人教A版数学必修五课时作业19(1)

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最新人教a版高中数学必修五课时作业：1.1.1(一)(含答案)

最新人教版数学精品教学资料第一章解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1．1.1 正弦定理(一) 课时目标1．熟记正弦定理的内容；2．能够初步运用正弦定理解斜三角形．1．在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π，A 2＋B 2＋C 2＝π2. 2．在Rt △ABC 中，C ＝π2，则a c ＝sin_A ，b c＝sin_B . 3．一般地，把三角形的三个角A ，B ，C 和它们的对边a ，b ，c 叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．4．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝c sin C，这个比值是三角形外接圆的直径2R .一、选择题1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则 a ∶b ∶c 等于( )A ．1∶2∶3B ．2∶3∶4C ．3∶4∶5D ．1∶3∶2答案 D2．若△ABC 中，a ＝4，A ＝45°，B ＝60°，则边b 的值为( ) A.3＋1 B ．23＋1C ．2 6D ．2＋2 3答案 C解析由正弦定理a sin A ＝b sin B，得4sin 45°＝b sin 60°，∴b ＝2 6. 3．在△ABC 中，sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，则△ABC 为( )A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形答案 A解析 sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ⇔(2R )2sin 2A ＝(2R )2sin 2B ＋(2R )2sin 2C ，即a 2＝b 2＋c 2，由勾股定理的逆定理得△ABC 为直角三角形．4．在△ABC 中，若sin A >sin B ，则角A 与角B 的大小关系为( )A ．A >B B ．A <BC ．A ≥BD ．A ，B 的大小关系不能确定答案 A解析由sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B ⇔a >b ⇔A >B .5．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝3，b ＝2，则B 等于( )A ．45°或135°B ．60°C ．45°D ．135°答案 C解析由a sin A ＝b sin B 得sin B ＝b sin A a＝2sin 60°3＝22. ∵a >b ，∴A >B ，B <60°∴B ＝45°.6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，如果c ＝3a ，B ＝30°，那么角C 等于( )A ．120°B ．105°C ．90°D ．75°答案 A解析 ∵c ＝3a ，∴sin C ＝3sin A ＝3sin(180°－30°－C )＝3sin(30°＋C )＝3⎝⎛⎭⎫32sin C ＋12cos C ，即sin C ＝－3cos C .∴tan C ＝－ 3.又C ∈(0°，180°)，∴C ＝120°.二、填空题7．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则C ＝_________.答案 75°解析由正弦定理得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22. ∵BC ＝2<AC ＝6，∴A 为锐角．∴A ＝45°.∴C ＝75°.8．在△ABC 中，若tan A ＝13，C ＝150°，BC ＝1，则AB ＝________. 答案 102解析 ∵tan A ＝13，A ∈(0°，180°)，∴sin A ＝1010. 由正弦定理知BC sin A ＝AB sin C， ∴AB ＝BC sin C sin A ＝1×sin 150°1010＝102. 9．在△ABC 中，b ＝1，c ＝3，C ＝2π3，则a ＝________. 答案 1解析由正弦定理，得3sin 2π3＝1sin B ，∴sin B ＝12.∵C 为钝角， ∴B 必为锐角，∴B ＝π6， ∴A ＝π6. ∴a ＝b ＝1.10．在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若b ＝2a ，B ＝A ＋60°，则A ＝______.答案 30°解析 ∵b ＝2a ∴sin B ＝2sin A ，又∵B ＝A ＋60°，∴sin(A ＋60°)＝2sin A即sin A cos 60°＋cos A sin 60°＝2sin A ，化简得：sin A ＝33cos A ，∴tan A ＝33，∴A ＝30°. 三、解答题11．在△ABC 中，已知a ＝22，A ＝30°，B ＝45°，解三角形．解 ∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C， ∴b ＝a sin B sin A ＝22sin 45°sin 30°＝22×2212＝4. ∵C ＝180°－(A ＋B )＝180°－(30°＋45°)＝105°，∴c ＝a sin C sin A ＝22sin 105°sin 30°＝22sin 75°12＝2＋2 3. 12．在△ABC 中，已知a ＝23，b ＝6，A ＝30°，解三角形．解 a ＝23，b ＝6，a <b ，A ＝30°<90°.又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a >b sin A ，所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°. 当B ＝60°时，C ＝90°，c ＝a 2＋b 2＝43；当B ＝120°时，C ＝30°，c ＝a ＝2 3.所以B ＝60°，C ＝90°，c ＝43或B ＝120°，C ＝30°，c ＝2 3.能力提升13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 若a ＝2，b ＝2，sin B ＋cos B ＝2，则角A 的大小为________．答案 π6解析 ∵sin B ＋cos B ＝2sin(π4＋B )＝ 2. ∴sin(π4＋B )＝1. 又0<B <π，∴B ＝π4.由正弦定理，得sin A ＝a sin B b ＝2×222＝12. 又a <b ，∴A <B ，∴A ＝π6. 14．在锐角三角形ABC 中，A ＝2B ，a ，b ，c 所对的角分别为A ，B ，C ，求a b的取值范围．解在锐角三角形ABC 中，A ，B ，C <90°，即⎩⎪⎨⎪⎧ B <90°，2B <90°，180°－3B <90°，∴30°<B <45°. 由正弦定理知：a b ＝sin A sin B ＝sin 2B sin B＝2cos B ∈(2，3)，故a 的取值范围是(2，3)．1．利用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题：。

