用平方差公式分解因式
用平方差公式因式分解公开课教案
用平方差公式因式分解公开课教案一、教学目标：1. 让学生掌握平方差公式的概念和应用。
2. 培养学生运用平方差公式进行因式分解的能力。
3. 提高学生解决实际问题的能力。
二、教学内容：1. 平方差公式的定义和特点。
2. 平方差公式的记忆方法。
3. 运用平方差公式进行因式分解的方法和步骤。
三、教学重点：1. 平方差公式的记忆和应用。
2. 运用平方差公式进行因式分解的方法和技巧。
四、教学难点：1. 平方差公式的灵活运用。
2. 因式分解中的特殊情况的处理。
五、教学方法：1. 采用讲解、演示、练习、讨论等多种教学方法，引导学生主动参与、积极思考。
2. 通过例题和练习题，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
3. 鼓励学生提问和发表自己的观点，培养学生的思维能力和创新能力。
一、平方差公式的定义和特点1. 引入平方差公式：a^2 b^2 = (a + b)(a b)2. 解释平方差公式的概念和特点3. 让学生熟记平方差公式二、平方差公式的记忆方法1. 平方差公式记忆口诀：平方差，加减号，乘积不变性质牢2. 讲解记忆方法，引导学生自主记忆3. 进行记忆测试，检查学生掌握情况三、运用平方差公式进行因式分解的方法和步骤1. 讲解因式分解的方法和步骤2. 示例题：因式分解ax^2 + bx + c3. 让学生独立完成练习题，巩固所学知识四、平方差公式的灵活运用1. 讲解平方差公式的灵活运用方法2. 示例题：解决实际问题中的应用3. 让学生尝试解决实际问题，提高应用能力五、因式分解中的特殊情况1. 讲解特殊情况：完全平方公式和平方差公式的结合2. 示例题：因式分解中含有完全平方项的题目3. 让学生练习特殊情况下的因式分解，巩固知识点六、练习题讲解和分析1. 讲解练习题，分析解题思路和方法2. 引导学生总结解题规律，提高解题能力3. 鼓励学生提问和发表自己的观点，培养思维能力七、课堂小结1. 总结本节课所学知识：平方差公式、因式分解的方法和步骤2. 强调平方差公式的记忆和应用重要性3. 布置课后作业，巩固所学知识八、课后作业布置1. 布置练习题：因式分解和应用平方差公式2. 提醒学生按时完成作业，加强练习3. 鼓励学生自主学习，提高解题能力九、作业讲解和反馈1. 讲解作业题目，分析学生解题情况2. 针对学生错误进行讲解和指导3. 给予学生鼓励和反馈，提高学习积极性十、课程总结和反思1. 总结本节课的教学目标和内容2. 反思教学过程中的优点和不足3. 提出改进措施，为下一节课做好准备六、教学活动设计：1. 导入新课：通过复习完全平方公式，引导学生发现平方差公式的规律。
利用完全平方差公式进行因式分解
因式分解的几种方法把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：1、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、分解因式x3 -2x 2-xx3 -2x2 -x=x(x2 -2x-1)2、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a2 +4ab+4b2解：a2 +4ab+4b2 =（a+2b）23、分组分解法要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)例3、分解因式m2 +5n-mn-5m解：m2 +5n-mn-5m= m 2-5m -mn+5n= (m2 -5m )+(-mn+5n)=m(m-5)-n(m-5)=(m-5)(m-n)4、十字相乘法对于mx2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)例4、分解因式7x2 -19x-6分析： 1 ×7=7, 2×(-3)=-61×2+7×(-3)=-19解：7x2 -19x-6=（7x+2）(x-3)5、配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x2 +6x-40解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 ) 2=[(x+3)+7]*[(x+3) – 7]=(x+10)(x-4)6、拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
15.5.2.1用平方差公式因式分解
(1) 4x2-9 ４x2=( 2x )2, 9＝（ 3 ）２， ４x２-9=( 2x )2-( 3 )2.
