解
课本例题
例4
因式分解：
2
4 − 81.
解 2
4
因式分解要分解到每个因式都不能
平方差公式因式分解 教案
平方差公式因式分解【教学目标】知识与技能：1、会用平方差公式因式分解。
2、能熟练应用提公因式法、套平方差公式因式分解。
过程与方法：通过复习平方差公式，逆向思维归纳出利用平方差公式因式分解的方法，初步掌握一提二套的方法、步骤。
情感、态度与价值观：体会平方差公式的特点及应用于整式的因式分解，从而进一步认识数学的严谨性与灵活性，感受观察、分析是获取知识的先导和解决问题的关键。
【教学重点】用平方差公式因式分解【教学难点】把多项式适当变形后套平方差公式因式分解【易错点】公式a2-b2中a ，b 易找错，如a2-4=(a+4)(a-4)中对应公式中的b 为2。
【教学过程】一：探究新知活动1：忆一忆1、下列各式中能用平方差公式计算的是 （ B ）A 、（2a+b ）(a-b)B 、(-2a+b)(-2a-b)C 、(2a+b)(-2a-b)D 、(2a+b) (a-2b)2、填空：25x2=(5x)2, 162m =(4m )20.09a2b4=(0.3ab2)2, 0.49(x+y)2=[0.7(x+y)]2活动2：想一想同学们，你能很快得出992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？答案：利用平方差公式得992－1＝100×98，是100的倍数，这就是我们今天所要学习的内容。
二：新知梳理知识点：用平方差公式因式分解公式（a+b ）(a-b)= a2-b2 叫做平方差公式，把这个公式从右至左使用，可把某些多项式因式分解，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积。
三：应用示例例1：把25x2-4y2因式分解分析：25x2=(5x)2,4y2=(2y)2，25x2-4y2＝(5x)2－(2y)2，原式即可以用平方差公式进行因式分解。
解：25x2-4y2＝(5x)2－(2y)2＝（5x+2y ）（5x-2y ）例2：把（x+y ）2-（x-y ）2因式分解。
分析：将（x+y ）看成a,（x-y ）看成b ,原式即可用平方差公式进行因式分解。
4.3.利用平方差公式进行因式分解(教案)-
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过分解不同的二次多项式来演示平方差公式的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、重要性及应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
不过，我也注意到，对于一些学生来说，将理论知识应用到具体问题中仍然是一个挑战。在实践活动和小组讨论中，我观察到有的小组在解决问题时还是显得有些犹豫不决。这让我意识到，我需要在未来的教学中，更多地设计一些循序渐进的练习，帮助学生巩固知识，提高他们解决实际问题的能力。
此外，我也在思考如何让总结回顾环节更加高效。今天的教学结束时，虽然我邀请学生提问，但响应并不热烈。我考虑在下次课中，尝试让学生自己来总结今天的学习内容，或许这样可以提高他们的参与度和思考的积极性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《利用平方差公式进行因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在解数学题时是否遇到过需要将一个二次多项式分解成两个一次多项式的乘积的情况？”（如x² - 4）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。
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a2－b2 = (a+b)(a－b)
例2 分解因式
（1）a²-9b²
解：原式=(a)2-(3b)2 =（a+3b）（a-3b） （2）25x²-1 解：原式=(5x)2-(1)2 =（5x+1)（5x-1）
a2－b2 = (a+b)(a－b)
16 2 81 2 (3) a b 9 4
（4）-1+4m² （5）(x+y)²-4 （6）(x+2)²-（2x-1）² （7）16(a-b)²-25（a+b）²
第十四章 整式的乘法与因式分解
14.3 因式分解
14.3.2 公式法 第1课时 利用平方差公式分解因式
R·八年级上册
用平方差公式计算下列各题 (1)( x 3)( x 3) ( 2)(3a 4)(3a 4) 1 1 (3)(4b )(4b ) 2 2 ( 4)(5 x 6 y )(5 x 6 y )
2 你能做到：分解因式 4x -1
新课导入
思考 多项式
a² -b² 有什么特点？
a²-b²=（a+b）（a-b）
逆用平方差公式因式分解 它具有如下特点：
（1）左边是二项式，每一项都能写 成平方的形式，两项的符号相反。
（2）右边是两个多项式的积，一个因式 是两个底数的和，另一个因式是两底数 的差。
获取新知
（6）(x²+x+1)²-1
a2－b2 = (a+b)(a－b)
例4 分解因式
1 2 （ 1 ） x 2 8
1 2 解：原式 ( x 16) 8 1 ( x 4)( x 4) 8 （2）a3b-ab3
解：原式=ab（a²-b²)
=ab（a+b）(a-b)
a2－b2 = (a+b)(a－b)
随堂练习
1.下列多项式能用平方差公式分解的有（ D ） A.a²+（-b）² B.5m²-20mn
C.-x²-y²
D.-x²+9
a2－b2 = (a+b)(a－b)
2.把下列各式分解因式。 （1）4x²-9 （2）(x+p)²-（x+q）²
（3）x4-y4
（4）a3b-ab （5）36(x+y)²-49(x-y)²
（3）x5-16x 解：原式=x（x4-16) =x（x2+4）(x2-4)
=x(x2+4)(x+2)(x-2) （4）(a-1)+b²(1-a) 解：原式=(a-1)-b²(a-1)
=(a-1)(1-b²)
=(a-1)(1+b)(1-b)
总结： 因式分解步骤：一提二套三查
课堂小结
回顾平方差公式结构与因式分解时应该注意的事项
例1 下列各式中能用平方差公式分解因式 4 的有 个（填序号） ① -a²-b²； ② a²-4b²； ③ x²-y²-4；
④ -9a²b²+1；
⑤（x-y）²-（y-x）²；
⑥ x4-1
公式法因式分解（平方差）
两数的平方差，等于这两个数的和 与这两个数的差的积。
2 2 a －b
= (a+b)(a－b)
课后作业
1.从教材习题中选取， 2.完成练习册本课时的习题.
人要独立生活，学习有用的技艺。 —— 凯德