2021学年高中数学人教A版必修5课件：课时作业+2-2-1+等差数列的定义及通项公式

C．1
1 D.2
解析：因为{an}是等差数列，a1 与 a2 的等差中项为 1，a2 与 a3 的等差中项为 2，所以 a1＋a2＝2，a2＋a3＝4，两式相减得 a3－a1＝2d＝4－2，解得 d＝1.
5．在等差数列{an}中，a1＝8，a5＝2，若在相邻两项之间各插入一个数，使之成等差数列，则新等差数列的公差为( B )
2．若△ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，则 cos(A＋
C)＝( C )
1
3
A.2
B. 2
C．－12
D．－
3 2
解析：因为 A，B，C 成等差数列，所以 A＋C＝2B.又因为 A＋B＋C＝π，所以 A＋C＝23π，故 cos(A＋C)＝－12.
3．等差数列的相邻 4 项是 a＋1，a＋3，b，a＋b，那么 a，
所以x1n是等差数列． (2)由(1)知x1n＝x11＋(n－1)×13 ＝2＋n－3 1＝n＋3 5. 所以x1100＝1003＋5＝35.所以 x100＝315.
——能力提升类—— 12．一个首项为 23，公差为整数的等差数列，从第 7 项开始
为负数，则它的公差是( C )
A．－2 B．－3 C．－4 D．－6
(3)λan＋a1n≥λ 对任意的 n≥2 恒成立，即3n－λ 2＋3n－2≥λ 对任意的 n≥2 恒成立，整理，得 λ≤33nn－－232对任意的 n≥2 恒成立．令 f(n)＝33nn－－232，则 f(n＋1)－f(n)＝3n3＋n12－33nn－－232 ＝9n32n－n9－n－1 1＝3－3nn1－1.
二、填空题 7．若 m 和 2n 的等差中项为 4,2m 和 n 的等差中项为 5，则 m
与 n 的等差中项是 3 .

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.4 第1课时等比数列的概念和通项公式 Word版含解析

[课时作业][A 组基础巩固]1．已知等比数列{a n }中，a 1＝32，公比q ＝－12，则a 6等于( )A ．1B ．－1C ．2 D.12解析：由题知a 6＝a 1q 5＝32×⎝⎛⎭⎫－125＝－1，故选B.答案：B2．已知数列a ，a (1－a )，a (1－a )2，…是等比数列，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≠1B ．a ≠0且a ≠1C ．a ≠0D ．a ≠0或a ≠1解析：由a 1≠0，q ≠0，得a ≠0,1－a ≠0，所以a ≠0且a ≠1.答案：B3．在等比数列{a n }中，a 2 016＝8a 2 013，则公比q 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：q 3＝a 2 016a 2 013＝8，∴q ＝2.答案：A4．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( )A ．64B ．81C ．128D ．243解析：∵{a n }为等比数列，∴a 2＋a 3a 1＋a 2＝q ＝2. 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1.故a 7＝1×26＝64.答案：A5．等比数列{a n }各项均为正数，且a 1，12a 3，a 2成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5＝( ) A ．－5＋12 B.1－52 C.5－12 D ．－5＋12或5－12解析：a 1，12a 3，a 2成等差数列，所以a 3＝a 1＋a 2，从而q 2＝1＋q ，∵q >0，∴q ＝5＋12，∴a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：C6．首项为3的等比数列的第n 项是48，第2n －3项是192，则n ＝________. 解析：设公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 3q n －1＝483q 2n －4＝192⇒⎩⎪⎨⎪⎧q n －1＝16q 2n －4＝64⇒q 2＝4，得q ＝±2.由(±2)n －1＝16，得n ＝5.答案：57．数列{a n }为等比数列，a n >0，若a 1·a 5＝16，a 4＝8，则a n ＝________.解析：由a 1·a 5＝16，a 4＝8，得a 21q 4＝16，a 1q 3＝8，所以q 2＝4，又a n >0，故q ＝2，a 1＝1，a n ＝2n －1.答案：2n －18．若k,2k ＋2,3k ＋3是等比数列的前3项，则第四项为________．解析：由题意，(2k ＋2)2＝k (3k ＋3)，解得k ＝－4或k ＝－1，又k ＝－1时，2k ＋2＝3k ＋3＝0，不符合等比数列的定义，所以k ＝－4，前3项为－4，－6，－9，第四项为－272. 答案：－2729．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，求证：{a n }是等比数列，并求出通项公式．证明：∵S n ＝2a n ＋1，∴S n ＋1＝2a n ＋1＋1.∴S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1)＝2a n ＋1－2a n .∴a n ＋1＝2a n .①又∵S 1＝a 1＝2a 1＋1，∴a 1＝－1≠0.由①式可知，a n ≠0，∴由a n ＋1a n＝2知{a n }是等比数列，a n ＝－2n －1. 10．在各项均为负的等比数列{a n }中，2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝827. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)－1681是否为该数列的项？若是，为第几项？解析：(1)∵2a n ＝3a n ＋1，∴a n ＋1a n ＝23，数列{a n }是公比为23的等比数列，又a 2·a 5＝827，所以a 21⎝⎛⎭⎫235＝⎝⎛⎭⎫233，由于各项均为负，故a 1＝－32，a n ＝－⎝⎛⎭⎫23n －2. (2)设a n ＝－1681，则－1681＝－⎝⎛⎭⎫23n －2， ⎝⎛⎭⎫23n －2＝⎝⎛⎭⎫234，n ＝6，所以－1681是该数列的项，为第6项． [B 组能力提升]1．设{a n }是由正数组成的等比数列，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，那么a 3·a 6·a 9·…·a 30等于( )A ．210B ．220C ．216D ．215解析：由等比数列的定义，a 1·a 2·a 3＝⎝⎛⎭⎫a 3q 3，故a 1·a 2·a 3·…·a 30＝⎝⎛⎭⎫a 3·a 6·a 9·…·a 30q 103.又q ＝2，故a 3·a 6·a 9·…·a 30＝220.答案：B2．已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( )A ．21B ．42C ．63D ．84解析：设等比数列公比为q ，则a 1＋a 1q 2＋a 1q 4＝21，又因为a 1＝3，所以q 4＋q 2－6＝0，解得q 2＝2，所以a 3＋a 5＋a 7＝(a 1＋a 3＋a 5)q 2＝42.答案：B3．设{a n }为公比q >1的等比数列，若a 2 014和a 2 015是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 2 016＋a 2 017＝________.解析：4x 2－8x ＋3＝0的两根分别为12和32，q >1，从而a 2 014＝12，a 2 015＝32，∴q ＝a 2 015a 2 014＝3.a 2 016＋a 2 017＝(a 2 014＋a 2 015)·q 2＝2×32＝18.答案：184．在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n ＝________.解析：设数列{a n }的公比为q ，由a 1a 2a 3＝4＝a 31q 3与a 4a 5a 6＝12＝a 31q 12可得q 9＝3，又a n －1a n a n ＋1＝a 31q 3n －3＝324，因此q 3n －6＝81＝34＝q 36，所以n ＝14. 答案：145．有四个实数，前三个数依次成等比数列，它们的积为－8；后三个数依次成等差数列，它们的积为－80，求这四个数．解析：由题意，设这四个数为b q，b ，bq ，a ，则⎩⎪⎨⎪⎧ b 3＝－8.2bq ＝a ＋b ，b 2aq ＝－80解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝10，b ＝－2，q ＝－2，或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－8，b ＝－2，q ＝52.∴这四个数依次为1，－2,4,10或－45，－2，－5，－8.6．已知a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝x 2＋2x 的图象上，其中n ＝1,2,3，….(1)证明数列{lg(1＋a n )}是等比数列；(2)求{a n }的通项公式．解析：(1)证明：由已知得a n ＋1＝a 2n ＋2a n ， ∴a n ＋1＋1＝a 2n ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2. ∵a 1＝2，∴a n ＋1＋1＝(a n ＋1)2>0. ∴lg(1＋a n ＋1)＝2lg(1＋a n )，即lg (1＋a n ＋1)lg (1＋a n )＝2，且lg(1＋a 1)＝lg 3.∴{lg(1＋a n )}是首项为lg 3，公比为2的等比数列．(2)由(1)知，lg(1＋a n )＝2n －1·lg 3＝lg 312n －， ∴1＋a n ＝312n －，∴a n ＝312n －－1.。