分析：
解：4x2-9=(2x)2-(3)2=(2x+3)(2x-3) 9 2 3 3 2 (2) x -0.01y （ x＋0.1y)( x-0.1y) 49 7 7 (3)(x+p)2 - (x+q)2
平方差公式：
(a+b)(a-b) = a²- b²
整式乘法
两个数的平 方差，等于 这两个数的 和与这两个 数的差的积
a²- b² = (a+b)(a-b)
因式分解
下列多项式能否用平方差公式来分 解因式？
(1) x2 + y2
(2) x2 - y2
(3) -x2+y2 (4) -x2 - y2
(2)(3)能，(1)(4)不能
解:原式=(x+p+x+q)(x+p-x-q)=(2x+p+q)(p-q)
1.下列多项式能否用平方差公式来分解 因式?为什么? 若能请写出结果. (1) x2+y2 (2) x2-y2 (3) – x2+y2 1 (4) –x2-y2 (5)-(x-3)2+1 (6) -3x23 2. 填空: (1)-a2+9= (3+a)(3-a) , (2) 0.81a2-169b2= (0.9a+13b)(0.9a-13b) , 1 1 1 (3)a2- 25 b2= (a+ 5 b)(a, 5 b) (3a+2b)(3a-2b) 2 2 (4)9a -4b = .
(1) ax - ay = a( x – y )
(2) 9a2 - 6ab+3a =3a(a-2b+1)
因式分解“平方差公式”教学反思
因式分解“平方差公式”教学反思因式分解“平方差公式”教学反思篇1用平方差公式分解因式，先从整式乘法的平方差公式：(a＋b)(a-b)=a2-b2引入，把公式反过来：a2-b2=(a＋b)(a-b)就成了因式分解了。
让学生观察公式左右两边的结构特点，在这一环节有点着急，应该让学生多观察，让学生发现并说出公式左右两边的结构特点，我再加以归纳和总结，会让学生印象深刻。
紧接着，辨一辨，下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？（1）x2+y2（2）x2-y2（3）-x2-y2（4）-x2+y2想要通过这一环节，让学生进一步明白平方差公式的结构特征。
在学生辨析中第（4）个，学生们说出了两种方法：方法一：-x2+y2=y2-x2；方法二：-x2+y2=-(x2-y2)因为在前一节课中，学因式分解时，强调：当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内第一项的系数成为正数，在提出“—”号时，多项式的各项都要变号。
这个时候我对说出两种分解方法的同学及时表扬，并强调两种分解因式的结果是相等的，分解因式是多项式的'恒等变形。
由此，只有具备平方差公式特征的多项式（即是二项式）才能用平方差公式分解因式，否则，不能用平方差公式分解因式。
同学们判断以下两道题目能用平方差公式分解因式吗？学习例1.例1.把下列各式分解因式。
（1）25-16x2（2）9(m+n)2-(m-n)2由于是20分钟的微课，所以我对例题进行了删减与重组。
一个是公式的a,b 代表单项式的题目，一个代表多项式的题目。
讲解时先分析，分清公式里的a,b 是题中的哪一项。
（1）让学生尝试去做，（2）老师一边板书一边讲解。
讲完之后师引导学生总结：（1）公式里的两个数指的是a,b而不是a2,b2 （2）其中a,b可以是单项式，也可以是多项式（3）分解因式必须分解到不能再分解为止。
并结合具体例子给学生强调，刚好以上两个例题中有这个问题的体现。
为了检验同学们学的如何，老师再随机出一题：9a2-0.25b2正如我所预想的，学生很快集体口答出了结果。
因式分解的五个公式
因式分解的五个公式导读a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a& ...因式分解有哪些公式?因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)平方差公式：a²-b²=(a+b)(a-b)推导过程：a²-b²=a²+ab-(b²+ab)=a(a+b)-b(a+b)=(a+b)(a-b)说明：这里推导过程使用了后面的课程添项折项法（添项），这个因式分解添加了ab一项，构造了a+b的公因式，同学们也可以自己试试，添加-ab，也是一样的。
应该问哪些方法！常见的有：（1）提取公因式法（2）公式法（3）十字相乘法（4）分组分解法……因式分解的方法因式分解八大公式如下：1、平方差公式a²-b²=(a+b)(a-b)2、完全平方公式a²+2ab+b²=(a+b)²3、立方和公式a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²)4、立方差公式a³-b³=(a-b)(a²+ab+b²)5、完全立方和公式a³+3a²b+3ab²+b³=(a+b)³6、完全立方差公式a³-3a²b+3ab²-b³=(a-b)³7、三项完全平方公式a²+b²+c²+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)²8、三项立方和公式a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ac)因式分解原则：1.因式分解因子是多项式的常数变形，要求方程的左边必须是多项式。
8用平方差公式分解因式