高中数学课时作业(人教A版必修第一册)课时作业 1

课时作业1集合的概念基础强化1.下列语言叙述中，能表示集合的是()A．数轴上离原点距离很近的所有点B．德育中学的全体高一学生C．某高一年级全体视力差的学生D．与△ABC大小相仿的所有三角形2．下列结论不正确的是()A．0∈N B．2∉QC．0∈Q D．－1∈Z3．若a，b，c，d为集合A的4个元素，则以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是() A．菱形B．平行四边形C．梯形D．正方形4．2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意创造非凡、探索未来；北京冬残奥会吉祥物“雪容融”寓意点亮梦想、温暖世界．这两个吉祥物的中文名字中的汉字组成集合M，则M中元素的个数为()A．3 B．4C．5 D．65．(多选)下列说法中不正确的是()A．集合N与集合N*是同一个集合B．集合N中的元素都是集合Z中的元素C．集合Q中的元素都是集合Z中的元素D．集合Q中的元素都是集合R中的元素6．(多选)下列说法正确的是()A．N*中最小的数是1B．若－a∉N*，则a∈N*C．若a∈N*，b∈N*，则a＋b最小值是2D．x2＋4＝4x的实数解组成的集合中含有2个元素7．集合A中的元素x满足63－x∈N，x∈N，则集合A中的元素为________．8．已知集合A含有三个元素1，0，x，若x2∈A，则实数x的值为________．9．设集合A中含有三个元素3，x，x2－2x，(1)求实数x应满足的条件．(2)若－2∈A，求实数x.10．已知集合A中含有两个元素x，y，集合B中含有两个元素0，x2，若A＝B，求实数x，y的值.能力提升11.下列各组中集合P与Q，表示同一个集合的是()A．P是由2，3构成的集合，Q是由有序数对(2，3)构成的集合B．P是由π构成的集合，Q是由59构成的集合C．P是由元素1，3，π构成的集合，Q是由元素π，1，|－3|构成的集合D．P是满足不等式－1≤x≤1的自然数构成的集合，Q是方程x2＝1的解集12．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有元素的个数为()A．2 B．3C．4 D．513．(多选)已知集合M中的元素x满足x＝a＋2b，其中a，b∈Z，则下列选项中属于集合M的是()A．0 B．6C．11－2D．32－114．(多选)已知x，y为非零实数，代数式x|x|＋y|y|的值所组成的集合为M，则下列判断错误的是()A．0∉M B．1∈MC．－2∈M D．2∈M15.已知集合A由a，b，c三个元素组成，集合B由0，1，2三个元素组成，且集合A 与集合B相等．下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b ＋c＝________．16．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于集合A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．。

高中数学人教A版必修五优化练习：第二章 2.5 第1课时等比数列的前n项和公式含解析

[课时作业] [A 组基础巩固]1．等比数列{a n }中，a n ＝2n ，则它的前n 项和S n ＝( ) A ．2n －1 B ．2n －2 C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2解析：a 1＝2，q ＝2， ∴S n ＝2×(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.答案：D2．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，a 4＝18，则该数列的前10项和S 10＝( )A ．2－128B ．2－129C ．2－1210D ．2－1211解析：设等比数列{a n }的公比为q ，由a 1＝1，a 4＝18，得q 3＝18，解得q ＝12，于是S 10＝a 1(1－q 10)1－q ＝1－(12)101－12＝2－129.答案：B3．等比数列{a n }中，已知前4项之和为1，前8项和为17，则此等比数列的公比q 为( ) A ．2 B ．－2 C ．2或－2D ．2或－1解析：S 4＝a 1·(1－q 4)1－q ＝1，①S 8＝a 1·(1－q 8)1－q ＝17，②②÷①得1＋q 4＝17，q 4＝16. q ＝±2. 答案：C4．已知数列{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和，若a 2·a 3＝2a 1，且a 4与2a 7的等差中项为54，则S 5＝( ) A ．35 B ．33 C ．31D ．29 解析：设数列{a n }的公比为q ，∵a 2·a 3＝a 21·q 3＝a 1·a 4＝2a 1， ∴a 4＝2.又∵a 4＋2a 7＝a 4＋2a 4q 3＝2＋4q 3＝2×54，∴q ＝12.∴a 1＝a 4q 3＝16.S 5＝a 1·(1－q 5)1－q ＝31.答案：C5．等比数列{a n }中，a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，则公比q 等于( ) A ．2 B.12 C ．4D.14解析：a 3＝3S 2＋2，a 4＝3S 3＋2，等式两边分别相减得a 4－a 3＝3a 3，即a 4＝4a 3，∴q ＝4. 答案：C6．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2a n ，n ＝1,2,3，…，则a 1＋a 2＋…＋a n ＝________. 解析：由a n ＋1a n ＝2，∴{a n }是以a 1＝1，q ＝2的等比数列，故S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n－1.答案：2n －17．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1,2S 2,3S 3成等差数列，则{a n }的公比为________．解析：∵S 1,2S 2,3S 3成等差数列，∴4S 2＝S 1＋3S 3，即4(a 1＋a 1q )＝a 1＋3(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)， ∴4(1＋q )＝1＋3(1＋q ＋q 2)，解之得q ＝13.答案：138．等比数列的前n 项和S n ＝m ·3n ＋2，则m ＝________. 解析：设等比数列为{a n }，则 a 1＝S 1＝3m ＋2，S 2＝a 1＋a 2＝9m ＋2⇒a 2＝6m ， S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝27m ＋2⇒a 3＝18m ，又a 22＝a 1·a 3⇒(6m ) 2＝(3m ＋2)·18m ⇒m ＝－2或m ＝0(舍去)．∴m ＝－2. 答案：－29．在等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20. 解析：设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ，a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d ，由a 3，a 6，a 10成等比数列，得a 3a 10＝a 26，即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2.整理，得10d 2－10d ＝0.解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200；当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7，于是S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －n 2，a n ＝log 5b n ，其中b n >0，求数列{b n }的前n 项和T n .解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1 ＝(2n －n 2)－[2(n －1)－(n －1)2] ＝－2n ＋3，当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×1－12＝1也适合上式， ∴{a n }的通项公式a n ＝－2n ＋3(n ∈N *)．又a n ＝log 5b n ， ∴log 5b n ＝－2n ＋3，于是b n ＝5－2n ＋3，b n ＋1＝5－2n ＋1，∴b n ＋1b n ＝5－2n ＋15－2n ＋3＝5－2＝125. 因此{b n }是公比为125的等比数列，且b 1＝5－2＋3＝5，于是{b n }的前n 项和T n ＝5⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n 1－125＝12524⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫125n .[B 组能力提升]1．已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n 等于( )A ．(2n －1)2 B.13(2n －1) C ．4n －1D.13(4n －1) 解析：根据前n 项和S n ＝2n －1，可求出a n ＝2n －1，由等比数列的性质可得{a 2n }仍为等比数列，且首项为a 21，公比为q 2，∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1＋22＋24＋…＋22n －2＝13(4n －1)．答案：D2．设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝( )A ．2 B.73 C.310D ．1或2解析：设S 2＝k ，则S 4＝3k ，由数列{a n }为等比数列(易知数列{a n }的公比q ≠－1)，得S 2，S 4－S 2，S 6－S 4为等比数列，又S 2＝k ，S 4－S 2＝2k ，∴S 6－S 4＝4k ，∴S 6＝7k ，∴S 6S 4＝7k 3k ＝73，故选B. 答案：B3．已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和等于________．解析：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 4＝9a 2·a 3＝a 1·a 4＝8，解得a 1＝1，a 4＝8或者a 1＝8，a 4＝1，而数列{a n }是递增的等比数列，所以a 1＝1，a 4＝8，即q 3＝a 4a 1＝8，所以q ＝2，因而数列{a n }的前n 项和S n＝a 1(1－q n )1－q ＝1－2n 1－2＝2n －1.答案：2n －14．设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＋a 1＝2a n ，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，则a 1＋a 5＝________.解析：由S n ＋a 1＝2a n ，得a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．从而a 2＝2a 1，a 3＝2a 2＝4a 1.又因为a 1，a 2＋1，a 3成等差数列，所以a 1＋a 3＝2(a 2＋1)，所以a 1＋4a 1＝2(2a 1＋1)，解得a 1＝2，所以数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列，故a n ＝2n ，所以a 1＋a 5＝2＋25＝34. 答案：345．(2016·高考全国Ⅲ卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝1＋λa n ，其中λ≠0. (1)证明{a n }是等比数列，并求其通项公式； (2)若S 5＝3132，求λ.解析：(1)证明：由题意得a 1＝S 1＝1＋λa 1，故λ≠1，a 1＝11－λ，a 1≠0.由S n ＝1＋λa n ，S n ＋1＝1＋λa n ＋1得a n ＋1＝λa n ＋1－λa n ，即a n ＋1(λ－1)＝λa n .由a 1≠0，λ≠0得a n ≠0，所以a n ＋1a n ＝λλ－1.因此{a n }是首项为11－λ，公比为λλ－1的等比数列，于是a n ＝11－λ⎝⎛⎭⎫λλ－1n －1.(2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫λλ－1n .由S 5＝3132得1－⎝⎛⎭⎫λλ－15＝3132，即⎝⎛⎭⎫λλ－15＝132. 解得λ＝－1.6．设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且a 1＋3,3a 2，a 3＋4构成等差数列． (1)求数列{a n }的通项；(2)令b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，求数列{b n }的前n 项和T n . 解析：(1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＝7，(a 1＋3)＋(a 3＋4)2＝3a 2，解得a 2＝2.设数列{a n }的公比为q ，由a 2＝2，可得a 1＝2q ，a 3＝2q ，又S 3＝7，可知2q ＋2＋2q ＝7，即2q 2－5q ＋2＝0.解得q 1＝2，q 2＝12.由题意得q >1，∴q ＝2，∴a 1＝1. 故数列{a n }的通项为a n ＝2n －1.(2)由于b n ＝ln a 3n ＋1，n ＝1,2，…，由(1)得a 3n ＋1＝23n ，∴b n ＝ln 23n ＝3n ln 2. 又b n ＋1－b n ＝3ln 2，∴{b n }是等差数列， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝n (b 1＋b n )2＝3n (n ＋1)2·ln 2.故T n ＝3n (n ＋1)2ln 2.。