3
x2
y3
2
0.1z 2
4
3 x2 y3 0.1z 3 x2 y3 0.1z
4
4
附：判断
m2 4k2 m2 2k 2
m 4km4k
22
用平方差公式进行简便计算:
1) 38²-37² 2) 213²-87² 3) 229²-171² 4) 91×89
a4 a2b2
解二：原式 a2 2 ab2
a2 aba2 ab
aa b aa b
a2 a ba b
哪种方 法好些？
多项式
分解因式的结果
（1） a2 4 a 2a 2
（2） （3） （4）
16 x2
当我们进行因式分解时，
一、如果多项式各项含有公 因式，一般先提出公因式；
二、分解因式必须分解到每一 个因式都不能再分解为止。
1 1 a 2b2 4
xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ y2 9m2
4 x4 x
1 1 ab1 1 ab 2 2
x y3mx y3m
在如图所示的圆环中，外圆半径R=9.5cm， 内圆半径r=8.5cm，求圆环（阴影部分）的面积 （取3.14，结果保留三个有效数字）
分析：圆环（阴影部分）的
r
面积= S大圆面积 S小圆面积
R
R2 r 2
R2 r 2
R rR r
小结
1、因式分解的一个重要工 具————平方差公式
2、我们在进行因式分解时 应注意的问题
运用平方差公式分解因式
a2 b2 a ba b
a2 b2 a ba b
4.3.利用平方差公式进行因式分解(教案)-
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与平方差公式相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，通过分解不同的二次多项式来演示平方差公式的应用。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
今天的学习，我们了解了平方差公式的概念、重要性及应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对平方差公式的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决数学问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
不过，我也注意到，对于一些学生来说，将理论知识应用到具体问题中仍然是一个挑战。在实践活动和小组讨论中，我观察到有的小组在解决问题时还是显得有些犹豫不决。这让我意识到，我需要在未来的教学中，更多地设计一些循序渐进的练习，帮助学生巩固知识，提高他们解决实际问题的能力。
此外，我也在思考如何让总结回顾环节更加高效。今天的教学结束时，虽然我邀请学生提问，但响应并不热烈。我考虑在下次课中，尝试让学生自己来总结今天的学习内容，或许这样可以提高他们的参与度和思考的积极性。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《利用平方差公式进行因式分解》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在解数学题时是否遇到过需要将一个二次多项式分解成两个一次多项式的乘积的情况？”（如x² - 4）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索平方差公式的奥秘。
用完全平方差公式因式分解
x2 x1
4
(4)4x2 2xy y2
练一练：按照完全平方公式填空：
(1) a2 10a ( 25 ) ( a 5 )2
(2) ( a2 y2) 2ay 1 ( ay 1 )2
(3) 1 ( rs ) r 2s2 ( 1 rs )2
4
2
平方差公式法和完全平方公式法统称公式法。 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式 完全平方公式法：适用于完全平方式
用完全平方公式分解因式的关键是：在判断一个多项式 是不是一个完全平方式。 做一做：下列多项式中，哪些是完全平方式？
(1) a2 4a 4 (2) (3) m2n2 4 4mn
2 (3)a 2a 1
2 (4)4 x 4 x 1
(5)ax2 2a2 x a3
(6) 3x2 6xy 3y2
(7) (a+b)4-10(a+b)2+25
例2.用简便方法运算。
(1)2006 2 62 (2)132 213 3 9 (3)112 39 2 66 13
分解因式4x2-9 =(2x)2-32=(2x+3)(2x-3)
能用平方差公式进行因式分解的多项式有 什么特点？
(1)两项 (2)平方差
下面的多项式能用平方差公式分解因式吗？ (1) a2＋2ab＋b2 (2) a2－2ab＋b2
完全平方公式： 完全平方公式
(a＋b)2 = a²＋2ab＋ b² 反过来就是：
已知a、b、c是三角形的三边,请你判断 a2-b2+c2-2bc的值的正负
解： a2-b2+c2-2bc=a2-(b+c)2
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知识
小结
1.利用平方差公式分解因式，首先要掌握好公式的特点。即项数－－2项，符号－－相反，次数－－偶数。要熟记1～20的平方数.
2.多项式中如果有公因式，先提取公因式，然后再用公式法分解，注意一定要分解到使每个多项式因式都不能再分解为止。
3.分解中易出现的错误是：
布局合理，重点突出，便于学生对知识的提取和使用。
《公式法》因式分解教学设计
课题
24.4.2公式法—使用平方差公式分解因式
课型：新授课
教学重点
会使用平方差公式因式分解，培养学生观察、分析问题和探究知识的水平。
教学难点
准确理解和掌握公式的结构特征。
学情分析
学生已经会用提公因式法分解因式，知道因式分解和整式乘法是互逆变形，因为已经学习了整式乘法的平方差公式，在这个基础上继续学习，学生容易实行知识的迁移。
⑴ ⑵
⑶ ⑷
三．挑战新高度
1.设n为整数，用因式分解说明(2n+1)2-25能被4整除。
2.若a、b、c是三角形的三边长且满足
(a+b)2-(a-c)2=0，则此三角形是（）
A、等腰三角形B、等边三角形
C、直角三角形D、不能确定
通过有层次的练习，使学生对知识的掌握由浅入深，符合学生的理解规律，对不同特征的二项式因式分解，渗透整体思想和化归思想，从而达到巩固公式并提升水平的目的。
教材分析
是对整式乘法的再理解、逆使用，与整式乘法运算有密切的联系。
教学目标
知识与技能
①理解和掌握平方差公式的特点，会使用平方差公式分解因式；
②使学生进一步了解因式分解的意义，乘法公式和因式分解的区别与联系。
过程与方法
1培养学生动手操作、探究知识、合作学习的推理水平；
②培养学生观察、分析和创新水平，深化学生逆向思维的水平和数学的应用意识，渗透整体思想。
⑴4m2=()2⑵0.49b2=()2
⑶ c2=()2
2.分解因式
⑴4x2-9⑵
⑶x4-y4⑷a3b-ab
分析⑴要把4x2写成（2x）2的形式，9要写成32的形式。
分析⑵，要把（x+p）和（x+q）当做整体来看
分析⑶，要注意分解到不能再分解为止。
分析⑷，能提公因式的，要先提公因式后再分解。
二．巩固练习，自我检测
情感态度
与价值观
让学生在合作学习的过程中体验成功的喜悦和勇于探索的精神，培养积极的学习态度。
教学手段
多媒体教学实物演示
教学过程以及师生活动
设计意图
复习提问
提问：1.什么叫因式分解？因式分解与整式乘法有什么区别和联系？（是一种互逆的变形）。
2.上节课讲了哪种因式分解的方法？
在分解时要注意什么（要提净所有的公因式）。
⑴系数不分解为： ，还可提取公因式得到 。
把所学知识纳入知识体系，便于学生对知识梳理和使用，对易错的地方再次加深理解。
课后
作业
巩固平方差公式
板书
设计
课题
平方差公式a2-b2=(a＋b)(a－b)例题解析
两个数的平方差，等于（略）
这两个数的和乘以这两
个数的差的积。
练习：（略）
①x2+y2②－x2+y2
③9x2－y2④－x2－y2
归纳：系数能平方，指数要成双，两项的符号不一样。
这样的二项式可用平方差公式分解因式
再次明确公式结构，培养学生观察水平和使用知识解决问题的水平，并通过举例来验证学生对公式的理解
掌握公式特点，会准确使用公式因式分解
巩固
练习
层层
深入
一．例题解析
1.填空：
明确因式分解的定义和整数乘法与因式分解的关系
创设
情境
导入
新课
比一比：看谁算得快？1872-872，你知道怎样计算这道题最快吗？
激发学生学习兴趣，感受学习本节课知识的重要性。培养学生的思维水平。
激情
引趣
得出
公式
活动一：边长为a的正方形挖掉一个边长为b的小正方形（a>b），剩下的面积是多少？
活动二：把余下部分剪拼成一个矩形通过计算两个图形（阴影部分）的面积，矩形的面积是多少？说明了什么？（验证因式分解的平方差公式。）得出公式：a2-b2=(a＋b)(a－b)
使学生从“形”的角度理解理解平方差公式，在动手操作的过程中加深对公式的理解。
合作
交流
灵活
使用
问题⑴用语言叙述公式
⑵公式有什么特点
⑶公式中的字母a、b能够表示什么？
⑷根据你对公式的理解，请举出几个用平方差公式分解因式的例子，并指出多项式中谁相当于公式中的a,谁相当于公式中的b?
⑸下列多项式可否用平方差公式分解因式，如果能够应分解成什么式子？如果不能够请说明理由。