2021-2022学年新教材人教A版数学必修第一册课时作业：1

课时作业(九) 全称量词命题与存在量词命题的否定[练基础]1．命题“存在实数x ，使x >1”的否定是( )A ．对任意实数x ，都有x >1B ．不存在实数x ，使x ≤1C ．对任意实数x ，都有x ≤1D ．存在实数x ，使x ≤12．命题“对任意x ∈R ，都有x 2－x >0”的否定为( )A ．对任意x ∈R ，都有x 2－x ≤0B ．存在x 0∈R ，使得x 20－x 0≤0C ．存在x 0∈R ，使得x 20－x 0>0D ．不存在x 0∈R ，使得x 20－x 0≤03．已知命题p ：∃x >1，x 2－4<0，则綈p 是( )A ．∃x >1，x 2－4≥0B ．∃x ≤1，x 2－4<0C ．∀x ≤1，x 2－4≥0D ．∀x >1，x 2－4≥04．下列命题的否定为假命题的是 ( )A ．∃x ∈Z,1<4x <3B ．∃x ∈Z,5x ＋1＝0C ．∀x ∈R ，x 2－1＝0D ．∃x ∈R ，x 2＋3x ＋2＝05．已知命题p ：∃x ∈R ，x －2>x ，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，则 ( )A ．命题p ，q 都是假命题B ．命题p ，q 都是真命题C ．命题p ，綈q 都是真命题D ．命题p ，綈q 都是假命题6．(多选)已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( )A ．命题綈p 是假命题B ．命题p 是存在量词命题C ．命题p 是全称量词命题D ．命题p 既不是全称量词命题也不是存在量词命题7．命题“∃x ∈R ，x 2－x ＞0”的否定是________．8．命题“存在实数x ，y ，使得x ＋y >1”，此命题的否定是________________，是________(填“真”或“假”)命题．9．写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：∀x ∈R ，x 2－x ＋14≥0； (2)q ：所有的正方形都是矩形；(3)r ：∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0.10．命题p 是“对某些实数x ，有x －a >0或x －b ≤0”，其中a 、b 是常数．(1)写出命题p 的否定；(2)当a 、b 满足什么条件时，命题p 的否定为真？[提能力]11．(多选)设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝Q ，且P ≠Q ，则下列选项中错误的是( )A ．∀x ∈Q ，有x ∈PB ．∃x ∈P ，使得x ∉QC ．∃x ∈Q ，使得x ∉PD ．∀x ∉Q ，有x ∉P12．若命题“∃x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．1≤a ≤3B ．－1≤a ≤3C ．－3≤a ≤3D ．－1≤a ≤113．已知命题“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1>0”是假命题，则实数a 的取值范围为________．14．命题“对于任意三个正数a ，b ，c ，三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a中至少有一个不小于2”的否定是________．15．已知命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”是假命题，求实数a 的取值范围．[培优生]16．已知集合A ＝{x |0≤x ≤a }，集合B ＝{x |m 2＋3≤x ≤m 2＋4}，如果命题“∃m ∈R ，使得A ∩B ≠∅”为假命题，求实数a 的取值范围．课时作业(九) 全称量词命题与存在量词命题的否定1．解析：“存在实数x ，使x >1”的否定是“对任意实数x ，都有x ≤1”．故选C.答案：C2．解析：命题“对任意x ∈R ，都有x 2－x >0”是全称量词命题，则命题的否定是：存在x 0∈R ，使得x 20－x 0≤0.故选B.答案：B3．解析：命题p ：∃x >1，x 2－4<0的否定是：∀x >1，x 2－4≥0.故选D.答案：D4．解析：命题的否定为假命题等价于原命题是真命题，由1<4x <3得14<x <34，这样的整数x 不存在，故A 为假命题，其否定为真命题；5x ＋1＝0，x ＝－15∉Z ，故B 为假命题，其否定为真命题；当x ＝0时，x 2－1≠0，故C 为假命题，其否定为真命题；存在实数x ＝－1或x ＝－2，有x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)＝0，故D 为真命题，从而D 的否定是假命题．故选D.答案：D5．解析：当x ＝9时，9－2>9＝3，∴p 为真命题．∵∀x ∈R ，x 2≥0，∴q 是假命题，綈q 是真命题．故选C.答案：C6．解析：命题p ：实数的平方是非负数，是真命题，故綈p 是假命题，命题p 是全称量词命题．故选AC.答案：AC7．解析：含存在性量词的否定就是将“∃”改成“∀”，将x 2－x ＞0改成x 2－x ≤0. 答案：∀x ∈R ，x 2－x ≤08．解析：此命题用符号表示为∃x ，y ∈R ，x ＋y >1，此命题的否定是∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1，原命题为真命题，所以它的否定为假命题．答案：∀x ，y ∈R ，x ＋y ≤1 假9．解析：(1)綈p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋14<0，假命题． ∵∀x ∈R ，x 2－x ＋14＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，是真命题．∴綈p 是假命题． (2)綈q ：有的正方形不是矩形，假命题．(3)綈r ：∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2>0，真命题．∵∀x ∈R ，x 2＋2x ＋2＝(x ＋1)2＋1≥1>0，∴綈r 是真命题．10．解析：(1)命题p 的否定：对任意实数x ，有x －a ≤0且x －b >0.(2)要使命题p 的否定为真，需要使不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －a ≤0，x －b >0的解集不为空集，通过画数轴可看出，a 、b 应满足的条件是b <a .11．解析：因为P ∩Q ＝Q ，且P ≠Q ，所以Q 是P 的真子集，所以∀x ∈Q ，有x ∈P ，∃x ∈P ，使得x ∉Q ，CD 错误．故选CD.答案：CD12．解析：由题得，原命题的否命题是“∀x ∈R ，使x 2＋(a －1)x ＋1≥0”，即Δ＝(a －1)2－4≤0，解得－1≤a ≤3.故选B.答案：B13．解析：∵命题“∀x ∈R ，x 2＋ax ＋1>0”是假命题，∴∃x ∈R ，x 2＋ax ＋1≤0是真命题，即∃x ∈R 使不等式x 2＋ax ＋1≤0有解；所以Δ＝a 2－4≥0，解得：a ≤－2或a ≥2.∴实数a 的取值范围是{a |a ≤－2或a ≥2}．答案：{a |a ≤－2或a ≥2}14．解析：该命题的否定：存在三个正数a ，b ，c ，三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a全小于2.答案：存在三个正数a ，b ，c ，三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a全小于2 15．解析：因为命题“存在x ∈R ，ax 2－2ax －3>0”的否定为“对于任意x ∈R ，ax 2－2ax －3≤0恒成立”，事实上，当a ＝0时，对于任意x ∈R ，不等式－3≤0恒成立；当a ≠0时，借助二次函数的图象(图略)，易知不等式ax 2－2ax －3≤0恒成立的等价条件是a <0且最大值小于等于0，即－a －3≤0，即－3≤a <0.综上，实数a 的取值范围是{a |－3≤a ≤0}．16．解析：命题“∃m ∈R ，使得A ∩B ≠∅”为假命题，则其否定“∀m ∈R ，A ∩B ＝∅”为真命题当a <0时，集合A ＝{x |0≤x ≤a }＝∅，符合A ∩B ＝∅当a ≥0时，因为m 2＋3>0，所以∀m ∈R ，A ∩B ＝∅得a <m 2＋3对于∀m ∈R 恒成立所以a <(m 2＋3)min ＝3，则0≤a <3综上，实数a 的取值范围为a <3.。

高中数学人教A版必修5 40分钟课时作业第二章数列：2-4-15 等比数列的性质

答案：C
2．(2012· 济南高二检测)已知在等比数列{an}中，a3＝－2，a6 ＝54，则 a9＝( A．1 458 C．27 ) B．－1 458 D．－54
2 54 解析：a3，a6，a9 成等比数列，所以 a3a9＝a2 ＝－1 6，a9＝－2
458.
答案：B
3．已知{an}是等比数列，a4· a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，则公比 q 为( A．2 1 C.2 )
答案：5
三、解答题：每小题 15 分，共 45 分． 8 27 10．在和之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，求 3 2 插入的三个数的乘积．
8 17 解：在3和 2 之间插入三个正数，使这五个数成等比数列，设 8 27 插入的三个正数为 a，b，c，则 b ＝ac＝3× 2 ＝36，因此插入的
解析：由题意得，amam＋1＝q，此数列各项积为(amam＋1)m＝qm.
பைடு நூலகம்答案：C
5．已知各项均为正数的等比数列 {an}中，a1a2a3＝5，a7a8a9 ＝10，则 a4a5a6＝( A．5 2 C ．6 ) B．7 D．4 2
3 解析：由等比数列的性质知 a1a2a3＝(a1a3)a2＝a2 ＝5，a7a8a9 3 ＝(a7a9)· a8＝a8 ＝10，所以
3 解析：∵a1a2a3＝a3 ， a a a ＝ a 2 4 5 6 5， 3 a7a8a9＝a3 ， … ， a a a ＝ a 8 28 29 30 29，
∴a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝(a2a5a8…a29)3＝230. ∴a2a5a8…a29＝210. 则 a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q) ＝(a2a5a8…a29)q10＝210×210＝220.

2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册任意角课时作业(一)

时作业•巩固提升5.1.1任意角课时作业（一）考试时间：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.．B ．C ．D ．．若角α是第一象限角，则2α是（）．第一象限角B ．第二象限角．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角．以下命题正确的是（）．第二象限比第一象限角大{}180A k k Z αα==⋅∈，{}90,B k k Z β==⋅︒∈，则A B⊆．若360360180k α⋅︒<<︒+︒（k ∈），则α为第一或第二象限角．终边在x 轴上的角可表示为360k ⋅︒Z k ∈）．已知集合18018045,Z 90,Z 24k M x x k P x x k ⎧⎧⎫⋅⋅=±∈==∈⎨⎨⎬⎩⎩⎭，则M 间的关系为（）A ．M=PB ．M P ⊆C ．M P ⊇D ．M P ⋂=∅8．已知角2180002,Z k k α=︒-︒∈⋅，则符合条件的最大负角为（）A ．–22ºB ．–220ºC ．–202ºD ．–158º二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.是锐角，则（三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.步骤．17．已知角α与角β的终边相同，分别求满足下列条件的角α的度数．(1)3600α-<≤︒︒，15β=︒；(2)360720α<︒≤︒，120β=-︒；(3)720360α-<-︒≤︒，180β=︒；(4)0360α︒≤<︒，400β=︒．22．如图所示，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；参考答案：【解析】根据α和β的终边关于y 轴对称时()180360k k αβ+=︒+︒∈Z 可知，选项B 中，180αβ+=︒符合题意；选项D 中，()()21180k k αβ+=+⋅︒∈Z 符合题意；选项AC 中，可取0,90αβ=︒=︒时显然可见α和β的终边不关于y 轴对称.故选：BD.13．315°【解析】与角－45°终边相同的角为45360,k k Z β=-+⋅∈ ，当1k =时，315β= ，因此小于360°且终边与角－45°重合的正角是315 ，14．50°【解析】因为由α逆时针旋转得到β，所以302050β=+= .15．30360,Zk k -+⋅∈ 【解析】因为60- 与30- 的终边关于直线y x =-对称，所以β的终边与30- 角的终边相同，所以30360,Z k k β=-+⋅∈ .16．y 轴的非负半轴上【解析】因为α的终边在第一、第三象限的角平分线上，所以α＝45°＋k ·180°，k ∈Z ，所以2α＝2×45°＋2k ·180°，k ∈Z ，＝90°＋k ·360°，k ∈Z .所以2α的终边在y 轴的非负半轴上17．【解析】（1）因角α与角β的终边相同，且15β=︒，则15360(Z)k k α=+⋅∈ ，而3600α-<≤︒︒，于是有1k =-，345α=- ，所以角α的度数345- .（2）因角α与角β的终边相同，且120β=-︒，则120360(Z)k k α=-+⋅∈ ，而360720α<︒≤︒，于是有2k =，600α= ，所以角α的度数600 .（3）因角α与角β的终边相同，且180β=︒，则180360(Z)k k α=+⋅∈ ，而720360α-<-︒≤︒，于是有2k =-，540α=- ，所以角α的度数540- .（4）因角α与角β的终边相同，且400β=︒，则400360(Z)k k α=+⋅∈ ，而0360α︒≤<︒，于是有1k =-，40 α=，所以角α的度数40 .(2)终边落在直线OA 上的角为30360k =+⋅ α或210360k =+⋅ α，Z k ∈，即302180k =+⋅ α或30(1)180k =++⋅ α，Z k ∈，所以终边落在直线OA 上的角的集合为2{|30180}S k k Z αα==+⋅∈ ，；。

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人教A 版数学必修五课时作业19(1)课时作业(十九)1．已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( ) A ．9 900 B ．9 902 C ．9 904 D ．11 000答案 B解析 a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2 ＝2·99·(99＋1)2＋2＝9 902. 2．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋2a n ，则这个数列的第n 项a n 为( )A ．2n －1B ．2n ＋1 C.12n －1 D.12n ＋1答案 C解析 ∵a n ＋1＝a n 1＋2a n ，∴1a n ＋1＝1a n＋2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 为等差数列，公差为2，首项1a 1＝1. ∴1a n ＝1＋(n －1)·2＝2n －1，∴a n ＝12n －1. 3．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋ln(1＋1n )，则a n 等于( ) A ．2＋ln n B ．2＋(n －1)ln n C ．2＋n ln n D ．1＋n ＋ln n答案 A4．数列{a n }满足a 1，a 2－a 1，a 3－a 2，…，a n －a n －1是首项为1，公比为2的等比数列，那么a n 等于( )A ．2n －1B ．2n －1－1C ．2n ＋1D ．4n －1答案 A5．一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的2倍)：A ．68B ．132C ．133D ．260答案 B解析前7行中共有1＋2＋22＋…＋26＝27－1＝127个数，则第8行中的第5个数是127＋5＝132.6．若数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，且对于任意大于1的整数n ，点(S n ， S n －1)在直线x －y －2＝0上，则数列{a n }的通项公式为__________．答案 a n ＝4n －27．数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1－2a n ＝0，数列{b n }的通项满足关系式a n b n ＝(－1)n ，(n ∈N *)，则b n ＝__________.答案 (－1)n 3·2n －18．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 n解析 a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1 ＝nn －1·n －1n －2·…·32·21＝n . 9．已知数列{a n }满足a n ＋1＝3a n ＋2，且a 1＝1，则a n ＝________. 答案 2×3n －1－1解析设a n ＋1＋A ＝3(a n ＋A )，化简得a n ＋1＝3a n ＋2A . 又a n ＋1＝3a n ＋2，∴2A ＝2.则A ＝1. ∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即a n ＋1＋1a n ＋1＝3.∴数列{a n ＋1}是等比数列，首项为a 1＋1＝2，公比为3. 则a n ＋1＝2×3n －1，即a n ＝2×3n －1－1.10．(2013·新课标全国Ⅰ)若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.答案 (－2)n －1 解析 ∵S n ＝23a n ＋13，① ∴当n ≥2时，S n －1＝23a n －1＋13.②①－②，得a n ＝23a n －23a n －1，即a na n －1＝－2.∵a 1＝S 1＝23a 1＋13，∴a 1＝1.∴{a n }是以1为首项，－2为公比的等比数列．∴a n ＝(－2)n －1.11．已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a nn 的最小值为________．答案 212解析在a n ＋1－a n ＝2n 中，令n ＝1，得a 2－a 1＝2；令n ＝2，得a 3－a 2＝4，…，a n －a n －1＝2(n －1)．把上面n －1个式子相加，得a n －a 1＝2＋4＋6＋…＋2(n －1)＝(2＋2n －2)(n －1)2＝n 2－n ，∴a n ＝n 2－n ＋33.∴a n n ＝n 2－n ＋33n＝n ＋33n －1≥233－1，当且仅当n ＝33n ，即n ＝33时取等号，而n ∈N *，∴“＝”取不到．∵5＜33＜6，∴当n ＝5时，a n n ＝5－1＋335＝535，当n ＝6时，a n n ＝6－1＋336＝636＝212，∵535＞212，∴a n n 的最小值是212.12．(2012·湖北)已知等差数列{a n }前三项的和为－3，前三项的积为8. (1)求等差数列{a n }的通项公式；(2)若a 2，a 3，a 1成等比数列，求数列{|a n |}的前n 项和．解析 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，则a 2＝a 1＋d ，a 3＝a 1＋2d .由题意得⎩⎨⎧3a 1＋3d ＝－3，a 1(a 1＋d )(a 1＋2d )＝8，解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝－3或⎩⎨⎧a 1＝－4，d ＝3.所以由等差数列通项公式，可得a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5或a n ＝－4＋3(n －1)＝3n －7. 故a n ＝－3n ＋5或a n ＝3n －7.(2)当a n ＝－3n ＋5时，a 2，a 3，a 1分别为－1，－4,2，不成等比数列；当a n ＝3n －7时，a 2，a 3，a 1分别为－1,2，－4，成等比数列，满足条件．故|a n |＝|3n －7|＝⎩⎨⎧－3n ＋7， n ＝1，2，3n －7， n ≥3.记数列{|a n |}的前n 项和为S n . 当n ＝1时，S 1＝|a 1|＝4；当n ＝2时，S 2＝|a 1|＋|a 2|＝5；当n ≥3时，S n ＝S 2＋|a 3|＋|a 4|＋…＋|a n |＝5＋(3×3－7)＋(3×4－7)＋…＋(3n －7)＝5＋(n －2)[2＋(3n －7)]2＝32n 2－112n ＋10. 当n ＝2时，满足此式．综上，S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4， n ＝1，32n 2－112n ＋10， n >1.►重点班·选作题13．已知S n ＝4－a n －12－，求a n 与S n .解析 ∵S n ＝4－a n －12n －2，∴S n －1＝4－a n －1－12n －3.∴S n －S n －1＝a n ＝a n －1－a n ＋12n －3－12n －2.∴a n ＝12a n －1＋(12)n －1.∴a n(12)n －a n －1(12)n －1＝2.∴2n a n －2n －1a n －1＝2. ∴{2n a n }是等差数列，d ＝2，首项为2a 1. ∵a 1＝S 1＝4－a 1－12－1＝2－a 1，∴a 1＝1.∴2n a n ＝2＋2(n －1)＝2n . ∴a n ＝n ·(12)n －1.∴S n ＝4－a n －12n －2＝4－n ·12n －1－12n －2＝4－n ＋22n －1.14．某地区位于沙漠边缘，人与沙漠进行长期不懈的斗争，到2002年底全地区的绿化率已达到30%，从2003年开始，每年将出现以下变化：原有沙漠面积的16%将栽上树，改造为绿洲，同时，原有绿洲的面积的4%又被侵蚀，变为沙漠．(1)设全区面积为1,2002年底绿洲的面积为a 1＝310，经过1年(指2003年底)绿洲面积为a 2，经过n 年绿洲面积为a n ＋1，求证：数列{a n －45}为等比数列；(2)问：至少经过多少年的努力才能使全区的绿洲面积超过60%(年数取正整数)．解析 (1)证明：因为2002年底绿洲面积为a 1＝310，所以2002年底的沙漠面积为1－a1＝710，经过n－1年后绿洲面积为a n，沙漠面积为1－a n，由题意得，再过一年，即经过n年后，绿洲面积为a n＋1＝(1－a n)×16%＋a n(1－4%)，即a n＋1＝45a n＋425.所以a n＋1－45＝45(a n－45)．又因为a1－45＝310－45＝－12，所以数列{a n－45}是以45为公比，－12为首项的等比数列．(2)由(1)知，a n－45＝(－12)×(45)n－1，所以an＝45－12·(45)n－1.设经过n年的努力可使全区的绿洲面积超过60%，即a n＋1>60%.所以45－12·(45)n>35，所以(45)n<25.验证n＝1,2,3,4时，(45)n>25.当n＝5时，(45)5＝1 0243 125<25，故至少需要5年的努力，全区的绿洲面积超过60%.例1已知数列{a n}满足关系a1＝3，且a n＋1＝12a n－3，求a n.【解析】方法一(归纳法)∵a1＝3，a n＋1＝12a n－3，∴a2＝12a1－3＝32－3，a 3＝12a 2－3＝322－32－3， a 4＝12a 3－3＝323－322－32－3， …猜想：a n ＝32n －1－32n －2－32n －3－…－32－3＝32n －1－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3＋…＋12＋1＝32n －1－3×1·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝12n －1(3＋6)－6.方法二 (迭代法)由a n ＋1＝12a n －3，得a n ＝12a n －1－3，…∴a n ＋1＝12a n －3＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －1－3－3 ＝122a n －1－32－3＝122⎝ ⎛⎭⎪⎫12a n －2－3－32－3 ＝123a n －2－322－32－3 ＝…＝12n a 1－32n －1－32n －2－…－32－3＝32n －⎝⎛⎭⎪⎪⎫32n －1＋32n －2＋…＋32＋3＝12n (3＋6)－6. ∴a n ＝12n －1(3＋6)－6.方法三 (构造法)∵a n ＋1＝12a n －3， ① ∴a n ＝12a n －1－3. ②①－②得a n ＋1－a n ＝12(a n －a n －1)．∴{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 1－3－a 1＝－12a 1－3＝－32－3为首项，公比为q ＝12的等比数列．∴a n ＋1－a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴a n －a n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2 ＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32－3·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12＝12n －1(3＋6)－6(n ∈N *)．方法四由a n ＋1＝12a n －3，把此式两边同加上6，得 a n ＋1＋6＝12(a n ＋6)．可见数列{a n ＋6}是首项为a 1＋6＝3＋6，公比为12的等比数列．∴a n ＋6＝(3＋6)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴a n ＝12n －1(3＋6)－6.【讲评】以上我们探讨了此类问题的四种解法，每种解法都以等比数列为基础，采用不同的思维方法使问题得以解决，建议重点掌握方法四！。